Tipuri De Ecuatii Diferentiale

 ax + by + c   y ′ = f   a1 x + b1 y + c1 

Ecuaţii reductibile la omogene

 y  y′ = f   x  M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0  M,N = funcţii omogene de grad k

Ecuaţii omogene

 y ′ = f ( x) g ( y )  M ( x) N ( y )dx + P( x )Q ( y )dy = 0

Ecuaţii cu variabile separabile

Pagina 1

Ecuaţia devine ecuaţie cu variabile separabile în z(x)

Se face schimbare de funcţie: z = ax + by ⇒ z = z ( x) ⇒ z ′ = a + by ′ ⇒ y ′ =

Rezolvare:

ax + by + c = 0 I  este sistem cu soluţia unică ( x0 , y 0 ) a1 x + b1 y + c1 = 0  x = x 0 + x1  y1 = y1 ( x ) Se face schimbare de variabilă si de funcţie:  ⇒  y1′ = y ′  y = y 0 + y1 Ecuaţia devine ecuaţie omogenă. ax + by + c = 0 este sistem incompatibil II  a1 x + b1 y + c1 = 0

y = t ⇒ y = tx ⇔ dy = t ⋅ dx + x ⋅ dt x  y  y y ′ = f   ⇔ dy = f  dx ⇒ x ⋅ dt + t ⋅ dx = f (t )dx ⇔ [t − f (t )]dx + x ⋅ dt = 0 x x [t − f (t )]dx + x ⋅ dt = 0 este o ecuaţie cu variabile separabile

Rezolvare: Notăm

z′ − a b

Rezolvare: - se separă variabilele de o parte şi de alta a egalului y′  y′ = f ( x ) g ( y ) ⇔ = f ( x ) dy dy g ( y)  dy 1 = ∫ f(x)dx ⋅ = f ( x) ⇔ = f ( x)dx ⇔ ∫ ⇒ g(y) dx g ( y ) g ( y) dy  y′ =  dx

Tipuri de ecuaţii diferenţiale de ordinul 1 (I)

Ecuaţii Bernoulli y ′ + a( x) ⋅ y = b( x ) ⋅ y α , α ≠ 0,1

y ′ + a( x) ⋅ y = b( x) (a,b funcţii continue)

Ecuaţii liniare

x

∫x0 a ( x )⋅ dx ⇒ y′ ⋅ e

x

∫x0 a ( x )⋅dx + y ⋅ a( x) ⋅ e

x

∫x0 a ( x )⋅ dx = b( x ) ⋅ e

x

∫x0 a ( x )⋅ dx

x

x

x

x

⇔ x

y

1 α −1

( x)

(schimbare de funcţie) ⇒ z ′( x) = −(α − 1) ⋅

y′ 1 + a ( x) ⋅ α −1 = b( x) α y y

Pagina 2

⇒ z ′ + (1 − α ) ⋅ a ( x) ⋅ z = (1 − α ) ⋅ b( x ) → ecuaţie liniară in z

Notăm z ( x ) =

Rezolvare: y ′ + a( x) ⋅ y = b( x) ⋅ y α : y α ⇒

y′ yα

Pasul 2: se determină o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene prin metoda variaţiei constantei lui x − ∫ a(x) ⋅dx   x0   şi se determină c(x) astfel încât ea să verifice ecuaţia. Lagrange  y′p ( x) = c( x ) ⋅ e    x x x x − ∫ a(x) ⋅dx − ∫ a(x) ⋅dx  − ∫ a(x)⋅ dx − ∫ a(x) ⋅dx x0 x0 x  ′ ′ x0 x0 = ⋅ − ⋅ ⋅ y c ( x ) e c ( x ) a ( x ) e p y p = c (x ) ⋅ e ⇒ + ct  ⇒ c( x) = ∫x b( x) ⋅ e 0  ′ y + a ( x ) ⋅ y = b( x )  y ( x) = yo ( x) + y p ( x ) → soluţia generală a ecuaţiei omogene

