Theorie Moderne Des Portefeuilles

THEORIE MODERNE DES PORTEFEUILLES La théorie du marché des valeurs dite aussi "théorie moderne du portefeuille" est la théorie mathématique qui traite du choix, de la gestion et des opérations des échanges des emprunts, prêts et capitaux . Elle fait très fortement appel aux modèles statistiques et il est donc important d'avoir lu et compris le chapitre y relatif sur le site au préalable. Il faut cependant savoir qu'en pratique, dans les banques, seulement une infime minorité des acteurs du marché connaissent et appliquent des modèles mathématiques. La gestion financière n'est souvent que l'application du bon sens (quand il est présent...) sur la variation des prix sur les quantités. Définitions: La "Bourse" ("Stock Exchange") est le marché public où s'échangent des titres (actions, obligations, contrats, options, etc.) dont la valeur va fluctuer relativement à la "valeur fondamentale" (valeur de base calculée selon des modèles théoriques) au gré de l'offre et de la demande. Lorsqu'un titre est beaucoup demandé, son prix monte, et inversement, lorsque personne n'en veut. La Bourse est une structure qui permet : 1. Pour les entreprises qui veulent investir (donc augmenter leur capital) d'obtenir des fonds afin de satisfaire le demande potentielle. 2. De rendre au plus stable l'économie en la rendant la plus dynamique et fluide possible (mais sous contrôle quand même...) dans le but qu'elle s'auto-régule. Le système cité ci-dessus fonctionne donc s'il est transparent, efficient, autorégulant et équilibré! Remarque: Nous parlons de "bulle spéculative" lorsque les prix observés sur un marché boursier s'écartent trop de la valeur fondamentale des bien échangés.

Avant de commencer à s'attaquer à la mathématique pure et dure, il va nous falloir au préalable donner encore une fois un grand nombre de définitions pour s'habituer au vocabulaire usité par les analystes et ingénieurs financiers (attention c'est relativement long...).

porTEFEUILLES La majorité des transactions boursières concernent le contenu des "portefeuilles de titres" (security portfolio) qui sont l'ensemble des titres qu'un acteur du marché peut détenir. Gérer un portefeuille consiste donc (le plus classiquement) pour un gestionnaire à chercher un retour sur investissement maximal pour le client tout en minimisant les risques.

Les "titres fainanciers" (financial security) se dérivent sous la forme d'actions, d'obligations, d'options de devises et de matières premières tous appelés plus généralement "produits financiers" ou encore "actifs financiers" et dont les définitions (non exhaustives) seront données ci-dessous. Définitions: D1. Pour mesurer l'évolution générale d'un marché boursier, nous utilisons des "indices" reflétant la moyenne arithmétique (Down Jones Index par exemple) ou la moyenne pondérée (Swiss Market Index par exemple) des cours (valeurs) d'un certain nombre de titres représentatifs. Cela permettant d'en connaître le rendement. D2. Un "produit dérivé" est un produit/instrument financier, qui s'achète et se vend, et qui est toujours bâti sur la base d'un titre financier. Ce dernier est alors appelé "actif sous-jacent" du produit dérivé. Ceux-ci peuvent donc être des actions, des obligations, des devises, ... et même des produits dérivés... Le danger avec les produits dérivés est, à force de les superposer de ne plus savoir exactement quels sont les sous-jacents.

