To Hop

Giai thõa-Ho¸n vÞ-chØnh hîp-tæ hîp CÁC Quy t¾c ®Õm c¬ b¶n

Chñ ®Ò 1. quy t¾c céng: I. KiÕn thøc c¬ b¶n: 1. Quy t¾c céng: Gi¶ sö cã hai c«ng viÖc: - ViÖc thø nhÊt cã thî lµm b»ng n1 c¸ch - ViÖc thø hai cã thî lµm b»ng n2 c¸ch NÕu hai viÖc nµy kh«ng lµm ®ång th¬3×, khi ®ã ta cã: n1 + n2 c¸ch lµm mét trong hai viÖc tr»n VD: C©u 1. Gi¶ sö cÇn chän ho®c lµ mét häc sinh nam cña líp 12 ho®c lµ mét häc sinh nÖ cña líp 11 lµm ®¹i biîu trong héi ®ång cña mét trêng THPT. Hái cã bao nhi»u c¸ch chän vÞ ®¹i biîu nµy nÕu khèi 12 cã 81 häc sinh nam vµ khèi 11 cã 72 häc sinh nÖ C©u 2.

Chñ ®Ò 1. Giai thõa: Giai thõa cña mét sè tù nhi»n lµ: n!=1.2.3…..n=(n-1)!.n 0!=1!=1 VD: 5!=1.2.3.4.5 =120

Chñ ®Ò 2. Ho¸n vÞ:

I. KiÕn thøc c¬ b¶n: Ho¸n vÞ cña mét tËp c¸c ®èi tîng kh¸c nhau lµ mét c¸ch s¾p xÕp cã thø tù c¸c ®èi tîng nµy. II. C¸C D¹NG TO¸N

D¹ng 1. Rót gän biîu thøc: C©u 1. Rót gän biîu thøc: A=

6! (m − 1)! . m(m + 1) 4!.(m − 1)!

C©u 2. Rót gän: A=

n

∑ k .k!

k =1

C©u 3. Chøng minh r»ng:

1 2 3 1 + + + .. + < 2 1! 2! 3! n!

C©u 4. Chøng minh r»ng:  n + 1 n n < (n!) 2 <    2 

2n

C©u 5. Chøng minh r»ng: n! > 2 n −1 ;n ≥ 3

D¹ng 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh C©u 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh:

n!−(n − 1)! 1 = víi n lµ sè nguy»n d¬ng. (n + 1)! 6

C©u 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh:

(n + 1)! = 72 , víi n lµ sè nguy»n d¬ng. (n − 1)!

C©u 3. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 3 < n!+(n − 1)!< 33

k + C k + 2 = 2C k +1 C©u 4. T×m sè tù nhi»n k tho· m·n: C14 14 14 C©u 5. Gi¶i ph¬ng tr×nh: C1x + 6C x2 + 6C x3 = 9 x 2 − 14 x

C©u 6. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 Ax2 + 50 = A22x C©u 7. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 7 C1x + C x2 + C x3 = x 2

C©u 8. Gi¶i ph¬ng tr×nh: Pn +3 = 720 An5 Pn −5 C©u 9. Gi¶i ph¬ng tr×nh: C xx −1 + C xx − 2 + C xx −3 + ... + C xx −10 = 1023 C©u 10. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) An3 = 20n b) An3 + 5 An2 = 2(n + 15) C©u 11. Gi¶i ph¬ng tr×nh: C xx++83 = 5 Ax3+ 6

C©u 12. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 9 8 A10 x + Ax = 9 Ax

C©u 13. T×m x, y ∈ Z + ®î: y C x +1 6

y +1 y −1 Cx Cx = = 5 2

C©u 14. Gi¶i ph¬ng tr×nh: Ax3 + C xx − 2 = 14 x

D¹ng 1. Thùc hiÖn bµi to¸n ®Õm: C©u 1. Cho tËp E={1,2,3,4,5,6,7} a. Cã bao nhi»u sè gåm 7 chÖ sè ph©n biÖt h×nh thµnh tõ tËp E b. Cã bao nhi»u chÖ sè gåm 7 chÖ sè ph©n biÖt h×nh thµnh tõ tËp E, trong ®ã c¸c chÖ sè 3, 4, 5 ®øng c¹nh nhau. C©u 1. §éi thanh ni»n xung kÝch cña mét trêng phæ th«ng cã 12 häc sinh, gåm 5 häc sinh líp A, 4 häc sinh líp B, 3 häc sinh líp C. CÇn chän 4 häc sinh ®I lµm nhiÖm vô, sao cho 4 häc sinh nµy kh«ng vît qu¸ 2 líp tr»n. Hái cã bao nhi»u c¸ch chän nh vËy.   C©u 2. T×m hÖ sè chøa x trong khai triîn Niut¬n:  1 + x 7   x4  1 2 3 n 20 BiÕt r»ng: C 2n +1 + C 2n +1 + C 2n +1... + C 2n +1 = 2 − 1 36

ChØnh hîp, tæ hîp:

