Tk Sistemi 3-1

TELEKOMUNIKACION I SISTEMI (3.1)

Školska 2007/2008. god.

Pregled kursa 

         

Uvod: istorija telekomunikacija, uvodni pojmovi o TK mrežama, model komunikacionog sistema, izobličenja u prenosu signala, šumovi Kablovski sistemi veza (žične linije veza) Analogni sistemi prenosa (prvi deo) Digitalni sistemi prenosa (PDH, SDH) Telefonska mreža, IDN, ISDN, signalizacija no. 7 Frame Relay tehnologija ATM tehnologija i B-ISDN xDSL (HDSL, ADSL, VDSL) Lokalne računarske mreže (LAN) Internet i IP tehnologija Multiservisne IP mreže; VoiP, IP televizija 2

Analogni sistemi prenosa 





Analogni sistemi, bez obzira na prednosti digitalnih sistema, su u značajnoj meri još uvek u upotrebi. Razlog je što su analogni sistemi ranije uvedeni u prvom redu da zadovolje potrebe prenosa govora, muzike i slike. Analogni sistemi se koriste za: niskofrekventni (NF) prenos i visokofrekventni (VF) prenos. VF omogućava primenu frekvencijskog multipleksiranja kanala (FDM – Frequency Division Multiplexing). 3

Poređenje NF, VF i PCM po ceni

Poređenje je vršeno za sisteme za prenos govora. Kao mera poređenja je uzeta cena sistema po jedinici dužine. 4

Poređenje NF, VF i PCM po ceni 

 

Za veze dužine do 10 km NF prenos je isplatljiviji od VF prenosa. Na većim daljinama je jeftiniji VF prenos. Cena PCM prenosa je data za slučaj potpuno digitalne mreže sa digitalnim centralama. Uvek je jeftiniji od analognog VF prenosa. NF prenos je jeftiniji od digitalnog samo na kraćim rastojanjima do 5km. 5

Digitalizacija – kada? 

Zamena postojećih analognih sistema digitalnim zavisi od toga da li su stari sistemi još komercijalno isplativi.



Novi sistemi koji se ugrađuju za veze među centralama, na magistralnim pravcima i u opsluživanju velikog saobraćaja, su digitalni.

6

Elementi telekomunikacionih sistema 







Telekomunikacioni sistemi se realizuju međusobnim povezivanjem većeg broja elemenata. Svaki od tih elemenata obavlja neku posebnu funkciju u obradi i prenosu signala. Ovi funkcionalni elementi, po svojoj nameni i karakteristikama, su uglavnom standardizovani. Neki od njh su identični kod analognih i digitalnih sistema prenosa, a neki su posebni. Takođe, postoje posebni elementi vezani za konkretne žične, optičke i radio linije veza. 7

Električni filtri – uvod (1) 









Filtar je element ili sistem koji na određeni unapred propisani način vrši konverziju veličina na svojim ulazima u veličine na svojim izlazima Cilj: umanjiti neželjena svojstva ulaznih veličina zadržati ili istaći željena svojstva Električni filtar je sistem čije su ulazne i izlazne veličine električni signali Njegova funkcija je da na propisani način promeni karakteristike spektra ulaznog signala Termin "električni" odnosi se na karakter signala koji filtar obrađuje (ne zavisi od načina realizacije) 8

Električni filtri – uvod (2) 





Po brojnosti i raznovrsnosti karakteristika, najbrojniji element telekomunikacionih sistema U idealnom slučaju, filtar od svih signala, koji dolaze na njegov ulaz propušta bez slabljenja signale određenih frekvencija, a signale koji nemaju te frekvencije beskonačno slabi, odnosno ne propušta. Realno, filtar će za neke frekvencije imati dovoljno malo slabljenje, a za neke dovoljno veliko slabljenje. Takođe, na granici propusni-nepropusni opseg, slabljenje filtra se neće naglo promeniti. Ta promena će se izvršiti u nekom manjem opsegu frekvencija. Ukoliko je taj opseg manji, filtar je selektivniji. 9

Funkcije filtara 

 



 

  

Izdvajanje dela spektra signala koji će se prenositi iz celokupnog spektra signala Odvajanje jednog bočnog opsega posle modulacije Odvajanje signala u svom osnovnom (izvornom) opsegu frekvencija od svih ostalih signala posle demodulacije Izdvajanje jednog kanala iz grupe kanala koji se zajedno prenose Izdvajanje grupe kanala iz veće grupe kanala Izdvajanje signala jedne, tačno određene, frekvencije od svih ostalih signala Nepropuštanje pojedinih signala Popravka amplitudske karakteristike sistema Popravka fazne karakteristike sistema 10

