Timoshenko Beam

‫تیر تیموشنکو‬ ‫مدل تیر تیموشنکو با در نظر گرفتن تغییر شکل برشی و پیچشی‪ ،‬این توانایی را‬ ‫‪2‬‬ ‫دارد که رفتار تیر های کوتاه ‪ 1‬و تیر هایی که در معرض ارتعاش با فرکانس بال‬ ‫قرار گرفته اند را بررسی کند‪.‬‬ ‫معادله حاصل‪ ،‬یک معادله مرتبه ‪ 4‬می باشد که با معادله تیر معمولی (برنولی)‬ ‫دارای تفاوت هایی می باشد‪ .‬اگر مدول برشی تیر به بی نهایت میل کرده و در‬ ‫نتیجه آن تیر به یک تیر صلب تبدیل شود و از ممان های چرخشی صرف نظر‬ ‫شود معادله تیر تیموشنکو به معادله برنولی همگرا می شود‪.‬‬ ‫این مدل که برای تیر های مرتعش کاربرد دارد به واسطه دو معادله دیفرانسیل‬ ‫پاره ای خطی به صورت زیر تعریف می شود ‪:‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ ( AG(   ))  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪I 2  ( EI‬‬ ‫) ‪)  AG (  ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫(جابجایی زاویه ای) پارامترهای مسئله و‬

‫که در آن ‪( u‬جابجایی عرضی) و‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫بار گسترده تیر می باشد‪.‬‬

‫لرزش عرضی تیر علوه بر نیروی خارجی و گشتاور پیچشی‪ ،‬به هندسه تیر و‬ ‫جنس آن بستگی دارد‪ .‬ویژگی های هندسی از جمله طول‪ ،‬ممان اینرسی حول‬ ‫محور چرخش و سطح مقطع موثر (‪ )κΑ‬که در آن ‪ κ‬ضریب برشی تیموشنکو‬ ‫می باشد‪.‬جنس تیر هم شامل چگالی (‪ ،)ρ‬مدول یانگ (‪ )E‬و مدول صلبت (‪)G‬‬ ‫می باشد‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Short Beams-1‬‬ ‫‪Beams subjected to high frequency excitation-2‬‬

‫معادله تیر تیموشنکو ‪:‬‬

‫شکل شماره ‪ 1‬آنالیز دیفرانسیلی تیر تیموشنکو‬

‫‪ u‬جابجایی عرضی تار اصلی به فاصله ‪ x‬از سمت چپ تیر و در زمان ‪ t‬می‬ ‫باشد‪ .‬با توجه به نیروی برشی المان مستطیلی به صورت متوازی الضلع با‬ ‫اضلع جانبی منحنی گون در می آید‪.‬‬ ‫همان طور که در شکل پیداست زاویه برش برابر است با شیب حاصل از‬ ‫) منهای شیب خط مرکزی(‪: )u‬‬

‫خمش (‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪  ‬‬

‫با توجه به روابط داریم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

3

Q  AG  AG ( 

u ) x

M   EI

 x

: ‫از روابط تعادل داریم‬ )1( M  EI

 0 x

)2( Q  AG ( 

u )0 x

)3( M  2  Q  I 2  0 x t

)4( Q  2u  A 2  0 x t

‫ مربوط به حرکت‬4 ‫و‬2 ‫ مربوط به حرکت چرخشی و معادلت‬3 ‫و‬1 ‫که معادلت‬ .‫عرضی می باشند‬ : ‫ از روابط فوق داریم‬Q ‫ و‬M ‫با حذف‬ )5(

A

 2u  u  ( AG (  ))  0 2 t x x

)6(



 2   u  ( EI )  AG (  )  0 2 t x x x

4

‫که معادله ‪ 5‬بیانگر تعادل نیروهای انتقالی در واحد طول در برابر گرادیان نیروی‬ ‫برشی داخلی و معادله ‪ 6‬بیانگر تعادل گشتاور پیچشی در واحد طول در برابر‬ ‫گرادیان ممان خمشی داخلی می باشد‪.‬‬ ‫این دو معادله‪ ،‬معادلت تیر تیموشنکو می باشند‪.‬‬ ‫) از دو معادله فوق داریم ‪:‬‬