10 + A9 A12 + A11 A17 49 49 17 − C©u 1. TÝnh gi¸ trÞ biîu thøc: A = 10 8 A49 A17

C©u 2. Chøng minh r»ng: Ank = Ank −1 + k . Ank −−11

C©u 3. Chøng minh r»ng: A n + 2 + A n +1 = k 2 A n n+k n+k n+k

C©u 4. Cho r
a. C nr = C nr −−11 r r b. Cn + 4 = Cnr −−11 + Cnr −−12 + Cnr −−13 + .... + Crr−−11

C©u 5. Cho k vµ n lµ hai sè tù nhi»n sao cho 4 ≤ k ≤ n CMR: C nk + 4 = C nk + 4C nk −1 + 6C nk − 2 + 4C nk − 3 + C nk −1 C©u 6. CMR víi mäi k, n l¸ sè tù nhi»n vµ 3 ≤ k ≤ n Ta lu«n cã: C nk + 3 = C nk + 3C nk −1 + 3C nk − 2 + C nk − 3

n

C©u 7. Chøng minh r»ng víi mäi k,n nguy»n d¬ng sao cho 2 ≤ k ≤ n . Ta cã: k (k − 1)C nk = n(n − 1).C k − 2 n−2

C©u 8. CMR: 2C nk + 5C nk +1 + 4C nk + 2 + C nk + 3 = C nk ++22 + C nk ++33

k + C k + 2 = 2.C k +1 C©u 9. T×m k tho· m·n hÖ thøc: C14 14 14 C©u 10. T×m c¸c sè x nguy»n d¬ng tho· m·n ph¬ng tr×nh: C1x + 6C x2 + 6C x3 = 9 x 2 − 14 x

C©u 11. Gi¶I ph¬ng tr×nh: P2 .x 2 − P3 x = 8

C©u 12. Gi¶I ph¬ng tr×nh: 2 Ax2 + 50 = A22x

C©u 13. Gi¶I ph¬ng tr×nh: 7 C1x + C x2 + C x3 = x 2

C©u 14. Gi¶I ph¬ng tr×nh: Pn + 3 = 720 An5 .Pn − 5

C©u 15. T×m sè c¸c sè tù nhi»n cã 5 chÖ sè kh¸c nhau C©u 16. a. T×m sè c¸c m¸y ®iÖn tho¹i cã 6 chÖ sè b. T×m sè c¸c m¸y ®iÖn tho¹i cã 6 chÖ sè kh¸c nhau c. T×m sè c¸c m¸y ®iÖn tho¹i cã 6 chÖ sè víi chÖ sè ®Çu ti»n lµ 8 C©u 17. XÐt tËp hîp X ={1,2,3,4,5,6,7} T×m sè c¸c sè tù nhi»n gåm 5 chÖ sè lÊy tõ X sao cho: a. Cã chÖ sè ®Çu ti»n lµ 3 b. Kh«ng cã chÖ sè tËn cïng lµ 4 c. Cø hai chÖ sè kÒ nhau th× kh¸c nhau d. Kh«ng ®îc b¾t ®Çu b»ng 123 e. C¸c chÖ sè ph©n biÖt C©u 18. T×m sè ho¸n vÞ 7 häc sinh, biÕt r»ng cã 3 häc sinh ®îc chØ ®Þnh ®øng gÇn nhau C©u 19. Tõ mét líp häc gåm 40 häc sinh cö ra mét ban ®¹i diÖn gåm 5 häc sinh trong ®ã cã mét líp trëng, mét líp phã vµ 3 uû vi»n. Hái cã bao nhi»u c¸ch lËp ban ®¹i diÖn 20. Tr»n gi¸ s¸ch cã 30 tËp s¸ch. Cã thî s¾p xÕp theo bao nhi»u c¸ch kh¸c nhau ®î cã: 1. TËp 1 vµ tËp 2 ®øng c¹nh nhau

