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Resistencia de Materiales II

(a) Estado II: Desplazamientos reales debido a las cargas aplicadas

(c) Estado I: Carga virtual utilizado para encontrar V'A aplicadas

(b) Estado II: Reacciones

(d) Estado I: Equilibrio 1

(e) Estado I: Equilibrio 2

Figura 4.20 Ejemplo 15 Ahora, porque la estructura es indeterminada, hay más de un conjunto de reacciones que puede equilibrar

𝑀𝑣 . Estos dos conjuntos de reacciones que satisfacen el equilibrio se muestran en 4.20e y figuras 4.20 d. Para las fuerzas virtuales en figura 4.20 d, el momento interno resultante está dada por

𝑀𝑣 (𝑥) = 𝑀𝑣

4.27b

Mientras que para las fuerzas virtuales en la figura 4.20e

𝑀𝑣 (𝑥) = 𝑀𝑣 −

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𝑀𝑣 𝑥 𝑙

4.27c

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Sustituyendo las ecuaciones 4.27a y 4.27b en la ecuación 4.24 da

−𝑀𝑣 𝑣´𝐴

1

= ∫ 𝑀𝑣 ( 0

3𝑞𝑜 𝑙 𝑞 𝑥 − 𝑜 𝑥2 ) 𝑑𝑥 8𝐸𝐼 2𝐸𝐼

4.27d

1

=

𝑀𝑣 𝑞𝑜 3𝑙 ∫ ( 𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 0 4

De la cual obtenemos

𝑞𝑜 𝑙 3 𝑣´𝐴 = 48𝐸𝐼

4.27e

Del mismo modo, sustituyendo las ecuaciones 4.27a y 4.27 c en la ecuación 4.24 da

−𝑀𝑣 𝑣´𝐴

1

= ∫ (𝑀 𝑣 − 0

3𝑞 𝑙 𝑞 𝑀𝑣 𝑥) ( 𝑜 𝑥 − 𝑜 𝑥2 ) 𝑑𝑥 8𝐸𝐼 2𝐸𝐼 𝑙

𝑀𝑣 𝑞𝑜 1 𝑥 3𝑙 = ∫ (1 − ) ( 𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 0 𝑙 4

4.27f

𝑀𝑣 𝑞𝑜 1 3𝑙 𝑀𝑣 𝑞𝑜 1 𝑥 3𝑙 2 = ∫ ( 𝑥 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 − ∫ ( ) ( 𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 0 4 2𝐸𝐼 0 𝑙 4 La primera integral en la ecuación 4.27f es idéntica a la integral en la ecuación 4.271 /; la segunda integral es cero. Por lo tanto, la ecuación 4.27f da el mismo resultado que la ecuación de 4.27e! Como en el ejemplo 5, el hecho de que dos Estados de fuerza independiente virtual llevan al mismo valor de desplazamiento da confianza de que la curvatura real (ecuación de 4.27a) se ha determinado correctamente; esto, a su vez, implica que las reacciones en la figura 4.20b son correctas. EJEMPLO 16: APLICACIÓN DE LAS FUERZAS VIRTUALES. El teorema de las fuerzas virtuales desempeña un papel en el análisis de Marcos indeterminados que es análogo a su papel en el análisis de cerchas indeterminadas, es decir, se utiliza para la determinación de las ecuaciones de compatibilidad (según lo demostrado previamente en ejemplo 6). Aquí, ilustraremos la determinación de una ecuación de compatibilidad para el inde terminar estructura en la figura 4.20a. Desde la estructura es 1-grado indeterminado, debemos seleccionar una adecuada fuerza cantidad como la "fuerza redundante"; en este caso, podemos seleccionar como forzar el redundante cualquiera de las reacciones desconocidas o cualquier desconocido interno resultante fuerza cantidad (en cualquier sección transversal).

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Supongamos, por ejemplo, que la reacción de la A ha sido designada como la fuerza redundante. Queremos determinar lo que obtenemos desde el teorema de trabajo virtual, ecuación 4.24, cuando aplicamos a la estructura de una fuerza virtual "como" la reacción en A; Ahora nos se denotan esta fuerza virtual por 𝑿𝒗 (Figura 4.21a). Se deduce que existe un único conjunto de reacciones en B que equilibre 𝑿𝒗 , como se muestra en la figura 4.21 b. También, el momento resultante interno en este estado de fuerza virtual, figura 4.21 c, está dada por

𝑴𝒗 (𝒙) = 𝑿𝒗 𝒙

4.28a

(a) Estado I: Fuerza virtual "como" la reacción en A

(b) Estado I: Equilibrio 1

(c) Estado I: Fuerzas resultantes internas

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(d) M/El diagrama (por partes) para la viga en la figura 4.20b

Figura 4.21 ejemplo 16. Tenga en cuenta que el estado real de desplazamiento debe ser consistente con las limitaciones cinemáticas (ayudas) en la figura 4.20a, es decir, no hay ningún desplazamiento transversal en A o B y no hay rotación en B; por lo tanto, el trabajo virtual externo en ecuación 4.24 debe ser cero. La curvatura real todavía está dada por la ecuación 4.27a, así que ahora escribiremos una ecuación 4.24 como 1

𝑅𝐴 0 = ∫ (𝑋𝑣 𝑥) ( 𝑥− 0

𝐸𝐼

𝑞𝑜 2 𝑥 ) 𝑑𝑥 2𝐸𝐼

1

1 𝑅𝐴 𝑞𝑜 2 = ∫ 𝑥 ( 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 (− 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝐸𝐼 2𝐸𝐼 0 0

4.28b

Si construimos el diagrama de M/El de la estructura en la figura 4.20b por partes, como en la figura 4.21 d, podemos identificar la primera integral sobre como el primer momento, de 𝒙 = 𝟎, de la zona de la parte del diagrama M/El que se asocia con 𝑹𝑨 y el segundo integral como el primer momento, de 𝒙 = 𝟎, de esa parte del diagrama M/El que se asocia con 𝒒𝒐 . En otras palabras, identificamos, el método de momento la zona, la primera integral como la deflexión transversal el extremo libre de una viga voladiza debido a 𝑹𝑨 y la segunda integral como la deflexión transversal el extremo libre de una viga voladiza debido a 𝒒𝒐 . Así, la ecuación 4.28b indica la condición que

