Tot Nghiep 2008 Khoi 12

http://quyndc.blogspot.com

Bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o §Ò thi chÝnh thøc

kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 M«n thi: to¸n - Trung häc phæ th«ng kh«ng ph©n ban

Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò

C©u 1 (3,5 ®iÓm) Cho hµm sè y = x 4 − 2 x 2 . 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 2) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = − 2 . C©u 2 (2,0 ®iÓm) 1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: 9 f ( x ) = x + trªn ®o¹n [2; 4]. x 1

2) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ (1 + e x ) xdx . 0

C©u 3 (1,5 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai ®iÓm A(0; 8) vµ B( − 6; 0). Gäi (T) lµ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB. 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh cña (T). 2) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (T) t¹i ®iÓm A. TÝnh cosin cña gãc gi÷a tiÕp tuyÕn ®ã víi ®−êng th¼ng y − 1 = 0 . C©u 4 (2,0 ®iÓm) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm M(1; 2; 3) vµ mÆt ph¼ng (α) cã ph−¬ng tr×nh 2 x − 3y + 6z + 35 = 0 . 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm M vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (α). 2) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt ph¼ng (α). T×m to¹ ®é ®iÓm N thuéc trôc Ox sao cho ®é dµi ®o¹n th¼ng NM b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt ph¼ng (α). C©u 5 (1,0 ®iÓm) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh (n 2 − 5)C 4n + 2C 3n ≤ 2A 3n . (Trong ®ã C kn lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö vµ A kn lµ sè chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö). .........HÕt......... ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. Gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh: .....................................................................

Sè b¸o danh:..............................................................................

Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1: .......................................................

Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: ..................................................

1

http://quyndc.blogspot.com

kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 M«n thi: to¸n – Trung häc phæ th«ng kh«ng ph©n ban

bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o ®Ò thi chÝnh thøc

H−íng dÉn chÊm thi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 03 trang I. H−íng dÉn chung 1) NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× cho ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− h−íng dÉn quy ®Þnh. 2) ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong h−íng dÉn chÊm ph¶i ®¶m b¶o kh«ng sai lÖch víi h−íng dÉn chÊm vµ ®−îc thèng nhÊt thùc hiÖn trong Héi ®ång chÊm thi. 3) Sau khi céng ®iÓm toµn bµi, lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (lÎ 0,25 lµm trßn thµnh 0,5; lÎ 0,75 lµm trßn thµnh 1,0 ®iÓm). II. §¸p ¸n vµ thang ®iÓm c©u C©u 1 (3,5 ®iÓm)

§¸p ¸n 1. (2,5 ®iÓm) a) TËp x¸c ®Þnh: R, hµm sè lµ hµm ch½n.

§iÓm 0,25

b) Sù biÕn thiªn: • ChiÒu biÕn thiªn: y′= 4x 3 - 4x = 4x(x 2 -1), nghiÖm ph−¬ng tr×nh y’ = 0 lµ: x = 0, x = -1, x = 1. y’ > 0 trªn c¸c kho¶ng (- 1; 0) vµ (1; + ∞) y’ < 0 trªn c¸c kho¶ng (−∞; − 1) vµ (0; 1). Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (- 1; 0) vµ (1; + ∞) , nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (−∞; − 1) vµ (0; 1). • Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0; yC§ = 0, ®¹t cùc tiÓu t¹i x = - 1 vµ x = 1; yCT = - 1.

0,75

• Giíi h¹n: lim y = +∞ ; lim y = +∞ x → −∞

x →+∞

1 . 3 1 1 1 1 ; ) ∪ ( ; + ∞) ) , y’’> 0 khi x ∈ (−∞; − y’’< 0 khi x ∈ (− 3 3 3 3 1 1 ; ), lâm trªn c¸c kho¶ng ⇒ ®å thÞ hµm sè låi trªn kho¶ng (3 3 1 1 (−∞; − ), ( ; + ∞) vµ cã hai ®iÓm uèn: 3 3 ⎛ 1 ⎛ 1 5⎞ 5⎞ U1 ⎜⎜ − ; − ⎟⎟ vµ U2 ⎜⎜ ; − ⎟⎟ 9⎠ 9⎠ 3 ⎝ ⎝ 3 • TÝnh låi lâm, ®iÓm uèn: y” = 12x2 – 4 ; y” = 0 ⇔ x = ±

