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Práctica 7 - Aplicaciones de la derivada 1. Se sabe que f : R → R es derivable en todo su dominio y que su derivada se anula en -1, -1/2, 0 y 3/2. Además se tiene que • C+ ( f 0 ) = {x ∈ R : f 0 (x) > 0} = (−∞, −1) ∪ (0, 3/2), • C− ( f 0 ) = {x ∈ R : f 0 (x) < 0} = (−1, −1/2) ∪ (−1/2, 0) ∪ (3/2, +∞). Encuentre los máximos y los mínimos locales de f . 2.

(a) Trace el gráfico de una función f que satisfaga simultáneamente las siguientes condiciones i. ii. iii. iv.

Dom( f ) = R − {0}. f 0 (x) > 0 en (−2, 0) ∪ (2, +∞). f 0 (x) < 0 en (−∞, −2) ∪ (0, 2). f 0 (x) = 0 en x = 2 y en x = −2.

(b) Decida en qué puntos f alcanza extremos relativos, y decida si son máximos o mínimos. 3.

(a) Trace el gráfico de una función f que satisfaga simultáneamente las siguientes condiciones i. ii. iii. iv. v.

f 0 (x) > 0 en el intervalo (3, 8). f 0 (x) < 0 en (−∞, 1) ∪ (1, 3) ∪ (8, +∞). f 0 (3) = f 0 (8) = 0. f continua en x = 1 y no derivable en x = 1. La recta y = −4 es asíntota horizontal en +∞; la recta y = 2 es asíntota horizontal en −∞.

(b) Decida en qué puntos f alcanza extremos relativos, y decida si son máximos o mínimos. 4. Halle todos los puntos críticos de las siguientes funciones y determine cuáles de ellos son extremos relativos. a) f (x) =

x5 5

− 43 x3 + 2 b) f (x) = x ln(x) c) f (x) = x +

1 x

d) f (x) = x2/3 (1 − x)

5. Se tiene una función f : (a, b) → R derivable tal que f 0 (x) ≥ −3 para todo x ∈ (a, b). Probar que g(x) = f (x) + 4x es estrictamente creciente. 6. Se tiene una función f : (1, 5) → R derivable tal que f 0 (x)x ≥ 1 para todo x ∈ (1, 5). Probar que f es inyectiva. 7. Se tiene una función f : (−7, −1) → R derivable tal que f 0 (x)x ≤ −1 para todo x ∈ (−7, −1). Probar que f es inyectiva. ¡ ¢ 8. Se tiene una función f derivable en R tal que f 0 (x) > 0 ∀x ∈ R y f (2) = −1. Sea g(x) = f e f (x) f (x) . (a) Calcular g0 (x). (b) Calcular C0 (g0 ). (c) Estudiar el crecimiento de g. 9. Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones. µ ¶ √ 2x − 7 ln(x2 ) a) f (x) = exp b) f (x) = −x4 − 18x2 + 20 c) f (x) = 3 x − 2 d) f (x) = x + x−3 x 10. Trazar en cada inciso el gráfico de una función y = f (x) con las propiedades enunciadas. (a) f (2) = 4, f 0 (2) = 0, f 00 (x) < 0 para todo x. (b) f (2) = 4, f 0 (2) = 1, f 00 (x) < 0 si x < 2 y f 00 (x) > 0 si x > 2.

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(c) f (2) = 4, f 00 (x) > 0 para x > 2, f 00 (x) < 0 para x < 2, lim+ f 0 (x) = −∞, lim− f 0 (x) = −∞. lim f (x) = x→2

+∞, f 0 (x) > 0 si x > 3 y f es decreciente en (−∞, 3).

x→−∞

x→2

11. Para cada una de las siguientes funciones, haga un estudio completo, es decir, estudie: i. Dominio y continuidad. ii. Asíntotas. iii. Derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento. iv. Máximos y mínimos locales. v. Curvatura y puntos de inflexión. Sobre la base de todos estos datos, haga un gráfico aproximado de f . x2 + 3 x+1

a) f (x) = x e−x

b) f (x) =

£ ¤2 d) f (x) = ln(x2 ) 3

x2 e) f (x) = √ x+1

 2 x +3    x+1 c) f (x) =    x e−x x f) f (x) = ln(x)

si x < −1 si x ≥ −1

12. El siguiente es el gráfico de la derivada de una función f (no es el gráfico de f ) definida en R.

Analizándolo, conteste las siguientes preguntas: (a) ¿Cuáles son los puntos críticos de la función f ? Clasificarlos. (b) ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento? (c) ¿Cuáles son los puntos de inflexión? ¿Y los intervalos de convexidad y concavidad? (d) ¿Existen f 0 (1) y f 0 (11)? ¿Existen f 00 (1) y f 00 (11)? (e) Si f (7) = 4, ¿Cuánto vale f (9)? (f) Haga una gráfica aproximada de la función f con los datos obtenidos en los ítems anteriores. 13. Sea f (x) = 3x − 2 + cos(x) (a) Muestre que f tiene al menos una raíz. (b) Muestre que f es estrictamente creciente en R. ¿Cuántas raíces tiene f ? 14. Sea h(x) = arctan(x) + x3 + x (a) Muestre que h es estrictamente creciente. ¿Tiene inversa h? (b) Verifique que h(0) = 0. ¿Cuántos ceros tiene h? ³ −1 ´0 (0). (c) Calcule, si es posible, h

