Ti Simetria Par Impar Y Media Onda.docx

Simetrías de Ondas Periódicas Las simetrías permiten calcular más fácilmente los coeficientes de Fourier de una señal periódica x(t). Tipos de Simetrías: Combinaciones de estas simetrías: a) Par + Media Onda = Cuarto de Onda Par b) Impar + Media Onda = Cuarto de Onda Impar

1) Par 2) Impar 3) Media Onda

Mediante desplazamientos en el eje de las ordenadas y/o de las absisas permiten transformar la señal periódica dada en otra serie que tenga una de las simetrías anteriores, de este modo calcular más fácilmente los coeficientes de Fourier para luego volver a la señal original y así obtener su serie. Antes de desarrollar las propiedades de las simetrías veamos algunas de las propiedades de las funciones pares e impares. Regla de los signos: fpar = (+) ; fimpar = (-)

fpar . fpar

= (+ ) . (+ ) = (+ ) ……. fpar

. fimpar

= (+ ) . ( - ) = ( - ) ……. fimpar

fimpar . fpar

= ( - ) . (+ ) = ( - ) ……. fimpar

fpar

fimpar . fimpar = ( - ) . ( - ) = (+ ) ……. fpar Área de funciones pares e impares en intervalos simétricos T/2

X(t) par

T/2

∫ x(t)dt = 2. ∫x(t)dt t -T/2

−T / 2

0

T/2 X(t) impar

T /2

-T/2 T/2

t

∫ x(t)dt =0 −T /2

Descomposición de una función f(t) en una función par más una función impar

Toda función f(t) se puede descomponer en la suma de una función par más una función impar. f(t) = fp(t) + fi(t)

(1)

fpar: fp(t) = fp(-t)

fimpar: fi(t) = - fi(-t)

Si evaluamos la expresión anterior en –t, obtenemos: f(-t) = fp(-t) + fi(-t)

(2)

Pero como fp(-t) = fp(t) y fi(-t) = - fi(t) , de (1) y (2) sumando y restando las ecuaciones miembro a miembro obtenemos: fp(t) = [ f(t) + f(-t) ] / 2 (3) fi(t) = [ f(t) - f(-t) ] / 2 (4)

Ej: Obtener las funciones par e impar de la sig. función f(t) f(t)

f(-t)

3 2

Espejando la función obtenemos f(-t)

-1

-2

1 -1

3 2 1

2

-2 -1

2

-1

-2

-2

Ahora podemos usar las expresiones (3) y (4) anteriores y sumando y restando gráficamente obtener fi(t) y fp(t) . f(t)

f(t)

Desarrollo de las propiedades de cada simetría:

1) Simetría Par: x(t) es una función par y el coseno también, por lo tanto el an queda: T/2

T/2

2

an

=

4

∫ x(t).cos(nω t)dt = o

T −T / 2

∫ x(t).cos(nω t)dt o

T0

En el caso de los bn tenemos la multiplicación de una función par ,x(t) por una función impar integrada en intervalo simétrico queda: T/2

2

bn

=

∫ x(t).sen(nω t)dt = 0 o

T −T / 2

De este modo el coeficiente de la serie compleja de Fourier es real puro

cn = an − jbn = an 2

2

Y la serie de Fourier toma la sig. forma: ∞

x(t) =

ao +

+∞

∑a

2

n

cos(nω0t)

o su forma exponencial

x(t)

=

∑ a e jnωot

n= 1

n

n=−∞

2

Notar que: 1) Una función par x(t) se descompone en una suma de funciones par (los cosenos y el ao/2) 2) En la forma exponencial por cada par de exponenciales se genera un coseno, por ejemplo se puede tomar n=3 y n=-3 y formar el coseno correspondiente. 3) an = a-n ya que el coseno es par respecto de “n”. (ver definición de an )

2) Simetría Impar:

x(t) es una función impar y el seno también, por lo tanto el bn queda: T/2

T/2

2

bn

=

4

∫ x(t).sen(nω t)dt = o

T −T / 2

∫ x(t).sen(nω t)dt o

T0

En el caso de los an tenemos la multiplicación de una función impar ,x(t), por una función par integrada en intervalo simétrico queda: T/2

2

an

=

∫ x(t).cos(nω t)dt = 0 o

T −T / 2

De este modo el coeficiente de la serie compleja de Fourier es imaginario puro

cn = an − jbn = − j bn 2 2 Y la serie de Fourier toma la sig. forma: ∞

+∞

x(t)

=

∑b sen(nω t) n

0

o su forma exponencial

x(t)

=

n=1

∑ j b e jnωot n

n=−∞

2

Notar que: 1) Una función impar x(t) se descompone en una suma de funciones impares (los senos) 2) En la forma exponencial por cada par de exponenciales se genera un seno. 3) bn = -b-n ya que el seno es impar respecto de “n”. (ver definición de bn )

3) Simetría de Media Onda: En este caso x(t) cumple con lo siguiente: x(t) = - x(t + T/2) Para darnos cuenta si una función periódica tiene simetría de media onda hacemos lo sig.:

-T/2

-T/2

-T/2

T/2

T/2

T/2

1) Seleccione medio período de la señal, puede ser en cualquier lugar de x(t), pero tome uno que sea de fácil identificación.

2) Multiplique el tramo seleccionado por -1

3) Desplace el tramo seleccionado medio período a la izquierda o a la derecha. Si coincide con lo que está dibujado entonces tiene simetría de media onda.

Las señales x(t) que tienen simetría de media onda tienen an y bn distintos de cero para n impares y valen 0 para los n pares. Vamos a demostrar esto para los an ya que para los bn es similar.

Partimos de la definición del an:

T/2

0

T/2

an = 2 ∫ x(t).cos(nωot)dt = 2 ∫ x(t).cos(nωot)dt + 2 ∫ x(t).cos(nωot)dt T −T / 2

T −T / 2

T0

Reemplazando en la primera integral x(t) por - x(t + T/2) obtenemos: T/2

an

=

2

0

∫ x(t).cos(nω t)dt = −

2

o

T −T / 2

T/2

∫ x(t +T /2).cos(nω t)dt + o

T −T / 2

Haciendo la sustitución

2

∫ x(t).cos(nω t)dt o

T0

u = t + T/2 tenemos:

T/2

T/2

an =− 2 ∫ x(u).cos[nωo(u −T / 2)]du + 2 ∫ x(t).cos(nωot)dt T0

T0

0 Reemplazando el

cos[nωo(u −T / 2)] = cos(nωou).cos nπ+ sen(nωou).sen(nπ)

teniendo en cuenta que ωo =

2π

, obtenemos la expresión definitiva para el an.

y además