Toma-de-decision-yjuegos.docx

FACULTAD ÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMATICA

MATERIA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA TEMAS:  TOMA DE DECISIONES  TEORÍA DE JUEGOS DOCENTE: CARLOS BALDERRAMA VÁSQUEZ

ORURO- BOLIVIA INDICE

CAPITULO Nº1 TOMA DE DECISIONES…………………………………………………………………….. 1. RESUMEN………………………………………………………………….. 2. PROBLEMÁTICA…………………………………………………………... 3. OBJETIVO……………………………………………………………………

3.1. OBJETIVO GENERAL……………………………………………… 3.2. OBJETIVO ESPECIFICO………………………………………….. 4. FUNDAMENTO TEORICO………………………………………………… 4.1. TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIBUMBRE……………. 4.1.1. CRITERIO MINIMAX…………………………………………… 4.1.2. CRITERIO MAXIMIN…………………………………………… 4.1.3. CRITERIO MAXMAX…………………………………………... 4.1.4. CRITERIO DE LEONID HURWICZ………………………….. 4.1.5. CRITERIO DE L. J. SAVAGE………………………………… 4.1.6. CRITERIO DE LA PLACE……………………………………. 4.2. TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO………………………. 4.2.1. TEORIA BAYESIANA EN LA TOMA DE DECISIONES….. 4.2.1.1. SIN EXPERIMENTACION……………………….. 4.2.1.2. CON EXPERIMENTACION……………………… 4.3. ARBOL DE DECISION…………………………………………… 5. RESOLUCION DEL PROBLEMA………………………………………. 5.1. ALTERNATIVAS -> 𝑎𝑗 ……………………………………………. 5.2. ESTADOS DE NATURALEZA………………………………….. 5.3. CONSTRUIR LA MATRIZ DE CONSECUENCIAS………….. 5.3.1. FUNCION DE LA MATRIZ………………………………….. 5.3.2. MATRIZ DE CONSECUENCIA……………………………. 5.4. TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIBUMBRE…………. 5.4.1. CRITERIO MINIMAX………………………………………… 5.4.2. CRITERIO MAXIMIN………………………………………… 5.4.3. CRITERIO MAXMAX………………………………………… 5.4.4. CRITERIO DE LEONID HURWICZ………………………… 5.4.5. CRITERIO DE L. J. SAVAGE………………………………. 5.4.6. CRITERIO DE LA PLACE…………………………………... 5.5. TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO……………………… 5.5.1. TEORIA BAYESIANA EN LA TOMA DE DECISIONES… 5.5.1.1. SIN EXPERIMENTACION………………………. 5.5.1.2. CON EXPERIMENTACION……………………... 5.5.1.2.1. TABLA DE DATOS………………………………. 5.5.1.2.2. MATRIZ DE ESTUDIOS/ EXPERIMENTOS OBSERVACIONES”………………………… 5.5.1.2.3. UTILIZANDO EL TEOREMA DE BAYES 5.6. ARBOL DE DECISION………………………………………….. 6. DESCRIPCION DEL MODELO………………………………………… 7. EVALUACION DEL MODELO………………………………………….. 8. VALORACION CRITICA DE LA TEORIA Y EL MODELO ABORDADO 9. DISCUSION DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS………………… 10. BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………

CAPITULO Nº 2 TEORIA DE JUEGOS....................................... 1. RESUMEN……………………………………………………………….. 2. PROBLEMÁTICA………………………………………………………... 3. OBJETIVO………………………………………………………………… 3.1. OBJETIVO GENERAL…………………………………………… 3.2. OBJETIVO ESPECIFICO……………………………………….. 4. FUNDAMENTO TEORICO……………………………………………… 4.1. CONCEPTUALIZACIÓN………………………………………... 4.2. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE JUEGOS………………….

“MATRIZ

DE

4.2.1. JUEGO……………………………………………………. 4.2.2. REGLA……………………………………………………. 4.2.3. RESULTADOS ………………………………………….. 4.2.4. ESTRATEGIA……………………………………………. 4.2.5. VALOR DEL JUEGO …………………………………… 4.2.6. TÉCNICA ………………………………………………… 4.2.7. MATRIZ DE PAGO……………………………………… 4.3. TIPOS DE JUEGOS…………………………………………….. a) JUEGO SUMA - CERO PARA DOS OPONENTES …… 1. ESTRATEGIAS PURAS ……………………………….. a) PUNTO SILLA……………………………………….. b) ESTRATEGIA MIXTA……………………………….. 1. CARACTERÍSTICAS DE LAS ESTRATEGIAS MIXTAS 1.1. DOMINACIÓN …………………………… 1.2. SOLUCION GRAFICA…………………… 1.3. SOLUCION ALGEBRAICA……………… b) JUEGOS SUMA – DIFERENTE DE CERO O META JUEGOS 5. RESOLUCION DEL PROBLEMA …………………………………………. 5.1. ESTRATEGIA PURA…………………………………………….. 5.1.1. PUNTO SILLA…………………………………………….. 5.2. DOMINACIÓN ……………………………………………………. 5.3. SOLUCIONES GRAFICAS …………………………………………. 5.4. SOLUCIONES ALGEBRAICA……………………………………….

1. RESUMEN La toma de decisión se ha convertido en una herramienta de trabajo indispensable en disciplinas tan variadas como la economía, la psicología, la ciencia política, la sociología o la filosofía. No obstante, sigue siendo una gran desconocida para muchos científicos sociales pese a su gran influencia. En este trabajo se presentan primero los elementos básicos de la toma de decisión para centrarse después en la toma de la decisión en situaciones de incertidumbre. A continuación conoceremos mediante un ejemplo lo que es el tema de Toma de Decisiones, para lo cual hemos tomado muy en cuenta los criterios de decisión y la toma de decisiones además de que mediante el presente trabajo mostraremos otros métodos quizá no mencionados en clase que también forman parte de los métodos para la toma de decisiones. El ejemplo que se desarrollará a continuación nos ayudara a comprender más acerca del tema que queremos estudiar que es la toma adecuada de decisiones dentro de una empresa. Los métodos a utilizar son los ya conocidos pero que implementados en el ejemplo será más fácil asimilarlos. El ejemplo que se mostrara es el de una empresa de productos lácteos refiriéndonos así a la empresa “PIL” que a manera de explicación se le aplicara todos los métodos investigados para una mejor toma de decisiones.

Concluyo diciendo que los métodos para la toma de decisiones pueden ser aplicados a distintos sistemas ya sea de producción y otros. 2. PROBLEMÁTICA EMPRESA PIL está teniendo una buena aceptación en el mercado por los productos que ofrece, siendo sus principales y más importantes ventas de leche, yogurt, etc. para todos los clientes, Queriendo aumentar no solo sus utilidades, sino también, ingresar al mercado de una forma permanente, sin depender de la época en la que se encuentre, se propone realizar publicidad a través de medios para aumentar los clientes y así hacerse conocer en la ciudad de ORURO para tener un índice más elevado de clientes. Para no tener grandes pérdidas por las publicaciones en los medios ya que es la primera vez que se lo realiza, de querer llevar adelante este proyecto y tener la incertidumbre de que el mercado al que se dirige prefiera algún otro de productos como ser helados, jugos, aderezos y no así los ya mencionados. 3. OBJETIVO 3.1. OBJETIVO GENERAL  Emplear herramientas de marketing para la venta del producto nuevo.  Implementar promociones para realzar las ventas de la empresa.  Hallar un modelo matemático que nos dé el mejor resultado y así de esta manera tomar una decisión adecuada en cuanto a lo que se refiere nuestro problema, tomando en cuenta toda la información dada.

