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Asignatura: Control Automático de Procesos

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Trabajo Práctico Nº 1

Departamento de Ingeniería Química

Sistemas de Primer Orden

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN SISTEMAS DINÁMICOS En la figura se observa un recipiente e que tiene una entrada de materia (qe) y una salida (qs). La salida está restringida mediante una válvula. Si se está trabajando en estado estacionario, lo que entra es igual a lo que sale; es decir, que un balance de materia sería:

→

0

El valor cero del segundo miembro significa que no hay acumulación de materia dentro o del tanque; en otras palabras, el nivel de líquido permanece constante. Si en un momento se abre la válvula de salida, el caudal qs va a aumentar; sin embargo, qe se mantendrá constante. Dada esta situación el sistema deja de estar en estado estacionario, estacionar y se comporta en forma dinámica, donde los parámetros parámetro cambian a medida que transcurre el tiempo.

En un sistema dinámico,, el balance de materia se plantea de la siguiente manera: (1) En este caso, la expresión matemática 1 nos dice que la masa dentro del recipiente está cambiando en el tiempo. Esto se debe al desbalance generado entre la materia que entra y la que sale del sistema. Para resolver la ecuación diferencial se expresa la masa en función del nivel del líquido, según la expresión siguiente: .

. .

(2)

Donde se considera que tanto el área como la densidad se mantienen constantes, por lo que la única variable es la altura del líquido. Por otro lado, ell caudal de salida del tanque, depende de la presión hidrostática del líquido dentro del mismo, y ésta depende de la altura del nivel del fluido, según la siguiente ley hidrodinámica: (3) válvula, denominada constante de descarga. descarga Al reemplazar las Donde Cv es una constante característica de la válvula, expresiones 2 y 3 en la ecuación diferencial 1 y despejando, se obtiene el siguiente resultado: 1 . 1 .

1 .

(4) 1 .

(5)

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Las partes constitutivas de la ecuación diferencial 5 son las siguientes: -

-

La función h(t) representa un cambio en una variable operativa del sistema estudiado, constituye la respuesta del sistema a cambios producidos en el funcionamiento del mismo. En este caso es la altura del nivel de líquido, pero podría ser una presión, una temperatura, una humedad, un pH, etc. La función qe(t) representa la causa por la cual cambia el nivel de líquido, es lo que se denomina perturbación. La ecuación diferencial incluye además valores como área, densidad y constante de descarga, que permiten describir el sistema matemáticamente.

Para resolver esta ecuación diferencial, se hará uso de la Transformada de Laplace, que permite resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Por este motivo se deberán linealizar los términos no lineales de la expresión 5, utilizando para ello la serie de Taylor. Para el caso de una sola variable, la serie de Taylor se expresa de la siguiente manera: ⋯

(6)

En el caso de tener varias variables, la serie de Taylor se expresar como: , ,

,

!

,

, !

,

!

, !

,

!

, !

,

⋯

(7)

En la ecuación diferencial 5 se debe linealizar el segundo término del primer miembro, por lo que se utilizará la serie de Taylor indicada en la expresión 6. El resultado se observa a continuación: ≅

$

2

%

(8)

Obsérvese que se ha truncado la serie, utilizando sólo los dos primeros términos de la misma, por este motivo el signo de igualdad se reemplaza por uno de “aproximadamente igual a”. Además el valor h0 hace referencia al valor que adopta el nivel de líquido en el tanque, cuando el proceso está en estado estacionario. Reemplazando la expresión 8 en la ecuación 5, se obtiene la ecuación diferencial linealizada, tal como se ve a continuación, la cual recibe el nombre de ecuación transitoria: $

2

%

1 .

( )

(9)

Para simplificar las expresiones obtenidas al aplicar la Transformada de Laplace, es conveniente eliminar todos los valores constantes correspondientes al estado estacionario, tales como h0. Con objeto de lograr esto, se plantea la ecuación de estado estacionario, haciendo = 0 por lo que ℎ( ) = ℎ . Reemplazando en 9 se obtiene: ℎ

+

ℎ + ℎ

+

2

ℎ

$ℎ − ℎ % =

ℎ =

1 .