Realizacije filtara 

Pasivni filtri – realizuju se pomoću pasivnih elemenata 

Filtri sa koncentrisanim parametrima: parametrima elementi ovih filtara su kalemovi, kondenzatori, idealni transformatori i otpornici 







Najrasprostranjeniji su LC filtri (sastavljeni od kalemova i kondenzatora) – najviše se koriste u multipleksnim uređajima. Kombinacija kalema i kondenzatora predstavlja oscilatorno kolo – može biti redno ili paralelno RC filtri čiji su elementi otpornici i kondenzatori pretežno se primenjuju kao specijalna kola pri prenosu impulsa

Filtri sa raspodeljenim parametrima: parametrima elementi ovih filtara su delovi vodova, rezonantne šupljine i dr. Koriste se u mikrotalasnoj tehnici

Aktivni filtri – pored pasivnih elemenata koriste bar jedan aktivni generator struje i napona 11

Kalemovi i kondenzatori 



Kalem ima impedansu Z=r+jωL, gde je L induktivnost kalema, a r otpornost bakarnih 2 namotaja od kojih Z =je rkalem +(ωL)2 napravljen. Moduo impedanse je: 





Za ω=∞ ima beskonačnu vrednost i tada kroz njega ne može da prođe signal. Za ω=0 moduo impedanse je minimalan i jednak je otpornosti namotaja r. Kada bi bilo r=0 moduo impedanse bi bio jednak nuli i signal bi prošao kroz kalem bez slabljenja.

Impedansa kondenzatora je Z=1/jωC, a moduo impedanse |Z|=1/ωC 



Signali beskonačne frekvencije prolaze bez slabljenja Signali sa frekvencijom jednakoj nuli se beskonačno12

Redno oscilatorno kolo 1 Z=r+jωL+ i jωC

1 ω0 =2πf 0 = LC



2

Z = r2 +  

1  ωL ωC 

1 f0 = 2π LC

•Za rezonantnu frekvenciju moduo impedanse (slabljenje kola) je minimalan •U slučaju da je r=0, za rezonantnu frekvenciju redno oscilatorno kolo ima impedansu jednaku nuli, a za sve druge frekvencije moduo impedanse je beskonačan •Ukoliko je otpornost kalema manja brži je porast slabljenja, filtar je selektivniji 13

Paralelno oscilatorno kolo ω0 =2πf 0 =

1 LC

1 f0 = 2π LC Z=



(r+jωL)   

(r+jωL)+  

 



1  jωC   i 1  jωC  

r 2 +(ωL)2 Z= (1-ω2 LC)2 +(ωrC)2

Za f0 moduo impedanse (slabljenje) je maksimalan. Kako frekvencija raste, ili opada u odnosu na fo moduo impedanse, znači i slabljenje signala opada; ukoliko je otpornost kalema manja brži je porast slabljenja,tj. filtar je selektivniji U slučaju da je r=0, na rezonantnoj frekvenciji impedansa je beskonačna, a na svim drugim jednaka je nuli; 14

Lestvičasti filtri – kombinacija rednih i paralelnih oscilatornih kola Z1

U1





ZN–1

Z3

Z2

Z4

ZN

U2

Redna i paralelna oscilatorna kola se mogu naći u obe grane gornje mreže koja predstavlja filtar. Svako od njih ima drugačiju rezonantnu frekvenciju. Kombinovanjem pojedinačnih rezonantnih frekvencija i slabljenja svakog oscilatornog kola dobijaju se slabljenja prema zadatom gabaritu N je red filtra; filtra što je N veće slabljenje je bliže idealnom, ali takvo rešenje je složenije i skuplje. 15

Filtri: funkcija prenosa (1) 

Električni filtar je sistem, pa se može definisati kao skup specifikacija kojima su određeni odnosi između njegovih ulaza i izlaza

F

x(t) 

y(t)

Za linearan i vremenski nepromenljiv sistem odnos između ulaza i izlaza sistema definiše se konvolucionim integralom 

y (t )   h(t   ) x (t )d 0

gde su: h(t) – impulsni odziv sistema; x(t) – ulaz sistema; y(t) – izlaz ili odziv sistema 16

Filtri: funkcija prenosa (2) 

Laplasovom (Laplace) transformacijom konvolucionog integrala dobija se odnos ulaznog i izlaznog signala u frekvencijskom domenu

Y(s)  H(s)gX(s) gde je H(s) – funkcija prenosa filtra 

Opšti oblik električnog filtra koji se razmatra je električna mreža sastavljena od konačnog broja elemenata koji su: koncentrisani, linearni i vremenski nepromenljivi.

