To An

Đề thi học kỳ I năm học 2008 – 2009 Môn Toán 10 (Chương trình nâng cao) Thời gian làm bài 90 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 31/12/2008 ĐỀ 10A 01 (Đề gồm có 01 trang) NỘI DUNG ĐỀ Bài 1(1đ):Tìm tập xác định của hàm số y =

x + 2 x −1 1− x

Bài 2(3đ):Giải phương trình và hệ pt sau:

a.(x+1)(x+4)-3 x 2 + 5 x + 2 =6 ;

x+ y = 5  b.  x y 1 3 y+ x= 6 

 (m + 1) x + 8 y = 4m Bài 3((2đ).Tìm m để hệ pt :   m +x (m + 3) y = 3m − 1 a.có nghiệm duy nhất; b.có vô số nghiệm: Bài 4(1đ):Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh bđt:

a +b +c b +c +a c +a +b 9 + + ≥ b+c c+a a +b 2

Bài 5(2đ):Cho tam giác ABC.Biết a= 6 ,b=2,c= 3 +1.Tính A,B,ha,R. Bài 6(1đ):Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn: MA .MB − MA .MC = BC

2

− MB

2

+ MC

2

Đề thi học kỳ I năm học 2008 – 2009 Môn Toán 10 (Chương trình nâng cao) Thời gian làm bài 90 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 31/12/2008 ĐỀ 10A 02 (Đề gồm có 01 trang) NỘI DUNG ĐỀ Câu 1: (3.0 điểm) 1. Cho hai tập hợp: A=[1; 4); B = { x∈ R / x ≤ 3} .Hãy xác định các tập hợp: A ∩ B, A \ B ?

2. Tìm hàm số bậc hai y = ax2 + bx +6 biết đồ thị của nó có đỉnh I(2,-2) và trục đối xứng là x= 2. Câu 2: (3.0 điểm)  mx + 2y = 1

1. Cho hệ phương trình: 

. Hãy xác định các tham số thực

 x + (m− 1)y = m

m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 2. Cho phương trình: x2 − 2mx+m2-m=0. Tìm tham số thực m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

x1 x2 + =3 x2 x1

Câu 3: (1.0 điểm) 1 1 1 x y z

Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì (x + y + z)( + + ) ≥ 9. Câu 4: (2.0 điểm) uuu r r r uuu r r r uuur r r 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ: OA = i − 2 j, OB = 5i − j, OC = 3i + 2 j. Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. 4 π 1+ tanα 2. Cho sinα = (0 < α < ) . Tính giá trị biểu thức: P = . 5 2 1− tanα Câu 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 cos A cos B cos C = + + 2abc a b c

Hết.

Đề thi học kỳ I năm học 2008 – 2009 Môn Toán 10 (Chương trình nâng cao) Thời gian làm bài 90 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 31/12/2008 ĐỀ 10A 03 (Đề gồm có 01 trang) Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x = 1 − 2 x  x 2 + xy + y 2 = 1

b) 

 x − y − xy = 3

Câu 2: Giải và biện luận hệ phương trình:  x + my = 2m  mx + y = m + 1 1 3 b) Cho A ( 1;0 ) , B ( 2; − 1) , C ( 0; − 3) . Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC.

Câu 3: a) Cho cos α = − . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α. Câu 4: Cho ∆ABC. Gọi S là diện tích ∆ABC. a) Tính a, biết c = 3, b = 4, S = 3 3 . b) Chứng minh: S = Rr ( sin A + sin B + sin C ) Câu 5: Chứng minh:

a b c 1 1 1 + + ≥ + + , ∀ a, b, c > 0. bc ca ab a b c

Đáp án ĐỀ 01

Bài 1: Đk:

  x  x≥ 0  ≥0  1  1− x ⇔  x〈1 ⇔ x〈≤ 1 2  2x ≥− 01  1  x≥ 2

1



;1. Vậy tập xác định:D=  2 

Bài 2: Câu a: Điều kiện:x2+5x+2≥ 0 pt đã cho tương đương với pt: x 2 + 5 x + 2 − 3 x 2 + 5 x + 2 − 4 = 0 Đặt t= x 2 + 5 x + 2 ; t≥ 0.Phương trình trở thành: t2-3t-4=0 ⇔t=4(t=-1 bị loại) Với t=4 ⇒ x 2 + 5 x + 3 = 4 ⇒x=-7 hoặc x=2 (Cả hai nghiệm dều thỏa mãn đk) Vậy tập mghiệm: S= {−7;2} Câu b: Điều kiện x,y≠ 0. Đặt x+y=S;xy=P .Ta có

x y ( x + y ) 2 − 2 xy S 2 − 2 P + = = y x xy P

 S 2 − 2P 1 3 = S= 5  Hệ phương trình trở thành:  P 6⇔   S= 5  P= 6 

Vậy hệ có 2 nghiệm:

 x= 2  x= 3  ∨  y= 3  y= 2

Bài 3: Câu a: Hệ có nghiệm duy nhất khi D=(m-1)(m-3)≠ 0 ⇔m≠ 1 và m≠ 3. Câu b: Hệ có vô số nghiệm khi D=Dx=Dy=0⇔m=1. a +b +c b +c +a c +a +b 9 + + ≥ b+c c+a a +b 2 1 1 1 ⇔ 2( a + b + c)( + + ) ≥9 b +c c +a a +b 1 1 1 ⇔ (b + c + c + a + a + b)( + + )≥9 b +c c +a a +b