2

0,50

http://quyndc.blogspot.com

• B¶ng biÕn thiªn: x y’ y

-∞

1 3

-1 -

0

+

+∞ -1

0

1 3

0

-

0

5 9

-

+∞

1 0 +

+∞

5 9

0,50

-1

c) §å thÞ: - Giao ®iÓm víi Ox: (0; 0), ( 2 ; 0), (− 2 ; 0) víi Oy: (0; 0). - §å thÞ hµm sè nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng. y 0,50 -1

O

1

2

- 2

x

-1

C©u 2 (2,0 ®iÓm)

2. (1,0 ®iÓm) §iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè cã hoµnh ®é x = - 2, cã tung ®é y = 8; y' ( −2) = - 24.

0,50

Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ: y – 8 = y' ( −2) (x + 2) hay y = -24x – 40.

0,50

1. (1,0 ®iÓm) XÐt trªn ®o¹n [2; 4] , hµm sè ®· cho cã: f ′(x ) = 1 −

9 ; f ′(x ) = 0 ⇔ x = 3 x2

13 25 . ; f (3) = 6; f (4) = 2 4 13 KÕt luËn: max f(x)= ; min f(x)=6. 2;4 [ ] 2 [2;4]

0,50

f (2) =

0,50

2. (1,0 ®iÓm) §Æt u = x vµ dv = (1 + ex)dx ⇒ du = dx vµ v = x + ex x

I = [ x ( x + e )]

1 0

1

− ∫ ( x + e x )dx

0,50

0

2

I = 1+ e − ( C©u 3 (1,5 ®iÓm)

x + ex ) 2

1 0

3 1 = 1 + e − ( + e − 1) = . 2 2

1. (0,75 ®iÓm) §−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB nhËn AB lµm ®−êng kÝnh. T©m cña ®−êng trßn lµ trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB. 1 I = (- 3; 4); b¸n kÝnh b»ng AB = 5. 2 Ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn cÇn t×m lµ: ( x + 3) 2 + ( y − 4) 2 = 25 .

3

0,50

0,75

http://quyndc.blogspot.com

C©u 4 (2,0 ®iÓm)

2. (0,75 ®iÓm) TiÕp tuyÕn cÇn t×m nhËn vect¬ IA = (3; 4) lµ mét vect¬ ph¸p tuyÕn. Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: 3( x − 0) + 4( y − 8) = 0 ⇔ 3x + 4y -32 = 0.

0,50

Gäi α lµ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn vµ ®−êng th¼ng y – 2 = 0 0 .3 + 4 .1 4 = . ⇒ cos α = 32 + 4 2 5

0,25

1. (1,0 ®iÓm) §−êng th¼ng cÇn t×m vu«ng gãc víi mp (α), nhËn n = (2; − 3; 6) lµ mét vect¬ chØ ph−¬ng. x −1 y − 2 z − 3 = = . Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng th¼ng cÇn t×m lµ: −3 2 6 2. (1,0 ®iÓm) d(M, (α)) =

2.1- 3.2 + 6.3+ 35 22 + (-3)2 + 62

=7

1,0

0,50

§iÓm N thuéc Ox ⇒ N(a; 0; 0) ⇒ NM = (a -1) 2 + 22 + 32 . d(M, (α)) = NM ⇔

(a − 1) 2 + 2 2 + 3 2 = 7

⎡a = 7 ⇔ (a − 1)2 = 36 ⇔ ⎢ ⎣a = −5 Cã hai ®iÓm N tho¶ m·n yªu cÇu ®Ò bµi víi to¹ ®é lµ: (7; 0; 0), (- 5; 0; 0). C©u 5 (1,0 ®iÓm)

0,50

§K: n ∈ N vµ n ≥ 4 . BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng:

n! n! (n 2 − 5)n! +2 ≤2 (n − 3)! (n − 3)!3! (n − 4)!4!

⇔ (n − 5)(n 2 + 2n + 5) ≤ 0 ⇔ n − 5 ≤ 0 (v× n 2 + 2n + 5 > 0, ∀n ) ⇔ n ≤ 5 . KÕt hîp ®iÒu kiÖn, ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ: n = 4 vµ n = 5. ……….HÕt……….