17

Filtri: funkcija prenosa (3) 

Za takve sisteme, odnos ulaz-izlaz moguće je definisati diferencijalnom jednačinom N-tog reda oblika:

dy dNy dx dMx b0 y+b1 +...+b N =a 0 x+a1  ...+a M dt dt dt N dt M gde su bi (i=0, N) i aj (j=0, M) realni koeficijenti. 

Primenom Laplasove transformacije dobija se:

b0Y(s) + b1sY(s) +...+ b Ns N Y(s)  a 0X(s) + a1sX(s) +...+ a Ms M X(s) 18

Filtri: funkcija prenosa (4) 

Na osnovu toga, funkcija prenosa je: M

 a i si

Y(s) a 0 +a1s+...+a M s M H(s)= = = i=0 N X(s) b0 +b1s+...+b Ns N j  b js j=0



Drugim rečima, funkcija H(s) je realna racionalna funkcija kompleksne frekvencije s, koju je moguće prikazati kao količnik dva polinoma sa realnim koeficijentima: H(s)=

P(s) Q(s) 19

Filtri: funkcija prenosa (5) 

H(s) je moguće prikazati i u sledećem obliku:

s − soM )( s − soM −1 ) ... ( s − so 2 )( s − so1 ) ( H ( s) = k =k

( s −spN ) ( s −spN −1 ) ...( s −sp2 ) ( s −sp1 )

M

∏( s − soi ) i =1 N

∏( s − spj ) j=1

gde su 

soi (i = 1,…,M) koreni polinoma u brojiocu P(s) ili nule prenosne funkcije,



spj (j = 1,…,N) koreni polinoma u imeniocu Q(s) ili polovi prenosne funkcije,



k – realna konstanta jednaka k = aM/bN. 20

Filtri: funkcija prenosa (6)  

U oba slučaja koreni mogu biti realni ili kompleksni. Svaki kompleksni koren ima odgovarajući konjugovano kompleksni par, pa se uparivanjem, H(s) može prikazati r M u obliku: 2 2 ∏ s + 2σoi s + Ωoi ∏( s − σoi ) i =2 r +1 H ( s) = k i =t 1 N 2 2 s ∏ + 2σpjs + Ωpj ∏( s − σpj ) j=1

ili

(

)

(

)

j=2 t +1

r

M  2 Ωoi 2 ∏s + q s + Ωoi  ∏( s − σoi ) oi i =2 r +1 H ( s) = k i =t 1 N  2 Ωpj 2 ∏s + q s + Ωpj  ∏( s − σpj ) pj j=1 j=2 t +1 21

Filtri: funkcija prenosa (7) 





s je kompleksna promenljiva, tj. s=σ +jΩ , pa je i funkcija H(s) kompleksna veličina za neki proizvoljni broj s. U uslovima stacionarnog stanja sinusne pobude, promenljiva s = jΩ , pa je funkcija prenosa H(s) = H(jΩ ). ) H(jΩ) se naziva kompleksnom frekventnom karakteristikom filtra

H ( jΩ) = H ( jΩ) e jΦ( Ω) 

Osnovna funkcija električnih filtara sadržana je upravo u obliku frekventne karakteristike H(jΩ ).

22

Frekventna karakteristika filtra (1) 



Promene koje električni filtar treba da unese u spektar ulaznog signala najčešće se svode na prigušenje ili eliminaciju određenih nepoželjnih frekvencijskih komponenti tog signala Za zadati ulazni signal x(t) sa frekvencijskim spektrom X(jΩ): jΦx Ω

X( jΩ) = X( jΩ) e



(

)

Spektar izlaznog signala određen je izrazom

Y( jΩ) = Y( jΩ) e

jΦy ( Ω )

= H( jΩ) ⋅ X( jΩ) 23

Frekventna karakteristika filtra Za module(2) i faze važe sledeći izrazi: 

Y ( j Ω ) = H ( jΩ ) ⋅ X ( j Ω ) Φ Y ( Ω ) = Φ( Ω ) + Φ X ( Ω ) 

Modul prenosne funkcije električnog filtra često se izražava u logaritamskom obliku:      20log H( j) (dB)



