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DISEÑO DE ELEMENTOS A COMPRESIÓN DE PANDEO ELÁSTICO DE LOS ELEMENTOS TOTALES Y SUS COMPONENTES 1. INTRODUCCIÓN Los miembros en compresión son elementos estructurales sometidos a cargas axiales aplicadas a lo largo de un eje longitudinal que pasa por el centroide de la sección transversal del miembro y el esfuerzo puede calcularse con fa = P/A, donde fa se considera uniforme sobre toda la sección transversal. En realidad este estado ideal nunca se alcanza, ya que siempre existe alguna excentricidad de la carga. El tipo más común de miembro en compresión es la columna, también se usan en armaduras y como componentes de sistemas de apuntalamiento. El objetivo de este trabajo es exponer brevemente el comportamiento de los miembros estructurales que soportan cargas de compresión axial a lo largo de su eje longitudinal y determinar su resistencia de diseño de acuerdo con las especificaciones. Uno de los elementos o miembros estructurales básicos de toda estructura es la columna aislada ya que tiene como función principal transmitir la carga de compresión axial de un punto de la estructura a otro. Por esta razón, el nombre correcto este tipo de acción estructural es “compresión axial. “ Las columnas reales trabajan generalmente en flexo compresión (acción simultánea de flexión y compresión axial) y suelen estar unidas A otros elementos estructurales de manera que su comportamiento depende, en buena parte, de la estructura completa. Sin embargo, el estudio de la columna aislada comprimida axialmente constituye un antecedente fundamental para resolver el problema de los elementos estructurales flexo comprimido. Las columnas reales tienen imperfecciones geométricas iníciales ni sus ejes centroidales son una línea recta, ni las cargas están aplicadas exactamente en los centroides de las secciones transversales. Esto hace que la compresión no sea rigurosamente axial por lo que ocasiona, desde el inicio, deflexiones laterales y momentos flexionan tés que aumentan con rapidez y causan, eventualmente, la falla del miembro por la acción combinada de compresión axial y flexión en dos direcciones (flexo compresión): sin embargo, durante muchos años las columnas se trataron como si fuesen perfectas y su falla se produjese por pandeo, conservándose rectas hasta el agotamiento de su rigidez lateral.

2. OBJETIVOS El objetivo de este trabajo es exponer brevemente el comportamiento de los miembros estructurales que soportan cargas de compresión axial a lo largo de su eje y determinar su resistencia de diseño de acuerdo con las especificaciones. 3. ELEMENTOS A COMPRESIÓN 3.1 COMPRESIÓN SIMPLE Los elementos a compresión (columnas), bajo la acción de una carga axial, tendrán un comportamiento inicial de acortamiento proporcional al esfuerzo generado por la carga que actúa en su eje longitudinal. Cuando la carga aumenta a un valor crítico que se llama de carga crítica, se presenta una falla brusca por inestabilidad lateral denominada pandeo, en el sentido de su menor momento de inercia. Su forma de flexionarse dependerá de las condiciones de sujeción en sus extremos. Euler determinó por primera vez ésta carga crítica de falla con la expresión:

(5.1) Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es el momento de inercia del área transversal con respecto al eje principal menor y L es la longitud del miembro entre puntos de soporte. Para que esta ecuación sea válida, el miembro debe ser elástico y sus extremos deben poder girar libremente pero no tener capacidad de trasladarse lateralmente. La capacidad resistente de un elemento sujeto a esfuerzos de compresión se encuentra en función de su relación de esbeltez. En las piezas cortas su falla es debido a la resistencia de compresión; por el contrario en las piezas largas su falla se debe al pandeo lateral. Su capacidad dependerá de dicho factor y de la restricción en sus apoyos Es decir, la falla en las columnas cortas será por aplastamiento mientras que en las largas por flexión lateral. El tipo más común de miembro en compresión que ocurre en edificios y puentes es la columna. Estos elementos eventualmente también soportan esfuerzos debidos a flexión; en estos casos se conocen como elementos viga-columna. Existen tres modos generales en los que las columnas cargadas axialmente pueden fallar; estos son: pandeo flexionante, pandeo local y pandeo torsionante. El primero se presenta cuando los miembros sometidos a flexión se vuelven inestables. El pandeo local ocurre cuando alguna parte de la sección transversal de una columna es tan delgada que se pandea localmente en compresión antes de que los otros modos de pandeo puedan ocurrir. El último caso se origina en secciones con un sólo eje de simetría. Estas fallan por torsión o por una combinación de pandeo torsional y flexionante.

Para obtener la resistencia de elementos a compresión se utilizan las siguientes fórmulas según el método LRFD:

El esfuerzo crítico ( Fcr ) Se determina en función del parámetro de esbeltez ( c ), el cual se define en la siguiente ecuación:

Donde:  Si

c

1.5 ,entonces:

 Si

c

1.5 entonces:

En elementos sujetos a compresión simple se debe de revisar la relación de esbeltez máxima, la cual según el LRFD debe ser:

A continuación, en la Gráfica 5-11 se presenta el Esfuerzo Crítico vs. Relación de Esbeltez:

Gráfica 5-1 Intervalos a considerar en compresión simple El factor k en realidad es un factor que multiplica a la longitud de la columna para obtener la longitud efectiva de la misma. Es decir, la longitud con la cual se diseñará el elemento. El valor de este factor no necesariamente es menor a la unidad y depende del tipo de apoyos encontrados en el extremo del elemento. A continuación se presenta la Tabla 5-1, en donde se aprecian los valores k recomendados para los diferentes tipos de apoyos en columnas. Estos valores podrán ser fácilmente sustituidos en los problemas de estudio con la finalidad de estudiar una columna con los apoyos deseados. Tabla 5-1

Factor k para diferentes tipos de apoyos

El catálogo de problemas resueltos también incluye algunos casos de elementos que forman parte de una estructura continua (marcos rígidos) sometidos a esfuerzos de compresión. Para resolver estos ejemplos se deberá tomar en cuenta la restricción rotacional que proporcionan las vigas en el extremo de una columna. Esta restricción se traduce en la rigidez rotacional de los miembros que se intersecan en el nudo y la cuál se expresa como:

La razón de la rigidez de la columna a la rigidez de la trabe se deberá analizar para cada extremo del elemento y se expresa como:

Donde: ∑Ec . I c / Lc : Sumatoria de las rigideces de las columnas en el extremo del elemento analizado. ∑Eg . Ig/Lg sumatoria de las rigideces de las trabes en el extremo del elemento analizado. Utilizando los valores obtenidos de G para cada uno de los extremos, el “Manual of Steel Construcción” presenta los nomogramas de Jackson-Mooreland, donde, con los valores de extremo G, encontramos el factor k para la longitud efectiva del miembro. En el caso de los problemas incluidos en el libro electrónico para obtener el factor k se recurre directamente a las ecuaciones en las que se encuentran basados dichos nomogramas. Estas son: Para marcos no arriostrados:

Para marcos arriostrados:

Donde: G sup Razón de la rigidez de la columna a la rigidez de la trabe en el extremo

superior del miembro analizado. Ginf Razón de la rigidez de la columna a la rigidez de la trabe en el extremo inferior del miembro analizado. 3.2 PANDEO TORSIONAL Y FLEXOTORSIONAL El tipo de pandeo torsional es causado debido a la torsión alrededor del eje longitudinal del miembro. Esta sólo puede ocurrir en miembros con secciones transversales doblemente simétricas con elementos muy esbeltos en su sección transversal. El perfil cruciforme es muy vulnerable a este tipo de pandeo. El pandeo flexotorsional es causado por una combinación de pandeo por flexión y pandeo torsional. El elemento se tuerce y se flexiona simultáneamente. Sólo puede ocurrir con secciones asimétricas. Las especificaciones del AISC (American Institute of Steel Construction) requieren un análisis del pandeo torsional o del flexotorsional cuando sean necesarios. A continuación se menciona el procedimiento utilizado en el apéndice E3 de estas especificaciones que proporciona un enfoque general que se puede utilizar para cualquier perfil asimétrico. En este apéndice se utiliza un parámetro definido como e siendo:

