Topo Tipei.docx

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DA

X=320.895sen (58°58’44’’)=-275.000 Y=320.895cos (58°58’44’’)=+165.373

2) Sumar algebraicamente las coordenadas parciales. ∑ 𝑋 = −470.252 ∑ 𝑌 = −27.469 3) Hallar la longitud AC 𝐴𝐶 = √470. 2522 + 27. 4692 = 471.054 𝑚 4) Hallar el rumbo AC 𝑇𝑎𝑛 𝑅𝑎𝑐 =

470.252 27.469

= 17.119371

𝑅𝑎𝑐 = 86°39′ 25.06′′ 𝑁𝐸 5) Hallar los ángulos A, B y C 𝑅𝑎𝑐 = 86°39′ 25.06′′ −

𝑅𝑎𝑏 = 43°48′ 00.56′′ −

𝑅𝑎𝑏 = 43°48′ 00.56′′

𝑅𝑏𝑐 = 61°03′ 00.00′′

< 𝐴 = 42°51′ 24.50′ ′

< 𝐵 = 104°51′ 00.56′ ′ COMPROBACIÓN

𝑅𝑎𝑐 = 86°39′ 25.06′′ +

42°51′ 50′

𝑅𝑏𝑐 = 61°03′ 00.00′′

′

104°51′ 00.56′

147°42′ 25.06′′ − 180° < 𝐶 = 32°17′ 34.94′′

+ ′

32°17′ 34.94′′ 180°00’00.00’’

6) Calcular la longitud de los lados AB y BC 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 =

471.054𝑠𝑒𝑛32°17′ 34.94′′ 𝑠𝑒𝑛104°51′ 00.56′ ′ 471.054𝑠𝑒𝑛42°51′ 24.50′′ 𝑠𝑒𝑛104°51′ 00.56′′

= 260.357 𝑚 = 331.467 𝑚

d) CUANDO FALTA EL RUMBO DE UN LADO Y LA LONGITUD DE OTRO: Se presentan dos casos: 1) Cuando los lados son contiguos se haya primero las coordenadas de los otros lados. En la figura no se conoce el rumbo del lado DE ni la longitud del lado EA, hallar la longitud y rumbo de la línea DA de la manera que

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ya se aplicó y calcular el ángulo A en base a los rumbos AD y AE. En el triángulo ADE se conocen los lados AD y DE, y el ángulo A, luego por la ley de los senos se puede calcular el lado EA y los ángulos D y E.

2) Cuando los lados no son contiguos la línea se trasladan como se explicó en el caso b-2. La solución generalmente da dos valores para cada una de las incógnitas y frecuentemente no se puede determinar cual de éstos valores es el verdadero a menos de que se conozca aproximadamente la dirección del lado cuyo rumbo no se ha observado. En la figura ABC, es la parte totalmente observada de una poligonal y CA es la línea que cierra estas partes. De A sale una línea hacia DD’ cuyo rumbo se observa pero no se conoce su longitud, en cambio de C parte otro lado cuya distancia se ha medido pero su rumbo no, de modo que puede cortar a la línea de rumbo conocido en los puntos D y D’ (CD=CD’) . Es evidente que los senos de los ángulos ADC y AD’C son iguales puesto que sen (90°+ )=sen (90°- ), resolviendo el triángulo ADC o AD’C se obtendrá el valor de AD o AD’. Cuando los lados en cuestión son casi perpendiculares entre sí, la solución es poco o nada precisa, aumentando su precisión a medida que los angulos son mas agudos. Ejemplo: Calcular la longitud del lado AB y rumbo del lado DA de la siguiente poligonal. Punto Rumbos Distancia X Y A B C D

4°43′ 45.62′′ 𝑁𝐸 76°34′ 45.00′′ 𝑆𝐸 3°48’53.18’’ SO ?