α(Ω) predstavlja logaritamsku meru pojačanja filtra Slabljenje filtra A      () (dB) Pored faze Φ(Ω), često se koristi i funkcija grupnog kašnjenja Τg(Ω) koja se definiše kao: dΦ( Ω )

 

Tg ( Ω) = −

dΩ

24

Primer realizacije pasivnog filtra Zadatak je(1) da se odredi funkcija prenosa filtra drugog 

reda sa slike a). Ovaj filtar može se može se predstaviti ekvivalentnim kolom sa slike b), gde je: 1 Ls Ls C1s Z1(s)= = 1 1+LC s 2 Ls+ 1 C1s

L

C2 U1

C1

1 R C 2s Z2 (s)= = 1 1+RC2s R+ C2s R

U (s) Z2 (s) H(s)= 2 = U1(s) Z1(s)+Z2 (s)

R

U2

a)

Z1

Z2

U1

U2

b) 25

Primer realizacije pasivnog filtra Zamenom(2) izraza za Z (s) i Z (s) u izraz za H(s) dobija se: 

1

2

R Z2 (s) R(1+LC1s 2 ) 1+RC2s H(s)=   Ls R Z1(s)+Z2 (s) Ls(1+RC2s)+R(1+LC1s 2 ) + 1+LC1s 2 1+RC2s 

Gornji izraz se može predstaviti u obliku H(s)=

C1 C1  C2   

 2 1  s    LC s 2 +Ω02  1 k  1 1 2 Ωp 2 2 s + s+Ω s  s p qp R(C1 +C2 ) L(C1  C2 )  

gde je: k=

C1 1 1 R C +C ; 0  ; p  ; qp   p =R 1 2 C1  C2 C1 +C2 L LC1 L(C1  C2 ) 26

Primer realizacije pasivnog filtra (3) Za vrednosti elemenata R = 1 kΩ, C = C = 1 nF 

1

2

i L = 0.5 mH, važi: 1 2 12 2 12  p k= ; 0  2 10 ;  p  10 ;  0.5 106 2 qp 

Funkcija prenosa je: 1 s 2 +2 1012 H(s)= 2 s 2 +0.5 106s+1012





Nule funkcije prenosa su:

s0

Polovi funkcije prenosa su:

1,2

  j 2 106

1 15 6   106  j 10 1,2 4 4

sp

27

Primer realizacije pasivnog filtra Zamenom(4) s = jΩ u funkciju prenosa H(s) dobija se 

kompleksna frekventna karakteristika filtra: Ω02  Ω 2 H(j)=k Ωp Ω 2p  Ω 2 +j  qp 

Amplitudno frekvencijska karakteristika je moduo gornjeg izraza: 2 2 H(j) =k

Ω0  Ω

 Ω2p  Ω 

2 2

2

 p     qp    

28

Primer realizacije pasivnog filtra |H(jΩ)| (5)

1.4

Za vrednosti elemenata R = 1 kΩ, C1 = C2 = 1 nF, L = 0.5 mH

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10

5

10

6

7

10

Ω 29

Tipovi filtara 

Filtre je moguće obzirom na oblik frekventne karakteristike podeliti u dve grupe:  



Selektivni filtri Korektori

Kod selektivnih filtara oblik |H(jΩ)| je takav da je moguće jasno razlikovati frekvencijske opsege u kojima je ulazni signal oslabljen (prigušen) od onih u kojima je on propušten.

30

Selektivni filtri (1) 

Propusni opseg filtra 





Opseg frekvencija u kome amplitudno frekvencijska karakteristika ima vrednost približno jednaku 1 Komponente pobudnog signala čije su frekvencije unutar tog opsega pojavljuju na izlazu filtra sa približno istom amplitudom kao i na ulazu.

Nepropusni opseg filtra 



Opseg frekvencija u kome je amplitudno frekvencijska karakteristika približno jednaka nuli, Frekvencijske komponente ulaznog signala koje se nalaze unutar tog opsega nisu propuštene na izlaz. 31

Selektivni filtri (2) 



Amplitudno frekvencijska karakteristika |H(jΩ)| je funkcija bez diskontinuiteta, pa je prelaz između propusnog i nepropusnog opsega kontinuiran. Prelazni opseg filtra 



Opseg frekvencija na prelazu između propusnog i nepropusnog opsega U zavisnosti od položaja propusnog i nepropusnog opsega na frekvencijskoj osi, moguće je razlikovati 4 osnovna tipa selektivnih filtara.

