Tp1_ej3d Peine

Transformada de Fourier de una señal “Peine” dada la siguiente señal x(t)

1

-2T

-T

0

T

2T

t

definida como: x(t ) = δ (t − nT )

con n entero

aplicando el desarrollo en SF, la misma podrá ser expresada de la forma: x(t ) =

n =∞

∑ Cn.e

jnω 0t

n =−∞

donde Cn =

1 T /2 − jnω 0.t x(t ).e dt ∫ T −T / 2

en este caso Cn =

1 T /2 1 δ (t ).e − jnω 0.t dt = ∫ T −T / 2 T

entonces x (t ) =

1 ∞ jnω 0t ∑e T n =−∞

desarrollando algunos términos de la serie: x(t ) =

1 − 2 jω 0 t − jω 0 t jω 0t 2 jω 0t  +e +e +e + .. 1 + .. + e T 

x(t ) =

1 [1 + 2 cos( ω0t ) + 2 cos( 2ω0t ) + 2 cos( 3ω0t ) +.... ] T

en forma compacta x(t ) =

1 ∞ jnω 0t 2  1 ∞  e =  + ∑ cos(nω 0t ) ∑ T n = −∞ T  2 n =1 

en forma intuitiva se puede inferir un espectro del tipo

1/T

3ω0

-2ω0

-ω0

0

ω0

luego la TF de x(t) estará dada por X (ω) =

∞

∫ x(t ).e

−∞

− jωt

dt

2ω0

3ω 0

Reemplazando en x(t) por su desarrollo en serie, quedará

X (ω ) =

∞

 1 ∞ jnω 0t  − jω t dt ∫  ∑e .e  − ∞  T n = −∞

y recordando que a)

F {δ (t )} =1

Por lo tanto, recíprocamente por definición de anti TF F −1{1} = δ (t ) =

1 2π

∞

∫e

jωt

dω

−∞

luego ∞

2π .δ (t ) = ∫ e

jωt

dω

−∞

y cambiando variables ∞

2π .δ (ω ) = ∫ e

− jωt

dt

−∞

b) corrimiento en frecuencia ∞

∫e

− jωt

dt = 2π .δ (ω )

−∞ ∞

∫e

−∞

− jωt

.e

jω 0t

dt = 2π .δ (ω − ω 0)

y también ∞

∫e

− jωt − jω 0t .e dt = 2π .δ (ω + ω 0)

−∞

Retomando ahora la TF de x(t) X (ω ) =

∞

 1 ∞ jnω 0t  − jω t dt ∫  ∑e .e  − ∞  T n = −∞

desarrollando la serie ∞ ∞ 1  ∞ − jω t − 3 jω 0t − jω t − 2 jω 0t − jω t X (ω ) =  ∫ .e dt + ∫ e .e dt + ∫ e .e dt + T −∞ −∞ −∞ ∞

+ ∫e −∞

X (ω) =

∞ ∞  jω 0t − jω t 2 jω 0t − jω t 3 jω 0t − jω t .e dt + ∫ e .e dt + ∫ e .e dt + ... −∞ −∞ 

1 { 2π.δ (ω) + 2π.δ (ω + 3ω0) + 2π.δ (ω + 2ω0) + 2π.δ (ω + ω0) + T + 2π.δ (ω −ω0 ) + 2π.δ (ω − 2ω0) + 2π.δ (ω − 3ω0) + ..... }

finalmente X (ω) =

2π T

n =∞

n =∞

n =−∞

n =−∞

∑δ (ω − nω0 ) = ω0

∑δ (ω − nω ) 0

X(ω)

ω0

3ω0

-2ω0

-ω0

0

ω0

2ω0

3ω 0

ω

Una señal “peine temporal” con período T , tendrá un espectro “peine frecuencial” cuya componentes estarán separadas 1/T.