3.2.

OBGETIVO ESPECIFICO  Establecer la Matriz de consecuencias considerando la ecuación beneficio/costo para clasificar las alternativas que existen.  Analizar los criterios de decisión bajo completa incertidumbre por que no se conocen las variables de decisión.  Aplicar la teoría Bayesiana para la toma de decisiones con y sin experimentación para definir las probabilidades de cada uno de los eventos.

 Determinar el Costo de Información Perfecta para establecer cuál es el valor que debe pagarse por la información adicional, si conviene o no esta información.  Diseñar el Árbol de Decisión para tener de forma más detallada los objetivos, las opciones de riesgo, ganancias o pérdidas.  Establecer la función de Utilidad para establecer un procedimiento probabilístico.  Proponer la mejor alternativa que la Empresa puede optar para incrementar sus ganancias. 4. FUNDAMENTO TEORICO Los modelos cuantitativos a utilizar en las decisiones organizacionales serán. 4.1. TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE 4.1.1. CRITERIO MINIMAX  Este criterio se ajusta a decisiones pesimistas y conservadoras.  La matriz de ganancia es basada en el costo de oportunidad.  El tomador de decisiones incurre en una perdida por no escoger la mejor decisión.  Para encontrar la decisión optima:  Para cada estado de naturaleza:

 Determine la mejor ganancias de todas las decisiones  Calcule el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión como la diferencia entre su ganancia y la mejor ganancia calculada.  Para cada decisión encuentre el máximo costo de oportunidad para todos los estados de la naturaleza.  Seleccione la alternativa de decisión que tiene el mínimo

𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 𝑚𝑖𝑛𝜃𝑘 {𝑓[𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ]} 4.1.2. CRITERIO MAXIMIN  Este criterio se basa pensando en el peor de los casos  El criterio se ajusta a ambos tipos de decisiones, es decir pesimista y optimista  Una decisión pesimista se toma creyendo que el peor caso ocurrirá.  Una decisión bajo criterio conservador asegura una ganancia mínima posible  Para encontrar una decisión óptima.  Marcar la mínima ganancia a través de todos los estados de naturaleza posible.  Identificar la decisión que tiene máximo de las “mínimas ganancias”

𝑚𝑖𝑛𝑎𝑗 𝑚𝑎𝑥𝜃𝑘 {𝑓[𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ]} 4.1.3. CRITERIO MAXIMAX  Este criterio se basa en el mejor de los casos.  Este criterio considera los puntos de vista optimista y agresivo.  Un tomador de decisiones optimista cree que siempre obtendrá el mejor resultado sin importar la decisión tomada.  Un tomador de decisiones agresivo escoge la decisión que le proporcionara una mayor ganancia  Para encontrar la decisión optima:  Encuentre la máxima ganancia para cada alternativa de decisión.  Seleccione la decisión que tiene la máxima de las “máximas ganancias”

𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 𝑚𝑎𝑥𝜃𝑘 {𝑓[𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ]} 4.1.4. CRITERIO DE LEONID HURWICZ Coeficiente optimista pesimista. Este criterio presenta un intervalo de actitudes entre lo más optimista hasta lo más pesimista.

𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 {𝛼𝑚𝑎𝑥𝜃𝑘 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ) + (1 − 𝛼)𝑚𝑖𝑛𝜃𝑘 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} 𝑚𝑖𝑛𝑎𝑗 {𝛼𝑚𝑖𝑛𝜃𝑘 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ) + (1 − 𝛼)𝑚𝑎𝑥𝜃𝑘 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} El parámetro α se conoce como índice de optimismo:  Cuando α=1, el criterio es demasiado optimista.  Cuando α=0, el criterio es demasiado pesimista. 4.1.5. CRITERIO DE L. J. SAVAGE

Minimizar el arrepentimiento máximo. Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de oportunidad asociado al resultado de la función 𝑟(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )

𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 {𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑟(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ) = { } 𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ) − 𝑚𝑖𝑛𝑎𝑗 {𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )}𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 4.1.6. CRITERIO DE LA PLACE Los estados de naturaleza son igualmente probables.  Si la matriz es de beneficios 𝑚

1 𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 { ∑ 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} 𝑛 𝑗=1

 Si la matriz es de pérdidas o costos 𝑚

1 𝑚𝑖𝑛𝑎𝑗 { ∑ 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} 𝑛 𝑗=1

4.2. TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO 4.2.1. TEORIA BAYESIANA EN LA TOMA DE DECISIONES La teoría Bayesiana describe dos casos de estudio, sin experimentación y con experimentación, considerando primordial las prioridades a priori de los estados de naturaleza. 4.2.1.1. SIN EXPERIMENTACIÓN

𝑂𝑝𝑡∀𝑘 𝐸{𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} 4.2.1.2.

CON EXPERIMENTACIÓN

𝑂𝑝𝑡∀𝑘 𝐸{𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐶 4.3.

ARBOL DE DECISIONES  CUANDO SE TOMA UNA DECISION

 ESTADO DE NATURALEZA Y EVENTOS

 CONEXIÓN DE RAMAS DE ARBOLES

 ENCUENTRA NUESTRA RUTA CRITICA

5. RESOLUCION DEL PROBLEMA  Sistema: “EMPRESA PIL” Realizar publicidad a través de medios de comunicación  Equipo decisor -> Gerente 5.1.

ALTERNATIVAS -> 𝒂𝒋

𝒂𝟏 : realizar publicidad a través de TV 𝒂𝟐 : realizar publicidad a través de Radio 𝒂𝟑 : realizar publicidad a través de Afiches

5.2.

ESTADOS DE NATURALEZA 𝜽𝟏 : 50 clientes compran 𝜽𝟐 : 35 clientes compran 𝜽𝟑 : 25 clientes compran DATOS Ingreso

Costos de publicidad en “Tv, Radio, Afiches” TV

Venta de productos

300 Bs

publicidad Compra de productos

700 Bs/mes 12000Bs

Radio 300 400 Bs/mes 6200Bs

Afiches 150Bs 250 Bs/mes 4000 Bs

B= I - CT 5.3. CONSTRUIR LA MATRIZ DE CONSECUENCIAS 5.3.1. FUNCION DE LA MATRIZ Para f (𝑎1 , θ1) 𝑎1 : Realizar publicidad a través de TV. θ1: 50 clientes compran B = I - CT I = n*p En nuestro caso

B = n*p * CF  Ingreso Venta de productos = n * p = 300 * 50 = 15000 Bs Total ingreso = 15000 Bs  Costo Publicidad 700 Bs

Compra de productos

12000 Bs 12700 Bs Total Costo fijo = 12700 Bs B = 15000 - 12700 = 2300 Bs Para f (𝑎1 , θ2) 𝑎1 : Realizar publicidad a través de TV. 𝜃2 : 35 clientes compran. B = I - CT I = n*p En nuestro caso