𝟎 = 𝒗𝑨(𝑿) + 𝒗𝑨(𝒒𝒐)

4.28b

es decir, que la deflexión neta en A, que se obtiene por la superposición de deflexiones debido a la fuerza redundante y las otras cargas, actuando independientemente de la viga, debe ser cero. Esta es la forma de la ecuación de compatibilidad que los resultados de esa elección particular de fuerza redundante. Tenga en cuenta que la solución de la ecuación 4.28b da 𝑹𝑨 = 𝟑𝒒𝒐 𝒍⁄𝟖, como se indica en el ejemplo anterior. Por lo tanto, ecuación 4.28b en realidad proporciona el valor de la fuerza redundante. (Somos capaces de resolver la ecuación 4.28b para 𝑹𝑨 porque las ecuaciones de equilibrio se han incorporado implícitamente mediante la ecuación de 4.27a).

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Esto es típico de los procedimientos que vamos a seguir para el análisis de estructuras indeterminadas en el próximo capítulo. EJEMPLO 17: APLICACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES. Para el ejemplo final de este capítulo, tomaremos un breve vistazo a la utilización de los desplazamientos virtuales para obtener las ecuaciones de equilibrio del tipo utilizado en el método de desplazamiento de análisis de estructuras reticulares. Una vez más, el procedimiento difiere un poco de eso ilustrado por cerchas, ejemplo 7, porque las cantidades de fuerza relevante son funciones continuas de las coordenadas de posición más constantes. En el método de desplazamiento de análisis de Marcos, usaremos las ecuaciones de equilibrio que se escribe en términos de fuerzas final viga, tales como 𝑴𝑨 y 𝑴𝑩 en las figuras 3.1 o 4.12b. Por simples estructuras indeterminadas, tales como la viga en la figura 4.20a, este tipo de ecuación de equilibrio tendrá la forma trivial 𝑴𝑨 = 𝟎, es decir, la ecuación del equilibrio de momento para el conjunto A. Para una estructura compuesta por varias vigas las ecuaciones de equilibrio pueden estar más involucradas. Para distinguir entre las fuerzas finales en varias vigas, encontraremos conveniente modificar nuestra notación para identificar claramente el rayo específico con que cada extremo fuerza está asociado. En particular, vamos a añadir un segundo subíndice a cada fuerza final, por ejemplo, 𝑴𝑨 será sustituida por 𝑴𝑨𝑩 y 𝑴𝑩 será sustituido por 𝑴𝑩𝑨 . El primer subíndice continúa identificar un determinado extremo de la viga, mientras que los dos subíndices identifican juntos el mismo rayo.

(a) Marco Indeterminado

(b) Estado I: Fuerzas reales Trabajo Tipográfico 1

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(c) Estado II: desplazamiento virtual Figura 4.22 ejemplo 17 Consideremos, por ejemplo, la viga continua que se muestra en la figura 4.22a; la estructura dispone de un soporte fijo en el A, un soporte de rodillo en B y un soporte fijo con un rodillo a G. La carga consiste en una fuerza concentrada F aplicada en el punto medio de BG palmo. Vamos a analizar esta estructura como si se compone de dos vigas, AB y BG, rígidamente conectados en B; en el conjunto B ahora podemos distinguir entre los dos momentos en las vigas contiguas, 𝑴𝑩𝑨 y 𝑴𝑩𝑮 (Figura 4.22b). Como veremos posteriormente en nuestra discusión con el método de desplazamiento, requerimos dos ecuaciones de equilibrio para análisis de esta estructura (uno para cada grado de libertad cinemática en las articulaciones). Una de estas ecuaciones es obvia, es decir, 𝑴𝑩𝑨 + 𝑴𝑩𝑮 = 𝟎 (equilibrio de momento para el conjunto B). La segunda ecuación es menos evidente, y es esta ecuación que obtendremos por el uso de los desplazamientos virtuales. El estado de desplazamiento virtual que emplearemos aquí es conceptualmente similar a la utilizada en el ejemplo 9, es decir, implicará "curvaturas concentradas" del tipo introducidas originalmente en la figura 4.14b. En este caso particular, el estado de desplazamiento virtual se tomarán como figura 4.22 c: asumimos dos curvaturas concentradas en viga BG, uno cerca de conjunto B y otro cerca de conjunto G; de lo contrario, la desviación de viga BG es cero en todas partes. En este ejemplo, entonces, el trabajo virtual externo sólo es asociado con la fuerza aplicada F, figura 4.22a y el desplazamiento virtual transversal correspondiente,𝜽𝒗 𝒍⁄𝟒 , figura 4,22c. El trabajo virtual interno sólo es asociado con los momentos muy internos 𝑴𝑩𝑮 y 𝑴𝑮𝑩, 4.22b, y los cambios virtuales en las pistas en los puntos donde 𝑴𝑩𝑮 y 𝑴𝑮𝑩 actúan (los puntos de curvatura concentrado); estos últimos son los dos igual a 𝜽𝒗 , figura 4.22c. Así, se convierte la ecuación 4.24

−

𝑭𝒍 𝜽 𝟒 𝒗

= 𝑴𝑩𝑮 𝜽𝒗 + 𝑴𝑮𝑩 𝜽𝒗

4.29a

El trabajo virtual externo es negativo porque están enfrente de F y el desplazamiento virtual en la dirección, mientras que las condiciones de trabajo virtual interno son ambos positivos porque los momentos internos están en las mismas indicaciones que los cambios de pendiente. Dividir por da:

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𝜽

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−

𝑭𝒍 = 𝑴𝑩𝑮 + 𝑴𝑮𝑩 𝟒

4.29b

¿Cuál es la ecuación de equilibrio deseado? Esta ecuación puede ser obtenida también una consideración del equilibrio de un cuerpo libre de la viga BG, figura 4.22b. 4.6 RESUMEN En este capítulo, hemos presentado un desarrollo del Teorema de trabajo virtual, en formas especiales aplicables a las armaduras y marcos. Hemos ilustrado una amplia variedad de aplicaciones de los dos básicos derivados del Teorema, a saber: el teorema de los desplazamientos virtuales y el teorema de las fuerzas virtuales. Un resumen cualitativo de estos cationes artefacto se da en la tabla 4.1.