1 .

(10)

(11)

Como se mencionó, la ecuación 11 se denomina ecuación de estado estacionario, y se resta miembro a miembro de la ecuación transitoria 9, obteniendo:

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ℎ( )

−

ℎ

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+

ℎ −

ℎ +

2

ℎ

$ℎ( ) − ℎ % =

1 .

( )−

1 .

(12)

Operando y aplicando propiedades se obtiene: $ℎ( ) − ℎ %

+

2

1 $ ( )− .

$ℎ( ) − ℎ % =

ℎ

%

(13)

Obsérvese que todas las variables involucradas en el modelo matemático quedan restadas por los respectivos valores de estado estacionario. Por este motivo se definen nuevas variables denominadas de desviación, tal cual se detalla a continuación: ℎ&( ) = ℎ( ) − ℎ

(14)

( )−

'( ) =

(15)

Reemplazando 14 y 15 en 13, queda: ℎ&( )

+

2

ℎ

ℎ&( ) =

1 '( ) .

(16)

La expresión 16 recibe el nombre de ecuación de estado dinámico y es la que va a ser resuelta aplicando la Transformada de Laplace, obteniendo el siguiente resultado: ( *( ) − ℎ&(0)+ +

2

*( ) =

ℎ

1 , ( ) .

(17)

Según la expresión 14, ℎ&(0) = 0, por lo que lo la ecuación 17 queda: *( ) +

2

1 , ( ) .

*( ) =

ℎ

(18)

Operando *( ) - + *( ) = *( ) =

.

2

ℎ

1

. - +

2 1

2

*( ) =

ℎ 2

-

1 , ( ) .

.=

2

ℎ ℎ

2 ℎ ℎ

+1

.

, ( )

+ 1.

, ( )

, ( )

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(18)

(19)

(20)

(21)

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Se definen la ganancia y la constante de tiempo del sistema de la siguiente manera: /= 0=

2 ℎ

2

(22)

ℎ

(23)

Reemplazando 22 y 23 en 21, queda: *( ) =

/ , ( ) 0 +1

(24)

Analizando la expresión resultante 24, se observa que la ecuación diferencial original en el campo real, se ha transformado en una ecuación algebraica expresada en el campo complejo. La solución obtenida es del tipo: 1( ) = 2( ). 3( )

(25)

donde s representa la variable independiente, y pertenece al campo complejo. Por otro lado: X(s) representa a la función de perturbación , ( ). G(s) representa el comportamiento dinámico del sistema, se denomina función de transferencia, y es Y(s) representa la respuesta del sistema a la perturbación dada; es decir, *( ).

4 . 5 67

Los sistemas dinámicos en el campo complejo están representados generalmente por una expresión racional compleja (cociente de polinomios), y el mismo corresponde a la función G(s) dada anteriormente. A continuación se verá la forma de graficar la respuesta dinámica de un sistema en Scilab, conociendo las funciones de transferencia y de perturbación. Se considerará el caso particular en que K=1 y 0 = 5. Para obtener la representación gráfica de la respuesta del sistema, se deben seguir los siguientes pasos: 1- Se define un polinomio del tipo p(s)=s, con la siguiente instrucción: s=poly(0,'s','roots'); 2- Se define la función de transferencia escribiendo: h=1/(5*s+1); 3- Se indica a Scilab que el polinomio h representa un sistema dinámico lineal continuo, para lo cual se escribe la siguiente instrucción: h=syslin('c',h); 4- Se define un vector con los valores del tiempo en los que se desea conocer la respuesta del sistema dinámico. Generalmente se inicia en 0 y se finaliza en seis veces el valor de 0. En este caso se puede escribir: t=linspace(0,30,100); 5- Se debe definir el tipo de perturbación al que se someterá el sistema: puede ser impulso (’imp’) o escalón (’step’). 6- Se calculan los valores de la variable dependiente, mediante la siguiente instrucción: y=csim('step',t,h); 7- Se grafica y vs t, escribiendo: plot2d(t,y) A continuación se transcriben nuevamente todas las instrucciones, y se representa la gráfica obtenida. Se aclara que dicha gráfica no tiene ningún agregado, como títulos, nombre de ejes, etc., algo que se deja como inquietud al lector a los efectos de documentar adecuadamente el resultado.

