Tp6

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Práctica 6 - Derivadas 1. Dados los gráficos de las siguientes funciones, decida en cada caso (si corresponde) si son derivables o no en x = x0 :

2. Para las funciones dadas: i. y = 2x − 7 en P = (2, −3) ;

ii. y = x2 en P = (2, 4);

iii. y = (x + 2)1/2 en P = (2, 2).

a) Halle las pendientes de las rectas tangentes a las gráficas de las curvas en los puntos que se indican (utilizando la definición de derivada). b) Halle la ecuación de la recta tangente. c) Grafique las curvas y las rectas tangentes. d) Estime el valor de las funciones en 2 + 1/10 utilizando la recta tangente (¡y no la calculadora!). 3.

a) Dada la función f (x) =| x | +x, grafique y calcule f 0 (1) y f 0 (−2) usando la definición. b) ¿Existe f 0 (0)? ¿Qué ocurre con el límite del cociente incremental? Explique. c) Dada la función g(x) = x | x |, grafique y calcule g 0 (1) y g 0 (−2). d) ¿Existe g 0 (0)?

4. Dadas las siguientes funciones f , g, h : R → R ½ 0 si x < 0 f (x) =| x |, g(x) = , x si x ≥ 0

½ h(x) =

x2 si x ≤ 0 . 0 si x > 0

a) Pruebe que las tres funciones son continuas en x0 = 0. b) Grafique cada una por separado. c) Pruebe que f y g no son derivables en x0 = 0. d) Estudie la derivabilidad de h en x0 = 0. ½ 2 3x − 3x si x ≥ 1 5. Dada la función f (x) = 2 si x < 1 ¿Es f derivable en x0 = 1? ¿y en x0 = 0? Justifique.

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6. Calcule f 0 (x) para cada una de las siguientes funciones, utilizando las reglas generales de derivación: a) f (x) = x5 − 4x3 + 2x − 3 b) f (x) = x(3 + x2 ) + ln 2 c) f (x) = 7 cos x + 5 sen x + xex d) f (x) =

x−1 x

− sen x

f) f (x) =

2 + cos x 3 + sen x

h) f (x) =

1 1 1 −√ +√ 3 x x x

i) f (x) =

sen x + cos x x ln x

k) f (x) =

1 + 2 ln x x3

e) f (x) =

g) f (x) = x2 ln x −

x3 + eπ 3

j) f (x) = ex cos x + ln 3

1 x2 + 1

7. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes al gráfico de cada una de las siguientes funciones, en los puntos cuyas abcisas se indican: a) f (x) = 3x2 − 1, en x0 = 1 b) f (x) = sen x, en x0 = π/2 d) f (x) = ln x, en x0 = 1

c) f (x) =

x−1 , en x0 = 2 x+5

e) f (x) = ex (x + ln x), en x0 = 1

8. Determine en qué punto de la curva y = ln x la recta tangente es paralela a la recta L que une los puntos (1, 0) y (e, 1). x+1 9. Dada f (x) = , ¿en qué puntos la recta tangente a f es paralela a y = −2x + 1? Para esos puntos halle 2x la recta tangente. 10. Utilice la ecuación de la recta tangente a f (x) = x2/3 en x0 = 1 para obtener un valor aproximado de (1, 1)2/3 . Compare con el valor dado por la calculadora. 11. Utilice la ecuación de la recta tangente a f (x) = ln(x) en x0 = 1 para obtener un valor aproximado de ln(0, 9). Compare con el valor dado por la calculadora. 12. Halle a y b de manera que f resulte derivable en R, ½ (a) f (x) =

( ax + b si x < 1 3x2 + x − 1 si x ≥ 1

(b) f (x) =

x si x < 2 x−3 ax + b si x ≥ 2

13. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando la respuesta. a) Si la recta de ecuación y = −2x +3 es la recta tangente al gráfico de una función f en x = 1 entonces f (1) = 2 y f 0 (1) = −2. f (x) − 8 = f 0 (2), entonces l´ım f (x) − 7 = 1. b) Si f es derivable en x = 2 y l´ım x→2 x − 2 x→2 c) Sean f , g, h : R → R funciones tales que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ R, f (2) = h(2) y f 0 (2) = h0 (2) = a entonces g0 (2) = a. d) Si f es derivable en un intervalo I y C0 ( f ) = 0/ entonces f (x) > 0 para todo x ∈ I. e) Si g0 (0) = 5 entonces l´ım g(x) x = 5. x→0

f ) Si

f 0 (2)

=

g0 (2)

entonces f y g poseen la misma recta tangente (al gráfico de f y g) en x = 2.

g) La función h(x) = |x2 | es derivable en R − {0}.