Teorema

Tabla 4.1. Resumen de trabajo Virtual Estado II Estado I (Fuerzas en los (Fuerzas en equilibrio) desplazamientos)

fuerzas virtuales

Virtual

Real

desplazamientos virtuales

Real

Virtual

Aplicaciones Encontrar los desplazamientos; ecuaciones de compatibilidad para el método de análisis de la fuerza Encontrar las ecuaciones de equilibrio; ecuaciones de equilibrio para este método de colocación de análisis

Como se verá con mayor detalle en los capítulos siguientes, el teorema jugará un papel muy destacado en el análisis de estructuras indeterminadas, particularmente cuando examinamos las fórmulas de matriz del método de la fuerza y el método de desplazamiento.

4.P1.

En el ejemplo 1 el movimiento horizontal del conjunto D debido al desplazamiento virtual (cuerpo rígido rotación) en figura 4.46 decía que era igual a 𝒉𝜽 (para 𝜽 pequeño). Probarlo por considerar un caso general de un cuerpo rígido en el plano x-y, que sufre una pequeña rotación 𝜽 alrededor de un eje z a través de algún punto O como se muestra en la figura siguiente. Deja que 𝜼 definir un eje arbitrario en el plano x-y a través de 0 y sea D cualquier punto una distancia h del eje 𝜼. Muestran que la magnitud del componente de desplazamiento del punto D en la dirección paralela a 𝜼 es 𝒉𝜽. Sugerencia: determinar los componentes del movimiento en D teniendo en cuenta el movimiento de la línea OD cuando gira el cuerpo a través de un pequeño ángulo 𝜽.

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4.P2.

Utilice un desplazamiento virtual para encontrar la fuerza interna de la barra EG. Sugerencia: considere acoplados movimientos de articulaciones B y G que no implican ninguna longitud cambian de cualquier bar excepto EG.

4.P3.

Es sabido que la barra 1 se alarga por un monto 𝚫𝟏 y la barra 2 se alarga por un monto 𝚫𝟐 . Encontrar los componentes horizontales y verticales de la dislocación de la articulación A en términos de 𝚫𝟏 y 𝚫𝟐

4.P4.

Para la armadura en el problema 4.P2 (a) Encontrar el desplazamiento horizontal del conjunto B (b) Encontrar el desplazamiento horizontal del conjunto E (c) Encontrar el desplazamiento vertical del conjunto E. Supongamos que EA es la misma para todas las barras.

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4.P5.

(a) Encontrar el desplazamiento horizontal del conjunto E (b) Encontrar el desplazamiento vertical del conjunto E (c) Encontrar el desplazamiento vertical del conjunto D. Supongamos que EA es la misma para todas las barras.

4.P6.

(a) Encontrar el desplazamiento horizontal del conjunto D (b) Encontrar el desplazamiento vertical del conjunto C Supongamos que EA es la misma para todas las barras.

4.P7.

(a) Encontrar el desplazamiento vertical del conjunto C (b) Encontrar el desplazamiento horizontal del conjunto C Supongamos que EA es la misma para todas las barras.

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4.P8.

(a) Encontrar el desplazamiento horizontal del conjunto G (b) Encontrar el desplazamiento vertical del conjunto D Supongamos que EA es la misma para todas las barras.

4.P9.

(a) Encontrar el desplazamiento horizontal del conjunto G (b) Encontrar el desplazamiento vertical del conjunto G Supongamos que EA es la misma para todas las barras.

4.P10.

La temperatura de las barras BC y CG es cambiado por un monto 𝚫𝑻. Encontrar la componente horizontal del desplazamiento del conjunto C. Asumir EA y un son iguales para todas las barras.

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4.P11.

La armadura está sometida a una fuerza aplicada F. Además, barra IJ tiene tanto una temperatura cambio 𝚫𝑻 e inicial cambio de longitud 𝚫𝒍𝒐 (a) Encontrar el desplazamiento vertical del conjunto J (b) Encontrar el desplazamiento horizontal del conjunto O (c) ¿Qué longitud cambiar 𝚫𝒍𝒐 , conduce a cero desplazamiento vertical en J bajo la acción de F y 𝚫𝑻? Supongamos que EA es la misma para todas las barras.

4.P12. Se muestra la estructura se compone de tres barras uniformes (AD, AE y BE) tiene las mismas propiedades transversales EA y una viga rígida ABC. La viga puede ser asumida para ser ingrávido. Encontrar el desplazamiento vertical en C.

4.P13.

La siguiente figura muestra las fuerzas internas en las barras de una armadura indeterminada. Todas las barras tienen la misma EA. Encuentre el desplazamiento vertical del conjunto D utilizando dos distribuciones diferentes fuerza virtual.

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4.P14.

La siguiente figura muestra las fuerzas internas en las barras de una armadura indeterminada. Todas las barras tienen la misma EA. Encuentre el desplazamiento vertical del conjunto B utilizando dos distribuciones diferentes fuerza virtual.

4.P15.

La figura muestra las fuerzas reales en una viga simplemente apoyada. Utilizar el desplazamiento virtual en la figura b para evaluar 𝑹𝑨 . Asumir que la EI es constante.

4.P16 - P19

Encontrar el desplazamiento del punto medio y terminar las pendientes. Supongamos que la EI es constante.

4.P20-P21

Encontrar el desplazamiento transversal de la B y la rotación en A. Asumir que El es constante.

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4.P22-P24

4.P25.

Encontrar el desplazamiento transversal en C. Asumir que El es constante.