ACTIONS Définition: Les "actions" sont des papiers-valeurs reconnaissant par contrat des droits de propriétés sur le capital valeur d'une entité dite "société anonyme". Ce contrat a un prix et il est échangeable sur le marché. L'action donne à son propriétaire des droits de différente nature de types tels que les droits sociaux (droit de vote aux assembléess générales, droit d'élection et d'être élu au conseil d'administration) ou patrimoniaux (droite de recevoir une part du bénéfice net, sous forme de "dividende" variable, ou une part du produit de la liquidation de la société si elle tombait en faillite, ainsi qu'un droit préférentiel d'acheter de nouvelles actions en cas d'augmentation du capital). Définition: Le "rendement boursier" est le rapport, exprimé en pourcentage, entre les dividendes par action distribués par une société et le cours des actions en circulation de cette société. L'action n'est pas remboursable! Remarques: R1. Nous différencions les "actions au porteur" négociable sans restrictions en Bourse et les "actions nominatives" dont la valeur doit être négociée avec des restrictions juridiques plus ou moins complexes car il y figure de nom le nom de l'actionnaire qui doit être inscrit au registre des actionnaires. R2. Lorsqu'une société anonyme veut augmenter sont capital-actions, elle peut émettre des actions supplémentaires. Les nouvelles actions seront proposées aux actionnaires de la société à un cours fixe et en proportion des actions qu'ils détiennent ("droit de souscription"). Ce qui leur permettra de maintenir le pourcentage de leur part au capital, ainsi que le poids de leurs droits de vote.

OBLIGATIONS

Contrairement à l'emprunt individuel (emprunt indivis), l'emprunt dit "emprunt obligataire" fait appel à de nombreux prêteurs, appelés "souscripteurs", qui reçoivent, en échange de sommes prêtées, des titres appelés "obligations". Définition: Les "obligations" sont des papiers-valeurs (titres de créance) établissant par contrat des droits de créance (capital prêté) et qui rapportent un intérêt fixe au titulaire (elles sont remboursables à une échéance prévue par le contrat). Ce contrat a un prix (dépendant de la date!) et il est échangeable sur le marché et le débiteur est obligé de payer le intérêts. Par ailleurs si l'obligation est "convertible" elle donne droit au créancier d'obtenir le remboursement de l'obligation, soit sa conversion en actions, suivant des modalités fixées d'avance. Nous distinguons principalement quatre types d'obligations: T1. "Obligation à taux fixe" qui est la plus classique des obligations. Elle verse un flux d'intérêt définitivement fixé lors de son émission selon une périodicité prédéfinie jusqu'à son échéance (ce qui est sécurisant). Ce n'est cependant pas un investissement sans risque comme nous le verrons dans un exemple simple plus loin. T2. "Obligation à taux variable" dont les flux d'intérêt, mais pas le prix de remboursement, sont indexés sur un taux de référence comme le taux directeur d'une banque centrale, les résultats d'une entreprise, ou autre. Le risque associé à ce taux variable est appelé "risque de taux". T3. "Obligation indexée" dont les flux d'intérêt et le prix de remboursement sont indexé sur un taux de référence qui peuvent être du même type que ceux précités. T4. "Obligation zéro-coupon" qui ne comportent que deux flux financiers : un flux initial et un flux final, sans aucun paiement intermédiaire. C'est la moins risquée de toutes les obligations. Les obligations sont caractérisées par plusieurs propriétés: P1. Leur "devise" de base qui peut fluctueur sur un marché global. P2. Leur "date d'échéance" ou "date de maturité" qui permettra en fonction de leur date d'émission et du type de calendrier (échéancier) de connaître la valeur actualisée de l'obligation à tout moment. P3. Leur "valeur nominale", appelé le "pair", désigne la valeur servant au calcul des intérêts. P4. Leur"taux d'intérêt nominal" associé à la périodicité (souvent annuelle) permet de définir l'intérêt appelé "coupon" ou "coupon de dividende" appliqué sur la valeur nominale d'une obligation qui sera versée au souscripteur à la date dite "date de jouissance". Normalement le mode de calcul du taux d'intérêt doit être communiqué. P5. Leur "prix d'émission", "prix de souscription", ou encore "prix de remboursement" (en pourcentage du pair) est le prix réellement payé par le souscripteur pour devenir propriétaire d'une obligation. L'émission des obligations se fait donc au pair si la valeur nominale est égale

