These Col Twoside

N◦ d’ordre 1075

Ann´ee 2005

` PROJET DE THESE pr´esent´e ` a L’U.F.R. DES SCIENCES ET TECHNIQUES ´ DE FRANCHE-COMTE ´ DE L’UNIVERSITE pour obtenir le ´ DE GRADE DE DOCTEUR DE L’UNIVERSITE ´ FRANCHE-COMTE Sp´ecialit´e Sciences pour l’Ing´enieur

AMORTISSEMENT DANS LES STRUCTURES ´ ASSEMBLEES

par Ludek Heller

Rapporteurs

Examinateurs

Directeur de Th`ese

D.

Aubry

F.

Thouverez

´ Professeur, Ecole Centrale de Paris ´ Professeur, Ecole Centrale de Lyon

M.S. Germes

Ing´enieur, PSA V´elizy-Villacoublay

J.

Piranda

Professeur, Universit´e de Franche-Comt´e

E.

ˆte Folte

Maˆıtre de Conf´erences, Universit´e de Franche-Comt´e

J.

Piranda

Professeur, Universit´e de Franche-Comt´e

Table des mati` eres Sommaire

I

Introduction g´ en´ erale

1

1 Identification exp´ erimentale des param` etres modaux ´ equivalents des structures non-lin´ eaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Transform´ee en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 D´efinitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Localisation dans le domaine temps-fr´equence . . . . . . . . . 1.2.4 M´ethodes de calcul de la transform´ee en ondelettes . . . . . . 1.2.5 Repr´esentation graphique de la transform´ee en ondelettes . . . 1.3 Transform´ee en ondelettes de signaux asymptotiques . . . . . . . . . 1.3.1 Transform´ee de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Signal analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Signal asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Transform´ee en ondelettes d’un signal asymptotique . . . . . . 1.3.5 Arˆete de la transform´ee en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Identification des param`etres modaux des syst`emes lin´eaires par la transform´ee en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Syst`eme `a un ddl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Syst`eme `a plusieurs ddl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Identification des param`etres modaux ´equivalents des syst`emes nonlin´eaires par la transform´ee en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Syst`eme `a un ddl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Syst`eme `a plusieurs ddl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Mise en oeuvre de la m´ethode d’identification par la transform´ee en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Param`etre N d’ondelette analysante . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Moyen d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Diminution de l’effet de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Identification `a partir de signaux d’acc´el´eration . . . . . . . . ´ 1.7 Etapes principales de l’identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 8 10 11 12 17 18 18 18 19 19 21 23 23 25 27 27 34 39 39 40 43 45 48 50

2 Validation de la m´ ethode 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Syst`eme lin´eaire `a 4 ddl . . . . . . . . . . . . 2.3 Syst`emes non-lin´eaires `a un ddl . . . . . . . . 2.3.1 Frottement sec . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Raideur quadratique . . . . . . . . . . 2.3.3 Amortissement quadratique . . . . . . 2.3.4 Raideur cubique . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Raideur et amortissement quadratiques 2.4 Syst`eme non-lin´eaire `a 2 ddl . . . . . . . . . . 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ 3 Etudes exp´ erimentales 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.2 Etude exp´erimentale de deux plaques superpos´ees boulonn´ees . . . . 3.2.1 Structure test´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Identification par analyse modale exp´erimentale . . . . . . . . 3.2.3 Identification par la transform´ee en ondelettes . . . . . . . . . 3.2.4 Comparaison des r´esultats issus des deux m´ethodes d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Identification des d´eform´ees modales . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Description de l’exp´erience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Analyse num´erique pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 52 57 58 60 63 65 67 69 82 83 83 83 84 86 89 92 93 98 98 101 103 113

4 Description des ph´ enom` enes de glissement ` a l’interface des liaisons114 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2 Mod`eles de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2.1 Mod`eles statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.2 Mod`eles dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3 Mod`ele ph´enom´enologique de Iwan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.1 Loi de Masing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3.2 Syst`eme `a un ´el´ement ressort-frotteur . . . . . . . . . . . . . . 124 4.3.3 Syst`eme `a trois ´el´ements ressort-frotteur . . . . . . . . . . . . 126 4.3.4 Syst`eme `a N ´el´ements ressort-frotteur . . . . . . . . . . . . . . 128 4.3.5 Syst`eme continu - mod`ele de Iwan . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ´ 4.3.6 Energie dissip´ee et amortissement ´equivalent . . . . . . . . . . 131 4.3.7 Hypoth`ese sur l’´evolution de l’amortissement ´equivalent d’une structure assembl´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.4 Mise en ´evidence du comportement dissipatif de la jonction par un calcul ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4.1 Mod`ele ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.4.2 Conditions aux limites de contact avec frottement . . . . . . . 135 4.4.3 R´esolution du mod`ele de contact et calcul de l’´energie dissip´ee 138

4.5

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5 Pr´ ediction de l’amortissement modal ´ equivalent par calcul 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Description de la proc´edure du calcul pr´edictif . . . . . . . . . 5.2.1 Mod´elisation lin´eaire de la jonction . . . . . . . . . . . 5.2.2 Conditions aux limites du mod`ele non-lin´eaire . . . . . 5.2.3 Mod´elisation du contact avec frottement . . . . . . . . 5.2.4 Mod´elisation de la pression `a l’interface . . . . . . . . . 5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement valent par calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Poutres boulonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Plaques boulonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´equi. . . . . . . . . . . . . . . .

145 145 145 148 148 149 149 151 151 164 168

Conclusion g´ en´ erale

169

Perspectives

172

Bibliographie

174

Table des figures 1.1 1.2 1.3

Limites de l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´esolution temps-fr´equence de la transform´ee en ondelettes . . . . . . Superposition partielle des ondelettes expliquant la redondance de la TO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonction de Morlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Diff´erentes repr´esentations graphiques de la transform´ee en ondelettes 1.7 Approximation de la d´ecroissance du signal asymptotique . . . . . . . 1.8 Comparaison des m´ethodes de reconstitution temporelle et fr´equentielle 1.9 Estimation de la fr´equence propre lin´eaire non-amortie par extrapolation lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Excitation impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Excitation sinuso¨ıdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Excitation al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Prolongation par un signal harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Influence de la prolongation sur l’´evolution de l’arrˆete . . . . . . . . . 1.15 Influence de la prolongation sur la reconstruction de l’enveloppe du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16 Influence de la prolongation sur l’identification des param`etres modaux 1.17 Comparaison de la fonction de Morlet avec ses d´eriv´ees . . . . . . . . ´ 1.18aEtapes principales de l’identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.18bEtapes principales de l’identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 12

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

53 53 54 54 55 55 56 56 58 59 59 59

R´eponse libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transform´ee en ondelettes globale . . . . . . . . . . . . . . Transform´ee en ondelettes locale et son arˆete . . . . . . . . Transformation du signal en d´eplacement . . . . . . . . . . Logarithme du module de la T O et argument de la T O . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude Comparaison du signal r´eel avec le signal recalcul´e . . . . . R´eponse libre du syst`eme `a frottement sec . . . . . . . . . Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre . . . . . . . Logarithme du module de la T O et argument de la T O . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps . . .

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14 16 17 18 20 22 33 42 42 43 44 44 45 45 46 48 49

2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40

Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude . . . . . . Enveloppes reconstitu´ee et analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´eponse libre du syst`eme `a raideur quadratique . . . . . . . . . . . . Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre . . . . . . . . . . . . . Logarithme du module de la T O et argument de la T O . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps . . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude . . . . . . R´eponse libre du syst`eme `a amortissement quadratique . . . . . . . . Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre . . . . . . . . . . . . . Logarithme du module de la T O et argument de la T O . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps . . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude . . . . . . Enveloppes reconstitu´ee et analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´eponse libre du syst`eme `a raideur cubique . . . . . . . . . . . . . . Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre . . . . . . . . . . . . . Logarithme du module de la T O et argument de la T O . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps . . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude . . . . . . R´eponse libre du syst`eme `a raideur et amortissement quadratiques . . Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre . . . . . . . . . . . . . Logarithme du module de la T O et argument de la T O . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps . . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude . . . . . . Enveloppes reconstitu´ee et analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sch´ema du syst`eme non-lin´eaire `a deux ddl . . . . . . . . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents `a partir du calcul analytique . . . . . Algorithme du calcul de l’amplitude des vibrations stationnaires . . . Exemple de r´esultats issus du calcul it´eratif de la r´eponse forc´ee du syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.41 R´eponses fr´equentielles fournies par la formulation ´equivalente lin´eaire 2.42 Comparaison des r´eponses libres `a diff´erents niveaux de condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.43 Comparaison des r´eponses forc´ees du syst`eme en r´egime stationnaire `a diff´erents niveaux d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.44 Effet de l’amortissement tr`es ´elev´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.45 Mise en ´evidence de le pr´esence des harmoniques d’ordres sup´erieurs dans la r´eponse libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.46aR´eponses du syst`eme aux excitations harmoniques interrompues . . . 2.47bR´eponses du syst`eme aux excitations harmoniques interrompues . . . 2.48 Amortissement ´equivalent identifi´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.49 Fr´equence propre ´equivalente identifi´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.50 Variation des valeurs propres en fonction du temps . . . . . . . . . . 2.51 Variation des vecteurs propres en fonction de l’amplitude des deux ddl 3.1 3.2

60 60 61 61 61 62 62 63 63 63 64 64 64 65 65 65 66 66 67 67 67 68 68 68 69 71 72 73 74 75 76 77 78 79 79 80 80 81 81

G´eom´etrie de la structure test´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Instrumentation des plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Modes propres ´etudi´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 F RF `a partir d’une mesure en bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . 86 FRF non-lin´eaires du premier mode propre . . . . . . . . . . . . . . . 87 FRF lin´eaires du premier mode propre . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ´ Evolutions de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations 88 ´ Evolutions de la fr´equence propre en fonction de l’amplitude des vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.10 R´eponse `a un lˆacher dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.11 Transform´ee en ondelettes des r´eponses . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.12 Variation de la fr´equence propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.13 Variation de l’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.14 Enveloppes reconstitu´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.15 Signaux reconstitu´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 ´ 3.16 Evolutions de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations 92 3.17 Comparaison des r´esultats issus des deux m´ethodes d’identification . 93 3.18 Mod`ele ´el´ements finis de la structure ´etudi´ee . . . . . . . . . . . . . . 94 3.19 Vue de la cam´era . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.20 Illustration de quelques ´etapes de la cr´eation du mod`ele exp´erimental 96 3.21 Comparaison des modes propres mesur´es et calcul´es . . . . . . . . . . 97 3.22 Crit`eres d’assurance modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.23 Vue ´eclat´ee de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.24 Syst`eme de mesure des efforts de serrage . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.25 Instrumentation de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.26 Alimentation de l’´electro-aimant via la commande relais optocoupl´e . 101 3.27 Montage complet de l’exp´erimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.28 Mod`eles ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.29aPremier mode propre du mod`ele avec contact direct - 169.9 Hz . . . 102 3.29bPremier mode propre du mod`ele avec rondelles intercal´ees - 187.3 Hz 103 ´ 3.30 Evolution de la FRF au voisinage du premier mode propre pour diff´erents efforts de serrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.31aAmplitude de la FRF au voisinage du premier mode propre pour les quatre assemblages ´etudi´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.31bAmplitude de la FRF au voisinage du premier mode propre pour les quatre assemblages ´etudi´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.32 Variation du premier mode en fonction de l’amplitude pour diff´erents niveaux de serrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.33 Corr´elation essai/calcul du premier vecteur propre . . . . . . . . . . . 109 3.34 Param`etres modaux ´equivalents identifi´es `a partir des diff´erents capteurs109 ´ 3.35 Evolution de la fr´equence propre en fonction de l’amplitude modale . 110 ´ 3.36 Evolution de l’amortissement en fonction de l’amplitude modale . . . 111 ´ 3.37 Evolution de la fr´equence propre en fonction de trois param`etres : amplitude des vibrations, effort de serrage et type d’assemblage . . . 112 ´ 3.38 Evolution de l’amortissement en fonction de trois param`etres : amplitude des vibrations, effort de serrage et type d’assemblage . . . . . . 112

4.1 4.2 4.3

4.35 4.36

Notations utilis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Force de frottement selon la loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . 117 Force de frottement constituant le frottement de Coulomb et le frottement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Exemple de caract´eristique de frottement selon le mod`ele de Stribeck 118 Courbe force-d´eplacement `a partir de mod`ele de Dahl . . . . . . . . . 119 Mod´elisation du frottement par interaction des fibres `a brosse . . . . 119 Courbe force-d´eplacement `a partir de mod`ele de Valanis . . . . . . . 121 Mod`eles physique et math´ematique de l’´el´ement ressort-frotteur . . . 122 Mod´elisation du comportement des liaisons par des ´el´ements ressortfrotteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Force tangentielle dans la liaison en fonction du d´eplacement relatif selon la loi de Masing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Syst`eme `a un ´el´ement ressort-frotteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Cycle d’hyst´er´esis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 ´ Energie dissip´ee en fonction de l’amplitude du d´eplacement . . . . . . 126 Syst`eme `a trois ´el´ements ressort-frotteur . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Cycle d’hyst´er´esis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ´ Energie dissip´ee en fonction de l’amplitude de d´eplacement . . . . . . 127 ´ Energie dissip´ee en fonction de l’amplitude du d´eplacement . . . . . . 128 Mod`ele de Iwan du comportement hyst´er´etique de la liaison . . . . . 129 Force et ´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude selon le mod`ele de Iwan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Syst`eme `a un ddl `a amortissement visqueux . . . . . . . . . . . . . . 131 Cycles d’hyst´er´esis des diff´erents mod`eles de dissipation d’´energie . . 132 ´ Evolution attendue de l’amortissement ´equivalent bas´ee sur le mod`ele de Iwan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Structure assembl´ee `a comportement dissipatif par frottement . . . . 134 Mod`ele des deux poutres discr´etis´e en ´el´ements coques . . . . . . . . 135 Loi de Coulomb quasi-statique r´egularis´ee . . . . . . . . . . . . . . . 136 Conditions aux limites de contact appliqu´ees aux ´el´ements coques . . 137 ´ Evolution de la pression `a l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 ´ Evolution de la contrainte de cisaillement sur l’interface . . . . . . . . 139 ´ Evolution de la zone de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 ´ Evolution du glissement relatif `a l’interface . . . . . . . . . . . . . . . 140 ´ Evolution de la contrainte de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . 141 ´ Evolution de la contrainte de cisaillement issue du mod`ele ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 ´ Ecart entre les mod`eles analytique et num´erique en terme de glissement `a l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 ´ Evolution de l’´energie dissip´ee par frottement pendant un cycle de chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 ´ Evolution de l’´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude de chargement143 ´ Evolution du rapport ´energie dissip´ee/´energie de d´eformation . . . . . 143

5.1

Sch´ema de la proc´edure de calcul de l’amortissement modal ´equivalent 147

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31 4.32 4.33 4.34

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23

Variation temporelle de la force axiale dans l’une des vis des poutres boulonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Mod´elisation de la pression interfaciale dans une jonction boulonn´ee . 150 Conditions aux limites appliqu´ees au mod`ele “local” . . . . . . . . . . 152 Discr´etisation par ´el´ements finis du mod`ele “local” des deux poutres . 153 Confrontation de l’´energie dissip´ee par frottement issue du calcul avec l’usure constat´ee sur la structure r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Sensibilit´e du mod`ele “local” `a la raideur kt . . . . . . . . . . . . . . . 155 Influence du coefficient de frottement sur le comportement dissipatif du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Sections m´eridiennes de la pression autour des vis pour trois valeurs diff´erentes du param`etre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Influence de la r´epartition de pression `a l’interface sur le comportement dissipatif du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Influence de la taille de zone de pression `a l’interface sur le comportement dissipatif du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Amortissement modal ´equivalent pour les trois tailles de rondelles obtenues dans les mˆemes conditions de serrage . . . . . . . . . . . . . 158 Influence de la force axiale dans la vis sur le comportement dissipatif du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Comparaison de l’amortissement mesur´e et calcul´e . . . . . . . . . . . 159 ´ Evolutions des param`etres de la r´epartition de pression en fonction de la force de serrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Sections m´eridiennes de la r´epartition de pression autour des vis pour diff´erentes forces de serrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Int´egration de la r´epartition de pression dans le mod`ele ´el´ements finis 161 Comparaison de l’amortissement mesur´e et calcul´e pour diff´erents valeurs de la force axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 ´ Evolutions de l’´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude des vibrations163 Discr´etisation des mod`eles “local” et “global” par les ´el´ements coques . 164 Conditions aux limites appliqu´ees au mod`ele “local” . . . . . . . . . . 165 Comparaison de l’amortissement mesur´e et calcul´e pour le premier mode propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Comparaison de l’amortissement mesur´e et calcul´e pour les modes propres 2,3,4 et 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

´ 5.24 Evolution attendue de l’amortissement ´equivalent bas´ee sur le mod`ele de Iwan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.25 Exemple d’une param´etrisation de l’´evolution de l’amortissement modal ´equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Liste des tableaux 2.1 2.2 2.3 2.4

Valeurs des param`etres modaux identifi´es et erreurs correspondantes Syst`emes non-lin´eaires ´etudi´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Param`etres modaux ´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilan des erreurs sur les param`etres identifi´es . . . . . . . . . . . .

3.1

Comparaison des fr´equences propres mesur´ees et calcul´ees

4.1 4.2

Correspondance entre les param`etres suivant le domaine d’application R´esultats relatifs aux deux poutres assembl´ees pr´esent´es par Goodman et Klumpp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Param`etres du mod`ele ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . Param`etres constants du mod`ele ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . .

4.3 4.4 5.1 5.2 5.3

Jeu de param`etres du mod`ele “local” issu de recalage . Param`etres de la r´epartition de pression recal´es sur les p´erimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jeu de param`etres du mod`ele “local” issu de recalage .

. . . .

57 57 58 69

. . . . . . 86

. . . . . r´esultats . . . . . . . . . .

129 134 135 138

. . . 159 ex. . . 160 . . . 166

Introduction g´ en´ erale Les sp´ecifications concernant la « qualit´e vibroacoustique » des structures sont de plus en plus s´ev`eres. C’est particuli`erement le cas dans le domaine des transports (automobiles, avions, navires) o` u le confort des passagers devient un crit`ere pr´edominant de choix. De ce fait, l’´etude du comportement dynamique des structures au stade de la conception est devenue incontournable. D’´enormes progr`es ont ´et´e accomplis cette derni`ere d´ecennie dans le domaine de la simulation num´erique grˆace aux logiciels de calcul ´el´ements-finis qui ont su exploiter l’extraordinaire d´eveloppement de la puissance des processeurs. Par ailleurs, la confrontation des r´esultats du calcul et de l’exp´erience a permis le d´eveloppement de m´ethodes de recalage assurant une bonne repr´esentativit´e du comportement dynamique de structures complexes dans une bande fr´equentielle donn´ee. La « qualit´e vibroacoustique » des structures d´epend essentiellement de trois facteurs : l’excitation, les caract´eristiques modales de la structure et l’amortissement. C’est ce dernier facteur fondamental qui est le plus mal maˆıtris´e, `a tel point que les calculs de r´eponse dynamique sont souvent faits en introduisant des amortissements arbitraires estim´es `a partir d’essais. Compte tenu des exigences de plus en plus s´ev`eres requises sur le comportement vibroacoustique des structures, on ne peut plus se contenter de cette approche arbitraire de l’amortissement. Il devient par cons´equent urgent de mettre au point une m´ethodologie permettant de comprendre et quantifier les ph´enom`enes d’amortissement au stade de la conception. Le secteur automobile est tr`es concern´e par cette probl´ematique. En effet, une caisse en blanc est form´ee exclusivement par l’assemblage de sous-ensembles fabriqu´es `a partir de tˆoles minces form´ees par emboutissage et assembl´ees par points de soudure ´electrique (PSE) de fa¸con `a leur conf´erer des propri´et´es m´ecaniques donn´ees. On trouve ´egalement pour assembler les diff´erents constituants d’autres proc´ed´es de liaison par boulonnage ou rivetage. On sait que l’amortissement constat´e dans les structures assembl´ees est tr`es sup´erieur a` celui intrins`eque au mat´eriau. Il provient essentiellement des pertes d’´energie dues aux microglissements entre les faces en contact. Ces ph´enom`enes sont extrˆemement complexes car ces pertes d’´energie d´ependent des pressions de contact et de l’amplitude de vibration, conduisant `a un comportement non-lin´eaire de la structure. 1

Le travail pr´esent´e dans ce m´emoire s’inscrit dans le cadre de l’´etude du comportement dissipatif des structures assembl´ees ax´ee sur la caract´erisation et la quantification de l’amortissement.

´ Etat de l’art Les travaux de recherche concernant les structures assembl´ees peuvent ˆetre class´es en deux cat´egories selon les hypoth`eses faites quant au comportement des jonctions. La premi`ere cat´egorie utilise des mod`eles lin´eaires qui sont bien appropri´es aux jonctions dont la transmissibilit´e est quasi-lin´eaire. Cette approche consiste essentiellement `a utiliser des syst`emes ressort-amortisseur afin de mod´eliser la rigidit´e ainsi que les propri´et´es dissipatives des jonctions. La deuxi`eme cat´egorie concerne l’analyse vibratoire des jonctions `a comportement non-lin´eaire. Le travail synth´etis´e dans ce m´emoire s’inscrivant dans ce cadre, nous allons pr´esenter un bref r´esum´e des travaux effectu´es jusqu’`a pr´esent dans ce domaine. Les premiers travaux sont pr´esent´es de fa¸con chronologique, les travaux plus r´ecents suivant les approches adopt´ees. La motivation principale de l’´etude du comportement dynamique non-lin´eaire des jonctions est li´ee `a leur capacit´e de dissipation d’´energie. Il s’agit d’un moyen de contrˆole passif des vibrations car la dissipation d’´energie r´esulte en une diminution de l’amplitude des vibrations. Les ph´enom`enes mis en jeu au sein d’une jonction sont extrˆemement complexes et plusieurs m´ecanismes de dissipation d’´energie peuvent ˆetre mis en cause. Le frottement entre les sous-structures est n´eanmoins souvent consid´er´e comme l’un des m´ecanismes pr´epond´erants. Les premiers travaux de recherche dans ce domaine ont ´et´e centr´es sur l’amortissement dˆ u au frottement dans les structures assembl´ees constitu´ees d’´el´ements simples tels que les poutres. C’est en r´ef´erence aux probl`emes de vibrations des aubes de turbine que L.E Goodman et J.H Klumpp [Goo56] d´eveloppent en 1956 une th´eorie sur l’´energie dissip´ee par frottement `a l’interface de deux sous-structures. Ils consid`erent deux poutres superpos´ees encastr´ees-libres, charg´ees d’une force `a l’extr´emit´e libre. En supposant une pression uniforme `a l’interface et en appliquant la th´eorie des poutres de Bernoulli, ils aboutissent `a une ´equation exprimant l’´energie dissip´ee par frottement `a l’interface. Ils ´etudient ensuite les rˆoles de diff´erents param`etres dans la dissipation d’´energie. Il prouvent ainsi qu’il existe une valeur optimale de la pression `a l’interface, pour laquelle l’´energie dissip´ee est maximale. En parall`ele, une exp´erimentation est mise en oeuvre permettant de valider les r´esultats analytiques. T.H.H. Pian [Pia57] pr´esente en 1957 un travail de recherche similaire `a celui de Goodman et Klumpp. Pian analyse l’amortissement provenant du frottement dans une poutre sandwich charg´ee en flexion faisant ainsi r´ef´erence aux structures a´eronautiques. En 1959, Goodman [Goo59] enrichit ses r´esultats analytiques en d´emontrant que l’´energie dissip´ee par frottement pendant un cycle de chargement est proportionnelle au cube de l’amplitude de la force appliqu´ee. Ungar [Ung64, Ung73] effectue dans les ann´ees 70 de nombreux essais et analyses 2

afin d’identifier le m´ecanisme principal `a l’origine de la perte d’´energie dans les structures assembl´ees. Il s’int´eresse notamment aux structures a´eronautiques constitu´ees de poutres et de plaques renforc´ees. Les conclusions importantes issues des ses travaux sont les suivantes : • Le m´ecanisme de dissipation d’´energie d´epend du type de structure (poutre/plaque) ainsi que de la bande fr´equentielle consid´er´ee. • L’amortissement dans les structures constitu´ees de poutres est fortement influenc´e par le frottement `a l’interface des sous-structures. Le mod`ele de frotte` hautes fr´equences, ment de Coulomb est pertinent dans les basses fr´equences. A la variation du coefficient de frottement en fonction de la vitesse doit ˆetre prise en compte car la vitesse relative `a l’interface atteint des valeurs non n´egligeables. • L’incertitude subsiste quant au m´ecanisme de dissipation d’´energie `a basses ` hautes fr´efr´equences dans des structures constitu´ees de plaques renforc´ees. A quences, le pompage d’air entre les ´el´ements adjacents semble ˆetre la source primaire de dissipation d’´energie. Ungar compl`ete ses travaux par de nombreuses formules semi-empiriques permettant de calculer le facteur de perte d’´energie de structures sp´ecifiques. Masuko, Ito et Yoshida [Mas73] pr´esentent en 1973 une ´etude ayant pour but d’´evaluer le coefficient d’amortissement relatif au microglissement `a l’interface de deux poutres encastr´ees-libres. Ils expriment analytiquement l’´equation du d´ecr´ement logarithmique correspondant. Ce dernier est ensuite mesur´e sur une structure r´eelle et les r´esultats accusent un accord satisfaisant avec les r´esultats th´eoriques. On peut constater que les premiers travaux dans ce domaine portent sur la compr´ehension du m´ecanisme de perte d’´energie dans les jonctions avec une attention particuli`ere sur le ph´enom`ene de frottement `a l’interface. Les g´eom´etries utilis´ees sont simples de fa¸con `a donner acc`es `a des solutions analytiques. L’avantage de cette approche r´eside ´evidemment dans le fait de pouvoir facilement ´etudier l’influence de diff´erents param`etres sur la dissipation d’´energie. Plus r´ecemment, grˆace `a l’´evolution des moyens de calcul, les analyses se sont orient´ees vers des structures plus complexes en utilisant des m´ethodes num´eriques, en particulier celle des ´el´ements finis. Cette nouvelle approche a ouvert la porte au d´eveloppement de m´ethodes plus g´en´eralistes incluant des jonctions `a comportement non-lin´eaire. La source principale de non-lin´earit´e retenue dans la plupart des ´etudes est le frottement `a l’interface. Cependant, la simulation par la m´ethode des ´el´ements finis du comportement dynamique des structures assembl´ees conduit `a des mod`eles comportant un grand nombre de degr´es de libert´e. Ceci est dˆ u au fait que ce type de simulation n´ecessite une discr´etisation tr`es fine des zones en contact. Une autre difficult´e est li´ee `a la taille de l’incr´ement de chargement qui doit ˆetre suffisamment petite pour assurer la convergence, ce qui se traduit par un nombre d’it´erations tr`es ´elev´e. Ainsi, la mise en œuvre pratique de la simulation par ´el´ements finis d’une structure assembl´ee conduit g´en´eralement `a des coˆ uts de calcul r´edhibitoires et qui ne peuvent en aucun cas ˆetre int´egr´es dans une boucle d’optimisation. Une premi`ere approche pour surmonter ces difficult´es consiste `a assembler diff´erentes sous-structures `a l’aide d’´el´ements sp´ecifiques capables d’approcher le comportement 3

constitutif des jonctions. Ces ´el´ements sont bas´es sur les mod`eles du comportement interfacial reproduisant la non-lin´earit´e des jonctions `a la fois en raideur et en amortissement. Nous mentionnons ci-dessous quelques travaux relatifs `a cette approche : • Gaul [Gau97] emploie le mod`ele de Dahl [Dah76] connu plutˆot pour son application dans la m´ecanique des solides. • Plusieurs chercheurs [Son04, Son02, Seg01] utilisent le mod`ele de Iwan initialement propos´e pour repr´esenter le comportement visco-plastique des mat´eriaux. • Ren [Yin92] propose dans sa th`ese un nouveau mod`ele du comportement interfacial. Celui-ci est bas´e sur la d´ecomposition de l’interface en petites surfaces dont le comportement est mod´elis´e par des ´el´ements ressort-frotteur. • Sanliturk et Ewins [San96] proposent une nouvelle approche de la mod´elisation du contact ponctuel avec frottement bas´ee sur les travaux de Menq [Che00]. Les mod`eles sont g´en´eralement d´efinis `a l’aide de plusieurs param`etres d´ependant des propri´et´es des jonctions. Pour une jonction concr`ete donn´ee, une ´etape d’identification doit donc avoir lieu au pr´ealable. Elle peut ˆetre effectu´ee par une analyse de contact r´ealis´ee sur un mod`ele num´erique d´etaill´e de la jonction [Gau97, Seg01]. Une autre approche consiste `a identifier ces param`etres par voie exp´erimentale [Har03]. L’utilisation de ces mod`eles repose le plus souvent sur leur int´egration dans les codes ´el´ements finis. Les approches temporelles ou fr´equentielles peuvent ˆetre adopt´ees pour calculer la r´eponse des syst`emes incluant les mod`eles constitutifs des jonctions. Le traitement du probl`eme dans le domaine temporel permet d’obtenir la r´eponse transitoire du syst`eme [Gau97, Yin92]. L’analyse dans le domaine fr´equentiel permet de calculer la r´eponse forc´ee en utilisant des m´ethodes approch´ees telles que l’´equilibrage harmonique [Sex02, Fer98]. Plus r´ecemment, de nouvelles techniques de calcul apparaissent. Guillen [Gui99] propose dans sa th`ese traitant de vibrations d’aubes de turbine un algorithme hybride exploitant `a la fois les domaines temporel et fr´equentiel. Une autre famille de m´ethodes est enfin bas´ee sur l’utilisation de l’approche de l’analyse modale ´etendue aux probl`emes de structures non lin´eaires. Il s’agit par exemple d’utiliser les modes non-lin´eaires [L. 90] pour caract´eriser les r´eponses forc´ees et construire des mod`eles r´eduits pertinents. Ferreira et Ewins [Fer98] proposent une m´ethode d’imp´edance non-lin´eaire reposant sur la technique dite Multi-Harmonic Describing Function. Il s’agit ici de prendre en compte les oscillations harmoniques de la structure `a des fr´equences multiples de la fr´equence d’excitation. Pour traiter les non-lin´earit´es, Siller [Sil04] propose d’utiliser une fonction de r´eponse fr´equentielle (F RF ) non-lin´eaire d´ependant de l’amplitude de vibration. Une m´ethode de d´etection des non-lin´earit´es `a partir de cette F RF est ensuite mise en œuvre. Plusieurs auteurs [Klu98, Kes01] proposent de caract´eriser les non-lin´earit´es provenant des jonctions par les param`etres modaux ´equivalents repr´esentant les variations de l’amortissement modal et de la fr´equence propre en fonction de l’amplitude des vibrations. 4

Les objectifs de l’´ etude ` l’heure actuelle, l’identification du comportement dynamique des structures A assembl´ees s’effectue le plus souvent en appliquant les m´ethodes destin´ees aux syst`emes lin´eaires. Il s’agit notamment de la technique de l’analyse modale qui est bien maˆıtris´ee dans le milieu industriel. Or l’utilisation de cette m´ethode pr´esume que les non-lin´earit´es introduites par les jonctions sont n´egligeables. La question g´en´erale soulev´ee par cette ´etude est celle de l’influence de la pr´esence de jonctions dans la structure sur la lin´earit´e de son comportement dynamique. Cette lin´earit´e peut se traduire par l’ind´ependance des param`etres modaux vis-`a-vis des variables d’´etat du syst`eme. En admettant que le frottement au niveau des jonctions joue un rˆole important dans le comportement dynamique, l’amplitude des vibrations doit avoir une certaine influence sur les param`etres modaux. La v´erification de cette hypoth`ese constitue le premier objectif de ce m´emoire. Comme il a ´et´e soulign´e pr´ec´edemment, les jonctions m´ecaniques sont des ´el´ements tr`es complexes dont le comportement est conditionn´e par un grand nombre de param`etres. Cependant, du point de vue du frottement s’exer¸cant au sein d’une jonction, la pression de serrage et la superficie de l’interface sont deux param`etres particuli`erement importants. L’analyse de leur influence sur le comportement dissipatif des structures assembl´ees est le deuxi`eme objectif de ce travail. Malgr´e les nombreux travaux effectu´es jusqu’`a pr´esent sur le comportement vibratoire des structures assembl´ees, l’amortissement de ces derni`eres reste le ph´enom`ene le moins maˆıtris´e en dynamique des structures. Pourtant, la connaissance des propri´et´es dissipatives des structures est cruciale pour la d´etermination du niveau de r´eponse vibratoire sous sollicitations dynamiques. Ce niveau de r´eponse est un crit`ere fondamental quant `a la fiabilit´e et au confort vibro-acoustique. La compr´ehension et la maˆıtrise des ph´enom`enes d’amortissement provenant des jonctions sont donc essentiels dans la phase de conception des syst`emes m´ecaniques. La troisi`eme partie de cette ´etude tente d’expliciter les principes gouvernant la dissipation d’´energie par frottement `a l’interface de deux sous-structures. Enfin, le dernier objectif de cette ´etude est li´e `a la n´ecessit´e de pr´edire l’amortissement dans la phase de conception d’un syst`eme m´ecanique.

Organisation du m´ emoire Ce m´emoire est divis´e en deux grandes parties qui s´eparent les travaux traitant la probl´ematique par voie exp´erimentale et num´erique, chaque partie ´etant organis´ee en chapitres. Le premier et le deuxi`eme chapitre sont consacr´es au d´eveloppement d’une nouvelle technique exp´erimentale d’identification des param`etres modaux ´equivalents. Elle permet d’identifier l’´evolution de la fr´equence propre et de l’amortissement modal en fonction de l’amplitude des vibrations `a partir d’une seule mesure de r´eponse `a un lˆacher dynamique. Le principe de cette technique repose sur l’utilisation de la m´ethode du d´ecr´ement logarithmique appliqu´ee dans le domaine temps-fr´equence. Le passage dans ce domaine s’effectue `a l’aide de la transform´ee en ondelettes. Cette 5

technique a ensuite ´et´e int´egr´ee dans une m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents. La validation de cette m´ethode est effectu´ee en traitant les mod`eles math´ematiques de syst`emes dynamiques discrets `a un et `a deux degr´es de libert´e. Le troisi`eme chapitre pr´esente deux exp´erimentations sur des structures assembl´ees simples permettant d’´etudier l’influence de la pr´esence de jonctions sur le comportement dynamique. La m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents pr´esent´ee pr´ec´edemment est bien entendu utilis´ee. La premi`ere ´etude exp´erimentale a pour but d’´evaluer l’influence de la d´eform´ee propre sur les param`etres modaux. L’objectif de la deuxi`eme ´etude est d’analyser l’´evolution des param`etres modaux ´equivalents en fonction de la superficie de l’interface et de la pression `a l’interface. La partie “num´erique” est introduite par le chapitre quatre, lequel pr´esente une description ph´enom´enologique du frottement interfacial. Les caract´eristiques de l’´evolution de l’amortissement ´equivalent sont ´etudi´ees en utilisant le mod`ele du comportement interfacial de Iwan. Une analyse de contact par ´el´ements finis d’une structure assembl´ee acad´emique est ´egalement r´ealis´ee. Les r´esultats issus de ce calcul sont confront´es aux r´esultats analytiques afin de valider les conditions de contact appliqu´ees. Le cinqui`eme et dernier chapitre pr´esente une m´ethode de pr´ediction par calcul de l’amortissement ´equivalent dˆ u au frottement `a l’interface de sous-structures. Cette proc´edure est bas´ee sur deux calculs par ´el´ements finis effectu´es successivement. Dans un premier temps l’analyse modale d’un mod`ele lin´eaire de la structure compl`ete est effectu´ee, conduisant au calcul des fr´equences et modes propres associ´es. Dans un deuxi`eme temps une analyse non-lin´eaire statique d’un mod`ele de la jonction m´ecanique est effectu´ee en lui imposant des d´eplacements permettant d’approcher la d´eform´ee modale. L’objectif de cette seconde analyse est d’´evaluer la quantit´e d’´energie dissip´ee `a l’interface par frottement lors de vibrations `a la fr´equence propre. L’amortissement ´equivalent est enfin calcul´e en se basant sur une formulation ´energ´etique. L’ensemble de cette d´emarche est ensuite appliqu´e aux structures trait´ees dans la partie “exp´erimentale” afin de pouvoir comparer les r´esultats num´eriques et exp´erimentaux.

6

Chapitre 1 Identification exp´ erimentale des param` etres modaux ´ equivalents de structures faiblement non-lin´ eaires 1.1

Introduction

La mise au point des mod`eles de pr´evision de comportement des structures assembl´ees n´ecessite d’´etablir une caract´erisation du comportement dynamique des jonctions m´ecaniques. Cette caract´erisation doit satisfaire `a quelques crit`eres sp´ecifiques : • La capacit´e d’´evaluer les non-lin´earit´es du comportement de fa¸con quantitative et qualitative. C’est-`a-dire qu’elle doit permettre d’estimer le niveau de nonlin´earit´e (faible, fort) ainsi que le type de non-lin´earit´e (de raideur, d’amortissement, cubique, quadratique, . . . ). • Une int´egration simple dans les m´ethodes de calcul du comportement dynamique. • La possibilit´e d’identification exp´erimentale des param`etres caract´eristiques par un moyen d’essai suffisamment simple `a mettre en œuvre. Le concept des param`etres modaux ´equivalents semble ˆetre l’une des caract´erisations qui r´epondent bien aux crit`eres mentionn´es ci-dessus. Il s’agit d’une approche ´etroitement li´ee `a l’analyse modale, ce qui est une garantie de simplicit´e et de bonne int´egration dans les m´ethodes existantes. Dans cette approche, le comportement vibratoire d’un syst`eme est caract´eris´e par les ´evolutions de la fr´equence propre et de l’amortissement modal en fonction de l’amplitude des vibrations. Le niveau de variation de ces param`etres est un bon indicateur du degr´e de non-lin´earit´e du syst`eme alors que l’allure des ´evolutions des param`etres fournit des informations sur le caract`ere des non-lin´earit´es. L’application de cette m´ethode de caract´erisation est limit´ee aux syst`emes faiblement non-lin´eaires de par son incapacit´e `a prendre en compte la pr´esence d’harmoniques. Ce chapitre est consacr´e au d´eveloppement d’un nouveau moyen d’essai permettant d’identifier les param`etres modaux ´equivalents. L’approche utilis´ee consiste principalement `a appliquer la m´ethode du d´ecr´ement logarithmique `a la r´eponse du syst`eme `a un lˆacher dynamique. La d´emarche d’identification s’effectue dans le domaine temps7

1.2 Transform´ee en ondelettes

fr´equence grˆace `a la transform´ee en ondelettes appliqu´ee `a la r´eponse. L’extraction des param`etres modaux ´equivalents `a partir de la r´eponse libre du syst`eme est bas´ee sur la m´ethode asymptotique ´elabor´ee par Krylov et Bogoljubov. Cette m´ethode a ´et´e ´etendue aux syst`emes `a plusieurs degr´es de libert´e afin de permettre son application aux syst`emes continus. Dans un premier temps, nous pr´esenterons la d´efinition de la transform´ee en ondelettes et son application aux signaux correspondant `a des r´eponses vibratoires. Nous d´etaillerons ensuite les probl`emes sp´ecifiques li´es aux m´ethodes de calcul num´erique de la transform´ee en ondelettes. Dans un deuxi`eme temps, nous nous int´eresserons `a la d´emarche d’identification des param`etres modaux ´equivalents relative `a des syst`emes `a un et `a N degr´es de libert´e.