B = n*p * CF  Ingreso Venta de productos = n * p = 300 * 50 = 15000 Bs Total ingreso = 15000 Bs  Costo Publicidad 700 Bs Compra de productos 6200 Bs 6900 Bs Total Costo fijo = 6900 Bs B = 15000 - 6900 = 8100 Bs Para f (𝑎1 , θ3) 𝑎1 : Realizar publicidad a través de TV. 𝜃3 : 25 clientes compran. B = I - CT I = n*p En nuestro caso

B = n*p * CF  Ingreso Venta de productos = n*p = 150*50 = 7500 Bs Total ingreso = 7500 Bs  Costo Publicidad 700 Bs Compra de producto 4000 Bs 4700Bs Total Costo fijo = 4700 Bs B =7500 - 4700 = 2800 Bs Para f (𝑎2 , θ1) 𝑎2 : Realizar publicidad a través de Radio. 𝜃1 : 50 clientes compran. B = I - CT I = n*p

En nuestro caso

B = n*p * CF  Ingreso Venta de productos = n*p = 300 * 50 = 15000Bs Total ingreso = 15000 Bs  Costo Publicidad 400 Bs Compra de productos 12000 Bs 12400 Bs Total Costo fijo = 12400 Bs B = 15000 - 12400 = 2600 Bs Para f (𝑎2 , 𝜃2 ) 𝑎2 : Realizar publicidad a través de Radio. 𝜃2 : 35 clientes compran. B = I - CT I = n*p En nuestro caso

B = n*p*CF  Ingreso Venta de productos = n*p = 300 * 50 = 15000Bs Total ingreso =15000 Bs  Costo Publicidad 400 Bs Compra de producto 6200 Bs 6600Bs Total Costo fijo = 6600 Bs B =15000 – 6600 = 8400 Bs Para f (𝑎2 , 𝜃3 ) 𝑎2 : Realizar publicidad a través de Radio. 𝜃3 : 25 clientes compran. B = I - CT I = n*p

En nuestro caso

B = n*p * CF

 Ingreso Venta de productos = n*p =150*50 = 7500 Bs Total ingreso = 7500 Bs  Costo Publicidad 400 Bs Compra de producto 4000 Bs 4400Bs Total Costo fijo = 4400 Bs B =7500 – 4400 = 3100 Bs Para f (𝑎3 , θ1) 𝑎3 : Realizar publicidad a través de Radio. 𝜃1 : 50 clientes compran. B = I - CT I = n*p En nuestro caso

B = n*p*CF  Ingreso Venta de productos = n*p = 300*50 = 15000 Bs Total ingreso = 15000 Bs  Costo Publicidad 200 Bs Compra de producto 12000 Bs 12200 Bs Total Costo fijo = 12200 Bs B =15000 – 12200 = 2800 Bs Para f (𝑎3 , 𝜃2 ) 𝑎3 : Realizar publicidad a través de Radio. 𝜃2 : 35 clientes compran B = I - CT I = n*p

En nuestro caso

B = n*p*CF  Ingreso Venta de productos = n*p =15000Bs Total ingreso = 15000 Bs  Costo Publicidad 250 Bs Compra de juguetes 6200 Bs

6450Bs Total Costo fijo = 6450 Bs B =15000 - 6450 = 8550 Bs Para f (𝑎3 , 𝜃3 :) 𝑎3 : Realizar publicidad a través de Radio. 𝜃3 : 25 clientes compran. B = I - CT I = n*p En nuestro caso

B = n*p*CF  Ingreso Venta de productos = n*p =150*50 = 7500 Bs Total ingreso = 7500 Bs  Costo Publicidad 250 Bs  Compra de juguetes 4000 Bs 4250Bs Total Costo fijo = 4250 Bs B =7500 – 4250 = 3250 Bs

5.3.2. MATRIZ DE CONSECUENCIA θk

Compran 50 paquetes de productos θ1

aj a1 a2 a3

Compran 50 paquetes de productoθ2

2300 2600 2800

Compran 50 paquetes de productos θ3

8100 8400 8550

2800 3100 3250

5.4. TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIBUMBRE 5.4.1. CRITERIO MINIMAX

θk

aj a1 a2 a3

θ1

2300 2600 2800

θ2

8100 8400 8550

θ3

2800 3100 3250

MAX MIN 8100 8400 8550

8100

∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟏 publicar a través de TV 5.4.2. CRITERIO MAXIMIN θk

θ1

θ2

θ3

MIN

MAX

aj 2300 8100 2800 2300 a1 2600 8400 3100 2600 2800 a2 2800 8550 3250 2800 a3 ∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟑 publicar con afiches 5.4.3. CRITERIO MAXIMAX θk

θ1

θ2

θ3

MAX MAX

aj 2300 8100 2800 8100 a1 2600 8400 3100 8400 8550 a2 2800 8550 3250 8550 a3 ∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟑 publicar con afiches 5.4.4. CRITERIO DE LEONID HURWICZ=> α=0.7 optimista 𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 {𝛼 𝑚𝑎𝑥𝜃𝑘 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ) + (1 − 𝛼)𝑚𝑖𝑛𝜃𝑘 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )}

CRITERIO DE HURWICZ aj

{ 𝜶 𝒎𝒂𝒙𝜽𝒌 𝒇(𝒂𝒋 , 𝜽𝒌 )} {(𝟏 − 𝜶)𝒎𝒊𝒏𝜽𝒌 𝒇(𝒂𝒋 , 𝜽𝒌 )}

a1

0.7*8100

(1-0.7)*2300

6360

a2

0.7*8400

(1-0.7)*2600

6450

a3

0.7*8550

(1-0.7)*2800

6510

∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟑 publicar con afiches 5.4.5. CRITERIO DE L. J. SAVAGE 𝑟(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 ) = {

𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 {𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )

Matriz deplorada

θk

θ1

θ2

θ3

2300 2600 2800 2800

8100 8400 8550 8550

2800 3100 3250 3250

aj a1 a2 a3 MAX

}

𝑟(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )

a1

500

450

450

500

a2

200

150

150

150

a3

0

0

0

0

∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟑 publicar con afiches 5.4.6. CRITERIO DE LA PLACE 𝑚

1 𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 { ∑ 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} 𝑛 𝑗=1

1

E[a1]=3 [2300 + 8100 + 2800] = 4400 1

E[a2]=3 [2600 + 8400 + 3100] = 7050 1

E[a3]=3 [2800 + 8550 + 3250] = 𝟒𝟖𝟔𝟔. 𝟕 ∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟑 publicar con afiches 5.5. TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO 5.5.1. TEORIA BAYESIANA EN LA TOMA DE DECISIONES 5.5.1.1. SIN EXPERIMENTACION

𝑚𝑎𝑥𝑎𝑗 {𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} Probabilidades A priori