32

Osnovni tipovi selektivnih filtara (1) 

Niskopropusni filtar (NF, Low-pass) 

Propusni opseg: 0 < Ω < Ω1



Nepropusni opseg Ω2 < Ω < ∞



Uslov: Ω1 < Ω2

~ ~

|H(jΩ)| 1

0

Ω1

Ω

Ω2 33

Osnovni tipovi selektivnih filtara (2) 

Visokopropusni filtar (VF, High-pass) 

Propusni opseg: Ω2 < Ω < ∞



Nepropusni opseg 0 < Ω < Ω1



Uslov: Ω1 < Ω2

~ ~

|H(jΩ)| 1

0

Ω1

Ω2

Ω 34

Osnovni tipovi selektivnih filtara 3) (Band-pass)  Propusnik(opsega





Propusni opseg: Ω2 < Ω < Ω3



Nepropusni opseg 0 < Ω < Ω1 i Ω4 < Ω < ∞



Uslov: Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4

Poseban slučaj – uskopojasni filtar, koji propušta samo uzan opseg oko Ω2

~ ~ ~

|H(jΩ)| 1

0

Ω1 Ω2

Ω3

Ω

Ω4 35

Osnovni tipovi selektivnih filtara (4)  Nepropusnik opsega (Band-stop) 

Propusni opseg: 0 < Ω < Ω1 i Ω4 < Ω < ∞



Nepropusni opseg Ω2 < Ω < Ω3



Uslov: Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4

~ ~ ~

|H(jΩ)| 1

0

Ω1 Ω2

Ω3

Ω

Ω4 36

Filtarska skretnica (1) 



Kombinacijom osnovnih tipova filtara može se izvršiti realizacija i složenijih funkcija, npr. filtarska skretnica Dvožičnom vezom prostire se u jednom smeru signal čiji je spektar u opsegu {f1, f2}. Po istoj parici, u suprotnom smeru, prenosi se signal čiji spektar leži u opsegu od {f3, f4}. Razdvajanje ova dva signala vrši filtarska skretnica, koju čine dva filtra propusnika opsega.

37

Filtarska skretnica (2) 



Opisana funkcija je identična onoj koju vrši račvalica, samo se ovde radi o signalima visokih frekvencija u različitim opsezima. Realizacija račvalice pomoću diferencijalnog transformatora za visoke frekvencije je gotovo nemoguća zbog teškoća da se uravnoteži transformator i zbog njegovih gubitaka pri visokim frekvencijama.

38

Filtarski korektori (1) 





Za razliku od selektivnih filtara, nemaju jasno definisan propusni i nepropusni opseg Služe za korekciju frekvencijske karakteristike nekog drugog sistema. U zavisnosti od toga da li vrše korekciju amplitudne ili fazne karakteristike dele se na:  

amplitudske korektore i fazne korektore

39

Filtarski korektori (2) 



Amplitudski korektor, AK , ima linearnu faznu karakteristiku, a njegova amplitudska karakteristika, sabrana sa amplitudskom karakteristikom sistema, treba da obezbedi željenu amplitudsku karakteristiku. Fazni korektor, FK , najčešće se realizuje kao svepropusnik opsega; amplitudska karakteristika je ravna u celom frekvencijskom opsegu, a njegova fazna karakteristika, sabrana sa faznom karakteristikom sistema treba da obezbedi linearnu faznu karakteristiku. |H(jΩ)|

Fazni korektor

1

0

Ω

40

Projektovanje analognih filtara (1)  





Slabljenje filtra: A     20log H( j) (dB) Idealan filtar imao bi A=0 u propusnom opsegu i A=∞ u nepropusnom opsegu Realno, projektovanje analognog filtra kreće od definicije zahteva koji taj filtar treba da zadovolji – specifikacije gabarita slabljenja Gabarit slabljenja definiše:   

Propusni i nepropusni opseg filtra Najmanje dozvoljeno slabljenje u nepropusnom opsegu Najveće dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu

41

Primer gabarita slabljenja filtra Primer gabarita slabljenja propusnika opsega 

A(Ω) (dB) AMIN

AMAX 0

Ω1 Ω2

Ω3 Ω4

Ω

42

Gabariti selektivnih filtara NF

VF

BPF

BSF

uskopojasni

43

Projektovanje analognih filtara (1) Kod većine postupaka aproksimacije polazi se od 

idealne karakteristike propusnika niskih učestanosti (NF) 

Frekvencijskim transformacijama se ta nisko propusna karakteristika transformiše željenu karakteristiku:   



Propusnika visokih učestanosti Propusnika opsega Nepropusnika opsega

Frekvencijska osa prototipa NF filtra je normalizovana na graničnu frekvenciju, Ωc=1.

