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COURS D'AUTOMATIQUE COMMANDE LINEAIRE DES SYSTEMES DYNAMIQUES Table des matières Préface ....................................................................................................................................V Avant-propos ...........................................................................................................................XVII I Modélisation, systèmes dynamiques et représentation externe .........................................1 1 Principes de modélisation .....................................................................................................3 Equations de bilan et lois phénoménologiques ................................................................3 Lois et principes fondamentaux de la physique ...............................................................6 Quelques applications de ces principes ...........................................................................9 Exercices ........................................................................................................................16 2 Modèles détat finis ...............................................................................................................17 Définitions .....................................................................................................................17 Exemples de modélisation ..............................................................................................20 Systèmes dynamiques ....................................................................................................34 Systèmes dynamiques linéaires .......................................................................................38 Exercices ........................................................................................................................40 3 Représentation externe .........................................................................................................45 Introduction ....................................................................................................................45 Représentation externe ...................................................................................................46 Le cas des systèmes scalaires ..........................................................................................49 Stabilité et pôles. Critère de Routh .................................................................................50 Zéros dune fonction de transfert .....................................................................................52 Synthèse classique de régulateur : le PID ........................................................................53 Méthodes graphiques. Marges de gains et de phase ........................................................56 Compensateurs à avance de phase et à retard de phase ....................................................61 Exercices ........................................................................................................................63 II Stabilisation par approche d’état ......................................................................................67 4 Stabilité d’un point déquilibre ...............................................................................................69 Notion de stabilité dun point déquilibre ..........................................................................69 Cas des systèmes linéaires ..............................................................................................70 Points déquilibre dun système linéaire plan ....................................................................72 Equivalence topologique. Théorèmes dapproximation ....................................................79 Fonctions de Lyapunov et stabilité .................................................................................82 Introduction à la stabilisation par bouclage linéaire ........................................................87 Exercices ........................................................................................................................90 5 Systèmes linéaires continus ..................................................................................................93 Définitions et exemples ..................................................................................................93 Stabilité des systèmes commandés .................................................................................95 Commandabilité. Régulateur ..........................................................................................96 Observabilité. Observateur .............................................................................................103 Synthèse observateur-régulateur. Principe de séparation .................................................108 Liens avec la représentation externe ...............................................................................109

Stabilisation locale dun système non linéaire ..................................................................114 Poursuite de trajectoires .................................................................................................115 Mise en œuvre pratique ..................................................................................................118 Exercices ........................................................................................................................123 6 Systèmes linéaires discrets ....................................................................................................125 Discrétisé exact dun système linéaire continu .................................................................126 Stabilité des systèmes dynamiques discrets .....................................................................128 Stabilité des systèmes commandés discrets .....................................................................134 Commandabilité. Régulateur ..........................................................................................135 Observabilité. Observateur .............................................................................................137 Principe de séparation ....................................................................................................139 Choix de la période déchantillonnage .............................................................................140 Liens avec la représentation externe ...............................................................................141 Stabilisation locale dun système non linéaire ..................................................................149 Mise en œuvre pratique ..................................................................................................152 Exercices ........................................................................................................................152 7 Synthèse quadratique ............................................................................................................155 Optimisation quadratique ...............................................................................................155 Filtre de Kalman-Bucy ...................................................................................................161 Formules en temps continu .............................................................................................168 Mise en œuvre pratique ..................................................................................................172 Exercices ........................................................................................................................173 III Rejet de perturbations approche polynomiale ................................................................177 8 Représentation polynomiale ..................................................................................................179 Introduction ....................................................................................................................179 Définitions .....................................................................................................................182 Résultats sur les matrices polynomiales ..........................................................................184 Pôles et zéros. Stabilité ...................................................................................................188 Equivalence ....................................................................................................................190 Observabilité et commandabilité ....................................................................................192 Passage entre forme détat et forme polynomiale .............................................................198 Fonctions de transfert en boucle fermée ..........................................................................201 Paramétrisation du contrôleur et placement de zéros .......................................................202 L’exemple du pendule inversé ........................................................................................204 Exercices ........................................................................................................................209 IV Appendices .......................................................................................................................213 A Equation de Riccati stationnaire discrète ..............................................................................215 B Transformée de Laplace et transformée en z ........................................................................221 La transformée de Laplace .............................................................................................221 La transformée en z ........................................................................................................224 C Vecteurs gaussiens ...............................................................................................................227 Rappels de probabilités ..................................................................................................227 Vecteurs gaussiens .........................................................................................................228

D Diagrammes de Bode ...........................................................................................................233 Bibliographie ...........................................................................................................................239 Index .......................................................................................................................................242