Trab De Est Geral

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS DEPARTAMANTO DE CIÊNCIAS FUNDAMENTAIS E SOCIAIS

Trabalho de Estatística Geral

Aluno: Márcio Francisco da Silva.

Areia – PB Agosto 2008

PROBABILIDADES Probabilidade é um número entre 0 e 1 utilizado para exprimir o grau de certeza acerca da ocorrência de um evento associado a um experimento aleatório. Teorema da soma Suponhamos uma urna com 5 bolas brancas 3 vermelhas e 2 azuis. Uma pessoa tira duas bolas, e ganha se elas forem vermelhas e ou azuis. Isso, porem, nem sempre acontece. Por exemplo, jogando-se com dois dados, uma pessoa ganha se tirar 6. Neste caso pode acontecer que o 6 de um dos dados saia com número diferente do outro, ou 6 pode ocorrer ao mesmo tempo nos dois dados. Então dizemos que os acontecimentos não são mutuamente exclusivos. A fim de explicar estes casos pelo conceito da probabilidade como medida de um conjunto, precisamos considerar algumas propriedades a eles relativas. Quando temos dois conjuntos A e B, podemos formar novo conjunto definidos por A + B. O sinal + indica a soma ou união dos dois conjuntos, que é um novo conjunto formado por todos os outros pontos dos conjuntos A e B.

Teorema do produto Suponhamos que fazemos duas tiradas de uma bola de uma urna e que queremos tirar 1 bola vermelha na primeira e uma bola vermelha na segunda. A conjunção e indica sem, pré uma ocorrência de produto de probabilidades. Esta é a probabilidade de realizar um acontecimento B, desde que um acontecimento anterior A tenha ocorrido. Representaremos esta probabilidade pelo símbolo P(B | A), que lê: probabilidade de B dada A. Desde que B deve necessariamente ocorrer, o conjunto B pode ser considerado um espaço amostral restrito para este caso. E o evento a considerar não é todo o conjunto A, mas apenas os elementos de A que também estão em B, isto é, A B. Então a probabilidade é calculada por: P(A | B) = (número de elementos em A

B) / (número de elementos em

B). P(A | B) = P(A B) P(B) Ex. 01: seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o espaço amostral do lançamento de um dado ideal. Consideram-se os eventos: • resultado 3, 4 ou 6: A = {3, 4, 6}. Portanto, P(A) = 3/6 = 1/2. • resultado par:

B = {2, 4, 6}. Portanto, P(B) = 3/6 = 1/2.

A interseção é A B = {4, 6}. Portanto, P(A

B) = 2/6 = 1/3.

E a probabilidade de resultado 3, 4 ou 6 dado que é par é calculada por P(A | B) = (1/3) / (1/2) = 2/3. Pode-se concluir que, se o evento A não depende do evento B, a probabilidade de A condicionada à ocorrência de B deve ser igual à probabilidade de A, ou seja, P(A | B) = P(A

B) / P(B) = P(A).

Eventos dependentes

Eventos independentes Se A e B são eventos independentes, P(A

B) = P(A) P(B).

No ex. 01 anterior, P(A B) = 1/3 ≠ P(A) P(B) = 1/4. Portanto, os eventos não são independentes. Ex. 02: duas moedas ideais são jogadas. Verificar se os eventos cara na primeira e cara na segunda são independentes. Supondo c cara e r coroa, o espaço amostral é S = {cc, cr, rc, rr}. Se A é o evento cara na primeira, A = {cc, cr} e P(A) = 1/2. Se B é o evento cara na segunda, B = {cc, rc} e P(B) = 1/2. A interseção de ambos é A B = {cc } e a probabilidade é P(A B) = 1/4. Então, P(A B) = 1/4 = P(A) P(B). E os eventos A e B são independentes (isso pode ser deduzido fisicamente porque o resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra). Ex.03: em um baralho comum de 52 cartas, verificar se os eventos retirar um ás e retirar uma carta de ouro são independentes. O espaço amostral S é formado pelas 52 cartas, cada uma com probabilidade 1/52. Considerando A = retirar um ás, P(A) = 4/52 = 1/13. Considerando B = retirar uma carta de ouro, P(B) = 13/52 = 1/4. A interseção é retirar um ás de ouro e, portanto, P(A B) = 1/52. Calculando o produto, P(A) P(B) = (1/13) (1/4) = 1/52 = P(A eventos são independentes.

B). Portanto, os

DISTRIBIÇÕES DE PROBABILIDADES Variedade aleatória contínua

Variedade aleatória discreta Consideremos a seguinte função: Ex.

