Toan C2

BÀI 1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

1. Định nghĩa: • Ma trận là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột ... a1n   a11 a12  a  a ... a 21 22 2n   A  ...... ..... .......   a   m1 am 2 .... amn  • Phần tử aij là phần tử ở dòng thứ i, cột thứ j

Tập hợp các ma trận m dòng, n cột Ký hiệu là A

Ví dụ

i 1, m (aij ) j 1,n

M m n  ¡ 

 1

2

 Amn

 3

 0.5 1 2 0   2 1,7 

4 

 3  M 34 9  

a31   ; a23  0; a34  9.

2. Định nghĩa _Hai ma trận A, B gọi là bằng nhau nếu A, B có cùng cấp và aij  bij ; i  1, m , j  1, n _ Ma trận có số dòng bằng số cột được gọi là ma trận vuông. Tập các ma trận vuông với hệ số thực ký hiệu là M n  ¡ 

 a11 K  A M O   a  n1 L

a1n   M  M n (¡ )   ann 

_Các phần tử a11 , a22 ,K , ann được gọi là đường chéo chính của A. _ Các phần tử a1n , a2 n 1 ,K , an1 được gọi là đường chéo phụ của A

_ Ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, được gọi là ma trận chéo Ví dụ  2 0 0  0 0 0    0 0 1    _ Chú ý: A  (aij ) là ma trận chéo  aij  0, i  j

_ Ma trận chéo cấp n, có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu là I n _Nói cách khác A  (aij ) là ma trận đơn vị  

 aij  0, i  j  aij  1, i  j

 1 0 0 0   0 1 0 0   I  0 0 1 0    0 0 0 1

_ Ma trận có các phần tử nằm dưới (trên)đường chéo chính đều bằng 0 gọi là ma trận tam giác trên (dưới) 0   a11 a12 a13   b11 0     A  0 a22 a23 ; B  b21 b22 0      0   b  0 a b b   31 32 33  33  A là tam giác trên, B là tam giác dưới

_ Ma trận A   a11 ma trận dòng.

a12 K

a1n  được gọi là

 a11   a  _ Ma trận A   21  gọi là ma trận cột  M  a   n1 

_ Ma trận B thu được bằng cách đổi dòng của A thành cột của B được gọi là ma trận chuyển vị T của A, ký hiệu là A _ Cho A  aij , B  (bij ) khi đó

  T

B  A  aij  b ji , i , j _ Ma trận A  M mn ( ¡ ) có các phần tử đều bằng 0, gọi là ma trận không, viết A  Omn

 1 2 9 A  3 4 0    1 3   T B  A   2 4  9 0  

3. Các phép toán trên ma trận 3.1 Phép cộng: Cho A  (aij ), B  (bij )  M mn ( ¡ ) định nghĩa A  B  cij  M nm ( ¡ ) , ở đây

 

cij  aij  bij , i  1, m , j  1, n Ví dụ  1 0 3   2 2 1  3 2 4  2 1 2   2 0 3    0 1 1         1 0 3   2 2 1   1 2 2   2 1 2   2 0 3    4 1 5       

• 3.2 Phép nhân với số thực Cho A  (aij )  M mn ( ¡ );  ¡ . Định nghĩa  . A  cij  M mn ( ¡ ) c   .a , i  1, m ,, jởđây 1, n

 

ij

ij

 1 0 2   2 0 4  Ví dụ     2 2 2 1  4 4 2      2 3 4   4 6 8     

4. Định lý: Cho hai ma trận A, B có cùng cấp m  n,  , là các số thực. Ta có :

i)A  B  B  A ii )( A  B )  C  A  ( B  C ) iii ) A  O  O  A  A (O có cấp m  n iv) Tồn tại ma trận

A ' : A  A '  0, ,

ký hiệu

)

A'   A

v )  ( A)

=( )A

vi ) (   )A = A   A vii )  ( A  B )   A   B viii ) 1. A A Chứng minh: Tham khảo giáo trình