‫برای یک تیر یکنواخت با حذف (‬ ‫‪‬‬

‫(‪)7‬‬

‫‪EI  4u I E‬‬ ‫‪ 4u‬‬ ‫‪I  4u  2u‬‬ ‫( ‪‬‬ ‫‪ 1) 2 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A x 4 A G‬‬ ‫‪x t‬‬ ‫‪AG t 4 t 2‬‬

‫که دارای چهار ترم با واحد نیرو به جرم یا شتاب می باشد‪ .‬این ترم ها به ترتیب‬ ‫ممان خمشی‪ ،‬نیروی برشی‪ ،‬حرکت چرخشی و حرکت انتقالی می باشند‪.‬‬ ‫اگر برش و چرخش کوچک و قابل صرف نظر کردن باشند معادله فوق به‬ ‫معادله برنولی تبدیل می شود ‪:‬‬ ‫‪EI  4u  2u‬‬ ‫‪ 2u‬‬ ‫‪ 4u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪EI‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A x 4 t 2‬‬ ‫‪t 2‬‬ ‫‪x 4‬‬

‫اگر از معادلت ‪1‬و ‪ 2‬نسبت به زمان مشتق بگیریم داریم ‪:‬‬ ‫(‪)8‬‬

‫)‬

‫( (سرعت زاویه ای)‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Mt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x EI‬‬

‫‪5‬‬

‫(‪)9‬‬

‫)‬

‫( (سرعت خطی)‬ ‫‪u‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪‬‬ ‫‪  0‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪Q‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪AG‬‬

‫‪‬‬

‫اگر یک ترکیب خطی از معادلت ‪3‬و ‪ 8‬تشکیل بدهیم‪ ،‬داریم ‪:‬‬ ‫(‪)10‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ EI‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪ I‬‬ ‫‪Q  0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪t‬‬

‫که‬

‫‪‬‬

‫(‪‬‬

‫را طوری می توان تعیین کرد که مشتق های پاره ای فوق مشتق های‬

‫کامل‬

‫و‬ ‫‪dM‬‬ ‫‪dx‬‬

‫را در جهت خط مشخصه ای بدهد ‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dx‬‬

‫(‪)11‬‬ ‫‪dM M M dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪t dx‬‬ ‫‪dx‬‬

‫(‪)12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪6‬‬

‫‪d    dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪t dx‬‬

،)

( 2 

2 

)13(

E 

 dt  1     E dx E 2

: ‫ داریم‬10 ‫در معادله‬



‫با جایگذاری‬

)14(



1 dM  Id   Qdt  0 2

: ‫ داریم‬9 ‫و‬4 ‫به همین ترتیب و از معادلت‬ ،)

( 1 



)15(

G 

1 AG dQ  Ad   dt  0 1 1

7

‫شکل شماره ‪ 2‬مشخصه های معادلت تیر تیموشنکو در نقطه ‪P‬‬

‫‪ :‬در‬

‫( ‪)a16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dM  Id   Qdt  0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫راستاهای‬ ‫‪‬‬

‫( ‪)b16‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ,‬‬

‫‪ :‬در‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AG‬‬ ‫‪dQ  Ad ‬‬ ‫‪ dt  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫راستاهای‬ ‫‪‬‬

‫‪8‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ,‬‬

‫در رو طرف ‪ P‬و خیلی نزدیک به آن (همانند شکل)‬

‫اگر دو نقطه ‪ a‬و ‪ b‬روی‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫انتخاب شوند‪ ،‬اگر یک بار لحظه ای و متعاقب آن یک ناپیوستگی در ‪ M‬به وجود‬ ‫به هر صورت که به ‪ P‬نزدیک شویم‪ ،‬داریم ‪:‬‬

‫آید‪ ،‬روی خط‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪M  M a  M b‬‬

‫‪9‬‬

‫چون دو نقطه ‪ a‬و ‪ b‬به هم نزدیک می شوند‪ ،‬در نتیجه ‪ dT‬به صفر میل کرده و از‬ ‫( ‪ )a16‬داریم ‪:‬‬ ‫(‪)17‬‬ ‫‪M  2I ‬‬

