Tm1_mat3_vektor.pptx

MATEMATIKA 3 (TKS 401/ 2 sks) - VEKTOR -

PROGRAM STUDI S1 DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNDIP

GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Deskripsi singkat : Mata kuliah ini mencakup penjelasan tentang Matrik, Vektor dan metode Numerik. Standar Kompetensi (SK) : Setelah mengikuti mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat memahami dan menerapkan pengetahuan matrik, vektor dan metode numerik, serta dapat menggunakannya untuk pemecahan permasalahan dalam bidang keahlian teknik sipil.

Tatap Muka 1 No

1

Kompetensi dasar (KD)

Mahasiswa akan dapat memahami dasar-dasar vektor

Pokok bahasan

DasarDasar Vektor

       

Sub pokok bahasan

Metoda

Soft skill*

Pustaka

Pengertian vektor. Penjumlahanvektor. Pengurangan vektor Perkalian vektor dengan skalar Vektor dalam bidang Vektor dalam ruang Pergandaan titik Pergandaan silang

Ceramah, DL, CL

1, 2, 3, 4, 5, 7

1, 2, 5, 6

Tatap Muka 2 No

2

Kompetensi dasar (KD)

Mahasiswa akan dapat menerapkan ilmu diferensial dalam permasalahan ketekniksipilan

Pokok bahasan

Sub pokok bahasan

  

Diferensial  Vektor    

Turunan fungsi vektor. Kurva Kecepatan dan percepatan Kelengkungan Torsi Gradient Divergensi Curl

Metoda

Soft skill*

Ceramah, DL, CL

1, 2, 3, 4, 5, 7

Pustaka

1, 2, 5, 6

Tatap Muka 3 No

Kompetensi dasar (KD)

3

Mahasiswa akan dapat menerapkan ilmu integral vektor dalam permasalahan ketekniksipilan

Pokok bahasan

Integral Vektor

     

Sub pokok bahasan

Metoda

Soft skill*

Integral garis Teorema Green Integral permukaan Teorema Stokes Integral Isi Teorema Gauss

Ceramah, DL, CL

1, 2, 3, 4, 5, 7

Pustaka

1, 2, 5, 6

Tatap Muka selanjutnya No

Kompetensi dasar (KD)

Pokok bahasan

Sub pokok bahasan

4

MATRIK

Tatap muka 4 s/d 7

5

UTS

Materi Tatap Muka 1 s/d 7

6

METODE NUMERIK

Tatap muka 8 s/d 14

7

UAS

Materi Tatap Muka 8 s/d 14

Metoda

Soft skill*

Pustaka

Ceramah, DL, CL

1, 2, 3, 4, 5, 7

1, 2, 5, 6

Uraian

3, 4

1, 2, 5, 6

Ceramah, DL, CL

1, 2, 3, 4, 5, 7

3,4

Uraian

3, 4

3,4

PUSTAKA 1. Ayres Frank JR., 1996. Kalkulus Diferential dan Integral. Jakarta: Erlangga. pp. 289 - 310 2. Bronson, Richard & Costa, Gabriel, 2007. Persamaan Diferensial. Jakarta: Erlangga. pp. 98-100 3. Munir, Rinaldi, 2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika. pp: 123 - 180 4. Triatmojo, Bambang, 2003. Metode Numerik. Yogyakarta: Betta Offset, 5. Kartono, 2002. Aljabar Linier, Vektor dan Eksplorasinya dengan Maple. Yogyakarta: Graha Ilmu. pp 1- 294. 6. Kreyzig, Erwin. 1993. Matematika Teknik Lanjutan : Buku 1. Jakarta : Gramedia. PP. 399-519

SOFT SKILL KODE 1 2 3 4 5 6 7

SOFT SKILL Kerjasama Membangun hubungan interpersonal Kemampuan berkompetisi Percaya diri, mandiri, ulet dan pantang menyerah Kemampuan berkomunikasi dan berdiskusi Kemampuan menilai dan menghargai pendapat Organisasi dan kepemimpinan

METODE PEMBELAJARAN DL : Discovery Learning SGD : Small Group Discusion CL : Cooperative Learning

DASAR – DASAR VEKTOR : PENGERTIAN

 Skalar • Hanya mempunyai besar • Contoh : massa, volume, temperatur, energi

 Vektor • Mempunyai besar dan arah • Contoh : gaya, kecepatan, percepatan

DASAR – DASAR VEKTOR : PENGERTIAN

Macam – macam Vektor : - Vektor bebas : dapat digeser kemana saja asal besar dan arahnya tetap - Vektor tak bebas : titik tangkap, arah, besar dan garis kerjanya diperhatikan A

B

A = titik pangkal B= titik ujung

DASAR – DASAR VEKTOR : PENJUMLAHAN VEKTOR

Pada penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat : • Komutatip : • Asosiatip : • Identitas : (0 = vektor nol/ zero vektor) • Invers : A