La estructura en voladizo a continuación consta de dos vigas uniformes idénticas conectadas por una bisagra con un resorte de torsión que une los extremos contiguos de las vigas. El resorte de torsión se somete a un desplazamiento angular 𝝓 debido a un momento aplicado M tal que 𝝓 = 𝑴⁄𝒌, donde k es la constante de resorte lineal. (Esto es análogo a un resorte axial que se alarga bajo la aplicación de una fuerza axial de tal manera que 𝚫 = 𝑷⁄𝒌𝑺 .) Encontrar el desplazamiento transversal en el extremo libre.

4.P26-P27

(a) Encontrar el desplazamiento horizontal y vertical en B (b) Encontrar la rotación en A y C (c) Encontrar la rotación en B.

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4.P28.

(a) Encontrar el desplazamiento horizontal y vertical en B (b) Encontrar las rotaciones a cada lado de la bisagra

4.P29.

Encontrar el desplazamiento vertical en la bisagra.

4.P30.

(a) Encontrar el desplazamiento vertical y horizontal en C (b) Encontrar la rotación en C.

4.P31.

El marco tiene una bisagra y el resorte de torsión de conexión vigas AB y BC en la junta B. La relación entre el momento y el cambio de ángulo en el resorte es 𝑴 = 𝒌𝝓 donde k es la constante del resorte. (a) Encuentre la componente horizontal del desplazamiento en conjunto C. Asumir que 𝒌 = 𝑬𝑰⁄𝟐𝒍 .

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(b) Se encuentra desde la parte (a) que el desplazamiento horizontal en C es dos veces el valor máximo permisible, por lo que se propone utilizar un resorte diferente en B para los que 𝒌 = 𝟐𝑬𝑰⁄𝒍.. ¿Este nuevo resorte dará lugar a un desplazamiento aceptable?

4.P32.

Encontrar la desviación vertical en el punto C en la viga del braguero de apoyo demostrada. Asume que todas las barras de cercha tienen la misma EA, y que la rigidez de flexión de viga ABC es El.

4.P33.

Para la estructura en problema 4.P32, encontrar el patrón de fuerza virtual, incluyendo las fuerzas internos necesarios/momentos, necesarios para calcular los desplazamientos siguientes: (a) Desplazamiento vertical en B; (b) Rotación de la viga a C; (c) Desplazamiento horizontal del rodillo en D

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4.P34.

La figura a muestra una estructura indeterminada que se somete a una fuerza F. figuras b y c muestran los resultados de dos análisis diferentes por los estudiantes. Utilice trabajo virtual para determinar cuál, si los hubiere, de las soluciones es correcta. ¿Sugerencia: satisfacen las condiciones cinemáticas en los apoyos?

4.P35.

El rayo es un grado indeterminado. Un estudiante afirma que 𝑹𝑨 = − 𝑴𝟎 ⁄𝒍 signo (negativo indica hacia abajo). Trabajo virtual para demostrar que este valor no es correcto. ¿Sugerencia: satisfacen las condiciones cinemáticas en los apoyos?

4.P36.

El valor correcto de 𝑹𝑨 en el problema 4.P35 es 𝟑𝑴𝒐 ⁄𝟐𝒍. Encontrar la pendiente en A; Utilice dos patrones diferentes fuerza virtual.

4.P36.

Además de la fuerza F, la estructura en la figura 4.22A es sometida a un cambio de temperatura en ∆𝑻 = 𝑻𝟏 𝒚 en viga AB solamente. Los momentos internos, identificados en la figura siguiente, pueden ser mostrados por 𝑴𝑨𝑩 =

𝟑𝑭𝒍 𝟓𝑬𝑰𝜶𝑻𝟏 + 𝟔𝟒 𝟒

𝑴𝑩𝑨 =

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𝟑𝑭𝒍 𝑬𝑰𝜶𝑻𝟏 − 𝟑𝟐 𝟐

𝑴𝑩𝑮 = −

𝟑𝑭𝒍 𝑬𝑰𝜶𝑻𝟏 + 𝟑𝟐 𝟐

𝑴𝑮𝑩 = −

𝟓𝑭𝒍 𝑬𝑰𝜶𝑻𝟏 − 𝟓𝟐 𝟐

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donde a es el coeficiente de expansión térmica. Utilizar trabajo virtual para encontrar el desplazamiento vertical en G y la rotación en el B.

4.P36.

El pórtico está sometida a dos conjuntos independientes de cargas, es decir una carga uniforme baja 𝒒𝒐 en tramo horizontal, y una concentrada fuerza horizontal F aplicada en el punto D. (a) Encontrar el movimiento horizontal,

𝒖𝒅 , de punto D debido a cada carga.

(b) Encuentra el valor de la fuerza horizontal F que, junto con la carga 𝒒𝒐 , causa 𝒖𝒅

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=𝟎

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Capítulo 5 Introducción al análisis de estructuras indeterminadas: método de la fuerza 5.0 INTRODUCCIÓN Cuando se introdujo el concepto de indeterminación en el capítulo 1 se observó que una estructura se clasifica como estáticamente indeterminado, siempre que el número de fuerzas desconocidas es mayor que el número de ecuaciones independientes del equilibrio. Para obtener las ecuaciones adicionales necesarias para determinar completamente las fuerzas emplearemos el concepto de compatibilidad geométrica. Este enfoque para el análisis de las estructuras se denomina el método de la fuerza. En el método de la fuerza podemos escribir las ecuaciones de equilibrio en términos de cargas aplicadas y un conjunto de "fuerzas redundantes" luego imponer compatibilidad usando el teorema de las fuerzas virtuales. El método de la fuerza está relacionado con los procedimientos de análisis estadístico presentado en los capítulos 2 y 3 para estructuras estáticamente determinadas. De hecho, todos los conceptos básicos necesarios para la aplicación del método de fuerza ya han discutido en la pre cediendo capítulos; Todos tenemos que hacer es montar los conceptos en un procedimiento coherente. Como parte del desarrollo, se expresará en forma de matriz, que permitirá una generalización y la simplificación del procedimiento.