Donde: Fe se debe determinar para pandeo flexotorsional elástico o para pandeo torsional elástico; donde para perfiles con doble simetría (pandeo torsional) se utiliza:

Mientras que en el caso de perfiles con un solo eje de simetría (pandeo flexotorsional) se utiliza:

Cuando se analiza el caso de perfiles que no cuentan con ningún eje de simetría (pandeo flexotorsional) se utiliza:

Donde: Fe .- Es la raíz más pequeña si se utiliza la última ecuación Cw .- Constante de alabeo (in) K z .-Factor de longitud efectiva para pandeo torsional G .-Módulo de cortante (ksi) J .-Constante de torsión (in^4)

Considerando x0 y y0 como las coordenadas del centro de cortante de la sección Transversal con respecto al centroide (in). El centro de cortante es el punto sobre la sección transversal a través del cuál la carga transversal sobre una viga debe pasar para que el miembro se flexione sin torcerse. 3.3 TIPOS DE COLUMNA 3.3.1 SISTEMA DE ELEMENTOS A COMPRESIÓN – COLUMNAS Son las encargadas de recibir y transmitir las cargas de la estructura a los anclajes, que a su vez las trasmiten al sistema de cimentación. Su trabajo en estructura es compresión y un poco a flexión para absorber pandeo vertical.

3.3.2 TIPOS DE COLUMNAS. Una columna es un elemento arquitectónico vertical y de forma alargada que normalmente tiene funciones estructurales, aunque también pueden erigirse con fines decorativos. De ordinario, su sección es circular, pues cuando es cuadrangular suele denominarse pilar. Cuando se habla de tipos de columnas se considera un tipo de perfil ó varios tipos de perfiles que han sido unidos por un medio rígido para adoptar una forma geométrica específica que cumpla con las áreas de sección requeridas y con los trabajos de compresión, tracción, pandeo vertical y cizalladora.  Columna de acero. Las columnas de acero pueden ser sencillas, fabricadas directamente con perfiles estructurales, empleados como elemento único, o de perfiles compuestos. Se utilizan:  Viguetas  Placas  Soleras  Canal y tubo  Ángulos de lados iguales y desiguales.  Columna de madera.  Maciza  Ensamblada  Compuesta  Laminada. De este tipo de columnas la maciza es la más usada.  Columnas de concreto armado. Las columnas de concreto armado pueden ser:  Elementes reforzados con barras longitudinales y zunchos.  Elementos reforzados con barras longitudinales y estribos.  Elementos reforzados con tubos de acero estructural, con diferentes tipos de refuerzo transversal  columnas simples

Son aquellas que están formadas por un solo perfil simple en forma de H, en Forma de I, ocasionalmente en forma en doble T y también en celosía. Fig. 2  Columnas compuestas Son aquellas que están formadas por dos ó más perfiles simples, donde la unión de los elementos se realiza con unión ó cordón continuo de soldadura. Fig. 3

Fig. 2

Fig. 3  Columnas cruciformes Son aquellas que están formadas por perfiles en ángulo y chapas, unidos algunas veces por cordones continuos de soldadura ó por cordones discontinuos cuando se utilizan platinas como elemento de enlace. Fig. . 4  Columnas tubulares Son aquellas que están formadas por perfiles tubulares de sección cuadrada o circular, con sin costuras, con diferentes presentaciones de paredes delgadas ó gruesas. Fig. 5  Columnas macizas Son aquellas que están formadas por perfiles completamente macizos, por lo general cuadrados ó rectangulares, los que comúnmente se llaman de alma llena. Fig. 3c

 Columnas armadas Son aquellas que están formadas con perfiles lámina y ángulos de diferentes dimensiones, unidas con soldadura. A estas pertenecen las armadas tipo celosía. Fig. 6  Columnas externas Son aquellas que utilizando diferentes tipos de perfil están ubicadas en la fachada de la edificación, que en oportunidades se utilizan para trasladar cargas a la cimentación y en otras hacen el trabajo del soporte de un muro cortina.

Fig.4

Fig.5

Fig. .6 3.4 USOS DE MIEMBROS EN COMPRESIÓN  Definición: Los Miembros en Compresión son elementos prismáticos sometidos exclusivamente a compresión axial producida por fuerzas que obran a lo largo de sus ejes centroidales.  En los miembros en compresión no actúan momentos flexionantes o cargas excéntricas.  Los miembros en compresión sin embargo, en algunos casos el centro de torsión no coincide con el centroide de la sección transversal.

3.4.1 USOS DE MIEMBROS EN USOS DE MIEMBROS EN COMPRESION Barras de armaduras (cuerda superior, diagonales y montantes). Diagonales de contraventeo  de edificios.

3.4.2. SECCIONES TRANSVERSALES TÍPICAS

3.4.3 PANDEO MIEMBROS EN COMPRENSION Uno de los problemas fundamentales de diseño de MC es la falla por pandeo general de la columna y el pandeo local de patines o almas.

El problema de pandeo general es un problema de ESTABILIDAD y no de RESISTENCIA.

 MODOS DE PANDEO MC: En columnas esbeltas de secciones abiertas construidas con perfiles estructurales laminados, son posibles 3 MODOS DE PANDEO:  MODOS DE PANDEO MC: Pandeo por flexión alrededor del eje de menor momento de inercia. Pandeo por torsión alrededor del CT de la columna. Pandeo por flexióntorsión.  MODOS DE PANDEO DE MC: En el pandeo por torsión, las deformaciones por pandeo consisten solamente de rotaciones de las secciones transversales alrededor del eje longitudinal del MC.  MODOS DE PANDEO MC : El pandeo por flexotorsión es un modo de falla en el que el MC se pandea y se tuerce simultáneamente. 3.5. DEFINICIÓN DE PANDEO LOCAL CONSIDERACIONES GENERALES Al principio de la materia se estableció que la selección de elementos estructurales y de Máquinas se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos debe análisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de deformación dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquier otro de los vistos anteriormente. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando como “columna”, fuera de longitud D, no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable. Por otra parte, si la misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable, Presentándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso. Una regla delgada ordinaria, si se Somete a compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento de tal miembro. El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de Compresión. Placas delgadas, completamente capaces de resistir cargas de tracción, resultan muy Ineficaces para transmitir compresión. Vigas angostas, sin arriostra miento lateral, pueden doblarse Lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques al vacío, así como cascos de Submarinos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la Presión externa y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica Original. Un tubo de pared

delgada puede arrugarse o plegarse como papel de seda cuando se somete a torsión1. Durante algunas etapas de su encendido, las delgadas cubiertas de los cohetes o proyectiles Autopropulsados se cargan críticamente a compresión. Estos son problemas de primordial importancia en el diseño de ingeniería. Además, por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón, muchas de las fallas Estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista Anterior está fuera del alcance de esta materia. Aquí solo se considerará el problema de la columna. El pandeo es un fenómeno llamado inestabilidad elástica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos importantes transversales a la dirección principal de compresión. En ingeniería estructural el fenómeno aparece principalmente en pilares y columnas, y se traduce en la aparición de una flexión adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia.

La aparición de deflexión por pandeo limita severamente la resistencia en compresión de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo, puede producirse una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente la deformación aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la tensión de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Además del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica provocada por un momento torsor excesivo.

Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas están lejos de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de pandear. Los modos típicos son:    

Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal. Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión gira alrededor de su centro de corte. Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta y gira simultáneamente sin cambios en su sección transversal. Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexión que involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro alrededor del centro de corte PANDEO FLEXIONAL Los pilares y barras comprimidas de celosías pueden presentar diversos modos de fallo en función de su esbeltez mecánica:

 

Los pilares muy esbeltos suelen fallar por pandeo elástico y son sensibles tanto al pandeo local del propio pilar como al pandeo global de la estructura completa. En los pilares de esbeltez media las imperfecciones constructivas como las heterogeneidades son particularmente importantes pudiéndose presentar pandeo inelástico. PANDEO LOCAL El pandeo local es el que aparece en piezas o elementos aislados o que estructuralmente pueden considerarse aislados. En este caso la magnitud de la carga crítica viene dada según el caso por la fórmula de Leonhard Euler o la de Engesser. La carga crítica de Euler depende de la longitud de la pieza, del material, de su sección transversal y de las condiciones de unión, vinculación o sujeción en los extremos. Para una pieza que puede considerarse biarticulada en sus extremos la carga crítica de Euler viene dada por:

Siendo: Fcrit, la carga crítica; E, Módulo de Young del material de que está hecha la barra; momento de inercia mínimo de la sección transversal de la barra; L, longitud de la barra y λ la esbeltez mecánica de la pieza. Cuando las condiciones de sujeción de los extremos son diferentes la carga crítica de Euler viene dada por una ecuación del tipo. PANDEO TORSIONAL En vigas de alas anchas o de escasa rigidez torsional, el pandeo flexional convencional puede ir acompañado de la aparición de una torsión de la sección, resultando un modo de fallo mixto conocido como pandeo torsional o pandeo lateral. El momento torsor crítico para el cual aparecería ese tipo de fallo. PANDEO LATERAL TORSIONAL En una estructura compleja formada por barras y otros elementos enlazados pueden aparecer modos de deformación en los que los desplazamientos no sean proporcionales a las cargas y la estructura puede pandear globalmente sin que ninguna de las barras o elementos estructurales alcance su propia carga de pandeo. Debido a este factor, la carga crítica global de cierto tipo de estructuras (por ejemplo en entramados de cúpulas mono capa) es mucho menor que la carga crítica (local) de cada uno de sus elementos. El tipo de estructura más simple que presenta 'pandeo global' para carga crítica diferente de la de sus elementos está formado por dos barras articuladas entre sí1 y a la cimentación, que se muestra en la figura.

Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la estructura son: 

Ecuación de equilibrio:



Relación elástica entre acortamiento y esfuerzo axial: Relación geométrica de las configuraciones no-deformada y deformadas:

Dónde: N, esfuerzo axial de cada una de las barras; ΔL, acortamiento sufrido por las barras para adoptar la configuración deformada; Δθ = θ-θ', es la diferencia de ángulos mostrada en la figura; E, módulo de Young del material de las barras; A, área transversal de cada una de las barras; L, longitud inicial de cada una de las dos barras. Substituyendo la segunda de las ecuaciones en la primera, despejando ΔL de la tercera y substituyendo su valor

3.6. EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE Sabemos que es condición necesaria pero no suficiente, para que la configuración tomada por Un cuerpo sometido a fuerzas sea permanente, que todas las fuerzas que actúen estén en equilibrio 1 Como ejemplo, “Introducción a la mecánica de sólidos” ESTABILIDAD DE PANDEO Entre sí; sabemos también que esta condición es suficiente si el equilibrio de las fuerzas es estable. Si el equilibrio es inestable, la configuración es extremadamente precaria, de modo que si existe una Causa perturbadora, el sistema se aparta de esta configuración y ya no la vuelve a tomar. En el caso Límite en que el equilibrio es indiferente el sistema puede mantenerse en su configuración o pasar a Otras configuraciones muy próximas a la primera, e teniéndose en alguna cualquiera de éstas. Una forma clásica de determinar si el equilibrio es estable consiste en desviar muy poco el Sistema de su configuración mediante una causa perturbadora cualquiera y ver que sucede cuando ésta Cesa. Si el sistema retoma la configuración inicial el equilibrio es estable, si se aleja aún más de ella el Equilibrio es inestable; y por último, si el sistema permanece en la posición final el equilibrio es indiferente. Vamos a tratar de clarificar más aún estos conceptos estudiando el comportamiento de las tres esferas del esquema de la figura 10.1. Si en el caso (a) hacemos mover la esfera sobre la superficie y luego la soltamos, intuitivamente podemos reconocer que la esfera volverá a su posición inicial. Este es un caso de equilibrio estable. Si en la situación (b) cambiamos Levemente a la esfera de posición, ésta ya no retomará la posición inicial sino que seguirá rodando, ésta es entonces una situación de equilibrio inestable. Si en el caso (c) movemos la esfera, ésta Permanecerá en el nuevo lugar o próximo a éste, constituyendo entonces un estado de equilibrio indiferente. Todo esto que puede ser comprendido intuitivamente Puede ser explicado más científicamente si lo analizamos desde un punto de vista energético.

En el caso (a), para mover la esfera y llevarla a una posición distinta debe realizarse un trabajo, el cual se transforma en energía potencial gravitatoria. Si la causa perturbadora cesa, esta energía potencial acumulada tenderá a transformarse en energía cinética y la esfera rodará, llegará hasta el fondo y probablemente subirá por la otra ladera, oscilando en torno del fondo hasta que por fricción, el trabajo entregado originalmente se haya transformado totalmente en calor, permaneciendo la esfera en el lugar donde la energía potencial es mínima. Por esta razón el equilibrio es estable. En el caso (b), al moverse un poco la esfera pierde energía potencial, la cual se transforma en energía cinética, de esta forma adquiere velocidad y continúa con el movimiento iniciado. Resulta evidente entonces que el equilibrio es inestable. Finalmente para mover la esfera de la situación (c) debe realizarse un cierto trabajo, el cual se transforma fundamentalmente en energía cinética. La esfera adquiere velocidad y cambia de posición, pero cuando la perturbación termina, la energía adquirida se transforma en calor por fricción, con lo que la esfera se detiene, si bien no en la última posición, en una muy próxima a ésta. Este es entonces un caso de equilibrio indiferente. A continuación vamos a analizar la estabilidad de una configuración de equilibrio en una estructura simple. Se trata de una barra rígida, recta, vertical, empotrada elásticamente en su extremo inferior mediante un resorte que reacciona proporcionalmente al giro de la barra, y sometida en su extremo Superior a una carga vertical P de compresión. La posición vertical de la barra es una configuración de equilibrio, de la cual deseamos averiguar si es estable. Es posible demostrar que el equilibrio puede ser estable o inestable, dependiendo ello de la carga P. La carga a partir de la cual el equilibrio se transforma en inestable recibe el nombre de “Carga crítica”.

ESTABILIDAD DE PANDEO Para justificar lo que hemos dicho vamos a aplicar en el borde superior De la barra una carga horizontal infinitesimal de modo que la barra se aparte De su posición original y luego eliminamos la fuerza perturbadora. Supongamos que la posición última también es una configuración de Equilibrio, con lo que deberá verificarse la correspondiente igualdad entre el Momento exterior el momento elástico interno.

