Ti_e1_aplikasi Turunan.docx

APLIKASI TURUNAN TUGAS MAKALAH KALKULUS

DISUSUN OLEH : 1. ARIEF ALY ARROSYID

1755201314

2. LINGGA RAFI FADHILAH

1755201310

3. MUHAMAD IQBAL MAULANA

1755201313

4. MUHAMMAD RAMA PRATAMA

1755201320

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG FAKULTAS TEKNIK T.A 2017-2018 KELAS E1 DOSEN : LULU MAHMUDAH, S.Pd

1

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT Yang Maha Mendengar lagi Maha Melihat dan atas segala limpahan rahmat, taufik, serta hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah sesuai waktu yang telah direncanakan. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada baginda Nabi Besar Muhammad SAW beserta seluruh keluarga dan sahabatnya. Penyusunan makalah ini merupakan tugas mata kuliah Kalkulus, Semester 1 tahun akademik 2017-2018. Dalam penulisan makalah ini, tentunya banyak pihak yang telah memberikan bantuan baik moral maupun materil. Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, maka saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi penyempurnaan selanjutnya.

Tangerang, …. Desember 2017

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................... i DAFTAR ISI ................................................................................................. ii BAB I : PENDAHULUAN........................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ................................................................................ 1 1.2 Rumusan Masalah ........................................................................... 2 1.3 Tujuan .............................................................................................. 2 BAB II : PEMBAHASAN............................................................................ 3 2.1 Penggunaan EYD yang benar ........................................................ 3 2.2 Analisis Kesalahan Penggunaan Ejaan ........................................ 13 2.3 Revisi Kesalahan Penggunaan Ejaan .......................................... 16 BAB III : PENUTUP.................................................................................. 17 3.1 Kesimpulan .................................................................................... 17 3.2 Saran 17 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 18

ii

BAB I PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.

2. Rumusan Masalah 1) Bagaimana penggunaan Maksimum dan Minimum ? 2) Apa itu Kemonotonan dan kecekungan? 3) Apa itu Maksikum dan Minimum Lokal?

3. Tujuan Penulisan Dapat memahami penggunaan aplikasi turunan yang diantaranya maksimum dan minumun, kemonotonan dan kecekungan serta maksimum dan minimum local.

1

BAB II PEMBAHASAN 1. Maksimum dan Minimum Misalkan kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukan f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.

Definisi : Andaikan S, daerah asal f , memuat titik C, kita katakana bahwa: 1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S 2. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di S 3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum. A. Teoroma A (Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Terjadinya nilai nilai ekstrim: Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat titktitik ujung; beberapa tidak. Misalnya I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya;

2

(a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilainilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. (Lihat Gambar B)

Jika c sebuah titik pada mana f’(c) = 0 disebut c titik stasioner. Pada titik stasioner, grafik f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner. (Gambar C )

Jika c adalah titik dalam dari I dimana f’ tidak ada, disebut c titik singular. Grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi

3

pada titik-titik singular. (Gambar D) walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.

B. Teoroma B (Teorema titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu : i. titik ujung I ii. titik stasioner dari f (f’(c) = 0) iii. titik singular dari f (f’ (c) tidak ada) Mengingat teorema A dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I . Langkah 1 : Carilah titik-titik kritis dari f pada I Langkah 2 : hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum

4

Contoh soal : Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x2 + 4x pada [-3, 1] Penyelesaian: Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4 Kemudian mencari titik kritis f’(x) = 0 2x + 4 = 0 X = -2 Berarti titik-titik kritis yang di dapat -3, -2, 1 maka : f(-3) = -3 f(-2) = -4 f(1) = 5 Jadi nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2)

2. Kemonotonan dan Kecekungan Definisi : Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa : 1) f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2dalam I, x1 < x2 → f(x1) < f(x2) 2) f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2dalam I, x1 > x2 → f(x1) > f(x2) 3) f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I A. Teorema A (Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I 1. Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I 5

2. Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I Turunan Pertama dan Kemonotonan Ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung f dititik x, kemudian jika f’(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)

Turunan Kedua dan Kecekungan Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah

6

putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah

Definisi: Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka I = (a,b). jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun pada I, f cekung ke bawahpada I. Teorema B

(Teorema kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b). 1. Jika f’’(x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b) 2. Jika f’’(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)

Titik Balik Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan. Gambar

soal : Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?