2. TËp 5 vµ tËp 6 kh«ng ®øng c¹nh nhau 21. Héi nghÞ cö 40 ngêi ra mét chñ tÞch, mét phã chñ tÞch vµ 5 uû vi»n vµo mét ban. Hái cã bao nhi»u c¸ch lËp ra ban võa n»u. 22. T×m sè ®êng chÐo cña ®a gi¸c låi n c¹nh 23. Trong m®t ph¼ng cã 10 ®iîm sao cho kh«ng cã 3 ®iîm nµo trong chóng lµ th¼ng hµng. Hái sè tam gi¸c cã ®îc víi ®Ønh ®îc chän tõ 10 ®Ønh tr»n 24. Mét líp häc cã 40 häc sinh gåm 25 häc sinh nam vµ 15 häc sinh nÖ. Cã bao nhi»u c¸ch chän 4 häc sinh sao cho: 1) Sè häc sinh nam ho®c nÖ lµ tuú ý 2) Ph¶i cã hai nam vµ hai nÖ 3) Ph¶i cã Ýt nhÊt mét nÖ 25. Trong m®t ph¼ng cho hä A gåm 10 ®êng th¼ng song song víi nhau vµ hä B gåm 20 ®êng th¼ng song song víi nhau; BiÕt r»ng c¸c ®êng th¼ng trong hä A ®Òu c¾t c¸c ®êng th¼ng cña hä B. T×m sè hµnh b×nh hµnh t¹o n»n bëi hä A vµ hä B nãi tr»n 26. T×m sè c¸ch rót s¸u l¸ bµi tõ bé bµi 52 l¸ sao cho cã ®óng mét con ¸t vµ mét con vua 27. Tõ tËp hîp X = {0,1,2,3,4,5} cã thî t¹o lËp ®îc bao nhi»u sè tù nhi»n gåm 8 chÖ sè sao cho chÖ sè 2 cã m®t 3 lÇn, cßn 5 chÖ sè cßn l¹i cã m®t ®óng mét lÇn 28. Tõ tËp hîp X ={0,1,2,3,4,5,6} gåm 7 chÖ sè cã thî lËp bao nhi»u sè tù nhi»n cã 5 chÖ sè kh¸c nhau vµ trong ®ã cã chÖ sè 4. 29. Tõ tËp hîp X={0,1,2,3,4,5} cã thî thµnh lËp ®îc bao nhi»u sè tù nhi»n ch½n cã 5 chÖ sè kh¸c nhau. 30. 1) Ph©n phèi 7 chiÕc vÐ cho 7 ngêi ( mçi ngêi 1 vÐ kh¸c nhau). Hái cã bao nhi»u c¸ch ph©n phèi? 2) Ph©n phèi 32 chiÕc vÐ cho 4 ngêi(mçi ngêi nhËn 8 ve). Hái cã nhi»u c¸ch ph©n phèi 31. Cã 5 tem th kh¸c nhau vµ cã 6 b× th kh¸c nhau. Ngêi ta muån chän tõ ®ã ra 3 tem th 3 b× th vµ d¸n 3 tem th Êy l»n ba phong b× th ®· chän. Mét b× th chØ d¸n 1 tem th. Hái cã bao nhi»u c¸ch lµm Êy. C©u 32. Sè 210 cã bao nhi»u íc sè C©u 33.

C©u 32. Tõ c¸c chÖ sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thî lËp ®îc: a. Bao nhi»u sè tù nhi»n gåm 5 chÖ sè kh¸c nhau b. Bao nhi»u sè tù nhi»n ch½n gåm 5 chÖ sè kh¸c nhau C©u 33. Cã bao nhi»u sè gåm 3 chÖ sè kh¸c nhau cã thî l¹p tõ c¸c chÖ sè 0,2,4,6,8 C©u 34. Cã bao nhi»u chÖ sè tù nhi»n cã 5 chÖ sè kh¸c nhau Víi c¸c chÖ sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thî lËp ®ù¬c bao nhi»u sè gåm 5 chÖ sè kh¸c nhau trong ®ã ph¶i cã m®t chÖ sè 5. C©u 35. Tõ c¸c sè 1,2,3,4,5 cã bao nhi»u sè gåm 5 chÖ sè kh¸c nhau. Trong ®ã cã 2 chÖ sè 1 vµ 2 kh«ng ®øng c¹nh nhau. C©u 36. Cã c¸c sè 1,2,5,7,8 cã bao nhi»u c¸ch lËp ra mét sè gåm 3 chÖ sè kh¸c nhau tõ 5 chÖ sè nãi tr»n sao cho: 1. Sè t¹o thµnh lµ sè ch½n 2. Sè t¹o thµnh lµ mét sè kh«ng cã m®t chÖ sè 7 3. Sè t¹o thµnh lµ mét sè nhá h¬n 278 C©u 37. Cho 7 chÖ sè 1,2,3,4,5,6,7 1. Cã bao nhi»u sè gåm 4 chÖ sè kh¸c nhau ®îc viÕt tõ c¸c chÖ sè ®· cho. 2. Trong c¸c sè ®ã, cã bao nhi»u sè lu«n cã m®t chÖ sè 7 3. Trong c¸c sè ®ã lu«n cã m®t chÖ sè 7 vµ chÖ sè hµng ngµn lu«n b»ng 1. C©u 38. XÐt c¸c sè tù nhi»n gåm 5 chÖ sè kh¸c nhau, lËp tõ c¸c chÖ sè 1,2,3,4,5 hái cã bao nhi»u sè 1. B¾t ®Çu b»ng chÖ sè 5 2. Kh«ng b¾t ®Çu b»n chÖ sè 1. 3. B¾t ®Çu b»ng 23 4. Kh«ng b¾t ®Çu b»ng 345 C©u 39. Cã bao nhi»u sè cã 5 chÖ sè trong ®ã hai chÖ sè kÒ nhau ph¶i kh¸c nhau C©u 40 (160/342) Cho tËp A = {1,2,3,4,5,6,7,8} 1. Cã bao nhi»u tËp con X cña tËp A tho· m·n ®iÒu kiÖn X chøa 1 vµ kh«ng chøa 2. 2. Cã bao nhi»u sè tù nhi»n chÉm gåm 5 chÖ sè ®«i mét kh¸c nhau lÊy tõ tËp A vµ kh«ng b¾t ®Çu b»ng 123. C©u 41. (162/342). Hái tõ 10 chÖ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã thî thµnh lËp ®îc bao nhi»u sè gåm 6 chÖ sè kh¸c nhau sao cho trong c¸c chÖ sè ®ã cã m®t chÖ sè 0 vµ 1.