PANDEO EN EL CAMPO ELÁSTICO Los primeros problemas de estabilidad elástica relativos al pandeo de barras comprimidas fueron resueltos por Euler. El problema planteado por éste y que nosotros vamos a estudiar a continuación es similar al analizado en el ítem anterior, Bajo las siguientes condiciones: La barra es de un material perfectamente homogéneo y elástico, es decir que Verifica la Ley de Hooke y en el estado de tensiones alcanzado no se supera La tensión de proporcionalidad. Su eje es idealmente recto. La carga está exactamente centrada. Los vínculos son ideales, sin rozamiento, de los tipos indicados en la Figura En las condiciones que hemos enunciado precedentemente la posición vertical de la barra es una configuración de equilibrio, de la cual deseamos saber si es estable. Para determinar esto comenzamos por hacer actuar una fuerza perturbadora horizontal infinitésima, y suponemos además que el equilibrio vertical es indiferente, de modo tal que la barra pasa a otra configuración de equilibrio curvada como la que se indica en la Figura 10.6. Para una sección genérica ubicada a una abscisa “x” la barra tiene un desplazamiento “y”. Si planteamos el equilibrio entre el momento externo. 3.7. ELEMENTOS PLANOS

PLANO DE PANDEO El plano de pandeo' se refiere al plano que contendrá el inicio de la deformada de una pieza sometida a compresión dominante. El plano de pandeo contiene el eje Bari céntrico de la viga y sobre él la deflexión por pandeo es máxima. Para una pieza sometida sólo a compresión sin momentos apreciables adicionales, el plano de pandeo coincidirá con el plano perpendicular sea paralela al eje de menor inercia de la sección. TEORÍA DE LA BIFURCACIÓN Matemáticamente el pandeo local está asociado a una bifurcación tridente, es decir, cuando se plantean las ecuaciones exactas no lineales que describen la forma de una pieza prismática, incluyendo la carga axial y los parámetros relacionados con las imperfecciones, los posibles comportamientos cualitativos están separados unos de otros por una bifurcación tridente. Eso lleva que en estos casos la carga real que puede soportar una barra venga dada por la ley 2/3 de Koiter: 3. 8. CLASIFICACION DE LAS SECCIONES DE ACERO CLASIFICACIÓN DE SECCIONES Para evitar el pandeo local de alguno de los paneles de chapa que constituyen los perfiles Empleados en construcción metálica (ver figura 1), las normas establecen la asignación, a cada Sección, de una clase que representa la mayor o menor sensibilidad de la pieza frente a este fenómeno. Dicha clase se emplea posteriormente en los procedimientos de comprobación limitando La magnitud de los esfuerzos que la misma es capaz de soportar. En el presente documento se describen los criterios empleados por las normas para clasificar Las secciones y se propone un procedimiento para obtener la clasificación de una sección a partir De un modelo de fibras1 de la misma. Clases de secciones De acuerdo con su comportamiento frente a tensiones normales, las secciones de una pieza Prismática de acero que forma parte de una estructura, pueden clasificarse como: 1. Plásticas. 2. Compactas. 3. Semi-compactas. 4. Esbeltas.

Dicha clasificación da idea de en qué medida, la posible aparición de fenómenos de inestabilidad Local (abolladura2) puede limitar: La resistencia de la sección (el momento para el que se produce su colapso). En la figura 3 puede verse como, según aumenta la esbeltez de los paneles que forman la sección (secciones de clase mayor), con la consiguiente reducción de los niveles de compresión que producen fenómenos de inestabilidad local (como los de la figura 2), el momento máximo que resiste la sección es menor. Su capacidad de rotación, curvatura máxima que puede adoptar la sección antes de su colapso. Por ejemplo en el caso del dintel de la figura 4 puede verse que si la capacidad de rotación de la sección situada sobre el apoyo central (en el que se produce la primera plastificación) es pequeña, el colapso de dicha sección (y por tanto de la estructura) se producir ‘a antes de que pueda iniciarse la plastificación de las secciones centrales de los vanos. Las secciones estructurales, sean laminadas o armadas, se pueden considerar como un Conjunto de chapas, algunas son internas las almas de las vigas abiertas o las alas De las vigas cajón) y otras son externas las alas de las secciones abiertas y las alas de los angulares) – figura 1. Dado que las chapas que constituyen las secciones estructurales son relativamente delgadas comparadas con sus anchos, cuando están sometidas a compresión (consecuencia de cargas axiles aplicadas a la sección completada como consecuencia de esfuerzos de flexión) pueden pandear localmente. La predisposición de cualquier elemento chapa que constituye la sección transversal apandar, puede limitar la capacidad de dicha sección para soportar carga axil, o bien limitar su resistencia a flexión al impedir que se alcance el limite elástico. Evitar que aparezca un fallo prematuro debido a los efectos del pandeo local es posible limitándola relación ancho-espesor para cada chapa individual que constituye la sección transversal. En esto se basa la idea de la clasificación de secciones. MODELO DE CÁLCULO Como es sabido el diseño de una estructura requiere la selección de un modelo de cálculo Adecuado para la misma. La selección de dicho modelo implica: La selección de un método de análisis. La selección de un método de comprobación de las secciones. Clasificación de secciones

En función de la sensibilidad de una sección a los fenómenos de inestabilidad de chapas, se Definen cuatro clases de secciones de acero, a saber: Secciones de Clase 1 (plásticas): son aquellas capaces de alcanzar su momento plástico Sin presentar problemas de inestabilidad y, además, tienen suficiente capacidad de rotación Como para desarrollar una rotula plástica tal y como ´esta se entiende en un análisis plástico. Secciones de Clase 2 (compactas): son aquellas que siendo capaces de alcanzar su momento Plástico sin presentar problemas de inestabilidad, no tienen capacidad de rotación Suficiente para formar rotulas plásticas. Estas secciones pueden aprovechar al máximo el Material pero no permiten considerar para la estructura mecanismos de rotura de tipo Plástico. En consecuencia su empleo en estructuras isostáticas permitir ‘a el mismo aprovechamiento Global del material que en el caso de emplear secciones plásticas. Por el contrario Cuando la estructura sea hiperestática la limitación en cuanto a la formación de rotulas plásticas Impedir ‘a aprovechar el material hasta el límite que permitiría el empleo de secciones Plásticas. Secciones de Clase 3 (semi-compactas): estas secciones presentan problemas de abolladura Local antes de alcanzar el momento plástico y una vez rebasado el momento elástico (ver figura 3). El momento resistente de la sección se considerar ‘a igual a su momento Elástico. Secciones de Clase 4 (esbeltas): la esbeltez de los paneles que forman estas secciones Impiden que se alcance incluso el momento elástico antes de que se presenten fenómenos De inestabilidad. Criterio para la clasificación de secciones La asignación de clase a una sección transversal de acero depende de: 1. El limite elástico del material. 2. La geometría de la sección y, en particular, la esbeltez de sus paneles comprimidos total o Parcialmente. 3. Las posibles vinculaciones laterales de las zonas comprimidas. 4. La geometría y extensión de las zonas de panel comprimidas, lo que, a su vez, depende De la geometría de la sección y del conjunto de esfuerzos que producen tensiones normales (Axial y momentos) a los que está sometida. CLASE DE UN PANEL Los diferentes componentes de una sección podrán tener clases diferentes de acuerdo con las CLASE DE UNA SECCIÓN

La clase de una sección puede ser a la clase más elevada de las asignadas a sus componentes. En las Secciones tubulares en las que el concepto de componente no está claro las normas dan tablas Similares a la tabla 5 de las que se obtiene directamente la clasificación de la sección. COMPONENTES DE UNA SECCIÓN Llamaremos componentes de una sección a cada una de las partes en que, el contacto con Otro panel, divide a los paneles de chapa que forman la misma. Así, por ejemplo, las alas de una Sección en I, estarán formadas por dos componentes (uno a cada lado del contacto con el alma) Y las alas de la sección en cajón c de la figura 6 estarán divididas en tres componentes. En la Pueden verse representadas las líneas medias de cada uno de los paneles que componen Una sección en I. Los componentes de la sección pueden clasificarse en: 1. Interiores o rigidizados: cuando sus dos extremos están unidos a otro panel como, por Ejemplo, es el caso del alma de las vigas en I. 2. Exteriores o no rigidizados: cuando solo uno de sus extremos está unido