7

Penyelesaian: Mencari turunan f f’(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3 (x2 + 4x + 3) = 3 (x+3)(X+1)

Kita perlu menentukan (x +3) (x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbu xatas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `(x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f `(x) < 0 pada selang tengah. Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1] Grafik f(-3) = 3 f(-1) = -1 f(0) = 3

3.Maksimum dan Minimum Lokal Definisi : Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa : 8

1. f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S 2. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S 3. f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal. GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL

Teorema A (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c. 1. Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f 2. Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f 3. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f. Teorema B (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0 i. Jika f’’(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f ii. Jika f’’(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f soal :

9

Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 8x + 7 pada (-∞,∞) penyelesaian: fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yakni x = 4 karena f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank arena 2(x – 4)>0 untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum lokal f, karena 4 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.

3.3 Ekstrim Lokal dan Ekstrim pada Interval Terbuka Definisi Misalkan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa : f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a, b) ∩ S; f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai minimumf pada (a, b) ∩ S; f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Teorema AUji Turunan Pertama Misalkan f kontinu pada interval terbuka (a, b) yang memuat sebuah titik kritis c.

10

Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f. Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x)> 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f. Teorema B Uji Turunan Kedua Misalkan f’ dan f’’ ada pada setiap titik interval terbuka (a, b) yang memuat c, dapat misalkam f’(c) = 0 Jika f’(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f. Jika f’(c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

3.5 Penggambaran Grafik Fungsi Menggunakan Kalkulus Fungsi Polinmial polinomial derajat 1 atau 2 mudah digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya sedang, misalnya 3 sampai 6, kita akan sangat terbantu oleh alat-alat dari kalkulus Fungsi Rasional Fungsi Rasional, yang merupakan hasil bagi dua fungsi polinomial, agak lebih rumit untuk digambarkan grafiknya dibanding polinomial. Khususnya, kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dekat tempat penyebut akan bernilai nol. Fungsi yang Melibatkan Akar Terdapat beraneka ragam fungsi yang melibatkan akar. Ringkasan Metode Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu . Langkah 1 : Analisis praKalkulus, Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan; Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi itu genap atau ganji); Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat. Langkah 2 : Analisis Kalkulus Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan membantu mengetahui tempat-tempat grafik menaik dan menurun;

11

Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung ke bawah dan untuk mengalokasikan titik balik. Cari asimtot-asimtot

3.6 Teorema Nilai Rataan Untuk Turunan

Teorema A Teorema Nilai Rataan untuk Turunan Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensiasikan pada titik dalamnya (a, b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a, b) dimana atau setara denganf(b) – f(a) = f’(c) (b – a)

Teorema B Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian rupa sehingga F’(x) = G’(x) + c untuk semua x dalam (a, b) Bukti Misalkan H’(x) = F’(x) – G’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b). Pilih X1sebagai suatu titik (tetap) dalam (a, b) dan misalkan x sebarang titik lain disana. Fungsi H memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rataan pada interval tertutup dengan titik-titik ujung X1dan x. Jadi terdapat sebuah bilangan c di antara X1dan x sedemikian rupa sehingga : H(x) – H(x1) = H’(c)(x – x1) Tetapi menurut hipotesis H’(c) = 0. Karena itu H(x) H(x1) = 0 atau H(x) = H(x1) untuk semua x dalam (a, b). Karena H(x) = F(x) – G(x), kita simpulkan bahwa F(x) – G(x) = H(x1). Sekarang misalkan C = H(x1) , dan kita mempunyai kesimpulan F(x) = G(x) + C

3.7 Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik

Alogaritma Metode Bagi-Dua Misalkan f(x) adalah fungsi kontinu, dan misalkan a1 dan b1adalah bilangan yang memenuhi a1< b1dan f(a1) . f(b1) < 0. Misalkan E menyatakan batas yang diinginkan untuk galat

12

│r - mn │. Ulangi langkah 1 sampai 5 untuk n = 1, 2, 3, ... hingga hn < E : 1.