4

0,50

0,50

http://quyndc.blogspot.com

Bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o

kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 M«n thi: to¸n - Trung häc phæ th«ng ph©n ban

§Ò thi chÝnh thøc

Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò

I. PhÇn chung cho thÝ sinh c¶ 2 ban (8 ®iÓm) C©u 1 (3,5 ®iÓm) Cho hµm sè y = 2 x 3 + 3x 2 − 1 . 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 2) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph−¬ng tr×nh 2x 3 + 3x 2 − 1 = m. C©u 2 (1,5 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh 32x +1 − 9.3x + 6 = 0 . C©u 3 (1,0 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = (1 + 3 i) 2 + (1 − 3 i) 2 . C©u 4 (2,0 ®iÓm) Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã c¹nh ®¸y b»ng a, c¹nh bªn b»ng 2a. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. 1) Chøng minh SA vu«ng gãc víi BC. 2) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABI theo a. II. PHÇN dμnh cho thÝ sinh tõng ban (2 ®iÓm) A. ThÝ sinh Ban KHTN chän c©u 5a hoÆc c©u 5b C©u 5a (2,0 ®iÓm) 1

1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ x 2 (1 − x 3 ) 4 dx . −1

⎡ π⎤ 2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f (x) = x + 2 cos x trªn ®o¹n ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦ C©u 5b (2,0 ®iÓm) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm A(3; − 2; − 2) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh 2x − 2 y + z − 1 = 0 . 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P). 2) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn mÆt ph¼ng (P). ViÕt ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (Q) sao cho (Q) song song víi (P) vµ kho¶ng c¸ch gi÷a (P) vµ (Q) b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn (P). B. ThÝ sinh Ban KHXH-NV chän c©u 6a hoÆc c©u 6b C©u 6a (2,0 ®iÓm) π 2

1) TÝnh tÝch ph©n J = ∫ (2x − 1) cos xdx . 0

2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 1 trªn ®o¹n [0; 2] . C©u 6b (2,0 ®iÓm) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho tam gi¸c ABC víi A(1; 4; − 1), B( 2; 4; 3) vµ C(2; 2; − 1) . 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BC. 2) T×m to¹ ®é ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. .........HÕt......... ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. Gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh: ..................................................................... Sè b¸o danh:.............................................................................. Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1: ....................................................... 5

Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: ..................................................

http://quyndc.blogspot.com

Bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o

kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 M«n thi: to¸n – Trung häc phæ th«ng ph©n ban

®Ò thi chÝnh thøc

H−íng dÉn chÊm thi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 04 trang I. H−íng dÉn chung 1) NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× cho ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− h−íng dÉn quy ®Þnh. 2) ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong h−íng dÉn chÊm ph¶i ®¶m b¶o kh«ng sai lÖch víi h−íng dÉn chÊm vµ ®−îc thèng nhÊt thùc hiÖn trong Héi ®ång chÊm thi. 3) Sau khi céng ®iÓm toµn bµi, lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (lÎ 0,25 lµm trßn thµnh 0,5; lÎ 0,75 lµm trßn thµnh 1,0 ®iÓm). II. §¸p ¸n vµ thang ®iÓm

c©u C©u 1 (3,5 ®iÓm)

§¸p ¸n

§iÓm

1. (2,5 ®iÓm)

0,25

a) TËp x¸c ®Þnh: R b) Sù biÕn thiªn: • ChiÒu biÕn thiªn:

y′ = 6x 2 + 6x = 6x ( x + 1) . Ph−¬ng tr×nh y′ = 0 cã nghiÖm: x = -1, x = 0.

0,50

y′ > 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (0; + ∞ ) , y′ < 0 ⇔ x ∈ (− 1; 0 ) . Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (− ∞; − 1) vµ (0; + ∞ ) , nghÞch biÕn trªn kho¶ng (-1; 0). • Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = -1, yC§ = 0, ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 0, yCT = -1. • Giíi h¹n: lim y = −∞ ; x →−∞

0,75

lim y = +∞

x →+∞

• B¶ng biÕn thiªn: x

-∞

y’

-1 +

y

0

-

0

-1

6

+

0,50 +∞

0 -∞

+∞

0

http://quyndc.blogspot.com

c) §å thÞ: Giao ®iÓm víi Oy: (0; -1).

1 Giao ®iÓm víi Ox: (-1; 0) vµ ( ; 0) 2 y

O -1 -1

1 2

x

0,50

2. (1,0 ®iÓm) Sè nghiÖm thùc cña ph−¬ng tr×nh 2x3 + 3x 2 -1= m b»ng sè giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) cña hµm sè y = 2 x 3 + 3x 2 − 1 vµ ®−êng th¼ng (d): y = m. Dùa vµo ®å thÞ ta cã: Víi m < -1 hoÆc m > 0, (d) vµ (C) cã mét ®iÓm chung, do ®ã ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm. Víi m = -1 hoÆc m = 0, (d) vµ (C) cã hai ®iÓm chung, do ®ã ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. Víi -1 < m < 0, (d) vµ (C) cã ba ®iÓm chung, do ®ã ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm.