5.1 FUERZAS REDUNDANTES Antes de comenzar una presentación detallada del método de fuerza, puede ser útil para revisar de nuevo el término "fuerza redundante." Como se señaló anteriormente, una estructura indeterminada es aquella que, en esencia, contiene más fuerzas que los requeridos para satisfacer el equilibrio. Esto implica que podemos eliminar temporalmente estas fuerzas "extra" y sigue respondiendo a las ecuaciones de equilibrio. Cualquier fuerza que se puede quitar temporalmente de esta manera se conoce como una fuerza redundante.

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Recuerde que en las discusiones de algunos ejemplos en el Capítulo 4, que la elección de fuerzas a considerar como redundantes no es único; cualquier fuerza interna o de reacción que se puede quitar sin causar inestabilidad estática pueden ser considerados como una fuerza redundante. Como una ilustración, considere la viga de celosía en la figura 5.1a, que es indeterminado de un grado porque NR + NB - 2NJ - 1 (NR = 4, NB = 7, NJ = 5). El hecho de que esta armadura es indeterminada de un grado significa que es posible borrar una sola fuerza y quedarse con una estructura estáticamente determinada y estable. Es esencial, sin embargo, para elegir esta fuerza apropiada, es decir, de una manera tal que su eliminación hace, de hecho, dejar la estructura estáticamente estable. Figuras 5.1b-5.1e muestran las cuatro opciones apropiadas de esta fuerza. En la figura 5.1b la componente horizontal de la reacción ha sido retirado del soporte de patilla derecha; esto se indica esquemáticamente por la sustitución del soporte de pasador por un soporte de rodillo. Entonces, NR = 3 y el armazón es cómo ambos determinado y estable. Por lo tanto, nos referimos a la componente horizontal de la fuerza de reacción como redundante. Alternativamente, la componente horizontal de la reacción en el soporte del eje izquierdo puede ser considerada como la fuerza redundante, como se indica en la figura 5.1 c. Otras opciones son igualmente válidas; las figuras 5.1d y 5.1e muestran opciones aceptables de fuerzas internas que pueden ser removidas de la armadura en la figura 5.1a. En cada uno de estos dos casos, el retiro de una barra particular fuerza, denotado por una línea punteada, deja una estructura estáticamente determinada y estable; por lo tanto, tampoco de la barra indica las fuerzas también pueden ser consideradas como la fuerza redundante para esta armadura.

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Figura 5.1 (a) armadura que es de un grado indeterminado; (b) - (e) opciones aceptables de fuerza redundante; (f) - (i) opciones indebido de la fuerza redundante. No hay ninguna fuerza, aparte de los indicados anteriormente, que puede ser considerado como una fuerza redundante, porque la eliminación de cualquier otro componente de reacción o fuerza interna hace que la viga de celosía en la Figura 5.1a estáticamente inestable. Por ejemplo, la eliminación de un componente vertical de la reacción, como en la Figura 5.1f, o uno cualquiera de los esfuerzos en las barras internos mostrados en las Figuras 5,1g-5.1j, es incorrecta por la razón indicada, a saber, que las configuraciones de armadura mostrada son incapaces de equilibrio satisfactorio para cargas arbitrarias y son por lo tanto clasificado como estáticamente inestable. En general, para una estructura indeterminada el número total de fuerzas redundantes será igual a la de grado de indeterminación. Como veremos en breve, en el método de la fuerza del análisis comenzamos por la identificación de un conjunto de n fuerzas redundantes donde n es el grado de indeterminación de la estructura. En otras palabras, la eliminación de los n fuerzas en este conjunto dejaría la estructura estáticamente determinada y estable. Para identificar estas fuerzas procedemos como antes, excepto que se seleccionan las fuerzas de una manera secuencial. Para demostrarlo, considere la armadura en la figura 5.2a, que es de dos grados indeterminada (NR = 4, NB = 8, NJ = 5; no hay conexión en el punto donde las dos barras diagonales se cruzan). Las figuras 5.2b-5.2h algunas de las combinaciones aceptables de dos fuerzas redundantes y figuras 5.2i y 5.2j muestran sólo dos de las numerosas combinaciones posibles incorrectas. Tenga en cuenta que, si bien ya sea componente horizontal de la reacción puede ser seleccionada como una redundante, es inadecuada para seleccionar tanto debido a que el resultado sería de nuevo

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Figura 5.2 (a) Armadura que es de dos grados indeterminado; (b) - (h) opciones aceptables de fuerzas redundantes; (i) - (j) opciones incorrectas de las fuerzas redundantes. ser una estructura estáticamente inestable. Del mismo modo, ninguno de los esfuerzos en las barras diagonales se pueden seleccionar, pero la elección simultánea de los dos es incorrecta porque el resultado sería una armadura inestable como el de la Figura 5.1i. La situación algo menos obvio representado en la Figura 5.2j sufre del mismo tipo de deficiencia como la viga de celosía en la Figura 5.1i e ilustra el hecho de que la evitación de opciones incorrectas de las fuerzas redundantes no es siempre un asunto claro. Las fuerzas redundantes independientes en una estructura indeterminada no son en realidad igual a cero; más bien, sus magnitudes son tratados como "desconocidos" cantidades matemáticas en el análisis estático (equilibrio) de las fuerzas restantes. Esta es esencialmente la segunda etapa de un proceso de cinco pasos que caracteriza el método de la fuerza de análisis para ambos armazones y marcos. Una descripción completa del proceso se puede resumir de la siguiente manera: Paso 1. Identificar un conjunto de n fuerzas desconocidas redundantes; Paso 2. Resolver ecuaciones de equilibrio; Paso 3. Escribir las relaciones de fuerza de deformación de elemento; Paso 4. Encontrar las ecuaciones de compatibilidad; y Paso 5. Resolver ecuaciones de compatibilidad para las fuerzas redundantes. Paso 1 se ha descrito anteriormente en algún detalle. Paso 2 consiste en encontrar las fuerzas internas de todo y reacciones en términos de fuerzas redundantes y conocidas cargas aplicadas usando sólo las ecuaciones de la estática. Esto conduce a las expresiones de todas las fuerzas internas y las reacciones en términos de fuerzas conocidas y desconocidas fuerzas redundantes. Paso 3, a su vez, conduce a un conjunto de deformaciones del elemento, que también se expresan en términos de las fuerzas de conocidos y desconocidas. Las ecuaciones de compatibilidad, paso 4, son las relaciones que las deformaciones de elemento deben cumplir para asegurar que los componentes de la estructura encajan correctamente y estén correctamente conectados a las ayudas. Como veremos, este concepto dará exactamente la información adicional necesaria para determinar el desconocido redundante fuerzas en paso 5. A continuación, de nuevo sustituimos los resultados en el paso 2 para encontrar fuerzas de componente y en el paso 3 para obtener las deformaciones del elemento. Detalles de este procedimiento se aclarará como consideramos las aplicaciones típicas de armaduras y marcos.