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14. Calcule f 0 (x) para cada una de las siguientes funciones, aplicando la Regla de la cadena: a) f (x) = (1 + x)129

b) f (x) = cos(3x)

d) f (x) = 3 sen4 x

e) f (x) =

√ 2x3 + x

c) f (x) = ln(sen x)

p √ sen( x)

f) f (x) = (4x2 + 5) sen(3x3 − 1)

h) sen( 2x + 1)

i) f (x) = ln(x4 )

j) f (x) = ln4 (x)

k) f (x) = 3 sen(x4 )

l) f (x) =

m) f (x) = e3x+1

n) f (x) = e−x

o) f (x) = ex

p) f (x) = ln(sen(x2 ))

q) f (x) = ln(ex + sen(5x))

r) f (x) = ln

s) f (x) = 3 sen5 (x3 )

t) f (x) =

g) f (x) =

ex − e−x 2

√ 3 sen x 3 +x

¡ x−1 ¢ x+1

√ u) f (x) = x 1 − x

15. Calcule las siguientes derivadas: a) f (x) = 3x d) f (x) =

b) f (x) = (sen3 x)ln x

c) f (x) = (cos x)e

x

p √ 2 x x e) f (x) = 2sen x + sen(3x) f) f (x) = (sen x)x + πex

16. Sea f (x) = 2x3 y sea g : R → R otra función de la que sólo sabemos que g0 (2) = 4. Con estos datos calcule la derivada de (g ◦ f ) en el punto x0 = 1. 17. Sean f (x) = ln(x2 − 4) y g(x) = x−28 Halle todos los x0 ∈ R para los cuales las rectas tangentes a los x+2 . gráficos de f y g en x = x0 son paralelas. 18. Dada f (x) = x11 + x9 + 2x3 + 2x + 5, calcule ( f −1 )0 (5). 19. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: (a) f (x) = arc sen x (b) f (x) = arc cos x (c) f (x) = arctan x 20. Sea f (x) = x1/3 . a) Halle el dominio de f y realice un gráfico. b) Analice la continuidad y derivabilidad en x0 = 0. c) Halle la función f 0 (x) y calcule su dominio. ¿Cuánto vale f 0 (−8) ? 21. Estudie la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: ½ a) f (x) = ½ c) f (x) =

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1−x si x ≤ 0 2 x − x + 1 si x > 0 x sen(1/x) si x 6= 0 0 si x = 0

    b) f (x) =

3−x2 2

 1   x

si x ≤ 1 si x > 1

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22. Sea f : R → R definida por · ¸  ln(x/5) 1 2   si x > 0  x cos 5 5x f (x) =    2 x + 5x si x ≤ 0 a) Analice la derivabilidad de f en x0 = 0. b) Halle la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en x0 = 5.  √ si x > 1   x−1 23. Sea f (x) =   − 1 + 1 si x ≤ 1 2x 2 a) Halle el dominio de f . b) ¿En qué puntos resulta f continua? c) ¿Es f derivable en x0 = 1? d) Determine f 0 (x) para todo x. ¿Qué pasa en x = 0? e) Halle si existe f 00 (1). 24. Calcule las derivadas segunda y tercera de cada una de las siguientes funciones: a)

f (x) = 3x3 + 5x − 1

b)

f (x) = (x2 + 1)5

c)

f (x) = ln(7x)

d)

f (x) = sen(4x)

Teoremas del valor medio y aplicaciones 25.

a) Pruebe que la función f (x) = x3 − 9x2 + 20x − 12 satisface las hipótesis del teorema de Rolle en [0, 4] y halle algún c de la tesis. b) Pruebe que la función f (x) = ln(x) satisface las hipótesis del teorema de Lagrange en [1,e] y halle algún c de la tesis.

