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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO ESCUELA DE FISICA Y MATEMATICA INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA TAREA I NOMBRE: Guaraca Daquilema Γngel DelfΓn FECHA: Viernes 8 de marzo de 2019 TEMA: Espacios de probabilidad DESARROLLO 1. VARIABLE ALEATORIA (v.a.) BIDIMENSIONAL En un experimento aleatorio consistente en sacar dos naipes, sin reposicion, de una baraja de 52(4 palos x 12 naipes) π = Numero de espadas e la primera extracciΓ³nπππ π(πΈ) = {0,1} π = Numero de espadas en la segunda extracciΓ³nπππ π(πΈ) = {0,1} π π π π ππ π£. π. πππ ππππ‘ππ . ππ’ πππ π‘ππππ’ππππ ππ ππ’πππ‘Γπ πππππ’ππ‘π ππ : π(0,0) = π(π = 0, π = 0) =
39 38 β = 0,5588 52 51
π(1,0) = π(π = 1, π = 0) =
13 39 β = 0,1912 52 51
π(0,1) = π(π = 0, π = 1) =
39 13 β = 0,1912 52 51
π(1,1) = π(π = 1, π = 1) =
13 12 β = 0,0588 52 51
x\y 0 1
0 0,5588 0,1912
0,5588 0,1912 π(π₯, π¦) = 0,1912 0,0588 { 0
1 0,1912 0,0588
π π π₯ = 0, π¦ = 0 π π π₯ = 0, π¦ = 1 π π π₯ = 1 π¦ = 0 π π π₯ = 1, π¦ = 1 πππ
0 π π π₯ < 1 Γ³ π¦ < 1 0,5588 π π 0 β€ π₯ < 1 , 0β€π¦<1 0,75 π π 0 β€ π¦ < 1, π¦β₯1 πΉ(π₯, π¦) β β π(π’, π£) = 0,9412 π π π₯ β₯ 1, 0β€π¦<1 π’β€π₯ π£β€π¦ 1 π π π₯ β₯ 1, π¦β₯1 {
PROPIEDADES: 1. F es un funciΓ³n de distribuciΓ³n ssi se verifican las siguientes propiedades a. Si πΊπ β€ ππ , β¦ πΊπ β€ ππ , ππππππππ π(πΊπ , β¦ , πΊπ ) β€ π(ππ , β¦ , ππ ) DemostraciΓ³n: πΊπ π, ππππ β€ π, ππ, πππππππ π(π, ππππ) β€ π(π, ππ)
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO ESCUELA DE FISICA Y MATEMATICA INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA
b. c.
π₯π’π¦
(ππ ,β¦,ππ )β(ππ ,β¦,ππ )
π(πΊπ , β¦ , πΊπ ) = π(ππ , β¦ , ππ )
π₯π’π¦ π(ππ , β¦ , ππ ) = π
π₯π’π¦ π(ππ , β¦ , ππ ) = π
y
ππ β+β .. . ππ β+β
ππ βββ .. . ππ βββ
2. Las v.a. reales πΏπ , β¦ , πΏπ son independientes ssi: π ,ππ ) (ππ , β¦
π(ππ ,β¦.
, ππ ) = β πππ (ππ ) π=π
DemostraciΓ³n: π(π,π) (ππ , ππ ) = ππ (ππ ) β ππ (ππ ) 3. En el caso unidimensional la funciΓ³n de distribuciΓ³n es: no decreciente, continΓΊa por la derecha, tiene lΓmite por la izquierda, π₯π’π¦ π(π) = π y πβββ
π₯π’π¦ π(π) = π , ademΓ‘s el conjunto de los puntos de discontinuidad.