𝜽𝒌

CANT/EST

PROBABILIDAD A PRIORI

𝜽𝟏

50

0.35

𝜽𝟐

35

0.40

𝜽𝟑

25

0.25

110

1.00%

∑

a1 Realizar publicidad a través de TV E[ 𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )]=[(2300 ∗ 0.35) + (8100 ∗ 0.40) + (2800 ∗ 0.25)] = 4745 a2 Realizar publicidad a través de Radio E[𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )]=[(2600 ∗ 0.35) + (8400 ∗ 0.40) + (3100 ∗ 0.25)] = 5045 a3 Realizar publicidad a través de Afiches E[𝑓(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )]=[(2800 ∗ 0.35) + (8550 ∗ 0.40) + (3250 ∗ 0.25)] = 𝟓𝟐𝟏𝟐. 𝟓 ∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟑 publicar con afiches 5.5.1.2. CON EXPERIMENTACION Experimentación x => Encuestas Primer experimento θ1 Éxito Segundo

Experimento θ2 Indiferente Personas que conocen la empresa de PIL θ3 Pesimista Personas que no conocen la empresa del PIL

ENCUESTA ORURO EMPRESA PIL REPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS 1. ¿Conoce la empresa PIL? SI NO 2. Usted cree que la publicidad para la EMPRESA PIL tendrá: θ1 Éxito Segundo θ2 Indiferente θ3 Pesimista 5.5.1.2.1. TABLA DE DATOS Datos obtenidos mediante encuestas

aj

θk

Éxito Indiferente Pesimista Segundo

Personas que conoce la empresa pil

45

63

7

Personas que no conoce la empresa pil

28

49

4

5.5.1.2.2. MATRIZ DE ESTUDIOS/ EXPERIMENTOS “MATRIZ DE OBSERVACIONES” Matriz de observaciones

θk

θ1

θ2

θ3

Personas que conoce la empresa pil Personas que no conoce la empresa pil

45

63

7

28

49

4

73

112 11

aj

Matriz de Probabilidades Θ1=0.35

Θ2=0.40

Θ3=0.25

Personas que conoce la empresa pil

0.6

0.3

0.5

Personas que no conoce la empresa pil

0.4

0.7

0.5

1

1

1

aj

θk

5.5.1.2.3. UTILIZANDO EL TEOREMA DE BAYES

𝑋 𝑃 ( ) ∗ 𝑃(𝜃𝑖 ) 𝜃𝑖 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜃𝑖 𝑃( ) = = 𝑋 𝑋 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 ∑𝑚 𝑘=1 𝑃 (𝜃 ) ∗ 𝑃 (𝜃𝑘 ) 𝑘 Para x=I Personas que conoce la empresa pil 𝜃1 : Éxito 50 clientes que compran

𝜃1 0.6 ∗ 0.35 0.21 )= 𝑃( = = 0.46 (0.6 ∗ 0.35) + (0.3 ∗ 0.4) + (0.5 ∗ 0.25) 0.455 𝑋=𝐼 𝜃2 : Éxito 35 clientes que compra

𝜃2 0.3 ∗ 0.40 0.12 )= 𝑃( = = 0.26 (0.6 ∗ 0.35) + (0.3 ∗ 0.4) + (0.5 ∗ 0.25) 0.455 𝑋=𝐼 𝜃3 : Éxito 25 clientes que compran

𝜃3 0.5 ∗ 0.25 0.13 )= 𝑃( = = 0.28 (0.6 ∗ 0.35) + (0.3 ∗ 0.4) + (0.5 ∗ 0.25) 0.455 𝑋=𝐼

Para x=II Personas que no conoce la empresa pil 𝜃1 : Éxito 50 clientes que compran

𝑃(

𝜃1 0.4 ∗ 0.35 0.14 )= = = 0.25 (0.4 ∗ 0.35) + (0.7 ∗ 0.40) + (0.5 ∗ 0.25) 0.545 𝑋 = 𝐼𝐼

𝜃2 :: Éxito 35 clientes que compran

𝑃(

𝜃2 0.7 ∗ 0.40 0.28 )= = = 0.51 (0.4 ∗ 0.35) + (0.7 ∗ 0.40) + (0.5 ∗ 0.25) 0.545 𝑋 = 𝐼𝐼

𝜃3 : Éxito 25 clientes que compran

𝑃(

𝜃3 0.5 ∗ 0.25 0.13 )= = = 0.24 (0.4 ∗ 0.35) + (0.7 ∗ 0.40) + (0.5 ∗ 0.25) 0.545 𝑋 = 𝐼𝐼

Matriz de Probabilidades Aposteriori Probabilidades Aposteriori

Θ1

Θ2

Θ3

Personas que conocen la empresa pil

0.46

0.26

0.28

1

Personas que No conocen la empresa pil

0.25

0.51

0.24

1

aj θk

Para el experimento max 𝐸 {𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐶 C=450 max 𝐸 {𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} = [∑𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )* 𝑃(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )]-C

5.6.

Para X=I Personas que conocen la empresa pil a1 𝐸{𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} – 𝐶 =[(2300 ∗ 0.46) + (8100 ∗ 0.26) + (2800 ∗ 0.28)] − 450 = 3048 - 450 = 3498 a2 𝐸{𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐶 =[(2600 ∗ 0.46) + (8400 ∗ 0.26) + (3100 ∗ 0.28)] - 450 =4248 – 450 = 3798 a3 𝐸{𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐶 =[(2800 ∗ 0.46) + (8550 ∗ 0.26) + (3250 ∗ 0.28))] 450 =4421- 450 = 3971 ∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟑 publicar con afiches Para X=II Personas que no conocen la empresa pil a1 𝐸{𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐶 =[(2300 ∗ 0.25) + (8100 ∗ 0.51) + (2800 ∗ 0.24)] − 450=5378 - 450 = 4928 a2 𝐸{𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐶 =[(2600 ∗ 0.25) + (8400 ∗ 0.51) + (3100 ∗ 0.24)] 450=5678-450=5228 a3 𝐸{𝐹(𝑎𝑗 , 𝜃𝑘 )} − 𝐶 =[(2800 ∗ 0.25) + (8550 ∗ 0.51) + (3250 ∗ 0.24))]-450 =5840.5-450=5390.5 ∴ Debe elegir la alternativa ->𝒂𝟑 publicar con afiches ÁRBOL DE DECISIONES

2300*0.35 8100*0.40

5045

2800*0.25 2600*0.35

4745

4745

8400*0.40 3100*0.25 2800*0.35

5212.5

8550*0.40 3250*0.25

2300*0.46 3048

8100*0.26 2800*0.28

0.6

95.8

2600*0.46

0.3

5313.7

4248

8400*0.26 3100*0.28

0.5 2800*0.46 4421

8550*0.26 3250*0.28

8595.8 2300*0.25 5378

8100*0.51 2800*0.24

0.4

2600*0.25 9045.08

5678

0.7

8400*0.51 3100*0.24

9045-450=8595.8

0.5 2800*0.25

6.

DESCRIPCION DEL MODELO

5840

8550*0.51

Los métodos que se han ido empleando en este trabajo de investigación son los criterios de 3250*0.24

toma de decisiones y el Teorema de Bayes tanto con experimentación y sin experimentación, además de los criterios de La Place, Hurwicz y Savage. Para iniciar a resolver el problema que nos presenta la EMPRESA PIL iniciamos determinando las acciones o alternativas y estados de naturaleza de la empresa para luego pasar al planteamiento de la matriz de consecuencias y mediante el uso de las probabilidades de los estados de naturaleza hemos ido obteniendo datos que según los criterios son para nosotros la posible alternativa de solución óptima al problema. 7.

