Thuyet Tuong Doi

Nội dung 1. Hai tiên đề 2. Các hệ quả

4. Các hệ quả khác

a. Thời gian dãn ra b. Chiều dài co ngắn lại c. Tính tương đối của sự đồng thời

Thuyết tương đối Biên soạn: Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen [email protected]

3. Phép biến đổi Lorentz

a. Quan hệ nhân quả b. Sự bất biến của khoảng không-thời gian c. Phép cộng vận tốc mới

5. Động lượng và năng lượng 6. Ứng dụng C

1. Hai tiên đề – 1

1. Hai tiên đề – 2

A. Einstein (1905)

• Các hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. • Vận tốc của ánh sáng trong chân không là một hằng số (c = 3.108 m/s), không phụ thuộc vào hệ quy chiếu và phương truyền.

• Nguyên lý tương đối Galilei: các hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. • Tiên đề 1 mở rộng nguyên lý tương đối cho mọi hiện tượng vật lý. • Thí nghiệm Michelson-Morley (1887): đo sự phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào trạng thái chuyển động của nguồn nhưng thất bại. • Do đó đã xác nhận tiên đề 2.

C

C

2a. Thời gian dãn ra – 1

2a. Thời gian dãn ra – 2 • Trong hqc nhìn thấy đồng hồ chuyển động với 2 2 2 vận tốc V : (c∆t ) = (V∆t ) + (c∆t0 )

• Xét một đồng hồ ánh sáng, • Một “tích tắc” là một lần ánh sáng đi từ dưới lên trên và phản xạ trở về. • Trong hệ quy chiếu gắn liền với đồng hồ, • thời gian của một “tích tắc” là: ∆t0 =

L c∆t/2 c∆t0/2

2L c C

V∆t/2

C

2a. Thời gian dãn ra – 3

2a. Thời gian dãn ra – 4

• Vậy đối với quan sát viên nhìn thấy đồng hồ chuyển động, một tích tắc của đồng hồ là:

• Khi hai biến cố xảy ra tại cùng một nơi trong một hệ quy chiếu quán tính, • khoảng thời gian giữa chúng, đo trong hqc ấy, được gọi là thời gian riêng. (∆t0) • Khoảng thời gian giữa hai biến cố đó, đo trong mọi hqc quán tính khác, đều lớn hơn thời gian riêng.

∆t =

∆t 0 1−V 2 c 2

γ=

1 1−V 2 c 2

∆t = γ∆t0 • V < c nên γ > 1, ∆t > ∆t0. • Theo quan sát viên nhìn thấy đồng hồ chuyển động, đồng hồ có nhịp điệu dãn ra. • Mọi đồng hồ khác cũng vậy. (Theo tiên đề 1)

∆t =

∆t 0 1−V 2 c 2

V là vận tốc giữa hai hqc

Minh họa.

C

C

2a. Thời gian dãn ra – 5

2a. Thời gian dãn ra – 6

• Chuyện Từ Thức thời hiện đại. • Từ Thức du hành đến một ngôi sao xa với vận tốc V = 0,9996c. Sau 3 năm thì trở về. • Theo người trên Trái Đất thì thời gian của chuyến du hành là: ∆t = γ∆t0

• Hạt muon đứng yên có thời gian sống là ∆t0 = 2,200 µs. • Khi chuyển động với vận tốc V = 0,9994c, thời gian sống của muon sẽ dài ra.

γ = 1 1 − (0,9996 ) = 35,36 2

β = V c = 0,9994

γ = 1 1 − β 2 = 28,87

∆t = γ∆t0 = (28,87 )(2,200 µs ) = 63,51 µs

∆t = (35,36 )(3 n ) = 106,1 n

• Điều này đã được thực nghiệm kiểm chứng.

• Đã hơn 100 năm trôi qua trên Trái Đất!

C

C

2b. Chiều dài co ngắn lại – 1

2b. Chiều dài co ngắn lại – 2

• Chó Milou đang chạy chơi với vận tốc V thì thấy một khúc xương, và muốn đo chiều dài của nó. • Milou đo thời gian ∆t0 giữa hai lần đi qua hai đầu khúc xương. • Và suy ra chiều dài khúc xương là: L = V∆t0

• Tuy nhiên, theo Tintin thì thời gian giữa hai biến cố là: ∆t = γ∆t0 > ∆t0 • Do đó chiều dài thước là: L0 = V∆t > L • Suy ra: L = L0 1 − v 2 c 2 • Chiều dài thanh thước chuyển động co ngắn lại.

V∆t0

C

C

2b. Chiều dài co ngắn lại – 3

2c. Tính tương đối của sự đồng thời – 1

• Chiều dài của một vật đo trong hqc quán tính gắn liền với vật được gọi là chiều dài riêng (L0). • Chiều dài của cùng vật đó, đo trong mọi hqc quán tính khác, đều nhỏ hơn chiều dài riêng.