‫به همین صورت می باشد‪.‬‬

‫که در راستای‬ ‫‪‬‬

‫اگر همین روند را برای ‪ Q‬روی خط‬

‫‪‬‬

‫اعمال کنیم به نتایج مشابهی می‬ ‫‪‬‬

‫رسیم‪ ،‬در نهایت داریم ‪:‬‬ ‫‪ :‬در‬

‫( ‪)a18‬‬ ‫‪M  2I ‬‬

‫راستاهای‬ ‫‪‬‬

‫( ‪)b18‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ,‬‬

‫‪ :‬در‬ ‫‪Q  1Aν‬‬

‫راستاهای‬ ‫‪‬‬

‫بنابراین یک جهش در ‪ M‬همواره با یک جهش در‬

‫‪‬‬

‫‪ ,‬‬

‫همراه می باشد‪ ،‬همچنین‬ ‫‪‬‬

‫است برای ‪ Q‬و‬ ‫از آنجایی که ‪ Q‬در راستای‬

‫‪.‬‬

‫‪ν‬‬

‫پیوسته می باشد‪ ،‬با دیفرانسیل از ( ‪ )a18‬داریم‬ ‫‪‬‬

‫‪:‬‬ ‫‪d (M )  2Id ( )  0‬‬ ‫‪10‬‬

‫و با ادغام در ‪: 17‬‬ ‫در نتیجه برای یک جهش از نقطه ای مانند ‪ 1‬به ‪ 2‬داریم‬ ‫‪M‬‬ ‫( ‪d (M )  2Id‬‬ ‫‪)0‬‬ ‫‪2I‬‬ ‫‪:‬‬

‫( ‪)a19‬‬ ‫‪ 2I ) 2‬‬ ‫‪2I )1‬‬

‫‪(M ) 2  (M )1‬‬

‫( ‪)b19‬‬ ‫‪2)1‬‬ ‫‪2) 2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪( ) 2  ( )1‬‬

‫داریم ‪:‬‬

‫و برای شاخصه‬ ‫‪‬‬

‫( ‪)a20‬‬ ‫‪1) 2‬‬ ‫‪1)1‬‬

‫‪(Q) 2  (Q)1‬‬

‫( ‪)b20‬‬ ‫‪1I )1‬‬ ‫‪1I ) 2‬‬

‫‪(ν) 2  (ν)1‬‬

‫آنچه که ذکر شد مختصری بود درباره چگونگی بدست آوردن معادلت حاکم بر‬ ‫تیر تیموشنکو‪ ،‬به دست آوردن ممان یک نقطه خاص و روابط ممان و برش بین‬ ‫دو نقطه‪ .‬در ادامه به یک کاربرد این تیر که مدل سازی سازه های بلند برای‬ ‫ارتعاش آزاد می باشد می پردازیم‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫ارتعاش آزاد سازه های بلند با استفاده از تیر‬ ‫تیموشنکو ‪:‬‬ ‫مدل سازی ساختمان به علت درجات آزادی زیاد‪ ،‬وقت گیر و پر هزینه می‬ ‫باشد‪ .‬برای تعیین ابعاد و نیروهای اولیه طراحی‪ ،‬بهتر است روشهای تقریبی‬ ‫مناسبی ارائه گردد‪.‬‬ ‫یک ساختمان بلند را می توان به یک تیر با مقطع متغیر مدل سازی کرد‪ .‬معادله‬ ‫اصلی ارتعاش از حل همزمان دو معادله دیفرانسیل که از تعادل دینامیکی‬ ‫چرخشی و انتقالی یک جز تیر با سطح مقطع متغیر حاصل شده به دست می‬ ‫آید و در نتیجه فرکانسهای ارتعاشی و مد شکل سازه های بلند با استفاده از حل‬ ‫ارائه شده برای تیر تیموشنکو با مقطع متغیر قابل محاسبه است‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫شکل شماره ‪ 3‬نیروهای وارد بر یک المان تیر‬

‫‪14‬‬

: ‫برای نیروی برشی و ممان داریم‬ )21( V ( x )  GA( x )  GA( x )(

u  ) x

)22( M ( x)  EI ( x )

 x

: ‫با نوشتن تعادل برای ممان ها داریم‬ )23( V ( x) dx 

M ( x) u   dx  0  GA( x)(   )  ( EI ( x) )  0 x x x x

: y ‫معادله دینامیکی در راستای‬ )24( V ( x)  2u  u  2u  dx  m( x) 2  0  (GA( x )(   ))  m( x) 2  0 x t x x t