B A O

DASAR – DASAR VEKTOR : PENGURANGAN VEKTOR

Jika maka besarnya adalah nol dan arahnya tak didefinisikan A

B A O

PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR • Perkalian vektor dengan skalar k yang dinyatakan dengan k adalah suatu vektor yang : • Panjang/ besarnya k • Arahnya searah dengan bila k > 0 dan berlawanan arah dengan bila k < 0 • Sifat – sifat : • Berlaku Hukum Distributif : • Dimana: = vektor • k, l = skalar

VEKTOR DALAM BIDANG • Vektor dalam bidang XOY dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua vektor : • Dimana : • = vektor komponen sumbu X • = vektor komponen sumbu Y • Jika panjang vektor • Maka panjang panjang

VEKTOR DALAM BIDANG Y B

A

O

X

Unit vektor (vektor satuan) adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan, dalam bidang ada dua vektor satuan : •Vektor satuan pada sumbu X ke arah positif dinyatakan dengan •Vektor satuan pada sumbu Y ke arah positif dinyatakan dengan

Secara umum vektor dalam bidang dinyatakan sebagai :

VEKTOR DALAM BIDANG

• Jika A dan B maka vektor yang menghubungkan titik A dan B adalah :

• Jarak A dan B = Panjang

VEKTOR DALAM RUANG Z

Dimana : O

Y

= vektor komponen sumbu X = vektor komponen sumbu Y = vektor komponen sumbu Z

X

jika panjang vektor Maka panjang panjang panjang

VEKTOR DALAM RUANG • Secara umum vektor dalam ruang dinyatakan sebagai

Vektor satuan pada sumbu X ke arah positif dinyatakan dengan Vektor satuan pada sumbu Y ke arah positif dinyatakan dengan Vektor satuan pada sumbu Z ke arah positif dinyatakan dengan

• Jika A dan B maka vektor yang menghubungkan titik A dan B adalah :

PERGANDAAN TITIK (DOT PRODUCT)

Pada pergandaan titik berlaku • Hukum komutatif : • Hukum distributif: • Perkalian dengan skalar m: • Sifat unit vektor:

PERGANDAAN TITIK (DOT PRODUCT)

• Jika • Maka • Jika dan dan bukan vektor nol maka dan saling tegak lurus • Hasilnya skalar

PERGANDAAN TITIK (DOT PRODUCT)

• Proyeksi vektor b pada vektor a = b dapat dipandang sebagai komponen dari dalam arah

 Perkalian Silang

Hasilnya vektor

A  B  A B sin AB a N   B  A

A

AB

B

AB

aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN  Titik • dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z) • Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)

 Vektor • dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az • Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az • vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang

• Vektor Posisi

r P  a x  2a y  3a z r P  2a x  2a y  a z

• Vektor antara 2 titik

R PQ  r P  r Q  (2  1)a x  (2  2)a y  (1  3)a z  a x  4a y  2a z

• Titik asal • Bidang

 

O(0, 0, 0) x = 0 (bidang ZOY) y = 0 (bidang ZOX) z = 0 (bidang XOY)

Elemen Luas (vektor)  dy dz ax  dx dz ay Elemen Volume (skalar) dx dy dz

 dx dy az

 Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian

A  Ax a x  Ay a y  Az a z

B  B x a x  B y a y  Bz a z

A  B  A B cos A, B A  A A A 2 x

2 y

2 z

B  B B B 2 x

2 y

2 z

aB 

B B

cos 0o  1 cos 90o  0 ax  ax 1 ay  ay 1 az  az 1 ax  ay  ay  ax  0 ax  az  az  ax  0 ay  az  az  ay  0 A  B  A x Bx  A y B y  A z Bz

• Proyeksi vektor A pada vektor B A

(A  a B )a B AB

B Proyeksi A pada B

Contoh Soal 1.1 Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan : a). RAB  RAC b). Sudut antara RAB dan RAC c). Proyeksi vektor RAB pada RAC Jawab :

R AB  a x  7a y  5a z R AC  4a x  2a y  2a z R AB  R AC  (1)( 4)  (7)( 2)  (5)( 2)  20 R AB  1  49  25  8,660 cos   a AC 

R AC  16  4  4  4,899

R AB  R AC 20   0,471    61,9o R AB R AC (8,660)(4,899) R AC  4 a x  2 a y  2 a z    0,816 a x  0,408 a y  0,408 a z R AC 4,899

Proyeksi RAB pada RAC :

(R AB  a AC )a AC  [(1)( 0,816)  (7)( 0,408)  (5)(0,408)]a AC  4,08(0,816a x  0,408a y  0,408a z )  3,330a x  1,665a y  1,665a z )

 Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian A  Ax a x  Ay a y  Az a z

B  B x a x  B y a y  Bz a z

A  B  A B sin  AB a N   B  A

A

AB

sin 0o  0 sin 90o  1 B

ax  ax  0 ay  ay  0 az  az  0 a x  a y  a z  a y  a x

a x  a z  a y  a z  a x

AB

a y  a z  a x  a z  a y

A  B  ( A y B z  A z B y )a x  ( A z B x  A x B z )a y  ( A x B y  A y B x )a z ax

ay

az

A  B  Ax A y Az B x B y Bz