• Một xung sáng được phát ra từ giữa một toa tàu đang đi vào ga, và truyền về hai đầu toa. • Theo hành khách trên toa, hai tia sáng đạt tới hai đầu toa cùng một lúc.

L = L0 1 − V 2 c 2

V là vận tốc giữa hai hqc

C

2c. Tính tương đối của sự đồng thời – 2 • Theo người đứng dưới sân ga, tia sáng đi ngược chiều chuyển động của tàu đạt tới vách trước. • Vì vận tốc ánh sáng là không đổi về cả hai phía, và vì vách này tiến lại gặp tia sáng. • Hai biến cố xảy ra đồng thời trong một hqc, lại không đồng thời trong một hqc khác.

C

Bài tập áp dụng 1 Một hạt không bền đi vào một máy dò và để lại một vệt dài 1,05 mm trước khi phân rã. Vận tốc hạt đối với máy dò là 0,992c. Thời gian sống riêng của hạt là bao nhiêu? Hay nói cách khác, nếu hạt đứng yên đối với máy dò thì hạt sẽ tồn tại được bao lâu trước khi phân rã?

C

Trả lời BT 1

Bài tập áp dụng 2

• Thời gian sống của hạt đối với máy dò là: ∆t = d V d là chiều dài của vệt 1,05 ×10 −3 m = 3,53 ps 0,992 × 3 ×10 8 m s • Thời gian sống riêng luôn luôn ngắn hơn và xác định từ: 1 ∆t = 7,92 γ= ∆t0 = 1 − 0,992 2 γ ∆t =

∆t0 =

C

Trong một đời người, liệu có thể du hành đến một thiên hà ở cách xa Trái Đất 23.000 năm ánh sáng hay không?

3,53s = 0,45 ps 7,92 C

C

Trả lời BT 2 – 1

Trả lời BT 2 – 2

• Gọi V = βc là vận tốc phi hành gia. • Ánh sáng mất 23.000 năm để bay đến thiên hà thì phi hành gia phải mất 23.000/β năm, theo thời gian trên Trái Đất. • Giả sử tuổi thọ trung bình của con người là 80 năm. • Phi hành gia muốn thực hiện chuyến bay trong 80 năm (thời gian riêng). Do đó:

• • • •

Hay: β 1 − β = 287,5 Giải phương trình trên ta được β = 0,999993951 Cũng có thể lập luận như sau. Phi hành gia phải chuyển động sao cho đối với ông ta khoảng cách 23.000 nas (chiều dài riêng) co lại còn 80×β nas: 2

γ = L0 L = 23.000 nas (80 × β nas )

γ = ∆t ∆t 0 = 23.000n ( β × 80 n ) γβ = 23.000 80 = 287,5 C

C

3. Phép biến đổi Lorentz – 1 • Hqc K’ chuyển động theo trục x của hqc K với vận tốc V. • Lúc K ≡ K’ thì t = t’ = 0. • Một biến cố xảy ra trong K’ có tọa độ (x’, y’, z’, t’) • đối với K sẽ có tọa độ: x = x′ + Vt y = y′ z = z′ t = t′

3. Phép biến đổi Lorentz – 2 • Để phù hợp với các hiệu ứng tương đối, Lorentz đưa ra các phép biến đổi mới: x = γ ( x′ + Vt ′) y = y′

Vt

z = z′

x’

Vt’

x’

V t = γ  t ′ + 2 x′  c  

(phép biến đổi Galilei)

• Khi V << c, Lorentz
Galilei. C

4a. Quan hệ nhân quả – 1

C

4a. Quan hệ nhân quả – 2

• Xét hai biến cố xảy ra trong hqc K’, ở cách nhau một khoảng ∆x’, chênh nhau một khoảng thời gian ∆t’. • Từ phép biến đổi Lorentz ta có độ chênh lệch thời gian giữa hai biến cố trong hqc K: V ∆t = γ  ∆t ′ + 2 ∆x′  c   V • Nếu ∆t’ > 0 và ∆x’ < 0, và 2 ∆x′ > ∆t ′ c V   ∆t = γ  ∆t ′ − 2 ∆x′  < 0 c   • Thứ tự của hai biến cố đã bị đảo ngược! C

• Phải chăng trong một hqc chuyển động đối với Trái Đất người ta có thể thấy • chú vịt cồ trẻ dần thành vịt con, • rồi chui lại vào vỏ trứng !? • Thật ra, không thể đảo ngược thứ tự của các biến cố trên đây, • vì chúng có quan hệ nhân quả với nhau. C

4a. Quan hệ nhân quả – 3

4b. Sự bất biến của khoảng không-thời gian

• Phải có thông tin được truyền đi từ nguyên nhân đến kết quả, v: tốc độ truyền thông tin • Do đó: ∆x′ = v∆t ′

• Khoảng cách không-thời gian ∆s giữa hai biến cố được định nghĩa bởi:

 V ∆x′  ∆t = γ∆t ′1 − 2   c ∆t ′  Vv ∆t = γ∆t ′1 − 2  > 0  c 

Vv < c 2

• Không thể đảo ngược thứ tự của hai biến cố có quan hệ nhân quả.