ESBELTEZ DE UN COMPONENTE De la expresión se deduce que la tensión critica de pandeo crece con (b/t)2 y, por tanto, Decrece con su inversa. Esto implica que la esbeltez del panel (b/t) juega un papel similar a la Esbeltez de una barra (L/t) en el pandeo de piezas comprimidas. El resto de los valores que Intervienen en la expresión dependen del material y de las condiciones de sustentación del panel. Dicho de otro modo, dado un componente de una sección metálica, puesto que el material y la Sustentación del componente vienen dados, su tensión crítica de pandeo y, por tanto, su clase Dependerán solamente de su esbeltez (b/t). CLASIFICACIÓN DE UN COMPONENTE De acuerdo con la definición de Clase 3, para que un componente de la sección sea de esta Clase, la relación (b/t) deberá ser tal que el valor de ¾cr obtenido de la expresión 1 sea superior al 3.9. CARGAS CRÍTICAS

Una manera de encontrar la carga crítica de una estructura consiste en presuponer la forma cualitativa en que esta pandeará, parametrizando esa forma cualitativa mediante varios parámetros incógnita. Introduciendo esa forma cualitativa en la ecuación de la curva elástica y buscando que la solución parametrizada satisfaga las condiciones de contorno cualitativas, que normalmente se refieren a desplazamientos y giros de los nudos de las barras de la estructura, se obtienen relaciones entre Los parámetros incógnita introducida. El valor de la carga crítica es precisamente el que hace que dichas relaciones se cumplan. El método de Euler para barras aisladas es un ejemplo de uso de este método. Por ejemplo para determinar la carga crítica de un pilar empotrado en su base y libre en el extremo tratamos de resolver la ecuación de la curva elástica bajo las siguientes condiciones: CURVA ELASTICA:

La solución de esa ecuación, en función del parámetro de desplazamiento horizontal del pilar, resulta ser: La condición de contorno en el extremo superior (donde h = H y wsup = δ) sólo se cumple para ciertos valores de P, que cumplen: El menor de estos valores es precisamente el valor aceptado para la carga crítica de Euler de un pilar empotrado en su base y libre en su parte superior:

MÉTODOS ENERGÉTICOS Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura. Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación Wint con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo Wext durante la deformación, Wint = Wext. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos el campo de desplazamientos de los

momentos flectores asociados. Para cada elemento lineal la energía de deformación y el trabajo exterior vienen dados por: 3.10. LA LONGITUD EFECTIVA Se explica el origen del uso del factor de longitud efectiva K en el diseño de columnas de acero que Forman parte de estructuras reticulares, y se presentan varios procedimientos, en orden creciente de Dificultad y precisión, para calcularlo. Se resuelven dos ejemplos, y se ve que los resultados varían Considerablemente según el método que se emplee. Finalmente, se discuten los problemas e Incertidumbres que origina el uso del factor K, y se propone que se abandone, sustituyéndolo por otras Formas de diseño. Las columnas son parte, casi siempre, de estructuras formadas por vigas y columnas unidas entre sí; por Ello, su comportamiento no depende sólo de sus características propias, sino también de la interacción con El resto de la estructura; si las conexiones son rígidas, se restringen los giros de los extremos de las Columnas, y se introducen en ellas momentos, además de la fuerza axial, que las hacen trabajar en Flexo compresión, muchas veces biaxial. Sin embargo, las columnas se han diseñado, siempre, como si estuviesen aisladas y articuladas en los Extremos, con las fuerzas y momentos obtenidos con un análisis elástico, de primer o segundo orden, de la Estructura completa, en el que no se incluyen los cambios de rigidez producidos por las fuerzas normales Que obran en ellas. La interacción con el resto de la estructura se toma en cuenta, aproximadamente, Determinando la relación de esbeltez de la columna con su longitud efectiva KL, en lugar de la real, L.KL, es la longitud de una columna aislada, biarticulada, cuya carga crítica de pandeo es igual a la de la Columna en el marco real; es la distancia entre los puntos de inflexión teóricos, en el instante en que se inicia el pandeo de la estructura completa; puede ser mayor o menor que la longitud real. Este concepto tiene significado físico sólo para miembros en compresión axial, pero se ha extendido a Columnas flexo comprimidas. Para el diseño se usan las fórmulas de interacción deducidas para elementos aislados, en las que se Introduce el factor K que les corresponde por formar parte de la estructura. ECUACIONES DE INTERACCIÓN Las columnas flexos comprimidos se diseñan con fórmulas de interacción del tipo Uy que proporcionan una transición continua entre los puntos que representan la resistencia bajo una sola Carga, compresión axial, o flexión alrededor de x o de y. Relaciones como ésta se utilizan con frecuencia en el diseño de elementos estructurales sujetos a varias Acciones simultáneas, cuando la solución es compleja, pero se conoce para cada acción por separado

(Shanley, 1957). En diseño por factores de carga y resistencia, el Instituto Americano de la Construcción en Acero Recomienda las ecuaciones de interacción siguientes (AISC 1993): Pu, Mux y Muy son la fuerza normal y los momentos de diseño (multiplicados por el factor de carga Correspondiente), en los que se incluye el efecto Pd, por medio de un factor de amplificación B1 = Cm/(1 - Pu/Pe) ³ 1.0, Pn, Mnx y Mny las resistencias nominales de la columna en compresión axial o en flexión Alrededor de uno sólo de los ejes x o y, y fc y fb los factores de resistencia para compresión y flexión. La representación gráfica de las ecuaciones anteriores, en un sistema de coordenadas Pu/Pn-Mux/MnxMuy/Mny, es una superficie. Cualquier punto situado sobre un eje representa un solo tipo de carga, mientras Que la línea, o superficie, que une los puntos extremos define la resistencia bajo dos o tres acciones. Las ecuaciones de interacción se satisfacen en los tres límites, cuando actúa una sola acción, y Proporcionan una seguridad aceptable, aunque indeterminada, comprendida entre las especificadas para Compresión axial y flexión, en todos los casos intermedios; sirven, además, para evitar la inestabilidad de La estructura, por medio de los factores de longitud efectiva Kx y Ky, y tienen en cuenta la amplificación de Momentos por efectos de segundo orden, cuando el diseño se basa en un análisis de primer orden. Para que las ecs. 2 y 3 proporcionen resultados confiables, deben hacerse estimaciones precisas de los Puntos extremos de la interacción, las resistencias Pu, Mux y Muy. Aquí se tratan sólo los aspectos. Que interviene la esbeltez de las columnas, que son su resistencia en compresión, Pn, y los factores de Amplificación necesarios para calcular Mux y Muy. La resistencia en compresión axial se determina con la longitud efectiva KL, que sustituye a la real, L, con Lo que se modifica la capacidad para resistir compresión, como resultado de la participación de la columna En la respuesta de la estructura completa. Los factores de longitud efectiva se incluyen en el primer término de la fórmula para evalúa Adecuadamente la resistencia en el caso límite en que el pandeo se inicia con momentos nulos o muy Pequeños. Si los desplazamientos lineales de entrepiso no son significativos, K es siempre menor o igual Que la unidad, y es mayor que 1.0 cuando esos desplazamientos influyen de manera no despreciable en la respuesta de la estructu. CÁLCULO DE LAS LONGITUDES EFECTIVAS Los procedimientos para determinar los factores de longitud efectiva K se subdividen en dos categorías: Métodos elásticos, que no toman en cuenta el flujo plástico parcial de las columnas que suele preceder a la Iniciación del pandeo, y métodos inelásticos, en los que se incluye la inelasticidad, de una manera