πβ+β
{π β π‘: π₯π’π¦β π(π) β π₯π’π¦+ π(π) = π(π)} es a lo mΓ‘s numerable. AdemΓ‘s si x es πβπ
πβπ
v.a. de la F es la funciΓ³n de distribuciΓ³n, entonces para cada X real se tiene π(π) β π₯π’π¦β π(π) = π·π (π) y π₯π’π¦β π(π) = π·(πΏ < π) πβπ
πβπ
DemostraciΓ³n: π₯1 < π₯2 β (ββ, π₯1 ] β (ββ, π₯2 ) β (π’π ππππ πππππ‘ππππ ππ ππ₯ )πΉπ₯ (π₯1 ) = ππ₯ ((ββ, π₯1 ]) β€ ππ₯ ((ββ, π₯2 ]) = πΉπ₯ (π₯2 ) 4. Se divide las dos variables en dos subconjuntos {πππ , β¦ , πππ } π {ππ , β¦ , ππ π }con tal que π + π = π πΏ = (πΏ, π) {πΏ } {π} ππ (π) = ππ (π) =
π₯π’π¦
π(ππ , ππ )
π₯π’π¦
π(ππ , ππ )
ππ β+β (πΏ,π)
ππ β+β (πΏ,π)
2. VARIABLE ALEATORIA (v.a.) TRIDIMENSIONAL Sea (X, Y, Z) un vector aleatorio continΓΊo con funciΓ³n de probabilidad f(x, y, z) definida a continuaciΓ³n: π(π₯, π¦, π§) = {
8π₯π¦π§ π πππππ 0
0 < π₯ < 1; 0 < π¦ < 1; 0 < π§ < 1 πππ
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO ESCUELA DE FISICA Y MATEMATICA INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA La funciΓ³n de distribuciΓ³n del vector aleatorio F(x, y, z) = P (π β€ π₯, π β€ π¦, π β€ π§) viene dada por: 0 πΉ(π₯, π¦, π§) = {(π₯π¦π§)2 1
π π π₯ < 0; π¦ < 0; π§ < 0 π π 0 β€ π₯ < 1; 0 β€ π¦ < 1; 0 β€ π§ < 1 π π π₯ β₯ 1; π¦ β₯ 1; π§ β₯ 1
1. F es un funciΓ³n de distribuciΓ³n ssi se verifican las siguientes propiedades a. Si πΊπ β€ ππ , β¦ πΊπ β€ ππ , ππππππππ π(πΊπ , β¦ , πΊπ ) β€ π(ππ , β¦ , ππ ) DemostraciΓ³n: πΊπ π, ππππ β€ π, ππ, πππππππ π(π, ππππ) β€ π(π, ππ)
b. c.
π₯π’π¦
(ππ ,β¦,ππ )β(ππ ,β¦,ππ )
π(πΊπ , β¦ , πΊπ ) = π(ππ , β¦ , ππ )
π₯π’π¦ π(ππ , β¦ , ππ ) = π
y
ππ β+β .. . ππ β+β
π₯π’π¦ π(ππ , β¦ , ππ ) = π
ππ βββ .. . ππ βββ
2. Las v.a. reales πΏπ , β¦ , πΏπ son independientes ssi: π
π(ππ ,β¦.
,ππ ) (ππ , β¦
, ππ ) = β πππ (ππ ) π=π
DemostraciΓ³n: π(π,π,π) (ππ , ππ, , ππ ) = ππ (ππ ) β ππ (ππ ) β ππ (ππ ) 3. En el caso unidimensional la funciΓ³n de distribuciΓ³n es: no decreciente, continΓΊa por la derecha, tiene lΓmite por la izquierda, π₯π’π¦ π(π) = π y πβββ
π₯π’π¦ π(π) = π , ademΓ‘s el conjunto de los puntos de discontinuidad.
πβ+β
{π β π‘: π₯π’π¦β π(π) β π₯π’π¦+ π(π) = π(π)} es a lo mΓ‘s numerable. AdemΓ‘s si x es πβπ
πβπ
v.a. de la F es la funciΓ³n de distribuciΓ³n, entonces para cada X real se tiene π(π) β π₯π’π¦β π(π) = π·π (π) y π₯π’π¦β π(π) = π·(πΏ < π) πβπ
