To De Curvas

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Ajustamento de curvas e o Método dos Mínimos Quadrados Ajustamento de Curvas: Sempre que utilizamos dados observados para chegar a uma equação matemática que descreva a relação entre duas variáveis – processo conhecido como ajustamento de curvas – encontramos três tipos de problemas: • Decidir que tipo de curva e que equação de precisão queremos usar; • Achar a euqação particular que é a melhor em determinado sentido; • Investigar problemas relativos ao mérito da equação escolhida e da predição feita a partir dela. Passos para a determinação da equação de ajustamento de curvas: 1. Colecionar os dados que indiquem os valores correspondentes das variáveis consideradas; 2. Elaborar um diagrama de dispersão, ou seja, locar pontos (x1,y1), ..., (xn,yn) em um sistema de coordenadas cartesianas. Exemplo:

y y = a0 + a1 * x

a0

a1

x O diagrama de dispersão permite a visualização da curva que melhor se ajusta aos dados! Equações das Curvas de Ajustamento: São alguns tipos de curvas de ajustamento, onde x representa a variável independente e y a variável dependente: a. b. c. d.

Linha Reta: y = a0 + a1*x Parábola ou curva de segundo grau: y = a0 + a1*x + a2*x2 Cúbica ou Curva de terceiro grau: : y = a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 Curva de grau ‘n’: y = a0 + a1*x + a2*x2 + ... + an*xn

2

1 a0 + a1 x

e.

Hipérbole:

f. g.

Curva Exponencial: y = a*bx Curva Geométrica: y = a*xb

Equação da Reta: O tipo mais simples de ajustamento de curva é a RETA, que, conhecendo dois pontos, já pode ser obtida: y = a0 + a1*x ou ainda:

y − y1 =

y 2 − y1 y − y1 * ( x − x1 ) , onde 2 = a1 x 2 − x1 x 2 − x1

Cabe ressaltar que a0 é o coeficiente linear da reta, ou seja, é o valor de y quando x = 0 e a1 é o coeficiente angular da reta, isto é, sua declividade! Retas Paralelas: Duas retas são paralelas quando seus coeficientes angulares forem iguai, isto é: a1 reta 1 = a1 reta 2. Retas Perpendiculares: Duas retas são perpendiculares quando a1 reta 1 * a1 reta 2 = -1. Exemplo 1: Determinar a equação da reta, o coeficiente angular e linear da reta que passa pelos pontos (1,5) e (4,-1):

Exemplo 2: Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (2,-3) e possui coeficiente angular igual a 4.

Exemplo 3: Determinar a equação de uma reta paralela e outra perpendicular a reta que passa pelos pontso (6,-2) e (5, -8):

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Método dos Mínimos Quadrados: Definição: De todas as curvas que se ajustem a um conjunto de pontos, a que tem a propriedade de apresentar o mínimo valor da soma dos quadrados dos desvios do ponto à curva é denominada a melhor curva de ajustamento.

A reta dos mínimos quadrados que se ajusta ao conjunto de pontos (x1,y1), ..., (xn,yn) tem ^

a equação y = a + a x , onde a0 e a1 são determinados pela resolução do sistema de 0 1 equações abaixo, chamado de Equações Normais:

∑ y = n * a 0 + a1 * ∑ x  2 ∑ x * y = a 0 * ∑ x + a1 * ∑ x

onde n é o número de pares de observações. Os coeficientes a0 e a1 também podem ser calculados utilizando as fórmulas de média e desvio padrão, como segue:

a1 =

S xy S xx

e a 0 = y − a1 * x,

onde : S xy = ∑

∑ x * ∑ y, x* y − n

S xx = ∑ x − 2

( ∑ x) n

2

, x=

∑x n

e y=

∑y n

Exemplo 1: Ajuste a reta de mínimos quadrados aos dados abaixo que representam o número de anos que certos candidatos ao serviço diplomático estudaram alemãoa na faculdade e as notas por eles obtidas no teste de proficiência. Antes de ajustar a reta faça o gráfico de dispersão:

Nro de anos de estudo

3

4

4

2

5

3

4

5

3

2

Nota do teste

5 7

7 8

7 2

5 8

8 9

6 3

7 3

8 4

7 5

48

4

Exemplo 2: Após 6hs de treinamento, um cachorro comete 5 erros numa exposição, outro cão, após 12hs de treinamento, comete 6 erros e um último cachorro, após 18hs de treinamento, comete apenas 1 erro. Denotando por xo número de horas de treinamento e y o número de erros cometidos na exposição, determine a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos dados. Regressão Linear Simples: A equação da reta de mínimos quadrados também é chamada de reta de regressão linear simples. ^

y = a0 + a1 x Após a reta de regressão ter sido ajustada a um conjunto de pontos é possível inspecionar seu gráfico, no diagrama de dispersão, e observar o grau de precisão do ajuste. As principais medidas de variabilidade em torno da reta são a Variância, o Erro Padrão (desvio padrão) e as Variações Total, Explicada e Residual, cujas fórmulas são:

Variação Total : VT = S yy = ∑ y − 2

( ∑ y)

2

n

Variação Explicada : VE = a1 * S xy Variação Residual : VR = VT − VE = S yy − a1 * S xy VR n−2 VR Erro Padrão : S = n−2 Variância : S 2 =

O coeficiente de determinação (R2) trata-se de um indicador de qualidade do ajustamento da reta aos pontos. Significa o quanto a variável independente x explica da variável dependente y, ou seja, expressa a proporção da variação total que é explicada pela reta de regressão.

R2 =

VE , onde 0 ≤ R2 ≤ 1 ou 0 ≤ R2 ≤ 100%. VT

Exemplo: Caclular VT, VE, VR, S2, S e R2 para os exemplos anteriores e interprete o resultado do coeficiente de determinação.