5. Tích các ma trận: .Cho hai ma trận A  Amk ; B  Bkn . Tích theo thứ tự A với B là ma trận C  C mn mà phần tử tổng quát cij được xác định

cij  ai 1b1 j  ai 2b2 j  K  aik bkj

Amk  Bk n  C mn

• Ví dụ:

 1 1 3 4    i) A   0 1 0 1 ;  2 2 2 1   

 4  2 B  3   1

6   2  1   1 

 15 9    AB  1 3   ; BA không thực hiện được  11 15   

c22=0.6+(-1).(-2)+0.(-1)+1.1=3 c31=2.4+(-2).2+2.3+1.1=11 c13=1.6+(-1).(-2)+3.(-1)+4.1=9 BA không thực hiện được, vì số cột của B khác số dòng của A.

ii)

 2   AB   1 2 3  3   8   8    4    2   BA  3  1 2 3     4  

 2 4 6     3 6 9    4 8 12   

• Tính chất của tích ma trận ( giả sử các phép cộng, nhân thực hiện được)

i ) ( AB )C  A( BC ) ii ) A( B  C )  AB  AC iii ) ( A  B )C  AC  BC iv )  ( AB )

 A   B   ( A) B

v ) Ann . I n

 I n . Ann  Ann

Chứng minh: ( giáo trình)

(  ¡ )

• 7. Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông 0

A I 1

A A 2

A  A. A KK n

A A

n1

.A

Ví dụ : Cho ma trận

 8 1 6 A   3 5 7    4 9 2  

Tính A0, A2, A3 .  1 0 0 A0  I   0 1 0   0 0 1  

 8 1 6   8 1 6   91 67 67       A2   3 5 7 .  3 5 7    67 91 67   4 9 2   4 9 2   67 67 91       

 91 67 67   8 1 6   1197 1029 1149       3 2 A  A A   67 91 67  3 5 7    1077 1125 1173   67 67 91  4 9 2   1101 1221 1053       

• 8. Bài tập: Giáo trình Bài1: 1,2,3……….28 trang 43;44;45 Bài2: 30,31,………47 trang 46 Bài 3: 48,49………56 trang 47

 2 1 1   2 1 0  Cho hai matrận: A   ;B    0 1 4   3 2 2  Tính : 3A+2B  2 1 1   2 1 0   6 3 3   4 2 0  3A  2B  3   2       0 1  4  3 2 2 0 3  12  6 4 4          2 5 3     6 7  8  

 0  1   2

1 2

 3

3



0

 0   1  2   3  1  3    5   7

1

 1 1   2   4  2 2    3  1   1  1 4

0 1 2 3

1  2 3  4  43

 1   2  1 

1   4  2    1   1  32

1  5     3 15   4      25  5  1  21    7  42  35  41

Bài 2

MA TRẬN (tiếp theo)

1.Phép biến đổi sơ cấp trên dòng: 1.Phép biến đổi sơ cấp trên dòng: 1.1 Định nghĩa: Cho A  aij  M mn  ¡  .Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng (bđsctd) trên ma trận A là một trong 3 loại biến đổi sau: i) Loại 1: Đổi hai dòng i & k cho nhau với i  k

 

ký hiệu: d i  d k ii) Loại 2: Nhân dòng i của A cho một số ký hiệu: d i :  d i

0

iii) Loại 3: Thay dòng i của A bằng chính nó cộng với một số  lần của dòng k khác. Ký hiệu: d i : d i   d k Nhận xét: Nếu A’ có được từ A qua 1 phép bđsctd thì A cũng suy được từ A’ bằng 1 phép biến đổi sơ cấp trên dòng cùng loại

1.2 Định nghĩa: Cho A và A’ là hai ma trận cùng cấp. Ta nói A tương đương dòng với A’, ký hiệu: A : A 'nếu A’ có được từ A qua hữu hạn phép bđsctd 1.3 Định nghĩa: Cho A  M mn  ¡  . Ta nói: i) Dòng k của A được gọi là dòng 0 nếu các phần tử trên dòng k đều là các phần tử 0 ii)A được gọi là ma trận bậc thang nếu có hai tính chất sau:

a) Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng bằng 0 của A b) Trên các dòng khác 0, hệ số khác 0 đầu tiên của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa hệ số khác 0 đầu tiên của dòng trên