πβπ
DemostraciΓ³n: π₯1 < π₯2 β (ββ, π₯1 ] β (ββ, π₯2 ) β (π’π ππππ πππππ‘ππππ ππ ππ₯ )πΉπ₯ (π₯1 ) = ππ₯ ((ββ, π₯1 ]) β€ ππ₯ ((ββ, π₯2 ]) = πΉπ₯ (π₯2 ) 4. Se divide las dos variables en dos subconjuntos {πππ , β¦ , πππ } π {ππ , β¦ , ππ π }con tal que π + π = π
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO ESCUELA DE FISICA Y MATEMATICA INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA {πΏ, π, π} {πΏ} ππΏ (ππ ) =
{π, π} π₯π’π¦
πβ+β(πΏ,π,π) πβ+β
{π} ππ (ππ ) =
{πΏ, π} π₯π’π¦
πβ+β(πΏ,π,π) πβ+β
{π} ππ (ππ ) =
π(ππ , ππ , ππ )
π(ππ , ππ , ππ )
{πΏ, π} π₯π’π¦
πβ+β(πΏ,π,π) πβ+β
π(ππ , ππ , ππ )
{πΏ, π, π} ππΏππ (ππ , ππ , ππ ) =
π₯π’π¦
πβ+β (πΏ,π,π)
π(ππ , ππ , ππ )
39 38 β = 0,5588 52 51
π(1,0) = π(π = 1, π = 0) =
13 39 β = 0,1912 52 51
π(0,1) = π(π = 0, π = 1) =
39 13 β = 0,1912 52 51
π(1,1) = π(π = 1, π = 1) =
13 12 β = 0,0588 52 51
x\y 0 1
0 0,5588 0,1912
0,5588 0,1912 π(π₯, π¦) = 0,1912 0,0588 { 0
1 0,1912 0,0588
π π π₯ = 0, π¦ = 0 π π π₯ = 0, π¦ = 1 π π π₯ = 1 π¦ = 0 π π π₯ = 1, π¦ = 1 πππ
0 π π π₯ < 1 Γ³ π¦ < 1 0,5588 π π 0 β€ π₯ < 1 , 0β€π¦<1 0,75 π π 0 β€ π¦ < 1, π¦β₯1 πΉ(π₯, π¦) β β π(π’, π£) = 0,9412 π π π₯ β₯ 1, 0β€π¦<1 π’β€π₯ π£β€π¦ 1 π π π₯ β₯ 1, π¦β₯1 {
PROPIEDADES: 1. F es un funciΓ³n de distribuciΓ³n ssi se verifican las siguientes propiedades a. Si πΊπ β€ ππ , β¦ πΊπ β€ ππ , ππππππππ π(πΊπ , β¦ , πΊπ ) β€ π(ππ , β¦ , ππ ) DemostraciΓ³n: πΊπ π, ππππ β€ π, ππ, πππππππ π(π, ππππ) β€ π(π, ππ)
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO ESCUELA DE FISICA Y MATEMATICA INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA
b. c.
π₯π’π¦
(ππ ,β¦,ππ )β(ππ ,β¦,ππ )
π(πΊπ , β¦ , πΊπ ) = π(ππ , β¦ , ππ )
π₯π’π¦ π(ππ , β¦ , ππ ) = π
π₯π’π¦ π(ππ , β¦ , ππ ) = π
y
ππ β+β .. . ππ β+β
ππ βββ .. . ππ βββ
2. Las v.a. reales πΏπ , β¦ , πΏπ son independientes ssi: π ,ππ ) (ππ , β¦
π(ππ ,β¦.
, ππ ) = β πππ (ππ ) π=π
DemostraciΓ³n: π(π,π) (ππ , ππ ) = ππ (ππ ) β ππ (ππ ) 3. En el caso unidimensional la funciΓ³n de distribuciΓ³n es: no decreciente, continΓΊa por la derecha, tiene lΓmite por la izquierda, π₯π’π¦ π(π) = π y πβββ
π₯π’π¦ π(π) = π , ademΓ‘s el conjunto de los puntos de discontinuidad.