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-->s=poly(0,'s','roots'); -->h=1/(5*s+1); -->h=syslin('c',h); -->t=linspace(0,30,100); -->y=csim('step',t,h); -->plot2d(t,y)

Ejercicio 1 A distintos tanques se los ha perturbado, para lo cual se ha aumentado el caudal de entrada en 1 l/s. En el gráfico se pueden observar las respuestas obtenidas en el nivel de cada uno de los tanques. Se debe realizar lo siguiente: a- Indicar a qué función de respuesta temporal corresponde cada una de las curvas. b- Escribir las funciones de transferencia que correspondan en cada caso. c- Graficar en Scilab aquellas funciones de transferencia que no tengan tiempo muerto. (En la CPT se deben consignar las instrucciones utilizadas y el gráfico obtenido en cada caso) −t   b ) y = 0 .9  1 − e 2     

a) y = 1 − e− t

(

f ) y = 0 .5 1 − e − 2 t

)

(

c ) y = 0 .5 1 − e − t

)

−t  −t    g ) y = 0 .8  1 − e 2  h ) y = 0 .4  1 − e 1 . 5         

−t   e) y = 0.5 1 − e 0. 75      ( ) (t − 1)  − 2 t − 1 − 2    j ) y = 0.38 1 − e 3  g ) y = 0.4 1 − e 3         

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d ) y = 1 − e− 2 t

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Ejercicio 2 Dadas las siguientes funciones de respuesta temporal, frente a una perturbación de tipo escalón unitario: a- Indicar a qué curvas corresponden en el gráfico. b- Graficar en Scilab las respuestas que no contengan un tiempo muerto. (En la CPT se deben consignar las instrucciones utilizadas y el gráfico obtenido en cada caso) t −   a) y = 2.3 1 − e 22   

−t   b) y = 2.0 1 − e 25   

t −6 −   c) y = 1.8 1 − e 34   

t −   22   d ) y = 5.2  1 − e   

Ejercicio 3 Se desea estimar la función de transferencia de dos procesos, uno de ellos corresponde a un tanque donde se regula el pH y el otro a un intercambiador de calor. Para hacer esto se perturbó ambos sistemas con sendos escalones en las variables manipuladas. En el primer caso se aumentó el caudal de NaOH en 3 l/min, mientras que en el segundo caso, se aumentó el caudal de vapor de 8 kg/s a 10 kg/s. Las gráficas con las respuestas se observan en los siguientes diagramas. Sobre la base de la información que se pueda deducir de los gráficos, se deben obtener las funciones de transferencia de ambos procesos.

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Ejercicio 4 Existe un equipo deshumidificador, con el que se intentó realizar la misma operativa que la dada en el ejercicio 3: 3 3 se disminuyó el caudal de aire caliente de 3 m /s a 2.5 m /s, tras lo cual la humedad comenzó a aumentar de acuerdo a lo indicado en la gráfica siguiente. Sin embargo, la prueba debió ser suspendida porque el aumento de humedad fue superior a lo esperado. Con la respuesta parcial obtenida, estime los valores de ganancia y de la constante de tiempo del proceso.