∆s 2 = c 2 ∆t 2 − (∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 ) • Từ phép biến đổi Lorentz, ta có thể chứng minh là khoảng ∆s không thay đổi khi chuyển hệ quy chiếu: ∆s 2 = ∆s′ 2 • Khoảng cách không gian cũng không đổi khi quay hệ quy chiếu. Phải chăng phép biến đổi Lorentz là phép quay trong không-thời gian?

C

C

4c. Công thức cộng vận tốc mới

Bài tập áp dụng 3

• Xét một chất điểm chuyển động trong hqc K’ với vận tốc: dx ′ dy′ dz ′ v′x = v′y = v′z = dt ′ dt ′ dt ′

Một nhà thực nghiệm thực hiện một mạch điện giúp ông ta bật cùng một lúc hai bóng đèn, bóng màu đỏ ở gốc hệ quy chiếu và bóng màu vàng ở khoảng cách x = 30 km. Đối với quan sát viên chuyển động theo trục x dương với vận tốc 0,250c: a) Khoảng thời gian giữa hai biến cố là bao nhiêu? b) Bóng nào được bật sáng trước?

• Từ phép biến đổi Lorentz, ta tìm được vận tốc của chất điểm đối với hqc K: vx =

v′x + V dx = dt 1 + v′xV c 2

vy =

γv′y dy = dt 1 + v′xV c 2

tương tự cho vz C

C

Trả lời BT 3 – 1 • Theo qsv K’ thì K chuyển động với vận tốc V = 0,250c theo chiều âm của trục x, • Biến đổi Lorentz cho ta:  V  t′ = γ  t − 2 x   c  • Thời gian giữa hai biến cố là: V ∆t ′ = γ  ∆t − 2 ∆x  c  

Trả lời BT 3 – 2 • Hay:

V K’

∆t ′ = −

1 β ∆x 2 1− β c

β = 0,250

• Ta có: ∆x = xvang − xdo = 30 km ∆x K

∆t ′ = −γ

′ − t ′do = −2,58 × 10 −5 s • Do đó: ∆t ′ = tvang V ∆x c2 C

• Theo K’ thì đèn vàng bật sáng trước một khoảng thời gian là 25,8 µs. C

Bài tập áp dụng 4

Trả lời BT 4 – 1

Hai thiên hà A và B đang đi ra xa khỏi chúng ta ở hai phía đối diện với cùng vận tốc 0,55c. Tìm vận tốc của thiên hà B đối với thiên hà A.

• Đối với thiên hà A chúng ta có vận tốc –V, do đó thiên hà B có vận tốc cho bởi: vx − V v′x = 1 − v xV c 2 • Vận tốc của thiên hà B đối với chúng ta: vx = –V V V

K’

A

B

K C

Trả lời BT 4 – 2

5a. Khối lượng tương đối tính

• Suy ra: v′x =

C

−V −V 2 × 0,55c =− = −0,84c 2 2 1 + 0,55 2 1+ V c

• Khác với kết quả theo cơ học cổ điển (1,10c). • Công thức cộng vận tốc của thuyết tương đối đảm bảo rằng vận tốc tổng hợp luôn nhỏ hơn c.

• Khối lượng của một chất điểm: • đo trong hệ quy chiếu gắn liền với chất điểm đó, là khối lượng riêng m0 của nó. • đo trong bất kỳ một hệ quy chiếu khác, trong đó chất điểm chuyển động với vận tốc v, đều lớn hơn khối lượng riêng:

γ=

m = γm0

1 1− v2 c2

C

5b. Động lượng tương đối tính

C

5c. Năng lượng tương đối tính – 1

• Động lượng của một chất điểm trong thuyết tương đối là: r r r p = mv = γm0 v

• Năng lượng của một chất điểm:

E = mc 2

• Năng lượng nghỉ:

E = m0 c 2

• Phương trình động lực học:

• Động năng:

K = (m − m0 )c 2

r r dp d (γm0 v ) r = =F dt dt

• Hệ thức giữa động lượng và năng lượng: E 2 = ( pc ) + (m0c 2 ) 2

C

2

C

5c. Năng lượng tương đối tính – 2 • Hình vẽ sau đây giúp nhớ hệ thức giữa động lượng và năng lượng: sin θ = β cos θ = 1 γ

C

C