: ‫ داریم‬24 ‫و‬23 ‫) در‬

( ‫با به کارگیری اپراتورها‬ D

d d ,D'  dx dt

)25(

GA( x)  GA( x) D[u ]  D[ EI ( x)]D[ ]  EI ( x) D 2 [ ]  0

)26(

D[GA( x )]D[u ]  GA( x ) D 2 [u ]  GA( x ) D[ ]  D[GA( x)]  m( x) D '2 [u ]  0 15

: ‫پس از ساده سازی‬ )27(

 GA( x)  D[ EI ( x)]D  EI ( x) D     GA( x) D u  0 2

)28(

 GA( x) D  D[GA( x)]    D[GA( x)]D  GA( x) D 2  m( x) D '2  u  0 : ‫ داریم‬28 ‫و‬27 ‫) از روابط‬

( ‫با حذف‬ 

( D[ EI ( x)]D  EI ( x) D 2  GA( x))( D[ A( x)]D  A( x) D 2 

 EI ( x) A( x)

(2

(

m( x ) 2 D ' )  (GA( x) D )( D[ A( x)]  A( x) D ) G

 4u dEI ( x) dA( x)  3u  ( A ( x )  EI ( x ) )  x 4 dx dx x3

dEI ( x) dA( x)  2 A( x)  2u dEI ( x) d 2 A( x) d 3 A( x) dA( x) u  EI ( x) )  (  EI ( x )  GA( x) ) 2 2 2 3 dx dx x x dx dx dx dx x

m( x) EI ( x)  4u m( x) dEI ( x)  3u 1 dEI ( x) dm( x) EI ( x) d 2 m( x)  2u ) 2 2 ( )  ( m ( x ) A ( x )   ) 2 G x t G dx xt 2 G dx dx G dx 2 t

)29(

 (GA( x )

d 2 A( x ) )u  0 dx 2

16

‫را در معادله جایگزین کرده و‬

‫برای حل معادله فوق رابطه‬ u ( x, t )  u ( x ) e

iω

: ‫داریم‬

[ EI ( x ) A( x )]

d 4u d 3u  [ EI '( x ) A ( x )  GA '( x )]  [2 EI '( x ) A '( x)  EI ''( x ) A ''( xω ) dx 4 dx 3

[ EI '( x) A ''( x)  EI ( x) A '''( x )  GA( x ) A '( xω )

2

2

m( x) EI ( x) d 2u ] 2 G dx

m( x) EI '( x) du ] G dx

)30( [GA( x ) A ''( xω )  m2 (x (A )x ( ) 

EI '( x)m '( x) EI ( x) m ''( x)  u )]  0 G G

.‫فرکانس ارتعاش طبیعی می باشند‬

ω

‫تابع مد شکل و‬

‫که در آن‬ u ( x)

: ‫ برای حالت خاص با مقطع ثابت داریم‬30 ‫با توجه به معادله‬ )31( d 4u EIω 4  dx

2

mEI d 2u ω mu GA dx 2

2

17

‫به دست آوردن جواب های دقیق معادله (‪ )30‬کاری بسیار دشوار است‪ .‬اما می‬ ‫توان با فرض توابع توزیع مناسب برای جرم‪،‬سختی خمشی و سختی برشی این‬ ‫معادله را حل کرد‪.‬توابعی که می توان برای تخمین تغییرات جرم و سختی در‬ ‫نظر گرفت توابع چند جمله ای‪ ،‬نمایی‪ ،‬سریهای مثلثاتی و یا ترکیبی از این توابع‬ ‫می باشد‪ .‬مثل ً در صورتی که تابع توزیع به صورت تابع نمایی باشد داریم ‪:‬‬ ‫(‪)32‬‬ ‫‪EI ( x )  EI 0 e bx‬‬

