Topologie Ds R

Topologie de R Exercice 1. Partie ` a un seul point d’accumulation Soit A une partie born´ee de R ayant un seul point d’accumulation, a. 1) Montrer que A est d´enombrable. 2) On num´erote les ´el´ements de A d’une mani`ere quelconque : A = {x1 , x2 , . . ., xn , . . .}. Montrer que xn −−−−→ a. n→∞

Exercice 2. (sin(n)) est dense dans [−1, 1] Soit a ∈ R \ Q et A = {ma + n tq m ∈ Z, n ∈ N}. Montrer que A est dense dans R. Application : Montrer que tout r´eel de [−1, 1] est valeur d’adh´erence de la suite (sin n). √ √ Exercice 3. m − n √ √ Montrer que l’ensemble A = { m − n tq m, n ∈ N} est dense dans R. Exercice 4. Unit´e√ s quadratiques √ Soit A = {n + p 2 tq n, p ∈ N, n + p 2 > 0, n2 − 2p2 = 1}. Montrer que A est un sous-groupe discret de R+∗ . Exercice 5. Olympiades 1991 Soit a > 1. Montrer qu’il existe une suite r´eelle born´ee, (xn ), telle que : ∀ i 6= j, |xi − xj | >

1 . |i − j|a

Exercice 6. un+1 − un −→ 0 Soit (un ) une suite r´eelle born´ee telle que un+1 − un −−−−→ 0. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de n→∞

(un ) est un intervalle. Exercice 7. un+1 − un −→ 0 Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] continue, u0 ∈ [0, 1] et (un ) la suite des it´er´ees de f en u0 . On suppose que un+1 − un −−−−→ 0. Montrer que la suite (un ) converge vers un point fixe de f . n→∞

Exercice 8. exp(iun ) Soit (un ) une suite r´eelle telle que la suite (exp(iun )) converge et la suite (|un+1 − un |) est major´ee par α < π. Montrer que (un ) converge. Exercice 9. exp(iun ) Soit (un ) une suite r´eelle telle que un+1 − un −−−−→ 0 et un −−−−→ +∞. D´emontrer que la suite (exp(iun )) est n→∞ n→∞ dense dans U. Exercice 10. exp(iun ) Soit (xn ) une suite r´eelle born´ee et u > 0, v > 0. On suppose que u / Q et que les suites (eiuxn ) et (eivxn ) v ∈ convergent. Montrer que la suite (xn ) converge. Exercice 11. un+p 6 un + up
Soit (un ) une suite r´eelle positive telle que : ∀ n, p ∈ N, un+p 6 un +up . Montrer que la suite unn est convergente. Exercice 12. Fonctions p´eriodiques (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP∗ 2003) √ 1) D´eterminer toutes les fonctions f : R −→ R continues, p´eriodiques de p´eriodes 1 et 2. 2) D´eterminer les fonctions f : R2 −→ R2 continues telles que :
pour tout X ∈ R2 , f (X) = f (X + (1, 0)) = f (X + (0, 1)) = f (AX) o` u A = 10 11 .

topor.tex mardi 20 f´evrier 2007

Solutions

Exercice 1. 1) A\]a − n1 , a + n1 [ est fini. Exercice 3. √ √ Soient x < y : Il existe a ∈ N tel que n > a√ =⇒ n + 1 − n < y − x. √ Il existe b ∈ N tel que a − b < x. √ √ Alors il existe c > a tel que x < c − b < y. Exercice√ 4. √ n + p 2 > 1 =⇒ n > 0, p > 0, donc A∩]1, +∞[ admet un plus petit ´el´ement : 3 + 2 2. Exercice 5. On construit un ensemble de type Cantor dont les trous ont pour longueur 1, 21a , 41a , . . . , et on r´epartit les xk de part et d’autre des trous en fonction de l’´ecriture d´ecimale de k (0 → `a gauche, 1 → `a droite). Exercice 7. L’ensemble des valeurs d’adh´erence est un intervalle constitu´e de points fixes de f =⇒ la suite (un ) a une seule valeur d’adh´erence. Exercice 11. Soit ` = lim inf unn et ε > 0. Il existe p tel que (` − ε)p 6 up 6 (` + ε)p. Alors pour n ∈ N et 0 6 k < p : uk + (` − ε)np 6 unp+k 6 uk + (` + ε)np. Exercice 12. 1) Il est suppos´e connu (et ` a savoir d´emontrer) le fait suivant : si G est un sous-groupe de R, alors √ soit G est monog`ene, soit G =√R. Dans le cas de la question, le groupe G des p´eriodes de f contient 1 et 2 donc n’est pas monog`ene car 2 ∈ / Q (la d´emonstration a ´et´e demand´ee `a l’´el`eve). De plus G est ferm´e par continuit´e de f , d’o` u f est constante. 2) D’apr`es la premi`ere question, pour tout y ∈ R \ Q l’application x 7−→ f (x, y) est constante et il en va de mˆeme si y ∈ Q par continuit´e de f . Donc f est de la forme (x, y) 7−→ g(y) o` u g est 1-p´eriodique. R´eciproquement, toute fonction f de cette forme convient.

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