C©u 42(163/342). XÐt nhÖng sè gåm 9 chÖ sè, trong ®ã cã 5 chÖ sè 1 vµ 4 chÖ sè cßn l¹i lµ 2,3,4,5. Hái cã bao nhi»u sè nh tr»n nÕu: 1. N¬m chÖ sè 1, ®îc xÕp kÒ nhau 2. C¸c chÖ sè xÕp tuú ý. C©u 43.(164/342). Cho n¬m chÖ sè 0,1,2,3,4. Tõ 5 chÖ sè tr»n cã thî lËp ®îc bao nhi»u sè ch½n cã 5 chÖ sè sao cho trong mçi sè ®ã, mçi chÖ sè tr»n cã m®t mét lÇn C©u 44.(165/342). Cho c¸c chÖ sè 0,2,4,5,6,8,9. 1. Hái cã thî thµnh lËp ®îc bao nhi»u sè cã 3 chÖ sè kh¸c nhau. 2. Hái cã thî lËp ®îc bao nhi»u chÖ sè cã 4 chÖ sè kh¸c nhau, trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã m®t chÖ sè 5. C©u 45.(166/342). Cho mêi chÖ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã bao nhi»u sè lÏ cã c¸c chÖ sè kh¸c nhau, nhá h¬n 600.000 tõ mêi chÖ sè tr»n. 46(195/342). Mét ban gi¸m kh¶o thi gåm 9 ngêi. Mäi tai liÖu cña kú thi ®îc b¶o qu¶n trong tñ s¾t. Hái cÇn cã bao nhi»u æ kho¸ cho tñ s¾t ®ã vµ mçi æ kho¸ cã bao nhi»u ch×a kho¸ vµ chia sè ch×a nµy cho c¸c thµnh vi»n ban gi¸m kh¶o thi sao cho ®¶m b¶o nguy»n t¾c: tñ chØ ®îc më khi cã Ýt nhÊt 2/3 sè thµnh vi»n. C©u 46 (/196/342). XÐt c¸c biîn sè xe lµ d·y gåm 2 chÖ c¸i ®øng tríc vµ 4 chÖ sè ®øng sau. C¸c chÖ c¸i ®îc lÊy tõ 26 chÖ c¸i A, B,…., Z. C¸c sè ®îc lÊy tõ 0,1,…,9. a. Cã bao nhi»u biîn sè xe trong ®ã cã Ýt nhÊt mét chÖ c¸i kh¸c chÖ sè kh«ng vµ c¸c chÖ sè ®«i mét kh¸c nhau b. Cã bao nhi»u biîn sè xe cã hai chÖ c¸i kh¸c nhau ®ång thêi cã ®óng hai chÖ sè lÎ vµ hai chÖ sè lÏ gièng nhau C©u 47. (198/342). Víi c¸c chÖ sè 0, 1,3,6,9 cã thî lËp ®ù¬c bao nhi»u sè, mçi sè gåm 4 chÖ sè kh¸c nhau. Trong ®ã cã bao nhi»u sè ch½n? cã bao nhi»u sè chia hÕt cho 3. C©u 48(199/342) Mét häc sinh cã 12 cuèn s¸ch ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã cã 2 cuèn s¸ch m«n to¸n, 4 cuèn m«n v¬n, 6 cuèn m«n anh v¬n. Hái cã bao nhi»u c¸ch xÕp tÊt c¶ c¸c cuèn s¸ch ®ã l»n 1 kÖ dµi, nÕu mäi cuèn s¸ch nµy ®¬c xÕp kÒ nhau, nhÖng cuèn s¸ch cïng m«n häc xÕp gÇn nhau.

C©u 49(200/342). Cã bao nhi»u sît nhi»n cã 7 chÖ sè, chØ t¹o bëi c¸c chÖ sè1,2,3 víi ®iÒu kiÖn chÖ sè 2 cã m®t ®óng 2 lÇn trong mçi sè. C©u 50(201/342). Mét tµu ®iÖn cã 3 toa dõng l¹i t¹i mét ga. Ë s©n ga cã 15 kh¸ch ®îi tµu. Hái khi tµu ®Õn cã m¸y c¸ch l»n tµu cña 15 hµnh kh¸ch ®ã, sao cho toa ®Çu cã 6 ngêi, toa hai cã 7 ngêi. C©u 51.( 225/342). Bèn t¸c gi¶ so¹n chung 1 cuèn s¸ch cã 17 ch¬ng. Ngêi thø nhÊt vµ ngêi thø 3 ph¶i so¹n mçi ngêi 5 ch¬ng. Ngêi thø 2 ph¶i so¹n 4 ch¬ng vµ ngêi thø 4 so¹n 3 ch¬ng. Hái cã bao nhi»u c¸ch chia cuèn s¸ch cho 4 so¹n gi¶ C©u 52. (227/342) Cã 12 chiÕc b¸nh ngät kh¸c nhau. Hái cã bao nhi»u c¸ch xÕp chóng vµo 6 hép gièng nhau. Mçi hép cã 2 chiÕc b¸nh. C©u 52(234/342). Mét bµn dµi cã hai d·y ghÕ ®èi diÖn nhau, mçi d·y gåm 4 ghÕ. Ngêi ta muèn xÕp chç ngåi cho 4 häc sinh trêng A vµ 4 häc sinh trêng B vao bµn tr»n. Hái cã bao nhi»u c¸ch xÕp tr«ng mçi trêng hîp sau: a. BÊt cø häc sin nµo ngåi c¹nh nhau ho®c ®èi diÖn nhau th× kh¸c trêng víi nhau b. BÊt cø hai häc sin nµo ngåi ®èi diÖn víi nhau th× kh¸c trêng nhau. C©u 53. (235/342) Cã bao nhi»u c¸ch s¾p xÕp 5 b¹n A, B, C, D, E vµo mét ghÕ dµi sao cho: a. B¹n C ngåi chÝnh giÖa. b. Hai b¹n A vµ E ngåi ë hai ®Çu ghÕ. C©u 54. (237/342). Ngêi ta xÕp ngÉu nhi»n 5 l¸ phiÕu thø tù tõ 1 ®Õn 5 c¹nh nhau. 1. Cã bao nhi»u c¸ch xÕp ®î c¸c phiÕu sè ch½n lu«n ë c¹nh nhau. 2. Cã bao nhi»u c¸ch xÕp ®î c¸c phiÕu ph©n thµnh hai nhãm ch½n lÎ ri»ng biÖt( ch¼ng h¹n 24135) C©u 55.(209/342). Mét thÇy gi¸o cã 12 cuèn s¸ch ®«i mét kh¸c nhau, trong ®ã cã 5 cuèn v¬n häc, 4 cuèn s¸ch ©m nh¹c, vµ C©u 56(208/342). Trong m®t ph¼ng cho ®a gi¸c ®Òu H cã 20 c¹nh. XÐt c¸c tam gi¸c cã 3 ®Ønh ®îc lÊy tõ c¸c ®Ønh cña H.