EVALUACION DEL MODELO Los algoritmos entre los que podemos aplicar están: Los algoritmos de tres pasos. Paso 1 capturar los datos. Paso 2 procesar los datos. Paso 3 Generar los resultados. En el modo GUI los elementos de captura de datos son variados, las cajas de texto y las áreas de texto nos permitirán recordar los conceptos básicos, también podemos probar los spinner. Se necesitan los elementos de conversión de datos así para capturar un texto de una caja de texto nombreCajaTexto.getText(); para capturar un texto de un área de texto nombreAreaTexto.getText(); para convertir a entero Integer.parseInt( texto ); para convertir a decimal Double.parseDouble( texto ); para convertir a texto String.valueOf( valor ); los operadores aritméticos son +,-,*,/,% suma, resta, multiplicación, división y módulo. para las potencias Math. pow( base, exponente) para otras operaciones como las trigonométricas se usa Math. seguida de la función deseada. para asignar texto a una caja de texto nombreCajaTexto.setText( texto que se desea mostrar); para asignar un texto a un área de texto nombreAreaTexto.setText( texto a mostrar ); El lugar en el cual se copia el algoritmo de tres pasos será en el evento clicked del botón deseado también puede ubicarse en un menú e incluso en una label. los tipos de datos primitivos son int, long, byte, char, boolena, double, float. los tipos extendidos son Double, String, Integer, Long, Boolean entre otros... (Esto ya es orientación a objetos).

8.

VALORACION CRITICA DE LA TEORIA Y EL MODELO ABORDADO Podemos concluir que los resultados obtenidos de los diferentes criterios de decisión nos muestran claramente la alternativa más óptima para recomendar a la empresa PIL, es así que

abríamos procedido a utilizar los métodos y criterios más importantes para la toma de decisiones. DISCUSION DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS Se puede observar que la alternativa más recomendada es:

9.

𝑎3 : 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑢𝑏𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒𝑠 Porque es la alternativa más repetida en la mayoría de los criterios realizados Los resultados finales obtenidos se muestran a continuación Criterio de decisión bajo incertidumbre Bajo estos criterios las recomendaciones sobre cuál es la alternativa que deberíamos tomas queda dividida  En 6 de los criterios realizados se recomienda la 𝑎3  En 1 de los criterios realizados se recomienda la 𝑎1 Criterios de decisión bajo Riesgo Sin experimentación Con experimentación  Bajo este criterio de decisión bajo riesgo  Bajo este criterio de decisión bajo se recomienda la riesgo se recomienda la 𝒂𝟑 : 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒖𝒃𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝒂𝒇𝒊𝒄𝒉𝒆𝒔

𝑎3 : 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒖𝒃𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝒂𝒇𝒊𝒄𝒉𝒆𝒔

Funciones de utilidad Adversa al riesgo Se recomienda

Neutral al riesgo Se recomienda

Propensa al riesgo Se recomienda

𝑎3 : 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒖𝒃𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝒂𝒇𝒊𝒄𝒉𝒆𝒔 𝑎3 : 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒖𝒃𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝒂𝒇𝒊𝒄𝒉𝒆𝒔 𝑎3 : 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒖𝒃𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝒂𝒇𝒊𝒄𝒉𝒆

10.

BIBLIOGRAFIA  Robert Clemen. Making Hard Decisions: An Introduction to Decision Analysis, 2nd edition. Belmont CA: Duxbury Press, 1996. (cubre sólo la parte normativa de la teoría de la decisión).  James O. Berger Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Second Edition. 1980. Springer Series in Statistics. ISBN 0-387-96098-8.  Enlaces:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191-03/tabladec.htm

.

1. RESUMEN La teoría de juegos

se ha convertido en una herramienta de trabajo indispensable en

disciplinas tan variadas como la economía, la psicología, la ciencia política, la sociología o la filosofía. No obstante, sigue siendo una gran desconocida para muchos científicos sociales pese a su gran influencia. En este trabajo se presentan primero los elementos básicos de la teoría de juegos. A continuación conoceremos mediante un ejemplo lo que es el tema de Toma de teoría de juegos, para lo cual hemos tomado muy en cuenta los jugadores del juego y la teoría de juegos además de que mediante el presente trabajo mostraremos los métodos que forman parte de los métodos para la teoría de juegos. El ejemplo que se desarrollará a continuación nos ayudara a comprender más acerca del tema que queremos estudiar que es la ganancia de un jugador 1 y la mínima perdida del jugador 2. Los métodos a utilizar son los ya conocidos pero que implementados en el ejemplo será más fácil asimilarlos. El ejemplo que se mostrara es de dos empresa de productos lácteos refiriéndonos así a la empresa “PIL” y a la empresa LACTEOSBOL, como el primer jugador la empresa “PIL” y como el segundo jugador LACTEOSBOL que a manera de explicación se le aplicara todos los métodos investigados para una resultado. Concluyo diciendo que los métodos para la teoría de juegos pueden ser aplicados a distintos sistemas ya sea de producción y otros. 2. PROBLEMÁTICA Dos empresas, “PIL” y LACTEOSBOL, se disputan la competitividad en el mercado, siendo la demanda diaria de productos elevada. Las dos empresas tienen varias opciones; la empresa “PIL” puede poner tiendas comerciales de productos lácteos, en el centro y norte, o solo en el norte, la empresas LACTEOSBOL puede poner tiendas comerciales de productos lácteos en

todo el territorio o solo en el centro y sur. El mercado que captaría las empresas, “PIL” según las estrategias a seguir. 3. OBJETIVO 3.1. OBJETIVO GENERAL  Analizar las decisiones estratégicas que involucran cooperación y/o conflicto, aprendizaje y evolución. 3.2. OBGETIVO ESPECIFICO  Identificará los elementos básicos sobre juegos.  Comprenderá los tipos de estrategias a seguir dependiendo de la forma de juego.  Adquirirá la habilidad para identificar los diferentes tipos de juegos. 4. FUNDAMENTO TEORICO 5.5. CONCEPTUALIZACIÓN La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en un marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos. La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad. La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Nash, A.W. Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos. 5.6. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE JUEGOS 5.6.1. JUEGO Situación de conflicto, donde dos o más jugadores intentan alcanzar un objetivo seleccionado, ganar a costa de otros, bajo ciertas reglas. Dónde: n > o igual 2  n = 2 el juego se llama de dos personas  n > 2 el juego se llama de n personas 5.6.2. REGLA Políticas conocidas por los jugadores, constituyen los recursos de acción los cuales pueden ser elegidos de acuerdo a los objetivos perseguidos por los jugadores 5.6.3. RESULTADOS Son posibles combinaciones o conjunto de estrategias óptimas para cada jugador, desarrollado bajo una serie de condiciones los cuales permiten terminar la competitividad o el juego: entre los posibles resultados están: ganar perder y empatar.