Aproximada. En general, se determinan suponiendo que el pandeo se inicia en el intervalo elástico, pero se Han propuesto procedimientos para evaluar las longitudes efectivas de columnas parcialmente Plastificadas, restringidas en sus extremos por vigas elásticas. Cualquiera de los métodos anteriores se subdivide, a su vez, en tres, según la amplitud del modelo que se Emplee: la columna y los miembros unidos con ella (pandeo de un subconjunto idealizado), el entrepiso. El que está situada (pandeo de un entrepiso), o la estructura completa (pandeo del sistema estructural). PANDEO DE UN SUBCONJUNTO IDEALIZADO (MÉTODO DE LOS NOMOGRAMAS) Es el método que se ha usado ( y se sigue usando) con más frecuencia para calcular los factores K de las Columnas de marcos rígidos regulares; se obtienen con los nomogramas propuestos por el AISC (Julian y Lawrence, 1959; CRC, 1960), que provienen del estudio de la estabilidad de un subconjunto formado por la columna y los miembros del marco, vigas y columnas, que llegan directamente a sus extremos y se Encuentran en el plano de pandeo. Se han deducido para marcos rígidos, pero pueden utilizarse, con Modificaciones, en estructuras con conexiones parcialmente restringidas. Los nomogramas están basados en suposiciones que no suelen cumplirse en estructuras reales; cuando las Condiciones de la estructura difieren significativamente de las supuestas, su aplicación directa puede llevar a diseños muy conservadores y, en ocasiones, absurdos. La suposición más importante es la de que todas las columnas de la estructura se pandean al mismo tiempo, sin que ninguna contribuya a la resistencia de las demás. Los resultados pueden corregirse por inelasticidad, cuando la columna se pandea fuera del intervalo elástico, mientras las vigas se conservan, básicamente, en él. PANDEO DE UN ENTREPISO El nomograma para columnas cuyos extremos pueden desplazarse lateralmente se basa en la suposición de que todas las de cada entrepiso se pandean al mismo tiempo, sin que ninguna restrinja lateralmente a las demás. Proporciona resultados aceptables cuando se aplica a marcos regulares, pero puede llevar a conclusiones absurdas en marcos irregulares en geometría y/o cargas, al no tener en cuenta que las

Columnas más resistentes, o las menos cargadas, retrasan el pandeo de las más débiles y de las que tienen las compresiones más elevadas. Un caso extremo lo constituye un entrepiso compuesto por varias columnas conectadas rígidamente a las vigas, y una (o más) unida a ellas con articulaciones: si se aplica el nomograma a la columna biarticulada, se obtiene K = ¥; de acuerdo con él, su resistencia es nula. Esto sería correcto si la columna estuviese aislada, pero no lo es en la estructura real, porque las columnas restantes proporcionan estabilidad lateral hasta que el entrepiso falla en conjunto, o hasta que la columna biarticulada alcanza su carga crítica de pandeo individual, correspondiente a K = 1, antes de que falle el Entrepiso completo. Como la falla por inestabilidad lateral de una estructura de un piso, o de un entrepiso de un marco de varios niveles, es un fenómeno de conjunto, la aplicación directa del nomograma lleva a resultados Erróneos excepto en los casos, prácticamente inexistentes, en que todas las columnas se pandean Simultáneamente, bajo las cargas individuales que les corresponden, de manera que cada una de ellas es Incapaz de proporcionar apoyo lateral a las otras, pues necesita toda su resistencia para soportar su propia Carga. (En marcos de varios pisos se obtienen resultados conservadores aún en este caso, a menos que los Entrepisos situados arriba y abajo se pandeen también al mismo tiempo; este aspecto suele tener menos Importancia que la interacción de las columnas del entrepiso). Se han propuesto varios procedimientos para obtener las longitudes efectivas de las columnas, basadas en la determinación de la carga crítica de pandeo con desplazamiento lateral del entrepiso de que forman parte, en los que se incluyen las restricciones al desplazamiento proporcionadas por las columnas que Tienen los parámetros de rigidez L P / EI más pequeños. Se basan en modelos que predicen, Razonablemente, la resistencia de entrepisos que contienen una o más columnas sin rigidez lateral (“leaning columns”, en inglés; aquí se denominan “columnas soportadas”). Método de LeMessurier. El factor de longitud efectiva de cada una de las columnas que contribuyen a la Resistencia lateral del entrepiso se determina con la expresión (LeMessurier, 1977) 2 (6) Ki y Pi son el factor de longitud efectiva de la columna i (tiene en cuenta el efecto de las columnas soportadas) y la fuerza axial de compresión en ella, e Ii es su momento de inercia, en el plano de la flexión. åP y åQ son, respectivamente, las sumas de las fuerzas de compresión en todas las columnas que contribuyen a la resistencia lateral del entrepiso (columnas activas) y en todas las columnas soportadas; åP + åQ es la carga vertical total de diseño en el entrepiso. å(CLP) y å(bI) son las sumas del producto CLP de todas las columnas del entrepiso y del producto bI de

Todas las columnas activas. Ko es el factor K obtenido con el nomograma para la columna i. El coeficiente CL tiene en cuenta la pérdida de rigidez de las columnas por efecto Pd; sería máximo (0.216) si las vigas que limitan el entrepiso tuviesen rigidez infinita, y mínimo (0) cuando esa rigidez fuese nula; tiene valores intermedios en todas las estructuras reales. Es nulo, también, para las columnas soportadas, en las que no hay efecto Pd, pues se conservan rectas cuando el entrepiso se desplaza lateralmente. El factor que multiplica a Ii/Pi en la ec. 4 es constante para cada entrepiso. GAy GB tiene los mismos significados que en los nomogramas. Ecuaciones de las especificaciones AISC. En los comentarios de las normas vigentes del AISC (AISC 1993) y del proyecto de nuevas normas (AISC 1999) se incluyen dos ecuaciones simplificadas, que provienen de la ec. 4. Una se basa en el pandeo de conjunto del entrepiso, y la otra en su rigidez lateral. Modelo basado en el pandeo del entrepiso. Se supone que la compresión axial no reduce la rigidez de las columnas; para ello, se toma CL = 0 en todas, lo que lleva a b = p2/K2 o. Con esta sustitución, y algunas transformaciones, la ec. 4 se reduce a (AISC 1993) Esta ecuación puede escribirse en la forma que se propone en el Comentario de la nueva versión de las normas AISC (1999): Pei y Pui son la carga crítica elástica (p2EIi/L2) y la carga de diseño (factorizada) en la columna en estudio, y åPu es la suma de cargas de diseño en todas las columnas del entrepiso. åPe2 es la suma de cargas críticas elásticas de todas las columnas activas del entrepiso, calculadas con los factores K determinados con el nomograma. Modelo basado en la rigidez lateral del entrepiso. Se incluye, en todas las columnas activas, el valor máximo posible de la reducción de rigidez producida por las fuerzas normales, que corresponde a vigas infinitamente rígidas; así, CL = 0.216; como las columnas soportadas no tienen rigidez lateral, CL es igual a cero en ellas. Utilizando el cociente del desplazamiento lateral relativo de los dos niveles que limitan el entrepiso entre la fuerza horizontal que actúa en él como una medida de su rigidez lateral, se llega a L es la altura de las columnas, constante en todo el entrepiso, å H es la fuerza horizontal total en el entrepiso, Doh el desplazamiento lateral relativo correspondiente, obtenido con un análisis elástico de primer orden, y åPu = åP + åQ es la carga total de diseño en el entrepiso. Como CL = 0 en las columnas Soportadas, la carga en ellas se resta de la total, luego åPu + åCL Pu = åPu + 0.216 (åPu - åQ); con esta sustitución, y sacando a åPu como factor común, se obtiene Haciendo algunas simplificaciones, se llega a la ecuación del comentario de AISC 93: (10) Si la reducción de rigidez se aplica a todas las columnas, incluyendo las soportadas, lo que es conservador,