à la somme demandée pour son acquisition. Elle se fait au-dessus du pair si la somme demandée est supérieure au nominal, la différence étant appelée "prime d'émission". P6. Leur "prix de remboursement" est la somme réellement versée à l'emprunteur lors du remboursement de l'obligation à échance. Le remboursement peut être prévu au pair ou parfois en-dessus à l'échéance (in fine), par tranches, ou jamais (obligation perpétuelles). Remarque: L'investisseurs doit être particulièrement attentif à l'indication "subordonné" sur son papier d'obligation, qui signifie qu'en cas de faillite du débiteur (assimilé au "risque de signature"), le détenteur de l'obligation ne pourra être remboursé qu'après tous les autres créanciers... Le risque de signature peut être évité en choisissant des obligations (très) sûres comme les obligations d'état ou de sociétés renommées. Le revers de la médaille est la faiblesse des taux alors offerts qu'il faut en plus mettre en opposition à l'inflation (sur un taux de 3% sur dix ans d'une obligation d'état qui subit une inflation de 2% il reste plus que 1% de rénumération par exemple).

Exemples: E1. Considérons un emprunt obligatoire de 3'000'000.- divisé en 300 obligations de 10'000.nominal émis en juin 2004 pour une durée de 10 ans. Souscription : 99.5% de la valeur au pair. Remboursement au pair à l'échéance. Intérêt annuel : 4.5%. Les valeurs définies plus haut s'expriment alors ainsi : La valeur nominale C de l'obligation est donc de 10'000.-. Le nombre N d'obligations est de 300. La durée n de l'emprunt est de 10 ans et le taux t% de 4.5. Le prix d'émission est le 99.5% de 10'000.- soit E=9'950.-. Le remboursement R est au pair et vaut donc 10'000.- et le coupon à une valeur c de 450.-. E2. Soit une obligation à taux fixe, émise au prix de 1'000.-, et versant un coupon annuel de 100.-. Le taux servi est donc de 100/1'000=10%. Supposons que les taux du marché passent à 15%. Cela signifie qu'une nouvelle obligation, qui est émise au prix de 1'000.-, sert un coupon de 150.- (car 150/1'000=15%). La nouvelle obligation est donc plus intéressante que l'ancienne, et tout le monde va vouloir vendre l'ancienne pour acheter la nouvelle. C'est pourquoi le prix de l'ancienne obligation va implictement baisser, jusqu'à ce qu'il corresponde à une rémunération de 15%, soit ici 666 francs. Alors, nous aurons bien 100/666=15%. De même, si les taux du marché baissent à 5%, cela signifie qu’une nouvelle obligation, qui est émise au prix de 1'000.-, sert un coupon de 50.- (car 50/1'000=5%). La nouvelle obligation est donc moins intéressante que l'ancienne, et personne ne voudra l'acheter. C'est pourquoi le prix de l'ancienne obligation va implicitement monter, jusqu'à ce qu'il corresponde à une rémunération de 5%, soit ici 2'000.-. Alors, on aura bien 100/2'000=5%.

Ainsi, le prix d'une obligation à taux fixe diminue implicitement lorsque les taux montent, et monte lorsque les taux baissent. C'est la raison pour laquelle un placement en obligations n'est pas sans risques: on peut perdre une partie du capital. En fait, la seule stratégie sans risque consiste à acheter les obligations au moment de l'émission, et à les garder jusqu'à l’échéance. A tout moment, la valeur actuelle sur le marchée d'une obligation doit donc être égal à la valeur des coupons et du remboursement auxquels elle donnera encore droit. La valeur actuelle étant calculée au taux du marché obligataire en vigueur pour des obligations du même type et de même durée. Ainsi, la valeur actuelle d'une obligation à taux fixe doit être vue comme un capital initial dont on retire pendant n périodes restantes une certaine somme fixe , somme correspondant au prix du coupon:

avec C la valeur nominale de l'obligation et le tout cumulé étant périodiquement soumis à l'intérêt du taux du marché

constant dans le cadre d'une considération d'un avenir certain.

Ainsi, la valeur actuelle d'une obligation est dans un premier temps constituée que de la valeur actuelle des coupons futurs restant pendant n périodes tel que : (1)

Cette partie du prix de la valeur de l'obligation correspond donc à la somme totale nécessaire tel que l'on peut solder un taux d'intérêt

après avoir retiré n fois (le nombre de périodes restant) la valeur c à

.