Bài 4:

Đặt x=b+c>0; y=c+a>0; z=a+b>0 và áp dụng BĐT Côsi cho 3 số ta có: 1

1

1

(x+y+z)( x + y + z ) ≥ 9.BĐt này đúng theo ví dụ 6 sgk⇒ đpcm. Bài 5: cosA=

b2 + c2 − a2 1 = ⇒ A = 60 0 2bc 2

a b b sin A 2 = ⇒ sin B = = ⇒ B = 45 0 sin A sin B a 2 a 2 ( 3 +1) ha= csinB = ; R= 2 sin A = 2 . 2 2 ( 3 +1) Đáp số : A=600; B=450 ; ha= ;R= 2 . 2 Bài 6: MA .MB − MA .MC = BC 2 − MB 2 + MC 2

⇔MA ( MB − MC ) + ( MB − MC ) = BC 2 ⇔ CB ( MA + MB + MC ) = BC ⇔CB .3MG 2 ⇔ CB .M ' G ' = BC ; ( M ' G ' = Ch CB MG ) 2

2

2

BC

= BC

2

(G là trọng tâm)

2

⇔ M ' G ' = 3CB (không đổi) B,C cố định và G cố định suy ra G’ cố định, suy ra M’ cố định Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng đi qua M’ và vuông góc với CB.

Đáp án ĐỀ 02 Câu 1.1 1.0 đ

Đáp án

A=[1; 4); B = { x∈ R / x ≤ 3} = [-3,3] A ∩ B = 1;3

Điểm 0.5 0.5

A \ B = (3;4)

-Thay tọa độ đỉnh I(2;-2), ta có hệ phương trình:

1.2 2.0 đ

 4a + 2b = −4   −b =2   2a  4a + 2b = −4 ⇔  4a + b = 0

0.5 0.5 a = 1

Giải hệ ta được: 

b = −4

2.1 1.5 đ

.

0.5

Vậy hàm số cần tìm là y = x2 – 4x +6 .

0.5

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất * Điều kiện : D ≠ 0 . * Tính D = m 2 − m − 2 và giải được m ≠ −1 và m ≠ 2 . Vậy với m ≠ −1 và m ≠ 2 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

0.25 0.25

−1 m −1 và y = . m −2 m −2 Phương trình: x2 − 2mx+m2 -m=0 có hai ngiệm phân biệt khi ∆ ' > 0 ⇔ m>0 x1 x2 x 12 + x 22 + = 3⇔ =3 x 1.x 2 TheoYCBT thì: x2 x1

(x ; y) với x =

2.2 1.5 đ

⇔ (x1 + x2)2 − 5x1x 2 = 0

0.25 0.25 0.25 0.25

⇔ (2m) − 5(m − m) = 0⇔ − m + 5m= 0 2

2

2

 m= 0(L ) ⇔  m= 5

0.25

Vậy với m=5 thì thỏa YCBT 3 1.0 đ

0.25

∀x, y, z > 0 . Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:

x + y + z ≥ 33 x.y.z

(1)

0.25

∀x, y, z > 0 ⇒

1 1 1 ; ; > 0. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được: x y z

1 1 1 1 1 1 + + ≥ 33 . . (2) x y z x y z 1 1 1 Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được: (x + y + z)( + + ) ≥ 9 . đpcm x y z

Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2).  

1

Toạ độ trọng tâm G : G  3; −  . 3 4.1 1.0 đ

4.2 1.0 đ



0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H.

uuuu r uuur  AH .BC = 0 −2( x − 1) + 3( y + 2) = 0 ⇔ *  uuuur uuur .  2( x − 5) + 4( y + 1) = 0  BH .AC = 0 25 2 * H( ;− ) . 7 7 4 3 4 Ta có: sinα = . Tìm được cosα = ; tanα = 5 5 3 4 1+ tanα 1+ 3 P = = = −7 . Thay vào biểu thức: 1− tanα 1− 4 3

0.25 0.25 0.5 0.5

Ta có

( AB + BC +CA )

5 1.0 đ

= AB

2

+ BC

2

2

0.5

+CA + 2 AB .BC + 2 AB .CA + 2 BC .CA 2

⇔ a + b + c = 2 AB .BC + 2 AB .CA + 2 BC .CA 2

2

2

⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 2ac . cos B + 2cb cos A + 2ab . cos C a 2 +b 2 +c 2 cos A cos B cos C ⇔ = + + 2abc a b c

0.5