1.2 1.2.1

Transform´ ee en ondelettes Introduction

L’analyse de Fourier est sans conteste l’un des outils les plus puissants d´evelopp´es par les math´ematiciens et les physiciens. N´eanmoins, elle se r´ev`ele parfois inadapt´ee `a la description de fonctions ou signaux que l’on peut rencontrer couramment. La raison essentielle est qu’elle atteint ses performances optimales dans un contexte stationnaire, c’est `a dire quand le spectre fr´equentiel du signal analys´e est invariant par translation temporelle. L’exemple suivant met en ´evidence les limites de l’analyse de Fourier. Consid´erons deux signaux dont l’un est stationnaire et l’autre non-stationnaire. Le premier signal est une superposition de quatre sinus de fr´equences diff´erentes (Fig.1.6(a)), le second est compos´e de quatre sinus juxtapos´es sur quatre intervalles temporels cons´ecutifs (Fig.1.6(b)). Notons que les quatre fr´equences sont identiques dans les deux cas. En observant ces deux signaux dans le domaine temporel, nous constatons qu’ils sont fondamentalement diff´erents. En revanche, si nous transformons ces signaux dans le domaine fr´equentiel, nous constatons que leurs repr´esentations fr´equentielles ne montrent que peu de diff´erence. Ces limites apparentes de la transform´ee de Fourier sont li´ees au support du noyau de la transform´ee. Ce noyau est constitu´e des fonctions trigonom´etriques dont le support est infini. Par cons´equent, l’information fr´equentielle port´ee par ces fonctions n’est pas localis´ee en temps et le spectre fr´equentiel poss`ede toutes les fr´equences contenues dans le signal tout au long de sa dur´ee. Cet exemple montre que dans certains cas il peut ˆetre pr´ef´erable d’utiliser une repr´esentation temps-fr´equence qui fournira une caract´erisation plus compl`ete du signal. Il existe une infinit´e de fa¸cons diff´erentes de construire des correspondances entre le signal et une fonction de deux variables. En pratique nous nous limitons `a une sous-classe de correspondances : T : f (t) −→ Tf (s, τ ) s ∼ f r´ equence, τ ∼ temps qui peut poss´eder des propri´et´es particuli`eres : • Lin´earit´e : Tα f +β g = α Tf + β Tg • Covariance : certaines transformations naturelles de la fonction analys´ee (trans8

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires lation, modulation, dilatation, etc.) se traduisent de mani`ere simple sur la repr´esentation temps-fr´equence. • Lisibilit´e : la repr´esentation choisie doit permettre de mettre en ´evidence certains types d’informations sur la fonction analys´ee. • Etc.

(b) Signal non-stationnaire

(a) Signal stationnaire

Fig. 1.1 − Limites de l’analyse de Fourier

L’espace temps-fr´equence permet de donner une description `a la fois temporelle et fr´equentielle des fonctions ´etudi´ees. La pr´ecision de cette description est limit´ee par l’in´egalit´e de Heisenberg bien connue : ∆t∆ω ≥

1 2

o` u ∆t et ∆ω sont respectivement les ´ecarts types de la fonction en temps et en fr´equence. Cette in´egalit´e montre qu’il n’est pas possible de d´ecrire une fonction avec une pr´ecision infinie simultan´ement en temps et en fr´equence. Les diff´erentes approches de la repr´esentation temps-fr´equence sont plus ou moins bien adapt´ees aux diff´erents types de probl´ematiques. Du point de vue de la dynamique des structures, la transform´ee en ondelettes [Mal00, Kah98] se r´ev`ele ˆetre la m´ethode la plus adapt´ee. Nous allons l’introduire dans le texte suivant afin de d´efinir la m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents. 9

1.2 Transform´ee en ondelettes

1.2.2

D´ efinitions de base

Pr´ecisons tout d’abord les notations utilis´ees. On notera L2 l’ensemble des fonctions de R carr´e int´egrables. La notation f (t) d´esignera la fonction complexe conjugu´ee de la fonction f (t). Finalement nous utiliserons les op´erateurs math´ematiques suivants : • Produit scalaire de deux fonctions de R carr´e int´egrables f, g ∈ L2 (R) Z ∞ hf, gi = f (t) g(t) dt −∞

• Norme d’une fonction f ∈ L2 (R) Z kf k2 = hf, f i =

∞

f (t)2 dt

−∞

• Transform´ ee de Fourier d’une fonction f ∈ L2 (R) Z ∞ Ff (t) = F(f (t)) = f (t) e−i ω t dt = fb(ω) −∞

• Transform´ ee de Fourier inverse d’une fonction f ∈ L2 (R) Z ∞ −1 −1 Ff (ω) = F (f (t)) = f (ω) ei ω t dω −∞

Soit ψ(t) ∈ L2 (R) une fonction dite ondelette m`ere bien localis´ee dans l’espace temps-fr´equence ce qui n´ecessite un support limit´e de la fonction : supp ψ(t) = h−C, Ci. Nous lui associons la famille d’ondelettes ψs,τ (t) dites analysantes, engendr´ee par des translations et des dilatations de ψ(t): 1 t−τ ψs,τ (t) = √ ψ( ) s s supp ψs,τ (t) = h−Cs + τ, Cs − τ i

(1.1)

Le facteur √1s est introduit afin de normaliser les ondelettes par rapport `a la norme k · k2 . Les conditions d’admissibilit´e pour la fonction d’ondelette m`ere sont les suivantes : 2 Z ∞ ψ(ω) Z ∞ b b 2 dω < ∞ , ψ(ω) = 0, ψs,τ (t), dt = 0 (1.2) |ω| ω=0 −∞ −∞ Dans le domaine fr´equentiel, les translations τ et les dilatations s se traduisent de la fa¸con suivante : τ b ψbs,τ (ω) = Fψs,τ (t) = |s| ψ(sω) e−i ω s (1.3) 10

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires ´ Etant donn´ee une ondelette m`ere ψ(t), la transform´ee en ondelettes Tf (s, τ ) est d´efinie par : Z ∞ t−τ 1 )dt (1.4) f (t)ψ( Tf (s, τ ) = hf ; ψs,τ i = √ s s −∞ La variable Tf (s, τ ) est une projection de f (t) sur l’ondelette ψs,τ qui n’est non nulle qu’au voisinage de l’instant τ et de la fr´equence centrale de ψbs,τ . Autrement dit Tf (s, τ ) caract´erise le signal f (t) `a l’´echelle s et `a l’instant τ . La transform´ee inverse s’´ecrit de la mani`ere suivante : Z ∞Z ∞ Z ∞ 1 ds dτ 2 ds b f (t) = Tf (s, τ )ψs,τ o` u, Cψ = |ψ(sω)| (1.5) Cψ 0 s τ s −∞ 0

1.2.3

Localisation dans le domaine temps-fr´ equence

La localisation en temps et en fr´equence de la transform´ee en ondelettes (T O) correspond `a celle de la fonction d’ondelettes. Dans le domaine temporel, la fonction ψs,τ est non-nulle sur un intervalle de r´esolution ∆ts,τ dont le centre est situ´e `a l’instant tcs,τ . Les param`etres ∆ts,τ et tcs,τ repr´esentent respectivement la valeur moyenne et la variance du temps exprim´ees pour une fonction d’ondelette. Cela se traduit par les relations suivantes : R∞ t|ψs,τ |2 dt (1.6) tcs,τ = R−∞ ∞ |ψs,τ |2 t −∞ R∞ (t − tcs,τ )2 |ψs,τ |2 dt ∆t2s,τ = −∞ R ∞ (1.7) |ψs,τ |2 −∞ c et Dans le domaine fr´equentiel la fonction ψbs,τ poss`ede une fr´equence centrale ωs,τ une r´esolution fr´equentielle ∆ωs,τ :

R∞

c ωs,τ

=

2 = ∆ωs,τ

ω|ψbs,τ |2 dω −∞ R∞ |ψbs,τ |2 −∞ R∞ c 2 b ß −∞ (ω − ωs,τ ) |ψs,τ |2 dω R∞ |ψbs,τ |2 −∞

(1.8)

(1.9)

Ces param`etres de localisation permettent de constater que la T O Tf (s, τ ) repr´esente le signal f (t) dans une cellule ∆t(s,τ ) × ∆ω(s,τ ) du plan temps-fr´equence, localis´ee au c voisinage du point tc(s,τ ) , ω(s,τ ). c Soient (t0 = 0/ω0 ) le temps et la fr´equence centraux d’une ondelette m`ere ψt /ψbω dont la r´esolution est (∆t0 /∆ω0 ). D’apr`es les relations pr´ec´edentes, la localisation et la r´esolution d’une ondelette translat´ee et dilat´ee ψs,τ peuvent ˆetre d´eduites `a l’aide 11

1.2 Transform´ee en ondelettes

des propri´et´es de l’ondelette m`ere : tc(s,τ ) = τ ω0c c = ω(s,τ ) s 2 ∆ts,τ = s2 ∆t20 2 = ∆ωs,τ

(1.10) (1.11) (1.12)

∆ω02 s2

(1.13)

La figure 1.2 illustre les r´esolutions de la T O dans l’espace temps-fr´equence. Lorsque la fr´equence augmente, la r´esolution fr´equentielle diminue (la bande fr´equentielle couverte par l’ondelette s’´elargit) et la r´esolution temporelle augmente (la zone temporelle couverte par l’ondelette se r´eduit). Le principe d’Heisenberg implique que le produit des deux r´esolutions reste constant : ∆ts,τ ∆ωs,τ = C ≥

1 2

La valeur de C d´epend uniquement du choix de l’ondelette m`ere et ne peut pas ˆetre inf´erieure `a 12 . Cette constante C peut alors ˆetre consid´er´ee comme un crit`ere de choix de la fonction d’ondelette. 2∆t0 s

2∆ω0 /s

ω = ω0 /s

ω > ω0

s=1

ω0

s>1 2∆t0

2∆t0 s

2∆ω0 /s

2∆ω0

s<1

ω < ω0

τ

t

Fig. 1.2 − R´esolution temps-fr´equence de la transform´ee en ondelettes

1.2.4

M´ ethodes de calcul de la transform´ ee en ondelettes

Il existe deux fa¸cons de calculer les coefficients de la T O. Nous pourrions utiliser directement l’´equation 1.4 et effectuer le calcul dans le domaine temporel, mais cette option est fortement p´enalisante quant au temps de calcul. Il est beaucoup plus efficace d’effectuer le calcul dans le domaine fr´equentiel. L’´equation 1.14 exprime le calcul de la T O apr`es avoir appliqu´e le th´eor`eme de Parseval ainsi que celui de 12

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires convolution `a l’´equation 1.4 : Tf (s, τ ) =

√1 s

√ R∞ b b t−τ f (t)ψ( )dt = s −∞ f (ω)ψ(sω) ei ωτ dω s −∞ √ Tf (s, τ ) = s F −1 b b

R∞

f (ω)ψ(sω)

(1.14)

Nous allons maintenant d´efinir le calcul des coefficients de la T O des signaux discrets. Consid´erons un signal x(t) dont les param`etres d’´echantillonnage sont les suivants : • Domaine temporel x(t) = x(k∆t),

k = 0, 1, 2, . . . , N − 1

• Domaine fr´ equentiel  x b(ωk ),

ωk =

2πk N ∆t − N2πk ∆t

0 ≥ k ≥ N2 N
Pour un vecteur des ´echelles s1×m = [s0 , s1 , . . . , sm−1 ], la matrice des coefficients de la T O s’exprime de la mani`ere suivante :   √ √ b 0 ω0 ) b 0 ωN −1 ) s0 x b(ω0 )ψ(s ··· s0 x b(ωN −1 )ψ(s   √ √ b 1 ω0 ) b 1 ωN −1 )   s1 x b(ω0 )ψ(s ··· s1 x b(ωN −1 )ψ(s b   Tf (s, ω)m×N =  .. ..  .. . . .   √ √ b m−1 ω0 ) · · · sm−1 x b m−1 ωN −1 ) sm−1 x b(ω0 )ψ(s b(ωN −1 )ψ(s  √    s0 F F T −1 (Tbf (s0 , ω0...N −1 )) Tf (s0 , t0...N −1 )   Tf (s1 , t0...N −1 )   √s F F T −1 (Tb (s , ω 1 f 1 0...N −1 ))     Tf (s, t)m×N =  =  .. . .     . . √ −1 b Tf (sm−1 , t0...N −1 ) sm−1 F F T (Tf (sm−1 , ω0...N −1 )) (1.15) La notation F F T d´esigne l’algorithme de la transform´ee de Fourier rapide et c’est principalement son utilisation qui rend ce calcul de la T O plus efficace.

Choix des ´ echelles Le choix des ´echelles de la T O d´epend du caract`ere des ondelettes analysantes ainsi que de la taille du signal et de son ´echantillonnage. Un autre crit`ere de choix des ´echelles peut aussi ˆetre la bande fr´equentielle analys´ee. L’une des propri´et´es caract´eristiques de la transform´ee en ondelettes continue est la redondance de la base d’ondelettes. Cette redondance s’explique par le fait que les bandes fr´equentielles des ondelettes sont partiellement superpos´ees (Fig.1.3). Nous cherchons en cons´equence un vecteur d’´echelles s1×m = [s0 , s1 , . . . , sm−1 ] tel que la base d’ondelettes couvre la bande fr´equentielle souhait´ee avec un nombre d’´echelles m minimal afin de rendre le calcul le plus rapide possible. 13

1.2 Transform´ee en ondelettes

ψ(ω)

ψs1 ,τ

ψs2 ,τ

ψs3 ,τ

ψs3 ,τ

ω0 /s1

ω0 /s2

ω0 /s3

ω0 /s4

ω

Fig. 1.3 − Superposition partielle des ondelettes expliquant la redondance de la TO Un autre facteur intervenant dans le choix des ´echelles est la r´esolution fr´equentielle de l’ondelette analysante. Dans la section 1.2.3 (voir page 11) nous avons pu remarquer que pour les petites ´echelles (hautes fr´equences) l’ondelette couvre une bande plus large que pour les grandes ´echelles (basses fr´equences). Cela indique que la r´epartition des ondelettes doit diminuer lorsque l’´echelle augmente. Le choix le plus courant est d’´ecrire la r´epartition d’´echelles sous forme d’une fonction exponentielle [Tor98, Val] : si = s0 2idp , i = 0, 1, . . . , m − 1 (1.16) ´ Etant donn´e un nombre d’´echelles m acceptable (par rapport au temps de calcul) et une bande fr´equentielle `a analyser ω ∈ hωa ; ωb i, les valeurs s0 , dp sont d´etermin´ees de la mani`ere suivante : s0 =

ω0 , ωb

dp = log2 (

ω0 − fr´equence centrale de l’ondelette m`ere ωb )/(m − 1) ωa

(1.17)

Notons que la bande fr´equentielle `a analyser ω doit ˆetre conforme aux conditions suivantes impos´ees par le taux d’´echantillonnage : ωa ≥

π , ∆t

ωb ≤

2π N ∆t

Reconstitution du signal Il existe plusieurs fa¸cons de reconstituer un signal discret x(t) `a partir de ses coefficients de transform´ee en ondelettes T (s, t). Nous avons choisi d’adopter l’approche bas´ee sur l’´equation de la T O dans le domaine fr´equentiel : m−1 X i=0

Tbx (si , ωk ) = x b(ωk )

m−1 X

b i ωk ) ψ(s

(1.18)

i=0

Pm−1 b La premi`ere m´ethode consiste `a diviser l’´equation pr´ec´edente par i=0 ψ(si ωk ) afin d’obtenir la transform´ee de Fourier du signal reconstitu´e. Alors, l’´equation de 14

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires reconstitution du signal dans le domaine fr´equentiel s’´ecrit : Pm−1 b Tx (si , ωk ) x b(ωk ) = Pi=0 m−1 b ψ(si ωk )

(1.19)

i=0

Si le d´enominateur de l’´equation pr´ec´edente s’annule `a une certaine fr´equence, nous annulons ´egalement la valeur correspondante de la transform´ee de Fourier du signal √ reconstitu´e. La deuxi`eme m´ethode consiste `a multiplier l’´equation 1.4 par bi / si : m−1 X i=0

m−1

X bi bi b i ωk ) b(ωk ) √ Tbx (si , ωk ) = x √ ψ(s si s i i=0

Si nous choisissons bi tel que : m−1 X i=0

bi b √ ψ(s i ωk ) = 1, si

k = 0, 1, . . . , N − 1

la formule de reconstitution devient alors : x b(ωk ) =

m−1 X i=0

bi √ Tbx (si , ωk ), si

k = 0, 1, . . . , N − 1

(1.20)

Le vecteur des coefficients bm×1 = [b0 , b1 , . . . , bm−1 ]T se d´etermine de la mani`ere suivante. D’abord on construit la matrice B :   b 0 ωN −1 ) b 0 ω0 ) b 0 ω1 ) ψ(s ψ(s ψ(s √ √ √ ... s0 s0 s0    ψ(s b 1 ωN −1 )  b 1 ω0 ) b 1 ω1 ) ψ(s ψ(s  √s  √ √ ... s1 s1 1  Bm×N =  (1.21)   .. .. .. . .   . . . .   b m−1 ωN −1 ) b m−1 ω0 ) ψ(s b m−1 ω1 ) ψ(s ψ(s √ √ √ ... sm−1 sm−1 sm−1 Ensuite, le vecteur b est donn´e par la solution du syst`eme d’´equations suivant : Bm×N bm×1 = Em×1 ,

Em×1 = [1, 1, . . . , 1]T

(1.22)

La r´esolution de ce syst`eme peut ˆetre effectu´ee au sens des moindres carr´es : b = (BT B)−1 BT E

(1.23)

Une troisi`eme m´ethode de reconstitution destin´ee aux signaux asymptotiques sera pr´esent´ee dans la section 1.3.5. Choix de l’ondelette m` ere Le choix de l’ondelette m`ere d´epend de la nature de l’application trait´ee et du type de signaux analys´es. Elle peut ˆetre r´eelle ou complexe et d´efinie de sorte `a ce qu’elle soit bien localis´ee en temps ou en fr´equence. Pour observer les singularit´es 15

1.2 Transform´ee en ondelettes

des signaux nous utiliserons une ondelette continue non-oscillante, par exemple la Gaussienne et ses d´eriv´ees [Haa03, Van00] qui sont bien appropri´ees `a l’identification des singularit´es pr´esentes dans le signal. Par contre ce travail concerne les signaux oscillants qui sont bien localis´es en fr´equence. Pour analyser ce type de signaux, il est n´ecessaire de choisir une ondelette qui soit elle-mˆeme bien localis´ee en fr´equence. La fonction de Morlet [Lar02, Sta96, Tod01] est l’une des ondelettes les mieux appropri´ees `a ce type de signaux. Il s’agit d’une fonction complexe d´efinie dans le domaine temporel et fr´equentiel par les termes suivants : • Domaine temporel t2

ψ(t) = eiω0 t e− N

(1.24)

N 2 b ψ(ω) = e 4 (ω−ω0 )

(1.25)

• Domaine fr´ equentiel Le facteur ω0 doit ˆetre sup´erieur `a 6 pour que la fonction soit conforme aux conditions d’admissibilit´e. La figure 1.4 montre la fonction de Morlet ainsi que l’influence du param`etre N sur les r´esolutions temporelle et fr´equentielle.

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 1.4 − Fonction de Morlet

Les param`etres caract´eristiques de cette ondelette, c’est-`a-dire la fr´equence centrale ainsi que les r´esolutions temporelle et fr´equentielle sont d´efinis par les ´equations suivantes : ω0 s√ √ 1 s N ∆t0 = N =⇒ ∆ts,τ = 2 2 1 1 ∆ω0 = √ =⇒ ∆ωs, τ = √ N s N c ω0c = ω0 =⇒ ωs,τ =

16

(1.26) (1.27) (1.28)

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires

1.2.5

Repr´ esentation graphique de la transform´ ee en ondelettes

Il est n´ecessaire de bien choisir la repr´esentation de la T O d’un signal afin de rendre exploitables les donn´ees qu’elle nous fournit. La premi`ere repr´esentation est le module de la T O. Il s’agit de la valeur absolue des coefficients de la T O qui s’´ecrit : |T O|f = |Tf (s, τ )| (1.29) Le module de la T O repr´esente une surface dans l’espace temps-fr´equence. La valeur moyenne du module de la T O en temps permet de repr´esenter le spectre fr´equentiel global contenu dans le signal tout au long de sa dur´ee. Cette moyenne du module de la T O constitue une seconde repr´esentation des informations fournies par la T O, elle s’exprime par : N −1 1 X |Tf (s, ti )| (1.30) |T O|f = N i=0 Pour illustrer ces deux repr´esentations graphiques, consid´erons `a nouveau les deux signaux d´efinis dans l’introduction (Fig.1.5).

(a) signal stationnaire

(b) signal non-stationnaire

Fig. 1.5

La figure 1.6 montre le module de la T O et la moyenne du module de la T O des deux signaux. Nous constatons que la moyenne du module repr´esente tout comme la Transform´ee de Fourier le contenu fr´equentiel de l’ensemble du signal, et ne permet pas de diff´erencier les deux signaux trait´es. Le module de la T O en revanche les discrimine parfaitement puisqu’il repr´esente l’´evolution du contenu fr´equentiel du signal au cours du temps.

17

1.3 Transform´ee en ondelettes de signaux asymptotiques

(a) Signal stationnaire

(b) Signal non-stationnaire

Fig. 1.6 − Diff´erentes repr´esentations graphiques de la transform´ee en ondelettes

1.3

Transform´ ee en ondelettes de signaux asymptotiques

Le signal asymptotique est un type de signal r´eel particuli`erement important dans le domaine de la dynamique des structures. Sa d´efinition n´ecessite d’introduire quelques ´el´ements th´eoriques tels que les notions de transform´ee de Hilbert et de signal analytique.

1.3.1

Transform´ ee de Hilbert

La transform´ee de Hilbert d’une fonction f (t) est par d´efinition : Z 1 1 f (τ − t) dτ Hf (t) = π τ

(1.31)

Dans le domaine fr´equentiel, la transform´ee de Hilbert prend une forme tr`es simple : ˆ f (ω) = −i sgn(ω)fˆ(ω) H

1.3.2

(1.32)

Signal analytique

Le signal analytique Zf (t) associ´e au signal r´eel f (t) est une fonction complexe portant une information en amplitude et en phase. La d´efinition du signal analytique 18

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires s’´ecrit `a l’aide de la transform´ee d’Hilbert sous la forme suivante : Zf (t) = f (t) + i Hf (t) ˆ f (ω) Zˆf (ω) = fˆ(ω) + i H

(1.33)

Le signal analytique peut ˆetre ´egalement d´efini en terme de module et de phase : q i arg(Zf (t)) Zf (t) = |Zf (t)|e , |Zf (t)| = (f (t)2 + Hf (t)2 ) arg(Zf (t)) = arctan

1.3.3

Hf (t) f (t)

(1.34)

Signal asymptotique

Un signal r´eel int´egrable f (t) = A(t) cos Φ(t) o` u A(t) ≥ 0 et Φ(t) ∈ h0; 2πi ∀ t ∈ R est dit asymptotique s’il est suffisamment oscillant pour que l’on puisse lui associer un signal analytique de type Zf (t) = A(t)ei Φ(t) . Un exemple de signal non-asymptotique est la fonction f (t) = cos( 1t ) dont le signal analytique s’exprime par : 1

1

Zf (t) = f (t) + i Hf (t) = ei t − i 6= ei t

1.3.4

(1.35)

Transform´ ee en ondelettes d’un signal asymptotique

Les propri´et´es du signal asymptotique permettent d’exprimer sa transform´ee en ondelettes sous forme analytique. Consid´erons l’expression suivante : Z ∞ 1 1 t−τ A(t)ei Φ(t) ψ( )dt (1.36) Tf (s, τ ) = hf ; ψs,τ i = hZf ; ψs,τ i = √ 2 s 2 s −∞ Nous allons chercher la solution approch´ee de l’int´egrale pr´ec´edente en nous appuyant sur les propri´et´es du signal asymptotique. Ces propri´et´es permettent de consid´erer que la variation de l’amplitude du signal est n´egligeable sur un intervalle temporel par rapport `a la variation de la phase (Fig.1.7). Dans notre cas, cet intervalle temporel correspond `a la r´esolution temporelle de l’ondelette. Ce raisonnement se traduit par le d´eveloppement de l’amplitude en s´erie de Taylor en ne prenant en compte que son premier terme : Z ∞ 1 t − τ i Φ(t) Tf (s, τ ) = √ (A(τ ) + O(A(τ )))ψ( )e dt s 2 s −∞ Z ∞ 1 t − τ i Φ(t) ≈ √ A(τ ) ψ( )e dt (1.37) s 2 s −∞ 19

1.3 Transform´ee en ondelettes de signaux asymptotiques

L’´etape suivante consiste `a effectuer l’int´egration dans le domaine fr´equentiel : Z ∞ Z ∞ t − τ i Φ(t) Fψ( t−τ ) Fei Φ(t) dω )e dt = ψ( s s −∞ −∞ Z ∞ ˆ ω)δ(ω − Φ(t)) ˙ s ψ(s = ei ωτ dω Z−∞ ∞ ˆ Φ(t))δ(ω ˙ ˙ − Φ(t)) ei ωτ dω = s ψ(s −∞ −1 ˆ Φ(t))F ˙ = s ψ(s ˙ δ(ω−Φ(t))

(1.38)

˙ ) ˆ Φ(τ ˙ )) ei Φ(τ = s ψ(s

(1.39)

La T O d’un signal asymptotique peut alors s’´ecrire sous la forme suivante : √ s dΦ(t) ˆ ω(t)) ei Φ(t) , ω(t) = Φ(t) ˙ (1.40) Tf (s, t) ≈ A(t)ψ(s = 2 dt ∆t f (t)

A(t) ⇒ A(t = τ ) signal f (t) ondelettes ψ(t)

τ

t

Fig. 1.7 − Approximation de la d´ecroissance du signal asymptotique Les signaux rencontr´es en dynamique des structures sont souvent repr´esent´es par une superposition de plusieurs signaux asymptotiques : fs (t) =

N X

fi (t) =

i=1

N X

Ai (t) cos Φi (t)

i=1

La T O d’un tel signal s’exprime facilement grˆace `a la lin´earit´e de la transformation : Tfs (s, t) = ≈

N X i=1 N X i=1

20

Tfi (s, t) √

s ˆ ωi (t)) ei Φi (t) , Ai (t)ψ(s 2

ωi (t) =

dΦi (t) i = 1, 2, . . . N dt

(1.41)

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires

1.3.5

Arˆ ete de la transform´ ee en ondelettes

Signal asymptotique simple

L’arˆete de la T O est une caract´eristique facilement observable sur la projection d’un signal asymptotique dans l’espace temps-fr´equence. Il s’agit de l’ensemble des lieux des maxima du module de la T O. L’arˆete est d´etermin´ee par une fonction sa (t) qui est d´efinie par : Tf (sa (t), t) = max(|Tf (s0 . . . sm−1 , t)|)

(1.42)

Cette condition implique la relation d´eterminant les fr´equences de l’arˆete de la T O : ω(t) = ω0 /sa (t)

(1.43)

` partir de l’arˆete de la T O, nous pouvons d´efinir une nouvelle fa¸con de reconstituer A un signal asymptotique. Le signal temporel peut en effet ˆetre reconstitu´e directement en utilisant la d´efinition de la T O d’un signal asymptotique. En reprenant l’´equation 1.40, l’arˆete de la T O s’´ecrit : p sa (t) ˆ a (t) ω(t)) ei (ω(t) t+ϕ) Tf (sa (t), t) ≈ A(t)ψ(s 2 p sa (t) ˆ ≈ ψ(ω0 ) Zf (t) 2 Alors la formule de reconstitution d’un signal asymptotique par la m´ethode dite “temporelle” s’exprime par :

2 f (t) = < Zf (t) = p < Tf (sa (t), t) sa (t)

(1.44)

En terme d’amplitude et de phase, l’´equation pr´ec´edente s’´ecrit : 2

f (t) = A(t) cos(Φ(t)), A(t) = p Φ(t) = p

sa (t) 2

sa (t)

|Tf (sa (t), t)
arg Tf (sa (t), t)

(1.45)

Une deuxi`eme approche est bas´ee sur la reconstitution du spectre fr´equentiel du signal. Le signal temporel est ensuite calcul´e en appliquant la transform´ee de Fourier inverse au signal fr´equentiel. Suivant l’´equation 1.14, l’arˆete de la T O dans le domaine fr´equentiel est donn´ee par : √ sa b b a ω) Tf (sa , ω) = Zf (ω)ψ(s 2 21

1.3 Transform´ee en ondelettes de signaux asymptotiques

L’´equation pr´ec´edente permet d’´etablir une nouvelle formule de reconstitution dite “fr´equentielle” d’un signal asymptotique :
2 < F −1 f (t) = p b a ω) Tf (sa ,ω)/ψ(s sa (t) = A(t) cos(Φ(t)),

A(t) = p Φ(t) = p

2 sa (t) 2 sa (t)

|F −1

b a ω) Tf (sa ,ω)/ψ(s

arg F −1

|


b a ω) Tf (sa ,ω)/ψ(s

(1.46)

Afin d’´eviter la division par z´ero, il convient d’affecter la valeur z´ero au quotient b a ω) lorsque son d´enominateur est nul. Tf (sa , ω)/ψ(s La figure 1.8 permet de comparer l’efficacit´e des deux m´ethodes de reconstitution. Nous pouvons constater que la m´ethode de reconstitution fr´equentielle est plus efficace, l’effet de bord ´etant moins prononc´e.

(a) m´ethode temporelle

(b) m´ethode fr´equentielle

Fig. 1.8 Comparaison des m´ethodes de reconstitution temporelle et fr´equentielle

Superposition de signaux asymptotiques Lorsque nous traitons un signal contenant plusieurs signaux asymptotiques superpos´es, nous pouvons observer autant d’arˆetes locales de la T O que de signaux superpos´es. Prenons l’exemple d’un signal compos´e de N signaux : fs (t) =

N X i=1

fi (t) =

N X

Ai (t) cos Φi (t), ωp1 < Φ˙ 1 (t) < ωq1

i=1

ωp2 < Φ˙ 2 (t) < ωq2 .. . ωp < Φ˙ N (t) < ωq N

N

(1.47) 22

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires Les arˆetes sa,i , i = 1, 2, . . . , N sont les ensembles des lieux des maxima locaux du module de la T O : Tfs (sa,i (t), t) = max(|Tfs (sp1 +1 , sp1 +2 , . . . , sq1 −1 , t)|), sp1 = ω0 /ωp1 , sq1 = ω0 /ωq1 sp2 = ω0 /ωp2 , sq2 = ω0 /ωq2 .. . spN = ω0 /ωpN , sqN = ω0 /ωqN (1.48) Les deux m´ethodes de reconstitution peuvent ˆetre appliqu´ees en utilisant les arˆetes locales, ce qui permet de reconstruire les signaux particuliers fi (t) constituant le signal complet fs (t). La m´ethode fr´equentielle fournit la formule de reconstitution suivante :
2 < F −1 fi (t) = p b Tfs (sa ,ω)/ψ(sa ω) sa (t)

1.4

2

|F −1

| b a,i ω) sa,i (t) Tfs (sa,i ,ω)/ψ(s
2 arg F −1 Φi (t) = p b a,i ω) Tfs (sa,i ,ω)/ψ(s s,i a(t) i = 1, 2, . . . , N (1.49)

= Ai (t) cos(Φi (t)),

Ai (t) = p

Identification des param` etres modaux des syst` emes lin´ eaires par la transform´ ee en ondelettes

Dans cette partie, nous allons pr´esenter une m´ethode d’identification des param`etres modaux d’un syst`eme lin´eaire bas´ee sur l’application de la transform´ee en ondelettes `a la r´eponse libre du syst`eme. Dans un premier temps nous analyserons le syst`eme lin´eaire `a un degr´e de libert´e (ddl) puis nous ´etudierons le syst`eme `a plusieurs ddl.

1.4.1

Syst` eme ` a un ddl

Consid´erons un syst`eme dynamique `a amortissement visqueux dont le mouvement est gouvern´e par l’´equation suivante : m¨ x(t) + bx(t) ˙ + kx(t) = F (t)

(1.50) 23

1.4 Identification des param`etres modaux des syst`emes lin´eaires par la transform´ee en ondelettes En introduisant la fr´equence propre Ωn non-amortie et le coefficient d’amortissement ζ cette ´equation devient : x¨(t) + 2ζΩn x(t) ˙ + Ω2n x(t) = F (t)/m,

b ζ= √ 2 km r k Ωn = m

(1.51)

La r´eponse libre de ce syst`eme correspond `a une fonction harmonique dont l’amplitude d´ecroˆıt exponentiellement : p x(t) = A(t) cos(Ωd t + ϕ) = A(0)e−ζΩn t cos(Ωd t + ϕ), Ωd = Ωn 1 − ζ 2 (1.52) Les constantes A(0) et ϕ d´ependent des conditions initiales. En supposant qu’il s’agit d’un signal asymptotique, le signal analytique de la r´eponse libre s’exprime par : Zx (t) = x(t) + iHx (t) = A(t)eiΦ(t) ,

A(t) = A(0)e−ζΩn t Φ(t) = Ωd t + ϕ

(1.53)

Projetons ce signal dans l’espace temps-fr´equence en appliquant la transform´ee en ´ ondelettes. Etant donn´e qu’il s’agit d’un signal asymptotique nous pouvons directement injecter Zx (t) dans l’´equation 1.40 ce qui permet d’´ecrire la T O de la r´eponse libre d’un syst`eme lin´eaire `a un ddl sous la forme suivante : √ √ s s i (Ωd t+ϕ) ˆ ˆ Ωd ) ei (Ωd t+ϕ) A(t)ψ(s Ωd ) e = A(0)e−ζΩn t ψ(s (1.54) Tx (s, t) ≈ 2 2 En ne prenant en compte que les valeurs sur l’arˆete de la T O, l’´equation pr´ec´edente devient : p sa (t) ˆ a (t) Ωd ) ei (Ωd t+ϕ) (1.55) Tx (sa (t), t) ≈ A(0)e−ζΩn t ψ(s 2 Nous pouvons noter, compte tenu la condition 1.42 d´efinissant l’arˆete sa (t), que cette arˆete est associ´ee `a une seule ´echelle dont la valeur est : sa = const. = ω0 /Ωd

(1.56)

L’´equation 1.55 montre que le module de la T O porte l’information sur l’amortissement ζ alors que l’argument de la T O d´epend uniquement de la fr´equence propre amortie Ωd . Cela se traduit par les ´equations 1.57 qui servent `a identifier l’amortissement et la fr´equence propre `a partir de la transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre du syst`eme : arg(Tx (sa , t)) = Ωd t + ϕ =⇒ Ωd =

24

d arg(Tx (sa , t)) dt

(1.57a)

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires ln(|Tx (sa , t)|) = · · · √ sa ˆ a Ωd )|) =⇒ ζ = − 1 d ln(|Tx (sa , t)|) − ζΩn t + ln(| A(0)ψ(s 2 Ωn dt d ln(|Tx (sa , t)|) q = dτ Ω2d +

(1.57b) 1 d ln(|Tx (sa ,t)|))
2 dτ

Ces ´equations expriment le fait que la fr´equence propre amortie Ωd est proportionnelle `a la pente de l’argument de la T O alors que l’amortissement ζ est proportionnel `a la pente du logarithme du module de la T O.

1.4.2

Syst` eme ` a plusieurs ddl

Consid´erons un syst`eme `a N ddl dont le mouvement libre est d´ecrit par le syst`eme d’´equations suivant : ˙ + Kx(t) = 0 M¨ x(t) + Bx(t) (1.58) Supposons le syst`eme `a amortissement proportionnel, c’est-`a-dire que les matrices masse M, raideur K et amortissement B satisfont la condition dite de Basile permettant de diagonaliser la matrice d’amortissement g´en´eralis´ee : BM−1 K = KM−1 B Le syst`eme conservatif associ´e admet N valeurs propres λj = Ω2n j et N vecteurs → − propres V j qui peuvent ˆetre regroup´es dans la matrice spectrale Λ et modale V :   Ω2n 1 0 0 · · · 0  0 Ω2 0 · · · 0 
n2   V V · · · V , V = (1.59) M¨ x(t) + Kx(t) = 0 ⇒ Λ   1 2 N . ..   0 0 0 · · · Ω2n N En appliquant l’approche de l’analyse modale, nous cherchons `a exprimer le mouvement dans la base des vecteurs propres : x(t) = Vq(t)

(1.60)

La transformation modale permet de d´ecoupler le syst`eme d’´equations 1.58 en introduisant les coordonn´ees modales q(t) : q¨j + 2ζj Ωn j q˙j + Ω2n j qj = fj (t),

j = 1...N

Les coefficients d’amortissement ζj forment une matrice diagonale d´efinie par : ζ = VT BV 25

1.4 Identification des param`etres modaux des syst`emes lin´eaires par la transform´ee en ondelettes La r´eponse libre de ce syst`eme s’exprime comme la superposition des solutions particuli`eres des ´equations pr´ec´edentes : xi (t) =

N X j=1

xij =

N X

qj (t) = qj (0)e−ζj Ωn j t cos(Ωd j t + ϕj )

Vij qj (t),

j=1

Ωd j = Ω n j

q

1 − ζj2

(1.61)

Un tel syst`eme `a N ddl peut ˆetre repr´esent´e par N syst`emes particuliers `a un ddl. Puisque la T O est une transformation lin´eaire, la projection de xi (t) dans l’espace temps-fr´equence s’exprime par : Txi (s, t) =

N X

Vij Tqj (s, t)

(1.62)

j=1

La projection du signal Txi poss`ede N arˆetes qui repr´esentent des maxima locaux du module de la T O : saj = const. = ω0 /Ωd j

j = 1...N

(1.63)

Les param`etres modaux du syst`eme `a N ddl peuvent ˆetre d´etermin´es par les ´equations d’identification relatives au syst`eme `a un ddl (Equ.1.57a et 1.57b) en y injectant, une par une, les arˆetes locales de la T O, ce qui se traduit par : d arg(Txi (saj , τ )) , dτ 1 d ln(|Txi (saj , t)|) ζj = − Ωn j dτ d ln(|Txi (saj , t)|) q = dτ Ω2d j +

Ωd j =

1 d ln(|Txi (saj ,t)|))
2 dτ

,

j = 1...N

(1.64)

j = 1...N

(1.65)

Si nous disposons des signaux de r´eponse libre provenant des diff´erents ddl, la T O permet ´egalement d’identifier les vecteurs propres associ´es au syst`eme. Exprimons la T O relative `a une de ses arˆetes sous forme g´en´erale en fonction de la coordonn´ee modale : Txi (saj , t) = Vi,j Tqj (saj , t),

i, j = 1, 2, . . . , N

(1.66)

Alors l’´equation pr´ec´edente nous permet d’exprimer les rapports des composantes des vecteurs propres qui constituent eux mˆemes une nouvelle base de vecteurs propres : T (s , t) V xk aj k,j (1.67) αk,j (t) = = , k = 1, 2, . . . , N Txi (saj , t) Vi,j Puisque les vecteurs propres constituent la solution d’un syst`eme d’´equations ind´etermin´e, une composante du vecteur doit ˆetre impos´ee. En choisissant la valeur de la 26

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires composante Vi,j du vecteur propre, les modules des autres ´el´ements se d´eterminent en utilisant le rapport αk,j (t) : |Vk,j (t)| = αk,j (t)|Vi,j | = k = 1, 2, j − 1, . . . , j + 1, N

(1.68)

Les signes des composantes du vecteur propre sont d´efinis par le d´ephasage entre d´enominateur et num´erateur de la fraction d´efinissant le coefficient αk,j (t) :

arg Txk (saj , t) − arg Txi (saj , t) = 0 → Vk,j (t) = |Vk,j (t)| (1.69)

arg Txk (saj , t) − arg Txi (saj , t) = ±π → Vk,j (t) = −|Vk,j (t)| (1.70) Notons par ailleurs que les vecteurs propres sont identifi´es en fonction du temps. Leurs ´evolutions fournissent donc un indicateur de lin´earit´e du syst`eme puisqu’une ´eventuelle variation des vecteurs propres au cours du temps peut ˆetre due `a des non-lin´earit´es pr´esentes dans le syst`eme.