26.

a) Dada f (x) = x2/3 − 1. Muestre que f (1) = f (−1) = 0, pero que f 0 no se anula en (-1,1). ¿Qué hipótesis del Teorema de Rolle no se verifica? x b) Sea f (x) = x−1 . Muestre que f (0) = 0, f (2) = 2, y que no existe c ∈ (0, 2) en el cual f 0 (c) = 1. ¿Qué hipótesis del Teorema de Lagrange no se verifica?

27. Decida si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados justificando adecuadamente cada respuesta. (En caso de falsedad exhiba un contraejemplo). a) Sea f : [0, 4] → R continua en [0,4], derivable en (0,4) con f (0) = f (4) entonces existe un único c ∈ (0, 4) tal que f 0 (c) = 0. b) Dadas f , g : [a, b] → R tales que f 0 (x) = g0 (x) para todo x ∈ (a, b), entonces f (x) = g(x) para todo x ∈ (a, b). c) f (a) = f (b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0. local de f . d) Si f 0 (x) > 0 para todo x ∈ R, entonces dados dos números a y b con a < b se verifica que f (a) < f (b). 28. Dada la función f (x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3), demuestre que la ecuación f 0 (x) = 0 tiene exactamente tres raices reales.

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29. Sean f : R → (0, +∞), g : R → R dos funciones derivables. Consideremos H : R → R dada por la fórmula H(x) = g(x) ln( f (x)). a) Si la recta tangente al gráfico de f en el punto (3, 1) es horizontal, probar que la recta tangente al gráfico de H en el punto (3, 0) también es horizontal. b) Si además f (−2) = 1, probar que la ecuación H 0 (x) = 0 tiene al menos una solución en el intervalo (−2, 3). 30. Calcule los siguientes límites: c) l´ım

f) l´ım

ln(x4 + 1) x→+∞ x3

g) l´ım

√ x − ln(x)

h) l´ım (1 − x) tan

j) l´ım+ x2 e1/x

k) l´ım−

e1/x x

l) l´ım+ xx

b) l´ım

1 x − x→1 ln x ln x

x3 x→+∞ 3x

e) l´ım

i) l´ım

ex + sen x − 1 x→0 ln(1 + x)

tan x − x x→0 x − sen x

1 − cos x x→0 x2

a) l´ım

x→0

x→+∞

x→0

ln x x→+∞ x

d) l´ım

x→1

³ πx ´ 2

x→0

x2 sen(1/x) . x→0 sen x Si la respuesta fuera afirmativa, aplique la regla y calcule el límite. Si la respuesta fuera negativa, explique por qué no se puede aplicar la regla y calcule el límite por otros medios.

31. ¿Es aplicable la Regla de L’Hôpital para calcular el siguiente límite? l´ım

32. Sea g(x) =

 x sen(x2 )   

si x ≥ 0

x2 3 3 + ex +2x

si x < 0

  

a) Halle g 0 (x) para todo x 6= 0.

b) Halle, si existe, la ecuación de la recta tangente al gráfico de g en x = 0. 33. Calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de las siguientes funciones: a) f (x) =

7x + 2 3x − 2

e) f (x) = e−2x

b) f (x) = ln(5x − 3) f) f (x) =

c) f (x) =

x2 − 2x + 1 x+3

1 √ x − ln(x) g) f (x) = (1 + 3x) x

d) f (x) =

√ x2 + 1

h) f (x) =

√ 2x2 − 3x − 7 5 x ex + x+1

34. Encuentre los valores de a y b tales que la recta y = 2x + 7 resulte una asíntota oblicua de f (x) = ax3 + bx2 + 1 , para x → −∞. x2 + 5 p 35. Sea f (x) = e−x x2 + 4x2 − 5x + 2. Halle las asíntotas oblicuas de f . 36. Sean f (x) =

sen(x2 ) − x2 + 3 e2x x3

y

1 sen(x2 ) g(x) = 5 e−2x − + x x3

a) Determine todas las asíntotas de f y todas las de g. b) Muestre que 4 ∈ Im( f ) y que 6 ∈ Im(g).

