Toi Uu Khung Thep

TÝnh to¸n tèi ­u khung thÐp kiÓu tiÖp rµng buéc vÒ x¸c suÊt ph¸ ho¹i PGS. TS. Lª Xu©n Huúnh KS. Hoµng M¹nh C­êng Tr­êng §¹i Häc X©y Dùng ABSTRACT:

- Apply the stochastic nonlinear programming theory to establish the constrained optimization problem and work it out - Application: Optimize the Slovakia steel frame constrained by destruction probability I. §Æt vÊn ®Ò Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y ngµy cµng cã nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m ®Õn viÖc tÝnh to¸n thiÕt kÕ tèi ­u kÕt cÊu c«ng tr×nh x©y dùng theo m« h×nh ngÉu nhiªn, ®¸nh gi¸ møc ®é an toµn theo x¸c suÊt ph¸ ho¹i. C¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu trong lÜnh vùc nµy ®· ®ãng gãp rÊt lín ®èi víi c«ng viÖc thùc hµnh thiÕt kÕ, gi¶m gi¸ thµnh x©y l¾p cña c«ng tr×nh. KÕt cÊu khung thÐp kiÓu TiÖp lµ mét kÕt cÊu khung ®Þnh h×nh, dïng ®Ó x©y dùng hµng lo¹t, do vËy viÖc nghiªn cøu thiÕt kÕ tèi ­u lo¹i kÕt cÊu nµy theo m« h×nh s¸t ®iÒu kiÖn lµm viÖc thùc tÕ cã ý nghÜa vÒ mÆt kinh tÕ-kÜ thuËt. Trong b¸o c¸o nµy, chóng t«i xin tr×nh bµy mét ph­¬ng ph¸p ®Ó gi¶i bµi to¸n tèi ­u khung thÐp kiÓu TiÖp x©y dùng theo m« h×nh ngÉu nhiªn, rµng buéc lµ x¸c suÊt ph¸ ho¹i. 2. c¬ së lÝ thuyÕt 2.1.LÝ thuyÕt quy ho¹ch phi tuyÕn ngÉu nhiªn Khi mét vµi th«ng sè trong hµm môc tiªu vµ trong c¸c rµng buéc biÕn ®æi quanh gi¸ trÞ trung b×nh cña chóng th× bµi to¸n tèi ­u tæng qu¸t ph¶i ®­îc thiÕt lËp d­íi d¹ng bµi to¸n quy ho¹ch phi tuyÕn ngÉu nhiªn. §Ó ®¬n gi¶n vµ thuËn tiÖn trong tÝnh to¸n ng­êi ta [7] gi¶ ®Þnh r»ng tÊt c¶ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp vµ cã ph©n bè chuÈn. Bµi to¸n quy ho¹ch phi tuyÕn ngÉu nhiªn cã thÓ ®­îc viÕt d­íi d¹ng chuÈn nh­ sau: (1) T×m X ®Ó hµm f (Y ) ®¹t cùc tiÓu Rµng buéc P g j (Y ) ≥ 0 ≥ p j , j = 1,2,..., m (2) Trong ®ã, Y lµ vÐc t¬ N biÕn tù do y 1 , y 2 ,..., y N vµ nã gåm c¸c biÕn chÝnh x1 , x 2 ,..., x n . Tr­êng hîp X x¸c ®Þnh cã thÓ ®­îc xem nh­ lµ mét tr­êng hîp ®Æc biÖt cña bµi to¸n

[

]

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

nµy. Ph­¬ng tr×nh (2) biÓu diÔn x¸c suÊt cña sù kiÖn g j (Y ) lín h¬n hoÆc b»ng kh«ng ph¶i lín h¬n hoÆc b»ng mét x¸c suÊt cho tr­íc p j. Bµi to¸n (1) vµ (2) cã thÓ ®­îc ®­a vÒ bµi to¸n quy ho¹ch phi tuyÕn t­¬ng ®­¬ng khi ¸p dông ph­¬ng ph¸p quy ho¹ch biÕn ®æi rµng buéc nh­ d­íi ®©y. Hµm môc tiªu: Hµm môc tiªu f (Y ) ®­îc khai triÓn t¹i k× väng cña y i , y i : N   ∂f ( f (Y ) = f (Y ) + ∑  y i − y i ) + o(y i ) (3)  i −1 ∂y i Y   NÕu ®é lÖch chuÈn cña y i , σ yi mµ nhá th× f (Y ) cã thÓ ®­îc lÊy gÇn ®óng ®Õn 2 sè h¹ng: N  N   ∂f   ∂f y i ≡ ψ(Y ) (4) + y f (Y ) = f (Y ) − ∑  ∑ i    i −1 ∂y i i −1 ∂y i   Y  Y 