1.5

Identification des param` etres modaux ´ equivalents des syst` emes non-lin´ eaires par la transform´ ee en ondelettes

Nous allons maintenant pr´esenter une m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents par la transform´ee en ondelettes. Dans un premier temps nous allons traiter le syst`eme `a un ddl, ensuite nous ´etendrons cette m´ethode aux syst`emes `a N ddl.

1.5.1

Syst` eme ` a un ddl

Pour r´esoudre le probl`eme de vibrations libres d’un syst`eme non-lin´eaire, nous allons nous appuyer sur la m´ethode asymptotique ´elabor´ee vers 1930 par Krylov et Bogoljubov [Bre94, Osi98]. Consid´erons l’´equation du mouvement g´en´eral (Equ.1.71) contenant un terme non-lin´eaire multipli´e par un param`etre . m¨ x(t) + kx(t) + f (x(t), ˙ x(t)) = 0

(1.71)

Le param`etre  exprime l’hypoth`ese de non-lin´earit´e faible, c’est-`a-dire que le terme non-lin´eaire pr´esent dans l’´equation joue un rˆole peu important devant la partie lin´eaire. Si  → 0, la solution de cette ´equation est purement harmonique x(t) = a cos(Θ) = a cos(Ωn,lin t + ϕ) `a amplitude et fr´equence constante, c’est-`a-dire : da =0 dt

dΘ = Ωn,lin dt

La pr´esence du terme non-lin´eaire entraˆıne une variation de l’amplitude et de la fr´equence des vibrations qui sont de plus compos´ees de plusieurs harmoniques. Ces variations sont des fonctions du param`etre . Suivant la m´ethode asymptotique, nous supposons que la solution est aussi une fonction de  et qu’elle peut ˆetre exprim´ee 27

1.5 Identification des param`etres modaux ´equivalents des syst`emes non-lin´eaires par la transform´ee en ondelettes sous la forme suivante : x(t) = a cos(Θ) + x1 (a, Θ) + 2 x2 (a, Θ) + . . .

(1.72)

o` u x1 , x2 . . . sont des fonctions p´eriodiques de la phase Θ avec la p´eriode 2π qui ne contiennent pas la premi`ere harmonique, celle-ci ´etant d´ej`a repr´esent´ee par le premier membre de l’´equation 1.72. L’´equation 1.73 donne la forme suppos´ee de la fonction x1 . x1 = X0 (a) +

N X

Xni (a) sin(nΘ) + Xnr (a) cos(nΘ)

(1.73)

n=2

Les param`etres a, et Θ sont des fonctions du temps qui constituent les solutions des ´equations 1.74a,1.74b. da = A1 (a) + 2 A2 (a) + 3 A3 (a) + . . . dt dΘ = Ωn,lin + B1 (a) + 2 B2 (a) + 3 B3 (a) + . . . dt

(1.74a) (1.74b)

Les expressions ci-dessus contenant les membres jusqu’`a l’ordre m donnent la solution approch´ee d’ordre m. La d´etermination des fonctions xi , Ai , Bi d’ordre plus ´elev´e ne pose th´eoriquement aucun probl`eme mais en pratique nous nous limitons aux solutions d’ordre un ou deux pour des raisons de coˆ ut de calcul. Cherchons alors la solution d’ordre un (m = 1) qui ne satisfait que les membres non-lin´eaires d’ordre 1 . Le d´eplacement et ses d´eriv´ees sont alors donn´es par : x(t) = a cos(Θ) + x1 (a, Θ) ˙ ˙ sin(Θ) +  ∂x1 (a, Θ) a˙ +  ∂x1 (a, Θ) Θ x(t) ˙ = a˙ cos(Θ) − Θa ∂a ∂Θ  ∂x1 (a, Θ)  = −Ωn,lin a sin(Θ) +  A1 (a) cos(Θ) − B1 (a)a sin(Θ) + Ωn,lin ∂Θ  ∂ 2 x1 (a, Θ)  x¨(t) = −Ω2n,lin a cos(Θ) +  − 2A1 (a)Ωn,lin sin(Θ) − 2Ωn,lin aB1 (a) cos(Θ) + Ω2n,lin ∂Θ2 (1.75) Le membre non-lin´eaire de l’´equation du mouvement correspondant `a la solution approch´ee d’ordre un s’´ecrit : f (x(t), ˙ x(t)) = f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) Si nous injectons dans l’´equation du mouvement 1.71 les expressions du d´eplacement, de l’acc´el´eration et du membre non-lin´eaire relatives `a la solution approch´ee d’ordre

28

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires un, nous obtenons : 2aB1 (a) ∂ 2 x1 (a, Θ) 2A1 (a) sin(Θ) + cos(Θ) − . . . + x (a, Θ) = 1 ∂Θ2 Ωn,lin Ωn,lin 1 f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) k p k/m. La p´eriodicit´e de la solution conduit `a exprimer la fonction o` u Ωn,lin = non-lin´eaire sous forme d’une s´erie de Fourier : ∂ 2 x1 (a, Θ) 2aB1 (a) 2A1 (a) sin(Θ) + cos(Θ) − . . . + x1 (a, Θ) = 2 ∂Θ Ωn,lin Ωn,lin N X 1 (F0 (a) + Fni sin(nΘ) + Fnr cos(nΘ)) k n=1

(1.76)

o` u F0 , Fni , Fnr sont les coefficients de Fourier d´efinis par : Z 2π 1 F0 = f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ))dΘ 2π 0 Z 1 2π i Fn = f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) sin(nΘ)dΘ n = 1 . . . N π 0 Z 1 2π r Fn = f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) cos(nΘ)dΘ n = 1 . . . N π 0 En rempla¸cant xi dans l’´equation de mouvement 1.76 par sa forme suppos´ee (Equ.1.72), nous obtenons : 2

X0 (a) + (1 − n )

N X n=2

Xni (a) sin(nΘ) + Xnr (a) cos(nΘ) =

2A1 (a) 2aB1 (a) sin(Θ) + cos(Θ) − . . . Ωn,lin Ωn,lin N X 1 (F0 (a) + Fni sin(nΘ) + Fnr cos(nΘ)) k n=1

Pour satisfaire l’´equation pr´ec´edente, il est n´ecessaire d’´equilibrer les membres correspondant aux mˆemes harmoniques. L’´equilibrage harmonique du premier ordre (n = 1) fournit l’´equation d´eterminant les variables A1 (a) et B1 (a). 0=

2A1 (a) 2aB1 (a) 1 sin(Θ) + cos(Θ) − (F1i sin(Θ) + F1r cos(Θ)) Ωn,lin Ωn,lin k

⇓ Z Ωn,lin i Ωn,lin 2π A1 (a) = F = f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) sin(Θ)dΘ 2k 1 2kπ 0 Z Ωn,lin r Ωn,lin 2π B1 (a) = F = f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) cos(Θ)dΘ 2ka 1 2kaπ 0

(1.77a) (1.77b)

29

1.5 Identification des param`etres modaux ´equivalents des syst`emes non-lin´eaires par la transform´ee en ondelettes La comparaison des membres appartenant aux autres harmoniques donne directement l’expression de la fonction x1 . La composante du mouvement exprimant l’effet des non-lin´earit´es s’´ecrit alors : N

1 X Fni sin(nΘ) + Fnr cos(nΘ) 1 x1 = F0 (a) + k k n=2 n2 − 1

(1.78)

Par suite, la m´ethode asymptotique permet d’exprimer la solution approch´ee du premier ordre d’un syst`eme non-lin´eaire : N

1 X Fni sin(nΘ) + Fnr cos(nΘ)  x(t) = a cos(Θ) +  F0 (a) + k k n=2 n2 − 1 1

(1.79)

De plus, les ´evolutions approch´ees des variations de l’amplitude et de la phase peuvent ´egalement ˆetre ´evalu´ees grˆace aux ´equations suivantes : Z 2π Ω  da n,lin = f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) sin(Θ)dΘ (1.80a) dt 2kπ 0 Z 2π Ω  dΘ n,lin = Ωn,lin +  f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) cos(Θ)dΘ (1.80b) dt 2kaπ 0 La m´ethode asymptotique fournit donc une solution approch´ee compos´ee de plusieurs harmoniques dont le nombre correspond au nombre de termes pris en compte lors de la d´ecomposition de la fonction non-lin´eaire en s´erie de Fourier. Nous allons enfin employer une m´ethode de lin´earisation ´equivalente afin d’introduire la notion de raideur ´equivalente et d’amortissement ´equivalent. Cette m´ethode est bas´ee sur la r´eduction de la solution en se limitant `a sa premi`ere harmonique. Dans ce cas nous supposons que le d´eplacement, la variation de l’amplitude et celle de la fr´equence satisfont les ´equations suivantes : x(t) = a cos(Θ),

da = A1 (a), dt

dΘ = Ωn,lin + B1 (a) dt

(1.81)

L’´equilibrage harmonique du premier ordre, d´efini par l’´equation 1.82a, peut ˆetre r´e´ecrit en terme de d´eplacement et de sa d´eriv´ee par l’´equation 1.82b. 2kA1 (a) 2akB1 (a) sin(Θ) + cos(Θ) − (F1i sin(Θ) + F1r cos(Θ)) Ωn,lin Ωn,lin 0 = −be (a)x(t) ˙ + ke (a)x(t) − (F1i sin(Θ) + F1r cos(Θ) 0=

30

(1.82a) (1.82b)

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires Les param`etres be (a), ke (a) repr´esentent respectivement l’amortissement ´equivalent et la raideur ´equivalente. Pour satisfaire l’´equation 1.82a, ils sont d´etermin´es par : Z 2π 1 2kA1 (a) =− f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) sin(Θ)dΘ be (a) = − 2 Ωn,lin a Ωn,lin aπ 0 (1.83a) Z 2π 2kB1 (a) 1 ke (a) = = f (a cos(Θ), −Ωn,lin a sin(Θ)) cos(Θ)dΘ (1.83b) Ωn,lin aπ 0 L’´equation non-lin´eaire 1.71 peut donc ˆetre remplac´ee par sa forme ´equivalente lin´eaire (Equ.1.84) qui prend uniquement en compte la premi`ere harmonique du mouvement. Les variations de l’amplitude et de la fr´equence (amortie et non-amortie) en fonction des param`etres ´equivalents sont d´efinies par les ´equations 1.85a,1.85b,1.85c. m¨ x(t) + be (a)x(t) ˙ + (k + ke (a))x(t) = 0

da be (a) = − a dt 2mr dΘ k + ke (a) be (a)2 = Ωd,e = − 2 2 dt m r r 4m ke (a) ke (a) k Ωn,e = + = Ωn,lin 1 +  m m k

(1.84)

(1.85a) (1.85b) (1.85c)

√ En introduisant le coefficient d’amortissement ´equivalent ζe (a) = be (a)/ 4km et la fr´equence propre ´equivalente, les ´equations pr´ec´edentes se traduisent par : x¨(t) + 2ζe (a)Ωn,lin x(t) ˙ + Ωn,e (a)2 x(t) = 0

da = −ζe (a)Ωn,lin a dt q dΘ = Ωd,e = Ωn,e (a)2 − 2 (ζe (a)Ωn,lin )2 dt

(1.86)

(1.87a) (1.87b)

Nous pouvons ainsi constater que dans un contexte de solution approximative, les non-lin´earit´es du syst`eme peuvent ˆetre caract´eris´ees par ses param`etres modaux ´equivalents. La r´eponse stationnaire du syst`eme soumis `a une excitation harmonique F0 cos(ωt) est donn´ee par la r´esolution de l’´equation 1.88, o` u la r´eponse est suppos´ee ˆetre de la forme x(t) = a cos(ωt − ψ). x¨(t) + 2ζe (a)Ωn,lin x(t) ˙ + Ωn,e (a)2 x(t) =

F0 cos(ωt) m

(1.88)

31

1.5 Identification des param`etres modaux ´equivalents des syst`emes non-lin´eaires par la transform´ee en ondelettes La solution de l’´equation pr´ec´edente, satisfaisant les conditions de stationnarit´e (a˙ = 0, ψ˙ = 0), est d´efinie par : F0 p 2 2 m (Ωn,e (a) − ω )2 + (2ζe (a)Ωn,lin ω)2 ! 2ζe (a)Ωn,lin ω ψ = arctan Ωn,e (a)2 − ω 2 a=

(1.89) (1.90)

Puisque il s’agit d’´equations non-lin´eaires par rapport `a l’amplitude a, nous pouvons nous attendre `a une solution polys´emique pour une fr´equence d’excitation donn´ee. Nous allons maintenant pr´esenter une m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents par la transform´ee en ondelettes. Consid´erons la r´eponse libre d’un syst`eme faiblement non-lin´eaire qui s’exprime en terme d’amplitude et de phase par : x(t) = a(t) cos(Θ(t)) Par la suite nous allons consid´erer que cette r´eponse a les propri´et´es d’un signal asymptotique. Nous pouvons donc associer `a cette r´eponse sa forme analytique : Zx (t) = x(t) + iHx (t) = a(t)eiΘ(t)

(1.91)

La projection de ce signal dans l’espace temps-fr´equence s’exprime alors par : √ √ s s i Θ(t) ˆ ˆ Ωd,e (t)) ei Θ(t) ˙ = (1.92) a(t)ψ(s Θ(t)) e a(t)ψ(s Tx (s, t) ≈ 2 2 Puisque dans le cas d’un syst`eme non-lin´eaire la fr´equence propre n’est pas constante, l’arˆete du module de la transform´ee en ondelettes varie en fonction du temps. Les ´echelles de l’arˆete de la T O sont donn´ees par : sa (t) = ω0 /Ωd,e (t) 6= const. Les coefficients de la T O relatifs `a l’arˆete de la T O s’´ecrivent : p p sa (t) ˆ a (t) Ωd,e (t)) ei Θ(t) = sa (t) A(t)ψ(ω ˆ 0 ) ei Θ(t) Tx (sa (t), t) ≈ A(t)ψ(s 2 2

(1.93)

(1.94)

Conform´ement au syst`eme lin´eaire, l’argument de la T O n’est d´etermin´e que par la phase des vibrations tandis que le module de la T O d´epend uniquement de la variation de l’amplitude.
arg Tx (sa (t), t) = Θ(t) (1.95) p p sa (t) ˆ 0 )| = sa (t) a(t) |Tx (sa (t), t)| = a(t)|ψ(ω (1.96) 2 2

32

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires Suivant l’´equation 1.85b, la fr´equence propre ´equivalente est d´efinie comme la d´eriv´ee de la phase, c’est-`a-dire : Ωd,e (t) =

d arg(Tx (sa (t), t)) dΘ = dt dt

(1.97)

Pour trouver la formule d’identification du coefficient d’amortissement ´equivalent, modifions d’abord l’´equation diff´erentielle de la variation de l’amplitude (Equ.1.87a) fournie par la m´ethode asymptotique :


d ln a(t) da(t) = −ζe a(t) Ωn,lin a(t) =⇒ = −ζe a(t) Ωn,lin (1.98) dt dt L’´equation 1.96 combin´ee avec la pr´ec´edente fournit directement l’expression permettant de calculer l’amortissement ´equivalent `a partir de la T O du signal :  
√ 2 |Tx (sa (t), t)| d ln
sa (t) 1 1 d ln a(t) =− (1.99) ζe a(t) = − Ωn,lin dt Ωn,lin dt L’utilisation de l’´equation 1.99 est conditionn´ee par la connaissance de la fr´equence propre lin´eaire non-amortie Ωn,lin . Cette fr´equence r´epr´esente la valeur limite de la fr´equence propre ´equivalente non-amortie lorsque l’amplitude tend vers z´ero. Cela s’exprime par : q (1.100) Ωn,lin = lim Ωn,e = lim Ωd,e (a)2 + (ζe (a)Ωn,lin )2 a→0

a→0

Puisque la valeur limite de la fr´equence propre ´equivalente ne peut jamais ˆetre r´eellement identifi´ee, nous effectuons une extrapolation lin´eaire pour estimer sa valeur. Cette extrapolation est effectu´ee `a partir de l’´evolution de la fr´equence propre ´equivalente pour les petites amplitudes, comme illustr´e figure 1.9.

Fig. 1.9 − Estimation de la fr´equence propre lin´eaire non-amortie par extrapolation lin´eaire

Les ´evolutions des param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude des vibrations sont ensuite relev´ees `a partir des ´evolutions temporelles en leur associant 33

1.5 Identification des param`etres modaux ´equivalents des syst`emes non-lin´eaires par la transform´ee en ondelettes l’amplitude `a chaque instant t : A(t), Ωd,e (t) =⇒ Ωd,e (A(t)) A(t), ζe (t) =⇒ ζe (A(t))

(1.101)

Notons que l’amplitude A(t) est fournie par une des m´ethodes de reconstitution du signal `a partir des coefficients de la T O.

1.5.2

Syst` eme ` a plusieurs ddl

Nous allons appliquer l’approche de la m´ethode asymptotique `a un syst`eme nonlin´eaire `a plusieurs ddl. Nous allons proposer une m´ethode de lin´earisation ´equivalente tout en conservant le concept de l’analyse modale. Le fait de travailler en coordonn´ees modales permet d’appliquer le processus d’identification des param`etres modaux ´equivalents `a un syst`eme continu. Consid´erons un syst`eme faiblement nonlin´eaire `a N ddl dont le mouvement libre est gouvern´e par le syst`eme d’´equations suivant :   f1 (x˙ 1 , x1 )  f2 (x˙ 2 , x2 )    ˙ x) = 0, f (x, ˙ x) =  M¨ x + Kx + f (x, (1.102)  ..   . fn (x˙ n , xn ) Le mouvement libre du syst`eme conservatif associ´e est d´efini par : M¨ x + Kx = 0

(1.103)

Ce syst`eme lin´eaire admet N valeurs propres λ = n,lin Ω2i et N vecteurs propres vi . Les valeurs propres peuvent ˆetre regroup´ees dans la matrice spectrale Λ et les vecteurs propres dans la matrice modale V. Les propri´et´es d’orthogonalit´e des vecteurs propres relatives aux matrices M, K nous permettent d’´etablir les relations suivantes : VT MV = I VT KV =Λ

(1.104)

La transformation modale consiste `a ´ecrire la solution de l’´equation du mouvement non-lin´eaire sous forme d’une combinaison lin´eaire des vecteurs propres : x = Vq

(1.105)

Le vecteur q repr´esente les coordonn´ees modales. Le syst`eme d’´equations du mouvement peut ˆetre r´e´ecrit en fonction des coordonn´ees modales : ¨ + Λq + VT f (Vq, ˙ Vq) = 0 q 34

(1.106)

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires La i`eme ´equation de mouvement dans la base modale s’´ecrit : q¨i + n,lin Ω2i + 

N X

Vj,i fj

N X

j=1

V1,k q˙k , . . . ,

k=1

N X

VN,k q˙k ,

k=1

N X k=1

V1,k qk , . . . ,

N X

 VN,k qk = 0

k=1

(1.107) Par la suite nous allons consid´erer que lorsque le syst`eme oscille au voisinage d’une fr´equence propre, sa r´eponse vibratoire est proportionnelle `a la d´eform´ee modale relative `a cette fr´equence propre, c’est-`a-dire que nous allons n´egliger les contributions des autres modes propres. Cette hypoth`ese signifie que la m´ethode propos´ee sera bien appropri´ee aux modes propres non-coupl´es. Compte tenu de cette simplification, le syst`eme d’´equations de mouvement 1.106 peut ˆetre d´ecoupl´e en N ´equations non-lin´eaires : q¨i +

Ω2lin,i

+

N X

  Vj,i fj V1,i q˙i , V2,i q˙i , . . . , Vn,i q˙i , V1,i qi , V2,i qi , . . . , Vn,i qi = 0 ,

i = 1, 2, . . . , n

j=1

(1.108) Nous allons `a nouveau appliquer la m´ethode asymptotique `a l’´equation pr´ec´edente afin de trouver sa solution approch´ee d’ordre un que nous cherchons sous la forme : qi = ai cos(Θi )

(1.109)

L’amplitude ai et la phase Θi sont solutions du syst`eme d’´equations suivant : dai =  1 Ai (ai ) dt dΘi = n,lin Ωi +  1 Bi (ai ) dt

(1.110a) (1.110b)

En proc´edant de la mˆeme mani`ere que dans le cas du syst`eme `a un ddl, les param`etres es par les deux premiers coefficients de la d´ecomposition 1 Ai (ai ) et 1 Bi (ai ) sont donn´ de la fonction non-lin´eaire en s´erie de Fourier : 1 Ai (ai ) =

1

N X

2π n,lin Ωi

j=1

2π

Z Vj,i

  fj V1,i q˙i , . . . , Vn,i q˙i , V1,i qi , . . . , Vn,i qi sin(Θ)dΘ

0

(1.111) 1 Bi (ai )

=

1

N X

2πain,lin Ωi

j=1

Z Vj,i

2π



fj V1,i q˙i , . . . , Vn,i q˙i , V1,i qi , . . . , Vn,i qi



cos(Θ)dΘ

0

(1.112)

35

1.5 Identification des param`etres modaux ´equivalents des syst`emes non-lin´eaires par la transform´ee en ondelettes Les param`etres modaux ´equivalents peuvent ensuite ˆetre d´efinis `a partir des param`etres 1 Ai (ai ) et 1 Bi (ai ) : e ζi (ai ) =

1

N X

2πain,lin Ω2i

j=1

Z Vj,i

2π

  fj V1,i q˙i , . . . , Vn,i q˙i , V1,i qi , . . . , Vn,i qi sin(Θ)dΘ

0

(1.113a) Z 2π  N  1 X ∆n,e Ωi (ai ) = Vj,i fj V1,i q˙i , . . . , Vn,i q˙i , V1,i qi , . . . , Vn,i qi cos(Θ)dΘ πai j=1 0 2

(1.113b) Le syst`eme d’´equations non-lin´eaires 1.108 peut alors ˆetre reformul´e sous sa forme lin´eaire ´equivalente : q¨i + 2e ζi (ai ) n,lin Ωi q˙i + (n,lin Ω2i + ∆n,e Ωi (ai )2 )qi = 0, ⇓ q¨i + 2e ζi (ai ) n,lin Ωi q˙i + n,e Ωi (ai )2 qi = 0,

i = 1, 2, . . . , n

(1.114)

i = 1, 2, . . . , n

(1.115)

En regroupant les coefficients d’amortissement et les fr´equences propres dans des matrices diagonales not´ees respectivement ζ(~a), et Ωe (~a), les ´equations pr´ec´edentes se traduisent sous forme matricielle par : ¨ + 2ζe (a)Ωn,lin q˙ + Ωn,e (a)2 q = 0 q

(1.116)

Un syst`eme d’´equations du mouvement non-lin´eaire peut donc ˆetre repr´esent´e par un syst`eme d’´equations ´equivalentes r´egies par n fonctions de coefficients d’amortissement ´equivalent e ζi (ai ) et par autant de fonctions de fr´equences propres ´equivalentes esolvant ce syst`eme d’´equations ´equivalent, nous obtenons les coorn,e Ωi (ai ). En r´ donn´ees modales relatives `a la solution approch´ee d’ordre un. Le mouvement correspondant `a cette solution approximative est calcul´e en utilisant la transformation modale : x(a) = Vq(a)

(1.117)

Les vibrations forc´ees du syst`eme sont d´etermin´ees par le syst`eme d’´equations suivant : ¨ + 2ζe (a)Ωn,lin q˙ + Ωn,e (a)2 q = VT f0 cos(ωt) q

(1.118)

Afin de trouver la r´eponse stationnaire, nous supposons que la solution de la forme qi = ai cos(ωt − ψi ) satisfait les conditions de stationnarit´e (a˙ i = 0, ψ˙ i = 0). En rempla¸cant la coordonn´ee modale par sa forme suppos´ee dans le syst`eme d’´equations 1.118, nous pouvons transformer cette derni`ere en syst`eme d’´equations alg´ebriques

36

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires non-lin´eaires d´eterminant l’amplitude ai et la phase ψi : VT F0 (n,e Ωi (ai )2 − ω 2 )2 + (2e ζi (ai )n,lin Ωi ω)2 ! 2e ζi (ai )n,lin Ωi ω ψi = arctan 2 2 n,e Ωi (ai ) − ω

ai = p

(1.119) (1.120)

Nous allons maintenant proposer une m´ethode d’identification des fonctions d’amortissement ´equivalent et de fr´equence propre ´equivalente, bas´ee sur l’application de la transform´ee en ondelettes `a la r´eponse libre du syst`eme. Consid´erons un syst`eme non-lin´eaire `a N ddl `a modes propres non-coupl´es et notons xi la r´eponse libre du i`eme ddl. Suivant la th´eorie d´evelopp´ee pr´ec´edemment, compte tenu des hypoth`eses de modes propres non-coupl´es et de faibles non-lin´earit´es, la r´eponse libre s’exprime en terme de coordonn´ees modales par : xi (t) =

N X

Ai,j cos(Θj (t)) =

N X

j=1

Vi,j qj (t) =

j=1

N X

Vi,j aj (t) cos(Θj (t))

(1.121)

j=1

Si nous projetons cette r´eponse libre dans l’espace temps-fr´equence, nous obtenons : 1 Txi (s, t) = √ s

Z

∞

N X

Vi,j aj (t) cos(Θj (t))ψ(

−∞ j=1

t−t )dt s

Z ∞ N X t−t 1 √ Vi,j aj (t) cos(Θj (t))ψ( )dt = s s −∞ j=1

(1.122)

En supposant que les composantes de la r´eponse xi poss`edent les propri´et´es des signaux asymptotiques, la T O de la r´eponse libre s’exprime par : Z ∞ N X 1 t−t √ Vi,j aj (t) expi Θj (t) ψ( )dt Txi (s, t) = s 2 s −∞ j=1 N √ X s ˆ ω(t)) ei (Θj (t)) ≈ Vi,j aj (t)ψ(s 2 j=1

(1.123)

Nous pouvons observer N arˆetes sur la T O de la r´eponse libre xi qui correspondent aux N fr´equences propres du syst`eme : sa,j (t) = ω0 /d,e Ωj (t),

j = 1, 2, . . . , N

(1.124)

Nous allons ensuite identifier les param`etres modaux `a partir de ces N arˆetes. Pour ce faire, nous allons appliquer la mˆeme m´ethode d’identification que celle utilis´ee pour identifier les param`etres modaux ´equivalents du syst`eme `a un ddl. Ainsi, les formules permettant de calculer les param`etres modaux ´equivalents `a partir des coefficients

37

1.5 Identification des param`etres modaux ´equivalents des syst`emes non-lin´eaires par la transform´ee en ondelettes de la T O de la r´eponse libre sont les suivantes : d arg(Txi (sa,j (t), t)) , dt   2 √ d ln |Tx,i (sa,j (t), t)| sa,j (t) 1 , ζ (t) = − e j dt n,lin Ωj

d,e Ωj (t)

=

j = 1, 2, . . . , N

(1.125a)

j = 1, 2, . . . , N

(1.125b)

La fr´equence propre non-amortie n,lin Ωj intervenant dans l’´equation 1.125b est estim´ee de la mˆeme fa¸con que pour le syst`eme non-lin´eaire `a un ddl, c’est-`a-dire que nous extrapolons l’´evolution de la fr´equence propre non-amortie ´equivalente afin d’estimer sa valeur limite (aj → 0). Pour exprimer les param`etres modaux en fonction de l’amplitude des coordonn´ees modales, il est n´ecessaire d’effectuer la reconstitution de cette amplitude `a partir de la T O. Pour ce faire, nous allons d’abord reconstituer l’amplitude du mouvement relative au mode propre correspondant via une des m´ethodes pr´esent´ees dans le paragraphe 1.3.5. En appliquant la m´ethode de reconstitution fr´equentielle, l’amplitude de mouvement Ai,j s’´ecrit : 2 |F −1 | Ai,j (t) = p b a,j ω) sa,j (t) Txi (sa,j ,ω)/ψ(s L’amplitude de la coordonn´ee modale aj est ensuite d´efinie `a l’aide du vecteur propre − → V j par : −1 aj (t) = Vi,j Ai,j (t)

(1.126)

Les vecteurs propres peuvent provenir d’un mod`ele ´el´ements finis ou ˆetre ´egalement identifi´es `a partir des coefficients de la T O. L’identification des vecteurs propres s’effectue de la mˆeme fa¸con que pour le syst`eme lin´eaire, c’est-`a-dire : T (s , t) V k,j x a (1.127) αk,j (t) = k j = , k = 1, 2, . . . , N Txi (saj , t) Vi,j |Vk,j (t)| = αk,j (t)|Vi,j | = k = 1, 2, j − 1, . . . , j + 1, N

arg Txk (saj , t) − arg Txi (saj , t) = 0

arg Txk (saj , t) − arg Txi (saj , t) = ±π

(1.128)

→ Vk,j (t) = |Vk,j (t)|

(1.129)

→ Vk,j (t) = −|Vk,j (t)|

(1.130)

L’identification des vecteurs propres en fonction du temps permet de v´erifier l’hypoth`ese simplificatrice selon laquelle les vecteurs propres d’un syst`eme faiblement non-lin´eaire sont quasi ind´ependants de l’amplitude des vibrations. Finalement nous pouvons exprimer les param`etres modaux en fonction de l’amplitude des coordonn´ees

38

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires modales : aj (t), d,e Ωj (t) =⇒ d,e Ωj (aj ), aj (t), e ζj (t) =⇒ e ζj (aj ),

1.6

j = 1, 2, . . . , N j = 1, 2, . . . , N

(1.131)

Mise en oeuvre de la m´ ethode d’identification par la transform´ ee en ondelettes

®

Toute la partie th´eorique d´ecrite pr´ec´edemment a ´et´e int´egr´ee dans un logiciel d’identification des param`etres modaux programm´e `a l’aide de MATLAB . Nous allons ici mentionner certains aspects pratiques li´es `a la mise en oeuvre de la m´ethode.

1.6.1

Param` etre N d’ondelette analysante

Puisque la fonction analysante utilis´ee est celle de Morlet, il est n´ecessaire de choisir son param`etre N de telle fa¸con que la T O r´esulte en une repr´esentation tempsfr´equence du signal la plus lisible possible. Pour ce faire nous employons la notion d’entropie qui, dans sa d´efinition de base est relative `a la mesure du d´esordre. Dans le contexte des ondelettes, nous utilisons l’entropie introduite par Shannon, qui peut ˆetre d´efinie comme une mesure statistique de la quantit´e d’information contenue dans un signal ´echantillonn´e. Cette entropie repr´esente le moyen le plus souvent utilis´e pour rechercher la base d’ondelettes la plus appropri´ee au signal analys´e [Lar03]. L’entropie de Shannon de l’ensemble des coefficients de la T O d’une fonction f est d´efinie par l’´equation suivante : E=−

m−1 −1 XN X

Tf2 Pfi,j ln(Pfi,j ) , o` u Pfi,j = Pm−1 Pi,j N −1 i=0

i=0 j=0

j=0

Tf2i,j

(1.132)

L’expression 1.132 peut ˆetre vue comme une fonction coˆ ut dont le minimum correspond au N optimal, ce qui se traduit par : Emin = −

m−1 −1 XN X

P(Noptim )fi,j ln(P(Noptim )fi,j )

(1.133)

i=0 j=0

Pour exploiter le crit`ere d´efini par la relation 1.133, il est in´evitable de calculer la T O en fonction du param`etre N ce qui rend cette m´ethode de recherche du Noptim relativement coˆ uteuse en temps calcul. Diff´ erentiation num´ erique On s’aper¸coit que les ´equations d’identification font appel `a l’op´erateur de la d´eriv´ee par rapport au temps. Puisqu’il s’agit d’une op´eration relativement d´elicate du point de vue du calcul num´erique, la question du choix de la m´ethode num´erique de 39

1.6 Mise en oeuvre de la m´ethode d’identification par la transform´ee en ondelettes

diff´erentiation se pose. Nous avons propos´e trois sch´emas de diff´erentiation num´erique : • Diff´ erentiation du premier ordre Approche la plus simple, elle utilise la diff´erence de deux points adjacents qui est divis´ee par le pas temporel afin d’approcher la d´eriv´ee. • D´ eriv´ ee pseudo-spectrale Proc´ed´e alternatif de diff´erentiation num´erique, il consiste `a approcher la d´eriv´ee d’une fonction f par la d´eriv´ee exacte du polynˆome Πn f interpolant f aux points x0 , . . . , xn . • Diff´ erentiation avec le filtre de Savitzky-Golay Diff´erentiation calcul´ee `a l’aide du filtre de Savitzky-Golay `a r´eponse impulsionnelle finie, elle permet d’´eliminer le bruit pr´esent dans le signal.

1.6.2

Moyen d’excitation

La m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents telle qu’elle a ´et´e pr´esent´ee s’applique aux signaux des r´eponses libres d’un syst`eme qui sont souvent obtenues en utilisant une excitation par marteau de choc. On obtient ainsi une r´eponse dont le spectre est compos´ee de plusieurs fr´equences propres `a diff´erents niveaux d’amplitude. Par cons´equent la T O sert ´egalement `a filtrer le signal ce qui permet d’en extraire la fr´equence propre ´etudi´ee. L’identification `a partir d’une telle r´eponse est convenable pour les syst`emes lin´eaires dont les param`etres modaux sont constants pendant toute la dur´ee de la r´eponse. Or, lorsque nous analysons un syst`eme non-lin´eaire, l’objectif est de relever les param`etres modaux ´equivalents relatifs `a une fr´equence propre, sur un intervalle d’amplitude le plus large possible. Dans ce cas, l’utilisation du marteau de choc est peu adapt´ee puisqu’elle ne permet pas de contrˆoler le niveau d’excitation de la fr´equence propre ´etudi´ee. Ces raisons ont conduit `a rechercher une nouvelle m´ethode d’excitation permettant d’obtenir une r´eponse libre dont le spectre fr´equentiel serait domin´e par la fr´equence propre ´etudi´ee. Nous allons maintenant pr´esenter trois techniques permettant d’atteindre cet objectif. La premi`ere m´ethode propos´ee est celle de l’excitation sinuso¨ıdale interrompue. Cette m´ethode consiste `a exciter le syst`eme par un signal harmonique dont la fr´equence est voisine de la fr´equence propre ´etudi´ee. La r´eponse libre du syst`eme est obtenue en interrompant l’excitation. L’intensit´e de cette excitation permet de contrˆoler la limite sup´erieure de l’intervalle d’amplitudes d’identification. Une analyse modale exp´erimentale pr´eliminaire est ´evidement n´ecessaire afin de localiser la fr´equence propre ´etudi´ee. La deuxi`eme m´ethode d’excitation propos´ee n’est qu’une modification de la premi`ere. Cette modification concerne le signal d’excitation qui est remplac´e par un signal al´eatoire `a bande fr´equentielle ´etroite autour de la fr´equence propre ´etudi´ee. Notons que la coupure de l’excitation ´etend le spectre excit´e sur toute la bande fr´equentielle ce qui s’explique en exprimant l’excitation interrompue `a l’instant t0 `a 40

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires l’aide de la fonction de Heaviside H(t): fe (t) = f (t)(1 − H(t − t0 )) La transform´ee de Fourier d’une telle fonction s’exprime comme la convolution ”∗” des images de Fourier des deux fonctions de l’´equation pr´ec´edente, ce qui s’´ecrit : Fˆe (ω) = Ff (t) ∗ F(1−H(t−t0 )) i = Fˆ (ω) ∗ (πδ(ω) + e−iωt0 ) ω Malgr´e cet effet de la coupure d’excitation, la bande fr´equentielle dominante dans le spectre excit´e reste celle de la fonction d’excitation. Il est ´evident qu’une analyse modale exp´erimentale pr´eliminaire est n´ecessaire afin de localiser approximativement les fr´equences propres, puisqu’elles d´ependent de l’amplitude d’excitation. Une localisation plus pr´ecise peut ensuite ˆetre effectu´ee en faisant un balayage sinus autour des fr´equences propres `a un certain niveau d’amplitude. La r´ealisation pratique de ces m´ethodes d’excitation particuli`eres sera pr´esent´ee dans le chapitre traitant les ´etudes exp´erimentale effectu´ees dans le cadre de ce travail. Nous allons maintenant illustrer ces deux m´ethodes d’excitation sp´ecifiques sur le mod`ele math´ematique d’un syst`eme `a 4 ddl en supposant que le troisi`eme mode est celui `a analyser. Nous pr´esentons d’abord la r´eponse de ce syst`eme `a une impulsion repr´esentant l’effet d’excitation par un marteau de choc (Fig.1.10). La comparaison de cette r´eponse `a celles issues des deux m´ethodes d’excitations propos´ees (Fig.1.111.12) montre l’efficacit´e de ces derni`eres.

41

1.6 Mise en oeuvre de la m´ethode d’identification par la transform´ee en ondelettes

excitation

r´ eponse

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 1.10 − Excitation impulsionnelle excitation

r´ eponse

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 1.11 − Excitation sinuso¨ıdale 42

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires excitation

r´ eponse

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 1.12 − Excitation al´eatoire

1.6.3

Diminution de l’effet de bord

´ Etant donn´e que le calcul de la T O s’effectue `a l’aide de la transform´ee de Fourier rapide et que l’on traite des signaux de dur´ee finie, il est important de souligner que l’influence de l’effet de bord d´epend [Kij02] de la r´esolution fr´equentielle de l’ondelette analysante. En cons´equence, la largeur de la zone du plan temps-fr´equence ´etant distordue par l’effet de bord varie en fonction de l’´echelle. En pratique, l’effet de bord se manifeste par des variations soudaines de l’arˆete de la T O vers les bords du signal (Fig.1.14(a)). Cette d´eformation de l’arˆete entraˆıne ensuite des irr´egularit´es dans l’´evolution des param`etres modaux ´equivalents. La m´ethode propos´ee pour ´eliminer l’effet de bord consiste `a prolonger le signal en lui ajoutant deux portions de signal suppl´ementaire au d´ebut et `a la fin de la fenˆetre temporelle. Le nombre d’´echantillons du signal ainsi prolong´e doit rester ´egal `a 2j o` u j est un nombre entier. L’efficacit´e de la prolongation par rapport `a la diminution de l’effet de bord d´epend de la continuit´e `a la fois temporelle et fr´equentielle entre le signal d’origine et ajout´e. Afin de conserver au mieux la continuit´e fr´equentielle, nous proposons que le signal suppl´ementaire prenne une forme harmonique dont la fr´equence et l’amplitude sont ´egales `a celles du signal d’origine au moment de leur connexion. Ce signal est ensuite ajout´e de sorte que la continuit´e temporelle soit respect´ee. Nous allons illustrer cette m´ethode sur la r´eponse libre d’un syst`eme non-lin´eaire `a un ddl. La figure 1.13 repr´esente le signal d’origine et prolong´e. Dans le cas du signal prolong´e, les traits verticaux d´elimitent les portions de signal suppl´ementaire. 43

1.6 Mise en oeuvre de la m´ethode d’identification par la transform´ee en ondelettes

(a) signal d’origine

(b) signal prolong´e

Fig. 1.13 − Prolongation par un signal harmonique

L’impact de la prolongation sur la transform´ee en ondelettes et surtout sur l’´evolution de l’arˆete est montr´e sur la figure 1.14. Nous pouvons remarquer que les variations soudaines de l’arˆete vers les bords du signal sont moins prononc´ees lorsque nous appliquons la prolongation.