x

− ∫ a(x) ⋅dx x x dy y( x) y′ + a( x ) ⋅ y = 0 ⇔ ∫ = −∫ a ( x) ⋅ dx ⇒ ln = − ∫ a( x ) ⋅ dx ⇒ yo ( x) = y0 ⋅ e x 0 sol x0 y x0 x0 y0 generală

x

Pasul 1: se asociază ecuaţiei liniare ecuaţia omogenă: y′ + a( x) ⋅ y = 0 , ec cu variabilele separabile

x

 x ∫ a ( x )⋅ dx  − ∫x0 a ( x )⋅dx ⇒ y ( x) =  y0 + ∫ b( x) ⋅ e x0 ⋅e x0   Rezolvarea II: Metoda variaţiei constantelor (Lagrange)

x

x d  ∫ a ( x )⋅ dx x ∫ a ( x )⋅ dx ∫ a ( x )⋅ dx ∫ a ( x )⋅ dx ∫ a ( x )⋅ dx  ⇔  y ( x) ⋅ e x0 = b( x ) ⋅ e x0 | ⋅∫ ⇒ y ( x ) ⋅ e x0 − y ( x0 ) ⋅ e x0 = ∫ b( x) ⋅ e x0 ⇒  x0 x0 dx  

y′ + a( x ) ⋅ y = b( x) | ⋅e

Rezolvare I:

∂M ∂N ≠ ∂y ∂x

M ( x, y ) ⋅ dx + N ( x, y ) ⋅ dy = 0

Ecuaţii care se rezolva cu metoda factorului integrând

Ecuaţii cu diferenţiale totale M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0; M , N ∈ C 1 ( D ) ∂M ∂N = ∂y ∂x

Ecuaţii Riccati y ′ + a( x) ⋅ y + b( x) ⋅ y 2 = c( x) c( x) = 0 ⇒ Ec Bernoulli cu α = 2  b( x ) = 0 ⇒ Ecuaţie liniară 1

} [

]

II λ = λ ( y) ⇒

Pagina 3

d [ln λ ( y)] =  ∂N − ∂M  1 → e posibil ⇔  ∂N − ∂M  1 este funcţie de y dy ∂y  M ( x, y )  ∂x  ∂x ∂y  M ( x, y)

Rezolvare: caut λ ( x, y ) aî ecuaţia înmulţită cu λ ( x, y ) să devină cu devină cu diferenţiale totale ∂ ∂ (λ ⋅ M ) = (λ ⋅ N ) ⇔ λ ( x, y ) ⋅ M ( x, y ) ⋅ dx + λ ( x, y ) ⋅ N ( x, y ) ⋅ dy = 0 ⇒ λ = ? aî ∂y ∂x  ∂M ∂N  ∂λ ∂λ  + M λ  −N = 0 → ec cu derivate parţiale ⇒ − ∂x ∂y ∂x   ∂y ∂ ∂ ∂N ∂M ∂λ M ∂λ N ∂N ∂M − ⋅ − ⋅ = − ⇔ [ln( x, y )] ⋅ M − ⋅ [ln( x, y )] ⋅ N = ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y λ ∂x λ ∂x  ∂M ∂N  1  ∂M ∂N  1 d  este funcţie de x I λ = λ ( x) ⇒ [ln λ ( x)] =  − → e posibil ⇔  − ∂x  N ( x, y ) dx ∂x  N ( x, y )  ∂y  ∂y

 ∂U  ∂x = M ( x, y ) Ecuaţia devine dU = 0 ⇒ soluţia ecuaţiei este U=constant.  ∂U  = N ( x, y )  ∂y

dU = M ( x, y ) ⋅ dx + N ( x, y ) ⋅ dy  ∂M ∂N  2 = ⇔ ∃U : D → R de clasă C aî Rezolvare : ∂U ∂U ⇒ dU = ⋅ dx + ⋅ dy ∂y ∂x  ∂y ∂x 