Toda la carga vertical en el entrepiso se afecta por el coeficiente CL = 0.216, y En AISC 1999 esta ecuación se presenta en la forma es una constante para todas las columnas activas del entrepiso. PANDEO DEL MARCO COMPLETO La carga crítica del marco completo puede evaluarse resolviendo un problema de valores característicos. Una vez que se conoce, se determina la carga axial en cada columna en el instante en que se inicia el Fenómeno, y su factor de longitud efectiva es: i (o Pcr), es la fuerza axial de compresión cuando se inicia el pandeo (la carga crítica de la columna Individual) y PE su carga crítica de Euler. 3.11. FACTORES QUE INFLUYEN EN EL COMPORTAMIENTO BÁSICO DE MIEMBROS EN COMPRESIÓN Los factores que influyen de manera determinante en la resistencia de una columna en compresión axial son: - Tipo de acero estructural. Caracterizado por el esfuerzo de fluencia. - Proceso de fabricación. Perfiles laminados en caliente o en frio que tienen diferente curva esfuerzo deformación. - Área de la sección transversal y radio de giro mínimo. - Desviación del eje de la columna respecto a la línea recta que une los centroides de sus secciones extremas. - Excentricidad en la aplicación de la carga. - Características geométricas de la sección transversal del perfil seleccionado. - Condiciones de apoyo de la columna aislada. - Eje de las secciones transversales alrededor del que se presenta la flexion durante el pandeo. - Magnitud y distribución de los esfuerzos residuales. El método de fabricación es uno de los factores principales en la resistencia de columnas ya que refleja la forma de distribución de los esfuerzos residuales. Todos estos factores se tienen en cuenta cuando la curva de diseño se determina experimentalmente puesto que ya se ensayan columnas reales a) Clasificación de las columnas aisladas de acuerdo con su longitud Las columnas aisladas se clasifican en: Cortas: Su falla es por aplastamiento, no hay pandeo. Intermedias: las columnas fallan por inestabilidad en el intervalo inelástico (falla por pandeo inelástico). Largas: Su falla se presenta en el intervalo elástico.

Una columna corta puede desarrollar una resistencia prácticamente igual a la de un miembro en tensión. Si la columna es larga, fallará con una carga menor que la anterior, que es proporcional a la rigidez a la flexión, al módulo de elasticidad E, al momento de inercia I, y a su longitud, y es independiente de la resistencia del material. Finalmente si la columna tiene longitud intermedia, deben tomarse en cuenta otros factores en la determinación de su resistencia. b) Tipos de equilibrio Se consideran tres estados de equilibrio de una columna cargada en compresión axial, analizando los efectos que tienen sobre la misma aplicación de una carga transversal unitaria y que produce una deformación lateral.

3.12.

RELACIÓN DE ESBELTEZ La relación de esbeltez (k L / r ) de los miembros comprimidos axialmente o flexo comprimidos se determina con la longitud efectiva (kL) y el menor radio de giro de la sección transversal. K = factor de longitud efectiva que se determina de acuerdo a las condiciones de apoyo de la columna. L = Longitud libre de la columna entre secciones soportadas lateralmente. Debe cuidarse de emplear en todos los casos el valor de k L / r máximo ya que estos valores cambian de una dirección a otra. Las longitudes efectivas son:

Fuente: Diseño en Acero y Madera Mag. lng. Máximo Alejandro Crispín

FACTORES DE LONGITUD EFECTIVA Cuando hablamos de longitud efectiva (KL) estamos hablado de un diseño de miembros cargados axialmente a compresión (continua) y placas de base para columnas. Para determinar el factor de longitud efectiva de una sección deben considerarse los elementos que se conectan al primero en ambos extremos, considerando tres casos:

a) Miembros con extremos fijos linealmente: Se considera K = 1.0, pues el pandeo se debe a las deformaciones ocasionadas entre sus extremos. b) Miembros a las que puedan despreciarse los efectos de esbeltez. Estos efectos pueden despreciarse en columnas de entrepiso de marcos rígidos que forman parte de estructuras regulares cuando se cumple en el entrepiso "i" lo siguiente:

Donde: Dei = desplazamiento horizontal del entrepiso i Hi = altura del entrepiso i

Vi = cortante del entrepiso Wi* = peso de la construcción arriba del nivel i Cuando los desplazamientos son ocasionados por sismo se multiplica por el factor de comportamiento sísmico (Q) empleado al reducir las fuerzas sísmicas. Así como las columnas de edificios regulares rigidizadas por marcos desplazados lateralmente, muros o combinación de ambos. Columnas de marcos rígidos de uno o dos niveles aunque no tengan contraventeos o muros. *Pueden emplearse valores menores si se justifica con un análisis adecuado c) Miembros en los que no puede despreciarse los efectos de esbeltez debidos a desplazamientos lineales en sus extremos: Los efectos de esbeltez no pueden despreciarse en columnas de marcos rígidos que pertenecen a estructuras regulares, como los desplazamientos laterales del entrepiso correspondiente, exceden del límite establecido en b). Tal es el caso de columnas en edificios cuya estabilidad lateral depende exclusivamente de la rigidez a la flexión de columnas y vigas unidas entre sí por medio de conexiones rígidas. El factor k > 1.0 debe determinarse analíticamente, ya sea: 1° A través del cálculo de los índices de rotación (Yi) de los extremos del miembro en cuestión, y obteniendo del nomograma de factores de longitud efectiva su valor.

Donde: n = número de columnas que llegan al nodo del miembro en cuestión (incluyendo el miembro analizado). i = Extremo considerado (solo se consideran los elementos contenido en un plano de análisis). m= número de trabes que llegan al nodo del miembro en cuestión. 2° A través de un análisis de interacción: flexión-carga axial de toda la estructura considerando el sistema de cargas aplicado.

Relación de esbeltez máximo: Para miembros en compresión kL/r <= 200 Para miembros en tensión pueden tener cualquier valor, pero se recomienda: • Miembros principales kUr <= 240 • Miembros secundarios kUr <= 300 Para el caso de varillas (a tensión) puede tener cualquier valor pero se deben pretensionar. 3.13. ESFUERZOS RESIDUALES Esfuerzos residuales son esfuerzos que permanecen en un miembro después de que se ha convertido en un producto terminado. Tales tensiones son el resultado de deformaciones plásticas, cosa que en el acero puede provenir de varias fuentes tales como: 1) Enfriamiento desigual, lo cual ocurre después del proceso de calentamiento de perfiles estructurales; 2) Doblado en frio o combadura durante la fabricación; 3) Perforación de agujeros y realización de corte durante la fabricación; y 4) Soldadura. Bajo condiciones normales esos esfuerzos residuales resultan a causa del enfriamiento desigual y por soldadura, son las causas más importantes. Realmente los esfuerzos residuales debido a soldadura son el resultado de un enfriamiento desigual. En vigas I o secciones tipo H, después de la laminación en caliente, las alas, por ser las partes más gruesas, se enfrían más lento que la región del alma. Además, que los extremos de las alas tienen una mayor exposición al aire estas partes tienden a enfriarse más rápido que el área de la unión entre el ala y el alma. En consecuencia, el esfuerzo residual a la compresión existe en los extremos de las alas y en la mitad 3.14. METODOS DE PANDEO DE MIEMBROS EN COMPRESIÓN

Este método es de aplicación muy sencilla, y ha sido adoptada por varias normas, entre ellas la MV103 (Dutheil). Consiste sencillamente en multiplicar la tensión nominal de trabajo de la columna por un coeficiente denominado coeficiente de pandeo ω, superior a la unidad, de tal forma que el producto resultante sea inferior al límite elástico, o la tensión de diseño del material en su caso. Por lo tanto, en el límite antes de producirse el pandeo se debe cumplir: ω.σCR < σU que y que σF es la tensión de fluencia del acero

Recuérdese

COMPARACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES MÉTODOS DE CÁLCULOS DE BARRAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN

3.15. RESISTENCIA DE COLUMNAS DE ACERO AL PANDEO Método LRFD.- La resistencia de diseño para pandeo por flexión en miembros comprimidos en los que sus elementos tienen una relación ancho - espesor menor a r de la Sección 2.5.1 es  c Pn donde: c = 0,85 Pn = Ag Fcr

(a) Para c 1,5 : Fcr0,658 c Fy (b) Para c > 1,5 : Fcr0,877/ c )Fy

Donde: Ag = área total del miembro Fy = esfuerzo de fluencia especificada. E K l r 4.