? 281.560 238.125 282.390

+273.871 −15.843

-65.351 -237.597

+258.028

−302.948

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1. Hallar las coordenadas parciales. BC X=281.560sen (76°34’45’’)=+273.871 Y=281.560cos (76°34’45’’)=- 65.351 CD X=238.125sen (3°48’53.18’’)=-15.843 Y=238.125cos (3°48’53.18’’)=-237.597

2. Sumar algebraicamente las coordenadas parciales. ∑ 𝑥 = +258.028

∑ 𝑦 = −302.948

3. Hallar la longitud DB 𝐷𝐵 = √258.0282 + 302.9482 = 397.90 𝑚 4. Hallar el rumbo DB +258.028 𝑇𝑎𝑛 𝑅𝑑𝑏 = = −0.851724 −302.948 𝑅𝑑𝑏 = 40°25′ 18.57′′ 𝑁𝑂 5. Hallar el ángulo B 𝑅𝑑𝑏 = 40°25′ 18.57′′ + 𝑅𝑏𝑎 = 4°43′ 45.62′′ < 𝐵 = 45°09′ 04.19′′ 6. Calcular los ángulos D y A y la longitud del lado AB 𝑠𝑒𝑛𝐴 =

397.90𝑠𝑒𝑛45°09′ 04.19′′ = 0.999070 282.390 < 𝐴 = 87°31′ 45.24′′

< 𝐷 = 180° − (87°31′ 45.24′′ + 45°09′ 04.19′′ ) = 47°19′ 10.57′′ 𝐴𝐵 =

282.390𝑠𝑒𝑛47°19′ 10.57′′ = 292.816 𝑠𝑒𝑛45°09′ 04.19′′

7. Calcular el rumbo de la línea DA 𝑅𝑑𝑎 = 47°19′ 10.57′′ < 𝐷 = 47°19′ 10.57′′ 𝑅𝑑𝑎 = 87°44′ 29.14′′

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202.- CAMBIO DE COORDENADAS.-Algunas veces, cuando se quiere completar un plano con las coordenadas calculadas de un levantamiento antiguo que ha usado una meridiana de referencia y un origen diferente, hay necesidad de transformar las coordenadas del levantamiento antiguo (P. e. referido al meridiano magnético) a las coordenadas actuales (P. e. referido al meridiano geográfico). En la figura las coordenadas rectangulares del punto A son X=b y Y= a; suponiendo que el punto A se toma como el eje Y’ forman un ángulo 𝛼 con el eje Y, el punto de coordenadas X, Y en el primer sistema O tiene por coordenadas X’, Y’ en el nuevo sistema A: 𝑋 ′ = (𝑋 − 𝑏)𝑐𝑜𝑠𝛼 − (𝑌 − 𝑎)𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑌 ′ = (𝑋 − 𝑏)𝑠𝑒𝑛𝛼 + (𝑌 − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝛼 Cuando dos sistemas de coordenadas no están relacionadas entre si por los valores a, b y no se pueden aplicar directamente las fórmulas anteriores, sino que habrá que hallar estos valores en función de los valores dados. Suponiendo que se tiene las coordenadas de dos puntos 𝑃1 y 𝑃2 en ambos sistemas: 𝑃1

𝑋1 = 𝑏 + 𝑌1′ 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑋1′ 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑌1 = 𝑎 + 𝑌1′ 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑋1′ 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑃2

𝑋2 = 𝑏 + 𝑌2′ 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑋2′ 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑌2 = 𝑎 + 𝑌2′ 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑋2′ 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝛼 = 𝑍𝑃1 𝑃2 − 𝑍𝑃1′ 𝑃2′ 𝑍 = 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑢𝑡

𝑡𝑎𝑛(𝑃1 𝑃2 ) − 𝑡𝑎𝑛(𝑃1′ 𝑃2′ ) 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 1 + 𝑡𝑎𝑛(𝑃1 𝑃2 )𝑡𝑎𝑛(𝑃1′ 𝑃2′ )

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Ejemplo 85: Transformar las coordenadas del punto 𝑃3 del sistema A al sistema B, si: Sistema A: 𝑃1

𝑋1 = 3121.222

𝑃2

𝑋2 = 3983.136

𝑌1 = 2400.426 𝑃3

𝑌2 = 2571.518

𝑋3 = 2128.576 𝑌3 = 1721.634

Sistema B: 𝑃1

𝑋1′ = 654.916

𝑃2

𝑌1′ = 1833.628

𝑋2′ = 1285.825 𝑌2′ = 2245.386

𝑃3

𝑋3′ =? 𝑌3′ =?