5.6.4. ESTRATEGIA Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios. 5.6.5. VALOR DEL JUEGO Es el promedio de ganancia a lo largo de las múltiples jugadas, donde cada jugador indica cual es el beneficio o pérdida a recibir. 5.6.6. TÉCNICA Conjunto de reglas mediante las cuales se intentan resolver el juego, encontrando las estrategias óptimas para cada jugador. Esto se desarrolla bajo ciertos criterios de decisión. 5.6.7. MATRIZ DE PAGO Es una tabla la cual permite a los jugadores clasificar sus estrategias aplicando técnicas a esta tabla se podrá lograr resultados óptimos, para los jugadores La matriz caracteriza el proceso de la teoría de juegos, para cada combinación de estrategias de un jugador A, frente a las estrategias de otro jugador B, se obtiene una consecuencia.

Jugador B Jugador A[

8 4

0 −2

6 ] 3

Entonces la matriz de pago estara estructurada de la siguiente forma

5.7.

Dónde: El jugador A, escoge una estrategia i disponible entre 1,2,…,m estrategias El jugador B, escoge una estrategia i disponible entre 1,2,…,n estrategias TIPOS DE JUEGOS Las situaciones de conflicto abordados por un modelo de juego, permite establecer diferentes tipos de juegos o modelos de juego, pero entre los más importantes y más estudiados están a) JUEGO SUMA - CERO PARA DOS OPONENTES En este tipo de juegos existe dos jugadores, un jugador A (juega las estrategias de los reglones de i a m estrategias) y un jugador B (juega las estrategias de las columnas de j a n estrategias). Si el jugador A elige una estrategia m y el jugador B

elige una estrategia n, entonces el jugador A gana u obtiene un beneficio a costa del jugador B, es decir el jugador A, gana lo que el jugador B pierde. Las estrategias las cuales jugaran los jugadores A y B son de dos tipos, estrategias puras o estrategias mixtas. 1. ESTRATEGIAS PURAS Es un juego o partida, cada jugador tiene a su disposición un conjunto de movida o estrategias (i, j estrategias del jugador A y B), si un jugador elige una acción esto corresponde a una única opción o curso de acción, esto con una probabilidad de 1, entonces el jugador está eligiendo una estrategia pura a) PUNTO SILLA Un punto de silla es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, Encierre en círculo los mínimos de todos los renglones y meta en caja los máximas de todas las columnas. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente en círculo y en caja. Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos uno punto de silla. Las siguientes declaraciones se aplican a los juegos estrictamente determinados: Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras. El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto parcial.

Dónde:

𝑎𝑚𝑖

y

𝑎𝑛𝑗

representa un elemento de consecuencia para la matriz de

pagos Punto silla Valor MiniMax = valor MaxiMin

No todos los juegos presentan un punto silla, para resolver estos juegos deben encontrarse estrategias mixtas. b) ESTRATEGIA MIXTA La inestabilidad de un juego es producto de la no existencia del punto silla, para encontrar soluciones optimas ante la inestabilidad del juego, se recurre a las estrategias mixtas. En las combinaciones mixtas los jugadores A y B, pueden jugar todas las estrategias de acuerdo al conjunto de probabilidades (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑚 ) y (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑚 ) tanto para el jugador A como el jugador B respectivamente. Para el conjunto de probabilidades, se establece las siguientes ecuaciones 𝑚

𝑛

∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑦𝑗 = 1 𝑖=1

𝑗=1

𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖 𝑦 𝑗 La matriz de pagos, estará estructura con 𝑥𝑖 𝑒 𝑦𝑗 de la siguiente forma

Dónde: 𝑎𝑖𝑗 Representa el elemento de consecuencia para la matriz de pagos. 1. CARACTERÍSTICAS DE LAS ESTRATEGIAS MIXTAS Si el jugador A escoge i y el jugador B escoge j, se genera una consecuencia 𝑎𝑖𝑗 , donde el jugador A gana 𝑎𝑖𝑗 y el jugador 𝑎𝑖𝑗 , con esta característica es estructurada la matriz de pagos. Las soluciones óptimas para los dos jugadores estarán descritas de la siguiente forma: El jugador A, elige 𝑥𝑖 , quien maximiza el pago esperado de las columnas. El jugador B, elige 𝑦𝑗 , quien minimiza el pago esperado de los renglones. Matemáticamente el criterio minimax y maximin para las estrategias mixtas está dado por:  SITUACIONES DEL JUGADOR A El jugador A selecciona 𝑥𝑖 (𝑥𝑖 ≥ 0 , ∑𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖 = 1) Para

Ec(1)

 SITUACIÓN DJUGADOR B El jugador B selección 𝑦𝑗 (𝑦𝑗 ≥ 0 , ∑𝑛𝑗=1 𝑦𝑗 = 1) Para

Ec (2)

La ecuación (1) y (2), serán los pagos maximin y minimax esperados, para las estrategias debe verificarse la relación. Pago esperado minimax > e igual pago esperado En la ecuación (3)maximin si se cumple la igualdad entonces 𝑥𝑖 𝑒 𝑦𝑗 corresponden a la solución óptima del juego, por consiguiente el valor esperado óptimo del juego es:

1.1.

Para los problemas de juego suma cero de dos personas se recurren al análisis por medio de algunas técnicas o métodos los cuales resuelven estos problemas, entre estas técnicas están  Dominación  Solución grafica  Solución algebraica DOMINACIÓN Esta técnica permite eliminar filas o columnas (columnas estratégicas de los jugadores) bajo el concepto de dominación con las siguientes características  PARA EL JUGADOR B Se busca minimizar la maxima perdida Si la estrategia 𝑎𝑖𝑗 < 𝑎𝑖𝑘 Dónde: I = 1,2,3,…,m Para cualquier valor de j y k J=k Entonces La estrategia j domina a la estrategia k, por lo tanto puede eliminar toda la estrategia k (la columna)  PARA EL JUGADOR A Se busca maximizar la minima perdida Si la estrategia 𝑎𝑖𝑗 > 𝑎𝑘𝑗 Dónde: I = 1,2,3,…,n Para cualquier valor de i y k i=k

1.2.

Entonces La estrategia i domina a la estrategia k, por lo tanto puede eliminar toda la estrategia k (la fila) La dominación permite reducir la matriz de pagos, eliminando filas y columnas, estratégicas del jugador A y B respectivamente, a esta matriz reducida puede aplicarse el punto silla, caso contrario se debe recurrir a otras técnicas para la resolución del juego. SOLUCION GRAFICA Esta técnica gráfica, se aplica en el caso cuando un jugador tiene 2 estrategias y el otro tiene más de 2 estrategias es decir, 2*N O M*2  PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO O TÉCNICA GRAFICA PARA EL CASO 2*N PASO 1 Establecer la matriz de pagos con las siguientes características

𝑥2 = 1 − 𝑥1 Dónde:

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

𝑥1 ≠ 𝑥2 = 1 PASÓ 2 Establecer los pagos esperados del jugador A y las estrategias puras del juego B de la siguiente forma. Estrategias puras del jugador A

Pago esperado del jugador B

. . .

. . .