C©u 2 (1,5 ®iÓm)

C©u 3 (1,0 ®iÓm) C©u 4 (2,0 ®iÓm)

§Æt 3 x = t > 0 ta cã ph−¬ng tr×nh 3t2 – 9t + 6 = 0 ph−¬ng tr×nh trªn cã hai nghiÖm t = 1 vµ t = 2 (®Òu tho¶ m·n).

0,75

NÕu t =1 th× 3 = 1 ⇔ x = 0. NÕu t = 2 th× 3 = 2 ⇔ x = log32. VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm: x = 0, x = log32. Khai triÓn ®óng: (1 + 3 i )2 = 1 + 2 3 i − 3 vµ (1 − 3 i )2 = 1 − 2 3 i − 3 x

1,0

x

Rót gän ®−îc P = − 4 1. (1,0 ®iÓm) Tam gi¸c SBC c©n t¹i S, I lµ trung ®iÓm BC suy ra BC ⊥ SI . Tam gi¸c ABC ®Òu suy ra BC ⊥ AI .

0,75

0,50 0,50

S

0,50 A

C O

I B

7

http://quyndc.blogspot.com

V× BC vu«ng gãc víi hai c¹nh AI vµ SI cña tam gi¸c SAI nªn BC ⊥ SA .

0,50

2. (1,0 ®iÓm)

2 2a 3 a 3 . V× S.ABC lµ = AI = 3 3 2 3 h×nh chãp tam gi¸c ®Òu nªn SO ⊥ (ABC).

Gäi O lµ t©m cña ®¸y ABC, ta cã AO =

0,50

XÐt tam gi¸c SOA vu«ng t¹i O:

SO 2 = SA 2 − AO 2 = (2a ) 2 − (

a 33 a 3 2 33a 2 ) = ⇒ SO = 3 9 3

ThÓ tÝch khèi chãp S.ABI lµ: 1 11 1 a 3 a a 33 a 3 11 (®vtt). VS.ABI = S ABI .SO = AI.BI.SO = = 3 32 6 2 2 3 24 C©u 5a (2,0 ®iÓm)

0,50

1. (1,0 ®iÓm) §Æt u = 1 – x3 ⇒ du = -3x2dx. Víi x = -1 ⇒ u = 2, x = 1 ⇒ u = 0. 0 2 32 1 12 1 I = ∫ (− u 4 )du = ∫ u 4 du = u 5 = . 3 30 15 0 5 2

0,50

0,50

2. (1,0 ®iÓm) ⎡ π⎤ XÐt trªn ®o¹n ⎢0; ⎥ , hµm sè ®· cho cã: f ′( x ) = 1 − 2 sin x ; ⎣ 2⎦ π f ′( x ) = 0 ⇔ x = . 4 π π π π f (0) = 2 ; f ( ) = + 1; f ( ) = . 4 4 2 2 π VËy min f ( x ) = 2 , max f ( x ) = + 1 . π π 4 [ 0; ] [ 0; ] 2

C©u 5b (2,0 ®iÓm)

0,50

0,50

2

1. (1,0 ®iÓm) §−êng th¼ng cÇn t×m vu«ng gãc víi (P), nhËn n = (2; − 2;1) lµ mét vect¬ chØ ph−¬ng. ⎧x = 3 + 2 t ⎪ Ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng lµ: ⎨ y = −2 − 2 t ⎪z = −2 + t ⎩ 2. (1,0 ®iÓm) Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn mÆt ph¼ng (P) lµ: 2.3 − 2.(−2) + 1.(−2) − 1 7 d(A, (P)) = = . 3 2 2 + (−2) 2 + 12 Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) song song víi mÆt ph¼ng (P) cã d¹ng 2x – 2y + z + D = 0.