NÕu ∀y i (i = 1,2,..., N ) ®Òu cã ph©n bè chuÈn th× ψ(Y ) , lµ mét hµm tuyÕn tÝnh cña Y, còng cã ph©n bè chuÈn. K× väng vµ ph­¬ng sai cña nã x¸c ®Þnh nh­ sau:

ψ = ψ(Y )

 ∂f σ = ∑  i −1 ∂y i  n

2 ψ

2

 2  σ yi  Y 

(5)

v× mäi yi ®Òu ®éc lËp. §Ó ®¬n gi¶n cho bµi to¸n tèi ­u, theo [7] hµm môc tiªu ®­îc x©y dùng d­íi d¹ng: F (Y ) = k 1 ψ + k 2 σ ψ

(6)

trong ®ã k1 ≥ 0, k 2 ≥ 0 vµ gi¸ trÞ cña nã thÓ hiÖn møc ®é ¶nh h­ëng t­¬ng ®èi cña ψ vµ σ ψ ®èi víi qu¸ tr×nh cùc tiÓu. Mét c¸ch kh¸c ®Ò cËp ®Õn ®é lÖch chuÈn cña ψ lµ cùc tiÓu ψ rµng buéc bëi σ ψ ≤ k 3 ψ , k3 lµ mét h»ng sè. Rµng buéc: NÕu mét vµi th«ng sè lµ ngÉu nhiªn th× vÒ b¶n chÊt, rµng buéc c òng lµ ngÉu nhiªn. Rµng buéc (2) viÕt thµnh: ∞

∫ f (g )dg gj

j

j

≥ pj

(7)

0

trong ®ã fgj (g j ) lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt cña ®¹i l­îng ngÉu nhiªn g j. Hµm rµng buéc

g j (Y ) ®­îc khai triÓn t¹i k× väng cña vÐc t¬ c¸c ®¹i l­îng ngÉu nhiªn, Y : N  ∂g j g j (Y ) ≈ g j (Y ) + ∑   i −1 ∂y i 

 (y i − y i )  Y 

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

(8)

Tõ ph­¬ng tr×nh nµy, gi¸ trÞ trung b×nh, g j , vµ ®é lÖch chuÈn, σ gj x¸c ®Þnh nh­ sau:

g j = g j (Y )

§Æt:

 n  ∂g j σ gj = ∑    i −1  ∂y i θ=

(9 - 10)

g j − gj

(11)

σ gj

∞

1 −t 2 e dt = 1 2π

∫

vµ ®Ó ý r»ng:

12

2  2   σ yi    Y 

2

−∞

(12)

ph­¬ng tr×nh (7) ®­îc viÕt thµnh: ∞

∫ (

∞ 1 −θ 2 1 −t 2 e dθ ≥ ∫ e dt 2π ) 2π − φ (p ) 2

− g j σ gj

2

j

(13)

j

φ j (p j ) lµ mét gi¸ trÞ øng víi x¸c suÊt p j. Do ®ã:

trong ®ã

−

gj σ gj

≤ −φ j (p j )

(14)

→ − g j + σ gj φ j (p j ) ≤ 0 Ph­¬ng tr×nh (14) cã thÓ ®­îc viÕt thµnh:

 n  ∂g j g j − φ j (p j )∑    i −1  ∂y i 

2  2  σ yi    Y  

12

≥ 0,

j = 1,2,..., m

(15)

Do ®ã bµi to¸n tèi ­u (1) vµ (2) cã thÓ ®­îc viÕt d­íi d¹ng:

F (Y ) = k 1 ψ + k 2 σ ψ

Cùc tiÓu

(6)

Rµng buéc: 12

 n  ∂g  2  j  σ yi2  ≥ 0, g j − φ j (p j )∑  j = 1,2,..., m    i −1  ∂y i Y    2.2.Ph­¬ng ph¸p t×m trùc tiÕp kÕt hîp víi ph©n tÝch ®é nh¹y

(15)

Trong tr­êng hîp hµm môc tiªu hoÆc rµng buéc kh«ng biÓu diÔn ®­îc theo mét hµm gi¶i tÝch cô thÓ nµo ®ã th× viÖc x¸c ®Þnh c¸c ®¹o hµm riªng ®­îc lÊy trùc tiÕp nh­ sau:

f ( x1 , x 2 ,..., x i + ∆x i ,..., x n ) − f ( x1 , x 2 ,..., x i ,..., x n ) ∂f = ∆x i ∂yi ∂g j ∂y i