44

Prototipski analogni NF filtar  Amplitudska karakteristika idealnog normalizovanog NF filtra data je izrazom:  1, za  c  1 H(j)=   0, za  c  1 |H(jΩ)| 1 Propusni opseg

0

Nepropusni opseg

1

Ω/Ωc 45

Projektovanje analognih filtara (2)  Za filtar zadat funkcijom prenosa H(s) važi: H ( jΩ) =

Re[ H ( jΩ)] + Im[ H ( jΩ) ] 2

2

odnosno: H ( jΩ) = H ( jΩ) ⋅ H ( − jΩ) 

U postupku aproksimacije pogodno je koristiti karakterističnu funkciju K(s) :

H( jΩ) =

1 1 + K( jΩ)

2

46

Karakteristična funkcija K(s)  K(s) je racionalna funkcija kompleksne promenljive s n( s) K( s) = d ( s)





|K( jΩ)| treba da bude približno jednak 0 u propusnom opsegu i što veći u nepropusnom opsegu Krajnji cilj je određivanje funkcije prenosa filtra P(s) H(s)= Q(s)

 

Ostvarljivost H(s) Stabilnost H(s) 47

Postupci aproksimacije funkcije prenosa  Ciljevi aproksimacije: električnih filtara 





Problem aproksimacije svodi se na nalaženje frekvencijske karakteristike koja zadovoljava zahteve za filtar Sistem mora da bude ostvarljiv, što nižeg reda i stabilan

Tipovi aproksimacija:   

Batervortova (Butterworth) aproksimacija Čebiševljeva (Chebyshev) aproksimacija Eliptička ili Kauerova (Cauer) aproksimacija i dr. 48

Batervortova Karakteristična funkcija je: aproksimacija (1) 

2

K N ( jΩ) = C 2 Ω2 N





gde je N – stepen funkcije prenosa Amplitudska karakteristika filtra je 1 H N ( jΩ) = 1 + C 2 Ω2 N Ako se granična frekvencija ΩC definiše za slabljenje 3 dB: H N  jΩC  

H N ( jΩ) =

1 2

C2 =Ω C-2N



1 1 + ( Ω / ΩC )

2N

49

Batervortova aproksimacija (2)

N=1

20log H(jΩ) 0 (dB)

-10 Ravna u -20 propusnom opsegu -30 (bez talasanja)

N=6

-40 -50 -60

0

0.5

1

Ωc=1

1.5

2

2.5

3

Ω 50

Batervortova Na osnovu kvadrata amplitudne karakteristike treba odrediti aproksimacija (3) 

H(s) filtra : H ( jΩ) 2 =





1

 Ω 1+   Ωc 

2N

= H( jΩ) ⋅ H( − jΩ)

Zamenom Ω=s/j dobija se: 1 1 H( s) ⋅ H( − s) = = 2N N  s2  ( s − sk ) ∏ 1 + −  k =1  Ωc 2  Koreni imenioca dobijaju se rešavanjem:

( −1) s

N 2N

= −Ωc 2 N

51

Batervortova Polovi funkcije H (s) ⋅H (-s) u s(4) ravni su ravnomerno aproksimacija 

raspoređeni po kružnici poluprečnika Ωc



Polovi u levoj poluravni pripadaju funkciji prenosa H(s)

jΩ

π/Ν s-ravan Ωc σ

52

Batervortova aproksimacija (5) 

Uparivanjem konjugovano kompleksnih parova polova dobija se opšti oblik funkcije prenosa:

N /2  1 H0 ∏ 2 ... N paran  2  k =1 s + ( Ω0 k / q k ) s + Ω0 k H (s) =  ( N −1) / 2 H0 1  ... N nep. ∏ 2 2  s − s( N +1) / 2 k =1 s + ( Ω0 k / q k ) s + Ω0 k 

Za normalizovani filtar ΩC=1 važi Ω0k=1, ∀k qk =

1 , 2 k −1  2 sin π   2N 

1,..., N / 2 za N paran k = 1,...,( N −1) / 2 za N nep.  53

Batervortova aproksimacija (6) 





Frekventna karakteristika Batervortovog filtra je maksimalno ravna (nema talasanja – ripples) u propusnom opsegu i teži nuli u nepropusnom opsegu. Nagib u nepropusnom opsegu – 20 decibela po dekadi za filtar prvog reda, 40 decibela po dekadi za filtar drugog reda itd. Zadržava isti oblik za viši red filtara, ali sa oštrijim nagibom (opadanjem) u nepropusnom opsegu.