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15. Considere las siguientes funciones. a) f (x) = xx

1

2

1

b) f (x) = x x −

e) f (x) = (x2 + 1)

1 x2

1

d) f (x) = (x2 + 8) x−3

c) f (x) = x x−1 1

f ) h(x) = x− 3 ln(x)

2

g) f (x) = e−10x (5x + 2)

h) f (x) = ex/3 x1/3

Para cada una de ellas, calcule su dominio y asíntotas, y estudie su crecimiento. Con estos datos encuentre el conjunto Im( f ). 16. Determine los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: a) f (x) = x2 en [−3, 1] b) f (x) = sen(2x) en [0, 56 π] 2/3 c) f (x) = x (5 − 2x) en [−1, 2] d) f (x) = x3 − 3x en [−2, 3] 17. Decida si las siguientes funciones tienen extremos absolutos y halle su imagen. 2

(a) f : (0, 2] → R, f (x) = [ln(x2 )] 3 ; 2

x (b) f : [− 23 , 1] → R, f (x) = ln( x+1 ); √ (c) f : [−1, 2] → R, f (x) = 4 2 + 2x2 − x2 ; ¯ ¯ ¯ ln(x + 5) ¯ ¯, (d) f (x) = ¯¯ ¯ x 1

(e) f : (0, +∞) → R, f (x) = x x . 18. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando la respuesta. (a) Si f : [a, b] → R tiene extremos absolutos entonces f es acotada en [a, b]. (b) Si f es acotada en [a, b] entonces f tiene extremos absolutos en [a, b]. (c) Si f 0 (x) ≤ −ex ∀x ∈ R entonces f (4) < f (8). (d) Si f es estrictamente monótona en R entonces Im( f ) = R. (e) Si f 0 (x) = x2 − 1 para todo x ∈ R entonces f tiene dos extremos relativos. (f) Si f 00 (x0 ) = 0 entonces x0 es un punto de inflexión de f . (g) Si f 00 (x) > x2 + 4 en [a, b] entonces

f 0 (b) − f 0 (a) > 0. b−a

Ejercicios adicionales 19. Sea h(x) =

x e−x 4x + 9

(a) Halle las asíntotas de h (b) Encuentre los máximos y mínimos relativos de h. ¿Tiene h algún extremo absoluto? 20. Si f (x) = 12 + x ln(x2 ) (a) Estudie las asíntotas y el crecimiento de f . (b) Usando lo hallado en el item anterior, decida cuantas soluciones tiene la ecuación f (x) = 0. O sea, ¿cuántas raíces tiene f ? 21. Sea h(x) = −2x2 + 2x − ln(x) (a) Calcule lim+ h(x) y x→0

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lim h(x). ¿Cuál es la imagen de h?

x→+∞

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(b) Muestre que h es estrictamente decreciente en su dominio. ¿Tiene inversa h? ³ −1 ´0 (c) Calcule, si es posible, h (0) (observe que h(1) = 0). 22. En cada caso realice un estudio completo de f : (a) Dom( f ), continuidad, asíntotas, crecimiento, extremos relativos y curvatura. (b) Con los datos obtenidos hacer un gráfico aproximado de f . a) f (x) = ln(x2/3 ) − x2/3

b) f (x) =

x+1 ln(x + 1)

p 1 c) f (x) = x − x2 + 2 3

d) f (x) = x − ln(e2x + 1)

23. Un cañón situado sobre el borde de un acantilado dispara un proyectil hacia un barco. La altura del proyectil (en metros sobre el nivel del mar) después de t segundos está dada por la ecuación −5t 2 + 50t + 55. (a) ¿Cuál es la altura máxima del proyectil y en cuánto tiempo se alcanza? (b) ¿Cuánto tiempo tiene el barco para desviar su trayectoria si logra ver el fogonazo del cañón? 24. Por el punto (2, 1) pasan rectas que determinan triángulos al cortarse con los semiejes positivos. Entre estas rectas, halle la que genera un triángulo de área mínima. 25. Un bañista que se encuentra nadando a 60m de una costa recta pide auxilio al guardavidas que se encuentra en la orilla a 100m del bañista. El guardavidas en tierra corre a una velocidad de 3,1 metros por segundo y en el agua nada a 1,1 metros por segundo. ¿En qué punto de la playa le conviene arrojarse al agua para llegar al bañista en el menor tiempo posible? ¿Y si corre por la costa hasta quedar frente al bañista? 26. La lata de una gaseosa tiene una capacidad de 354cm3 . Si el costo del material de la tapa es el doble que el del resto de la lata, ¿cómo deben ser las dimensiones de la lata para que el costo sea mínimo? (Suponga que la lata es un cilindro). 27. Se dispone de un alambre de 1 metro de largo para construir un cuadrado y un aro. ¿Dónde se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea a) máxima? ; b) mínima? 28. La empresa TV CABLE Co. tiene en estos momentos 3500 suscriptores que pagan una cuota mensual de $8. Una encuesta revela que habrá 50 suscriptores más por cada $0,10 que se disminuyan en la cuota. ¿A qué tarifa se lograrán ingresos máximos y cuántos suscriptores habrá en ese nivel?

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