8

1,0

0,25

http://quyndc.blogspot.com

C©u 6a (2,0 ®iÓm)

Chän ®iÓm M(0; 0; 1) thuéc mÆt ph¼ng (P). Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt 2.0 − 2.0 + 1.1 + D 1 + D . = ph¼ng (Q) lµ: d(M, (Q)) = 3 2 2 + (−2) 2 + 12 Kho¶ng c¸ch gi÷a hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt ph¼ng (Q). 1+ D 7 Do ®ã tõ gi¶ thiÕt ta cã: = ⇔ 1+ D = 7 3 3 = D 6 ⎡ ⇔⎢ ⎣ D = −8 VËy cã hai mÆt ph¼ng (Q) tho¶ m·n ®Ò bµi: (Q1): 2x – 2y + z + 6 = 0; (Q2): 2x – 2y + z - 8 = 0. 1. (1,0 ®iÓm) π π 2 ⎧du = 2dx ⎧u = 2 x − 1 §Æt ⎨ ⇒ ⎨ ⇒ J = [(2x − 1)sin x ] 2 − 2 ∫ sin xdx 0 ⎩dv = cos xdx ⎩v = sin x 0 π J = (π − 1) + 2 cos x 2 = (π -1) + 2(0 -1) = π -3. 0 2. (1,0 ®iÓm) XÐt trªn ®o¹n [0; 2], hµm sè ®· cho cã: f ′( x ) = 4 x 3 − 4 x = 4 x ( x 2 − 1) ; ⎡x = 0 f ′( x ) = 0 ⇔ ⎢ ⎣x = 1 f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 9. VËy min f(x)=0, max f(x)=9. [0;2]

C©u 6b (2,0 ®iÓm)

[0;2]

0,75

0,50

0,50

0,50

0,50

1. (1,0 ®iÓm) MÆt ph¼ng cÇn t×m vu«ng gãc víi BC, nhËn BC = (0; − 2; − 4) lµ mét vect¬ ph¸p tuyÕn.

0,50

Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 0(x -1) – 2(y - 4) – 4(z + 1) = 0 ⇔ y + 2z – 2 = 0.

0,50

2. (1,0 ®iÓm) ABCD lµ h×nh b×nh hµnh khi vµ chØ khi BC = AD (1). Gäi to¹ ®é cña D lµ (x; y; z). Ta cã AD = ( x − 1; y − 4; z + 1) vµ BC = (0; − 2; − 4) . §iÒu kiÖn (1) ⎧x − 1 = 0 ⎧x = 1 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ y − 4 = −2 ⇔ ⎨ y = 2 ⇒ D(1; 2; -5). ⎪z + 1 = −4 ⎪z = −5 ⎩ ⎩

……….HÕt……….

9

0,50

0,50

http://quyndc.blogspot.com

Bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o §Ò thi chÝnh thøc

kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 M«n thi: to¸n – Bæ tóc trung häc phæ th«ng

Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò

C©u 1 (3,5 ®iÓm) Cho hµm sè y = x 3 − 3x 2 + 1 . 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 2) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 3. C©u 2 (1,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = cos(2 x − 1) . Chøng minh r»ng: y’’ + 4y = 0. C©u 3 (1,5 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh: x 2 + y 2 − 2 x − 15 = 0 . 1) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cña (C). 2) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm A(1; 4). C©u 4 (2,0 ®iÓm) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm M(-1; 2; 3) vµ mÆt ph¼ng (α) cã ph−¬ng tr×nh x − 2 y + 2z + 5 = 0 . 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm M vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (α). 2) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (β) ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng (α). TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai mÆt ph¼ng (α) vµ (β). C©u 5 (2,0 ®iÓm) π 4

1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ cos x sin xdx . 0

2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3C2n − A 2n +1 − 7 = 0. (Trong ®ã C kn lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö vµ A kn lµ sè chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö). .........HÕt......... ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. Gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh: .....................................................................

Sè b¸o danh:..............................................................................

Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1: .......................................................

Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: ..................................................

10

http://quyndc.blogspot.com

kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 M«n thi: to¸n – Bæ tóc trung häc phæ th«ng

bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o ®Ò thi chÝnh thøc

H−íng dÉn chÊm thi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 03 trang I. H−íng dÉn chung 1) NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× cho ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− h−íng dÉn quy ®Þnh. 2) ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong h−íng dÉn chÊm ph¶i ®¶m b¶o kh«ng sai lÖch víi h−íng dÉn chÊm vµ ®−îc thèng nhÊt thùc hiÖn trong Héi ®ång chÊm thi. 3) Sau khi céng ®iÓm toµn bµi, lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (lÎ 0,25 lµm trßn thµnh 0,5; lÎ 0,75 lµm trßn thµnh 1,0 ®iÓm). II. §¸p ¸n vµ thang ®iÓm

c©u C©u 1 (3,5 ®iÓm)