Ensuite, l'obligation est constituée de la valeur du remboursement R. Bien que celle-ci soit remboursée à terme, elle peut être vue comme un capital épargne à un taux correspondant à celui du marché

tel que : (2)

La valeur actuelle de l'obligation concernant le remboursement est alors : (3)

ce qui correspond au capital actuel pour obtenir le remboursement R pendant les n périodes restantes. Ainsi, le prix total d'une obligation est : (4)

c'est-à-dire la valeur actuelle des coupons futurs ainsi que la valeur actuelle du remboursement in fine. Cette relation à son importance en finance, il convient de s'en souvenir!! La valeur d'une obligation, au sens de son cours en Bourse, peut donc différer de sa valeur nominale fixée à l'émission si les taux d'intérêts changent sur le marché d'où l'intérêt de calculer sa valeur actuelle. Exemple: Soit à calculer le prix actuel d'un obligation, ayant des coupons annuels de 450.-, avec un remboursement au pair dans 5 ans de 10'000.-. La valeur actuelle pour un taux du marché compris entre 0% et 100% à la caractéristique suivante :

(5)

Evaluer une obligation revient donc à trouver ce qu'elle devrait valoir en principe dans les conditions actuelles du marché, donc son cours potentiel, par une opération mathématique dite "opération d'actualisation" déterminant sa valeur actuelle théorique. Il s'agit donc comme nous le savons déjà de calcul actuariel.. L'obligataire aura évidemment pour objectif de chercher le taux du marché qui permet de faire de son investissement une action rentable. Ainsi, nous définissons le " taux de rendement actuariel" (TRA) x comme étant l'intérêt du marché qui permet de satisfaire les relations suivantes, en fonction de la durée restante à courir n de l'obligation. Ainsi, à l'émission :

(6)

ou à une date quelconque :

(7)

Le taux de rendement actuariel d'une obligation est donc le taux x qui annule la différence entre la valeur du prix d'émission E et la valeur actuelle des flux futurs qu'elle génère. Ce taux est calculé au jour du règlement et figure obligatoirement dans les brochures d'émission. Pour l'acheteur de l'obligation, le taux actuariel représente le taux de rentabilité qu'il obtiendrait en gardant l'obligation jusqu'à son remboursement et en réinvestissant les intérêts au même taux actuariel. Voyons quelques autres définitions utiles relatifs aux obligations : Définitions: D1. Le "coupon échu" (C.E.) d'une obligation est payé à son propriétaire sous déduction de d'impôts anticipés. Ainsi, le calcul du coupon net annuel d'obligations à X.- (valeur monétaire) à rendement de est trivialement donné par : (8)

D2. "L'intérêt couru" (I.C.) est le montant de l'intérêt qui s'est accumulé depuis la dernière date de paiement de l'intérêt, mais qui n'est pas encore dû. Il est gagné par une obligation depuis sa dernière échéance et est déterminé lors d'une vente ou d'un inventaire. Son calcul est trivialement donné par :

(9)

où est bien évidemment le nombre de jours compris entre la date de la dernière échéance et la date de jouissance (l'année commerciale étant définie comme ayant 360 jours). Remarque: Donc pour obtenir la valeur effective d'une obligation, nous ajoutons à sa valeur cotée l'intérêt couru depuis la dernière échéance.

D3. Par extensions, si nous cherchons à calculer la valeur nette de X coupons à Y% dont la valeur nominale vaut Z avec un impôt anticipé de IA% , nous calculons le "coupon annuel net à l'échéance" (C.P.A.E.) par la relation triviale : (10)

Contrairement au calcul de l'intérêt couru , le calcul du dividende couru est impossible. Le cours de l'action est toutefois influencé par la date plus ou moins proche du paiement du dividende.