(a) signal d’origine

(b) signal prolong´e

Fig. 1.14 − Influence de la prolongation sur l’´evolution de l’arrˆete

L’effet consid´erable de la prolongation apparaˆıt plus encore sur l’enveloppe reconstruite a` partir de la T O. Le d´etail (Fig.1.15(b)) confirme que la prolongation du signal provoque la suppression des oscillations qui apparaissent habituellement vers les bords du signal. Cela permet par cons´equent d’´elargir l’intervalle d’amplitude lors de l’identification des param`etres modaux ´equivalents, comme illustr´e figure 1.16. 44

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires

(a) enveloppe compl`ete

(b) d´etail

Fig. 1.15 − Influence de la prolongation sur la reconstruction de l’enveloppe du signal

(a) fr´equence propre amortie

(b) coefficient d’amortissement

Fig. 1.16 − Influence de la prolongation sur l’identification des param`etres modaux

1.6.4

Identification ` a partir de signaux d’acc´ el´ eration

Les ´equations d’identification pr´esent´ees pr´ec´edemment font appel `a des signaux de d´eplacement. Cependant les capteurs les plus souvent utilis´es en dynamique exp´erimentale sont ceux d’acc´el´eration. Nous allons maintenant d´emontrer la relation entre la T O d’un signal de d´eplacement et celle de l’acc´el´eration correspondante ce qui permettra d’appliquer cette identification aux signaux d’acc´el´eration. Consid´erons la d´efinition de la T O d’un signal d’acc´el´eration et effectuons deux int´egrations 45

1.6 Mise en oeuvre de la m´ethode d’identification par la transform´ee en ondelettes

par parties successives : Z ∞ 1 t−τ ψ )dt Tx¨ (s, τ ) = √ x¨(t)ψ( s s −∞ i∞ h 1 h 1 t − τ i∞ ˙ t−τ) ) = √ x(t)ψ( ˙ − √ x(t)ψ( + s s s s −∞ −∞ h 1 h 1 i∞ t − τ i∞ ˙ t−τ) = √ x(t)ψ( ) − √ x(t)ψ( + ˙ s s s s −∞ −∞

Z ∞ 1 1 ¨ t − τ )dt √ x(t)ψ( 2 s s −∞ s 1 ψ¨ T (s, τ ) (1.134) s2 x

L’indice sup´erieur de notation de la T O d´esigne la fonction analysante utilis´ee. Pour simplifier la relation pr´ec´edente, il faut ´etablir des hypoth`eses sur le caract`ere des d´eriv´ees de l’ondelette m`ere. Dans notre cas la fonction d’ondelette m`ere est celle de Morlet et nous supposons que les d´eriv´ees de cette fonction (Fig.1.17) satisfont ´egalement les conditions d’admissibilit´e (Equ.1.2). Cela implique la disparition des termes de l’´equation 1.134 qui pr´ec`edent l’int´egrale. Alors la T O de d´eplacement recherch´ee peut ˆetre calcul´ee `a partir de la T O d’acc´el´eration de la fa¸con suivante : ¨

Txψ (s, t) = s2 Tx¨ψ (s, t)

(1.135)

Fig. 1.17 − Comparaison de la fonction de Morlet avec ses d´eriv´ees Nous pouvons r´esumer cette d´emonstration en constatant que la T O d’acc´el´eration est proportionnelle `a la T O de d´eplacement effectu´ee en utilisant la d´eriv´ee seconde de l’ondelette m`ere d’origine. Suivons maintenant le parcours de l’identification des param`etres modaux sachant que nous disposons d’un signal d’acc´el´eration pr´esuppos´e asymptotique. En effectuant la T O (Tx¨ψ (s, τ )) de ce signal, nous pouvons remonter `a la T O de d´eplacement ¨ correspondante (Txψ (s, τ )) grˆace `a l’´equation 1.135 compte tenu du fait qu’il s’agit de la T O dont l’ondelette m`ere est la d´eriv´ee seconde de celle d’origine. Puisqu’il s’agit d’un signal asymptotique, cette T O s’exprime (d’apr`es l’´equation 1.37) par : Z ∞ 1 ψ¨ ¨ t − τ ) expi Φ(t) dt Tx (s, τ ) ≈ √ A(τ ) ψ( s 2 s −∞ En effectuant l’integration par parties deux fois de suite, compte tenu des conditions 46

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires d’admissibilit´e, l’´equation pr´ec´edente devient : Z ∞ 1 ψ¨ ˙ 2 ψ( t − τ ) expi Φ(t) dt Tx (s, τ ) ≈ √ A(τ ) −s2 Φ(t) s 2 s −∞

(1.136)

Afin de pouvoir simplifier cette ´equation, nous allons supposer que la variation de ˙ la vitesse angulaire Φ(t) du signal est n´egligeable sur le petit support de l’ondelette t−τ ψ( s ). C’est-`a-dire que la vitesse angulaire est consid´er´ee constante sur le support de l’ondelette et sa valeur correspond `a celle atteinte `a l’instant τ . Il s’agit en r´ealit´e de la simplification faite sur la variation de l’amplitude dans le chapitre 1.3.4 et elle est tout `a fait justifi´ee pour les signaux asymptotiques. L’´equation 1.136 peut donc ˆetre r´e´ecrite par : ¨ Txψ (s, τ )

Z ∞ ˙ )2 −s2 Φ(τ t−τ √ ≈ A(τ ) ψ( ) expi Φ(t) dt s 2 s −∞

En appliquant le th´eor`eme de Parseval `a l’expression 1.138, on obtient : √ ψ¨ 2 ˙ 2 s ˆ Φ(t)) ˙ Tx (s, t) ≈ −s Φ(t) A(t)ψ(s ei Φ(t) 2 ≈ −s2 Φ(t)2 Txψ (s, t)

(1.137)

(1.138)

L’´equation 1.135 combin´ee avec la pr´ec´edente ´etablit la formule de conversion (Equ.1.139) entre la T O d’acc´el´eration et celle de d´eplacement tout en gardant la mˆeme fonction m`ere de la T O. Txψ (s, t) = −

1 T ψ (s, t) ˙ 2 x¨ Φ(t)

(1.139)

Cependant l’utilisation de l’´equation pr´ec´edente n´ecessite la connaissance de la fr´equence instantan´ee du signal. Nous proposons deux solutions pour contourner ce probl`eme. D’abord, nous pouvons supposer que la fr´equence du signal correspond ¨ aux ´echelles de l’arˆete de la T O du signal de d´eplacement (Txψ (s, τ )) calcul´ee en appliquant l’´equation 1.135. Cela se traduit math´ematiquement par : ω0 ¨ ¨ ˙ max(Txψ (s0 . . . sm−1 , t)) = max(s2 Tx¨ψ (s0 . . . sm−1 , t)) −→ sψa (t) −→ Φ(t) = ¨ sψa (t) (1.140) Or, cette approche est particuli`erement sensible `a la r´esolution fr´equentielle de la T O qui d´epend du choix du param`etre N de l’ondelette m`ere. Il s’est av´er´e que la fa¸con la plus fiable de d´eterminer la fr´equence instantan´ee du signal est celle qui exploite la ¨ d´eriv´ee de la phase de Txψ (s, τ ). Nous appliquons en effet la mˆeme m´ethode que celle utilis´ee pour d´eterminer la fr´equence propre ´equivalente d’un syst`eme non-lin´eaire (voir page 1.5.1), c’est-`a-dire : ¨

d arg(Tx (sψa (t), t)) ˙ Φ(t) = dt

(1.141)

47

´ 1.7 Etapes principales de l’identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents

1.7

´ Etapes principales de l’identification exp´ erimentale des param` etres modaux ´ equivalents

Afin de pr´esenter le d´eroulement d’une identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents par la m´ethode propos´ee, nous consid´erons un syst`eme continu dont nous voulons identifier les param`etres relatifs `a l’un de ses modes propres. Nous supposons que la fr´equence propre de ce mode a ´et´e approximativement localis´ee par une analyse exp´erimentale pr´eliminaire. Nous montrons figures 1.18a-1.18b les ´etapes principales de l’identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents.

1

2 Excitation appropri´ee

Enregistrement de r´eponse libre

f (t)

x¨(t)

Excitation du syst`eme par une des m´ethodes propos´ees.

Enregistrement de la r´eponse libre du syst`eme.

3

4 T O globale du signal

S´election du mode propre

ψ Tg,¨ x(t)

hf1lim , f2lim i

TO ` a bande fr´equentielle large dite “globale” de la r´eponse libre afin de r´ev´eler toutes les fr´equences propres excit´ees.

S´election du mode propre ` a analyser.

´ Fig. 1.18a − Etapes principales de l’identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents 48

CHAPITRE 1. Identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents des structures non-lin´eaires

5

6 T O locale du signal

Identification de l’arˆete de la T O

ψ Tl,¨ x(t)

sa (τ )

T O `a bande fr´equentielle ´etroite dite “locale” de la r´eponse libre

Identification de l’arˆete ` a partir de la T O “locale”.

7

8 Extraction de fr´equence propre

Conversion en d´eplacement

x¨(t) −→ x¨i (t)

x¨i (t) −→ xi (t)

Reconstitution de la r´eponse ` a partir de la T O “locale” afin d’obtenir le signal filtr´e qui ne contient que le composant correspondant `a la fr´equence propre analys´ee.

9

Conversion du signal filtr´e en d´eplacement.

10 Identification des param`etres instantann´es

V´erification des param`etres identifi´es ˙ = Ωd,e (a) a˙ = −ζe (a)Ωn,lin a Θ a(0) ˙ = 0 a(0) = A0 ⇓ xs (t) = a(t) cos(Θ(t))

Ωn,lin , Ωd,e (a), ζe (a) Identification des param`etres modaux ´equivalents `a partir du signal converti.

xi (t) ⇐⇒ xs (t)

Synth`ese du signal ` a l’aide des param`etres modaux ´equivalents identifi´es.

´ Fig. 1.18b − Etapes principales de l’identification exp´erimentale des param`etres modaux ´equivalents

49

1.8 Conclusion

1.8

Conclusion

Une m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents bas´ee sur la transform´ee en ondelettes a ´et´e d´evelopp´ee. Elle permet d’extraire les param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude des vibrations `a partir d’une mesure acc´el´erom`etrique de r´eponse du syst`eme `a un lˆacher dynamique. Une description du comportement dynamique des syst`emes non-lin´eaires par les param`etres modaux ´equivalents a ´et´e introduite en se basant sur la m´ethode asymptotique de Krylov et Bogoljubov. Cette description repose sur des hypoth`eses simplificatrices limitant son utilisation aux syst`emes faiblement non-lin´eaires. L’hypoth`ese la plus forte postule que la contribution des harmoniques d’ordre sup´erieur est n´egligeable devant celle de l’harmonique fondamentale. Deux autres hypoth`eses ont ´et´e formul´ees afin d’´etendre cette description aux syst`emes `a plusieurs degr´es de libert´e. La premi`ere hypoth`ese concerne les modes propres dont la variation en fonction de l’amplitude de vibrations est consid´er´ee comme ´etant n´egligeable. La deuxi`eme hypoth`ese est li´ee aux d´eform´ees vibratoires du syst`eme au voisinage d’une fr´equence propre. On consid`ere ici qu’une d´eform´ee op´erationnelle au voisinage d’une fr´equence propre est affine au mode r´eel correspondant. Cette hypoth`ese revient `a supposer n´egligeable les contributions des autres modes `a cette fr´equence. Toutes ces hypoth`eses doivent ˆetre gard´ees `a l’esprit lors de l’interpr´etation des r´esultats de la m´ethode d’identification propos´ee. La m´ethode d’identification a ´et´e finalement int´egr´ee dans une proc´edure exp´erimentale d’identification des param`etres modaux ´equivalents destin´ee aux structures continues.

50

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

Chapitre 2 Validation de la m´ ethode 2.1

Introduction

Ce chapitre a pour but de valider la m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents pr´esent´ee pr´ec´edemment. Pour ce faire nous allons l’appliquer aux r´eponses libres simul´ees issues de syst`emes dynamiques `a param`etres modaux ´equivalents connus. Nous allons dans un premier temps identifier un syst`eme lin´eaire `a quatre degr´es de libert´e (ddl). Nous analyserons ensuite les exemples classiques des syst`emes non-lin´eaires `a un ddl. Il s’agira des non-lin´earit´es dues aux frottement sec, amortissement/raideur quadratique et raideur cubique. Enfin nous pr´esenterons l’identification d’un syst`eme non-lin´eaire `a deux ddl. Nous serons dans cette ´etude souvent amen´es `a comparer une grandeur physique `a sa valeur de r´ef´erence. Nous allons donc dans un premier temps d´ecrire les fonctions choisies pour ´evaluer le niveau d’erreur d’une grandeur scalaire ou d’une fonction ´echantillonn´ee par rapport `a la r´ef´erence correspondante. • Grandeur scalaire Pour juger la d´eviation d’une grandeur scalaire X par rapport `a sa valeur r´ef´erentielle Xr , nous utiliserons l’erreur relative d´efinie par : ( X − Xr · 100 [%] |X| = |Xr | → ∆r X = 0 % ∆r X = (2.1) Xr |X| = |2Xr | → ∆r X = 100 % ´ • Echantillon de points Dans le cas d’un ´echantillon de points repr´esentant une fonction ou un signal, il est n´ecessaire de choisir la mesure en ad´equation avec le caract`ere de la fonction. S’il s’agit d’une fonction non-oscillante, on peut exprimer l’estimateur d’erreur comme la valeur moyenne des erreurs relatives de l’ensemble des points, c’est`a-dire : N N 1 X xi − xri 1 X ∆r x = · 100 = ∆r xi · 100 [%] (2.2) N i=1 xri N i=1 Cette mesure d’erreur est tr`es sensible aux valeurs aberrantes dont l’influence 51

2.2 Syst`eme lin´eaire `a 4 ddl

est importante, mˆeme si leur pr´esence dans l’´echantillon est marginale. Ce probl`eme des valeurs aberrantes devient gˆenant surtout lorsque nous comparons des signaux oscillants puisque l’erreur relative atteint des valeurs importantes au niveau des pics d’amplitude ou des croisements de z´ero en pr´esence d’un l´eger d´ecalage de phase. L’estimateur mentionn´e ci-dessus peut ainsi indiquer une erreur tr`es ´elev´ee alors qu’il y a une tr`es grande ressemblance entre les deux signaux. Afin de diminuer l’influence des valeurs aberrantes sur la moyenne d’erreurs relatives, nous appliquerons le m´edian. Le m´edian d’erreurs relatives de l’ensemble des points est un outil plus convenable pour comparer deux signaux oscillants. Nous pouvons finalement introduire la notation de cette mesure d’erreurs :   xi − xri , i = 1 . . . N (2.3) median(∆r x) = median x ri

2.2

Syst` eme lin´ eaire ` a 4 ddl

´ Etant donn´e qu’il existe dans la litt´erature de nombreux exemples d’identification des param`etres modaux par la T O appliqu´ee aux syst`emes lin´eaires [Sta96, Ruz97, Lam00, Lar02, Sla03], nous ne pr´esenterons qu’une br`eve analyse d’un syst`eme simul´e `a quatre ddl. Les matrices masse, amortissement et raideur choisies sont respectivement les suivantes :       500 0 43.85 −4.28 −0.35 −4.73 2.5e6 −1.5e6 0 0 0 5 0 0       B = −4.28 49.71 −1.11 −11.36 K = −1.5e6 5.6e6 −1.7e6 −1.9e6 M= 0 0 1 0  −0.35 −1.11 11.73 −0.96   0 −1.7e6 3.7e6 0  0 0 0 30 −4.73 −11.36 −0.96 167.77 0 −1.9e6 0 3.7e6 La r´esolution du syst`eme conservatif correspondant nous permet de calculer la matrice des coefficients d’amortissement ainsi que celle des fr´equences propres amorties qui repr´esenteront les inconnues `a identifier:     0.003 0 0 0 314.69 0 0 0  0 0.005 0  0  0    Ωn =  0 165.38 0 ζ=  0  0 0 0.007 0  0 96.45 0  0 0 0 0.009 0 0 0 46.84 L’identification sera effectu´ee `a partir de la r´eponse libre de l’un des ddl du syst`eme qui correspond `a la solution du syst`eme d’´equations d’´equilibre homog`ene en pr´esence d’une perturbation initiale en d´eplacement. Alors, l’´equation `a r´esoudre est donn´ee par :     1 0 0 0  ˙  M¨ x(t) + Bx(t) ˙ + Kx(t) = 0, x(0) =  = 0 x(0) 0 0 0 52

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

La figure 2.1 montre la r´eponse libre du troisi`eme ddl dans les domaines temporel et fr´equentiel.

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 2.1 − R´eponse libre Nous allons dans un premier temps illustrer les diff´erentes ´etapes de notre technique d’identification puis nous pr´esenterons les r´esultats num´eriques obtenus. Notons que nous allons traiter les r´eponses libres acc´el´erom`etriques afin d’illustrer l’´etape de conversion du signal en d´eplacement. Le premier pas de l’identification consiste `a effectuer la T O globale du signal, c’est-`a-dire avec une bande fr´equentielle large pour r´ev´eler toutes les fr´equences propres pr´esentes dans le signal. En observant le module de la T O (Fig.2.2), nous voyons apparaˆıtre tr`es clairement les quatre fr´equences propres.

Fig. 2.2 − Transform´ee en ondelettes globale Les diff´erentes fr´equences propres sont ensuite soumises, une par une, aux ´etapes d’identification suivantes. Commen¸cant par la T O locale, nous obtenons une repr´esentation temps-fr´equence du signal avec une r´esolution fr´equentielle satisfaisante. A partir de la T O locale nous d´eterminons l’arˆete de la T O en tra¸cant les maxima du module de la T O. La figure 2.3 montre `a la fois le module et l’arˆete de la T O locale.

53

2.2 Syst`eme lin´eaire `a 4 ddl

Fig. 2.3 − Transform´ee en ondelettes locale et son arˆete

La forme de l’arˆete de la T O donne une premi`ere indication sur la lin´earit´e de raideur de ce mode propre puisque nous constatons son invariabilit´e au cours du temps. Une fois l’arˆete de la T O identifi´ee, nous pouvons reconstituer la composante du signal relative `a la fr´equence propre ´etudi´ee en terme de d´eplacement, en appliquant la m´ethode d´ecrite dans le chapitre 1.6.4.

Fig. 2.4 − Transformation du signal en d´eplacement

L’´etape qui pr´ec`ede l’identification des param`etres ´equivalents est celle du calcul du logarithme du module de l’arˆete de la T O et de l’argument de l’arˆete de la T O. L’approximation lin´eaire (Fig.2.5) de ces courbes permet ensuite d’estimer les param`etres modaux lin´eaires, c’est-`a-dire les valeurs Ωd,lin et ζ. La d´eviation entre les courbes et leurs approximations lin´eaires fournit un estimateur de lin´earit´e d’amortissement (logarithme de la T O) et de raideur (argument de la T O). 54

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

Fig. 2.5 − Logarithme du module de la T O et argument de la T O

Les param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps sont finalement calcul´es en injectant l’arˆete de la T O dans les ´equations 1.125a et 1.125b (voir page 38). Les ´evolutions de ces param`etres en fonction de l’amplitude sont ensuite obtenues en associant `a chaque instant l’amplitude des vibrations correspondante fournie par l’enveloppe du signal de d´eplacement reconstitu´e. Les figures 2.6 et 2.7 montrent les ´evolutions des param`etres ´equivalents. Nous pouvons remarquer les distorsions soudaines aux bords des courbes qui sont dues `a l’effet de bord de la transform´ee de Fourier rapide.

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.6 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps 55

2.2 Syst`eme lin´eaire `a 4 ddl

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.7 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude La derni`ere ´etape a pour but d’´evaluer la qualit´e de l’identification des param`etres modaux ´equivalents. Pour ce faire, on recalcule la composante du signal relative `a la fr´equence propre ´etudi´ee en r´esolvant l’´equation 2.4 qui inclut les param`etres identifi´es. La r´esolution de l’´equation est r´ealis´ee num´eriquement en utilisant la m´ethode de Runge-Kutta. La qualit´e de l’identification est ensuite jug´ee en terme d’´ecart entre la r´eponse recalcul´ee et r´eelle (Fig.2.8). ) a˙ = −ζe (a)Ωn,lin a a(0) ˙ = 0, a(0) = A0 (2.4) ˙ = Ωd,e (a) Θ

Fig. 2.8 − Comparaison du signal r´eel avec le signal recalcul´e Tous les r´esultats num´eriques de l’identification sont r´ecapitul´es dans le tableau 2.1 o` u nous pr´esentons ´egalement les erreurs relatives des valeurs identifi´ees par rapport aux valeurs exactes. Le m´edian des erreurs relatives du signal recalcul´e par rapport au signal r´eel est aussi ´evalu´e afin de fournir un estimateur global de la qualit´e d’identification.

56

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

mode

flin,n

∆r flin,n

ζlin

∆r ζlin

median(∆r x(t))

propre

[Hz]

[%]

[%]

[%]

[%]

1

46.84

0.00

0.300

0.21

4.62

2

96.45

0.00

0.499

0.01

1.16

3

165.38

0.00

0.700

0.00

0.37

4

314.69

0.00

0.900

0.00

0.11

Tab. 2.1 − Valeurs des param`etres modaux identifi´es et erreurs correspondantes

2.3

Syst` emes non-lin´ eaires ` a un ddl

Nous allons maintenant illustrer l’efficacit´e de notre m´ethode d’identification vis`a-vis des syst`emes non-lin´eaires. Nous allons simuler les signaux des r´eponses libres de syst`emes non-lin´eaires particuliers dont les param`etres modaux ´equivalents peuvent ˆetre exprim´es sous forme analytique `a l’aide de la m´ethode asymptotique. Ces formules analytiques fourniront des r´ef´erences permettant de quantifier l’erreur d’identification. Les syst`emes analys´es incluent des non-lin´earit´es de raideur et d’amortissement. Celles-ci sont r´ecapitul´ees avec les param`etres modaux ´equivalents correspondants dans les tableaux 2.2 et 2.3. Les signaux des r´eponses libres de ces syst`emes ont ´et´e obtenus en r´esolvant les ´equations de mouvement homog`enes par la m´ethode de Runge-Kutta. Les identifications ont ´et´e effectu´ees sur les r´eponses libres acc´el´erom`etriques afin de valider l’´etape de conversion du signal en d´eplacement. Les r´esultats d’identification seront illustr´es par les figures qui montrent les ´etapes principales d’identification. Nous pr´esenterons ensuite les r´esultats num´eriques et l’estimation des erreurs. Nous n’allons commenter que les deux premiers cas trait´es, les autres cas ´etant simplement pr´esent´es graphiquement. En fin de ce sous-chapitre, nous pr´esenterons un r´esum´e global des r´esultats num´eriques obtenus.

num´ ero de

type de non-lin´ earit´ e

´ equation de

syst` eme

raideur

amortissement

mouvement homog` ene

1

lin´eaire

frottement sec

˙ + Ω2n x(t) = 0 x¨(t) + µ |x(t) x(t)| ˙

2

lin´eaire

quadratique

x¨(t) + a x(t)| ˙ x(t)| ˙ + Ω2n x(t) = 0

3

quadratique

visqueux

x¨(t) + 2ζΩn x(t) ˙ + Ω2n x(t) + r x(t)|x(t)| = 0

4

cubique

visqueux

x¨(t) + 2ζΩn x(t) ˙ + Ω2n x(t) + r x(t)3 = 0

5

quadratique

quadratique

x¨(t) + a x(t)| ˙ x(t)| ˙ + Ω2n x(t) + r x(t)|x(t)| = 0

Tab. 2.2 − Syst`emes non-lin´eaires ´etudi´es 57

2.3 Syst`emes non-lin´eaires `a un ddl

num´ ero de syst` eme

amortissement ´ equivalent

fr´ equence ´ equivalente

enveloppe du signal

ζe (a)

Ωd,e (a)

a(t)

1

2µ a(t)Ω2n π

Ωn

2

4a a(t) 3π

Ωn

3

ζ

4

ζ

5

4a a(t) 3π

q q

2µt Ωn π

+ a(0)

3π 4r Ωn t+3π/a(0)

a(t)Ω2n π+ 83 a(t)2 r a(t)π

a(0)e−ζΩn t

a(t)Ω2n π+ 84 a(t)3 r π a(t)π

a(0)e−ζΩn t

q

a(t)Ω2n π+ 83 a(t)2 r a(t)π

3π 4a Ωn t+3π/a(0)

Tab. 2.3 − Param`etres modaux ´equivalents

2.3.1

Frottement sec

Le premier cas simul´e repr´esente le syst`eme dynamique `a frottement sec mod´elis´e par la loi de Coulomb. La figure 2.9 montre que l’enveloppe de la r´eponse est une fonction lin´eairement d´ecroissante et que le spectre fr´equentiel contient des harmoniques d’ordre sup´erieur. L’arˆete de la T O du signal (Fig.2.10) invariant au cours du temps prouve la lin´earit´e du syst`eme en raideur.

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 2.9 − R´eponse libre du syst`eme `a frottement sec 58

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

Fig. 2.10 − Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre La courbe de l’argument de l’arˆete de la T O confirme la lin´earit´e en raideur alors que le logarithme du module de l’arˆete signale une forte non-lin´earit´e en amortissement. Sur les figures 2.12 et 2.13 sont repr´esent´ees les fonctions des param`etres modaux ´equivalents identifi´es en comparaison avec les courbes issues de la solution analytique.

Fig. 2.11 − Logarithme du module de la T O et argument de la T O

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.12 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps 59

2.3 Syst`emes non-lin´eaires `a un ddl

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.13 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude

La figure 2.14 montre que l’enveloppe calcul´ee `a partir des param`etres identifi´ees est plus proche de l’enveloppe r´eelle du signal que celle calcul´ee par la m´ethode asymptotique.

Fig. 2.14 − Enveloppes reconstitu´ee et analytique

2.3.2

Raideur quadratique

La figure 2.26 repr´esente la r´eponse libre du syst`eme `a raideur quadratique. La non-lin´earit´e du syst`eme en raideur est mise en ´evidence par le fait que l’arˆete de la T O (Fig.2.27) varie en fonction du temps. 60

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 2.15 − R´eponse libre du syst`eme `a raideur quadratique

Fig. 2.16 − Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre La pr´esence de non-lin´earit´e de raideur dans le syst`eme devrait ˆetre signal´ee par la non-lin´earit´e de l’argument de l’arˆete de la T O(Fig.2.17). Or dans ce cas il s’agit d’une non-lin´earit´e relativement faible et compte tenu de l’´echelle du graphique, il est difficile de distinguer la courbe r´eelle de son approximation lin´eaire. Par contre la fr´equence propre ´equivalente(Fig.2.19) r´ev`ele cette non-lin´earit´e de fa¸con flagrante.

Fig. 2.17 − Logarithme du module de la T O et argument de la T O 61

2.3 Syst`emes non-lin´eaires `a un ddl

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.18 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.19 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude

62

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

2.3.3

Amortissement quadratique

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 2.20 − R´eponse libre du syst`eme `a amortissement quadratique

Fig. 2.21 − Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre

Fig. 2.22 − Logarithme du module de la T O et argument de la T O 63

2.3 Syst`emes non-lin´eaires `a un ddl

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.23 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.24 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude

Fig. 2.25 − Enveloppes reconstitu´ee et analytique 64

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

2.3.4

Raideur cubique

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 2.26 − R´eponse libre du syst`eme `a raideur cubique

Fig. 2.27 − Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre

Fig. 2.28 − Logarithme du module de la T O et argument de la T O 65

2.3 Syst`emes non-lin´eaires `a un ddl

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.29 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.30 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude

66

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

2.3.5

Raideur et amortissement quadratiques

(a) domaine temporel

(b) domaine fr´equentiel

Fig. 2.31 − R´eponse libre du syst`eme `a raideur et amortissement quadratiques

Fig. 2.32 − Transform´ee en ondelettes de la r´eponse libre

Fig. 2.33 − Logarithme du module de la T O et argument de la T O 67

2.3 Syst`emes non-lin´eaires `a un ddl

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.34 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction du temps

(a) amortissement ´equivalent

(b) fr´equence propre ´equivalente

Fig. 2.35 − Param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude

Fig. 2.36 − Enveloppes reconstitu´ee et analytique

68

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

num´ ero de

∆r fn,lin

∆r fd,e

∆r ζlin

∆r ζe

median(∆r x(t))

syst` eme

[%]

[%]

[%]

[%]

[%]

1

0.13

X

X

7.33

0.42

2

0.01

X

X

1.02

0.84

3

X

0.04

0.67

X

6.58

4

X

0.50

0.66

X

10.76

5

X

0.00

X

0.62

9.06

Tab. 2.4 − Bilan des erreurs sur les param`etres identifi´es

2.4

Syst` eme non-lin´ eaire ` a 2 ddl

Pour montrer l’efficacit´e de la m´ethode d’identification dans le cas de syst`emes non-lin´eaires `a plusieurs ddl, nous allons analyser le comportement dynamique du syst`eme `a deux ddl pr´esent´e figure 2.37. Les masses discr`etes sont connect´ees d’une part par l’interm´ediaire des ´el´ements lin´eaires (b1 , b2 , k1 , k2 ) et d’autre part par les ´el´ements non-lin´eaires dont les actions sont gouvern´ees par les fonctions g1 (x˙ 1 ), g2 (x˙ 2 − x˙ 1 ), f1 (x1 ), f2 (x2 − x1 ).

x2

m2

g2 (x˙ 2 − x˙ 1 )

f2 (x2 − x1 )

b2 k2

x1

m1

g1 (x˙ 1 )

b1 k1

f1 (x1 )





























































Fig. 2.37 − Sch´ema du syst`eme non-lin´eaire `a deux ddl 69

2.4 Syst`eme non-lin´eaire `a 2 ddl

Nous allons supposer que les deux paires d’´el´ements non-lin´eaires sont respectivement des amortisseurs quadratiques et des ressorts quadratiques. Les fonctions g1 , g2 , f1 , f2 sont alors d´efinies par: g1 (x) ˙ = 1 |x| ˙ x˙ b1 (x) = µ1 |x|x

g2 (x) ˙ = 2 |x| ˙ x˙ b2 (x) = µ2 |x|x

Le syst`eme d’´equations de mouvement homog`ene du syst`eme pr´esent´e est le suivant :         x k1 + k2 −k2 x˙1 b1 + b2 −b2 x¨1   1 + . . .   +    +   x2 −k2 k2 x˙2 −b2 b2 x¨2 0 m2     0 g1 (x˙ 1 ) − g2 (x˙ 2 − x˙ 1 ) + f1 (x1 ) − f2 (x2 − x1 ) =  ... +  0 g2 (x˙ 2 − x˙ 1 ) + f2 (x2 − x1 ) 

m1 0

⇓ M¨ x + Bx˙ + Kx+f (x, ˙ x) = 0,

  f1 (x˙ 1 , x˙ 2 , x1 , x2 )  = f (x, ˙ x)  f1 (x˙ 1 , x˙ 2 , x1 , x2 )

(2.5)

Les param`etres num´eriques du syst`eme sont les suivants : m1 = 8 kg m2 = 10 kg

b1 = 20 N/ms−1 b2 = 10 N/ms−1

k1 = 20 105 N/m k2 = 10 105 N/m

1 = 8 N/ms−1 2 = 4 N/ms−1

µ1 = 40 105 N/m µ2 = 20 105 N/m

Nous allons ensuite appliquer la m´ethode de lin´earisation ´equivalente d´ecrite dans le chapitre 1.5.2 afin de trouver les relations analytiques qui d´eterminent les param`etres modaux ´equivalents. Ceux-ci serviront de r´ef´erences pour quantifier la pr´ecision de l’identification. Le syst`eme conservatif associ´e `a notre syst`eme non-lin´eaire admet deux fr´equences propres et deux vecteurs propres :     2 Ω 0 V V n,lin 1 1,1 1,2 ,  M¨ x + Kx = 0 ⇒Λ =  V= (2.6) 2 0 n,lin Ω2 V2,1 V2,2     245.522 0 0.1184 0.3332 ,  Λ= V= 2 0 543.99 0.2980 −0.1059 La matrice des vecteurs propres du syst`eme conservatif est utilis´ee comme matrice

70

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

de passage entre les coordonn´ees physiques et modales :      q V V x  1  =  1,1 1,2   1  q2 V2,1 V2,2 x2

(2.7)

Le syst`eme d’´equations est d´ecoupl´e dans la base modale, car le syst`eme lin´eaire est `a amortissement proportionnel. Il prend la forme suivante : q¨i + ζi q˙i +

2 n,lin Ωi qi

+

2 X

Vj,i fj (V1,i q˙i , V2,i q˙i , V1,i qi , V2,i qi ) = 0,

i = 1, 2

(2.8)

j=1

L’application directe des formules 1.113a,1.113b (voir page 36) fournit les expressions des param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude des coordonn´ees modales ai : 4  3 2 2 ζ (a ) = ζ + ai 1 V1,i sgn(V1,i ) + 32 V1,i V2,i sgn(V1,i − V2,i ) − 32 V1,i V2,i sgn(V1,i − V2,i ) + . . . e i i i 3π  3 3 . . . + 2 V1,i sgn(V1,i − V2,i )1 − 2 V2,i sgn(V1,i − V2,i ) , i = 1, 2 (2.9) 8  3 2 2 ai µ1 V1,i sgn(V1,i ) + 3µ2 V1,i V2,i sgn(V1,i − V2,i ) − 3µ2 V1,i ∆d,e Ωi (ai ) = V2,i sgn(V1,i − V2,i ) + . . . 3π  3 3 . . . + µ2 V1,i sgn(V1,i − V2,i )1 − µ2 V2,i sgn(V1,i − V2,i ) q 2 2 i = 1, 2 n,lin Ωi + ∆d,e Ωi (ai ) , d,e Ωi (ai ) = (2.10) 2

Les courbes repr´esentant l’´evolution des param`etres modaux ´equivalents (Fig.2.38) mettent en ´evidence le fait que le niveau de non-lin´earit´e du second mode propre est plus important que celui du premier.

Fig. 2.38 − Param`etres modaux ´equivalents `a partir du calcul analytique Afin de v´erifier la pr´ecision de la repr´esentation lin´eaire ´equivalente du comportement dynamique du syst`eme non-lin´eaire, nous allons comparer les r´eponses du 71

2.4 Syst`eme non-lin´eaire `a 2 ddl

syst`eme issues de l’analyse num´erique du syst`eme d’´equation de mouvement exact `a celles `a issues de la r´esolution du syst`eme ´equivalent lin´eaire. La formulation du probl`eme de r´esolution du syst`eme de mouvement exact est la suivante : • R´ egime libre    
K 0 B M ˜ = ˜ −M ˜ −1˜ ˜ = ˜ −1 K  ,K f (˙z(t), z(t)) z(t), M z˙ (t) = M 0 −M M 0     x(t) f (x(t), ˙ x(t))  ,˜  z(t) =  f (˙z(t), z(t)) =  (2.11) x(t) ˙ 0 • R´ egime forc´ e 


˜ −1 K ˜ −M ˜ −1˜ ˜ −1 F(t) ˜ z˙ (t) = M f (˙z(t), z(t)) + M z(t),

 F(t) ˜  F(t) = 0 (2.12)

La m´ethode de Runge-Kutta est directement applicable aux syst`emes d’´equations 2.11 et 2.12 ce qui permet d’obtenir les r´eponse dites “exactes” du syst`eme. ωi = ω0 + i∆ω

algorithme de Runge-Kutta
˜ −1 K ˜− M ˜ −1˜ ˜ −1 F(t) ˜ z˙ i (t) = M f (˙zi (t), zi (t)  zi (t)) + M F0 sin(ωi t) ˜  zi (0) = zi−1 (fin) F(t) = 0 t = 0, ∆t, 2∆t, . . . , n 2π ωi

i=i+1

Zi (ωi ) = max(zi ((n − 1) 2π ), . . . , zi (n 2π )) ωi ωi

Fig. 2.39 − Algorithme du calcul de l’amplitude des vibrations stationnaires Un calcul it´eratif suppl´ementaire a ´et´e mis en place afin d’obtenir l’´evolution de l’amplitude des vibrations stationnaires en fonction de la fr´equence de l’excitation harmonique. Le sch´ema du calcul est montr´e figure 2.39. Chaque it´eration repr´esente le calcul d’une r´eponse du syst`eme `a l’excitation harmonique `a une fr´equence donn´ee. 72

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

Le nombre de p´eriodes calcul´ees est choisi de sorte que les vibrations atteignent leur ´etat stationnaire. Afin de minimiser ce nombre de p´eriodes, ce qui conduit `a diminuer le temps de calcul, chaque it´eration d´emarre avec les conditions initiales correspondant `a l’´etat des vibrations `a la fin de l’it´eration pr´ec´edente. L’amplitude des vibrations stationnaires est consid´er´ee comme ´etant l’amplitude de la derni`ere p´eriode de chacune des it´erations. La figure 2.40 ilustre les r´esultats du calcul it´eratif qui se pr´esentent d’abord sous forme d’une r´eponse forc´ee temporelle (Fig.2.40(a)) permettant ensuite de d´eduire la r´eponse fr´equentielle (Fig.2.40(b)).

(a) r´eponse forc´ee temporelle

(b) r´eponse forc´ee fr´equentielle

Fig. 2.40 − Exemple de r´esultats issus du calcul it´eratif de la r´eponse forc´ee du syst`eme

La formulation ´equivalente lin´eaire du syst`eme d’´equations de mouvement est la suivante : • R´ egime libre dai = −e ζi (ai )n,lin Ωi ai dt q dΘi = d,e Ωi (ai ) = n,lin Ω2i − (e ζi (ai )n,lin Ωi )2 dt    
 x1 (t) V1,1 V1,2 a1 (t) cos Θ1 (t)  = 
 x2 (t) V2,1 V2,2 a2 (t) cos Θ2 (t)

i = 1, 2 i = 1, 2

73

2.4 Syst`eme non-lin´eaire `a 2 ddl

• R´ egime forc´ e stationnaire VT F0 ai (ω) = p (n,e Ωi (ai )2 − ω 2 )2 + (2e ζi (ai )n,lin Ωi ω)2 ! 2e ζi (ai )n,lin Ωi ω ψi (ω) = arctan 2 2 n,e Ωi (ai ) − ω  2 2 Xi (ω) = Vi,1 a1 (ω) cos(ψ1 (ω)) + Vi,2 a2 (ω) cos(ψ2 (ω)) + . . .  2 . . . Vi,1 a1 (ω) sin(ψ1 (ω)) + Vi,2 a2 (ω) sin(ψ2 (ω))

i = 1, 2 i = 1, 2

i = 1, 2

L’expression d´efinissant le r´egime forc´e stationnaire est une ´equation alg´ebrique nonlin´eaire permettant de mettre en ´evidence le ph´enom`ene de discontinuit´e de la r´eponse fr´equentielle (Fig.2.41(a)) ainsi que l’influence du sens de balayage fr´equentiel (Fig.2.41(b)).