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M ATEMÁTICA I A NUAL  √ 1 + x2 − 1    x2 − x f (x) =    x + ex sen(x)

37. Sea

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si x > 0 si x ≤ 0

a) Estudie y clasifique las discontinuidades de f . b) Halle asíntotas horizontales y oblicuas de f . 38. Sea

    g(x) =

  

1 1 − ln(x) x − 1

si x <1;

xex − x,

si x≥ 1.

a) Halle Dom(g) y analice la derivabilidad de g. b) Analice existencia de asíntotas. c) Demuestre que existe c ∈ (1, +∞) tal que g(c) = 2. 1

39. Sea f (x) = (1 + 3x) x . a) Calcule el dominio de f b) Determine todas las asíntotas de f

Ejercios Adicionales   x e1/x

40. Considere f (x) =



si x < 0

x − sen(x)

si x ≥ 0

  −x2 ln(x)

si x > 0

a) Analice la derivabilidad de f en todo R b) Halle las asíntontas oblicuas de f 41. Considere f (x) =



x4

si x ≤ 0

a) Halle, si es posible, f 0 (0) b) De la expresión de f 0 (x) como función partida 42. Sea f : R → R definida por

  x2 − 13x + 14 si x ≥ 2 x+6 f (x) =  si x < 2 x−3

a) Analice la derivabilidad de f en x = 0. Si existe calcule f 0 (0). b) Analice la derivabilidad de f en x = 2. Si existe calcule f 0 (2).

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M ATEMÁTICA I A NUAL  sen(ln(1 + x))   5x −    x g(x) = √   x2 + 4   √  3 x−2

43. Sea

si x > 0 si x ≤ 0

a) Calcule l´ım g(x) y l´ım g(x) . x→+∞

x→−∞

b) Analice la continuidad de g . c) Calcule la imagen de g . 44. Sea f (x) =

 ln(x)     x−1

si x > 0

 x+1    e −1 x2 − 4

si x ≤ 0

a) Estudie y clasifique las discontinuidades de f . En los puntos donde sea posible, redefina la función para que sea continua. b) Para la función redefinida en a) halle C0 ( f ), C+ ( f ), C− ( f ) c) Halle todas las asíntotas de f . 45. Sea g(x) = a) Halle g 0 (0).

 4x − 4x3  

si x ≥ 0

  1 − cos(4x) 2x

si x < 0

b) Halle la ecuación de la recta tangente al gráfico de g en x = − π4 46. Considere la función f (x) =

cos2 x − ex x

a) Defina f en x0 = 0 para que resulte derivable en R. b) Con el valor hallado, halle la ecuación de la recta tangente a f en x0 = 0. 47. La ley de movimiento de un punto a lo largo de una recta es s(t) = 3t − t 2 (en el instante t = 0 el punto se encuentra en el origen). Halle la velocidad del movimiento del punto para los instantes t = 0, t = 1 y t = 2. 48. La temperatura T de un cuerpo, que inicialmente estaba a 90◦C, se enfría de acuerdo a la ley T (t) = 20 + 70e−0,1t (se está suponiendo que la temperatura ambiente es de 20◦C) donde t es el tiempo en minutos. a) Calcule con qué velocidad se está enfriando el cuerpo a los 5 minutos. b) Muestre que la velocidad de enfriamiento es proporcional a la diferencia entre la temperatura T y la temperatura ambiente. Más precisamente: T 0 (t) = −0, 1(T (t) − 20). c) Muestre que la velocidad de enfriamiento va tendiendo a 0 conforme avanza el tiempo. d) ¿Qué sucede con la temperatura del cuerpo a medida que avanza el tiempo?

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49. Dos móviles se desplazan con trayectoria rectilínea con las siguientes leyes de movimiento (donde t representa el tiempo): 1 1 f (t) = t 3 − 6t + 10, g(t) = t 2 − 4t + 2. 3 2 a) Determine el instante t0 en el cual ambos móviles tienen la misma velocidad. b) Calcule la aceleración de cada uno de los móviles en función del tiempo. 50. La temperatura (medida en grados centígrados) de un pequeño animal sometido a un proceso infeccioso varía en un lapso de 4 horas de acuerdo a la siguiente ley T (t) = 30 + 4t − t 2 , donde T es la temperatura y t es el tiempo medido en horas. a) Sin derivar T (t), demuestre que en algún instante del lapso [0, 4] la velocidad de variación de T fue nula. b) Determine t0 ∈ (0, 4) tal que T 0 (t0 ) = 0.

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