1. Cã tÊt c¶ bao nhi»u tam gi¸c nh vËy? Cã bao nhi»u tam gi¸c cã ®óng hai c¹nh lµ c¹nh cña H. 2. Cã bao nhi»u tam gi¸c cã ®óng mét c¹nh lµ c¹nh cña H? Cã bao nhi»u tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña H. C©u 57.(212/342) Cã bao nhi»u sè gåm 7 chÖ sè kh¸c nhau ®«i mét lËp tõ ®óng 7 chÖ sè 1,2,3,4,5,7,9 sao cho hai chø sè ch½n kh«ng ®øng c¹nh nhau C©u 58(214/342). Mét c®p vî chång mêi 2n ngêi b¹n ®Õn dù tiÖc. Hái cã bao nhi»u c¸ch xÕp ®®t chç ngåi tr»n mét bµn trßn sao cho chång lu«n ngåi vÞ trÝ ®èi diÖn víi vî. ¸p dông sè n =12. C©u 59(2.4/gttpgtth). a. Cã bao nhi»u c¸ch ®î 3 b¹n nam sinh vµ hai nÖ sinh ngåi thµnh mét hµng. b. Hä ngåi thµnh hµng nhng nam ngåi c¹nh nam, nø ngåi c¹nh nÖ c. C¸c b¹n nÖ ngåi c¹nh nhau 60(2.5/gttpgtth) Cã 3 ngêi m·, 4 ngêi Th¸i, 4 ngêi Hoa vµ 2 ngêi NhËt ®îc xÕp ngêi ngåi chung quèc tÞch th× ngåi gÇn nhau. a. Cã bao nhi»u c¸ch xÕp hä ngåi thµnh mét hµng. b. Cã bao nhi»u c¸ch sÕp hä ngåi quang mét bµn trßn 61. (238/342) Cho hai ®êng th¼ng song song. Tr»n ®êng th¼ng thø nhÊt cã 10 ®iîm. Tr»n ®êng th¼ng thø hai cã 20 ®iîm. Cã bao nhi»u tam gi¸c ®îc t¹o bëi c¸c ®iîm ®· cho. 62.(285/342). Cho c¸c chÖ sè 0,1,2,3,4,5. Tõ c¸c chÖ sè ®· cho ta lËp ®îc: 1. Bao nhi»u sè ch½n cã 4 chÖ sè kh¸c nhau tõng ®«i mét 2. Bao nhi» sè chia hÕt cho 5, cã 3 chÖ sè kh¸c nhau tõng ®«i mét. 3. Cã bao nhi»u sè chia hÕt cho 9 cã 3 chÖ sè kh¸c nhau tõng ®«i mét. 63. Cã 7 b¹n líp A, 8 b¹n líp B, 9 b¹n líp C. hái cã bao nhi»u c¸ch chän 5 b¹n tõ ba líp tr»n sao cho c¸c b¹n ®îc chän chØ thuéc mét trong hai líp.