5.2 CERCHAS El punto de partida para el análisis de cerchas estáticamente indeterminados es la identificación de un conjunto de n fuerzas redundantes, algunos de los cuales pueden ser componentes de reacciones y algunos de los cuales pueden ser internas esfuerzos en las barras. Como se observó en los ejemplos 5 y 6 en el capítulo 4, fuerzas redundantes pueden asignar valores arbitrarios; pueden resolver las ecuaciones de equilibrio para obtener todas las cantidades de otra fuerza en términos de estos valores arbitrarios. Porque las ecuaciones

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de equilibrio son lineales, todas las cantidades de fuerza lineal serán combinaciones de las fuerzas redundantes y las cargas especificadas. Esta linealidad permite el uso de superposición en el análisis.

Considere la Figura 5.3, que ilustra la superposición de las fuerzas para el análisis estático de la cercha en la figura 5.2a. (. La fuerza F se muestra en la Figura 5.3 se pretende que sea representativa de cualquier carga arbitraria) Figura 5.3a, por ejemplo, muestra la superposición de las fuerzas sobre la base de la elección de los redundante en la figura 5.2b; aquí, la cantidad 𝑿𝟏 indica la magnitud desconocida de la componente horizontal de la reacción en el apoyo derecho y 𝑿𝟐 indica la magnitud desconocida de la fuerza interna en la barra diagonal. En esencia, podemos considerar las fuerzas en la armadura de la figura 5.2a como la suma de (1) las fuerzas

debido a las cargas aplicadas cuando los valores de la redundante se establece en cero, (2) fuerzas debido a la 𝑿𝟏 redundante actuando solo y (3) las fuerzas debido a la redundante 𝑿𝟐 actuando solo. Nota, otra vez, que las fuerzas en cada uno de estos tres casos son estáticamente determinadas y que las fuerzas reales son la suma de los tres efectos diferentes.

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La porción de equilibrio del análisis de esta cercha puede llevarse a cabo usando súper posición de fuerzas basada en ninguna otra opción conveniente de redundante, como se muestra en las figuras 5.2 c-5.2 h. Por ejemplo, figura 5.3b ilustra la naturaleza de la superposición de la elección de redundante en la figura 5.2 h.

Un punto adicional es la pena discutir antes de proceder a ilustrar los detalles del procedimiento computacional actual. Ese punto preocupaciones las maneras en que se representan fuerzas redundantes "temporalmente borrado". La representación de redundante que son componentes de las reacciones es una propuesta bastante sencilla. Como hemos visto, la eliminación de la capacidad de un soporte para transmitir un componente de la fuerza puede ser representada esquemáticamente por una canceladura físicamente significativa de la ayuda, es decir, el cambio de una ayuda de pin a un soporte de rodillo. Análogos "versiones" son posibles para las barras. Por ejemplo, es posible representar la supresión de la capacidad de una barra de cercha para transmitir una fuerza axial mediante la introducción de la liberación de tipo rodillo se muestra en la figura 5.4a. (Esto también se refiere con frecuencia como "corte" de la barra.) Este tipo de dispositivo es una ayuda esquemática útil para la posterior interpretación de la significación de las ecuaciones de compatibilidad, pero no es conveniente para mostrarlo en bocetos de cerchas. Por lo tanto, vamos a seguir utilizando líneas de puntos, o "cortes" del tipo que se muestra en la Figura 5.4b como representaciones simplificadas de esta conducta hipotética. Tenga en cuenta que cuando se aplica la fuerza redundante X2 interno a la barra de "corte", la fuerza provocará desplazamientos relativos de los extremos "cortados" de la barra, por ejemplo, la figura 5.4c. A menos que el valor de la redundante se elige correctamente, desplazamientos relativos se causan una carencia o como una superposición para desarrollar, ninguno de los cuales es posible en la barra de física. Este concepto, que los "recortes" no están realmente abriendo o cerrando, dará lugar a la elaboración de ecuaciones de compatibilidad, una para cada fuerza redundante.

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Figura 5.4 (a), (b) "corten" barra; (c) fuerza redundante interna

5.2.1. Formulación básica Para facilitar una discusión de las ecuaciones de compatibilidad, comenzaremos las aplicaciones detalladas del método de la fuerza del análisis de cercha con una armadura indeterminada de un grado relativamente sencilla geometría, figura 5.5a. Asumir la armadura tiene cargas aplicadas de forma simétrica en los nodos C y D, y que se aplica un cambio de temperatura uniforme 𝚫𝑻 en barra CD. Además, para simplificar, vamos a todas las barras tienen la misma área de la sección transversal A y módulo de elasticidad E. Vamos a ir a través del procedimiento de cinco pasos definidos en la Sección. 5.2. Paso 1. Elegiremos la fuerza redundante, ya que la componente horizontal de la reacción en B y denotar esta fuerza por X. Paso 2. Como resultado de la elección hecha en el Paso 1, el análisis estático debe llevarse a cabo utilizando la superposición de las fuerzas indicadas en la figura 5.5b. Figura 5.5c muestra los resultados del análisis de equilibrio de la cercha en la figura 5.5b (1), y la figura 5.5d muestra los resultados del análisis de equilibrio de la cercha en la figura 5.5b (2). Debe hacerse hincapié en que las fuerzas que se muestran en estas figuras se obtienen a partir de un análisis de equilibrio utilizando sólo las ecuaciones de la estática. Tenga en cuenta que todos los esfuerzos en las barras de la Figura 5.5b (1) a excepción de 𝑷𝑪𝑫 son cero en este caso particular. Tenga en cuenta el hecho importante de que el cambio de temperatura no causa fuerzas en cualquiera de las barras. Por lo tanto, los esfuerzos en las barras de la armadura en la figura 5.5a se dan por 𝑷𝑨𝑪 = −𝑿 𝑷𝑨𝑫 = √𝟐𝑿