54

Čebiševljeva aproksimacija tipa I (1) Karakteristična funkcija se definiše kao: 

K N ( jΩ)

2

= ε2 TN 2 ( Ω)

gde je TN(Ω) Čebiševljev polinom N-tog reda: TN ( Ω) = cos( NΦ) cos( Φ) = Ω 



Boljim rasporedom nula kod funkcije TN(Ω) postiže se poklapanje s idealnom karakteristikom u više tačaka u propusnom opsegu nego kod Batervortovog filtra Za Čebiševljeve polinome važi rekurzivna formula : TN ( Ω) = 2ΩTN −1 ( Ω) − TN −2 (Ω) 55

Čebiševljeva aproksimacija tipa I (2) Korišćenjem rekurzivne formule i poznavanjem prva dva 

polinoma T0(Ω) i T1(Ω) lako se nalaze preostali: TN ( Ω) = 2ΩTN −1 ( Ω) − TN −2 (Ω)

T0 ( Ω) = 1 T1 ( Ω) = Ω T2 ( Ω) = 2Ω2 −1 T3 ( Ω) = 4Ω3 − 3Ω T4 ( Ω) = 8Ω4 −8Ω2 +1 T5 ( Ω) = 16Ω5 − 20Ω3 +5Ω

56

Čebiševljeva aproksimacija tipa I ( 3 ) Amplitudska karakteristika normalizovanog NF filtra sa 

Čebiševljevom aproksimacijom data je izrazom: H N ( jΩ) =

1 1 + ε2 TN 2 (Ω)

gde konstanta ε određuje talasnost Rp u propusnom opsegu filtra R 2

R p = 10 log(1 + ε ) ,



[dB]

p   10 10  1

Amplitudska karakteristika filtra je monotono opadajuća funkcija sa porastom frekvencije Ω od 1 prema ∞. 1 1 H N ( jΩ) ≈ ≈ , N −1 N εTN (Ω) ε2 Ω

za Ω >> 1 57

Čebiševljeva aproksimacija tipa I (4)

20log H(jΩ) 0 (dB)

-10

N=1

-20 -30

N=4

-40 -50 -60

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ω

Rp=1dB 58



Čebiševljeva aproksimacija tipa opseg, I (5Rp=1dB ) Propusni 20log H(jΩ) 0 (dB)

-0.2

N=4

-0.4

N=1

-0.6 -0.8 -1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω 59







Čebiševljeva aproksimacija tipa II (1) Svojstvo Čebiševljevog filtra tipa I je da minimizira grešku između idealne i realne karakteristike filtra, ali na račun talasnosti u propusnom opsegu Čebiševljeva aproksimacija tipa II – inverzna Čebiševljeva aproksimacija – ima ravniju karakteristiku u propusnom opsegu, a talasnost se pojavljuje u nepropusnom opsegu Karakteristična funkcija se definiše kao: 1

H N (jΩ) = 1+ 

1 ε 2TN 2 (Ω)

ε=

1 Rs 10 10 -1

Konstanta Rs određuje talasnost u nepropusnom opsegu 60

Čebiševljeva aproksimacija tipa II (2) 20log H(jΩ) 0

N=4

(dB)

-10 -20

N=1

-30 -40 -50 -60

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ω

Rs=40dB 61

Eliptička aproksimacija (1) 





Eliptička ili Kauerova aproksimacija karakteriše se jednakom talasnošću u propusnom i nepropusnom opsegu (equiripple) Talasnost u svakom od opsega može se podešavati nezavisno Ova aproksimacija omogućava veoma brzu tranziciju između propusnog i nepropusnog opsega. H N (jΩ) 

1 1+ε 2R 2N (ε,Ω)

gde je RN(ε, Ω) racionalna eliptička funkcija N-tog reda 62

Eliptička aproksimacija (2) 20log H(jΩ)

0

N=4

(dB)

-10 -20

N=6 N=8

-30 Rp=1dB Rs=40dB

-40 -50 -60 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ω 63

Eliptička aproksimacija (3) 

Propusni opseg, Rp=1dB, Rs=40dB 20log H(jΩ) 0

N=6

(dB)

-0.2 -0.4

N=8 -0.6 -0.8

N=4 -1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω 64

Primer gabarita i slabljenja filtra za odvajanje jednog kanala iz grupe telefonskih kanala

65

0

0

-10

-10

Čebiševljeva tip I

Batervortova

Poređenje aproksimacija za filtar četvrtog reda, uz uslov Ω c=1, Rp=1dB i Rs=40dB 20log H(jΩ) 20log H(jΩ) -20 -30 -40 -50 -60