BONS DE SOUSCRIPTION Définition: Un "bon de souscription", également appelé "option de souscription" ou "stockoption", est un titre financier permettant (donc il n'y a pas obligation!) de souscrire pendant une période donnée, dans une proportion et à un prix fixé à l'avance (souvent une moyenne des cours de la bourse avant l'émission des bons), à un autre titre financier sous-jacente (action, obligation, voire un autre bon...). Le bon permet donc d'être intéressé à la hausse ou à la baisse d'une action sans avoir à y consacrer le même montant de capitaux qu'en achetant directement des actions. Ainsi, lors de l'acquisition, si le titre sous-jacent à une valeur plus élevée que sur le bon de souscription, l'acquéreur fera un bénéfice qui est appelé "plus-value d'acquisition". Ensuite, l'acquéreur qui possède maintenant les titres sous-jacents peut très bien vendre ceux-ci lorsque le prix est plus élevé que lorsqu'il en a fait l'acquisition et cela engendre alors un (pseudo) second bénéfice appelé "plus-value de cession". Un bon de souscription peut être donc attaché à l'émission d'une action ou d'une obligation. Alors, selon les cas, nous parlons "d'actions à bons de souscription d'actions" (ABSA) ou "d'obligations à bons de souscription d'actions" (OBSA) mais également "d'obligations à bons de souscription d'obligations" (OBSO) ou "d'actions à bons de souscription d'obligations" (ABSO). Dès l'émission de ces valeurs composées, le tout se scinde en parties : les actions ou les obligations redeviennent des titres classiques et les bons acquièrent une vie propre. Ils sont cotés séparément après l'émission. Les "plans de souscription", plus connus sous le nom de "plan de stock-options", sont des paquets d'émission de bons de souscription (nominatifs) destinés aux employés méritant méritant d'une entreprise et visent très souvent à renforcer l'association au développement entre cette même entreprise et ses salariés. Ainsi, ces derniers lors de l'acquisition des titres seront des actionnaires à part entière, recevant des dividendes et pouvant participer aux assemblées des actionnaires. Ce qui est censé accroître la motivation de l'employé (...). Par ailleurs, les stock-options (données par l'entreprise), sont des actifs financiers sans risques puisqu'il n'y a aucune obligation des les appliquer et qu'ils ont été offerts... Précisons aussi que bon nombre d'entreprises annulent les bons de souscription des employés qui les quittent... Exemple: Le bon de la société X permet de souscrire à une action de cette société au prix de 500.jusqu'au 30 avril 2004. Si l'action X dépasse le niveau de 525.-, le bon qui permet de se procurer une action à un coût inférieur au cours de Bourse se révèle un placement gagnant. Si l'action X vaut par exemple 1'000.- en avril 2004, le bon vaudra 475.- (1'000.- moins le prix d'exercice de 525.-).

Remarque: Le développement de la liquidité sur les marchés d'actions et d'obligations a incité les établissements financiers à émettre des bons de souscription permettant de faire l'acquisition de titres financiers existants indépendamment des opérations financières de la société concernée. Sauf exception, ceux-ci ne concernent que les investisseurs entre eux et ne permettent donc pas le financement de l'entreprise. Ces bons (également cotés) sont fréquemment appelés "warrants" ou, plus précisément "covered warrants" (warrants couverts) car, dès l'émission, l'établissement financier se couvre en rachetant des titres sur le marché.

D'un point de vue conceptuel, un bon est assimilable à une option d'achat (Call) vendue par une société sur des actions à émettre ou existantes (voir plus loin la définition détailée de ce qu'est une option). Le prix d'exercice de cette option est le prix auquel le détenteur du bon peut acheter le titre financier correspondant et l'échéance de l'option est celle du bon. Cependant, l'évaluation d'un bon présente quelques particularités par rapport à une option : - Un bon a généralement une durée de vie longue (2 à 4 ans) et rend difficilement acceptable l'hypothèse de constance des taux d'intérêt utilisée par le modèle de Black & Scholes (voir la démonstration de ce modèle plus loin). - Toute opération de l'entreprise émettrice qui modifie la valeur du titre sous-jacente affecte la valeur du bon. Effectivement, les entreprises ont le droit de réserve légal d'émettre un nouveau contrat pour les bons de souscription et d'en changer la valeur et la période de temps de validité! - Si le titre sous-jacent est une une obligation, son prix évoluant dans le temps et sachant que plus une obligation se rapproche de son échéance, plus sa valeur tend vers son prix de remboursement. Sa volatilité se réduit progressivement ce qui rend inapplicable le modèle de Black et Scholes qui postule la constance de la volatilité dans le temps! Les opérateurs utilisent alors des modèles dérivés de Black & Scholes pour remédier à ces lacunes et évaluer le prix des bons de souscription.