{

⇔ z ′( x ) + [a ( x ) + 2 ⋅ b( x) ⋅ y1 ( x)] ⋅ z ( x ) + b( x) ⋅ z 2 ( x) + y1′ ( x) + a ( x) ⋅ y1 ( x ) + b( x) ⋅ y12 ( x ) = c( x) ⇔ z ′( x) + [a( x) + 2 ⋅ b( x) ⋅ y ( x)] ⋅ z ( x ) + b( x ) ⋅ z 2 ( x ) = 0 → Ecuaţie Bernoulli cu α=2

Rezolvare: dacă se cunoaşte o soluţie particulară a ecuaţiei (y1(x)), atunci y(x)=z(x)+y1(x) transformă ecuaţia într-o ecuaţie Bernoulli astfel: 2 y ′( x ) = z ′( x ) + y1′ ( x) ⇒ z ′( x) + y1′ ( x ) + a ( x ) ⋅ z ( x) + a ( x) ⋅ y1 ( x ) + b( x)[z( x) + y1 ( x )] = c ( x ) ⇔

Ecuaţii care nu se pot pune Sub forma normală y ′ = f ( x, y ) ci se vor pune sub forma : y = f ( x, y ′)

Pagina 4

x = x( p ) → a doua parametrică a soluţiei

prima ecuaţie parametrică a soluţie

∂f ∂f  ∂f ∂f  dp ⇒ dp ⇒  p − dx = dx + ∂p ∂x  ∂p ∂x 

y′ = p   ⇒ y = f ( x, p ) → y = f ( x, y ′)

y = f ( x, p) ⇒ (diferenţiere) dy = df ⇔ p ⋅ dx =

y ′ = p ⇒ dy = p ⋅ dx

Rezolvare: Metoda parametrului : notăm

y

Ecuaţii liniare: + a1 ( x) ⋅ y ( n−1) + a 2 ( x) ⋅ y n −2 + ... + + a n −1 ( x) ⋅ y ′ + a n ( x) ⋅ y = b( x)

a1 , a 2 ,..., a n şi b : I → R, continue I ⊂ R interval y = funcţie necunoscută

( n)

Forme generale: 1. F ( x, y, y ′, y ′′,... y ( n) ) = 0 F : D → R, D ⊆ R n+ 2 domeniu 2. F ( x, y, y ′, y ′′,... y ( n−1) ) f : D1 → R, D1 ⊆ R n+1 domeniu

Pagina 5

V. Ecuaţia se poate aranja astfel încât de o parte şi de alta a egalităţii să se găsească diferenţiala câte unei funcţii

II. Dacă F ( y, y ′,... y ( n ) ) = 0 , adică ecuaţia de ordin n nu conţine explicit pe x atunci locul variabilei independente poate fi luat de y ⇒  y ′ = p ( y )  dy ′ dp( y ) dp dy  y ′′ = p ⋅ p ′ y ′′ = = = ⋅ = p′ ⋅ p dx dx dy dx se obţine o ecuaţie de ordin n-1 în p=p(y) III. Dacă ecuaţia este omogenă in y , y ′,... y ( n) (înlocuind y (i ) → k ⋅ y (i ) , ∀i, ecuaţia nu se schimbă) atunci se face schimbarea de funcţie y ′ = z ⋅ y se obţine o ecuaţie de ordin mai mic în z = z (x ) IV. Daca ecuaţia este omogenă în general (înlocuind ecuaţia nu se schimbă  x → kx  m y → k ⋅ y  m −1  y′ → k ⋅ y′  ′′ m− 2 ⋅ y ′′ y → k ........................ t Atunci se face schimbarea – de variabilă x = e – de funcţie y = z (t ) ⋅ e mt se obţine o ecuaţie de ordinul II, adică nu va conţine variabila t, deci ordinul ei poate fi scăzut

I. Dacă F ( x, y ( k ) , y ( k +1) ,... y ( n ) ) = 0 , ecuaţie de ordin n atunci se face schimbare de funcţie z = y ( k ) se obţine o ecuaţie de ordin n-k în z = z (x )

Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

j =1

n

y p = ∑ c j ( x) ⋅ y j

i =1

Pagina 6

y o = ∑ ci y i (k ), ci ∈ R ────> y = y o + y p <──── y p

n

2. Ecuaţii liniare neomogene cu coeficienţi constanţi : y ( n) + a1 ⋅ y ( n−1) + a 2 ⋅ y ( n− 2) + ... + a n −1 ⋅ y ′ + a n ⋅ y = b( x ) I. Ecuaţia omogenă ataşată cu soluţia generală yo II. Soluţia particulară a ecuaţiei omogene yp ( n) ( n −1) ( n− 2) Se determină o soluţie particulară in funcţie de b(x) y + a1 ⋅ y + a2 ⋅ y + ... + a n−1 ⋅ y ′ + a n ⋅ y = 0 a) b( x ) = Pm ( x )e αx → y p = x s ⋅ Qm ( x ) ⋅ e αx Ecuaţia caracteristică: λn + a1 ⋅ λ n−1 + ... + a n−1 ⋅ λ + a n = 0 cu s = ordinul de multiplicitate a lui λ = α in ecuaţia caracteristică - rădăcini: λ1, λ2,… λm b) b( x ) = Pr ( x ) ⋅ e αx ⋅ cos β x + Qk ( x ) ⋅ e αx ⋅ sin β x - ordinul de multiplicitate ν1, ν2,… νm pentru fiecare rădăcină se asociază o funcţie, formându-se un sistem y p = x s ⋅ [Tm ( x ) ⋅ e αx ⋅ cos β x + U m ( x) ⋅ e αx ⋅ sin β x ], m = max{r , k} fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă s = ordinul de multiplicitate a lui λ=α±iβ în ecuaţia caracteristică λ x λ x λ x ν −1 λ x λ j ∈ ℜ → e j , x ⋅ e j , x 2 ⋅ e j ,...x j ⋅ e j c) b(x)=ba)(x)+bb)(x) de tipul a) şi b) yp= y1p+y2p λ = α k + i ⋅ β k → e α k x ⋅ cos β k x,..., xυ k −1 ⋅ e α k x ⋅ cos β k x λk ∈ C \ ℜ →  k λ k = α k − i ⋅ β k → eα k x ⋅ sin β k x,..., x υk −1 ⋅ e α k x ⋅ sin β k x

i =1

y o = ∑ ci y i , c i ∈ R ────> y = y o + y p <────

n

1. Ecuaţii liniare neomogene cu coeficienţi variabili : y ( n) + a1 ( x) ⋅ y ( n −1) + ... + a n −1 ( x) ⋅ y ′ + a n ( x) ⋅ y = b( x) II. Soluţie particulară a ecuaţiei neomogene yp I. Ecuaţii omogenă ataşată cu soluţia generală yo ( n) ( n −1) Metoda variaţiei constantelor y + a1 ( x ) ⋅ y + ... + a n −1 ( x ) ⋅ y ′ + a n ( x ) ⋅ y = 0 {y1,y2,…yn}=sistem fundamental de soluţiei ale ecuaţiei omogene − Se cunosc n-1 soluţii: y1,y2…yn-1 − Se încearcă găsirea soluţie particulare de formă polinomială c11 ( x) y1 + c 12 (c) y 2 + ... + c 1n ( x) y n = 0 se caută a n-a soluţie a ecuaţiei  1 1 1 1 1 1 ai (y1,y2…yn-1,yn} = sistem fundamental de soluţie c1 ( x) y1 + c 2 ( x) y 2 + ... + c n ( x) y n = 0 ⇒ c1 ( x), c 2 ( x),...c n ( x)  y1 y2 yn ... ...  y11 y 12 y n1 ... − a1 ( x ) dx c 1 ( x) y ( n −1) + ... + c 1 ( x ) y ( n −1) = b( x) → Ecuaţie neomogenă = c1 e ∫ 1 n n W ( x)  1 ... ... ... ... liniară de ordin n-1 y1( n −1) y 2( n −1) ... y n( n −1)