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Ejercicio 5 Graficar la respuesta temporal aproximada del sistema definido por los siguientes parámetros: ganancia igual a 1, constante de tiempo igual a 2 min y tiempo muerto igual a 0 min. Verificar graficando con Scilab. Teniendo en cuenta que es sistema es forzado mediante: a- Una función escalón de 2 unidades de altura. b- Una función rampa con una pendiente de 0.5. Ejercicio 6 Si un sistema está definido por una ganancia igual a -2, 2, constante de tiempo igual a 3 min y tiempo muerto igual a 10 s. a- Graficar la respuesta temporal aproximada si las funciones de forzamiento son las del ejercicio 5. b- Graficar en Scilab suponiendo que el tiempo muerto es nulo. Ejercicio 7 Calcular la antitransformada de Laplace de los ejercicios 5 y 6 si se perturba los sistemas mediante una función impulso. Graficar con Scilab. Ejercicio 8 Obtener la función de transferencia de un termómetro de bulbo,, sabiendo que contiene 1 g de mercurio, siendo su calor específico de 6.61 cal / ºC mol y UA vale 0.00659 cal / ºC s. Considerar despreciable la resistencia del vidrio a la transferencia de calor. ¿Cuánto vale la ganancia? ¿Cuánto vale la constante de d tiempo? Ejercicio 9 Calcular la respuesta temporal y graficarla con Scilab,, si el termómetro del ejercicio anterior se sumerge de forma repentina en un líquido a 40 ºC,, estando inicialmente en equilibrio a temperatura ambiente. ambiente

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ANEXO: USO DE XCOS PARA SIMULACIÓN DE SISTEMAS El Xcos es un módulo de Scilab que implementa un lenguaje gráfico de programación, para modelar y simular sistemas dinámicos. Es el equivalente al módulo Simulink de Matlab, aunque no son compatibles. Sea un sistema modelado mediante la siguiente expresión: *( ) =

1 , ( ) 5 +1

(26)

Se desea obtener la respuesta dinámica del sistema si se lo perturba mediante un escalón unitario, durante las primeras 30 unidades de tiempo del transitorio. En el modo consola de Scilab se escribe la siguiente instrucción: -->xcos Con lo cual se llama al módulo Xcos, el cual al cargarse muestra las siguientes ventanas:

En la figura superior se pueden observar dos ventanas: -

Ventana izquierda: Se observa el Explorador de paletas, que permite navegar por los distintos conjuntos de elementos (paletas) constitutivos para modelar sistemas. Esta ventana se encuentra dividida en dos paneles: el de la izquierda permite seleccionar la paleta, y el de la derecha muestra los elementos gráficos que constituyen cada una de las mismas. En este momento interesa utilizar las siguientes paletas: a- Sistemas de tiempo continuo. b- Sinks (sumideros). c- Fuentes.

-

Ventana derecha: En este momento se denomina “Sin título” y en la misma se irá construyendo el modelo a simular.

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Para introducir el modelo indicado en la ecuación 26, se seleccionará la paleta “Sistemas de tiempo continuo”, y en panel de elementos gráficos se hará clic derecho sobre el elemento denominado CLR, y en el menú contextual se seleccionará la opción “Añadir a …” La situación final de las ventanas se muestran en la siguiente figura:

El módulo CLR representa el bloque de un sistema lineal SISO (simple input simple output), o en otras palabras, una entrada y una salida. Para adaptar la función de transferencia del bloque, para que refleje el modelo de la ecuación 26, se debe hacer doble clic sobre el mismo, apareciendo el siguiente cuadro de diálogo:

En este cuadro se puede escribir el numerador y denominador de la función de transferencia del modelo dinámico, con las siguientes limitaciones: -

El modelo debe ser algebraico, por lo que solo se pueden representar polinomios en s. El grado del polinomio del numerador debe ser menor o igual al del denominador, en otras palabras el modelo debe ser estable.

En el caso presentado, el cuadro de diálogo se ve la siguiente manera, una vez realizadas las modificaciones necesarias:

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Al hacer clic en el botón OK, el nuevo modelo se representa en la gráfica del elemento, el cual deberá ser ajustado en tamaño si es necesario, a los efectos de visualizar correctamente la expresión matemática de la función de transferencia, tal cual se ve a continuación:

El bloque se arrastra con el mouse, para ubicarlo sobre el centro de la ventana, a los efectos de permitir colocar los restantes elementos del sistema, que son: -

De la paleta Fuentes, los elementos: a- STEP_FUNCTION, el cual configura la función de perturbación. b- CLOCK_c, el cual permite especificar las condiciones de simulación desde el punto de vista temporal.

-

De la paleta Sink: el elemento CMSCOPE, que permite obtener un gráfico con múltiples entradas desde el modelo matemático.