= módulo de Elasticidad. = factor de longitud efectiva = Longitud lateralmente no arriostrada. = Radio de giro respecto del eje de pandeo.

RESULTADO Y DISCUSIONES Es factible diseñar la estructura en compresión utilizando el anteproyecto arquitectónico y unos pocos indicadores; la importancia de determinar las dimensiones de una estructura radica generalmente en dos aspectos: prever desde el proyecto arquitectónico los espacios adecuados para los elementos estructurales y lograr una valoración preliminar ajustada de las cantidades de obra estructural. FACTORES DE CARGA Y COMBINACION DE CARGA N° FACTOR COMBINACION DE CARGAS LRFD 1 U= 1.4 D 1.2 D + 1.6 L + 0.5 (Lr ó S ó R) 2 U= 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (0.5 L ó 0.8 W) 3 U= 1.2 D + 1.3 W + 0.5 L + 0.5 (Lr ó S ó R) 4 U= 5 U= 1.2 D + 1.0 E + 0.5 L +0.2 S 6 U= 0.9 D ± ( 1.3 W ó 1.0 E)

D= Carga muerta. L= Carga viva. L= Carga viva en azotea. S= Carga de nieve. R= Carga/lluvia/granizo. W= Carga de viento. E= Carga por sismo.

DISEÑO Resistencia requerida. Se permite que el diseño se haga empleando el análisis elástico o plástico, excepto que el diseño para análisis plástico se permite solo para acero con refuerzo de fluencia especificado que no exceda de 450 MPa y cumpliendo lo indicado en la norma. Estados límites. Se debe asegurar que ningún estado límite pertinente sea excedido por la aplicación de las combinaciones de cargas externas. Condiciones de resistencia. Para el método LRFD la resistencia de diseño de cada sistema o componente estructural deberá ser igual o mayor a la resistencia requerida por las cargas factorizadas.para el método ASD los esfuerzos debido a las cargas externas en cada sistema o componente estructural no deberán exceder los esfuerzos admisibles que se presentan

Documentos de diseño.- Los planos Deben mostrar los detalles completos del diseño con secciones y la ubicación relativa de los diferentes elementos y otros. En caso de soldaduras las longitudes de estas deberán ser netas y su nomenclatura deberá ser clara y explícita. REQUISITOS DE DISEÑO. Área total (Ag).- Es la suma de los productos del espesor por el ancho total de cada elemento de sección, medido en un plano perpendicular al eje del miembro Estabilidad.- Se debe proveer a la estructura de una estabilidad de conjunto y para cada uno de sus miembros. Pandeo local:  Clasificación de las secciones.- Las secciones de acero se clasifican en compactas, no-compactas y esbeltas. Para que una sección clasifique como compacta, sus alas deben estar conectadas en forma continua al alma o almas y las relaciones ancho /espesor de sus elementos en compresión no deben exceder los límites de las relaciones ancho /espesor lp que se presentan en la Tabla 1. Las secciones que no clasifiquen como compactas serán calificadas como no-compactas siempre que las relaciones ancho /espesor de sus elementos en compresión no excedan los límites para secciones no-compactas lr de la Tabla1. Si las relaciones ancho/espesor de algún elemento, sobrepasan los valores lr de la Tabla 1, la sección será clasificada como esbelta en compresión.  Diseño por Análisis Plástico.- El diseño a partir de un análisis plástico está permitido cuando las alas sujetas a compresión que desarrollan rótulas plásticas y todas las almas poseen relaciones ancho espesor menores o iguales a l P de la Tabla 1. LONGITUD EFECTIVA Y LIMITACIONES DE ESBELTEZ Longitud Efectiva.- El factor de longitud efectiva K deberá determinarse de acuerdo al tipo de apoyo. Diseño por Análisis Plástico.- El diseño por análisis plástico, con las limitaciones de la Sección 1.5.1 de la norma E090, es permitido si el parámetro de esbeltez en la columna c no excede 1,5K. Relaciones de esbeltez límite.- Para elementos cuyo diseño se basa en fuerzas de compresión, las relaciones de esbeltez Kl / r no deben exceder, preferentemente, de 200. RESISTENCIA DE DISEÑO EN COMPRESIÓN PARA PANDEO POR FLEXIÓN. Método LRFD.- La resistencia de diseño para pandeo por flexión en miembros comprimidos en los que sus elementos tienen una relación ancho - espesor menor a r de la Sección 2.5.1 es  c Pn donde:

c = 0,85

Pn = Ag Fcr (a) Para c 1,5 : Fcr0,658 c Fy (b) Para c > 1,5 : Fcr0,877/ c )Fy

Donde: Ag = área total del miembro Fy = esfuerzo de fluencia especificada. E K l r 5.

= módulo de Elasticidad. = factor de longitud efectiva = Longitud lateralmente no arriostrada. =Radio de giro respecto del eje de pandeo.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

 Se recomienda diseñar las columnas solicitadas por compresión según el código AISC 360-05 ya que este código nos da resultados más hacederos.  La resistencia nominal en compresión de una columna se encuentra controlada por el estado límite de pandeo global.  Las columnas uno de los elementos principales en una estructura se debe tener mucho cuidado en el análisis y diseño de estos elementos que trabajan a compresión y flexo compresión.

6.

BIBLIOGRAFÍA 1. Mc Cormac, J. (1991), Diseño de Estructuras de Acero, Método LRFD. New York: Harper & Row. Cap 5, 6 y 7 2. Sencico, Norma técnica de edificación E020 Cargas (1985) Junio. Reglamento Nacional de Edificaciones. Ministerio de Vivienda, Constricción y Saneamiento. 3. Sencico, Norma técnica de edificación E030 Diseño Sismorresistente (2003) Abril. Reglamento Nacional de Edificaciones. Ministerio de Vivienda, Constricción y Saneamiento. 4. Donayre, J. (2007). Diseño de un Edificio de Departamentos. Tesis para optar el Título de Ingeniero Civil, Pontificia Universidad Católica del Perú. 5. http://www.academia.edu/8799940/DISENO_DE_ELEMENTOS_A_COMPRESIO N_COLUMNAS_UCSM_ACERO_Y_MADERA_03_01_2014 6. https://www.construmatica.com/construpedia/C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_ Acero:_Caso_de_Esfuerzos_Axiales_(Columnas) 7. http://www.academia.edu/10367517/Resistencia_de_Materiales_Aplicada_Robert_ Mott_3ra_Edicion 8. https://slideplayer.es/slide/1689233/ 9. https://es.calameo.com/read/003707538c9850952fc53 10. https://es.slideshare.net/HeliHernan/elementos-en-compresin 11. http://scholar.google.es/ 12. https://books.google.es/books?hl=es&lr=&id=Gr3Ga9__NB4C&oi=fnd&pg=PA1&d q=dise%C3%B1o+de+elementos+a+compresion+en+acero&ots=0FHzYyQNTu&sig =OBYBq6Ozw7ZL2Y_QBrUod6nly1g#v=onepage&q=dise%C3%B1o%20de%20el ementos%20a%20compresion%20en%20acero&f=false 13.

Tabla 1 RELACIONES LÍMITE ANCHO/ESPESOR PARA ELEMENTOS EN COMPRESIÓN ( Fy en MPa)

Fuente: Jack C. Mc Cormac.