(a)

(b)

Fig. 2.41 − R´eponses fr´equentielles fournies par la formulation ´equivalente lin´eaire Nous allons maintenant comparer les r´esultats “exacts” `a ceux issus de la lin´earisation ´equivalente. Les figures ci-dessous montrent la comparaison des r´eponses libres `a diff´erents niveaux de condition initiale. Le m´edian des erreurs relatives est ´egalement donn´e afin de quantifier la diff´erence entre les deux signaux. x1 (0) = x2 (0) = 10−1

74

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

x1 (0) = x2 (0) = 1

x1 (0) = x2 (0) = 101

Fig. 2.42 − Comparaison des r´eponses libres `a diff´erents niveaux de condition initiale

Les figures 2.43 confrontent les r´eponses forc´ees stationnaires “exactes” `a celles issues de la lin´earisation ´equivalente. Les r´eponses sont compar´ees `a diff´erentes forces d’excitation ce qui permet de mettre en ´evidence l’influence du niveau d’excitation sur l’´ecart entre les solutions “exacte” et approch´ee. Nous voyons que cet ´ecart augmente avec la force d’excitation et donc aussi avec l’amplitude des vibrations. Cela implique, ´etant donn´ee l’´evolution de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations (Fig.2.38), que plus l’amortissement est important moins l’approche de la lin´earisation ´equivalente est pertinente. 75

2.4 Syst`eme non-lin´eaire `a 2 ddl

F01 = F02 = 103 N

(a) 1`ere fr´equence propre

(b) 2`eme fr´equence propre

F01 = F02 = 104 N

(a) 1`ere fr´equence propre

(b) 2`eme fr´equence propre

F01 = F02 = 105 N

(a) 1`ere fr´equence propre

(b) 2`eme fr´equence propre

Fig. 2.43 − Comparaison des r´eponses forc´ees du syst`eme en r´egime stationnaire `a diff´erents niveaux d’excitation 76

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

Nous allons ensuite suivre le parcours de l’identification exp´erimentale du syst`eme tel qu’il a ´et´e propos´e pr´ec´edemment en utilisant l’algorithme de Runge-Kutta afin de simuler la r´eponse du syst`eme. Nous allons utiliser le concept d’excitation sinuso¨ıdale pr´esent´e pr´ec´edemment afin d’obtenir les signaux d’att´enuation auxquels nous appliquerons la m´ethode d’identification. Supposons qu’une analyse modale exp´erimentale pr´ealable nous a permis de localiser approximativement les deux fr´equences propres (approximativement puisqu’elles varient en fonction du temps). La localisation plus pr´ecise peut ensuite ˆetre effectu´ee en faisant un balayage sinus autour des fr´equences propres `a un certain niveau d’amplitude. Les deux fr´equences propres identifi´ees par ces exp´erimentations pr´eliminaires sont utilis´ees, une par une, pour exciter le syst`eme et la r´eponse libre est obtenue en interrompant l’excitation. Remarquons que l’intensit´e d’excitation est d´eterminante pour l’intervalle d’amplitudes dans lequel les param`etres modaux ´equivalents seront ´ identifi´es. Evidemment l’int´erˆet de l’utilisateur est de les identifier sur un intervalle le plus large possible. Il est donc d´esirable, de ce point de vue, d’exciter le syst`eme par une force maximale en esp´erant pouvoir exploiter un intervalle d’amplitudes entre z´ero (ou quasi z´ero) et celle correspondant au r´egime forc´e. Or nous sommes confront´es `a un autre aspect probl´ematique qui concerne la vitesse de d´ecroissance du signal. En effet, si le niveau d’amortissement correspondant `a l’amplitude d’excitation est tr`es ´elev´e, la d´ecroissance du signal sera tellement rapide que le signal ne satisfera plus l’hypoth`ese du signal asymptotique. Par cons´equent, la m´ethode d’identification peut s’av´erer inefficace pour la partie du signal `a d´ecroissance rapide. Donc, nous pouvons en conclure que l’intervalle d’amplitude exploitable par l’identification est limit´e non seulement par l’intensit´e d’excitation r´ealisable mais aussi par un niveau maximal d’amortissement identifiable. Ce niveau d´epend aussi de la fr´equence propre lin´eaire puisque l’´equation de la vitesse de d´ecroissance est donn´ee par : da = −ζe (a)Ωn,lin a dt

(a) r´eponse compl`ete

(b) d´etail

Fig. 2.44 − Effet de l’amortissement tr`es ´elev´e 77

2.4 Syst`eme non-lin´eaire `a 2 ddl

Ce probl`eme de la limite de l’amortissement identifiable peut ˆetre illustr´e sur le deuxi`eme mode propre du syst`eme qui est extrˆemement amorti (Fig.2.38). La figure 2.44 montre la d´ecroissance rapide lors de la premi`ere p´eriode apr`es la coupure du signal. Une autre contrainte concernant le choix de l’intensit´e d’excitation est celle li´ee au fait que la r´eponse du syst`eme ne devrait pas d´epasser le niveau au-dessus duquel l’approche de la lin´earisation ´equivalente n’est plus admissible. Ce niveau limite d’applicabilit´e de la lin´earisation ´equivalente est atteint lorsque l’une des harmoniques d’ordre sup´erieur et non plus l’harmonique fondamentale est dominante dans le spectre fr´equentiel de la r´eponse du syst`eme. Ce ph´enom`ene peut ˆetre observ´e sur l’arˆete de la T O par des discontinuit´es dans son ´evolution au cours de temps. Sur la figure 2.45 nous observons la T O de la r´eponse repr´esent´ee figure 2.44. La figure 2.45(a) repr´esente la T O globale de cette r´eponse mettant en ´evidence le fait que, malgr´e une excitation proche de la deuxi`eme fr´equence propre, c’est le premier mode propre qui est le plus excit´e. Par contre la T O locale montr´ee sur la figure 2.45(b) illustre bien les discontinuit´es de l’´evolution de l’arˆete dues au fait que, dans la premi`ere partie du signal, la contribution aux vibrations de l’harmonique d’ordre deux du premier mode propre est plus importante que la fr´equence fondamentale du deuxi`eme mode. Puisque la lin´earisation ´equivalente ne prend en compte que les contributions des harmoniques fondamentales, nous pouvons en conclure qu’il n’est pas justifi´e d’utiliser cette approche pour les excitations au voisinage du deuxi`eme mode propre d’amplitude sup´erieure `a celle de la discontinuit´e.

deuxi` eme harmonique du premier mode premi` ere harmonique du deuxi` eme mode

(a) T O globale

(b) T O locale

Fig. 2.45 − Mise en ´evidence de le pr´esence des harmoniques d’ordres sup´erieurs dans la r´eponse libre Une excitation harmonique appropri´ee relative `a chacune des fr´equences propres a donc ´et´e choisie compte tenu des pr´ecautions `a prendre quant au choix de son amplitude. Les r´eponses `a ces excitations particuli`eres sont montr´ees sur les figures 2.46a-2.47b. Ces signaux sont compos´es d’une part de la r´eponse forc´ee correspondant aux instants avant la coupure de l’excitation et d’autre part de la r´eponse libre relative aux instants apr`es cette coupure. 78

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

Excitation du premier mode propre

(a) ddl 1

(b) ddl 2

Fig. 2.46a − R´eponses du syst`eme aux excitations harmoniques interrompues

Excitation du deuxi` eme mode propre

(a) ddl 1

(b) ddl 2

Fig. 2.47b − R´eponses du syst`eme aux excitations harmoniques interrompues

Les r´eponses du syst`eme, en terme d’acc´el´eration, ont subi la proc´edure d’identification comprenant alors aussi l’´etape de conversion du signal en d´eplacement. Les param`etres modaux ´equivalents issus de cette identification sont montr´es sur les figures 2.48 et 2.49 o` u nous pouvons ´egalement voir leur comparaison avec les param`etres retrouv´es analytiquement. 79

2.4 Syst`eme non-lin´eaire `a 2 ddl

(a) mode 1

(b) mode 2

Fig. 2.48 − Amortissement ´equivalent identifi´e

(a) mode 1

(b) mode 2

Fig. 2.49 − Fr´equence propre ´equivalente identifi´ee

Sur les figures (Fig.2.50-2.51) nous tra¸cons les modes propres identifi´es afin de v´erifier l’hypoth`ese des modes propres “quasi” constants. Nous avons fix´e les ´el´ements V1,1 , V1,2 des vecteurs propres et les deux autres ont ´et´e calcul´es suivant le proc´ed´e mentionn´e pr´ec´edemment. Nous voyons que la variation des valeurs propres augmente avec l’amplitude des vibrations. Cette variation m`ene `a la violation de notre hypoth`ese ce qui implique que l’approche de lin´earisation ´equivalente propos´ee sera moins pr´ecise pour des amplitudes plus ´elev´ees. Ce fait explique aussi la d´eviation progressive entre les param`etres ´equivalents identifi´es et analytiques que nous pouvons remarquer sur les figures pr´ec´edentes. 80

CHAPITRE 2. Validation de la m´ethode

(a) mode 1

(b) mode 2

Fig. 2.50 − Variation des valeurs propres en fonction du temps

premier ddl

(a) mode 1

(b) mode 2

deuxi` eme ddl

(c) mode 1

(d) mode 2

Fig. 2.51 − Variation des vecteurs propres en fonction de l’amplitude des deux ddl 81

2.5 Conclusion

2.5

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons montr´e l’efficacit´e ainsi que les limites d’applicabilit´e de la m´ethode d’identification propos´ee en analysant des r´eponses simul´ees. Nous avons pu constater que les limites de son applicabilit´e demeurent dans l’utilisation restreinte de l’approche de la lin´earisation ´equivalente. Cette approche s’av`ere ˆetre pertinente dans le cas o` u la contribution au mouvement vibratoire des harmoniques d’ordres sup´erieurs est n´egligeable par rapport `a celle de l’harmonique fondamentale. Or la m´ethode d’identification est capable elle-mˆeme d’estimer le degr´e de cette contribution ce qui permet `a l’utilisateur de juger la pertinence d’utilisation de la lin´earisation ´equivalente dans les cas pratiques. L’analyse du syst`eme `a deux ddl a aussi montr´e que dans le cas des faibles nonlin´earit´es il est admissible de n´egliger la variation des modes propres en fonction de l’amplitude des vibrations. Cette analyse a ´egalement prouv´e que lorsqu’un syst`eme faiblement non-lin´eaire oscille au voisinage d’une fr´equence propre, le mouvement vibratoire est constitu´e quasi-uniquement du mode propre correspondant. Nous d´emontrons ainsi l’admissibilit´e de la deuxi`eme hypoth`ese simplificatrice prise en compte lors du d´eveloppement de la m´ethode d’identification.

82

Chapitre 3 ´ Etudes exp´ erimentales 3.1

Introduction

Les analyses exp´erimentales pr´esent´ees ici mettent en oeuvre des structures assembl´ees simples permettant d’´etudier l’influence de la pr´esence des jonctions m´ecaniques sur le comportement dynamique. Nous allons quantifier cette influence par les param`etres modaux ´equivalents en appliquant la m´ethode d’identification pr´esent´ee pr´ec´edemment. En supposant lin´eaire le comportement des sous-structures, l’´evolution des param`etres modaux ´equivalents en fonction de l’amplitude des vibrations donnera des informations sur le degr´e ainsi que le caract`ere des non-lin´earit´es dues aux jonctions. Ainsi nous pourrons analyser l’influence des jonctions sur la raideur et l’amortissement de la structure compl`ete. Dans un premier temps nous analyserons le comportement dynamique d’une structure simple constitu´ee de deux plaques superpos´ees boulonn´ees. Cette exp´erimentation a pour but d’examiner l’influence de la nature du mode propre sur la perte d’´energie au niveau de la jonction. D’autre part nous ´evaluerons l’effet de la non-lin´earit´e provenant de la jonction sur les d´eform´ees modales. Dans ce but nous comparerons les d´eform´ees modales r´eelles obtenues par interf´erom´etrie holographique avec celles issues du calcul ´el´ements finis consid´erant la jonction comme parfaitement rigide. Ensuite, nous pr´esenterons une analyse exp´erimentale ayant pour objectif l’´etude de l’influence du niveau de pression `a l’interface de la liaison sur l’amortissement induit par cette derni`ere. Dans ce but une structure se pr´esentant sous forme de deux poutres assembl´ees par trois boulons a ´et´e mise en oeuvre. Une instrumentation sp´ecifique des boulons `a l’aide de jauges de contrainte a ´et´e r´ealis´ee afin de pouvoir contrˆoler le niveau de serrage.

3.2

´ Etude exp´ erimentale de deux plaques superpos´ ees boulonn´ ees

Dans un premier temps, les mesures pr´esent´ees ici ont ´et´e men´ees afin de mettre en ´evidence l’´evolution de l’amortissement modal des cinq premi`eres fr´equences propres en fonction de l’amplitude des vibrations. Deux m´ethodes exp´erimentales ont ´et´e employ´ees pour atteindre cet objectif. Tout d’abord, nous avons utilis´e une proc´edure d’analyse modale exp´erimentale adapt´ee `a l’analyse des structures `a comportement 83

´ 3.2 Etude exp´erimentale de deux plaques superpos´ees boulonn´ees

faiblement non-lin´eaire [Pir98]. Puis, nous avons mis en œuvre une m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents par la transform´ee en ondelettes. D’autre part un deuxi`eme type d’essais a ´et´e r´ealis´e par interf´erom´etrie holographique afin d’´etudier l’influence de l’assemblage sur les d´eform´ees modales.

3.2.1

Structure test´ ee

5

Une exp´erience sp´ecifique a ´et´e d´efinie afin de mettre en ´evidence la relation entre le niveau de d´eformation de la jonction et l’amortissement du syst`eme. Dans cet objectif nous avons propos´e une structure test se pr´esentant sous forme de deux plaques superpos´ees boulonn´ees (Fig.3.1). Les plaques ont ´et´e suspendues `a l’aide des fils d’acier afin d’approcher au mieux les conditions aux limites libre-libre.

Vis M2 et fil de suspension

20

800 20

150

200

200

Jonction boulonn´ee (M5)

500 mat´eriau : aluminium

Fig. 3.1 − G´eom´etrie de la structure test´ee

La structure a ´et´e instrument´ee avec une bobine d’excitation et un acc´el´erom`etre pi´ezo´electrique plac´es au coin de l’une des plaques (Fig.3.2). Le montage du dispositif exp´erimental a ´et´e r´ealis´e selon la figure 3.3. 84

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

Fig. 3.2 − Instrumentation des plaques

Siglab : Chaˆıne d’Acquisition AP: Amplificateur de Puissance AC: Amplificateur de Charge OSC: Oscilloscope R : R´esistance 1Ω

SIGLAB OSC Bobine

R

Acc´el´erom`etre

AP AC

Fig. 3.3 − Dispositif exp´erimental Avant de proc´eder `a la description des mesures effectu´ees, nous allons pr´esenter les d´eform´ees modales ´etudi´ees. Celles-ci ont ´et´e obtenues `a l’aide d’un mod`ele ´el´ements finis lin´eaire dans lequel la jonction a ´et´e consid´er´ee comme ´etant parfaite. Pour cela, nous avons proc´ed´e au recollement des noeuds co¨ıncidents `a l’interface des deux plaques. L’analyse modale par ´el´ements finis de ce mod`ele nous a fourni les modes propres et les fr´equences propres pr´esent´es figure 3.4. 1er mode propre - 47.8 Hz

3e mode propre - 158.9 Hz

2e mode propre - 112.4 Hz

4e mode propre - 243.0 Hz

5e mode propre - 247.5 Hz

Fig. 3.4 − Modes propres ´etudi´es 85

´ 3.2 Etude exp´erimentale de deux plaques superpos´ees boulonn´ees

Une mesure pr´eliminaire en bruit blanc a ´et´e effectu´ee afin de localiser les fr´equences propres des modes ´etudi´es par voie exp´erimentale. Cet essai nous a fourni la fonction de r´eponse fr´equentielle (FRF) repr´esent´ee figure 3.5. Le tableau 3.1 compare les fr´equences propres identifi´ees exp´erimentalement avec celles obtenues par le mod`ele ´el´ements finis. La l´eg`ere diff´erence entre ces r´esultats indique que l’impact de la liaison sur la raideur du syst`eme est tr`es faible.

1er mode 2e mode

4e mode 3e mode

5e mode

Fig. 3.5 − F RF `a partir d’une mesure en bruit blanc

mode propre

1

2

3

4

5

fr´equences mesur´ees [Hz]

49.1

109.8

164.7

239.7

259.3

fr´equences calcul´ees [Hz]

47.8

112.4

158.9

243.0

247.5

erreur relative [%]

2.6

2.4

3.5

1.4

4.6

Tab. 3.1 − Comparaison des fr´equences propres mesur´ees et calcul´ees

3.2.2

Identification par analyse modale exp´ erimentale

Pour un syst`eme faiblement non-lin´eaire, la F RF d´epend de l’amplitude des vibrations, mais `a chaque amplitude correspond une FRF unique et un syst`eme lin´eaire ´equivalent. Pour identifier les param`etres modaux de ce syst`eme par une technique de lissage lin´eaire, il est n´ecessaire de mesurer la FRF `a amplitude constante. En pratique, nous effectuons une mesure en sinus pas `a pas au voisinage d’une fr´equence propre en asservissant la force d’excitation de telle sorte que l’amplitude d’une r´eponse de r´ef´erence reste constante. En pratique, l’excitation est contrˆol´ee (`a l’aide de la chaˆıne d’acquisition) afin de maintenir constante l’amplitude du signal de l’acc´el´erom`etre et non celle du d´eplacement. N´eanmoins, l’erreur commise est faible ´etant donn´e le petit intervalle de fr´equence sur lequel le balayage sinus est effectu´e. Une technique classique de lissage lin´eaire peut alors ˆetre appliqu´ee `a la fonction F RF (Ac ) afin d’identifier la pulsation propre d,e Ωi (Ac ) et l’amortissement modal a l’amplitude Ac . e ζi (Ac ) correspondant ` 86

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

Afin de mettre en ´evidence la non-lin´earit´e du syst`eme, une mesure de F RF `a amplitude d’excitation constante a ´et´e effectu´ee. La figure 3.6 pr´esente les r´eponses forc´ees au voisinage du premier mode, obtenues pour deux niveaux diff´erents de l’amplitude d’excitation. Ces r´eponses mettent en ´evidence des propri´et´es caract´eristiques des syst`emes non-lin´eaires, `a savoir la distorsion de la r´eponse forc´ee et l’´evolution de la fr´equence de r´esonance et de l’amortissement en fonction de l’amplitude d’excitation.

(a) Bode

(b) Nyquist

Fig. 3.6 − FRF non-lin´eaires du premier mode propre La figure 3.7 montre l’´evolution de la F RF du premier mode propre pour diff´erents niveaux d’amplitude de vibration. Ces F RF ont ´et´e obtenues par la technique de mesure d´ecrite pr´ec´edemment en utilisant un v´elocim`etre Laser `a effet Doppler pour acqu´erir la r´eponse du syst`eme. Les F RF identifi´ees montrent une augmentation progressive de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations.

(a) Bode

(b) Nyquist

Fig. 3.7 − FRF lin´eaires du premier mode propre Les graphes (Fig.3.8) r´esument les r´esultats d’identification par lissage des F RF lin´eaires. Une approximation polynomiale des valeurs identifi´ees a aussi ´et´e effec87

´ 3.2 Etude exp´erimentale de deux plaques superpos´ees boulonn´ees

tu´ee afin d’approcher les tendances des ´evolutions de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations. Nous pouvons constater une influence consid´erable de la d´eform´ee modale sur la variation de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations. Il apparaˆıt clairement que les deux modes de flexion, c’est-`a-dire le premier et le cinqui`eme mode accusent une d´ependance de l’amplitude des vibrations plus importante que les trois autres modes propres.

(a) acc´el´eration

(b) d´eplacement

´ Fig. 3.8 − Evolutions de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations L’identification par lissage des F RF a ´egalement permis de relever l’´evolution de la fr´equence propre en fonction de l’amplitude des vibrations. Nous montrons figure 3.9 l’´evolution de la premi`ere fr´equence propre mettant en ´evidence un effet de la non-lin´earit´e de raideur moins important que pour l’amortissement.

(a) acc´el´eration

(b) d´eplacement

´ Fig. 3.9 − Evolutions de la fr´equence propre en fonction de l’amplitude des vibrations Cette partie a d´emontr´e la possibilit´e d’identification des syst`emes faiblement non-lin´eaires par les techniques exp´erimentales destin´ees aux syst`emes lin´eaires. Cependant la technique pr´esent´ee ici se r´ev`ele tr`es coˆ uteuse en temps de mise en oeuvre puisqu’il faut relever autant de F RF que de valeurs modales souhait´ees. 88

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

3.2.3

Identification par la transform´ ee en ondelettes

La deuxi`eme m´ethode employ´ee pour estimer les param`etres modaux ´equivalents est celle de l’identification par la transform´ee en ondelettes introduite dans le premier chapitre. Cette approche permet d’identifier ces param`etres `a partir d’un lˆacher obtenu en coupant l’excitation de la structure entretenue en r´egime harmonique `a une fr´equence proche de la fr´equence propre ´etudi´ee. Cette fr´equence d’excitation a ´et´e identifi´ee pr´ealablement par une mesure en excitation al´eatoire suivie d’un balayage sinus permettant de la situer avec pr´ecision. Puisque nous avons utilis´e une excitation sans contact, le lˆacher dynamique a ´et´e r´ealis´e simplement en interrompant le signal d’excitation. La r´eponse au lˆacher a ´et´e obtenue en synchronisant l’acquisition par rapport `a l’instant de l’interruption de l’excitation. Nous allons maintenant illustrer les ´etapes principales de l’identification relatives au premier et deuxi`eme mode propre, ceci afin de mettre en ´evidence les diff´erences qui apparaissent lorsque nous identifions un mode fortement non-lin´eaire en amortissement (le premier) et un mode quasi linaire (le deuxi`eme). La variation faible de l’arˆete de la T O (Fig.3.11) des r´eponses enregistr´ees (Fig.3.10) permet de d´ecouvrir une tr`es faible non-lin´earit´e en raideur, commune aux deux modes.

(a) 1er mode

(b) 2e mode

Fig. 3.10 − R´eponse `a un lˆacher dynamique 89

´ 3.2 Etude exp´erimentale de deux plaques superpos´ees boulonn´ees

(a) 1er mode

(b) 2e mode

Fig. 3.11 − Transform´ee en ondelettes des r´eponses

Cette l´eg`ere non-lin´earit´e en raideur se manifeste ´egalement par la variation de la fr´equence en fonction de l’amplitude des vibrations (Fig.3.12). Les figures (Fig.3.13(a)-3.13(b)) montrent les ´evolutions de l’amortissement des deux modes. Il apparaˆıt clairement sur ces figures la forte non-lin´earit´e en amortissement du premier mode alors que le deuxi`eme mode s’av`ere ˆetre quasi lin´eaire en amortissement. Cette diff´erence est ´egalement mise en ´evidence par l’´ecart entre les enveloppes lin´eaire et non-lin´eaire (Fig.3.14) qui ont ´et´e reconstitu´ees `a l’aide des param`etres modaux identifi´es.

(a) 1er mode

(b) 2e mode

Fig. 3.12 − Variation de la fr´equence propre 90

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

(a) 1er mode

(b) 2e mode

Fig. 3.13 − Variation de l’amortissement

(a) 1er mode

(b) 2e mode

Fig. 3.14 − Enveloppes reconstitu´ees

La derni`ere ´etape de l’identification consiste `a reconstituer la r´eponse libre `a l’aide des param`etres modaux ´equivalents identifi´es. Cette ´etape fournit entre outre l’´ecart (en terme de m´edian de l’erreur relative) entre le signal reconstitu´e et celui d’origine ce qui nous permet d’estimer la qualit´e de l’identification (Fig.3.15). 91

´ 3.2 Etude exp´erimentale de deux plaques superpos´ees boulonn´ees

(a) 1er mode

(b) 2e mode

Fig. 3.15 − Signaux reconstitu´es L’ensemble des r´esultats de l’identification en terme d’´evolution de l’amortissement est pr´esent´e sur la figure 3.16. Ces r´esultats confirment ceux issus de l’identification par lissage, `a savoir que le niveau de non-lin´earit´e en amortissement d´epend fortement de la nature du mode propre. Autrement dit la variation de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations est d’autant plus prononc´ee que la zone de contact entre les plaques subit une d´eformation importante (modes 1 et 5).

´ Fig. 3.16 − Evolutions de l’amortissement en fonction de l’amplitude des vibrations

3.2.4

Comparaison des r´ esultats issus des deux m´ ethodes d’identification

Il semble int´eressant de comparer les param`etres modaux ´equivalents issus des deux m´ethodes d’identification afin d’´evaluer la corr´elation entre les r´esultats. Cette comparaison s’est av´er´ee probl´ematique pour deux raisons principales. D’abord par le fait que les ´evolutions des param`etres modaux relev´ees par les deux m´ethodes 92

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

ne correspondent pas aux mˆemes intervalles d’amplitude des vibrations. Ensuite parce que la deuxi`eme exp´erimentation relative `a la m´ethode de la transform´ee en ondelettes a eu lieu apr`es les essais en sinus pas `a pas avec un d´ecalage de temps consid´erable. Ce d´ecalage dans le temps a certainement agi sur les propri´et´es de la liaison ce qui peut expliquer les diff´erences entre les r´esultats fournis par les deux m´ethodes. N´eanmoins, les figures ci-dessous montrent que les valeurs obtenues sont relativement proches et que les allures g´en´erales sont comparables. mode 1

(a) amortissement

(b) fr´equence propre

mode 3

(c) amortissement

(d) fr´equence propre

Fig. 3.17 − Comparaison des r´esultats issus des deux m´ethodes d’identification

3.2.5

Identification des d´ eform´ ees modales

Afin d’observer les d´eform´ees modales de la structure, nous avons opt´e pour une m´ethode d’interf´erom´etrie holographique. L’avantage majeur de cette m´ethode par rapport aux mesures acc´el´erom`etriques est sa r´esolution spatiale (typiquement 106 points). La mesure ´etant r´ealis´ee sans contact, il est possible d’analyser des modes de rang ´elev´e, mais en revanche la densit´e fr´equentielle est faible car le laser exige 93

´ 3.2 Etude exp´erimentale de deux plaques superpos´ees boulonn´ees

une dizaine de secondes entre deux tirs. Une exploitation possible des donn´ees fournies par l’interf´erom´etrie holographique est leur comparaison avec un mod`ele ´el´ements finis afin de localiser les d´efauts de mod´elisation. Dans cette ´etude, nous nous concentrons sur l’influence de non-lin´earit´es introduites par la liaison sur les d´eform´ees modales. Pour ce faire, la comparaison essais/calcul a ´et´e effectu´ee en utilisant un mod`ele lin´eaire o` u la liaison est consid´er´ee comme ´etant parfaitement rigide (Fig.3.18).

Fig. 3.18 − Mod`ele ´el´ements finis de la structure ´etudi´ee

Conditions d’essai

Les tests exp´erimentaux reposent sur une approche hybride d´etaill´ee plus amplement dans la th`ese de Lepage [Lep02]. L int´erˆet de la m´ethode est d’allier la grande r´esolution fr´equentielle des mesures acc´el´erom´etriques et la grande densit´e d’information spatiale fournie par les mesures optiques. Dans un premier temps, l’acquisition de FRF sur quelques capteurs acc´el´erom´etriques permet d’obtenir les param`etres modaux globaux. Dans un second temps, la structure est excit´ee par une force harmonique `a chacune de ses fr´equences propres et la r´eponse forc´ee associ´ee est mesur´ee par le syst`eme ESPI (Electronic Speckle Pattern Interferometry) double impulsion. Les conditions d’essais (suspension, excitation) sont identiques `a celles des mesures pr´ec´edentes. Le montage de la structure est montr´e sur la figure 3.19 enregistr´ee par la camera CCD. 94

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

Fig. 3.19 − Vue de la cam´era

Transfert des donn´ ees holographiques sur le mod` ele

Les r´esultats exp´erimentaux consistent pour chaque mode en une image de 1280× 1024 pixels contenant les d´eplacements mesur´es en chaque pixel suivant la direction de sensibilit´e (cette direction est d´efinie comme la bissectrice entre la direction d’illumination et la direction d’observation). Ces donn´ees vont constituer un mod`ele exp´erimental qui pourra ˆetre compar´e au mod`ele ´el´ements finis. La cr´eation de ce mod`ele exp´erimental n´ecessite plusieurs op´erations : ` partir des coordonn´ees de la position de la cam´era par rapport `a la structure, • A les noeuds visibles du mod`ele ´el´ements finis sont identifi´es (Fig.3.20(a)). Ces noeuds constituent les noeuds du mod`ele exp´erimental. ` chacun de ces noeuds est associ´e un pixel de l’image exp´erimentale. Cette • A op´eration est r´ealis´ee via une matrice de projection permettant de passer du rep`ere de l’image de la pi`ece fournie par la cam´era au rep`ere du mod`ele num´erique. Cette matrice prend en compte deux transformations : une transformation du rep`ere de la structure dans le rep`ere de la cam´era, et une projection transformant un point 3D du rep`ere cam´era en un point 2D du rep`ere image. • Les d´eplacements mesur´es sont ensuite moyenn´es sur un certain nombre de pixels voisins du pixel identifi´e. Ces moyennes repr´esentent la d´eform´ee modale sur les nœuds du mod`ele ´el´ements finis dans les directions de sensibilit´e. • La direction de sensibilit´e en chaque noeud est calcul´ee `a partir de la position de la cam´era et de la position de la source laser, ce qui permet de projeter les d´eplacements du mod`ele ´el´ements finis sur les directions de sensibilit´e (Fig.3.20(b)). 95

´ 3.2 Etude exp´erimentale de deux plaques superpos´ees boulonn´ees

(a) noeuds visibles du mod`ele num´erique projet´es sur la structure

(b) direction de sensibilit´e de quelques noeuds

Fig. 3.20 − Illustration de quelques ´etapes de la cr´eation du mod`ele exp´erimental R´ esultats de la corr´ elation calcul/essai Les vecteurs propres num´eriques et exp´erimentaux sont compar´es sur les noeuds du mod`ele exp´erimental dans la direction de sensibilit´e. La figure 3.21 permet de comparer visuellement les modes propres mesur´es et calcul´es.

96

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

Fig. 3.21 − Comparaison des modes propres mesur´es et calcul´es

(a) COMAC

(b) MAC

Fig. 3.22 − Crit`eres d’assurance modale


2 |cki eki |
2 PN
2 PN i=1 cki i=1 eki PN

COM AC(k) =

i=1

M ACij

|cTi ej |2 cTi ci eTj ej

(3.1)

c/e − vecteur propre calcul´e/mesur´e i, j − num´ero du vecteur propre k − num´ero du ddl du mod`ele La figure 3.22 pr´esente les crit`eres COM AC et M AC (Equ.3.1) qui ont ´et´e appliqu´es afin d’´evaluer quantitativement les ´ecarts entre les d´eform´ees modales. Les valeurs de ces crit`eres peuvent ´evoluent entre 0 et 1 o` u 1 signifie une corr´elation parfaite 97

´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees

entre le mod`ele exp´erimental et num´erique. Ces r´esultats montrent une relative insensibilit´e de la forme modale `a la non-lin´earit´e d’amortissement, les valeurs de MAC ´etant toutes sup´erieures `a 89%.

3.3

´ Etude exp´ erimentale de poutres boulonn´ ees

Le premier objectif de cette analyse (qui est le mˆeme que celui de l’´etude pr´ec´edente) consiste `a ´etudier l’influence de la jonction sur la non-lin´earit´e de comportement dynamique d’une structure assembl´ee. Le deuxi`eme objectif est d’´evaluer le rˆole de deux param`etres caract´eristiques de la jonction dans la dissipation d’´energie par le syst`eme. Il s’agit du niveau de serrage dans la jonction et de la taille de la zone de contact `a l’interface des sous-structures. Le but de l’´etude est de confirmer que ces param`etres jouent un rˆole pr´edominant dans le processus de dissipation d’´energie au cours des vibrations. Pour atteindre ces objectifs, nous nous sommes bas´es sur la m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents par la transform´ee en ondelettes. Les F RF ont n´eanmoins ´et´e mesur´ees afin de compl´eter l’information sur le comportement dynamique de la structure test´ee. Dans cette ´etude exp´erimentale, seul le premier mode propre de flexion a ´et´e ´etudi´e. Les autres modes n’ont pas pu ˆetre analys´es du fait d’amortissements trop ´elev´es ce qui a rendu notre m´ethode d’identification inapplicable.

3.3.1

Description de l’exp´ erience

La structure ´etudi´ee a ´et´e d´efinie de fa¸con `a garantir un comportement dynamique simple : elle est constitu´ee de deux poutres de dimensions respectives 700x50x15 mm et 700x50x5 mm assembl´ees par trois boulons M 5 (Fig.3.23). Quatre assemblages distincts ont ´et´e ´etudi´es : avec contact direct (indice 0) ou en intercalant entre les poutres au niveau des boulons des rondelles petites (indice r1), moyennes (indice r2) et grandes (indice r3). 98

”0”

D

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

”r1”

”r2”

”r3”

D=8mm D=12mmD=16mm

Fig. 3.23 − Vue ´eclat´ee de la structure Les trois boulons utilis´es pour assembler les poutres sont instrument´es `a l’aide de tubes sur lesquels sont coll´ees des jauges de contrainte (Fig.3.24). L’int´erˆet de ces dispositifs est de pouvoir maˆıtriser parfaitement les effort axiaux de serrage dans les boulons. Une ´etape pr´eliminaire de calibration a permis d’identifier pour chaque dispositif la relation entre l’effort axial de serrage et le signal d´elivr´e par la jauge.

jauge de d´eformation tube boulon

(a) mod`ele

(b) r´ealisation

Fig. 3.24 − Syst`eme de mesure des efforts de serrage 99

´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees

L’excitation de la structure est r´ealis´ee `a l’aide d’un pot vibrant alors que l’acquisition de la r´eponse est assur´ee par cinq acc´el´erom`etres r´epartis le long de la poutre. Afin de simuler les conditions aux limites libre-libre, la poutre est suspendue dans le plan normal aux d´eform´ees modales par deux fils d’acier accroch´es au droit des noeuds du premier mode de flexion (Fig.3.25).

fil de suspension

No. 5 No. 4 No. 3 No. 2

´electro-aimant pot vibrant acc´el´erom`etre No. 1 (a) mod`ele

(b) r´ealisation

Fig. 3.25 − Instrumentation de la structure

Pour pouvoir r´ealiser les essais de lˆacher dynamique, nous avons mis en oeuvre une technique permettant de d´econnecter physiquement le pot vibrant de la structure et de synchroniser l’acquisition avec l’instant de la d´econnexion. Pour cela, la jonction entre le pot vibrant et la structure est r´ealis´ee par l’interm´ediaire d’un ´electro-aimant. L’alimentation de ce dernier est int´egr´ee dans un circuit ´electrique appel´e commande relais optocoupl´e (Fig.3.26) qui assure deux fonctions effectu´ees simultan´ement lors de la coupure de l’alimentation. La premi`ere consiste `a d´econnecter physiquement le pot vibrant de la structure et `a couper le signal d’excitation, la seconde `a envoyer un signal `a la chaˆıne d’acquisition afin de d´eclencher automatiquement l’enregistrement de la r´eponse libre. La figure 3.27 repr´esente le sch´ema de montage complet de l’exp´erience r´ealis´ee. 100

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

10V

0V relais 1 relais 2

(a) commande relais optocoupl´e

(b) r´ealisation

Fig. 3.26 − Alimentation de l’´electro-aimant via la commande relais optocoupl´e

AP AE

PJ

PV CRO

AC LMS

LMS : Chaˆıne d’Acquisition PC: Ordinateur AP: Amplificateur de Puissance AC: Amplificateur de Charge PJ: Pont de Jauges ´ AE: Alimentation de l’Electro-aimant PV: Pot Vibrant CRO: Commande Relais Optocoupl´e ´ : Electro-aimant : Acc´el´erom`etre : Jauge de D´eformation ´ : Interrupteur d’Alimentation de l’Electro-aimant

PC

Fig. 3.27 − Montage complet de l’exp´erimentation

3.3.2

Analyse num´ erique pr´ eliminaire

Une analyse pr´eliminaire du comportement dynamique de la structure test´ee a ´et´e effectu´ee `a l’aide d’un mod`ele ´el´ements finis. Deux mod`eles diff´erents ont ´et´e 101

´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees

pr´epar´es afin de prendre en compte les diff´erents types d’assemblage. Le premier mod`ele consid`ere le contact direct entre les deux poutres (Fig.3.30(a)) alors que le second prend en compte les rondelles intercal´ees entre les poutres (Fig.3.30(c)). Les deux mod`eles ont ´et´e cr´e´es en consid´erant toutes les liaisons pr´esentes comme ´etant parfaites. Une analyse modale a ´et´e effectu´ee `a l’aide de ces mod`eles afin d’identifier leurs modes propres. On donne figures 3.29a et 3.29b les d´eform´ees modales du premier mode. Nous pouvons remarquer des diff´erences significatives entre les deux mod`eles quant `a la d´eform´ee de la poutre sup´erieure. La diff´erence entre les deux type d’assemblage est relative d’une part `a la diminution de la zone de contact et d’autre part `a la modification des d´eplacements relatifs `a l’interface des poutres. Cette diff´erence devrait ´evidemment avoir des incidences significatives sur l’amortissement.

(a) contact direct

(b) rondelles intercal´ees

Fig. 3.28 − Mod`eles ´el´ements finis

Fig. 3.29a − Premier mode propre du mod`ele avec contact direct - 169.9 Hz 102

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

Fig. 3.29b − Premier mode propre du mod`ele avec rondelles intercal´ees - 187.3 Hz

3.3.3

R´ esultats

La m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents a ´et´e appliqu´ee aux r´eponses `a un lˆacher dynamique. Ces r´eponses ont ´et´e obtenues en utilisant une excitation harmonique `a une fr´equence proche de la fr´equence propre du mode ´etudi´e. Les quatre assemblages distincts (“0”,“r1”,“r2”,“r3”) pr´esent´es page 98 ont ´et´e test´es. Pour chacun de ces assemblages, plusieurs efforts de serrage ont ´et´e appliqu´es entre 500 et 10000 Newton (N). Nous montrons d’abord les influences respectives de l’effort de serrage et du type d’assemblage sur les F RF obtenues en r´eponse forc´ee sous excitation al´eatoire. Puis les r´esultats des analyses non-lin´eaires des r´eponses aux lˆachers dynamiques sont pr´esent´es.

R´ esultats en terme de r´ eponse forc´ ee - influence du serrage La figure (Fig.3.30) montre les amplitudes des FRF obtenues en r´eponse forc´ee sous excitation al´eatoire pour diff´erents efforts de serrage. Il est ´evident que l’effort appliqu´e par les vis influence fortement la fr´equence et l’amortissement du premier mode de la structure. La variation de fr´equence propre observ´ee montre que l’application d’un effort de serrage plus important conduit `a une augmentation de la raideur du syst`eme. 103

´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees

(a) assemblage 0

(b) assemblage r1

(c) assemblage r2

´ Fig. 3.30 − Evolution de la FRF au voisinage du premier mode propre pour diff´erents efforts de serrage 104

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

R´ esultats en terme de r´ eponse forc´ ee - influence de l’assemblage

La figure (Fig.3.30) montre les amplitudes des FRF obtenues `a partir d’une excitation al´eatoire pour les quatre assemblages ´etudi´es. Il apparaˆıt clairement que la fr´equence et l’amortissement du premier mode sont influenc´es par la modification de la taille de la zone en contact `a l’interface entre les deux poutres.

(a) effort = 500 N

(b) effort = 4000 N

Fig. 3.31a − Amplitude de la FRF au voisinage du premier mode propre pour les quatre assemblages ´etudi´es 105

´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees

(a) effort = 6000 N

(b) effort = 8000 N

(c) effort = 10000 N

Fig. 3.31b − Amplitude de la FRF au voisinage du premier mode propre pour les quatre assemblages ´etudi´es 106

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

R´ esultats des essais de lˆ acher dynamique

Les nombreux essais de lˆacher dynamique r´ealis´es ont fourni les r´eponses libres de la structure sur cinq acc´el´erom`etres pour les quatre assemblages et pour plusieurs niveaux de serrage entre 500 et 10000 N. La m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents a ensuite ´et´e appliqu´ee `a ces signaux. Le fait de disposer de plusieurs capteurs a permis d’obtenir le vecteur propre de la structure et son ´evolution en fonction de l’amplitude. Grˆace `a la connaissance du vecteur propre, nous avons pu exprimer les param`etres modaux identifi´es en fonction de l’amplitude de la coordonn´ee modale.