CONTRATS À TERME Ce type de contrat est symétrique, c'est-à-dire que chaque contrepartie a autant de chance de gagner ou de perdre de l'argent. Définition: Un "contrat à terme" ou "forward" est un contrat d'achat ou de ventre d'un produit financier, passé entre deux contreparties, dont toutes les caractéristiques sont fixées à l'avance : date de réglement, prix à terme, etc. Le prix conclu est appelé "cours à terme", et l'échange se fera à ce prix quelque soit le cours du marché à la date de livraison. Deux types d'exécution peuvent se produire : - Les "physical settlement" : le sous-jacent est effectivement échangé (ce qui est rare) - Les "cash settlement" : si le cours du sous-jacent est en dessous du prix fixé, l'acheteur (du contrat à terme) se fournit sur le marché et vers la différence au vendeur et inversement.

L'intérêt des contrats à terme pour les intervenants est de figer des cours dans le futur : il s'agit dans ce cas d'une opération de couverture. Exemple: Un industriel suisse sait qu'il doit recevoir en dollars une forte somme d'argent dans six mois. Pour se couvrir contre une baisse du dollar, il achète un contrat à terme, d'échéance 6 mois sur le dollar, en francs suisse. Notons que cette opération de couverture du risque de change peut lui être défavorable si dans six mois, le contrat cête moins que le taux de change.

OPTIONS Les options sont des "actifs conditionnels" ("contingent claim") une forme particulière d'un titre (contrat), donnant à son détenteur le droit, et non l'obligation d'acheter ou de vendre une certaine quantité d'un actif financier (action ou obligation), à ou jusqu'à une date (échéance ou maturité) et à un prix fixé d'avance. Remarque: Nous reviendrons plus loin plus très en détail sur les options qui sont des produits dérivés importants.

Définition: Une "option" est un produit dérivé qui donne le droit, et non l'obligation, d'acheter ("option d'achat", appelée aussi "Call") ou de vendre ("option de vente", appelée aussi "Put") une quantité donnée d'un actif sous-jacent (action, obligation, indice boursier, devise, matière première, autre produit dérivé, etc.) à un prix fixé d'avance appelé "strike" et durant (jusqu'à) un certain temps appelé "échéance" ou "maturité" en échange d'une "prime" dépendante de la valeur intrinsèque à la maturité de l'option appelée "flux" ou "payoff terminal". Voici un schéma récapitulatif : Call Acheteur d'un Call Vendeur d'un Call (long Call) (short Call) A le droit, mais non A l'obligation de l'obligation, d'acheter vendre la valeur la valeur sous-jacente sous-jacente au prix au prix fixé d'avance fixé d'avance si le jusqu'à la date Call est exercé d'échéance

Put Acheteur d'un Put Vendeur d'un Put (long Put) (short Put) A le droit, mais non l'obligation, de vendre A l'obligation d'acheter la valeur sous-jacente la valeur sous-jacente au prix fixé d'avance au prix fixé d'avance si jusqu'à la date le Put est exercé d’échéance (11)

Il y a donc une différence mathématique d'une énorme importance entre les options et les actions/obligations. Effectivement, ces premières ayant une date d'exercice fixée, leur dynamique de prix peut être statistiquement prédictible et ceci d'autant mieux lorsque nous sommes proche de leur d'achat ou de leur date d'exercice. Leur volatitlité est souvent maximale entre deux et ceci n'est pas applicable pour les actions/obligations car on sait jamais au niveau stratégique quand elles seront vendues ou respectivement achetées. Remarques:

R1. L'utilité de l'existence des options peut être vue comme des actifs financiers permettant de croître la volatilité (écart-type ou "loss/gain deviation") du marché et ainsi son équilibre. R2. Pour des raisons évidentes, le détenteur ou acheteur d'un contrat d'option est dit être en position longue alors que sa contrepartie, l'emetteur ou vendeur du contrat, est en position courte. R3. Si l'option peut être exercée à n'importe quel instant précédant l'échéance, nous parlons "d'option américaine", si l'option ne peut être exercée qu'à l'échéance, nous parlons "d'option européenne". Une option non exercée est considérée comme "abandonnée" (perdue). R4. Parallèlement aux options classiques, apparaissent depuis les années 1990, sur les marchés des options dites "options exotiques" caractérisées par le nom du lieu où elles ont été créées et la manière de calculer leur prix d'exercice à l'échéance.

Formalisons un peu plus les choses quand même… mais sans aller trop dans les détails (nous nous les gardons pour l'étude du modèle de Black & Sholes plus loin). Considérons pour simplifier que des options portant sur un seul sous-jacent, qui est une action ordinaire ne versant pas de dividendes. Nous noterons le prix (cours) de l'action sous-jacente de l'option au temps t et de maturité T et ferons abstraction des différents Puts et Calls continentaux (américains et européens). Imaginons donc un Call, qui donne à son détenteur le droit (mais non l'obligation) d'acheter l'actif sous-jacent à tout moment entre aujourd'hui et au prix d'exercice K fixé à l'avance. A tout temps, deux cas se produisent pour l'acheteur du Call : 1. : dans ce cas, le Call donne le droit d'acheter au prix K le sous-jacent que nous pourrions acheter moins cher sur le marché. Ce droit n'a donc aucun intérêt si nous ne somme pas à l'échéance, et nous ne l'exerçons donc pas. Cependant, si nous sommes à l'échéance il faut voir… il y a une part de risque quand à l'évolution ultérieure de

.

2. : le call permet d'acheter l'action moins cher que sur le marché. Nous exercerons donc très probablement le droit (le profit étant la différence entre ses deux prix). Du point de vue de la contrepartie (vendeur du Call), dans le cas (1) elle ne verse rien à l'acheteur, et tout est oublié (le contrat expire; tout lien contractuel entre les deux parties disparaît). Dans le cas (2), le vendeur est assigné, il doit vendre à sa contrepartie l'action aux prix K. S'il ne détient pas cette action, il doit d'abord l'acheter sur le marché plus cher (au prix ). Ainsi, dans le premier cas, l'acheteur et le vendeur ne reçoivent ni ne doivent rien. Dans le deuxième cas, tout se passe comme si l'acheteur de Call achetait l'action sur le marché et

recevait au même moment la somme l'inverse).

(pour le vendeur c'est bien évidemment

Voyons un exemple maintenant du point de vue de l'investissement (la prise de risque est flagrante dans cet exemple) : Exemple: Imaginons le cas d'une action valant actuellement 1000.- (peu importe la devise) et qu'elle soit supposée augmenter de 12% en une année. Imaginons aussi que notre investisseur à l'alternative d'acheter l'action à 1000.- ou d'acheter l'option Call à un prix d'exercice d'une action de 1000.- (donc supposé égal au prix de l'action, ce qui n'est pas nécessairement toujours le cas) pour une prime de 40.- (nous verrons plus tard comment calculer les primes). Evidemment, l'investisseur peut pour 1000.- acheter 25 options Call plutôt qu'une seule action. La question est de trouver l'investissement le plus intéressant : Ainsi, une augmentation de 120.- dans le cas de l'achat d'une action représente un retour sur investissement de 12% par année, alors que l'achat d'une option Call aura un retour sur investissement de 80.- (120.- de gains sur le prix de vente moins 40.- de la prime payée) soit de 200%. Il apparaît clairement dans cet exemple que la rentabilité d'achat d'un Call à même investissement est nettement supérieure à l'achat de l'action tant que la prime d'option ne dépasse un certain seuil. Maintenat abordons de manière détailée et par l'exemple un autre concept que nous avons déjà implicitement présenté dans les paragraphes précédents et qui nécessite toute notre attention car il en est souvent fait mention par les analystes. Il s'agit de "l'effet de levier" des options. Lorsque nous évoquons les options, nous ne retenons souvent que le droit d'acheter ou de vendre un bien ou un instrument financier (à un prix fixé d'avance et durant un certain temps), en négligeant l'obligation correspondante du vendeur de l'option. Or, l'effet de levier qui caractérise ces instruments financiers peut rendre cette obligation dévastatrice pour le vendeur. Pour voir de quoi il s'agit commençons par le risque des Call. Exemple: L'acheteur d'un Call sur une action (par exemple) limite son risque à la prime de l'option pour un gain potentiel illimité. Le vendeur du Call se trouve dans la position exactement inverse: il encaisse la prime de l'option, mais prend un risque illimité. Prenons une action X cotée 350.- à la mi-octobre. Un investisseur parie sur la hausse du titre et achète 12.50.- (la "prime") une option Call à échéance janvier de l'année suivant aux prix d'exercice de 380.-. Une présentation graphique permet de mettre aisément en relation l'évolution du titre (en abscisse) et son effet sur l'acheteur ou vendeur du Call.