NHÞ thøc NIUT¥N D¹ng 1. Khai triîn nhÞ thøc niu t¬n: C©u 1. Thùc hiÖn:

a. Khai triîn: (1 + x)10 b. So s¸nh: (1,1)10 vµ 2 C©u 2. Thùc hiÖn khai triîn: (3x − 4) 5

D¹ng 2. TÝnh c¸c gi¸ trÞ biîu thøc: C©u 1. TÝnh tæng: a. S = C60 + C16 + C62 + .... + C66 b. S = C50 + 2C51 + 2 2 C52 + ... + 25 C55 C©u 2. TÝnh tæng: a. A = C n0 + C1n + C n2 + .... + C nn p 2 3 n 1 + 2 C n + 3 C n + ... + p C n + ... + n C n B = C b. n p −1 C1n C n2 C nn −1 Cn

C©u 3. TÝnh gi¸ trÞ biîu thøc: a. A = 2 n C n0 + 2 n − 2 C n2 + 2 n − 4 C n4 + .... + C nn

b. B = 2 n −1C1n + 2 n − 3 C n3 + 2 n − 5 C n5 + .... + C nn −1 C©u 4. TÝnh tæng: S = Cn0 + C1n + C n2 + .... + C nn

C©u 5. TÝnh tæng: S = Cn0 + 2C1n + 2 2 C n2 + .... + 2 n C nn

C©u 6. TÝnh tæng: a. S = C20n + C 22n + C 24n + .... + C 22nn

b. S = C12n + C 23n + C 25n + .... + C 22nn −1 C©u 7. TÝnh tæng: S = 1 − 2 C1n + 2 2 C n2 − 2 3 C n3 + .... + (−1) n 2 n C nn

C©u 8. TÝnh tæng: S = Cn0 + 3C1n + 32 C n2 + .... + 3 n C nn

D¹ng 3. Chøng minh ®¼ng thøc C©u 1. Chøng minh r»ng: 7 n = Cn0 + 6C1n + 6 2 C n2 + .... + 6 n C nn

C©u 2. Chøng minh r»ng: Cn0 − C1n + C n2 − C n3 + .... + ( −1) n C nn = 0

C©u 3. Chøng minh r»ng:

C20n + C 22n + C 24n + .... + C 22nn = 2 2n −1

C©u 4. Chøng minh r»ng:

C20n + C 22n + C 24n + .... + C 22nn = C12n + C 23n + C 25n + .... + C 22nn −1

C©u 5. Chøng minh r»ng: Cn0 + 9C1n + 9 2 C n2 + .... + 9 n C nn = 10 n

C©u 6. Chøng minh r»ng: ( Cn0 ) 2 + ( C1n ) 2 + .... + ( Cnn ) 2 = ( Cnn )

C©u 7. Chøng minh r»ng: ( C20n ) 2 − ( C12n ) 2 + ( C22n ) 2 − .... + ( C22nn ) 2 = (−1) n ( C2nn )

C©u 8. Chøng minh r»ng: Cn0 − 2C1n + 2 2 C n2 − .... + (1−) n 2 n C nn = (−1) n

C©u 9. Chøng minh r»ng:

4 n Cn0 − 4 n −1C1n + 4 n − 2 C n2 − .... + (1−) n C nn = C n0 + 2C1n + 2 2 C n2 + .... + 2 n C nn

C©u 10. Víi n lµ sè nguy»n d¬ng. CMR:  1 1 1 n 3n Cn0 − C1n + Cn2 − .... + (−1)n Cn  = 2 n 2 n 3 3 3  

D¹ng 4. TÝnh chÊt ®èi xøng cña d·y:

C©u1. TÝnh tæng: 6 + C 7 + C 8 + C 9 + C10 + C11 a. S = C11 11 11 11 11 11 6 + C 7 + C 8 + C 9 + C10 b. S = C10 10 10 10 10

n  1  7 26   C©u 2. T×m sè h¹ng chøa x trong khai triîn:  + x  , biÕt  x4 

r»ng:

C12n +1 + C 22n +1 + C 23n +1 + ... + C 2nn +1 = 2 20 − 1

D¹ng 5. X¸c ®Þnh hÖ sè, sè h¹ng trong khai triîn C©u 1. Khai triîn: (1 + x + x 2 + x 3 ) 5 = a0 + a1x + a 2 x 2 + .... + a15 x15 TÝnh: a. HÖ sè a10 b. TÝnh tæng T = a0 + a1 + a2 + .... + a15

c. TÝnh tæng: T = a0 − a1 + a2 − .... − a15 C©u 2. Khai triîn: ( x − 2)100 = a0 + a1x + a2 x 2 + .... + a100 x100 a. TÝnh hÖ sè a97 b. TÝnh tæng: T = a0 + a1 + a2 + .... + a100 C©u 3. Khai triîn: (1 + 2 x + 3x 2 )10 = a0 + a1x + a2 x 2 + .... + a20 x 20 a. TÝnh hÖ sè: a4 b. TÝnh: T = a0 + a1 + a 2 + .... + a20 C©u 4. Khai triîn: (1 + 2 x − 3x 2 ) n = a0 + a1x + a2 x 2 + .... + a20 x 20 TÝnh tæng: S = a0 + a1 + a2 + .... + a20 C©u 5. Khai triîn: (1 + x + x 2 )1996 = a0 + a1x + a2 x 2 + .... + a3992 x 3992 TÝnh: a. S = a0 + a1 + a2 + .... + a3992 b. S = a0 − a1 + a2 − a3 + .... + a3992 c. Chøng minh r»ng: S = a0 + 2a1 + 2 2 a 2 + 23 a3 .... + 23992 a3992 Chia hÕt cho 2401 C©u 6. §a thøc: P( x) = (1 + x) + 2(1 + x) 2 + 3(1 + x) 3 + .... + 20(1 + x) 20 ®îc viÕt díi d¹ng: P( x) = a0 + a1x + a2 x 2 + .... + a20 x 20 . T×m a15 C©u 7. Khai triîn: P ( x ) = (1 + x)12 + (1 + x)13 + (1 + x )14 + (1 + x )15 + (1 + x)16 + (1 + x)17 theo nhÞ thøc niut¬n. H·y t×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x 8 12