El primero de los elementos se coloca a la izquierda y los dos restantes a la derecha del bloque inicialmente ubicado, tal como se puede observar en la siguiente imagen.

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A continuación se deben realizar la conexión lógica entre bloques, para lo cual se coloca el puntero del mouse sobre la flecha desde donde se desea realizar la conexión, tras lo cual aparecerá un recuadro verde indicando que la operación puede dar comienzo, como se observa a continuación:

Tras lo cual se mantiene presionado el botón izquierdo del mouse, y se moviliza el puntero del mismo hasta alcanzar el punto final de la conexión. Al liberar el botón del mouse el resultado será una línea que vinculará los bloques correspondientes, tal como se ve en la siguiente figura donde ya se han unido todos los bloques.

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El bloque CMSCOPE permite hacer varias gráficas al mismo tiempo. En este momento está configurado para dos (lo que es visible por las dos flechas negras entrantes). Se aprovechará esta situación para graficar la perturbación del sistema, para hacer esto se necesita llevar la información de la misma hasta la segunda entrada del bloque CMSCOPE. Para hacer esto, se ubica el puntero del mouse en algún punto sobre la línea que une el bloque STEP_FUNCTION con CLR, lo que hará poner el verde la línea correspondiente. En ese momento se hace clic sobre el botón izquierdo del mouse, manteniéndolo presionado y se avanza hacia arriba, generándose una nueva línea. Al soltar el botón del mouse ésta quedará fija, y aparecerá otra que será la continuación de la anterior. De esta manera se podrá armar una poligonal hasta llegar al destino deseado, es este caso la segunda entrada del bloque CMSCOPE, como se ve a continuación.

Es probable que la polilínea no quede alineada correctamente, lo cual puede ser solucionado arrastrando los cuadros verdes de anclaje con el mouse. De esta manera, en la siguiente figura se ve el resultado final. Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

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Una vez armado el modelo, se debe proceder a configurar el mismo para poder hacer la simulación. Para realizar esto se abre el menú Simulación, y se elige la opción Configuración, tras lo cual aparece el siguiente cuadro de diálogo:

Lo único que se cambiará será el primer parámetro, denominado Tiempo final de integración, donde se colocará el valor 30 y se hará clic sobre el botón Ok. Después se hará doble clic sobre el bloque CLR, lo que abrirá el cuadro de diálogo de configuración del mismo:

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Obsérvese que el escalón irá desde el valor 0 al 1, cuando el tiempo transcurrido sea igual a 1. Estos parámetros se dejarán inalterados, por lo que se hará clic en el botón Cancel. Haciendo doble clic sobre el bloque CMSCOPE se puede observar el siguiente cuadro de parámetros:

Es importante destacar los siguientes aspectos: se observará que hay parámetros que tienen dos valores, separados por un espacio, esto se debe a que hay dos entradas para gráficos. Las propiedades Ymin e Ymax permiten definir el tamaño del eje de ordenadas para cada uno de los gráficos. El parámetro Refresh period es el máximo tiempo representado en el eje de abscisas, una vez alcanzado este valor y si es necesario volcar más datos, se borra el gráfico y se prosigue con la siguiente porción de datos, hasta terminar. No se harán cambios, por lo se hará clic en el botón Cancel. El bloque CLOCK_c tiene los siguientes parámetros, los cuales no serán modificados:

Para comenzar la simulación se debe seleccionar el menú Simulación y allí la opción Iniciar, obteniéndose como resultado la gráfica que se da a continuación, en la cual se observa en la parte superior la representación de la perturbación, y en la inferior la respuesta del sistema, durante los primeras 30 unidades de tiempo de simulación.

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Analizando el resultado obtenido se puede determinar que para el primer gráfico el rango de ordenadas adecuado es [0; 1]; mientras que para es segundo es [0; 1]. De esta manera se modifican los parámetros del bloque CMSCOPE con estos nuevos valores, se cierra la ventana gráfica y se ejecuta nuevamente la simulación.

Como se observa el resultado ha mejorado notablemente, sobre todo en el segundo caso.

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