5.1

𝑷𝑩𝑪 = √𝟐𝑿

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Figura 5.5 Análisis estática de cercha redundante de un grado. 𝑷𝑩𝑫 = −𝑿 𝑷𝑪𝑫 = −𝑿 + 𝑭 Paso 3. Para las barras de cercha elástico lineal, deformaciones (cambios de longitud) están relacionadas con las fuerzas y los cambios de temperatura por ecuación 2.38 d. Para la barra CD hay una carga térmica a la cual producirá una 𝜶𝚫𝑻𝒍 neta elongación. Por lo tanto, las deformaciones de barras se dan por 𝑿𝒍 𝑨𝑬 (√𝟐𝑿)(√𝟐𝒍) 𝚫𝑨𝑫 = 𝑨𝑬 (√𝟐𝑿)(√𝟐𝒍) 𝚫𝑩𝑪 = 𝑨𝑬 𝑿𝒍 𝚫𝑩𝑫 = − 𝑨𝑬 (−𝑿 + 𝑭)𝒍 𝚫𝑪𝑫 = + 𝜶𝚫𝑻𝒍 𝑨𝑬 𝚫𝑨𝑪 = −

5.2

Paso 4. Debido a que esta armadura es de un grado indeterminado vamos a necesitar una ecuación compatibilidad además de las ecuaciones de equilibrio a fin de encontrar la incógnita x y completar el análisis. Obtendremos esta ecuación compatibilidad por una aplicación del teorema de las fuerzas virtuales. Por razones que se explicarán en breve, vamos a generar esta ecuación por la elección de un estado de fuerza virtual que es idéntico al estado de fuerza asociada con la fuerza redundante X. Tal estado de fuerza virtual se muestra en la figura 5.5e. Este estado fuerza virtual contiene información que es idéntica a la información en la figura 5.5d por lo tanto, no se requieren nuevos cálculos. Las deformaciones de elementos reales y desplazamientos conjuntos son los que resultan de las cargas en la figura 5.5a. Por lo tanto, se escribe la ecuación del trabajo virtual, la ecuación 4.8, el uso de

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las deformaciones de barras reales y desplazamientos conjuntos y las fuerzas virtuales en la figura 5.5e. El trabajo virtual externo implica los productos de las fuerzas virtuales externas (incluyendo reacciones) en los nodos de la armadura en la figura 5.5e y los desplazamientos reales en los nodos de la figura 5.5a. No hay fuerzas virtuales en los nodos C y D en la Figura 5.5e y no hay desplazamientos en los nodos A y B en la Figura 5.5a; en consecuencia, el trabajo virtual externo es cero. El trabajo virtual interno se refiere a productos de esfuerzos en las barras virtuales en la figura 5.5e y deformaciones de barras reales en la figura 5.5a. La equiparación de trabajo virtual externo e interno conduce a 𝟎 = (−𝑿𝑽 )𝚫𝑨𝑪 + (√𝟐𝑿𝑽 )𝚫𝑨𝑫 + (√𝟐𝑿𝑽 )𝚫𝑩𝑪 + (−𝑿𝑽 )𝚫𝑩𝑫 + (−𝑿𝑽 )𝚫𝑪𝑫 5.3

= −𝚫𝑨𝑪 + √𝟐𝚫𝑨𝑫 + √𝟐𝚫𝑩𝑪 − 𝚫𝑩𝑫 − 𝚫𝑪𝑫

La ecuación 5.3 es la ecuación de compatibilidad para esta cercha. Es la relación que las deformaciones de barras reales deben satisfacer para que las barras corrugadas para permanecer conectados correctamente a todos los nodos. Vamos a examinar el significado geométrico de esta ecuación con más detalle después de completar el proceso de solución de cinco pasos. Paso 5. Sustituyendo las expresiones para la barra deformaciones dadas por ecuaciones 5.2 en 5.3 ecuación conduce a 𝟎=

𝒍 𝟐√𝟐𝒍 𝟐√𝟐𝒍 𝒍 (−𝑿 + 𝑭)𝒍 𝑿+ 𝑿+ 𝑿+ 𝑿−[ + 𝜶𝚫𝑻𝒍] 𝑨𝑬 𝑨𝑬 𝑨𝑬 𝑨𝑬 𝑨𝑬

5.4

de la cual obtenemos 𝑿=

𝑭 𝟑 + 𝟒√𝟐

+

𝑨𝑬𝜶𝚫𝑻

5.5

𝟑 + 𝟒√𝟐

Sustituyendo este valor de X en la ecuación 5.1 proporciona la barra de las fuerzas 𝑷𝑨𝑪 = −

𝑭

−

𝑨𝑬𝜶𝚫𝑻

𝟑 + 𝟒√𝟐 𝟑 + 𝟒√𝟐 √𝟐𝑭 √𝟐𝑨𝑬𝜶𝚫𝑻 𝑷𝑨𝑫 = + 𝟑 + 𝟒√𝟐 𝟑 + 𝟒√𝟐 √𝟐𝑭 √𝟐𝑨𝑬𝜶𝚫𝑻 𝑷𝑩𝑪 = + 𝟑 + 𝟒√𝟐 𝟑 + 𝟒√𝟐 𝑭 𝑨𝑬𝜶𝚫𝑻 𝑷𝑩𝑫 = − − 𝟑 + 𝟒√𝟐 𝟑 + 𝟒√𝟐 𝟐 + 𝟒√𝟐 𝑨𝑬𝜶𝚫𝑻 𝑷𝑪𝑫 = ( )𝑭 − 𝟑 + 𝟒√𝟐 𝟑 + 𝟒√𝟐