C©u 8. Trong khai triîn:  x − 3  . T×m hÖ sè cña sè h¹ng 4

3

x

chøa x C©u 9. Cho biÕt hÖ sè cña sè h¹ng thø ba cña khai triîn nhÞ thøc: 3 x n  2 x x +  b»ng 36. H·y t×m sè h®ng thø 7.  x   





15 C©u 10. T×m hÖ sè cña x 25. y10 trong khai triîn: x3  xy

C©u 11. a. X¸c ®Þnh hÖ sè thø nhÊt, thø hai, thø ba trong khai triîn: n 1  3  x  2 x   

b. Cho biÕt tæng cña 3 hÖ sè nãi tr»n b»ng 11. T×m hÖ sè cña x2 C©u 12. T×m sè nguy»n bÐ nhÊt n sao cho trong khai triîn:  1  x  n cã hai hÖ sè li»n tiÕp cã tØ sè lµ 7/15. C©u 13. T×m sè thøc x cho biÕt sè h¹ng thø 4 trong khai triîn: 6  1  x lg x 1  12 x  lµ 200         

C©u 14. a) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x3 trong khai triîn: ( x  1)2  ( x  1)3  ( x  1)4  ( x  1)5

b) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x9 trong khai triîn: ( x  1)9  ( x  1)10  ...  ( x  1)13  ( x  1)14 5  3 2  10 C©u 15. T×m sè h¹ng chøa x trong khai triîn:  3x   x2  

C©u 16. X¸c ®Þnh hÖ sè thø nhÊt thø hai trong khai triîn: n 1  3  x  2 x   

Cho biÕt tæng hÖ sè nãi tr»n b»ng 11. T×m hÖ sè cña x 2





C©u 17. Cho biÕt tæng c¸c hÖ sè trong khai triîn: x 2  1

n

b»ng 1024, h·y t×m hÖ s« cña sè h¹ng chøa x12 C©u 18.

D¹ng 6. Sè h¹ng ®éc lËp víi x trong khai triîn 

 C©u 1. H·y t×m trong khai triîn nhÞ thøc:  x 3  1  x3  

18

sè h¹ng

®éc lËp víi x

12 C©u 2. H·y t×m trong khai triîn nhÞ thøc:  x  1  sè h¹ng

®éc lËp víi x



x



 C©u 3. H·y t×m trong khai triîn nhÞ thøc:  2 x 3  2  x2  

10

sè

h¹ng ®éc lËp víi x

28  n  C©u 4. Trong khai triîn nhÞ thøc  x3 x  x 15  . H·y t×m sè     n n  1 n  2 h¹ng ®éc lËp víi x biÕt: C n  C n  C n  79  



C©u 5. Cho biÕt tÊt c¶ c¸c hÖ sè trong khai triîn nhÞ thøc: 3n 1   2nx   b»ng 64. T×m sè h¹ng kh«ng chøa x. 2 2nx   

C©u 6. T×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc x trong khai triîn: 28  n  3 n n 1 n  2  79 15   x x  x  biÕt r»ng: Cn  Cn  Cn     1 n  C©u 6.Trong khai triîn  x   , hÖ sè cña sè h®ng thø 3 lín x  

h¬n hÖ sè cña sè h¹ng thø 2 lµ 35. TÝnh sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triîn 12

C©u 7. T×m sè h¹ng ®éc lËp víi x trong khai triîn:  1  x   x  C©u 8. T×m sè h¹ng ®éc lËp víi x trong khai triîn: 17  4   x3   3 2   x  

1

D¹ng 7. Sè h¹ng ®øng giÖa trong khai triîn:

C©u 1. T×m 2 sè h¹ng ®øng giÖa trong khai triîn: ( x 3  xy)15 C©u 2. H·y t×m sè h¹ng ®øng giÖa trong khai triîn: a.  a 3  ab   

31

10  1 3  b.   x  5  x  n

C©u 3. Cho biÕt hÖ s« thø 3 trong khai triîn:  x  1  b»ng 5. 3  T×m sè h¹ng ë giÖa c¸c khai triîn.

D¹ng 8. T×m sè h¹ng hÖu tØ trong khai triîn

C©u 1. T×m sè h¹ng hÖu tØ trong khai triîn:



3  15



6

C©u 2. Cã bao nhi»u sè h¹ng hÖu tØ trong khai triîn:



345



124

C©u 3. T×m sè h¹ng hÖu tØ trong khai triîn:



332

C©u 4. Cho biÕt ba h¹ng tö ®Çu ti»n cña khai triîn:   



9

n 2  x  4x 

Cã c¸c hÖ sè lµ 3 sè h¹ng li»n tiÕp cña mét cÊp sè céng. T×m tÊt c¶ c¸c h¹ng tö hÖu tØ trong khai triîn ®· cho.