=

g j (x1 , x 2 ,..., x i + ∆x i ,..., x n ) − g j ( x1 , x 2 ,..., x i ,..., x n ) ∆x i

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

(16)

Gi¶ sö ta cã nghiÖm ban ®Çu X 0, ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®­îc gi¸ trÞ hµm môc tiªu vµ kiÓm tra c¸c rµng buéc t¹i X 0. Sau ®ã, dùa vµo ®iÒu kiÖn rµng buéc, ta thay ®æi lÇn l­ît tÊt c¶ c¸c th«ng sè ngÉu nhiªn cïng mét tØ lÖ, quan s¸t vµ ®¸nh gi¸ møc ®é ¶nh h­ëng cña mçi mét th«ng sè ®Õn qu¸ tr×nh tèi ­u ho¸. Trªn c¬ së ®ã, nh÷ng th«ng sè nµo cã ¶nh h­ëng nhiÒu h¬n sÏ ®­îc thay ®æi tr­íc, th«ng sè nµo cã ¶nh h­ëng Ýt sÏ ®­îc thay ®æi sau. Thùc hiÖn viÖc thay ®æi c¸c th«ng sè nhiÒu lÇn ta sÏ chän ®­îc nghiÖm tèi ­u. 3. ¸p dông

m

Yªu cÇu thiÕt kÕ tèi ­u kÕt cÊu khung kiÓu TiÖp víi c¸c th«ng sè kÝch th­íc h×nh häc nh­ h×nh 1, víi x¸c suÊt an toµn lÇn l­ît lµ p = 0,9 ; p = 0,95 vµ p = 0,99.

m

D

d

b

d

m

m

h

m

H×nh 1

H 8 = = 0.2m 40 40 L 18 = = 0.072m ChuyÓn vÞ ®øng cho phÐp t¹i K: y K ≤ [y K ] = 250 250 C¸c ®¹i l­îng ngÉu nhiªn víi trung b×nh vµ ®é lÖch chuÈn ®­îc cho trong b¶ng 1.

ChuyÓn vÞ ngang cho phÐp t¹i K: x K ≤ [x K ] =

Lêi gi¶i: B­íc 1: LËp hµm môc tiªu Hµm môc tiªu lµ thÓ tÝch c¸c phÇn tö cña khung.

f (X ) = ∑ L i a i 7

i =1

A 1 = π(x 3 x 4 − x 24 ) A 2 = 2x 1 x 4 + 2x 2 x 4 − 4x 24 Do ®ã, ta cã: f (X ) = (x 12 + x 13 + x 14 + x 15 )(2x 1 x 4 + 2x 2 x 4 − 4x 24 ) + (x16 + x17 + x18 )(x 3 x 4 − x 24 )π

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

B­íc 2: LËp rµng buéc 12

 n  ∂g  2  j  σ yi2  ≥ 0, XuÊt ph¸t tõ (15) ta cã: g j − φ j (p j )∑  j = 1,2,..., m   i −1  ∂y i Y     Khi thiÕt kÕ khung ta ph¶i kiÓm tra c¸c ®iÒu kiÖn bÒn, cøng vµ æn ®Þnh. Tuy nhiªn, víi kÕt cÊu khung thÐp th× ®iÒu kiÖn cøng lµ quan träng h¬n c¶. Do vËy, chóng t«i xin tr×nh bµy tÝnh to¸n tèi ­u khung theo ®iÒu kiÖn chuyÓn vÞ t¹i ®iÓm K kh«ng v­ît qu¸ chuyÓn vÞ cho phÐp víi x¸c suÊt ®¶m b¶o lµ 95%, ta cã hai hµm rµng buéc lµ: g1 (X ) = VK (X ) − x 10

g 2 (X ) = H K (X ) − x 11

Trong ®ã, VK (X ) lµ chuyÓn vÞ ®øng cña ®iÓm K, H K (X ) lµ chuyÓn vÞ ngang cña ®iÓm K (h×nh 1). Trong tr­êng hîp nµy, ta kh«ng thÓ biÓu diÔn c¸c rµng buéc d­íi d¹ng mét hµm gi¶i tÝch cô thÓ, do ®ã ®Ó gi¶i ®­îc bµi to¸n tèi ­u ta sö dông ph­¬ng ph¸p t×m trùc tiÕp kÕt hîp víi ph©n tÝch ®é nh¹y. KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ®­îc ghi trong b¶ng 2. B¶ng 1. Gi¸ trÞ trung b×nh vµ ®é lÖch chuÈn cña c¸c biÕn Th«ng sè ChiÒu réng b ChiÒu cao h §­êng kÝnh D ChiÒu dµy d P1 P2 P3 P4 M« ®un ®µn håi E ChuyÓn vÞ ®øng cho phÐp t¹i K ChuyÓn vÞ ngang cho phÐp t¹i K ChiÒu dµi thanh 1, L 1 ChiÒu dµi thanh 2, L2 ChiÒu dµi thanh 3, L3 ChiÒu dµi thanh 4, L4 ChiÒu dµi thanh 5, L5 ChiÒu dµi thanh 6, L6 ChiÒu dµi thanh 7, L 7