5.6

que completa el análisis. El procedimiento seguido anteriormente era bastante directo, excepto, tal vez, para el paso 4, donde se utilizó el teorema de trabajo virtual para imponer la compatibilidad. Nos encontraremos con que este método es el mismo para todos los análisis posteriores de cercha utilizando el método de la fuerza. Otras aplicaciones

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difieren principalmente en el número de fuerzas redundantes y el número de ecuaciones simultáneas, por tanto, que deben ser resueltos, pero no hay conceptos nuevos serán utilizados más allá de las ya presentadas. Antes de proceder a cualquier otra aplicación, es útil examinar el significado físico de la ecuación de la compatibilidad, la ecuación 5.3. Recordemos que, en primer lugar elegimos arbitrariamente la fuerza redundante en esta armadura como la componente horizontal de la reacción en B. Esto llevó al análisis estático de la armadura mostrada en las Figuras 5.5b (1) y 5.5b (2), cada uno de los cuales se analiza como si no hubiera un soporte de rodillo en B. Esto, a su vez, implica que las cargas en estos armazones pueden causar un desplazamiento horizontal en B. La armadura real (Figura 5.5a) tiene un soporte de pasador en B que no puede desplazar horizontalmente; como veremos más adelante, la ecuación de compatibilidad es un enunciado matemático de este criterio. Las figuras restantes son análogos; La figura 5.6b muestra el efecto de un 𝚫𝑨𝑫 deformación, la figura 5.6c muestra el efecto de una deformación de 𝚫𝑩𝑪 , la figura 5.6d muestra el efecto de una deformación 𝚫𝑩𝑫, y la Figura 5.6e muestra el efecto de una deformación de 𝚫𝑪𝑫. La ecuación de compatibilidad, la ecuación 5.3, establece matemáticamente que los componentes de desplazamiento del B que se desarrollan debido a todas las diferentes deformaciones de elementos en la Figura 5.6 debe ser igual a cero. En otras palabras, la ecuación de compatibilidad es una relación entre las deformaciones de la barra que se deben cumplir para asegurar que los desplazamientos cercha son consistentes con las condiciones reales de soporte físico. Interpretaciones alternativas de la significación física de la ecuación de compatibilidad también son posibles. Por ejemplo, considere la ecuación 5.4, que es la forma de la ecuación de compatibilidad después de las expresiones para deformaciones de barras (Ecuaciones 5.2) han sido sustituidos. Los términos de la ecuación 5.4 pueden ser reorganizados para dar 𝑭𝒍 (𝟑 + 𝟒√𝟐)𝒍 [ ] + (− − 𝜶𝚫𝑻𝒍) = 𝟎 𝑨𝑬 𝑨𝑬

5.7

El primer término en la ecuación anterior es equivalente al desplazamiento horizontal en B en la Figura 5.5b (2) y el segundo término es equivalente al desplazamiento horizontal en B en la Figura 5.5b (1). Cada uno de estos términos se puede obtener mediante el uso de trabajo virtual basado en las fuerzas virtuales en la figura 5.5e y los desplazamientos reales de las figuras 5.5b (2) y 5.5b (1), respectivamente. Por lo tanto, la ecuación 5.7 indica que la suma de los desplazamientos horizontales en B en las figuras 5.5b (2) y 5.5b (1) debe sumar a cero debido al

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Figura 5.6 Cercha de compatibilidad apoyo inamovible en B. El primer término entre corchetes anteriores se conoce como un coeficiente de flexibilidad, es decir, se trata de un desplazamiento en un punto determinado en la estructura (en este caso un desplazamiento horizontal en B) debido a un valor unitario de X. Independientemente de cuál de las interpretaciones anteriores se adjunta a la ecuación de compatibilidad, el hecho importante es que la ecuación fue generado directamente por el procedimiento seguido en el paso 4 anterior. Este procedimiento, en efecto, "prestada" una porción de la información de equilibrio que ya se habían obtenido en la Etapa 2; esta relación entre los pasos 2 y 4 es

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bastante notable. De alguna manera, el estudio de equilibrio proporciona toda la información necesaria para establecer la ecuación de compatibilidad. Este resultado tendrá un papel muy importante en la formulación de la matriz, que se desarrollará en la Sección 5.2.2. Como segundo ejemplo del procedimiento para el método de fuerza de base, lo que también permitirá una interpretación adicional de la ecuación de compatibilidad anterior, vamos a volver a analizar la cercha en la figura 5.5a con una opción alternativa de la fuerza redundante. Paso 1. Esta vez vamos a elegir la fuerza redundante, ya que la fuerza interna en la barra de AD. Una vez más, se denota la magnitud de esta fuerza redundante por X. Paso 2. El análisis estático se realiza ahora usando la superposición de las fuerzas indicado en la Figura 5.7b. Figura 5.7 b (1) muestra la cercha con la barra diagonal AD "corte", y la Figura 5.7b (2) muestra la cercha con la fuerza interna X aplicada a la barra (como en la figura 5.4c). Los resultados de los análisis de equilibrio se muestran en las Figuras 5.7c y 5.7d, respectivamente; tenga en cuenta que en ambas figuras el equilibrio analiza comenzar en las articulaciones D porque no se especifica la fuerza interna en la barra de AD (0 o X). Las fuerzas de barras se encuentran ahora a ser 𝑷𝑨𝑪 = −

𝑿

√𝟐 𝑷𝑨𝑫 = 𝑿 𝑷𝑩𝑪 = 𝑿 𝑿 𝑷𝑩𝑫 = − √𝟐 𝑿 𝑷𝑪𝑫 = − +𝑭 √𝟐

5.8

Estas ecuaciones verán muy diferente de las ecuaciones 5.1 porque "X" tiene un significado completamente diferente que en el ejemplo anterior. Paso 3. Deformaciones de barras son 𝚫𝑨𝑪 = −

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𝒍 √𝟐𝑨𝑬

𝑿

5.9

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