Vecteur propre

Dans un premier temps nous pr´esentons les r´esultats de l’identification du premier vecteur propre de la structure. Seul l’assemblage direct de la structure est concern´e par cette analyse. Nous avons utilis´e la m´ethode pr´esent´ee dans le premier chapitre afin d’obtenir le vecteur propre de la structure en fonction de l’amplitude des vibrations. La normalisation du vecteur propre a ´et´e effectu´ee de fa¸con `a ce que l`a premi`ere composante du vecteur soit fix´ee `a un. Notons que la position des ´el´ements dans le vecteur propre correspond `a la num´erotation des capteurs (Fig.3.25). La figure 3.32(a) montre l’´evolution du vecteur propre en fonction du niveau de serrage. Les figures 3.32(b)-3.32(d) expriment la variation du vecteur propre en fonction de l’amplitude. Cette variation donn´ee par l’´equation 3.2 exprime l’´ecart relatif du vecteur propre instantan´e par rapport `a sa valeur correspondant `a l’amplitude maximale. L’´evaluation de cette erreur permet de v´erifier l’hypoth`ese qui a permis d’´etendre la m´ethode d’identification aux syst`emes `a plusieurs ddl. Cette hypoth`ese suppose que le vecteur propre est quasi invariable en fonction de l’amplitude. Les valeurs de variation relative du vecteur propre ´etant inf´erieures `a 4% confirment cette invariabilit´e. Nous pouvons malgr´e cette conclusion constater une variation du vecteur propre plus importante pour les efforts de serrage plus faible. Par contre la d´eform´ee modale semble peu affect´ee par le serrage. Notons ´egalement que les variations relatives entre les vecteurs propres en fonction des diff´erents efforts de serrage restent inf´erieurs `a 4%.


V Amax − V A(t)

∆r V A(t) = (3.2) V A(t) − vecteur propre identifi´e V Amax
∆r V A(t) − variation relative du vecteur propre 107

´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees

(a)

(c) effort - 5000N

(b) effort - 1000N

(d) effort - 10000N

Fig. 3.32 − Variation du premier mode en fonction de l’amplitude pour diff´erents niveaux de serrage

Par la suite nous allons consid´erer le vecteur propre d´efini par la moyenne des r´esultats obtenus. Ceci permet d’appliquer l’´equation 3.3 afin d’exprimer les amplitudes identifi´ees sur tous les capteurs en une seule valeur de l’amplitude de coordonn´ee modale. a(t) = (T VV)−1 T V A(t) a(t) − amplitude de la coordonn´ee modale (3.3) V − vecteur propre moyenn´e A(t) − vecteur des amplitudes identifi´ees sur les capteurs Disposant des vecteurs propres du mod`ele et de la structure, nous pouvons les comparer. Pour cela, le vecteur propre du mod`ele ´el´ements finis est restreint aux noeuds colocalis´es avec les acc´el´erom`etres. La figure 3.34(a) permet une comparaison visuelle des modes propre et la figure 3.34(b) montre la corr´elation entre eux en terme d’erreur relative. 108

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

(a)

(b)

Fig. 3.33 − Corr´elation essai/calcul du premier vecteur propre La diff´erence constat´ee entre les vecteurs propres provient sans doute du fait que le mod`ele ´el´ements finis suppose les liaisons rigides entre les noeuds `a l’interface des poutres. Par cons´equent le mod`ele s’av`ere ˆetre plus rigide que la structure r´eelle. Param` etres modaux ´ equivalents Les ´evolutions des param`etres modaux ´equivalents pr´esent´ees ici sont exprim´ees en fonction de l’amplitude de la coordonn´ee modale. Dans un premier temps nous v´erifions la coh´erence entre les param`etres modaux identifi´es `a partir des signaux fournis par diff´erents capteurs. La figure 3.34 confirme une excellente coh´erence entre ces param`etres. effort - 5000 N

(a)

(b)

Fig. 3.34 − Param`etres modaux ´equivalents identifi´es `a partir des diff´erents capteurs La figure 3.35 repr´esente les ´evolutions de la fr´equence propre en fonction de l’amplitude modale des vibrations pour les quatre types d’assemblage et diff´erents efforts 109

´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees

de serrage. Ces r´esultats confirment d’abord le caract`ere non-lin´eaire du comportement dynamique de la structure : la fr´equence varie avec l’amplitude. Ils montrent ensuite l’influence de l’effort de serrage : plus cet effort augmente, plus la fr´equence du premier mode augmente, cette ´evolution tendant `a se stabiliser pour des efforts importants. Nous notons que l’effet non-lin´eaire tend `a s’att´enuer lorsque l’effort augmente, les variations de fr´equence devenant de plus en plus faible. Les r´esultats pour les diff´erents assemblages et pour un mˆeme effort montrent un d´ecalage en fr´equence qui confirme l’hypoth`ese de l’influence de la zone de contact sur la raideur de la structure.

(a) assemblage 0

(b) assemblage r1

(c) assemblage r2

(d) assemblage r3

´ Fig. 3.35 − Evolution de la fr´equence propre en fonction de l’amplitude modale Nous montrons figure 3.36 les ´evolutions de l’amortissement modal en fonction de 110

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

l’amplitude modale pour les mˆemes conditions. Nous observons cette fois des variations tr`es importantes pour tous les types d’assemblage : alors que l’amortissement converge vers une valeur limite `a amplitude nulle pour tous les serrages (0.3% assemblage 0), il augmente progressivement avec l’amplitude dans un rapport pouvant varier de 2 `a 10. La pente de l’´evolution de l’amortissement diminue en augmentant l’effort de serrage ce qui se traduit par une augmentation de l’amortissement de 800 % et 100 % (assemblage 0) sur un mˆeme intervalle d’amplitude pour les efforts respectifs de 500 N et 10000 N.

(a) assemblage 0

(b) assemblage r1

(c) assemblage r2

(d) assemblage r3

´ Fig. 3.36 − Evolution de l’amortissement en fonction de l’amplitude modale Nous notons ´egalement l’influence du type d’assemblage, c’est-`a-dire avec ou sans pr´esence de rondelles, sur l’amortissement limite `a amplitude nulle ´egal respective111

´ 3.3 Etude exp´erimentale de poutres boulonn´ees

ment `a 0.3 % et 0.05 %. L’´evolution de l’amortissement pour l’effort de 500N relatif `a l’assemblage r1 (petite rondelle) montre un ph´enom`ene de saturation de la dissipation d’´energie dans le syst`eme se traduisant par un pic dans l’´evolution puis une stabilisation de l’amortissement pour les amplitudes sup´erieures `a celle du pic. Les figures 3.37-3.38 montrent l’ensemble de r´esultats pour diff´erents efforts ainsi que les quatre assemblages. Il apparaˆıt clairement que l’augmentation de la zone de contact conduit `a une augmentation de l’amortissement.

´ Fig. 3.37 − Evolution de la fr´equence propre en fonction de trois param`etres : amplitude des vibrations, effort de serrage et type d’assemblage

´ Fig. 3.38 − Evolution de l’amortissement en fonction de trois param`etres : amplitude des vibrations, effort de serrage et type d’assemblage 112

´ CHAPITRE 3. Etudes exp´erimentales

3.4

Conclusion

Les ´etudes exp´erimentales pr´esent´ees s’int´eressent `a l’influence des liaisons sur le comportement dynamique des structures assembl´ees. Le comportement dynamique est caract´eris´e par les param`etres modaux ´equivalents exprim´es en fonction de l’amplitude des vibrations. Ces ´etudes mettent en oeuvre une m´ethode originale d’identification non-lin´eaire de param`etres modaux ´equivalents bas´ee sur la transform´ee en ondelettes. Cette technique pr´esente l’avantage d’estimer l’´evolution de la fr´equence et de l’amortissement modale en fonction de l’amplitude des vibrations `a partir d’une seule mesure de r´eponse `a un lˆacher dynamique. Les conclusions `a l’issue des r´esultats obtenus sont les suivantes : • La perte d’´energie vibratoire constat´ee au niveau des interfaces des jonctions est beaucoup plus importante que celle intrins`eque au mat´eriau. Elle conditionne par cons´equent l’amortissement des modes propres de vibration. • L’amortissement provenant des jonctions est une fonction non-lin´eaire de l’amplitude des vibrations. • Les modes pr´esentent des niveaux d’amortissement tr`es diff´erents car la d´eperdition d’´energie est tr`es d´ependante des d´eformations locales aux interfaces. • L’amortissement dˆ u `a l’assemblage d´epend fortement de l’effort de serrage ainsi que de la taille de la zone de contact. • Les d´eform´ees modales restent relativement insensibles `a la non-lin´earit´e due aux jonctions. Ces conclusions confirment l’hypoth`ese selon laquelle le m´ecanisme principal de dissipation d’´energie dans les jonctions est celui de frottement `a l’interface des sousstructures.

113

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

Chapitre 4 Description des ph´ enom` enes de glissement ` a l’interface des liaisons 4.1

Introduction

Plusieurs ´etudes de comportement dynamique des structures assembl´ees ont ´et´e r´ealis´ees afin d’´evaluer le rˆole des liaisons dans la dissipation d’´energie [Ung64, Goo56, Pia56, Mas73, Gau97, Klu98, Kes01, Est00]. Leurs r´esultats confortent ceux que nous avons obtenus `a savoir que les liaisons sont la source principale de dissipation d’´energie. Par cons´equent, elles conditionnent l’amortissement modal des modes propres de vibration. Il est donc imp´eratif de maˆıtriser la mod´elisation du comportement m´ecanique des liaisons pour pouvoir pr´etendre construire des mod`eles pr´evisionnels fiables de comportement dynamique des structures assembl´ees. Une liaison entre deux solides se traduit dans la plupart des cas par une zone de contact appel´ee interface. Le contact `a l’interface est maintenu grˆace la pression `a l’interface provenant de diff´erentes techniques d’assemblage : rivetage, boulonnage, soudure par points. La transmission du mouvement tangentiel `a l’interface est assur´ee par les efforts dus au frottement. L’´etablissement d’une loi constitutive du comportement dynamique de la liaison pr´esume la connaissance du m´ecanisme de dissipation d’´energie. Il est ´evident que plusieurs ph´enom`enes entrent en jeu, mais est-il possible d’identifier ceux dont l’effet est pr´edominant? Cette question a fait l’objet de nombreux travaux de recherche [Ung64]. Plusieurs m´ecanismes de dissipation ont ´et´e associ´es aux diff´erents types d’assemblage comme nous l’avons mentionn´e dans l’introduction g´en´erale. Il s’av`ere que pour les assemblages tels que le rivetage, le boulonnage et la soudure par points, la perte d’´energie provient essentiellement du glissement `a l’interface des sous-structures. Il s’agit donc d’un m´ecanisme li´e au ph´enom`ene de frottement o` u l’´energie est dissip´ee sous forme de chaleur. Pour illustrer le ph´enom`ene de glissement et ses diverses formes sur un exemple, consid´erons le cas d’une liaison boulonn´ee. Supposons une pr´econtrainte pr´esente dans le boulon qui provoque une pression importante `a l’interface dans une zone autour du boulon. Le mouvement relatif `a l’interface appel´e “glissement” apparaˆıt dans les zones o` u les efforts tangentiels sont suffisamment importants pour vaincre les efforts de frottement. On d´efinira le “seuil de frottement” comme ´etant l’effort 115

4.2 Mod`eles de frottement

tangentiel minimal n´ecessaire pour que le glissement se produise. Le mouvement relatif nul appel´e “adh´erence” apparaˆıt dans les zones o` u les efforts tangentiels n’atteignent pas le seuil de frottement. G´en´eralement on distingue trois types de glissement. Soit Ai la surface de l’interface et Ag la surface de la zone de glissement. Les trois types de glissement sont d´efinis par les in´egalit´es suivantes : • Glissement microscopique 0 < A g  Ai • Glissement macroscopique 0 < Ag < Ai • Glissement complet 0 < A g = Ai L’´etude du ph´enom`ene de glissement est tr`es complexe, elle fait intervenir plusieurs disciplines de la physique telles que la rh´eologie, la tribologie, la m´ecanique des milieux continus, la thermo-m´ecanique etc. . . . Compte tenu du but recherch´e, il n’est ´evidemment pas envisag´e de r´esoudre ce probl`eme dans toute sa complexit´e. La dimension des pi`eces m´ecaniques et des liaisons justifie de n´egliger les probl`emes li´es `a la propagation de chaleur cr´e´ee par le frottement. Du point de vue de la dynamique des structures nous nous int´eressons principalement `a la perte d’´energie m´ecanique due au glissement `a l’interface en r´egime dynamique. Le calcul de cette ´energie dissip´ee n´ecessite d’´evaluer les d´eplacements relatifs `a l’interface ainsi que les efforts tangentiels correspondants. Il s’agit l`a d’un probl`eme difficile, car les ph´enom`enes de contact entre deux solides d´eformables engendrent des comportements non-lin´eaires. On d´efinit g´en´eralement deux types de mod`eles de comportement de la liaison comme pour tout ph´enom`ene physique. Le premier est un mod`ele ph´enom´enologique bas´e sur les observations exp´erimentales permettant de d´ecrire les relations globales entre l’effort tangentiel et le d´eplacement relatif `a l’interface. Le second est un mod`ele constitutif bas´e sur la physique de l’interface qui d´ecrit le comportement de fa¸con locale. La premi`ere partie de ce chapitre est consacr´ee `a la description ph´enom´enologique du contact afin de comprendre l’impact sur le bilan ´energ´etique de la pr´esence de liaisons dans un syst`eme m´ecanique. Dans la deuxi`eme partie du chapitre on s’int´eresse a` la description des ph´enom`enes locaux mis en jeu par le glissement. Le probl`eme de contact a ´et´e trait´e par la m´ethode des ´el´ements finis et valid´e par confrontation avec les r´esultats analytiques sur un exemple acad´emique.

4.2

Mod` eles de frottement

On distingue deux familles de mod`eles selon le type de fonction d´efinissant la force de frottement. Les mod`eles statiques de frottement sont bas´es sur une hypoth`ese de vitesse relative des surfaces constante. Par cons´equent les mod`eles statiques de frottement sont gouvern´es par des ´equations ne faisant pas appel aux d´eriv´ees 116

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

des fonctions. Nous r´eservons l’adjectif “classique” pour ces mod`eles statiques car ils ont ´et´e d´evelopp´es plus tˆot que les mod`eles dynamiques. La deuxi`eme famille de mod`eles de frottement est constitu´ee de mod`eles dynamiques gouvern´es par des ´equations faisant appel aux variables d’´etat internes. Par cons´equent la force de frottement est d´etermin´ee non seulement par la vitesse mais ´egalement par ces variables d’´etat. Ces mod`eles reproduisent des ph´enom`enes ne pouvant ˆetre mis en ´evidence par des mod`eles statiques. Il s’agit notamment du glissement partiel qui est un passage transitoire entre l’adh´erence et le glissement complet. Les diff´erents mod`eles de frottement sont pr´esent´es en employant la notation de la u Ftj→i , vij , Fn et Fe repr´esentent respectivement la force de frottement figure 4.1, o` appliqu´ee au solide i, la vitesse relative du solide i par rapport au solide j, la force normale `a l’interface et la force ext´erieure.

1)

v12

Fn Fe 1)

Ft2→1

v12

Fn

v21 y

2)

Fn

x

Ft1→2

v21

Fn 2)

Fig. 4.1 − Notations utilis´ees

4.2.1

Mod` eles statiques

Frottement de Coulomb Le mod`ele le plus connu appartenant `a la famille des mod`eles statiques est celui ´elabor´e par Coulomb (1736-1806). La loi de Coulomb d´efinit la force de frottement par : Ftj→i = −µ|Fn |sgn(vij ) = µ|Fn |sgn(vji ),

i = j = 1, 2 : i 6= j

o` u µ repr´esente le coefficient de frottement. La repr´esentation graphique de ce mod`ele est montr´ee sur la figure 4.2. 117

4.2 Mod`eles de frottement

Ftj→i µ|Fn |

vji −µ|Fn |

Fig. 4.2 − Force de frottement selon la loi de Coulomb Le seuil de frottement du mod`ele de Coulomb est proportionnel au module de la force normale `a l’interface et au coefficient de frottement. En cas d’adh´erence, c’est-`a-dire lorsque la vitesse du mouvement relatif `a l’interface s’annule, la force de frottement est gouvern´ee par l’´equation d’´equilibre statique. Frottement visqueux Ce mod`ele prend en compte le rˆole du lubrifiant pr´esent `a l’interface. La force due au frottement visqueux est gouvern´ee par : Ftj→i = −b vij = b vji ,

i = j = 1, 2 : i 6= j

o` u b repr´esente la viscosit´e du lubrifiant. Ce mod`ele est souvent combin´e avec le frottement de Coulomb, conduisant `a une force de frottement d´efinie par : Ftj→i = µ|Fn |sgn(vji ) + b vji ,

i = j = 1, 2 : i 6= j

La repr´esentation graphique de ce mod`ele est montr´ee sur la figure ci-dessous.

b

Ftj→i µ|Fn |

−1 vji −µ|Fn |

Fig. 4.3 − Force de frottement constituant le frottement de Coulomb et le frottement visqueux Mod` eles de Stribeck Stribeck [Lem01, Ols98] a propos´e des formules plus complexes d´efinissant le rapport entre la force de frottement et la vitesse. Ces mod`eles introduisent la d´ependance 118

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

de la force de frottement relativement au mat´eriau, `a la temp´erature, . . . . La formule g´en´erale de ces mod`eles peut ˆetre ´ecrite sous la forme :   si vji 6= 0 f (vji ) j→i Ft = Fe si vji = 0 et |Fe | < Fs   Fs sgn(Fe ) sinon o` u f (vji ), Fe et Fs repr´esentent respectivement la fonction arbitraire de la force de frottement, la force ext´erieure et la force d’adh´erence. La force d’adh´erence Fs repr´esente le seuil de glissement qui cette fois peut ˆetre plus ´elev´e que la force de frottement une fois le glissement d´eclench´e. Cet effet aussi appel´e “effet de Stribeck” signifie physiquement que la force de frottement en adh´erence est sup´erieure `a celle en glissement. Le mod`ele de Stribeck g´en´eral est sch´ematiquement montr´e figure 4.4.

Ftj→i Fs f (vji ) vji −Fs

Fig. 4.4 − Exemple de caract´eristique de frottement selon le mod`ele de Stribeck

4.2.2

Mod` eles dynamiques

Mod` ele de Dahl

Dahl exploite la relation contrainte-d´eformation de deux surfaces en contact afin de d´ecrire le glissement partiel `a l’interface. Dans ce cas, on consid`ere que la force de frottement est la solution de l’´equation diff´erentielle suivante : dFtj→i Ftj→i = σ(1 − sgn(vji ))α dx µ|Fn | o` u σ et α repr´esentent respectivement la pente initiale de la force de frottement (Fig.4.5) et le param`etre d´eterminant la forme de la courbe force-d´eplacement. 119

4.2 Mod`eles de frottement

Ftj→i µ|Fn | ∝σ vji

−µ|Fn |

Fig. 4.5 − Courbe force-d´eplacement `a partir de mod`ele de Dahl Notons que la force de frottement est fonction du d´eplacement et du signe de la vitesse relative. Ceci implique que la force de frottement d´epend uniquement du d´eplacement. Ce mod`ele n’est pas capable de reproduire la phase d’adh´erence ni l’effet de Stribeck. Le mod`ele de Dahl a ´et´e utilis´e notamment pour caract´eriser le frottement dans les roulements `a billes [Dah76, Hac98]. Mod` ele aux fibres ` a brosse Dans ce mod`ele, le frottement est repr´esent´e par une interaction entre des fibres `a brosse attach´ees aux surfaces en contact. L’une des surfaces est munie de fibres `a brosse ind´eformables alors que sur la surface oppos´ee les fibres `a brosse sont d´eformables (Fig.4.6). Le frottement `a l’interface est repr´esent´e par les liaisons entre les paires de fibres oppos´ees. Lorsqu’un mouvement relatif tangentiel apparaˆıt, les fibres d´eformables fl´echissent et leurs d´eformations augmentent. Une paire de fibres se d´etache lorsque la d´eformation atteint un certain niveau. Ensuite une nouvelle liaison se cr´ee avec les fibres voisines. xi v 

































































fibres ind´eformables























































































Surface en mouvement

 





















































































































fibres d´eformables

y











































































































































































































Surface stationnaire

bi Fig. 4.6 − Mod´elisation du frottement par interaction des fibres `a brosse 120

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

La force tangentielle dans la liaison d’une paire de fibres est donn´ee par : Ftj→i = σ0 (xi − bi ) o` u σ0 , xi et bi repr´esentent respectivement la raideur des fibres d´eformables, la position de la fibre ind´eformable et la position de la fibre d´eformable. La force de frottement `a l’interface g´en´er´ee par le mod`ele `a N paires de fibres `a brosse est d´efinie par : Ftj→i =

N X

K(xi − bi )

i=1

En consid´erant le nombre de fibres N comme ´etant une fonction de la vitesse de glissement, nous pouvons rendre la force de frottement g´en´er´ee par ce mod`ele d´ependante de cette vitesse. Notons que l’utilisation de ce mod`ele devient rapidement laborieuse lorsque le nombre de fibres N augmente.

Mod` ele de LuGre Ce mod`ele conserve l’approche de la repr´esentation du frottement par les fibres `a brosse, mais la force de frottement est d´etermin´ee par la d´eformation moyenne des fibres. Du point de vue de sa d´efinition math´ematique, ce mod`ele est une extension du mod`ele de Dahl [Ols98]. La force de frottement est d´efinie par : dz |vji | = vji − σ0 z dt g(vji ) g(v) = µ|Fn | + (Fs − µ|Fn |)e(vji /v0 ) dz Ftj→i = σ0 z + σ1 (vji ) + b vji dt

2

La description des param`etres pr´esents dans l’´equation pr´ec´edente est la suivante : zvji g(vji ) σ0 σ1 b-

d´eformation moyenne des fibres vitesse de glissement `a l’interface fonction incluant le frottement statique de Coulomb et l’effet de Stribeck raideur des fibres `a brosse coefficient d’amortissement viscosit´e du lubrifiant

La complexit´e du mod`ele de LuGre permet de g´en´erer une force de frottement d´ependant de la vitesse de glissement et d’approcher la phase d’adh´erence en introduisant l’effet de Stribeck . 121

4.2 Mod`eles de frottement

Mod` ele de Valanis A l’origine, ce mod`ele a ´et´e d´evelopp´e pour d´ecrire le comportement plastique des mat´eriaux. Or il s’est av´er´e ˆetre ´egalement bien adapt´e `a la description du comportement `a l’interface des liaisons. La force de frottement d´efinie par ce mod`ele est donn´ee par l’´equation diff´erentielle suivante :
˙ t u − Ftj→i ) E0 u˙ 1 + Eλ0 sgnq(E ˙ j→i (4.-1) Ft = ˙ t u − Ftj→i ) 1 + κ Eλ0 sgnu(E La description des param`etres de cette ´equation est la suivante : u - d´eplacement relatif `a l’interface E0 - param`etre du mat´eriau d´efinissant la pente initiale de la courbe force-d´eplacement Et - param`etre du mat´eriau d´efinissant la pente de la courbe force-d´eplacement lors du glissement λ - param`etre du mat´eriau κ - param`etre contrˆolant l’influence du glissement microscopique b - viscosit´e du lubrifiant

Le seuil de frottement, que nous avons pr´ec´edemment not´e par σ0 , est li´e aux param`etres ci-dessus de la mani`ere suivante : σ0 =

E0 λ(1 − κ EE0t )

La figure ci-dessous illustre l’influence des param`etres du mod`ele de Valanis sur la forme d’un cycle d’hyst´eresis. Ftj→i ∝ Et

σ0

∝ E0 u κ = 0.5 κ = 0.99

Fig. 4.7 − Courbe force-d´eplacement `a partir de mod`ele de Valanis Le mod`ele de Valanis d´efinit une force de frottement d´ependant de la vitesse de glissement et reproduisant l’effet de Stribeck. Ce mod`ele est num´eriquement tr`es 122

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

efficace notamment pour la d´etection de la vitesse nulle. Il peut alors ˆetre facilement impl´ement´e dans un code ´el´ements finis. Ce mod`ele a ´et´e utilis´e notamment par Gaul et al pour mod´eliser le comportement dynamique de joints m´ecaniques [Gau97].

Mod` ele de Iwan Le frottement `a l’interface est mod´elis´e par un syst`eme d’´el´ements ressort-frotteur. Nous avons opt´e pour ce mod`ele afin d’´etudier le comportement dissipatif de la liaison. Une description plus d´etaill´ee en est donn´ee dans la section suivante.

4.3

Mod` ele ph´ enom´ enologique de Iwan

L’´el´ement ressort-frotteur (Fig.4.9) ´egalement appel´e ´el´ement de Jenkins ou de Masing est un mod`ele souvent utilis´e pour ´etudier le comportement interfacial dans les liaisons [Seg01, Hea03, Son04, Son02]. Il s’agit en r´ealit´e d’une modification du mod`ele de Coulomb permettant une d´eformation ´elastique qui pr´ec`ede le glissement. La figure 4.8 pr´esente le mod`ele physique et math´ematique de l’´el´ement ressortfrotteur ainsi que la courbe force-d´eplacement correspondante. La force de chargement tangentielle F entraˆıne d’abord une d´eformation ´elastique caract´eris´ee par la raideur k alors que l’interface reste en adh´erence. Cette d´eformation est sens´ee repr´esenter la d´eformation r´eversible des asp´erit´es. Le glissement se produit lorsque la force F atteint le seuil de frottement Ft .

U Ue

Ug F, u Fn

 










Ft
















Fn

 



 





 



k

 

µ

 

F, u





















































































 

Ft

 



 



mod`ele physique

mod`ele math´ematique courbe force-d´eformation

F Ft = µFn Ug

Ue

U

u

Fig. 4.8 − Mod`eles physique et math´ematique de l’´el´ement ressort-frotteur 123

4.3 Mod`ele ph´enom´enologique de Iwan

 

Fn

 



 





 



 



 



 





 



k

µ

 





 





 





 





 



 

Ft

 



 







































F (t), u(t)  

F (t), u(t)

 



 





 





 





 



F (t), u(t)

Fig. 4.9 − Mod´elisation du comportement des liaisons par des ´el´ements ressortfrotteur Les ´el´ements ressort-frotteur peuvent ˆetre connect´es en s´erie, en parall`ele ou en connexion mixte afin de repr´esenter diff´erentes relations force-d´eplacement relatives `a l’interface. Ce type de mod`ele poss`ede deux propri´et´es caract´eristiques quel que soit l’assemblage des ´el´ements ressort-frotteur : • La relation force-d´eplacement v´erifie la loi de Masing. • La pente de la courbe force-d´eplacement est donn´ee par les contributions des raideurs des ´el´ements en ´etat d’adh´erence. Afin d’´eclaircir la premi`ere propri´et´e, nous allons d´efinir la loi de Masing.

4.3.1

Loi de Masing

La loi de Masing [Yin92] est une simplification de comportement interfacial, qui pr´esume que ce comportement ne d´epend pas de l’historique. Par cons´equent les propri´et´es de la liaison sont compl`etement d´efinies par une relation force-d´eplacement pendant le chargement initial. Prenons l’exemple de la figure 4.10. F Fi

A(Fi , Ui ) f (u)

C(Fr , Ur )

fr (u) fd (u) Ui

u

B(Fd , Ud )

Fig. 4.10 − Force tangentielle dans la liaison en fonction du d´eplacement relatif selon la loi de Masing Si une liaison subit une d´eformation initiale u, et que le chargement initial F suit le chemin F = f (u) jusqu’au point A(Fi , Ui ), alors la fonction du d´echargement au 124

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

point B(Fd , Ud ) est d´efinie par la fonction f (u) de la fa¸con suivante : fd (u) = f (Ui ) − 2f

U − u i , 2

fd (u) = −f (−u),

u ≥ −Ui u < −Ui

(4.0)

De la mˆeme mani`ere, le chemin du rechargement du point B(Fd , Ud ) au point C(Fr , Ur ) s’exprime par : fr (u) = fd (Ud ) + 2f

u − U  d

2

,

|u| ≤ max(|Ud |, |Ui |) |u| > max(|Ud |, |Ui |)

fr (u) = f (u),

(4.1)

Pour d´eduire le chemin d’un nouveau d´echargement, nous pouvons reprendre la formule 4.0 `a condition de remplacer Ui par le d´eplacement initial actuel Ur . Cela signifie que la loi de Masing prend en compte l’histoire du chargement uniquement par ces extrema. L’une des cons´equences principales de l’application de la loi de Masing est la simplification du calcul de l’´energie dans la liaison pendant un cycle. Cette ´energie est donn´ee par la surface du cycle d’hyst´er´esis : Z ur (Fr − Fd )du (4.2) ∆E = ud

Apr`es avoir remplac´e les forces par leurs expressions, nous pouvons ´ecrire : Z ur u − u  u − u  u − u r d r d ∆E = f (ui ) − 2f + 2f − f (ui ) + f du 2 2 2 ud Z ur −ud 2 u r − u d  ur − ud  ∆E = 8 f (u)du − 4 f 2 2 0 Z A ur − ud ∆E = 8 f (u)du − 4Af (A), A = (4.3) 2 0 Afin de mettre en ´evidence la relation entre l’´energie dissip´ee et l’amplitude de d´eplacement, nous allons maintenant analyser un syst`eme de ressorts-frotteurs `a un ´el´ement puis `a trois ´el´ements.

4.3.2

Syst` eme ` a un ´ el´ ement ressort-frotteur

Consid´erons le syst`eme `a un ´el´ement ressort-frotteur excit´e par un mouvement harmonique d’amplitude U (Fig.4.11). La force normale, le seuil de frottement et la raideur sont not´es respectivement Fn , Ft et k. 125

4.3 Mod`ele ph´enom´enologique de Iwan








































Fn




k

µ

F (t), u(t) = U sin(ωt) Ft

Fig. 4.11 − Syst`eme `a un ´el´ement ressort-frotteur

Consid´erons une excitation harmonique `a amplitude U . La relation force-d´eplacement du chargement initial est d´efinie par : µFn k

u≤

F (u) = f (u) = ku,

µFn ≤u≤U k

F (u) = f (u) = µFn ,

Le force du chargement initial progresse lin´eairement tant que le seuil de la force de frottement n’est pas atteint. Une fois que ce seuil est atteint la force est constante. Le cycle d’hyst´er´esis relatif `a ce syst`eme est donn´e figure 4.12.

Ft

F 













 












































































































f (u)






 





 



Ft Ue /2

 





































arctg(k) 



































Ue fr (u)

U fd (u)



 





 





 





 



(U − Ue )Ft

u

Fig. 4.12 − Cycle d’hyst´er´esis ´ Etant donn´e que ce syst`eme ob´eit `a la loi de Masing, l’´equation 4.3 est directement applicable pour le calcul de l’´energie dissip´ee :

∆E = 4(U −

Ft k Ft U> k Ft U> k U≤

∆E = 0 Ft )Ft k

∆E = 4(U − Ue )Ft Ug = U − Ue

Ft = µFn

adhrence

U - d´eplacement total Ue - d´eplacement ´elastique Ug - glissement

(4.4)

Seul le glissement Ug contribue `a la dissipation d’´energie. Nous constatons ´egalement une d´ependance lin´eaire de l’´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude d`es le d´ecollement du frotteur (Fig.4.13). 126

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

∆E

arctg(Ft ) Ue

U -amplitude

´ Fig. 4.13 − Energie dissip´ee en fonction de l’amplitude du d´eplacement

4.3.3

Syst` eme ` a trois ´ el´ ements ressort-frotteur

Consid´erons le syst`eme `a trois ´el´ements ressort-frotteur de la figure 4.14 excit´e par un d´eplacement harmonique d’amplitude U . Nous supposons le coefficient de frottement constant `a l’interface de la liaison.

























































































































Fn,1

k1

Ft,1 Fn,2

k2

µ

µ

F (t), u(t) = U sin(ωt) Ft,2 Fn,3

k3

µ Ft,3

Fig. 4.14 − Syst`eme `a trois ´el´ements ressort-frotteur

La force globale agissant sur le syst`eme est d´efinie par la superposition des relations force-d´eplacement des trois ´el´ements : F = F1 + F2 + F3

µFn,1 ≥u k1 µFn,1 Fi = µFn,i , < u ≤ U, i = 1, 2, 3 k1 Fi = ki u,

Le pente du chargement initial (f (u)) `a un d´eplacement donn´e est d´efinie par la somme des raideurs des ´el´ements restant en adh´erence. Le cycle d’hyst´er´esis donn´e par la courbe de d´echargement et rechargement est montr´e figure 4.15. 127

4.3 Mod`ele ph´enom´enologique de Iwan

F f (u) fr (u) Ue,1Ue,2 Ue,3 U fd (u)

u

Fig. 4.15 − Cycle d’hyst´er´esis

La perte d’´energie repr´esent´ee par la surface du cycle d’hyst´er´esis est d´etermin´ee par la somme des ´energies des trois ´el´ements ressort-frotteur : ∆E = ∆E1 + ∆E2 + ∆E3 ∆E = 0 ∆E =

3 X

δi 4(U − Ue,i )Ft,i

U ≤ min(

Ft,1 Ft,2 Ft,3 , , ) k1 k 2 k3

U > min(

Ft,1 Ft,2 Ft,3 , , ) k1 k2 k3

i=1

δi = 0 si U ≤

Ft,i sinon δi = 1 ki

(4.5)

La fonction d’´energie dissip´ee repr´esent´ee figure 4.16 prouve la capacit´e du mod`ele `a reproduire la phase d’adh´erence, de glissement partiel (macro et micro confondus) et de glissement complet. Nous constatons ´egalement une caract´eristique progressive de l’´evolution de l’´energie dissip´ee dans la phase de glissement partiel. Par contre le glissement complet est accompagn´e par une perte d’´energie d´ependant lin´eairement de l’amplitude de d´eplacement.

∆E adh´erence

glissement partiel

glissement complet

arctg(Ft,1 + Ft,2 + Ft,3 ) arctg(Ft,1 ) Ue,1

Ue,2

arctg(Ft,1 + Ft,2 ) Ue,3

U -amplitude

´ Fig. 4.16 − Energie dissip´ee en fonction de l’amplitude de d´eplacement 128

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

4.3.4

Syst` eme ` aN´ el´ ements ressort-frotteur

Les r´esultats issus de la section pr´ec´edente peuvent ˆetre g´en´eralis´es `a un syst`eme `a N ´el´ements ressort-frotteur. La force F n´ecessaire pour imposer un d´eplacement u est donn´ee par la somme des forces appliqu´ees aux diff´erents ´el´ements : F =

N X

Fi

Fi = ki u,

µFn,1 ≥u k1

Fi = µFn,i ,

µFn,1 < u ≤ U, i = 1, 2, . . . , N k1

i=1

De la mˆeme mani`ere, l’´energie dissip´ee dans tout le syst`eme est d´etermin´ee par la somme des pertes d’´energie relatives `a chaque ´el´ement : ∆E =

N X

∆Ei

i=1

∆E = 0 ∆E =

N X

δi 4(U − Ue,i )Ft,i

U ≤ min(

Ft,i ), i = 1, 2, . . . , N ki

U > min(

Ft,i ), i = 1, 2, . . . , N ki

i=1

(4.6)

Ft,i sinon δi = 1 ki Ft,i = µFn,i , Ue,i = , i = 1, 2, . . . , N ki

δi = 0 si U ≤ Ft,i

L’utilisation de ce mod`ele n´ecessite de d´efinir le champ des forces normales {Fn,1 , Fn,1 , . . . , Fn,N }, le champ des raideurs {k1 , k2 , . . . , kN } et le coefficient de frottement µ consid´er´e comme un param`etre global de l’interface. Le champ des forces normales caract´erise la distribution de la pression `a l’interface alors que le champ des raideurs repr´esente la capacit´e de d´eformation ´elastique des asp´erit´es. Si les propri´et´es m´ecaniques de l’interface sont homog`enes, le champ des raideurs peut ˆetre r´eduit `a une seule valeur de raideur consid´er´ee dans ce cas comme un param`etre global.

∆E adh´erence

glissement partiel

glissement complet

U -amplitude

´ Fig. 4.17 − Energie dissip´ee en fonction de l’amplitude du d´eplacement 129

4.3 Mod`ele ph´enom´enologique de Iwan

L’´evolution de l’´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude (Fig.4.17) est similaire `a celle du syst`eme `a trois ´el´ements, `a savoir qu’il y trois zones particuli`eres : adh´erence, glissement partiel, glissement complet.

4.3.5

Syst` eme continu - mod` ele de Iwan

Dans les sections pr´ec´edentes, nous avons d´ecrit des mod`eles discrets de comportement dissipatif de liaisons. Nous avons vu qu’un param`etre important de ces mod`eles est le champ des forces normales repr´esentant la pression `a l’interface. Cependant dans une optique de m´ecanique des milieux continus, il serait pr´ef´erable de proposer un mod`ele de liaison continu. Ce passage du domaine discret au domaine continu peut ˆetre sch´ematis´e par le tableau 4.1 d´efinissant la correspondance entre les param`etres du syst`eme discret et les fonctions de distribution du syst`eme continu. domaine discret

domaine continu

ensemble de valeurs

fonction de distribution

{Fn,1 , Fn,2 , . . . , Fn,∞ }

ρn (fn∗ ) R∞

P∞

i=1 Fn,i

0

fn∗ ρn (fn∗ )dfn∗

Tab. 4.1 − Correspondance entre les param`etres suivant le domaine d’application Nous pr´esentons (Fig.4.18) le mod`ele de Iwan du comportement hyst´er´etique de la liaison bas´e sur la distribution des ´el´ements ressort-frotteur.







































































































































































∗ fn,1

k

∗ ft,1 ∗ fn,2

k

∗ ft,2 ∗ fn,3

k

µ

µ

F (t), u(t)

µ ∗ ft,3

.. . ke

Fig. 4.18 − Mod`ele de Iwan du comportement hyst´er´etique de la liaison 130

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

Dans ce mod`ele les valeurs µ et k sont consid´er´ees comme ´etant des param`etres globaux de l’interface, ce qui implique qu’ils sont identiques pour tous les ´el´ements. Une raideur ke est introduite afin de mod´eliser l’´elasticit´e de l’´el´ement interm´ediaire de la liaison (par ex. boulon). La pression `a l’interface est d´efinie par la fonction de distribution ρn (fn∗ ) norm´ee, de telle sorte que : Z ∞ (4.7) ρn (fn∗ )dfn∗ = 1 0

La force tangentielle limite qui provoque le glissement complet est d´efinie par : Z ∞ c Ft = µfn∗ ρn (fn∗ )dfn∗ (4.8) 0

La force associ´ee au d´eplacement initial s’exprime par : Z

ku/µ

µfn∗ ρn (fn∗ )dfn∗

F (u) = 0

Z

∞

+ ku

ρn (fn∗ )dfn∗ + ke u

(4.9)

ku/µ

En introduisant la force de frottement par une simple substitution, l’´equation pr´ec´edente devient : Z ku Z ∞ ∗ ∗ ∗ ft ρt (ft )dft + ku F (u) = ρt (ft∗ )dft∗ + ke u (4.10) 0

ku

o` u ρt (ft∗ ) = ρn (ft∗ /µ) repr´esente la fonction de distribution de la force de frottement. Le premier terme de l’´equation 4.10 repr´esente la contribution des ´el´ements en ´etat de glissement alors que le deuxi`eme terme repr´esente la contribution des ´el´ements en ´etat d’adh´erence. Nous voyons que le mod`ele continu g´en`ere des solutions uniques qui ne sont pas conditionn´ees par des in´egalit´es, ce qui pr´esente un avantage par rapport au syst`eme discret. Iwan a montr´e que la fonction de distribution peut ˆetre calcul´ee `a partir de la courbe force-d´eplacement du chargement initial en appliquant l’´equation suivante : ρt (ft∗ ) =

1 ∂2F k 2 ∂u2

(4.11)

Le calcul de l’´energie dissip´ee de ce syst`eme pendant un cycle de mouvement harmonique d’amplitude U conduit `a : Z kU ∆E(U ) = 4 ft∗ (U − ft∗ /k)ρt (ft∗ )dft∗ (4.12) 0

Puisque le mod`ele continu n’est qu’une extension du mod`ele discret, les courbes force-d´eplacement (Fig.4.19(a)) et ´energie dissip´ee-d´eplacement (Fig.4.19(b)) sont des fonctions `a d´eriv´ees continues, qui ont les mˆemes caract´eristiques que celles relatives au syst`eme discret.