D¹ng 9. HÖ sè lín nhÊt trong khai triîn C©u 1. X¸c ®Þnh n sao cho trong khai triîn nhÞ thøc  x  2  n h¹ng tö thø 11 lµ sè h¹ng cã hÖ sè lín nhÊt. C©u 2. T×m hÖ sè lín nhÊt cña khai triîn  a  b  n cho biÕt tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè b»ng 4096. 10

C©u 3. Trong khai triîn:  1  2 x  Thµnh ®a thøc:  3 3  a0  a1x  a2 x 2  ....  a10 x10 H·y t×m hÖ sè ak lín nhÊt  0  k  10  C©u 4. Khai triîn: P( x)  (1  2 x)12 Thµnh d¹ng: P ( x )  a0  a1x  a2 x 2  ....  a12 x12

T×m Gi¸ trÞ lín nhÊt cña ai C©u 5. X¸c ®Þnh sè n sao cho trong khai triîn nhÞ thøc (3  x )n h¹ng tö thø 8 lµ sè h¹ng cã hÖ sè lín nhÊt. C©u 6. T×m h¹ng tö cña khai triîn  a  b  50 cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín nhÊt biÕt: | a || b | 3

C©u 7 Khai triîn: P( x)  (1  3x)8 Thµnh d¹ng: P ( x )  a0  a1x  a2 x 2  ....  a8 x8

T×m Gi¸ trÞ lín nhÊt cña ai

D¹ng 10. øng dông ®¹o hµm trong bµi to¸n tæ hîp

C©u 1. Chøng minh r»ng: nCn0  (n  1)C1n  ....  Cnn 1  n.2n 1 C©u 2. CMR: C1n  2Cn2  3Cn3  ....  nCnn  n.2n 1

C©u 3. Cmr: n.(n  1)2n  2  n(n  1)Cn0  (n  1)(n  2)C1n  ....  2Cnn 1

C©u 4. Cmr: nCn0  (n  1)C1n  (n  2)Cn2  (n  3)Cn3  ....  (1)n Cnn 1  0 C©u 5. Cmr: C1n  2Cn2  3Cn3  ....  (1)n nCnn  0 C©u 6. TÝnh tæng: S  (n  1)Cn0  nC1n  (n  1)Cn2  ....2Cnn 1  Cnn C©u 7. CMR: 2n 1C1n  2.2n  2 Cn2  3.2n 3 Cn3  ....  nCnn  n.3n 1 C©u 8. CMR: 4C1n  32Cn2  192Cn3  ...  2n.22n 1Cnn  2n.5n 1 C©u 9. TÝnh tæng: S  3Cn0  4C1n  5Cn2  ...  (n  3)Cnn C©u 10. Chøng minh r»ng: C1n 3n 1  2Cn2 3n  2  3Cn3 3n 3  ....  nCnn  n4n 1 C©u 11. Cho f ( x)  x ( x  1)2001

a) TÝnh fÕ(1) 0 2 2000  2002C 2001  2C12001  3C2001  ...  2001C2001 b) TÝnh tæng S  1C2001 2001 C©u 12. Víi n lµ sè nguy»n d¬ng chøng minh r»ng: Cn2  2Cn3  ..  (n  1)Cnn  (n  2)2n 1

D¹ng 11. øng dông tÝch ph©n trong bµi to¸n tæ hîp C©u 1. Chøng minh r»ng:

C1 C 2 Ck C n 2n 1  1 Cn0  n  n  ...  n  ...  n  2 3 1 k 1 n n 1

C©u 2. Chøng minh r»ng:

C1 C 2 C 4 Cn 1 Cn0  n  n  n  ...  ( 1)n n  2 3 4 1 n n 1

C©u 3.

1

2 n a) TÝch tÝch ph©n: I   x(1  x ) dx 0

b) Chøng minh r»ng:

Cn0 C1n Cn2 (1)n Cnn 1    ...   2 4 6 2n  2 2(n  1)

C©u 4. 2

n a) TÝnh: I=  (1  x) dx 0

b) Chøng minh r»ng: 1 1 1 n 1 n 1  2Cn0  22 C1n  23 Cn2  ....  (1)n 2 Cn  1  (1)n     2 3 n 1 n 1

C©u 5.

1

2 n a) TÝnh I n   (1  x ) dx 0

n

b) CMR: Cn0  1 C1n  1 Cn2  ....  (1) Cnn  2.4.6....2n 3 5 2n  1 1.3.5...(2n  1) C©u 6. CMR: 22 1 23 2 2n 1 n 3n 1  1 2Cn0  Cn  Cn  .....  Cn  2 3 n 1 n 1

C©u 7.

1

19 a) TÝnh tÝch ph©n: I   x(1  x) dx

0 1 0 1 1 1 2 1 18 1 19  C19 b) Rót gän: C19  C19  C19  ....  C19 2 3 4 20 21

C©u 8. Cho n lµ sè tù nhi»n lín h¬n 2 1

2 3 n 1. TÝnh tÝch ph©n: I n   x (1  x ) dx 0

2. Chøng minh r»ng:

1 0 1 1 1 2 1 2n 1  1 n Cn  Cn  Cn  ....  Cn  3 6 9 3n  3 2(n  1)

C©u 9. Víi n lµ sè tù nhi»n, h·y tÝnh tæng: 1 1 1 1 S  Cn0  C1n .2  Cn2 22  Cn3 23  ....  Cnn 2n 2 3 4 n 1