 2  1 2 5 4 2  0   Ví dụ: A  0 0 3 1 7 ; B      0  0 0 0 0 4     0

3 2 1  0 4 0  0 1 3  0 0 0

A: Là ma trân bậc thang, B: không là ma trận bậc thang

2.Hạng của ma trận 2.1 Định lý: Cho A  M mn  ¡  . .Khi đó tồn tại hữu hạn các bước pbđsc sao cho A : A ' với A’ là ma trận bậc thang Chú ý: A qua phép bđsc thành A’( A’ là ma trận bậc thang) thì A’là không duy nhất 2.2 Định lý: Nếu A qua phép bđsc thành A’ và A qua phép bđsc thành A” là hai ma trận bậc thang thì số dòng khác 0 của A’ và A” bằng nhau

2.3 Định nghĩa: Cho A  M mn  ¡  Ta . gọị hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của A’ với A’ là ma trận bậc thang nhận được từ A qua các phép biến đổi sơ cấp. Ký hiệu là: r  A  Nhận xét: Bởi định lý 2.2 nên định nghĩa 2.3 là Well-define

3. Ma trận nghịch đảo

3.1 Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n, A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại 1 AB=BA=I ma trận B sao cho n. Ký hiệu: B  A và gọi là ma trận nghịch đảo của A Nhận xét: 1 A  M ¡   • Nếu thì A  M n  ¡  . n • Nếu A có 1 dòng hay 1 cột bằng 0 thì A không khả nghịch • Ma trận đơn vị là ma trận khả nghich

3.2 Định lý: Cho A  M mn  ¡  i) Ma trận khả nghịch nếu có là duy nhất ii) A khả nghịch  r  A   n iii) Nếu A khả nghịch và   ¡ \  0 thì  A 1 1 1 cũng khả nghịch, hơn nữa   A   A  T A iv) Nếu A khả nghịch thì cũng khả nghịch, 1 T T 1 và A  A

 





3.3 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo: Cho A  M n  ¡  . Giả sử A khả nghịch i .e r  A   n Lập ma trận A I n pbdsc I n A' uuuuur ' 1 khi đó: A  A



Ví dụ:





 1  2 A  3   4

2 3 4  5 4 7  7 8 12   8 14 19 







 1 2





3

4 1 0 0 0

 2 5 4 7 0 1 0 0  A I    3 7 8 12 0 0 1 0     4 8 14 19 0 0 0 1 

d 2 : d 2  2 d 1 d 3 : d 3  3 d 1     d 4 : d 4  4 d 1



 1 2

3

4 1

0 0 0

 0 1  2  1  2 1 0 0    0 1 1 0 3 0 1 0     0 0 2 3 4 0 0 1 

d1 : d1  2 d 2 d : d  d  3 3 2



 1 0 7

6 5 2 0 0 

 d 1 : d 1  7 d 3 0 1  2  1  2 1 0 0   d 2 : d2  2d3   0 0 1 1  1  1 1 0  d 4 : d 4  2 d 3    0 0 2 3 4 0 0 1 

 1  0   0   0

0 1 0 0

0 1 12 5 7 0 1 4 1 2 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2

0  0  0  1

d 1 : d 1  d 4 d 2 : d 2  d 4     d 3 : d 3  d 4

 1 0 0 0 10 7 9 1    0 1 0 0  2  3 4  1    0 0 1 0 1 3 3 1     0 0 0 1 1 2 2 1  Vậy A khả nghịch A

1

 10 7 9 1   2 3 4 1     1 3 3 1     2 2 2 1 

4.Phương trình ma trận Cho A là ma trận vuông khả nghịch khi đó: 1 -1 , AX=B  X=A B XA  B  X  BA

 2 3  1 -2  , B=  Ví dụ: Cho: A     1  2 1 2     Giải f trình: AXA=B  a b Chú ý: Với A ,  ad  bc   0   c d A

1

1  d b   ad  bc   c a  

khi đó