131

4.3 Mod`ele ph´enom´enologique de Iwan

F ∆E

adh´erence

f (u) glissement partiel

fr (u)

glissement complet

u fd (u)

U -amplitude (a)

(b)

Fig. 4.19 − Force et ´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude selon le mod`ele de Iwan Le mod`ele de Iwan conserve les deux propri´et´es principales du syst`eme discret, `a savoir la pr´esence des trois ´etats de mouvement `a l’interface (adh´erence, glissement partiel et complet) et une progression lin´eaire de l’´energie dissip´ee lorsque l’´etat de glissement complet est atteint.

4.3.6

´ Energie dissip´ ee et amortissement ´ equivalent

Afin de cr´eer un lien entre l’identification exp´erimentale et la mod´elisation du comportement dynamique des liaisons, il est n´ecessaire d’associer la notion de coefficient d’amortissement ´equivalent relatif au mod`ele ph´enom´enologique de la liaison. Nous proposons alors de repr´esenter la dissipation d’´energie dans la liaison par un coefficient d’amortissement ´equivalent. Il s’agit d’une approche souvent utilis´ee pour caract´eriser les propri´et´es dissipatives des liaisons [Csa98, Nis80, Mas73, San96]. Supposons un syst`eme `a un ddl `a amortissement visqueux (Fig.4.20) excit´e par un d´eplacement harmonique d’amplitude U et de fr´equence ω.

Ω=









































































p k k/m

c √ ζ = c/(2 km) m

u(t) = U sin(ωt)

Fig. 4.20 − Syst`eme `a un ddl `a amortissement visqueux L’´energie du syst`eme dissip´ee pendant un cycle est d´efinie par les deux relations suivantes, la deuxi`eme ´etant exprim´ee en fonction de l’´energie potentielle du syst`eme 132

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

Ep : ω ω ∆E(U ) = 2πζ kU 2 = 4πζ Ep (U ) ω - pulsation de l’excitation Ω Ω U - amplitude des vibrations Ω - pulsation propre ζ - coefficient d’amortissement Ep - ´energie potentielle

(4.13)

Le coefficient d’amortissement ´equivalent est donn´e par le rapport entre l’´energie dissip´ee dans le syst`eme et l’´energie potentielle : 1 Ω ∆E(U ) 4π ω Ep (U ) 1 ∆E(U ) ζe (U ) = , si ω = Ω 4π Ep (U )

ζe (U ) =

(4.14) (4.15)

Nous pouvons donc dire que le coefficient d’amortissement ´equivalent ζe (U ) caract´erise l’amortisseur visqueux lin´eaire qui dissipe, pendant un cycle et `a une amplitude et fr´equence donn´ee, autant d’´energie que le syst`eme ´etudi´e. Ceci est sch´ematiquement montr´e figure 4.21. F 



















































































































































































 























































































































































































































































 









 









 









 









 









































































































































U









































































 









































































































































































































































































=













⇒ ζe (U ) =

1 Ω ∆E(U ) 4π ω Ep (U )













 









 













 









 









 









 









 



















































u





 



 







amortissement visqueux ω ω ∆E(U ) = 2πζ Ω kU 2 = 4πζ Ω Ep (U )

 









 







 









 























 

mod`ele de Iwan R kU ∆E(U ) = 4 0 ft∗ (U − ft∗ /k)ρt (ft∗ )dft∗







 











 









 









 









 









 





































































































































 

Fig. 4.21 − Cycles d’hyst´er´esis des diff´erents mod`eles de dissipation d’´energie On obtient ainsi une formulation ´energ´etique du coefficient d’amortissement que l’on peut ´evaluer `a partir des ´energies perdue et totale du syst`eme pendant un cycle.

4.3.7

Hypoth` ese sur l’´ evolution de l’amortissement ´ equivalent d’une structure assembl´ ee

Nous avons introduit dans le paragraphe pr´ec´edent le mod`ele de Iwan du comportement dissipatif de la liaison, ce qui a permis d’estimer l’´evolution de l’´energie dissip´ee par le frottement `a l’interface. En appliquant les r´esultats issus de la section pr´ec´edente, nous pouvons ´etablir une hypoth`ese quant `a l’´evolution de l’amortissement ´equivalent relatif `a la dissipation d’´energie dans la liaison. Cette hypoth`ese est 133

4.4 Mise en ´evidence du comportement dissipatif de la jonction par un calcul ´el´ements finis sch´ematiquement pr´esent´ee figure 4.22. Nous partons du fait que l’´energie potentielle du syst`eme est proportionnelle au carr´e de l’amplitude. Nous pouvons aussi constater que l’amortissement `a amplitude nulle est associ´e aux autres m´ecanismes de dissipation notamment celui intrins`eque au mat´eriau. Lorsque l’effort tangentiel est suffisant pour d´eclencher le glissement `a l’interface, l’´energie dissip´ee par ce ph´enom`ene augmente progressivement avec l’amplitude des vibrations. D’apr`es la bibliographie et les r´esultats de nos exp´erimentations [Pia57, Goo56, Mas73, Ung73, Csa98, Nan99, Seg01, Hel03, Fol05], cette progression de l’´energie dissip´ee est plus importante que celle de l’´energie potentielle. Par cons´equent, l’amortissement ´equivalent augmente avec l’amplitude des vibrations. Lorsque le glissement est complet, la perte d’´energie n’est que lin´eairement progressive et donc l’amortissement ´equivalent doit diminuer. La lin´earisation de l’´evolution de l’´energie dissip´ee est naturellement un processus continu ce qui explique la transition continue que l’on observe entre les parties progressive et d´egressive de la courbe de l’amortissement ´equivalent. ζe (U )

glissement partiel

glissement complet E(U )

glissement partiel

glissement complet ∆E ∝ U

ζe ∝

∆E Ep

∆E ∝ U α>2

Ep ∝ U 2

ζe (0) U -amplitude

U -amplitude

´ Fig. 4.22 − Evolution attendue de l’amortissement ´equivalent bas´ee sur le mod`ele de Iwan

4.4

Mise en ´ evidence du comportement dissipatif de la jonction par un calcul ´ el´ ements finis

Nous allons pr´esenter une analyse ´el´ements finis qui a ´et´e r´ealis´ee afin de confirmer les conclusions donn´ees par le mod`ele ph´enom´enologique de la liaison. Il s’agit notamment de v´erifier l’´evolution de l’´energie dissip´ee par frottement et du coefficient d’amortissement ´equivalent. Un deuxi`eme objectif de cette analyse est la validation des conditions aux limites appliqu´ees `a l’interface afin de mod´eliser le contact. Pour ce faire nous avons choisi un probl`eme de glissement `a l’interface bien particulier dont nous connaissons la solution analytique approch´ee. Il s’agit de deux poutres superpos´ees avec les conditions aux limites encastr´e-libre charg´ee par une force verticale `a l’extr´emit´e libre (Fig.4.23). Les deux poutres sont maintenues en contact par une pression uniforme dans le sens de la longueur. Ce probl`eme a fait l’objet d’un travail de recherche analytico-exp´erimental effectu´e par L.E. Goodman et J.H. Klumpp [Goo56]. La partie analytique bas´ee sur la th´eorie des poutres de Bernoulli a abouti aux ´equations d´eterminant le glissement `a l’interface et l’´energie dissip´ee 134

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

par ce glissement pendant un cycle de chargement harmonique. Connaissant ces ´equations analytiques, les deux chercheurs ont pu ´etudier l’influence de diff´erents param`etres sur l’´energie dissip´ee par le frottement `a l’interface. La conclusion la plus importante de cette ´etude est la mise en ´evidence d’une pression optimale permettant de dissiper le maximum d’´energie par glissement. Les r´esultats analytiques principaux d´emontr´es par Goodman et Klumpp sont r´esum´es dans le tableau 4.2.
























































































































 



y, v



 





 





 



z, w F [N] h







 

O

 



 





 





 





 



h




poutre 1

E, ν

poutre 2

E, ν

L

p [Pa]

µ x, u t

x, y, z - coordonn´ees u, v, w - d´eplacements µ - coefficient de frottement E - Module de Young ν - Coefficient de Poisson

Fig. 4.23 − Structure assembl´ee `a comportement dissipatif par frottement

glissement

∆u

1/E(3F L2 /(th2 ) + 4µpL2 /h)(2x/L − (x/L)2 )

´energie dissip´ee

∆E

(12Fs2 /k)(F/Fs − 1)

chargement relatif au glissement initial

Fs

4/3µpth

maximum d’´energie dissip´ee

∆Eo

(12Fs2 /k)(Fm /Fs − 1)

Tab. 4.2 − R´esultats relatifs aux deux poutres assembl´ees pr´esent´es par Goodman et Klumpp Les r´esultats analytiques pr´esent´es par Goodman et Klumpp ont ´et´e d´emontr´es sur la base des hypoth`eses simplificatrices suivantes : • La pression `a l’interface des deux poutres est consid´er´ee comme ´etant uniforme et ´egale `a la pression ext´erieure appliqu´ee. • Lorsque le glissement se produit, la contrainte de cisaillement est ´egalement uniforme et ´egale au produit du coefficient de frottement µ par la pression p. • Lorsque la force de chargement F atteint sa valeur limite Fs , le glissement se produit tout le long de l’interface. En parall`ele des travaux th´eoriques, une exp´erience en r´egime vibratoire `a basses fr´equences a ´et´e effectu´ee dont les r´esultats ont valid´e les solutions analytiques. 135

4.4 Mise en ´evidence du comportement dissipatif de la jonction par un calcul ´el´ements finis

4.4.1

Mod` ele ´ el´ ements finis

La g´eom´etrie des poutres a ´et´e simplifi´ee en consid´erant un mod`ele surfacique comprenant deux surfaces co¨ıncidentes plac´ees `a l’interface. La discr´etisation a ´et´e r´ealis´ee par des ´el´ements coques (Fig.4.24) afin de valider les calculs de contact que nous avons faits ult´erieurement avec ce type d’´el´ements. Les dimensions ainsi que les param`etres de mat´eriau choisis sont donn´es tableau 4.3. L

300 mm

E

2105 MPa

t

15 mm

ν

0.3

h

5 mm

µ

0.2

Tab. 4.3 − Param`etres du mod`ele ´el´ements finis

Fig. 4.24 − Mod`ele des deux poutres discr´etis´e en ´el´ements coques

4.4.2

Conditions aux limites de contact avec frottement

La m´ethode de p´enalisation [Lem01, Wil95] a ´et´e adopt´ee afin de g´erer le contact entre les poutres. Cette m´ethode revient physiquement `a appliquer un ressort de raideur κ entre les corps en contact si la p´en´etration se produit. Le probl`eme du choix de κ se pose. Plus κ est grand, plus la solution du probl`eme tend vers la solution exacte. Pourtant, lorsque κ prend de tr`es grandes valeurs, le conditionnement de la matrice de rigidit´e se d´egrade et par cons´equent la r´esolution num´erique devient difficile. Nous avons opt´e pour un choix souvent utilis´e, c’est-`a-dire une valeur de κ de l’ordre de grandeur du module d’Young le plus ´elev´e des deux corps en contact. Dans la situation de non-p´en´etration un effort normal tr`es faible est conserv´e afin de garantir la stabilit´e num´erique du calcul. L’action tangentielle de contact est ´evalu´ee `a partir de la loi de Coulomb `a laquelle nous avons apport´e deux modifications. La premi`ere consiste `a adopter une m´ethode de r´esolution quasi statique dans laquelle les termes de vitesse sont remplac´es par des incr´ements de d´eplacement sur un intervalle de temps donn´e. La seconde a pour objectif de corriger la discontinuit´e de la loi de Coulomb au voisinage des d´eplacements relatifs nuls. Pour ce faire nous utilisons une ´evolution lin´eaire de l’effort tangentiel pour les d´eplacements initiaux jusqu’au seuil de glissement. Le probl`eme du choix de la pente se pose `a nouveau. Il peut ˆetre r´esolu de la mˆeme 136

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

fa¸con que dans le cas de l’effort normal, c’est-`a-dire en se rapportant au module d’Young. Enfin notons que la progression lin´eaire de l’effort tangentiel peut ˆetre physiquement justifi´ee par les d´eformations ´elastiques des asp´erit´es `a l’interface. La formulation de la loi de frottement employ´ee est r´esum´ee figure 4.25.

N 1)

Fn21

T

g

Ft21

Ft12

y, v 2)

Fn12




































































x, u




effort normal

N, T - forces ext´erieures Fij - action du solide i sur le solide j gap - g = v2 − v1 ∆u = u2 − u1 x, y - coordonn´ees u, v - d´eplacements

effort tangentiel Ft

Fn µFn n0

arctan(κ)

arctan(kt ) g

∆u −µFn

Fn21 = n0 + κg, g > 0 Fn21 = n0 e(g κ/n0 ) , g ≤ 0 Fn12 = −Fn21

Ft21 = kt |∆u| |∆u|/∆u, |∆|u ≤ µFn21 /kt Ft21 = µFn21 |∆u|/∆u, |∆u| > µFn21 /kt Ft12 = −Ft21

Fig. 4.25 − Loi de Coulomb quasi-statique r´egularis´ee

Ce mod`ele de contact a ´et´e appliqu´e de fa¸con locale sur tous les points d’interface. Par cons´equent le probl`eme de contact a ´et´e transform´e en un probl`eme de conditions aux limites sp´ecifiques se pr´esentant sous forme de chargements surfaciques appliqu´es `a l’interface des poutres. La figure 4.26 montre ces chargements relatifs aux ´el´ements coques. Il s’agit d’une part de l’action normale repr´esent´ee par un effort surfacique fz et d’autre part des actions de frottement ayant deux composantes. La premi`ere composante, repr´esent´ee par deux efforts tangentiels surfaciques fx , fy , exprime le frottement dˆ u au d´eplacement relatif alors que la deuxi`eme composante, repr´esent´ee par deux moments surfaciques mx , my , exprime le frottement dˆ u `a la rotation relative. 137

4.4 Mise en ´evidence du comportement dissipatif de la jonction par un calcul ´el´ements finis

Γ

θz1

w1 θy1 θx1

θz2

w2 θy2 θx2

z

v1 u1

v2 u2

ui , v i , wi - d´eplacements θxi , θyi , θzi - rotations i = 1 - poutre 1 i = 2 - poutre 2

y x

• d´ eplacement relatif  2 h 1 h ∆ud = u2 − u1 ∆ur = θy 2 + θy 2  d´eplacement dˆ u `a la rotation ∆vd = v 2 − v 1 1 h 2 h  ∆vr = θx + θx 2 2 • p´ en´ etration g = w2 − w1 • effort normal ` a l’interface ( n0 + κg si g > 0 fz1 = g κ/n0 n0 e si g ≤ 0

sur Γ

fz2 = −fz1

sur Γ

• effort tangentiel de frottement dˆ u au d´ eplacement relatif ud ( kt |∆ud | |∆ud |/∆ud si |∆ud | ≤ µfz1 /kt fx1 = sur Γ fx2 = −fx1 µfz1 |∆ud |/∆ud si |∆ud | > µfz1 /kt ( kt |∆vd | |∆vd |/∆vd si |∆vd | ≤ µfz1 /kt fy1 = sur Γ fy2 = −fy1 µfz1 |∆vd |/∆vd si |∆vd | > µfz1 /kt • moment de frottement dˆ u au d´ eplacement relatif ur ( −h/2 kt |∆ur | |∆ur |/∆ur si |∆ur | ≤ µfz1 /kt m1y = sur Γ −h/2 µfz1 |∆ur |/∆ur si |∆ur | > µfz1 /kt ( −h/2 kt |∆vr | |∆vr |/∆vr si |∆vr | ≤ µfz1 /kt m1x = sur Γ −h/2 µfz1 |∆vr |/∆vr si |∆vr | > µfz1 /kt

sur Γ sur Γ

m2y = m1y

sur Γ

m2x = m1x

sur Γ

Fig. 4.26 − Conditions aux limites de contact appliqu´ees aux ´el´ements coques 138

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

4.4.3

R´ esolution du mod` ele de contact et calcul de l’´ energie dissip´ ee

Le probl`eme de contact des deux poutres pr´esent´e pr´ec´edemment a ´et´e trait´e en r´egime quasi-statique en utilisant un solveur param´etrique non-lin´eaire. Dans un premier temps, un recalage du mod`ele a ´et´e effectu´e afin d’identifier le param`etre kt pour lequel les r´esultats de l’analyse ´el´ements finis approchent au mieux les r´esultats analytiques. Dans un deuxi`eme temps nous avons appliqu´e le solveur param´etrique au mod`ele recal´e afin d’obtenir les r´esultats en fonction de diff´erents param`etres du probl`eme tel que la force de chargement et la pression `a l’interface. Ces r´esultats nous ont ´egalement permis de calculer l’´energie dissip´ee par frottement `a l’interface en appliquant la relation 4.16. Z |fx (∆ud − fx /kt )| + |fy (∆vd − fy /kt )| + . . .

∆E = Γ

2 2 2 2 . . . + | mx (∆vr − mx /kt )| + | my (∆ur − my /kt )| dS (4.16) h h h h ´ Etant donn´e le type de chargement, le seul terme non nul dans l’´equation pr´ec´edente est celui contenant le moment par rapport `a l’axe y. Nous pr´esenterons les r´esultats obtenus par le calcul ´el´ements finis not´es EF confront´es aux r´esultats analytiques not´es G-K. Les param`etres du mod`ele ´el´ements finis r´esum´es dans le tableau 4.4 ont ´et´e consid´er´es comme constants pour tous les calculs effectu´es.

κ

1012 N/m3

kt

1.6285 1010 N/m3

µ

0.2

Tab. 4.4 − Param`etres constants du mod`ele ´el´ements finis

Nous avons tout d’abord v´erifi´e les trois hypoth`eses du calcul analytique. La figure 4.27 compare les ´evolutions de la pression normale `a l’interface le long des poutres. Nous constatons que l’hypoth`ese de pression uniforme n’est pas exactement v´erifi´ee par le mod`ele ´el´ements finis puisqu’elle s’annule au point d’encastrement. Cette hypoth`ese semble n´eanmoins acceptable puisque la pression atteint une valeur constante d`es que l’on s’´eloigne de l’encastrement. 139

4.4 Mise en ´evidence du comportement dissipatif de la jonction par un calcul ´el´ements finis

´ Fig. 4.27 − Evolution de la pression `a l’interface La deuxi`eme hypoth`ese du mod`ele analytique concerne l’´evolution de la contrainte de cisaillement qui est suppos´ee uniforme d`es que le seuil de glissement est atteint. La valeur de la contrainte de cisaillement est ´egale au produit du coefficient de frottement par la pression `a l’interface. Le mod`ele ´el´ements finis pr´edit une ´evolution u au fait que le seuil de glissement n’est pas non uniforme (Fig.4.28) ce qui est dˆ atteint sur tous les points de l’interface au mˆeme instant.

(a) F = 400 N

(b) p = 10 MPa

´ Fig. 4.28 − Evolution de la contrainte de cisaillement sur l’interface D’apr`es la troisi`eme hypoth`ese, le glissement se produit tout le long de l’interface d`es que le seuil de glissement est atteint. Ceci est en r´ealit´e la cons´equence de l’uniformit´e de la contrainte de cisaillement issue de la deuxi`eme hypoth`ese. Conform´ement `a la conclusion relative `a la deuxi`eme hypoth`ese, le calcul ´el´ements finis pr´edit une propagation continue de glissement `a l’interface, qui suit l’´evolution de la contrainte de cisaillement. Afin de quantifier l’´evolution de la zone de glissement, nous introduisons le rapport entre les longueurs de l’interface respectivement en glissement et en adh´erence. La figure 4.29(a) montre l’´evolution de ce rapport en fonction de la pression pour diff´erentes valeurs de chargement. La figure 4.29(b) repr´esente l’´evolution de la mˆeme grandeur mais cette fois en fonction du chargement et pour diff´erentes valeurs de pression. Il apparaˆıt clairement que l’augmentation du chargement favorise la propagation de glissement tandis qu’en augmentant la pression `a l’interface la zone de glissement se r´eduit. 140

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

(a)

(b)

´ Fig. 4.29 − Evolution de la zone de glissement

La figure ci-dessous montre l’´evolution spatiale du glissement en fonction du chargement. Nous pouvons `a nouveau observer l’´evolution de la zone de glissement dans le cas du mod`ele ´el´ements finis alors que le mod`ele G-K distingue seulement les ´etats d’adh´esion et de glissement complet. p = 10 MPa

(a) mod`ele G-K

(b) mod`ele ´el´ements finis

´ Fig. 4.30 − Evolution du glissement relatif `a l’interface

La figure 4.31 repr´esente les ´evolutions spatiales de la contrainte de cisaillement en fonction de la pression `a l’interface. Le mod`ele ´el´ements finis montre une distribution non uniforme alors que le mod`ele analytique consid`ere une distribution uniforme et lin´eaire donn´ee par l’´equation fx = µp. Remarquons que la distribution de la contrainte de cisaillement issue du mod`ele ´el´ements finis poss`ede deux zones particuli`eres. La premi`ere correspondant au plan inclin´e est relative `a la zone o` u l’interface est en glissement, la deuxi`eme hors du plan inclin´e correspond `a la zone o` u l’interface est en adh´erence. 141

4.4 Mise en ´evidence du comportement dissipatif de la jonction par un calcul ´el´ements finis F = 400 N

(a) mod`ele G-K

(b) mod`ele ´el´ements finis

´ Fig. 4.31 − Evolution de la contrainte de cisaillement

La figure 4.32 permet d’observer le mˆeme ph´enom`ene sur l’´evolution spatiale de la contrainte de cisaillement en fonction du chargement. La surface horizontale d´etermine la zone de glissement alors que le reste de l’interface est en adh´erence. Naturellement lorsque le chargement augmente, la zone de glissement s’agrandit.

p = 10 MPa

´ Fig. 4.32 − Evolution de la contrainte de cisaillement issue du mod`ele ´el´ements finis

La figure 4.33 compare les glissements calcul´es par les mod`eles analytique et num´erique. Nous constatons que cet ´ecart s’amplifie lorsque la pression `a l’interface augmente. La cause principale de l’´ecart entre les deux mod`eles semble ˆetre li´ee `a la troisi`eme hypoth`ese du mod`ele analytique qui n’est pas v´erifi´ee par le mod`ele num´erique. L’examen de la figure 4.33(b) met en ´evidence une zone d’adh´erence dans le mod`ele num´erique qui ne peut pas ˆetre reproduite par le mod`ele analytique du fait de la troisi`eme hypoth`ese. 142

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

F = 400 N

(a) p = 2 MPa

(b) p = 10 MPa

´ Fig. 4.33 − Ecart entre les mod`eles analytique et num´erique en terme de glissement `a l’interface

Nous montrons figure 4.34 les ´evolutions de l’´energie dissip´ee pendant un cycle de chargement. Les deux mod`eles v´erifient la mˆeme tendance caract´eris´ee par un sommet qui correspond `a une valeur de pression optimale permettant de dissiper le maximum d’´energie par frottement. L’´ecart entre les deux mod`eles peut `a nouveau ˆetre expliqu´e par les hypoth`eses simplificatrices du mod`ele analytique.

´ Fig. 4.34 − Evolution de l’´energie dissip´ee par frottement pendant un cycle de chargement

L’´evolution de l’´energie dissip´ee en fonction du chargement donn´ee figure 4.35(a) met en ´evidence la capacit´e du mod`ele ´el´ements finis `a reproduire la phase de glissement partiel. Par contre, le mod`ele analytique ne permet de repr´esenter que la phase d’adh´erence et de glissement complet. On donne ´egalement figure 4.35(b) les r´esultats du calcul et de l’analyse du mod`ele de Iwan pr´esent´e pr´ec´edemment. Nous constatons une bonne coh´erence entre le mod`ele ´el´ements finis et celui de Iwan quant `a l’´evolution de l’´energie dissip´ee. 143

4.5 Conclusion

∆E

adh´erence glissement partiel

glissement complet

U -amplitude (a) mod`ele constitutif de la liaison

(b) mod`ele ph´enom´enologique de Iwan de la liaison

´ Fig. 4.35 − Evolution de l’´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude de chargement Afin d’approcher l’´evolution de l’amortissement ´equivalent, on donne figure 4.36(a) le rapport entre l’´energie dissip´ee et l’´energie de d´eformation. L’allure de cette courbe est tr`es proche de l’´evolution attendue discut´ee dans la section 4.3.7 que nous rappelons sur la figure 4.36(b).

ζe (U )

glissement partiel

ζe ∼

glissement complet

∆E Ep

ζe (0) U -amplitude (a) mod`ele constitutif de la liaison

(b) ´evolution attendue `a partir de mod`ele de Iwan

´ Fig. 4.36 − Evolution du rapport ´energie dissip´ee/´energie de d´eformation

4.5

Conclusion

Dans la premi`ere partie de ce chapitre nous avons pr´esent´e le mod`ele de Iwan de comportement interfacial permettant de caract´eriser la dissipation d’´energie par frottement `a l’interface d’une liaison. A partir de ce mod`ele nous avons pu ´etablir les tendances g´en´erales de l’´evolution de l’´energie dissip´ee en fonction du d´eplacement. Trois tendances diff´erentes ont ´et´e identifi´ees suivant l’´etat de glissement `a 144

CHAPITRE 4. Description des ph´enom`enes de glissement `a l’interface des liaisons

l’interface. L’adh´esion compl`ete est caract´eris´ee par un comportement non dissipatif. Le glissement partiel est accompagn´e par une dissipation progressive alors que le glissement complet engendre une dissipation proportionnelle `a l’amplitude du d´eplacement. Une d´efinition ´energ´etique de l’amortissement ´equivalent a permis d’´etablir une hypoth`ese sur son ´evolution. Cette ´evolution distingue `a nouveau trois parties caract´eristiques suivant l’´etat de glissement. L’amortissement nul correspond `a l’adh´esion compl`ete. Le glissement partiel est caract´eris´e par une augmentation de l’amortissement alors que la diminution de l’amortissement est li´ee au glissement complet. Dans la deuxi`eme partie de ce chapitre nous avons pr´esent´e la mise en oeuvre d’un mod`ele ´el´ements finis permettant d’´evaluer la dissipation d’´energie par frottement. La gestion du contact `a l’interface a ´et´e r´ealis´ee par une m´ethode de p´enalisation appliqu´ee aux ´el´ements coques. Le calcul a ´et´e valid´e sur un cas simple. Les r´esultats ont permis de constater une bonne corr´elation par rapport au calcul analytique. Ce mod`ele num´erique a ´egalement v´erifi´e la tendance des ´evolutions de l’´energie dissip´ee et de l’amortissement ´equivalent obtenues par le mod`ele de Iwan.

145

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

Chapitre 5 Pr´ ediction de l’amortissement modal ´ equivalent par calcul 5.1

Introduction

Ce chapitre a pour objectif de proposer un calcul pr´edictif de l’amortissement modal ´equivalent provenant de la dissipation d’´energie par frottement dans une jonction m´ecanique. La proc´edure de calcul est bas´ee sur les conclusions du chapitre pr´ec´edent. Nous nous appuierons sur la formulation ´energ´etique de l’amortissement ´equivalent. D’apr`es cette formulation, l’amortissement modal ´equivalent est proportionnel au rapport de l’´energie dissip´ee dans le syst`eme pendant un cycle `a l’´energie potentielle maximale. L’amortissement modal ´equivalent du i`eme mode propre peut alors ˆetre exprim´e par : e ζi (ai )

=

1 ∆Ei (ai ) 4π Ep,i (ai )

(5.1)

o` u ai , ∆Ei , Ep,i repr´esentent respectivement l’amplitude modale, l’´energie dissip´ee dans le syst`eme pendant un cycle et l’´energie potentielle maximale du syst`eme. La proc´edure d’´evaluation de l’amortissement modal ´equivalent consiste donc d’une part `a calculer l’´energie dissip´ee pendant un cycle et d’autre part `a calculer l’´energie potentielle du syst`eme. Ces deux quantit´es sont ´evalu´ees en fonction de l’amplitude modale afin d’obtenir l’amortissement ´equivalent en fonction de cette derni`ere. Le calcul de l’´energie dissip´ee est bas´e sur l’hypoth`ese du comportement interfacial ob´eissant `a la loi de Masing. Par cons´equent, l’´energie dissip´ee pendant un cycle peut ˆetre calcul´ee `a partir de la relation effort-d´eplacement du chargement initial.

5.2

Description de la proc´ edure du calcul pr´ edictif

La proc´edure du calcul pr´edictif est bas´ee sur deux analyses par ´el´ements finis effectu´ees successivement. Dans un premier temps une analyse modale du mod`ele 147

5.2 Description de la proc´edure du calcul pr´edictif

lin´eaire de la structure compl`ete est r´ealis´ee afin d’identifier les fr´equences propres et les modes propres. Dans un deuxi`eme temps une analyse non-lin´eaire statique du mod`ele d´etaill´e de la jonction m´ecanique est r´ealis´ee. L’objectif de cette seconde analyse est d’´evaluer pour chaque mode la quantit´e d’´energie dissip´ee `a l’interface par frottement lors des vibrations. Pour ce faire, les d´eplacements appropri´es sont impos´es `a certaines fronti`eres du mod`ele afin d’approcher la d´eform´ee modale issue du calcul lin´eaire pr´ec´edent. Afin de pr´esenter la m´ethodologie de la proc´edure, consid´erons la structure de la figure 5.1 compos´ee de deux sous-structures assembl´ees par une jonction m´ecanique. La proc´edure d’identification de l’amortissement modal ´equivalent du i`eme mode est sch´ematis´ee figure 5.1. Elle consiste `a effectuer les ´etapes suivantes : i. Cr´eation d’un mod`ele ´el´ements finis lin´eaire dit “global” de la structure compl`ete repr´esentant le plus fid`element possible le comportement dynamique r´eel de la structure. Mod´elisation de la jonction m´ecanique en utilisant des ´el´ements lin´eaires tels que liaison rigide, ressort, etc.. ii. Analyse modale du mod`ele lin´eaire. Validation ou recalage de ce dernier afin d’obtenir une bonne corr´elation avec les r´esultats exp´erimentaux. iii. Calcul de l’´energie potentielle maximale du syst`eme en fonction de l’amplitude modale du i`eme mode. iv. Cr´eation d’un mod`ele ´el´ements finis non-lin´eaire dit “local” repr´esentant la g´eom´etrie de la jonction m´ecanique. Application des conditions aux limites de contact aux interfaces des sous-structures. D´efinition des conditions aux limites du mod`ele sous forme de d´eplacements modaux impos´es `a certaines fronti`eres de fa¸con `a approcher au mieux la d´eform´ee modale du mod`ele “global”. Application du chargement appropri´e afin de simuler le serrage provoqu´e par l’assemblage. v. Analyse statique non-lin´eaire du mod`ele “local” en fonction de l’amplitude des d´eplacements impos´es afin d’obtenir les champs de d´eplacement relatif et de force de frottement `a l’interface des sous-structures. Calcul de l’´energie dissip´ee par frottement `a l’interface en fonction de l’amplitude modale. vi. Calcul du coefficient d’amortissement modal ´equivalent en fonction de l’amplitude modale.

148

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

structure r´ eelle

?

i. mod` ele EF complet lin´ eaire

?

iv. mod` ele EF partiel non-lin´ eaire

S o S liaison mod´elis´ee par des ´el´ements lin´eaires (ressorts, liaisons rigides . . .etc.) ?

?

ii. analyse modale modes 1, 2, . . . , N

S o S liaison mod´elis´ee par les conditions aux limites de contact

v. analyse non-lin´ eaire param` etrique

i`eme mode

qi (a1 )viΓ2 qi (a2 )viΓ2 qi (a3 )viΓ2 qi (a4 )viΓ2

viΓ1 , viΓ2 7    Ωi , vi

o S S o qi (a1 )viΓ1 S S S S qi (a2 )viΓ1 Γ1 Γ2 Γ1 , vi Γ2 , vi qi (a3 )vΓ1 i

qi (a4 )viΓ1

Ωi - pulsation propre qi (a) - coordonn´ee modale relative vi - d´eform´ee modale `a l’amplitude a des vibrations .. Γ1 vi - d´eform´ee modale sur la fronti`ere Γ1 . ? viΓ2 - d´eform´ee modale sur la fronti`ere Γ2 N v. ´energie dissip´ee ∆Ei (a) ? ? ? M - matrice de masse iii. ´ e nergie potentielle du syst` e me vi. coefficient d’amortissement 1 K - matrice de raideur Ep,i (a) = 12 qi (a)2 viT K vi e ζi (a) = 4π ∆Ei (a)/Ep,i (a)

Fig. 5.1 − Sch´ema de la proc´edure de calcul de l’amortissement modal ´equivalent

149

5.2 Description de la proc´edure du calcul pr´edictif

Les diff´erents ´etapes de la proc´edure d’identification sont d´efinies de fa¸con g´en´erale. Leur r´ealisation d´epend donc fortement du cas trait´e ainsi que de l’approche de mod´elisation adopt´ee par l’utilisateur. Cependant, quelle que soit l’approche de mod´elisation adopt´ee et le cas trait´e, les difficult´es g´en´erales li´ees `a la mise en oeuvre de la proc´edure sont les suivantes : • Mod´elisation de la jonction m´ecanique dans le mod`ele lin´eaire de l’ensemble de la structure de fa¸con `a ce que les vecteurs propres issus de ce mod`ele approchent au mieux les modes exp´erimentaux. • Choix des fronti`eres du mod`ele “local” o` u imposer les d´eplacements modaux de telle sorte que la d´eformation ainsi provoqu´ee soit suffisamment proche de la d´eform´ee modale. • Mod´elisation du serrage dans la jonction de fa¸con pertinente afin d’approcher au mieux la distribution de pression `a l’interface des sous-structures. • D´efinition des conditions de contact en utilisant une loi de frottement `a la fois simple et pertinente. Nous allons maintenant proposer quelques approches permettant de r´esoudre les probl`emes mentionn´es ci-dessus.

5.2.1

Mod´ elisation lin´ eaire de la jonction

La mod´elisation lin´eaire de la jonction concerne la phase de la proc´edure li´ee au calcul de l’´energie potentielle maximale du syst`eme. Nous supposons ici que la d´eform´ee modale est peu affect´ee par les non-lin´earit´es dues au frottement `a l’interface des sous-structures. Par cons´equent, l’´energie potentielle peut ˆetre approch´ee par celle issue du mod`ele conservatif associ´e. Le probl`eme de mod´elisation lin´eaire de la jonction est li´e au choix des conditions aux limites introduites entre les noeuds co¨ıncidents `a l’interface des sous-structures. Les deux choix les plus simples consistent `a laisser les noeuds en libre mouvement o` u au contraire `a coller les noeuds co¨ıncidents. En utilisant ces approches, nous obtenons un mod`ele respectivement plus souple et plus rigide que la structure r´eelle. Ceci conduit `a une sous-estimation o` u surestimation de l’´energie potentielle maximale du syst`eme. Une approche plus pr´ecise consiste `a introduire des ressorts entre les noeuds co¨ıncidents `a l’interface. L’´ecart entre les modes propres exp´erimentaux et analytiques peut ˆetre r´eduit en modifiant la distribution des raideurs attribu´ees aux ressorts.

5.2.2

Conditions aux limites du mod` ele non-lin´ eaire

Il s’agit ici d’imposer les d´eplacements modaux `a certaines fronti`eres afin de produire une d´eformation de l’ensemble du mod`ele qui approche au mieux la d´eform´ee modale. La difficult´e demeure dans le choix des fronti`eres o` u imposer les d´eplacements. L’une des solutions consiste `a choisir les fronti`eres d´elimitant le mod`ele de la structure compl`ete du mod`ele de la jonction. Une autre solution est d’imposer les d´eplacements modaux `a l’ensemble des noeuds de l’une des sous-structures en laissant l’autre sous-structure libre. 150

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

5.2.3

Mod´ elisation du contact avec frottement

L’analyse de contact par ´el´ements finis pr´esent´ee dans le sous-chapitre 4.4 a montr´e que malgr´e sa simplicit´e, la loi de Coulomb est un mod`ele de frottement pertinent. Afin de prendre en compte la d´ependance du coefficient de frottement relativement `a la vitesse, il peut ˆetre consid´er´e comme ´etant fonction de la fr´equence propre.

5.2.4

Mod´ elisation de la pression ` a l’interface

La pression `a l’interface entre sous-structure conditionne fortement l’´energie dissip´ee par frottement. Elle est g´en´eralement d´ecrite par une fonction spatio-temporelle d´efinissant la variation temporelle de la r´epartition de pression `a l’interface. Mais est-il n´ecessaire de prendre en compte les variations temporelles de la pression dans un contexte vibratoire? Les exp´erimentations effectu´ees sur les poutres boulonn´ees (chapitre 3) ont permis d’´etudier cette question en examinant les signaux fournis par les jauges de contrainte au cours de la vibration. Ces signaux repr´esentent en effet les variations des forces axiales dans les vis. On pr´esente figure 5.2 un exemple de variation des forces axiales lors d’une excitation harmonique. L’examen de ces mesures a montr´e que la variation relative des forces axiales ´etait toujours inf´erieure `a 2%. De ce fait, nous avons suppos´e la pression `a l’interface comme invariante dans le temps. La r´epartition spatiale de la pression `a l’interface peut ˆetre d´efinie par deux approches diff´erentes. La premi`ere consiste `a mettre en œuvre une analyse de contact `a partir d’un mod`ele d´etaill´e de la jonction incluant les m´ecanismes d’assemblage. Il s’agit d’une approche difficilement r´ealisable ´etant donn´e la complexit´e des jonctions, et qui conduit `a une incertitude importante sur les param`etres identifi´es.