πβ+β
{π β π‘: π₯π’π¦β π(π) β π₯π’π¦+ π(π) = π(π)} es a lo mΓ‘s numerable. AdemΓ‘s si x es πβπ
πβπ
v.a. de la F es la funciΓ³n de distribuciΓ³n, entonces para cada X real se tiene π(π) β π₯π’π¦β π(π) = π·π (π) y π₯π’π¦β π(π) = π·(πΏ < π) πβπ
πβπ
DemostraciΓ³n: π₯1 < π₯2 β (ββ, π₯1 ] β (ββ, π₯2 ) β (π’π ππππ πππππ‘ππππ ππ ππ₯ )πΉπ₯ (π₯1 ) = ππ₯ ((ββ, π₯1 ]) β€ ππ₯ ((ββ, π₯2 ]) = πΉπ₯ (π₯2 ) 4. Se divide las dos variables en dos subconjuntos {πππ , β¦ , πππ } π {ππ , β¦ , ππ π }con tal que π + π = π πΏ = (πΏ, π) {πΏ } {π} ππ (π) = ππ (π) =
π₯π’π¦
π(ππ , ππ )
π₯π’π¦
π(ππ , ππ )
ππ β+β (πΏ,π)
ππ β+β (πΏ,π)
2. VARIABLE ALEATORIA (v.a.) TRIDIMENSIONAL Sea (X, Y, Z) un vector aleatorio continΓΊo con funciΓ³n de probabilidad f(x, y, z) definida a continuaciΓ³n: π(π₯, π¦, π§) = {
8π₯π¦π§ π πππππ 0
0 < π₯ < 1; 0 < π¦ < 1; 0 < π§ < 1 πππ
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO ESCUELA DE FISICA Y MATEMATICA INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA La funciΓ³n de distribuciΓ³n del vector aleatorio F(x, y, z) = P (π β€ π₯, π β€ π¦, π β€ π§) viene dada por: 0 πΉ(π₯, π¦, π§) = {(π₯π¦π§)2 1
π π π₯ < 0; π¦ < 0; π§ < 0 π π 0 β€ π₯ < 1; 0 β€ π¦ < 1; 0 β€ π§ < 1 π π π₯ β₯ 1; π¦ β₯ 1; π§ β₯ 1
1. F es un funciΓ³n de distribuciΓ³n ssi se verifican las siguientes propiedades a. Si πΊπ β€ ππ , β¦ πΊπ β€ ππ , ππππππππ π(πΊπ , β¦ , πΊπ ) β€ π(ππ , β¦ , ππ ) DemostraciΓ³n: πΊπ π, ππππ β€ π, ππ, πππππππ π(π, ππππ) β€ π(π, ππ)
b. c.
π₯π’π¦
(ππ ,β¦,ππ )β(ππ ,β¦,ππ )
π(πΊπ , β¦ , πΊπ ) = π(ππ , β¦ , ππ )
π₯π’π¦ π(ππ , β¦ , ππ ) = π
y
ππ β+β .. . ππ β+β
π₯π’π¦ π(ππ , β¦ , ππ ) = π
ππ βββ .. . ππ βββ
2. Las v.a. reales πΏπ , β¦ , πΏπ son independientes ssi: π
π(ππ ,β¦.
,ππ ) (ππ , β¦
, ππ ) = β πππ (ππ ) π=π
DemostraciΓ³n: π(π,π,π) (ππ , ππ, , ππ ) = ππ (ππ ) β ππ (ππ ) β ππ (ππ ) 3. En el caso unidimensional la funciΓ³n de distribuciΓ³n es: no decreciente, continΓΊa por la derecha, tiene lΓmite por la izquierda, π₯π’π¦ π(π) = π y πβββ
π₯π’π¦ π(π) = π , ademΓ‘s el conjunto de los puntos de discontinuidad.
πβ+β
{π β π‘: π₯π’π¦β π(π) β π₯π’π¦+ π(π) = π(π)} es a lo mΓ‘s numerable. AdemΓ‘s si x es πβπ
πβπ
v.a. de la F es la funciΓ³n de distribuciΓ³n, entonces para cada X real se tiene π(π) β π₯π’π¦β π(π) = π·π (π) y π₯π’π¦β π(π) = π·(πΏ < π) πβπ
πβπ
DemostraciΓ³n: π₯1 < π₯2 β (ββ, π₯1 ] β (ββ, π₯2 ) β (π’π ππππ πππππ‘ππππ ππ ππ₯ )πΉπ₯ (π₯1 ) = ππ₯ ((ββ, π₯1 ]) β€ ππ₯ ((ββ, π₯2 ]) = πΉπ₯ (π₯2 ) 4. Se divide las dos variables en dos subconjuntos {πππ , β¦ , πππ } π {ππ , β¦ , ππ π }con tal que π + π = π
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO ESCUELA DE FISICA Y MATEMATICA INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA {πΏ, π, π} {πΏ} ππΏ (ππ ) =
{π, π} π₯π’π¦
πβ+β(πΏ,π,π) πβ+β
{π} ππ (ππ ) =
{πΏ, π} π₯π’π¦
πβ+β(πΏ,π,π) πβ+β
{π} ππ (ππ ) =
π(ππ , ππ , ππ )
π(ππ , ππ , ππ )
{πΏ, π} π₯π’π¦
πβ+β(πΏ,π,π) πβ+β
π(ππ , ππ , ππ )
{πΏ, π, π} ππΏππ (ππ , ππ , ππ ) =
π₯π’π¦
πβ+β (πΏ,π,π)
π(ππ , ππ , ππ )
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