Tªn biÕn x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

Gi¸ trÞ trung b×nh x1 (m) x2 (m) x3 (m) x4 (m) 5500 kG 11000 kG 7500 kG 5500 kG 2,1x1010 kG/m2

§é lÖch chuÈn 0,01x1 (m) 0,01 x2 (m) 0,01 x3 (m) 0,01 x4 (m) 55 kG 110 kG 75 kG 55 kG 2,1x108 kG/m2

x10

0,072 m

0,0072 m

x11

0.2 m

0.002 m

x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18

6m 6m 9,22 m 9,22 m 9m 9m 2m

0,06 m 0,06 m 0,0922 m 0,0922 m 0,09 m 0,09 m 0,02 m

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

KÕt qu¶ tÝnh to¸n øng víi ba tr­êng hîp x¸c suÊt an toµn cña hÖ lµ p = 0,9 ; p = 0,95 vµ p = 0,99 ®­îc thÓ hiÖn trªn c¸c h×nh 2, 3, 4.

V(m 3)

0.2163 0.1918

0.1856 0.1795

0.17934

0.1762 0.1715 0.1652 0.1589 0.15475

0.1809

b­íc tèi ­u 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

H×nh 2. KÕt qu¶ tèi ­u øng víi x¸c suÊt an toµn p= 0,9

V(m 3)

0.2163 0.1918

0.1856

0.1795

0.17934

0.1762 0.1715 0.1652

0.1809

b­íc tèi ­u 0

1

2

3

4

5

6

7

8

H×nh 3. KÕt qu¶ tèi ­u øng víi x¸c suÊt an toµn p= 0,95

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

V(m 3)

0.2163 0.1918

0.1856 0.1795

0.17934

0.1809 b­íc tèi ­u

0

1

2

3

4

5

H×nh 4. KÕt qu¶ tèi ­u øng víi x¸c suÊt an toµn p= 0,99 4. NhËn xÐt Tõ vÝ dô tÝnh to¸n rót ra mét sè nhËn xÐt sau: • NÕu hµm môc tiªu vµ c¸c rµng buéc ®Òu cã thÓ ®­îc biÓu diÔn theo nh÷ng hµm gi¶i

tÝch cô thÓ th× viÖc gi¶i bµi to¸n tèi ­u kh«ng gÆp khã kh¨n. Trong tr­êng hîp ng­îc l¹i, khèi l­îng tÝnh to¸n sÏ t¨ng lªn, tuy nhiªn víi sù trî gióp cña c¸c phÇn mÒm chuyªn dông c«ng viÖc trë nªn ®¬n gi¶n h¬n nhiÒu.

• Víi kh«ng qu¸ 10 b­íc tÝnh to¸n nghiÖm t×m ®­îc ®· kh¸ héi tô, møc ®é sai kh¸c

nhá h¬n 3%.

Tµi liÖu tham kh¶o 1. Lª Xu©n Huúnh, §ç V¨n B×nh, TÝnh to¸n tèi ­u mÆt c¾t thanh thµnh máng víi rµng buéc vÒ ®é tin cËy, TuyÓn tËp C«ng tr×nh khoa häc- §HXD, Hµ Néi, 4/2002. 2. Lª Xu©n Huúnh, Hoµng B¾c An, ¶nh h­ëng cña yÕu tè ngÉu nhiªn ®Õn ®é tin cËy cña kÕt cÊu dµn dÇm, T¹p chÝ X©y dùng sè 6/2001. 3. NguyÔn NhËt LÖ, Tèi ­u ho¸ øng dông, NXB Khoa häc vµ kü thuËt, Hµ Néi, 2001. 4. Numerical Optimization Techniques for engineering design with application, Garret N.Vanderplaats. 5. Ph¹m Anh TuÊn, TÝnh to¸n tèi ­u kÕt cÊu khung lµm viÖc trong giai ®o¹n ®µn håi. LuËn v¨n Th¹c sü kÜ thuËt §HXD, 5/2003. 6. Optimization Toolbox for use with Matlab, Thomas Coleman - Mary Ann Branch Andrew Grace. 7. S.S.RAO Optimization - Theory and Applications (Second Edition) - Wiley eastern limited..

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com