Toan C2

ĐỊNH THỨC

1. Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông. Định thức của ma trận A là một số thực, ký hiệu A Được định nghĩa quy nạp như sau:

n=1,

A = (a11);

A = a11

n=2,

a11 a12 ö æ ÷ ç A = ça , ÷ ÷ a ç è 21 22 ø A = a11a22 - a12a21

æ a11 ç ç ç A = a ç n=3 : 21 ç ç ç ç èa31 a22 1+1 A = a11(- 1) a

32

1+3

a13(- 1)

a12 a13 ö ÷ ÷ ÷ a22 a23 ÷ ÷ ÷ ÷ a32 a33 ÷ ÷ ø a23

1+2

+ a ( 1 ) 12 a33

a21 a22 a31 a32

a21 a23 a31

+ a33

Tổng quát:

A = a11A 11 + a12A 12 + .. + a1nA 1n Trong đó i+ j

A ij = (- 1)

D ij

Với D ij là định thức cấp n -1 được

hình thành bằng cách bỏ đi dòng i cột j của ma trận A. Xét một số ví dụ.

Ví dụ:

A = ( - 7) , A = - 7 1 2ö æ ÷ ç ÷ A =ç , A = 1.4 2.3 = 2 ÷ ç ÷ 3 4 ç è ø

æ ö 6 1 8 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A =ç 7 5 3 ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ç ÷ è2 9 4÷ ø 1+1

A = 6(- 1) 1+3

8(- 1)

5 3 9 4

1+2

+ 1(- 1)

7 5 2 9

= 6(- 7) - (22) + 8(53) = 360

7 3 2 4

+

1 0 æ ç ç ç 1 6 ç A =ç ç ç 2 1 ç ç ç ç è5 3

0 5 5 3

3ö ÷ ÷ ÷ 4÷ ÷ ÷ ÷ 2÷ ÷ ÷ ÷ 1÷ ÷ ø

6 5 4 1+1

1 6 5 1+4

A = 1(- 1) 1 5 2 + 0 + 0 + 3(- 1) 2 1 5 3 3 1

5 3 3

6 5 4 1 5 2 = - 29 3 3 1

1 6 5 2 1 5 = 107 5 3 3

A  350

Quy tắc Sarrus dùng tính định thức cấp 3; a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 1+1 1+2 a21 a22 a23 = a11(- 1) a a + a12(- 1) a a + 32 33 31 33 a31 a32 a33 1+3

a13(- 1)

a21 a22 a31 a32

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32)

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

* +*

*

* +*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

* * *

* * *

*

* * ** * *

* * *

*

* * ** * *

* * *

* * *

2. Các tính chất của định thức • 1. Khi đổi vị trí hai dòng (cột) định thức đổi dấu

1 2 - 1 1 3

0 =1

0 2

3

1 3

0

1 2 - 1=- 1 0 2

3

2. Khi nhân một dòng cho một số

và cộng vào dòng khác thì định thức không đổi

1

2 4

2

0 2 = - 8;

- 1 0 1

1

2

4

1

2 4

2

0 2 = 2 + k 2k 2 + 4k =

- 1 0 1

- 1

0

1

2k - 2(2 + 4k) + 8k - 2(2 + k) = - 8

3. Định thức của ma trận dạng nửa

tam giác trên bằng tích các phần tử trên đường chéo chính 2 - 6

0

0

4

4 = 2.4.(- 3) = - 24

0

0

- 3

1

0

0

3

1

6

5

4

2

1

5

2

5

3

3

1

1

0

0

3

1

0

0

3

1 0 0

3

1*

6

5

4

0

6

5

1

0 1 5

- 4

2*

1

5

2

0

1

5

- 4

0 6 5

1

5*

3

3

1

0

3

3 - 14

=-

=

=-

0 3 3 - 14

1

0

0

3

1 0

0

3

0

1

5

- 4

0 1

5

- 4

0 6*

5

1

0 3*

3 - 14

=-

0 0 - 25

25

0 0 - 12 - 2

=-

1 0

0

3

1 0

0

3

0 1

5

-4

0 1

5

-4

0 0 - 25

25

0 0 - 12* - 2

=-

0 0 - 25 0 0

0

25 - 14

- 1.1.(- 25)(- 14) = - 350

4.Coâng thöùc Laplace: • Cho A laø ma traän vuoâng caáp n, ñònh thöùc cuûa ma traän A ñöôïc tính theo coâng thöùc sau:

A = ai1A i1 + ai2A i2 + .. + ainA in A = a1j A 1j + a2j A 2j + .. + anj A nj

Ví duï: 1 æ ç ç ç 1 ç A =ç ç ç 2 ç ç ç ç ç è5

0 0 3ö ÷ ÷ ÷ 6 5 4÷ ÷ ÷ ÷ 0 0 2÷ ÷ ÷ ÷ 3 3 1÷ ÷ ø 6 5 4 1+1

A = 1(- 1)

1 6 5 1+4

0 0 2 + 0 + 0 + 3(- 1)

2 0 0

3 3 1

5 3 3

1 æ ç ç ç 1 ç A =ç ç ç 2 ç ç ç ç ç è5

0 0 3ö ÷ ÷ ÷ 6 5 4÷ ÷ ÷ ÷ 0 0 2÷ ÷ ÷ ÷ 3 3 1÷ ÷ ø 0 0 3

1 0 0

A = 2(- 1)3+1 6 5 4 + 2(- 1)3+4 1 6 5 3 3 1 = 12

5 3 3

1 0 0 3

1 0 0

3

1 6 5 4

0 6 5

1

2 0 0 2 5 3 3 1 1 0 0 =

=

0 0 0 - 4 0 3 3 - 14

3

0 3 3 - 14 0 6 5

1

0 0 0 - 4 = 12

=

1 0

0

3

0 3

3

- 14

0 - 1 0 0

0

29 - 4

5.Khi chuyeån vò ma traän, ñònh thöùc cuûa noù khoâng thay ñoåi: T Ví duï : 1 2 2 3 4 6  142 7 0 1

A

= A

1

3

2 2

4 6

7 0  142 1

6.Thöøa soá chung cuûa caùc phaàn töû moät haøng (coät) coù theå ñöa ra ngoaøi daáu ñònh thöùc

2 4 7 3 8 0= 0 - 12 1

2 43 0

1 2 - 3

7 0 1

7.Neáu ñònh thöùc coù moät haøng (coät) baèng 0 thì baèng 0. •8. Neáu ñònh thöùc coù hai haøng (coät) tyû leä thì baèng 0. 1 - 1 3 0 4

0 3

0= 9

1 - 1 3 3 - 3 9 = 44 13 29

3.Ñònh lyù: Cho hai ma traän vuoâng A,B cuøng caáp, ta coù: AB = A B

æ ö æ ö 3 1 1 1 ÷ ÷ ç ç = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è2 1øè- 2 4ø 3 1 1 1 . = 2 1 - 2 4

4.Heä quûa: Ma traän vuoâng A khaû nghòch ( coù ma traän ñaûo) khi vaø chæ khi ñònh thöùc cuûa A khaùc 0. Nếu B là ma trận đảo của A : AB  I

AB  I  A B  1  A 0 •5.Coâng thöùc tìm ma traän ñaûo baèng caùch duøng ma

æ A A 11 12 ç ç ç A 21 A 22 1 ç - 1 A = ç Aç ... ... ç ç ç ç èA n1 A n2 i j

T

... A 1n ö ÷ ÷ ... A 2n ÷ ÷ ÷ ÷ ... ... ÷ ÷ ÷ ÷ ... A nn ÷ ø

Trong Aij  ( 1) ij Phần bù đại số aij ñoù  ij laø ñònh thöùc caáp n-1 ñöôïc hình thaønh baèng caùch boû ñi doøng i, coät j cuûa ma

Ví du 1ï: Tìm ma traän ñaûo cuûa  2 5 1  ma traän :   A 0 2  1 1 

4 1 

2 5 1 A  0 2 4  34 1 1 1

Giaûi : 11

A11  ( 1) A21  ( 1)

2 1

A31  ( 1)

31

2 4 2 1 2 0 4 1 3 0  6; A12  ( 1)  4; A13  ( 1)  2 1 1 1 1 1 1 5 1 5 2  2 2 1 23 2  4; A22  ( 1)  3; A23  ( 1) 7 1 1 1 1 1 1

5 1 2 1 2 5 3 2 3 3  22; A32  ( 1)  8; A33  ( 1) 4 2 4 0 4 0 2

T

 6 4 2   6 4 22  1 1   1 A   4 3 7    4 3 8  34  34    22  8 4  2 7 4    

Ví dụ2:Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

 a A  c Giải :

b  d

A  ad  bc  0 11

1 2

A11  (1) d  d ; A12  (1) c  c; 2 1

A21  (1) c  c; A22  (1)

2 2

a  a;

d  b   1 1 A    ad  bc  c a  Ví dụ:

 7 8 A   9 10 

BÀI TẬP 16/88

2 2 6 2

3 1 2 3

3 4 1 2 1 0 0 5

22/88

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

32/88

4 3 2 1

a b c d

1 5 2 1 3 4 1 3