Hitung mn= (an + bn)/2

2.

Hitung f(mn)dan jika f(mn) = 0, kemudian BERHENTI

3.

Hitung hn= (bn- an)/2

4.

Hitung f(an) . f(mn)< 0, tetapkan an+1 = andan bn+1 = mn

5.

Hitung f(an) . f(mn)> 0, tetapkan an+1 = mn dan bn+1 = bn

Alogaritma Metode Newton Misalkan f(x) adalah fungsi terdiferensiasikan dan misalkan x1 adalah aproksimasi awal terhadap akar r dari f(x) = 0. Misalkan E menyatakan batas untuk galat │r xn │. Ulangi langkah berikut untuk n = 1, 2, 3, ... hingga │x n+1 - xn │< E : xn+1= xn-

Alogaritma Titik-Tetap Misalkan g(x) adalah fungsi kontinu, dan misalkan x1 adalah aproksimasi awal terhadap akar r dari x = g(x). Misalkan E menyatakan batas untuk galat │r - xn │. Ulangi langkah berikut untuk n = 1, 2, 3, ... hingga │xn+1 - xn │< E : xn+1 = g(xn )

3.8 Anti Turunan Definisi : Kita sebut F suatu anti-turunan f pada interval I jika DxF(x) = f(x) pada I, yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I.

Teorema AAturan Pangkat Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫ Xrdx = + C

Teorema B ∫sin x dx = -cos x + C dan ∫cos x dx = sin x + C

Teorema C Integral Tak-Tentu adalah Operator Linear

13

Misalkan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan misalkan k suatu konstanta. Maka ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx; ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx; ∫[f(x) - g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx;

Teorema D Aturan Pangkat yang Digeneralisir Misalkan g suatu fungsi yang dapat di diferensiasi dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka ∫ [g(x)] rg’(x) dx = + C

3.9 Pendahuluan Persamaan Diferensial Persamaan dengan nilai tak diketahui (unknown) berupa suatu fungsi yang melibatkan turunan (diferensiasi) dari fungsi yang tidak diketahui ini disebut persamaan

diferensial.Fungsi,

yang

ketika

disubtitusikan

dalam

persamaan diferensial menghasilkan identitas, disebut penyelesaian persamaan diferensial. Jadi, menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui. Umumnya, ini adalah tugas yang sukar dan yang telah dituliskan dalam banyak buku tebal. Disini kita hanya meninjau kasus yang paling sederhana, yakni persaamaan diferensial tingkat saru yang terpisahkan. Ini adalah persamaan-persamaan yang hanya melibatkan turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui dan sedemikian rupa sehingga variabel-variabel dapat dipisahkan, satu pada masing-masing ruas persamaan. Masalah Gerak Ingat kembali bahwa jika s(t), v(t), dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat.

14

BAB II PENUTUP 1. Kesimpulan Maksimum dan Minimum 2.

Kemonotonan dan Kecekungan

3.

Maksimum dan Minimum Lokal

4.

Lebih Banyak Masalah Maks-Min

5.

Penerapan Ekonomik

6.

Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

7.

Teorema Nilai Rata-Rata

8.

Penggambaran Grafik Canggih

Sedangkan apilkasi nya dalam berbagai bidang 1.

Dalam bidang tehnik

2.

Dalam bidang matematika

3.

Dalam bidang ekonomi

4.

Dalam bidang fisika

15