1) Halla la diferencia de las coordenadas 𝑃2 − 𝑃1 ∆𝑋 = 𝑋2 − 𝑋1 = 3983.136 − 3121.222 = 861.914 ∆𝑌 = 𝑌2 − 𝑌1 = 2571.518 − 2400.426 = 171.092 ∆𝑋 ′ = 𝑋2′ − 𝑋1′ = 1285.825 − 654.916 = 630.809 ∆𝑌 ′ = 𝑌2′ − 𝑌1′ = 2245.386 − 1833.628 = 611.758 2) Calcular la longitud de la línea 𝑃1 𝑃2 𝑃1 𝑃2 = √861.9142 + 171.0922 = 878.731 𝑃1 𝑃2 = √630.8092 + 611.7582 = 878.731 3) Calcular el rumbo de la línea 𝑃1 𝑃2 𝑇𝑎𝑛 𝑅𝑃1 𝑃2 =

861.914 = 5.037722 171.092

𝑅𝑃1 𝑃2 = 78°46′ 21. 35′′ 𝑁𝐸

𝑇𝑎𝑛 𝑅𝑃1 𝑃2 =

630.807 = 1.031141 611.758

𝑅𝑃1 𝑃2 = 45°52′ 42.20′′ 𝑁𝐸 𝛼 = 32°53′ 38.15′′

4) Calcular los valores de a, b y 𝛼 𝑏 = 3121.222 − 1833.623𝑠𝑒𝑛𝛼 − 654.976𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1575.487 𝑏 = 3983.136 − 2445.386𝑠𝑒𝑛𝛼 − 1285.825𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1575.404 𝑏 = 1575.446 𝑎 = 2400.426 − 1833.623𝑠𝑒𝑛𝛼 − 654.976𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1216.445 𝑎 = 2571.518 − 2445.386𝑠𝑒𝑛𝛼 − 1285.825𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1216.496 𝑎 = 1216.470 5) Calcular las coordenadas de 𝑋3′ y 𝑌3′

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𝑋31 = (2128.596 − 1575.446)𝑐𝑜𝑠𝛼 − (1721.634 − 1216.470) 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 553.150𝑥0.839677 − 505.164𝑥0.839677 = 190.121 𝑚 𝑌31 = 553.150𝑥0.543086 + 505.164𝑥0.839677 = 724.583 𝑚

PROBLEMAS SOBRE POLIGONALES 203.-ENLACE DE UNA POLIGONAL A UN VÉRTICE INACCESIBLE.-Si en la figura consideramos el punto C dado por sus coordenadas como inaccesibles, en la determinación del enlace se presentan dos casos: a) Cuando cerca del punto C hay otro punto A dado por sus coordenadas y visible desde C y B, se pueden calcular las coordenadas de B y cerrar la poligonal en B en azimut y coordenadas como si fuera en vértice topográfico.

b) Cuando el vértice A no es visible desde B se determina la distancia BC por un punto auxiliar cualquiera y hace el cierre de la poligonal con C en coordenadas pero no en azimut. Ejemplo 86: Calcular las coordenadas del punto B de la poligonal de la figura así: 𝑋𝑐 = 1793.762 𝑌𝑐 = 3453.915 𝜀 = 122°56′ 30′′ 𝛾 = 49°49′40′′ 𝐵𝐷 = 145.78

𝑋𝑎 = 2894.127 𝑌𝑎 = 1521.438

1) Hallar la diferencia de coordenadas 𝑋𝑎 − 𝑋𝑐 = 2894.127 − 1793.762 = 1100.365 𝑌𝑎 − 𝑌𝑐 = 1521.438 − 3453.915 = −1932.477 2) Hallar el ángulo 𝛽 = 180° − (39°28′ 20′′ + 49°49′ 40′′ ) = 90°42′00′′ 3) Calcular la distancia BC 𝐵𝐶 =

145.78𝑠𝑒𝑛49°49′40′′ = 111.40 𝑚 𝑠𝑒𝑛90°42′00′′

4) Calcular el rumbo y la longitud del lado CA

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