‫(‪)33‬‬ ‫‪GA( x)  GA0 e bx‬‬

‫(‪)34‬‬ ‫‪m( x)  m0 e bx‬‬

‫‪،‬‬

‫که مقدار ‪ b‬با توجه به مقادیر‬ ‫) ‪EI ( x‬‬

‫و‬ ‫)‪GA( x‬‬

‫از نقاط کنترلی قابل‬ ‫) ‪m( x‬‬

‫محاسبه است‪.‬‬ ‫معادله دیفرانسیل مرتبه چهارم با ضرایب ثابت زیر را می توان با جاگذاری ‪34،‬‬ ‫‪ 33،32‬در ‪ 30‬به دست آورد ‪:‬‬ ‫(‪)35‬‬ ‫‪d 4u‬‬ ‫‪d 3u‬‬ ‫‪d 2u‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ a2‬‬ ‫‪ a3u  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬

‫که در آن ‪:‬‬

‫‪ω2 m0‬‬ ‫‪G A0‬‬

‫‪a1  3b 2 ‬‬

‫‪18‬‬

)36(

a2  b3  b

2 m0 GωA0 b E I0 G A0

a3  b 2

: ‫و معادله مشخصه آن به صورت زیر خواهد بود‬ )37( r 4  2br 3  a1r 2  a2 r  a3  0

:

‫و مقدار‬ u ( x)

)38( u ( x)  c1e r1x  c2 e r2 x  c3e r3 x  c4 er4 x

19

GA0 ω2 G m0 m  (  2b 2 0 ) EI 0 G E I 0 A0

‫مثال )سازه ای ‪ 27‬طبقه متشکل از دیوار برشی با سطح مقطع متغیر در نظر‬ ‫گرفته شده است‪ .‬توابع توزیع سختی برشی و خمشی در ارتفاع سازه به‬ ‫صورت نمایی انتخاب شده اند‪)Kg 30612 = M( .‬‬

‫شکل شماره ‪ 4‬توزیع سختی برشی و خمشی‬

‫با توجه به شکل داریم ‪:‬‬ ‫‪x  0  I 0  2156.50 m 4 , A0  471.1m 2‬‬

‫‪x  l  I l  1099.57m 4 , Al  241.8m 2‬‬

‫با توجه به معادلت ‪32‬و ‪ 33‬داریم ‪:‬‬ ‫‪b  8.86 103 , EI 0  58.225  1012 N .m 2 , GA0  5.121 1012 N‬‬

‫استفاده از معادله ‪ 37‬برای تابع نمایی ‪:‬‬ ‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪) 2ω (7.6851‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ 104  6.4807  1011‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪r 4  2(8.8619  103 )rω‬‬ ‫‪ (2.2866‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ 104  7.4232  109‬‬

‫‪20‬‬

‫(‪)39‬‬ ‫‪6.7036  105  6.5175  1010 ω2  0‬‬

‫شرایط مرزی ‪:‬‬ ‫‪x  0  y  y'  0‬‬

‫‪x  l  y ''  0, ( EIy '') '   Mω2 y‬‬

‫و اعمال شرایط‬

‫که با به دست آوردن ریشه های معادله ‪ 39‬بر حسب‬ ‫‪2‬‬

‫‪ω‬‬

‫مرزی روی روابط مد شکل و صفر قرار دادن دترمینان ضرایب‪ ،‬فرکانس اصلی‬ ‫ارتعاش به دست می آید‪ .‬در نهایت فرکانس اصلی سازه فوق با توجه به روش‬ ‫ارائه شده‬

‫و از روش آزمایشگاهی‬ ‫‪ω  5.86 Rad‬‬ ‫‪s‬‬

‫محاسبه شده که تنها‬ ‫‪6.09 Rad‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪ 3.7‬درصد با هم تفاوت دارند‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫مراجع ‪:‬‬ ‫[‪S.W. Taylor, Boundary control of a rotating Timoshenko beam, 1446- ]1‬‬ ‫‪8735, 2002‬‬

‫[‪ ]2‬صفاری‪ ،‬حامد؛ ارتعاش آزاد سازه های بلند با استفاده از تیر تیموشنکو‪،‬‬ ‫‪1383 ،83-1489‬‬ ‫[‪ ]3‬ویکی پدیا ‪ :‬دانشنامه آزاد بنیاد ویکی مدیا‪ ،‬قابل دسترسی از‬ ‫‪http://www.wikipedia.org‬‬

‫‪22‬‬