(𝒂𝟏𝟏 − 𝒂𝟐𝟏 )𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟏

N

ECUACIONES

(𝒂𝟏𝟏 − 𝒂𝟐𝟏 )𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 (𝒂𝟏𝟐 − 𝒂𝟐𝟐 )𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 (𝒂𝟏𝟑 − 𝒂𝟐𝟑 )𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟑

1 2 3

PASÓ 3 Graficar las rectas de los pagos esperados del jugador A, con las siguientes características.

5 4

5 4

3 2 1 0

3 2 1

𝑥2

1 -1 -2

VALORES DEL JUEGO

Valores

valores 𝑥1

-1 -2

PASÓ 4 De esta grafica establecer el punto maximin, maximizar las minimas ganancias PASÓ 5 De la intersección de las rectas maximin (de la gráfica) elegir dos ecuaciones y proceder a la resolución para hallar el valor

𝑥1

𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥2 = 1 − 𝑥1 PASÓ 6 El valor del juego

𝑣 ∗ , se hallara reemplazando el valor 𝑥1 en

cualquiera de las ecuaciones de intersección del grafico PASÓ 7 Finalmente,

la

estrategia

optima

del

jugador

A,

será

seleccionado entre el valor de 𝑥1 y 𝑥2 (el de mayor probabilidad)  PROCEDIMIENTO DEL METODO O TECNICA GRAFICA PARA EL CASO M * 2 PASÓ 4 De este grafico establecer el punto minimax, minimizar las máximas perdidas, este punto minimax está debajo de la envolvente superior. PASÓ 5 De la intersección de las restas minimax (de la gráfica) elegir dos ecuaciones y proceder a la resolución para hallar el valor

𝑦1

𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦2 = 1 − 𝑦1 PASÓ 6

El valor del juego

𝑣 ∗ , se hallara reemplazando el valor 𝑦1 en

cualquiera de las ecuaciones de intersección del grafico PASÓ 7 Finalmente,

1.3.

la

estrategia

optima

del

jugador

A,

será

seleccionado entre el valor de 𝑦1 y 𝑦2 (el de mayor probabilidad) SOLUCION ALGEBRAICA Esta técnica algebraica resuelve juegos con las siguientes características o No puede existir un punto silla en el juego o Dos estrategias tanto para el jugador A , como para el jugador B La matriz de pagos estará estructurada de la siguiente forma,  PARA EL JUGADOR B, FRENTE A LAS ESTRATEGIAS DE A

(De la matriz de pagos) Para las estrategias

𝑦1 : 𝑎11 𝑞1 + 𝑎12 𝑞2 … … … … (1) 𝑦2 : 𝑎21 𝑞1 + 𝑎22 𝑞2 … … … … (2) De la igualdad de (1) y (2) 𝑎11 𝑞1 + 𝑎12 𝑞2 = 𝑎21 𝑞1 + 𝑎22 𝑞2 … … . . (3) Dónde: 𝑞1 ≥ 0 ∀ 𝑖 = 1,2 Como 𝑞1 son probabilidades Entonces 𝑞1 + 𝑞2 = 1 … … … (4) Finalmente  Resolviendo la ecuación (3) y (4) se encuentra los valores de las estrategias del jugador B  Elegir la mayor probabilidad encontrada entre 𝑞1 y 𝑞2 como estrategia óptima para el jugador B  PARA

EL JUGADOR ESTRATEGIAS DE B (De la matriz de pagos)

A,

FRENTE

A

LAS

Para las estrategias

𝑥1 : 𝑎11 𝑝1 + 𝑎12 𝑝2 … … … … (1) 𝑥2 : 𝑎21 𝑝1 + 𝑎22 𝑝2 … … … … (2) De la igualdad de (1) y (2) 𝑎11 𝑝1 + 𝑎12 𝑝2 = 𝑎21 𝑝1 + 𝑎22 𝑝2 … … . . (3) Dónde: 𝑝1 ≥ 0 ∀ 𝑖 = 1,2 Como 𝑝1 son probabilidades Entonces 𝑝1 + 𝑝2 = 1 … … … (4) Finalmente  Resolviendo la ecuación (3) y (4) se encuentra los valores de las estrategias del jugador A  Elegir la mayor probabilidad encontrada entre 𝑃1 y 𝑃2 como estrategia óptima para el jugador A  El valor del juego 𝑣 ∗

𝑎11 𝑝1 + 𝑎21 𝑝1 + 𝑎11 𝑞1 + 𝑎21 𝑞1 +

𝑎12 𝑝2 𝑎22 𝑝2 𝑎12 𝑞2 𝑎22 𝑞2

b) JUEGOS SUMA – DIFERENTE DE CERO O META JUEGOS El juego suma diferente de cero es llamada también meta – juego, consistente en adoptar la política donde la ganancia de un jugador u organización no necesariamente debe ganar (perder) a expensa de otro jugador u organización (competidor), es decir, implica la salida beneficiosa de ambos jugadores en el juego Estos modelos matemáticos, son modelos de poca aplicabilidad práctica, las técnicas de solución para este tipo de meta juegos se encuentra en un estado muy primitivo. La aplicación de los meta juegos se da en la ofertacion y la mercadotecnia 6. RESOLUCION DEL PROBLEMA 6.1. ESTRATEGIA PURA 6.1.1. PUNTO SILLA JUGADORES  EMPRESA PIL  EMPRESA LACTEOSBOL Calcular el valor del juego Sea la matriz de pagos

a) Estrategia optima y el valor del juego Valor del juego 𝑣 ∗ = 30000 competitividad en el mercado RESPUESTA  Existe un punto silla porque Maximin = Minimax, entonces  Empresa PIL, debe seguir la estrategia de colocar tiendas comerciales en el norte  Empresa LACTEOSBOL, debe seguir la estrategia de colocar tiendas comerciales centro y sur 6.2.

DOMINACIÓN

Para el jugador B, eliminamos estrategia B Porque  La estrategia 𝑎𝑖𝑗 < 𝑎𝑖4 Donde i = 1, 2, 3 Para k = 4 y j = 3  Entonces La estrategia j = 3 domina a la estrategia k = 4, por lo tanto puede eliminar toda la estrategia k (la columna)

𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒓𝒓𝒊𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒚 𝒔𝒖𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒕𝒆𝒈𝒊𝒂 𝑨 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒕𝒆𝒈𝒊𝒂 𝑩 27000 35000 28000 25000 32000 33000 30000 31000 22000 28000 30000 33000

Para el jugador A, eliminamos centro y norte Porque  La estrategia 𝑎𝑖𝑗 < 𝑎3𝐽 Donde J = 1, 2, 3 Para i = 2 y K = 3  Entonces La estrategia i = 2 domina a la estrategia k = 3, por lo tanto puede eliminar toda la estrategia k (la fila)

Para el jugador B, eliminamos todo territorio Porque  La estrategia 𝑎𝑖𝑗 < 𝑎𝑖1 Donde i = 1, 2 Para k = 1 y j = 2  Entonces La estrategia j = 2 domina a la estrategia k = 1, por lo tanto puede eliminar toda la estrategia k (la columna)

Resultado final de la matriz de pagos

b) Estrategia optima y el valor del juego Valor del juego 𝑣 ∗ = 30000 competitividad en el mercado

6.3.