(a) variation

(b) variation relative

Fig. 5.2 − Variation temporelle de la force axiale dans l’une des vis des poutres boulonn´ees La seconde consiste `a repr´esenter la r´epartition de pression sous forme d’une fonction spatiale dans la d´efinition des conditions aux limites de contact. Consid´erons par exemple les conditions aux limites de contact utilis´ee dans l’analyse des deux poutres encastr´ees (chapitre 4) et reprenons l’´equation de la force de frottement 151

5.2 Description de la proc´edure du calcul pr´edictif

suivant la direction x : ( kt |∆ud | |∆ud |/∆ud fx = µfz |∆ud |/∆ud

si |∆ud | ≤ µfz /kt si |∆ud | > µfz /kt

La variable fz repr´esente la r´epartition de la pression `a l’interface. Habituellement, cette r´epartition est conditionn´ee par le chargement ext´erieur et elle est donc l’une des variables inconnues. Elle pourrait `a priori ˆetre d´etermin´ee `a partir des donn´ees exp´erimentales ou d’une analyse simplifi´ee du m´ecanisme de serrage. Nous avons plutˆot choisi de proposer une fonction fz dont les propri´et´es sont bien appropri´ees pour repr´esenter la r´epartition de la pression `a l’interface d’une liaison boulonn´ee, rivet´ee ou soud´ee par points. Cette fonction consid`ere la r´epartition axisym´etrique par rapport `a l’axe de l’´el´ement d’assemblage (la vis, le rivet, le point de soudure). La section m´eridienne de la pression est d´efinie par la fonction suivante : a −n r−R R −r

fz (r) = fa e

p

∀ϕ ∈ h0, 2πi

(5.2)

o` u fa , Ra et Rp sont respectivement la pression relative au rayon de la vis, le rayon de la vis et le rayon de disparition de la pression. On donne figure 5.3 l’influence du param`etre n sur la forme de la section m´eridienne de la pression. Les valeurs limites de ce param`etre sont 0 et ∞ et elles correspondent respectivement `a une pression uniforme et `a une force lin´eique agissant uniquement sur le rayon de la vis. Notons que cette fonction a ´et´e initialement utilis´ee pour mod´eliser l’´evolution du module d’Young des mat´eriaux en visco´elasticit´e [Qas04].

fz (r)

n→0 n=1

Fv

n→∞ Ra

Rb

r

Fig. 5.3 − Mod´elisation de la pression interfaciale dans une jonction boulonn´ee 152

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

L’utilisation de la fonction fz n´ecessite de d´eterminer ses quatre param`etres n, Ra , Rp , fa . Ceci demande une connaissance pr´ecise de l’´etat de contrainte dans la jonction ce qui est en pratique difficile `a identifier. Seule l’identification du param`etre fa est relativement simple `a condition de connaˆıtre la force axiale Fv pr´esente dans la vis. Dans ce cas nous pouvons supposer que cette force est ´egale `a l’int´egrale de la pression fz sur la surface de son application. Cela se traduit par : Z Rb Z 2π Z Rb −n r−Ra fa e Rp −r r dϕdr fz (r) r dϕdr = 2π (5.3) Fv = 0

Ra

Ra

` partir de la relation 5.3, nous pouvons ´etablir l’´equation 5.4 permettant de calculer A le param`etre fa `a l’aide de la force axiale dans la vis. Fv

fa = 2π

R Rb Ra

a −n r−R R −r

fa e

p

(5.4) r dϕdr

Finalement, la r´epartition de la pression peut ˆetre reformul´ee par l’´equation 5.5 qui ne contient que deux param`etres `a d´eterminer, n et Rp . Fv

fz (r) = 2π

5.3

R Rb Ra

a −n r−R Rp −r

fa e

a −n r−R R −r

e

p

(5.5)

r dϕdr

Application de la proc´ edure de pr´ ediction de l’amortissement ´ equivalent par calcul

Nous allons maintenant pr´esenter l’application de la proc´edure de calcul de l’amortissement ´equivalent aux structures trait´ees dans la partie exp´erimentale de ce travail. Le mod`ele “local” non-lin´eaire est construit en utilisant des ´el´ements coques afin de r´eduire la taille du mod`ele. Les conditions de contact sont identiques `a celles appliqu´ees dans l’analyse des deux poutres superpos´ees pr´esent´ee dans le sous-chapitre 4.4 (voir page 136). La pression autour des vis est mod´elis´ee par la fonction pr´esent´ee pr´ec´edemment. Le mod`ele “local” ainsi d´efini contient quatre param`etres inconnus : le coefficient de frottement µ, la raideur Kt de la loi de Coulomb r´egularis´ee, le param`etre n de la fonction de pression `a l’interface et le rayon Rp de disparition de cette pression. Dans un premier temps nous avons ´etudi´e la sensibilit´e du calcul aux variations de ces param`etres afin d’analyser leur influence sur l’´evolution de l’amortissement ´equivalent. Dans un deuxi`eme temps, ces param`etres ont ´et´e recal´es sur les r´esultats exp´erimentaux afin de montrer les capacit´es pr´edictives de la proc´edure.

5.3.1

Poutres boulonn´ ees

Nous pr´esentons ici la mise en œuvre de la proc´edure au premier mode des deux poutres boulonn´ees trait´ees dans le chapitre 3. Seul l’assemblage direct, c’est-`a-dire sans rondelles intercal´ees, a ´et´e ´etudi´e. 153

5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul

D´ efinition des mod` eles ´ el´ ements finis Le mod`ele “global” de la structure est identique `a celui utilis´e dans le calcul pr´eliminaire des ´etudes exp´erimentales. Dans ce mod`ele, la liaison est mod´elis´ee comme parfaite. Le mod`ele “local” non-lin´eaire est constitu´e d’´el´ements coques. Les deux poutres sont mod´elis´ees par deux surfaces identiques superpos´ees situ´ees au niveau de l’interface. Le mouvement relatif des deux poutres est conditionn´e d’une part par les conditions aux limites de contact et d’autre part par les liaisons rigides impos´ees ´ au niveau des sections droites des vis. Etant donn´e les diff´erents approches utilis´ees pour mod´eliser les mod`eles “global” (´el´ements solides) et “local” (´el´ements coques), il est n´ecessaire de construire un deuxi`eme mod`ele “global” plus appropri´e pour obtenir les d´eplacements modaux imposables sous forme de conditions aux limites au mod`ele “local”. Ce nouveau mod`ele “global” est construit en reprenant la forme du mod`ele “local” et en consid´erant une seule surface d’´epaisseur celle des deux poutres assembl´ees. L’analyse modale de ce mod`ele a fourni la d´eform´ee du premier mode propre qui a ´et´e impos´ee `a la premi`ere poutre du mod`ele “local”. On donne figure 5.4 l’ensemble des conditions aux limites appliqu´ees au mod`ele “local”.

Mod`ele “global” lin´eaire

premier mode propre - v1

Mod`ele “local” non-lin´eaire

poutre 1

Conditions aux limites poutre 2

d´eplacements modaux impos´es liaisons rigides contact

Fig. 5.4 − Conditions aux limites appliqu´ees au mod`ele “local” La pression `a l’interface autour des trois vis est mod´elis´ee par la fonction pr´esent´ee 154

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

dans le sous-chapitre 5.2.4. Nous avons donc suppos´e que le frottement se r´ealise uniquement dans des zones circulaires autour des vis. La taille de cette zone est impos´ee par la valeur du rayon Rb de la fonction de pression. La discr´etisation du mod`ele a ´et´e faite de fa¸con `a ce que le maillage autour des vis soit suffisamment raffin´e puisque c’est dans ces zones que nous pouvons nous attendre `a des variations importantes des forces de frottement.

Fig. 5.5 − Discr´etisation par ´el´ements finis du mod`ele “local” des deux poutres

La r´esolution du mod`ele “local” a ´et´e r´ealis´ee de fa¸con param´etrique, c’est-`adire que nous avons cherch´e la solution en augmentant successivement d’un pas l’amplitude modale. Ceci nous a permis d’obtenir toutes les inconnues du probl`eme en fonction de l’amplitude modale des d´eplacements impos´es. La figure 5.6(a) illustre le caract`ere global de la dissipation d’´energie par frottement `a l’interface des deux poutres. Nous pouvons constater que la quantit´e d’´energie dissip´ee au niveau des vis situ´ees aux extr´emit´es est plus importante que celle dissip´ee au niveau de vis du milieu. Cette conclusion est en accord avec l’usure constat´ee au niveau des vis sur la structure r´eelle (Fig.5.6(b)). 155

5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul

(a) ´energie dissip´ee par frottement `a partir du mod`ele “local” pour une amplitude et un jeu de param`etres

(b) ´etat de surface de l’une des deux poutres apr`es les exp´erimentations

Fig. 5.6 − Confrontation de l’´energie dissip´ee par frottement issue du calcul avec l’usure constat´ee sur la structure r´eelle

Comme nous l’avons mentionn´e, le mod`ele ´el´ements finis “local” a ´et´e d´efini `a l’aide de quelques param`etres ayant une influence cruciale sur le frottement g´en´er´e `a l’interface. Il s’agit de la raideur kt , du coefficient de frottement µ, du param`etre n et du rayon Rb . Une campagne de calculs a ´et´e r´ealis´ee en faisant varier ces param`etres afin d’´evaluer leur influence sur l’amortissement modal ´equivalent. Notons que le terme amplitude sera r´eserv´e par la suite pour d´esigner l’amplitude du premier mode propre au niveau d’acc´el´erom`etre N◦ 1 (voir page 100). 156

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

Raideur de la loi de Coulomb r´ egularis´ ee La raideur kt d´etermine la pente de la partie lin´eaire de la loi de Coulomb r´egularis´ee qui constitue les conditions aux limites de contact. Du point de vue de la physique, elle repr´esente la raideur des asp´erit´es `a l’interface dans la direction tangentielle. La figure 5.7 montre qu’en augmentant cette raideur, la dissipation d’´energie par frottement augmente elle aussi et l’amplitude de d´eclenchement de glissement baisse. Ces deux effets sont des cons´equences logiques de son sens physique puisqu’`a une valeur plus ´elev´ee de la raideur correspond une amplitude plus basse n´ecessaire pour atteindre le seuil de frottement. Par cons´equent, l’augmentation de la raideur favorise le glissement ce qui conduit `a une dissipation d’´energie plus importante. La raideur influence ´egalement la valeur et la position du maximum de l’amortissement ainsi que la forme de son ´evolution en fonction de l’amplitude. Les courbes donn´ees figure 5.7 permettent de constater que la diminution de la raideur fait baisser le maximum de l’amortissement et le d´eplace vers les amplitudes plus ´elev´ees.

(a) amortissement

(b) ´energie dissip´ee

Fig. 5.7 − Sensibilit´e du mod`ele “local” `a la raideur kt

Coefficient de frottement On donne figure 5.8 les ´evolutions de l’amortissement pour diff´erentes valeurs du coefficient de frottement. Il apparaˆıt clairement que celui-ci agit sur la forme de l’´evolution de l’amortissement et la position de son maximum. Ce dernier se d´ecale vers les amplitudes plus ´elev´ees lorsque le coefficient de frottement augmente. En revanche, la valeur maximale de l’amortissement n’est pas affect´ee par la variation du coefficient de frottement. 157

5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul

(a) amortissement

(b) ´energie dissip´ee

Fig. 5.8 − Influence du coefficient de frottement sur le comportement dissipatif du mod`ele R´ epartition de la pression ` a l’interface La forme de la r´epartition de pression `a l’interface autour des vis est d´etermin´ee par le param`etre n. Trois valeurs diff´erentes de ce param`etre ont ´et´e utilis´ees afin d’´evaluer son influence sur la dissipation d’´energie. On pr´esente figure 5.9 les sections ` noter m´eridiennes de la distribution de pression relatives `a ces trois param`etres. A que la force r´esultante de la pression a ´et´e maintenue constante pour les trois valeurs de n.

Fig. 5.9 − Sections m´eridiennes de la pression autour des vis pour trois valeurs diff´erentes du param`etre n Les r´esultats des calculs relatifs `a ces trois param`etres n donn´es figure 5.10 montrent une influence importante de la r´epartition de pression sur la valeur maximale de l’amortissement ainsi que sur son ´evolution en fonction de l’amplitude. Par contre la position du maximum de l’amortissement n’est que faiblement affect´ee par la variation de n. Il apparaˆıt clairement que plus la pression devient uniforme plus le maximum d’amortissement est `a la fois prononc´e et ´elev´e. Ceci est dˆ u au fait que l’uniformit´e de la pression a pour cons´equence la diminution de la phase de glissement partiel. 158

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

(a) amortissement

(b) ´energie dissip´ee

Fig. 5.10 − Influence de la r´epartition de pression `a l’interface sur le comportement dissipatif du mod`ele Taille de la zone de pression ` a l’interface La taille de la zone de pression `a l’interface est d´etermin´ee par la valeur du rayon Rb . Le rˆole de ce dernier dans le comportement dissipatif du syst`eme a ´et´e ´evalu´e de la mˆeme mani`ere que celui du param`etre n. Nous avons donc fait varier la valeur du rayon Rb en maintenant la force r´esultante de la pression constante. La figure 5.11 montre que la taille de la zone de pression affecte le niveau d’amortissement ainsi que la forme de son ´evolution en fonction de l’amplitude. Nous constatons d’une part une baisse du niveau d’amortissement lorsque la zone de pression diminue. D’autre part le maximum de l’amortissement devient plus prononc´e en augmentant la zone de pression.

(a) amortissement

(b) ´energie dissip´ee

Fig. 5.11 − Influence de la taille de zone de pression `a l’interface sur le comportement dissipatif du mod`ele L’observation du fait que la diminution de la zone de pression conduit `a une baisse 159

5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul

de niveau de l’amortissement a ´et´e v´erifi´ee exp´erimentalement par les ´etudes effectu´ees sur les assemblages des poutres avec rondelles intercal´ees. Nous montrons figure 5.12 l’amortissement modal ´equivalent obtenu pour les trois tailles de rondelles : “r1” - petite, “r2” - moyenne, “r2” - grosse.

Fig. 5.12 − Amortissement modal ´equivalent pour les trois tailles de rondelles obtenues dans les mˆemes conditions de serrage

Force axiale dans les vis Afin d’´etudier l’influence de la force axiale dans les vis sur l’amortissement ´equivalent, les calculs pour diff´erentes valeurs de cette force ont ´et´e r´ealis´es en conservant une mˆeme r´epartition de pression `a l’interface. Les r´esultats donn´es figure 5.13 montre une influence importante de la force axiale sur la position du maximum de l’amortissement et sur la forme de son ´evolution. L’augmentation de la force axiale conduit au d´ecalage du maximum vers les amplitudes plus importantes et `a l’agrandissement de la zone de glissement partiel.

(a) amortissement

(b) ´energie dissip´ee

Fig. 5.13 − Influence de la force axiale dans la vis sur le comportement dissipatif du mod`ele 160

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

Comparaison des r´ esultats num´ eriques et exp´ erimentaux Afin de pouvoir comparer les r´esultats exp´erimentaux et num´eriques, il est n´ecessaire de recaler les param`etres du mod`ele “local”. Pour ce faire, il a fallu mettre en place une proc´edure d’optimisation. Il s’est av´er´e que ce probl`eme d’optimisation est tr`es difficile `a traiter. Les difficult´es demeurent principalement dans le fait que certains param`etres ont une influence similaire sur l’´evolution de l’amortissement ´equivalent. Il s’agit de la raideur kt et du coefficient de frottement dont l’influence est semblable `a celle respectivement du rayon Rb et de la force axiale dans la vis. Par cons´equent, la r´esolution du probl`eme d’optimisation peut aboutir `a plusieurs minima locaux de la fonction coˆ ut. Ce probl`eme d’optimisation du mod`ele “local” n’a ´et´e que partiellement r´esolu dans ce travail en utilisant l’algorithme de LevenbergMarquart [Lev44, Mar63]. Il ´evident que l’utilisation de cette m´ethode d’optimisation d´eterministe ne permet de trouver qu’un minimum local qui d´epend du choix du jeu de param`etres initial. Une analyse plus d´etaill´ee de ce probl`eme devrait ˆetre envisag´ee en appliquant des m´ethodes stochastiques afin de trouver le jeu de param`etres correspondant au minimum global. Nous pr´esentons tableau 5.1 les param`etres recal´es sur la courbe exp´erimentale de l’amortissement ´equivalent correspondant `a la force axiale de 5000N . La figure 5.14 montre une bonne corr´elation entre l’amortissement mesur´e et calcul´e. param`etre

valeur

param`etre

valeur

kt

1.5174 1010 N/m3

µ

0.037

lin ζ1

0.23 %

n

0.35

Rb

25 mm

Tab. 5.1 − Jeu de param`etres du mod`ele “local” issu de recalage

(a) F = 5000N

(b) F = 5000N - d´etail

Fig. 5.14 − Comparaison de l’amortissement mesur´e et calcul´e Certains param`etres du mod`ele “local” devraient naturellement ˆetre fonction de la force de serrage. Il s’agit du param`etre n et du rayon Rb qui d´efinissent la r´epartition 161

5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul

de la pression `a l’interface. Ces deux param`etres ont donc ´et´e recal´es sur les r´esultats exp´erimentaux relatifs aux diff´erents niveaux de serrage. Ceci a permis d’identifier l’´evolution de la r´epartition de pression autour des vis en fonction de la force de serrage. Nous montrons tableau 5.2 les param`etres n, Rb recal´es pour diff´erentes valeurs de la force de serrage. On donne ´egalement figure 5.15 les ´evolutions de ces param`etres en fonction de la force de serrage. Ces ´evolutions permettent de constater d’une part une progression lin´eaire du param`etre n en fonction du niveau de serrage. D’autre part, l’´evolution du rayon Rb s’av`ere ˆetre d´egressive avec une tendance rapide `a se stabiliser `a une valeur constante. Il apparaˆıt clairement que pour des valeurs de serrage faibles le rayon Rb augmente rapidement ce qui signifie que la perte d’´energie par frottement s’effectue sur une zone d’interface plus importante. En revanche, le serrage plus important conduit `a une localisation de cette perte d’´energie dans les zones situ´ees autour des vis. Ceci peut ˆetre expliqu´e par une tendance au d´ecollement des poutres par flexion dans les zones entre les vis. Ce d´ecollement est d’autant plus prononc´e que la force de serrage est importante. force de serrage [N]

param`etre n

rayon Rb [mm]

force de serrage [N]

param`etre n

rayon Rb [mm]

1500

0.27

29.0

5000

0.35

25.0

2500

0.29

25.5

7000

0.45

25.0

3500

0.35

25.5

10000

0.5

25.0

Tab. 5.2 − Param`etres de la r´epartition de pression recal´es sur les r´esultats exp´erimentaux

(a) param`etre n

(b) rayon Rb

´ Fig. 5.15 − Evolutions des param`etres de la r´epartition de pression en fonction de la force de serrage On donne figure 5.16 les sections m´eridiennes de la pression autour des vis d´efinies par les param`etres n, Rb recal´es et par la force de serrage correspondante. Ces 162

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

r´epartition de pression ont ´et´e finalement int´egr´ees dans le mod`ele ´el´ements finis recal´e (Fig.5.17).

Fig. 5.16 − Sections m´eridiennes de la r´epartition de pression autour des vis pour diff´erentes forces de serrage

Fig. 5.17 − Int´egration de la r´epartition de pression dans le mod`ele ´el´ements finis Une fois le mod`ele ´el´ements finis recal´e, l’´evolution de l’amortissement ´equivalent a ´et´e calcul´ee pour diff´erents niveaux de serrage. On donne figure 5.18 les r´esultats de 163

5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul

ces calculs en comparaison avec l’amortissement identifi´e exp´erimentalement. Nous pouvons constater une bonne corr´elation entre les r´esultats num´eriques et exp´erimentaux `a l’exception du niveau de serrage le plus faible. Ceci est probablement dˆ u au fait que dans le cas de faibles valeurs de pression, la zone de frottement n’est plus localis´ee autour des vis ce qui a ´et´e d´emontr´e par l’´evolution du rayon Rb en fonction du niveau de serrage (Fig.5.15(b)). Par cons´equent, la fonction utilis´ee pour mod´eliser la pression interfaciale ne correspond plus `a la r´epartition r´eelle de la pression.

(a)

(b) d´etail

Fig. 5.18 − Comparaison de l’amortissement mesur´e et calcul´e pour diff´erents valeurs de la force axiale Les calculs par ´el´ements finis ont ´egalement fourni l’´evolution de l’´energie dissip´ee 164

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

en fonction de l’amplitude des vibrations. Ces ´evolutions donn´ees figure 5.19 accusent un ´elargissement de l’intervalle de transition entre la dissipation nulle et lin´eaire en augmentant la force de serrage. Ceci revient physiquement `a une tendance `a ´etendre la phase de glissement partiel en augmentant la force de serrage.

(a)

(b) d´etail

´ Fig. 5.19 − Evolutions de l’´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude des vibrations

165

5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul

5.3.2

Plaques boulonn´ ees

Nous allons maintenant pr´esenter l’application de la pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul `a la structure assembl´ee constitu´ee des deux plaques boulonn´ees trait´ee dans la partie exp´erimentale de ce travail (voir page 83).

D´ efinition des mod` eles ´ el´ ements finis Le mod`ele “global” utilis´e est celui du calcul pr´eliminaire des ´etudes exp´erimentales (voir page 85). Il s’agit d’un mod`ele ´el´ements finis lin´eaire 3D dans lequel la jonction a ´et´e consid´er´ee comme parfaite. Ce mod`ele est utilis´e pour calculer l’´evolution de l’´energie potentielle maximale des modes propres ´etudi´es. Le mod`ele “local” non-lin´eaire 2D est constitu´e de deux surfaces identiques partiellement superpos´ees. La g´eom´etrie de ce mod`ele ne repr´esente que la partie situ´ee au niveau de la jonction, discr´etis´ee `a l’aide d’´el´ements coques (Fig.5.20(b)). Les conditions aux limites de contact sont appliqu´ees `a l’interface des deux surfaces. Afin de mod´eliser les jonctions boulonn´ees, nous avons proc´ed´e au recollement des noeuds au niveau des sections droites des vis. En vue d’obtenir les d´eplacements modaux `a imposer au mod`ele “local”, un deuxi`eme mod`ele “global” a ´et´e cr´e´e pour les mˆemes raisons que dans le cas des deux poutres boulonn´ees, `a savoir la non-uniformit´e entre la discr´etisation du mod`ele “local” (´el´ements coques) et “global” initial (´el´ements 3D). Ce troisi`eme mod`ele repr´esente la g´eom´etrie compl`ete de la structure mod´elis´ee par une seule surface dont les dimensions correspondent `a celles de l’ensemble des deux plaques, discr´etis´ee par des ´el´ements coques. La partie centrale du mod`ele repr´esentant la zone de superposition des deux plaques est maill´ee par des ´el´ements d’´epaisseur double (Fig.5.20(a)). L’analyse modale issue de ce mod`ele fournit les d´eform´ees modales qui sont impos´ees une par une `a la premi`ere plaque du mod`ele “local”. La figure 5.21 pr´esente l’ensemble des conditions aux limites appliqu´ees au mod`ele “local”.

(a) mod`ele “global”

(b) mod`ele “local”

Fig. 5.20 − Discr´etisation des mod`eles “local” et “global” par les ´el´ements coques 166

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

Mod`ele “global” lin´eaire

mode propre - vi , i = 1 . . . 5

Mod`ele “local” non-lin´eaire plaque 1

plaque 2

Conditions aux limites d´eplacements modaux impos´es liaisons rigides contact

Fig. 5.21 − Conditions aux limites appliqu´ees au mod`ele “local” 167

5.3 Application de la proc´edure de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul

La pression `a l’interface consid´er´ee comme localis´ee autour des vis, est `a nouveau mod´elis´ee par la fonction pr´esent´ee dans le sous-chapitre 5.2.4. Le mod`ele “local” ainsi d´efini contient `a nouveau quatre param`etres inconnus : le coefficient de frottement µ, la raideur Kt de la loi de Coulomb r´egularis´ee, le param`etre n de la fonction de pression `a l’interface et le rayon Rp de disparition de cette pression. Comparaison des r´ esultats num´ eriques et exp´ erimentaux L’´etape pr´eliminaire des calculs num´eriques consiste `a recaler les param`etres du mod`ele “local” sur la courbe exp´erimentale de l’amortissement ´equivalent du premier mode propre. Cette ´etape s’est av´er´ee tr`es d´elicate pour les mˆemes raisons que dans le cas des deux poutres, `a savoir une influence similaire de diff´erents param`etres sur l’´evolution de l’amortissement ´equivalent. De ce fait, l’optimisation d´eterministe peut aboutir `a un minimum local d´ependant du choix initial de jeu de param`etres. Le recalage effectu´e en utilisant l’algorithme de Levenberg-Marquart a conduit aux param`etres r´esum´es dans le tableau 5.3. On donne ´egalement figure 5.22 l’amortissement ´equivalent issu du mod`ele recal´e confront´e `a la courbe exp´erimentale. Nous constatons que ce mod`ele num´erique s’av`ere pertinent pour le premier mode propre. param`etre

valeur

param`etre

valeur

kt

4.5 1011 N/m3

µ

0.0041

lin ζ1

0.15 %

n

0.2

Rb

8 mm

Tab. 5.3 − Jeu de param`etres du mod`ele “local” issu de recalage

Fig. 5.22 − Comparaison de l’amortissement mesur´e et calcul´e pour le premier mode propre Malgr´e la bonne corr´elation calcul/essai de l’amortissement ´equivalent du premier mode, celle-ci s’est av´er´ee tr`es insatisfaisante quant aux autres modes propres comme illustr´e figure 5.23. 168

CHAPITRE 5. Pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul

(a) mode 2

(c) mode 4

(b) mode 3

(d) mode 5

Fig. 5.23 − Comparaison de l’amortissement mesur´e et calcul´e pour les modes propres 2,3,4 et 5

Nous supposons que cette incoh´erence entre les r´esultats num´eriques et exp´erimentaux est li´ee d’une part au recalage incorrect des param`etres du mod`ele “local” et d’autre part aux simplifications pr´esentes dans les mod`eles ´el´ements finis. Pour tenter de r´esoudre le probl`eme de recalage des param`etres du mod`ele “local”, l’utilisation d’une m´ethode d’optimisation stochastique devrait ˆetre envisag´ee. Quant `a la mod´elisation par ´el´ements finis, la simplification ´etant en cause est probablement celle qui concerne la pression `a l’interface localis´ee autour des vis. Il est possible que la pr´esence d’une faible pression dans la partie centrale de l’interface puisse induire une dissipation par frottement consid´erable ´etant donn´ee la taille importante de cette surface. Un mod`ele plus d´etaill´e de la jonction incluant le m´ecanisme de serrage devrait donc ˆetre mis en œuvre afin d’identifier la r´epartition r´eelle de la pression `a l’interface. 169

5.4 Conclusion

5.4

Conclusion

Une pr´ediction de l’amortissement modal ´equivalent par calcul a ´et´e propos´ee dans ce chapitre. Elle est bas´ee sur deux analyses par ´el´ements finis effectu´ees successivement. La premi`ere reposant sur un mod`ele lin´eaire de la structure compl`ete a pour objectif de calculer l’´energie potentielle maximale du syst`eme et de donner une estimation des d´eform´ees modales. La seconde sert `a ´evaluer pour chaque mode la quantit´e d’energie dissip´ee `a l’interface par frottement lors des vibrations. Cette seconde analyse repose sur une mod´elisation non-lin´eaire de la jonction incluant un mod`ele de contact, les d´eplacements modaux ´etant impos´es `a certaines fronti`eres afin d’approcher la d´eform´ee modale issue de l’analyse pr´ec´edente. Une nouvelle approche de mod´elisation non-lin´eaire du frottement `a l’interface a ´et´e pr´esent´ee. Celle-ci est bas´ee sur la gestion du contact par la m´ethode de p´enalisation pr´esent´ee dans le sous-chapitre 4.4 et sur la d´efinition explicite de la pression `a l’interface par une fonction analytique appropri´ee `a une liaison boulonn´ee, rivet´ee ou soud´ee par points. Le mod`ele non-lin´eaire ainsi constitu´e contient quelques param`etres `a priori inconnus qui sont identifi´es par recalage du mod`ele sur les r´esultats exp´erimentaux. La proc´edure de calcul pr´edictif de l’amortissement modal ´equivalent a ´et´e appliqu´ee aux structures trait´ees dans la partie exp´erimentale de ce travail. Les r´esultats ont d´emontr´e la capacit´e de cette proc´edure `a pr´edire l’amortissement du premier mode propre. De plus, la d´efinition de la pression `a l’interface d’une liaison boulonn´ee par la fonction propos´ee a permis d’identifier l’´evolution de la forme de cette pression en fonction de la force axiale pr´esente dans la vis. Quant aux modes propres plus ´elev´es, la capacit´e pr´edictive n’a pas pu ˆetre d´emontr´ee. Deux volets de la d´emarche ´elabor´ee sont principalement mis en doute. Le premier est li´e au recalage du mod`ele non-lin´eaire qui s’av`ere particuli`erement d´elicat. Le second concerne la mod´elisation explicite de la pression `a l’interface par une fonction analytique qui localise la pression autour des vis. Une analyse de la r´epartition r´eelle de la pression `a l’interface par un mod`ele plus d´etaill´e de jonction ou par des ´etudes exp´erimentales adapt´ees s’av`ere n´ecessaire pour justifier cette localisation.

170

Conclusion g´ en´ erale Les travaux de recherche pr´esent´es dans ce m´emoire traitent de la caract´erisation et la quantification de l’amortissement provenant du frottement dans les jonctions des structures assembl´ees. Les recherches ont ´et´e men´ees par voie exp´erimentale et num´erique. La premi`ere partie de ce travail concerne l’identification exp´erimentale du comportement dynamique des structures assembl´ees. Une caract´erisation du comportement dynamique par les param`etres modaux ´equivalents a ´et´e propos´ee afin d’identifier les non-lin´earit´es dues `a la pr´esence des jonctions. Dans cette approche, le comportement vibratoire est caract´eris´e par les ´evolutions de la fr´equence propre et de l’amortissement modal en fonction de l’amplitude des vibrations. Le niveau de variation de ces param`etres est un indicateur du degr´e de non-lin´earit´e du syst`eme alors que la forme des ´evolutions des param`etres nous fournit une information sur le caract`ere des non-lin´earit´es. Cette approche est limit´ee aux syst`emes faiblement non-lin´eaires de par son incapacit´e `a prendre en compte la pr´esence d’harmoniques. Une m´ethode originale d’identification des param`etres modaux ´equivalents a ´et´e d´evelopp´ee en utilisant la transform´ee en ondelettes. Cette m´ethode s’appuie sur une description du comportement dynamique non-lin´eaire par les param`etres modaux ´equivalents bas´ee sur la m´ethode asymptotique de Krylov et Bogoljubov. Cette description est restreinte aux syst`emes faiblement non-lin´eaires `a modes non-coupl´es ce qui, par cons´equent, limite ´egalement l’applicabilit´e de la m´ethode. Celle-ci a finalement ´et´e int´egr´ee dans une proc´edure d’identification destin´ee aux syst`emes continus. Une validation de cette proc´edure a ´et´e r´ealis´ee en l’appliquant `a des r´eponses libres simul´ees issues de syst`emes dynamiques `a param`etres modaux ´equivalents connus. Dans la seconde partie de ce m´emoire, l’influence de la pr´esence de jonctions sur le comportement dynamique a ´et´e ´etudi´ee en mettant en œuvre des analyses exp´erimentales sur des structures assembl´ees simples. La proc´edure d’identification propos´ee a ´et´e employ´ee pour identifier les param`etres modaux ´equivalents et leurs ´evolutions en fonction de diff´erents facteurs. Il s’agit de la d´eform´ee propre, du niveau de pression `a l’interface et de la taille de la zone de contact `a l’interface. Il ressort de ces analyses quelques conclusions importantes : • La perte d’´energie vibratoire constat´ee au niveau des interfaces des jonctions est beaucoup plus importante que celle intrins`eque au mat´eriau. Elle conditionne par cons´equent l’amortissement des modes propres de vibration. • L’amortissement provenant des jonctions est une fonction non-lin´eaire de l’amplitude des vibrations. 171

• Les modes pr´esentent des niveaux d’amortissement tr`es diff´erents car la d´eperdition d’´energie est tr`es d´ependante des d´eformations locales aux interfaces. • L’amortissement dˆ u `a l’assemblage d´epend fortement de l’effort de serrage ainsi que de la taille de zone de contact. • Les d´eform´ees modales restent relativement insensibles `a la non-lin´earit´e due aux jonctions. La troisi`eme partie du m´emoire pr´esente une description de comportement interfacial ` partir de ce mod`ele, par le mod`ele de Iwan bas´e sur les ´el´ements ressort-frotteur. A l’´evolution attendue de l’´energie dissip´ee en fonction de l’amplitude a ´et´e ´etablie puis utilis´ee pour d´ecrire l’´evolution de l’amortissement ´equivalent en se basant sur sa d´efinition ´energ´etique. Trois tendances caract´eristiques des ´evolutions attendues de l’´energie dissip´ee et de l’amortissement ´equivalent ont ´et´e identifi´ees suivant l’´etat de glissement `a l’interface (Fig.5.24). En phase d’adh´erence compl`ete l’´energie n’est pas dissip´ee et par cons´equent l’amortissement ´equivalent est nul. Le glissement partiel est caract´eris´e par une dissipation d’´energie progressive qui conduit `a une augmentation de l’amortissement ´equivalent en fonction de l’amplitude des vibrations. Enfin lorsque le glissement complet est atteint, l’´energie dissip´ee augmente lin´eairement et l’amortissement ´equivalent d´ecroˆıt en fonction de l’amplitude. ζe (U )

glissement partiel

glissement complet E(U )

glissement partiel

glissement complet ∆E ∝ U

ζe ∝

∆E Ep

∆E ∝ U α>2

Ep ∝ U 2

ζe (0) U -amplitude

U -amplitude

´ Fig. 5.24 − Evolution attendue de l’amortissement ´equivalent bas´ee sur le mod`ele de Iwan Ces caract´eristiques attendues de l’amortissement et de l’´energie dissip´ee ont ´et´e reproduites par le calcul ´el´ements finis d’une structure assembl´ee simple constitu´ee de deux poutres encastr´ees-libres. La gestion du contact `a l’interface des deux poutres a ´et´e r´ealis´ee par une m´ethode de p´enalisation appliqu´ee aux ´el´ements coques. Les r´esultats ont permis de constater une bonne corr´elation avec les r´esultats analytiques. La derni`ere partie de ce travail a ´et´e consacr´ee au d´eveloppement d’un calcul pr´edictif de l’amortissement modal ´equivalent provenant de la dissipation d’´energie par frottement dans une jonction m´ecanique. Cette pr´ediction par calcul repose sur la formulation ´energ´etique de l’amortissement ´equivalent, d’apr`es laquelle ce dernier est proportionnel au rapport de l’´energie dissip´ee par frottement `a l’´energie potentielle maximale du syst`eme. La proc´edure de pr´ediction est bas´ee sur deux analyses par ´el´ements finis effectu´ees successivement. La premi`ere reposant sur un mod`ele lin´eaire 172

de la structure compl`ete a pour objectif de calculer l’´energie potentielle maximale du syst`eme et de donner une estimation des d´eform´ees modales. La seconde sert `a ´evaluer pour chaque mode la quantit´e d’energie dissip´ee `a l’interface par frottement lors des vibrations. Une approche de mod´elisation permettant de r´ealiser cette seconde analyse a ´et´e propos´ee. Elle consiste d’une part `a imposer les d´eplacement modaux `a certaines fronti`eres du mod`ele afin d’approcher la d´eform´ee modale et d’autre part `a d´efinir explicitement la pression `a l’interface par une fonction analytique. Celle-ci a ´et´e propos´ee de fa¸con `a ce qu’elle approche la distribution attendue de la pression `a l’interface d’une liaison boulonn´ee tout en prenant une forme modifiable par le choix de param`etres. La proc´edure de calcul pr´edictif de l’amortissement modal ´equivalent a ´et´e appliqu´ee aux structures trait´ees dans la partie exp´erimentale de ce travail. Les r´esultats ont d´emontr´e la capacit´e de cette proc´edure `a pr´edire l’amortissement du premier mode propre. De plus, la fonction propos´ee pour d´ecrire la pression `a l’interface d’une liaison boulonn´ee a permis d’identifier l’´evolution de la forme de cette pression en fonction de la force axiale pr´esente dans la vis. Les calculs de pr´ediction pour les modes propres plus ´elev´es ont en revanche abouti `a des r´esultats tr`es ´eloign´es des valeurs exp´erimentales, t´emoignant des limites de l’approche de mod´elisation adopt´ee.

173

Perspectives

De nombreuses perspectives de recherche apparaissent naturellement `a l’issue de ce m´emoire, tant au niveau de l’identification exp´erimentale que de la pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul. Le principal d´efaut de la m´ethode d’identification des param`etres modaux ´equivalents par la transform´ee en ondelettes est son incapacit´e `a identifier les modes propres coupl´es. Ce d´efaut est li´e d’une part `a l’identification de l’arˆete du module de la transform´ee en ondelettes en utilisant la m´ethode des maxima du module qui s’av`ere inapplicable lorsque deux fr´equences propres sont tr`es proches l’une de l’autre. L’utilisation d’une autre m´ethode de d´etection de l’arˆete devrait ˆetre envisag´ee (par ex. la m´ethode de Marseille). D’autre part, la pr´esence de modes propres coupl´es viole l’hypoth`ese simplificatrice selon laquelle la d´eform´ee op´erationnelle au voisinage d’une fr´equence propre est affine au mode r´eel correspondant. Une am´elioration possible serait de consid´erer la d´eform´ee op´erationnelle comme une combinaison lin´eaire des d´eform´ees propres des modes coupl´es. La transformation modale effectu´ee en conservant cette relation entre les modes coupl´es ne conduirait ´evidement qu’`a un d´ecouplage partiel du syst`eme d’´equations de mouvement, mais am´eliorerait sans doute notablement les r´esultats. Enfin une extension de la m´ethode d’identification aux syst`emes fortement nonlin´eaires peut ˆetre envisag´ee par la prise en compte de la pr´esence d’harmoniques. Des param`etres modaux ´equivalents d’ordre plus ´elev´e seraient alors introduits pour refl´eter les variations de l’amplitude et de la fr´equence des harmoniques. La m´ethode de pr´ediction de l’amortissement ´equivalent par calcul a ´et´e test´ee en utilisant des mod`eles ´el´ements finis extrˆemement simples et en appliquant la m´ethode de p´enalisation pour g´erer le contact `a l’interface des sous-structures. De plus, seule la loi de Coulomb a ´et´e consid´er´ee pour piloter les forces de frottement. Il serait pr´ef´erable de tester cette m´ethode de pr´ediction sur un mod`ele plus r´ealiste incluant le m´ecanisme de serrage, utilisant un autre type de gestion de contact (par ex. celle des multiplicateurs de Lagrange) et int´egrant diff´erentes lois de frottement. Les structures trait´ees dans ce travail ne comprenaient qu’une seule jonction. Aussi la proc´edure de calcul pr´edictif devrait-elle ˆetre test´ee sur une structure comprenant plusieurs jonctions. Dans ce cas, la formulation ´energ´etique de l’amortissement 175

modal ´equivalent s’´ecrirait sous la forme suivante : PN j 1 j=1 ∆Ei (ai ) e ζi (ai ) = 4π Ep,i (ai ) o` u ∆Eij (ai ) repr´esente l’´energie dissip´ee par frottement au niveau de la j`eme jonction. Un mod`ele “local” devrait donc ˆetre construit pour chacune des jonctions afin d’´evaluer l’´energie dissip´ee correspondante. Ce travail a d´emontr´e une tendance g´en´erale de l’amortissement modal ´equivalent ´ provenant de la dissipation par frottement dans les jonctions m´ecaniques. Etant donn´ee la forme de cette tendance, il serait int´eressant de caract´eriser l’amortissement ´equivalent par un ensemble de param`etres afin de faciliter sa classification. On pr´esente figure 5.25 l’une des param´etrisations possibles de l’´evolution de l’amortissement ´equivalent qui repose sur six param`etres. Les param`etres c1 , n1 et c2 , n2 caract´erisent les fonctions exponentielles qui approchent les parties respectivement progressive et d´egressive. Les param`etres aζmax et ζemax caract´erisent respectivement la position et la valeur de l’amortissement ´equivalent maximal. ζe (a) ∝ c1 an1 ζe (a) ∝ c2 an2

ζe (a) ζemax

ζe (0) aζmax

a-amplitude

Fig. 5.25 − Exemple d’une param´etrisation de l’´evolution de l’amortissement modal ´equivalent

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