§¸p ¸n

§iÓm

1. (2,5 ®iÓm) a) TËp x¸c ®Þnh: R

0,25

b) Sù biÕn thiªn: • ChiÒu biÕn thiªn: y′ = 3x 2 - 6x = 3x(x - 2). Ph−¬ng tr×nh y ′ = 0 cã nghiÖm: x = 0, x = 2. y ′ > 0 ⇔ x ∈ (− ∞; 0 ) ∪ (2; + ∞ ) , y ′ < 0 ⇔ x ∈ (0; 2 ) . Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (− ∞; 0 ) vµ (2; + ∞ ) , nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2). Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0, yC§ = 1, ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 2, yCT = -3.

0,75

• lim y = −∞ , lim y = + ∞ x → −∞

x → +∞

• TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn cña ®å thÞ: y’’ = 6x - 6, y’’ = 0 ⇔ x = 1. y’’> 0 khi x > 1, y’’< 0 khi x < 1. VËy ®å thÞ hµm sè lâm trªn kho¶ng (1; + ∞) , låi trªn kho¶ng (−∞; 1) vµ cã mét ®iÓm uèn U(1; - 1).

11

0,50

http://quyndc.blogspot.com

• B¶ng biÕn thiªn:

−∞

x y’

+

y

0 0 1

1 -

2 0 +

+∞ +∞

-1

−∞

0,50

-3

c) §å thÞ: Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung (0; 1).

y

1 1 O

2

0,50

x

-1

-3

C©u 2 (1,0 ®iÓm) C©u 3 (1,5 ®iÓm)

2. (1,0 ®iÓm) Khi x = 3 th× y =1; y′(3) = 9.

0,50

Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ: y -1 = y′(3) (x -3) hay y = 9x – 26.

0,50

y′ = - 2sin(2x -1), y′′ = -4cos(2x -1).

0,50

y′′ + 4y = -4cos(2x -1) + 4cos(2x -1) = 0. 1. (0,75 ®iÓm) x2 + y2 – 2x – 15 = 0 ⇔ (x - 1)2 + y2 = 16. §−êng trßn ®· cho cã t©m I(1; 0), b¸n kÝnh R = 4.

0,50 0,75

2. (0,75 ®iÓm) TiÕp tuyÕn cÇn t×m nhËn vect¬ IA = (0;4) lµ mét vect¬ ph¸p tuyÕn. Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: 0(x -1) + 4(y - 4) = 0 ⇔ y – 4 = 0. C©u 4 (2,0 ®iÓm)

1. (0,75 ®iÓm) §−êng th¼ng cÇn t×m vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (α), nhËn vect¬ G n = (1; − 2; 2) lµ mét vect¬ chØ ph−¬ng. x +1 y − 2 z − 3 Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng th¼ng lµ: . = = 1 2 −2

12

0,75

0,75

http://quyndc.blogspot.com

2. (1,25 ®iÓm) MÆt ph¼ng (β) song song víi mÆt ph¼ng (α) nªn (β) nhËn n lµ mét vect¬ ph¸p tuyÕn. Ph−¬ng tr×nh (β) lµ: 1(x + 1) - 2(y – 2) + 2(z - 3) = 0 ⇔ x – 2y + 2z – 1 = 0.

0,75

Kho¶ng c¸ch gi÷a hai mÆt ph¼ng (α) vµ (β) lµ:

d = d (M, (α)) = C©u 5 (2,0 ®iÓm)

1.( −1) − 2.2 + 2.3 + 5 1 + (−2) + 2 2

2

2

=

6 = 2. 3

0,50

1. (1,0 ®iÓm) π 4

π 4

0

0

I = ∫ cos x sin xdx = ∫ sin xd(sin x) 1 I= sin 2 x 2

π 4 0

1 2 2 1 = [( ) -0]= . 2 2 4

0,50

0,50

2. (1,0 ®iÓm) §K: n ∈ N, n ≥ 2. Ph−¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng: 3

n! (n + 1)! − −7 = 0 2!(n − 2)! (n − 1)!

⇔ n 2 − 5n − 14 = 0 ⎡n = 7 ⇔ ⎢ . NghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ n = 7. ⎣n = −2 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm n =7.

……….HÕt……….

13

0,50

0,50