RESPUESTA  Existe un punto silla porque Maximin = Minimax, entonces  Empresa PIL, debe seguir la estrategia de colocar tiendas comerciales en el norte  Empresa LACTEOSBOL, debe seguir la estrategia de colocar tiendas comercial en el centro y sur SOLUCIONES GRAFICAS

Para el jugador A  Por dominación la matriz de pagos se reduce a:

El valor del juego 𝑉 ∗ será 28000 < 𝑉 ∗ < 30000 Los pagos esperados corresponden a las estrategias puras de B, son ESTRATEGIAS PURAS DEL JUGADOR B 𝒀𝟐 𝒀𝟑 𝒀𝟒

PAGO ESPERADO DEL JUGADOR A (𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎)𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 … … . (𝟏) (𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟏𝟎𝟎𝟎)𝒙𝟏 + 𝟑𝟏𝟎𝟎𝟎 … … . (𝟐) (𝟑𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎)𝒙𝟏 + 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎 … … . (𝟑)

 Graficando las ecuaciones (1), (2) y (3) permitirán caracterizar el punto maximin formado por las estrategias de los dos jugadores Ecuación (1) Ecuación (2) Ecuación (3) Valor 𝑥2 Valor 𝑥1 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

-1 -2

-1 -2

Del gráfico, se establece el punto maximin, para hallar el valor de 𝑥1 , 𝑥2 se elige la combinación de la recta 1 y 2, porque estas rectas forman el punto maximin Con la ecuación (1) y (2) (28000 − 30000)𝑥1 + 30000 = (25000 − 31000)𝑥1 + 31000 (−2000)𝑥1 + 30000 = (−6000)𝑥𝟏 + 31000 (−2000)𝑥1 + (6000)𝑥𝟏 = 31000 − 30000 4000𝑥1 = 1000 1000 𝑥𝟏 = 4000 𝟏 𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟓 Por definición

𝑥2 = 1 − 𝑥1 1000 𝑥2 = 1 − 4000 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟒 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟕𝟓 El valor del juego 𝑉 ∗

(−2000)𝑥1 + 3000 … . (1) 𝑉∗ = { } (−6000)𝑥𝟏 + 31000 … … (2) 𝑉 ∗ = {(−6000)𝑥𝟏 + 31000}

𝟏 𝑉 ∗ = {(−6000) + 31000} 𝟒 𝟏 𝑉 ∗ = {(−6000) + 31000} 𝟒 𝑉 ∗ = 30000 El valor del juego para el jugador EMPRESA PIL es 30000 PARA EL JUGADOR B Para la ecuación 𝑌3 , 𝑌4 

Los pagos esperados correspondiente a las estrategias puras de A

ESTRATEGIAS PURAS DEL JUGADOR B

PAGO ESPERADO DEL JUGADOR A (𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟐𝟎𝟎𝟎)𝒚𝟑 + 𝟑𝟐𝟎𝟎𝟎 … … . (𝟏) (𝟑𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎)𝒚𝟑 + 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎 … … . (𝟐)

𝑿𝟏 𝑿𝟐

estas ecuaciones de establecer el valor 𝑌3 𝑒 𝑌4 Entonces (25000 − 32000)𝑦3 + 32000 = (31000 − 27000)𝑦3 + 27000 (−7000)𝑦3 + 32000 = (4000)𝑦3 + 27000 (−7000)𝑦3 − (4000)𝑦3 = 27000 − 32000 (−11000)𝑦3 = −5000 5000 −𝑦3 = − 11000 5 −𝑦3 = − 11 𝑦3 = 0.45 Con

Por definición

𝑦4 = 1 − 𝑦3 5 𝑦4 = 1 − 11 6 𝑦4 = 11 𝑦4 = 0.54 El valor del juego 𝑉 ∗

(25000 − 32000)𝑦3 + 32000 … . (1) 𝑉∗ = { } (31000 − 27000)𝑦3 + 27000 … … (2) 𝑉 ∗ = {(25000 − 32000)𝑦3 + 32000} 𝑉 ∗ = {(−7000)

5 11

+ 32000}

𝑉 ∗ = 30000

6.4.

RESPUESTA Para el jugador a, la estrategia 𝑥1 , 𝑥2 A(0.25; 0.75) Para el jugador b, la estrategia 𝑥3 B(0;0;0.45; 0.54) El valor del juego 𝑉 ∗ = 30000 SOLUCIONES ALGEBRAICA

La técnica algebraica estructura la matriz de pagos de la siguiente forma

El valor del juego 𝑉 ∗ será 28000 < 𝑉 ∗ < 30000  Para el jugador A en contra del jugador B 28000𝑃1 + 30000𝑃2 = 32000𝑃1 + 27000𝑃2 … … . (1) 𝑃1 + 𝑃2 = 1 … … . (2) Del sistema de ecuaciones se halla el valor de 𝑃1 𝑌 𝑃2 28000𝑃1 − 32000𝑃1 = 27000 − 30000𝑃2 −4000𝑃1 = − 3000𝑃2 3000 𝑃1 = 𝑃 … … . (3) 4000 2 Reemplazar la (3) en (2) 𝑃1 + 𝑃2 = 1 3000 𝑃 + 𝑃2 = 1 4000 2 7000 𝑃 = 1 4000 2 4 𝑃2 = … … . . (4) 7 Reemplazar la (4) en (3) 3000 𝑃1 = 𝑃 4000 2 3000 4 𝑃1 = ∗ 4000 7 3 𝑃1 = 7 El valor del juego, reemplazar 𝑃1 𝑌 𝑃2 en la ecuación (1) 𝑉 ∗ = 28000𝑃1 + 30000𝑃2 3 4 𝑉 ∗ = 28000 ∗ + 30000 ∗ 7 7

𝑉 ∗ = 29143  Para el jugador B en contra del jugador A 28000𝑞1 + 32000𝑞2 = 30000𝑞1 + 27000𝑞2 … … . (1) 𝑞1 + 𝑞2 = 1 … … . (2) Del sistema de ecuaciones se halla el valor de 𝑃1 𝑌 𝑃2 28000𝑞1 + 32000𝑞2 = 30000𝑞1 + 27000𝑞2 −2000𝑞1 = − 5000𝑞2 5000 𝑞1 = 𝑞 … … . (3) 2000 2 Reemplazar la (3) en (2) 𝑞1 + 𝑞2 = 1 5000 𝑞 + 𝑞2 = 1 2000 2 7000 𝑞 = 1 2000 2 2 𝑞2 = … … . . (4) 7 Reemplazar la (4) en (3) 5000 𝑞1 = 𝑞 2000 2 5000 2 𝑞1 = ∗ 2000 7 5 𝑞1 = 7

El valor del juego, reemplazar 𝑃1 𝑌 𝑃2 en la ecuación (1) 𝑉 ∗ = 28000𝑞1 + 32000𝑞2 5 2 𝑉 ∗ = 28000 ∗ + 32000 ∗ 7 7 𝑉 ∗ = 29143 RESPUESTA Para el jugador A, elegir la estrategia 𝑃1 es decir la estrategia 𝑥1 Para el jugador B, elegir la estrategia 𝑞2 , es decir la estrategia 𝑦2 El valor del juego es de 𝑉 ∗ = 29143