A função anterior é uma função densidade de probabilidade de uma variável X, pois satisfaz as condições enunciadas anteriormente no que diz respeito à sua representação gráfica. Para calcular a probabilidade P(1<X<3), não temos mais que calcular a área do retângulo a sombreado, como se apresenta a seguir:

Nota - Chamamos a atenção para o fato de termos um modelo contínuo e como tal a probabilidade de a variável assumir valores em pontos isolados é igual a 0. Assim, quando se pretende calcular a probabilidade de a variável assumir valores num dado intervalo, não interessa se o intervalo é aberto ou fechado, já que o valor para a probabilidade é igual. IV.3 - MODELOS DE PROBABILIDADE CONTÍNUOS IV.3.1 - Alguns modelos de probabilidade discretos Ao estudar os modelos de probabilidade discretos, dissemos que o suporte desses modelos, ou seja os valores que a variável aleatória, que identificamos com o modelo, assume, podem ser em número finito, ou infinito numerável. Um exemplo de um modelo discreto, em que o suporte é finito é o modelo Binomial, enquanto que no modelo Geométrico, o suporte é infinito (numerável). No entanto, se pretendermos modelar situações em que os nossos dados digam respeito a variáveis que possam assumir qualquer valor de um determinado intervalo, como por exemplo o peso, a altura, etc, já necessitamos de adoptar um modelo de probabilidade, que possa ser descrito por uma função real, de variável real, que tenha por domínio o intervalo onde consideramos que a probabilidade deverá ser não

nula (Graça Martins et al, 2001). Esta função chama-se função densidade de probabilidade, e deverá ter um gráfico que satisfaça determinadas condições, nomeadamente: • nunca deve passar abaixo do eixo dos xx; a área total compreendida entre o gráfico e o eixo dos xx, deve ser igual a 1, calculando-se a probabilidade da variável assumir valores num certo intervalo [a, b], através da área •

compreendida entre o gráfico da função, o eixo dos xx, e as rectas x=a e x=b. [ ver exemplo ]

IV.3.3 - Modelo Normal IV.3.3.1 - Introdução O modelo Normal é um dos modelos mais utilizados em Estatística, devendo a sua relevância a um dos teoremas mais importantes da teoria da Probabilidade – o Teorema Limite Central. Efectivamente, este teorema é a base de técnicas de inferência estatística largamente utilizadas, ao descrever as distribuições de amostragem, para a média e a proporção, como sendo aproximadamente normais sempre que uma experiência aleatória é replicada, a variável que dá a média dos resultados obtidos no caso de uma variável quantitativa, ou a frequência relativa com que se verifica determinada propriedade no caso de variáveis quantitativas, nas diferentes réplicas, pode ser “bem” modelada pelo modelo Normal, para um número de réplicas razoavelmente grande. O Teorema do Limite Central (TLC) pode ser enunciado brevemente da seguinte forma: Qualquer característica aleatória que possa ser encarada como uma soma ou uma média de muitas outras características aleatórias independentes, com variância finita, tem uma distribuição que se aproxima da distribuição Normal. Essa aproximação é tanto melhor quanto maior for o número de parcelas consideradas para a soma. Muitas características de interesse ligadas a fenómenos naturais (altura de um indivíduo, perímetro do tronco de uma árvore, peso de um certo tipo de fruto, etc) podem ser encaradas como resultantes do contributo (de forma aditiva) de muitas variáveis. O TLC justifica a utilização do modelo Normal na modelação deste tipo de grandezas (Graça Martins et al, 2001).

Probabilidade - 11. Probabilidade condicional e independência Pág. 41 de 47

O conceito de probabilidade condicional tem a ver com o facto de, por vezes, quando pretendemos calcular a probabilidade de determinados acontecimentos, já dispormos de alguma informação sobre o resultado da experiência. Esta informação faz com que, em vez de estarmos a trabalhar no espaço de resultados S, associado à experiência, se passe a trabalhar

num

espaço

mais

restrito

S’

de

S.

Exemplo - Considere a experiência aleatória que consiste em lançar três moedas equilibradas. Representando por F a saída de face e por C a saída de coroa, o espaço de resultados é constituído pelos resultados apresentados no seguinte esquema: Seja A o acontecimento "saída de 2 faces". Então,

como

constituído

o por

espaço

de

resultados

resultados

prováveis,

é

igualmente

P(A)=3/8.

Suponha agora, que dispõe da informação de que no último lançamento saíu face. Qual a probabilidade do acontecimento A? Na figura ao lado apresentamos o espaço de resultados condicional S’ e o acontecimento A. Então, condicional a que no último lançamento saíu face, vem que P(A) = 2/4, ou seja, 1/2.Repare-se que esta probabilidade não é mais do que a frequência relativa de A, condicional ao espaço de resultados S’ e

podemos

escrever

Para distinguir esta probabilidade, da não condicional,

utilizamos

a

notação

Bibliografias GOMES, Frederico Pimentel. Probabilidade. In: _______.Iniciação á Estatística. 6°ed. São Paulo: Nobel, 1978. Cap.2, P.31 - 53. MEYEER, P. L. Variáveis Aleatórias Unidimensionais. In: _______. Probabilidade Aplicada Estatística. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. 1973. Cap.4, P. 56 – 73. SPIEGEL, Murray Ralph. Teoria Elementar da Probabilidade. In: _______. Estatística: resumo da teoria, 875 problemas resolvidos, 619 problemas propostos. São Paulo: Mc Graw – Hill do Brasil, 1977. Cap. 6, P. 160 – 199. Disponível em: http://www.mspc.eng.br/matm/prob_e. Acesso em: 19/08/08.