0

0.5 1

1.5 2

-20 -30 -40 -50 -60

2.5 3 Ω

0

0

-10

-10

-20 -30 -40

1.5 2

2.5 3 Ω

-20 -30 -40 -50

-50 -60 0

0.5 1

20log H(jΩ) Eliptička

Čebiševljeva tip II

20log H(jΩ)

0

0.5 1

1.5 2

2.5 3 Ω

-60 0

0.5 1

1.5 2

2.5 3 Ω66

Aktivni analogni filtri (1) 







Aktivni filtri koriste bar jedan aktivni generator struje i napona, pored pasivnih elemenata Korišćenjem aktivnog elementa (tipično operacionog pojačavača) efikasno se utiče na odziv filtra, prvenstveno u prelaznom opsegu između propusnog i nepropusnog opsega filtra. Time se omogućava korišćenje filtara nižeg reda i eliminiše potreba za induktivnim elementima (značajno se smanjuju dimenzije filtra). Sve ranije navedene aproksimacije karakteristične funkcije koriste se i pri projektovanju aktivnih filtara. 67

Aktivni analogni filtri (2)  





Sallen-Key filtar je najjednostavniji tip aktivnog filtra NF ili VF filtar drugog reda projektuje se korišćenjem dva otpornika, dva kondenzatora i jediničnog operacionog pojačavača Filtri višeg reda dobijaju se kaskadnim vezivanjem osnovnih ćelija Topologija je poznata i kao naponski kontrolisan R1 R2 10 kΩ 10 kΩ izvor napona – VCVS (Voltage Controlled U1 C1 C2 Voltage Source) filtar. 1 nF 1 nF Sallen-Key NF filtar

U2

drugog reda

68

Aktivni analogni filtri (3) 

Ostali tipovi aktivnih filtara:    

Fliege-ovi filtri Filtri sa višestrukom povratnom spregom Filtri sa promenljivom stanja (state variable) Akerberg Mossberg-ovi filtri itd.

69

Uvod u digitalne filtre (1) 





Digitalni filtri – izvršavaju digitalne matematičke operacije nad signalom; mogu postići bilo koji efekat filtriranja koji se može izraziti kao matematička funkcija ili algoritam Danas su sastavni element mobilnih telefona, radio prijemnika, stereo prijemnika i drugih telekomunikacionih uređaja Prednosti digitalnih nad analognim filtrima su brojne: 





Lako se mogu realizovati performanse koje su značajno bolje od performansi analognih filtara Za kompleksne operacije filtriranja signala postižu znatno bolji odnos signal/šum Programabilni; malih dimenzija 70

Uvod u digitalne filtre (2) 



Projektovanje digitalnih filtara se pretežno zasniva na brzoj Furijeovoj transformaciji (FFT) Funkcija prenosa linearnog digitalnog filtra izražava se pomoću z- transformacije: transformacije B(z) b0 +b1z 1 +...+ b N z  N H(z)= = A(z) 1+a1z 1 +...+ a M z  M



Bilinearna transformacija – transformiše funkciju prenosa H(s) u kontinualnom vremenskom domenu (analognog filtra) u funkciju H(z) u diskretnom vremenskom domenu (digitalnog filtra)

71

Uvod u digitalne filtre (3) 



FIR (Finite Impulse Response) filtri – filtri sa konačnim impulsnim odzivom su klasa digitalnih filtara koja ima samo nule u z-ravni. Ovi filtri su uvek stabilni i imaju linerani fazni odziv IIR (Infinite Impulse Response) filtri – filtri sa beskonačnim impulsnim odzivom su klasa digitalnih filtara koja ima i nule i polove u z-ravni. Posledica toga je potencijalni problem sa stabilnošću, kao i nelinearni fazni odziv. Prednost u odnosu na FIR filtre se ogleda u znatno bržem prelazu između propusnog i nepropusnog opsega.

72

Uvod u digitalne filtre (4) 

Primer realizacije FIR filtra: 

Elementi koji unose fiksno kašnjenje T (DELAY)



Koeficijenti h0, h1, ..., hn–1



Sabirači (+)

73

Za kraj priče o filtrima ... 

Projektovanje analognih i digitalnih filtara vrši se efikasno pomoću programskih paketa kao što su:   

MATHLAB Mathematica FiltersCAD i dr.

Primer dizajna filtra pomoću programskog paketa FiltersCAD

74