Considérons le cas de l'acheteur du Call : Tant que le cours de l'action reste en dessous de 380.- ("valeur de levier"), prix d'exercice, l'acheteur du Call n'aura aucun intérêt à exercer sont option, qui est dite "out-of-the-money". Par contre, si le cours de l'action progresse et dépasse le prix d'exercice, l'option est dite alors "in-the-money" et il devient intéressant d'exercer l'option. Lorsque le prix d'exercice de l'option est égale au prix du sous-jacent en bourse, nous disons que l'option est "at-themoney". Dès que le cours de l'action dépasse 392.50, soit l'addition du prix d'exercice et de la prime de l'option à la mi-octobre (380+12.50.-), le détenteur du Call commence à gagner de l'argent sur son investissement initial. Si le cours du titre monte tout à coup à 500.-, soit une augmentation d'un peu plus de 40%, le gain sera beaucoup plus que proportionnel: pour 12.50.- investis, l'acheteur réalisera un bénéfice de 107.50.- soit un gain de 860%: c'est "l'effet de Levier".

(12)

Considérons maintenant le cas du vendeur du Call : Tant que l'action reste en dessous de 380.- ("valeur de levier"), le vendeur du Call fait un bénéfice de 12.50.-, représentant la prime de l'option. A partir de 380.-, le vendeur risque d'être obligé de livrer l'action au prix d'exercice, soit 380.-. A partir de 392.50.-, il commence à perdre de l'argent sur l'opération, puisque l'action qu'il devra sans aucun doute livrer vaudra plus cher que l'addition du prix d'exercice et de la prime encaissée. Si pour son malheur le titre monte effectivement à 500.à et qu'il ne le possède pas, il lui faudra aller le racheter en Bourse pour honorer la demande d'exercice du détenteur du Call, en perdant 107.50.- sur l'opération, soit plus de huit fois la prime encaissée au départ.

(13)

Mainteant intéressons nous au risque des Put. Exemple: L'acheteur d'un Put limite son risque au coût de la prime de l'option pour un gain potentiel beaucoup plus important. En face de lui, le vendeur du Put se trouve dans la position exactement inverse : il encaisse la prime de l'option mais prend un risque beaucoup plus grand. Si nous prenons la même action X cotée à 350.- à la mi-octobre, nous nous trouvons cette fois avec un investisseur qui parie sur la baisse du cours de l'action. Il achète donc pour 49.50.- (la "prime") un Put d'échéance décembre au prix d'exercice de 390.-. Considérons le cas de l'acheteur du Put : L'acheteur du Put commence à réaliser un profit si le prix de l'action tombe en dessous de 340.50.-, soit le prix d'exercice mois le prix de l'option (390-49.50.-). Entre 340.50.- et 390.l'exercice n'est pas profitable mais permet de diminuer la perte. Au-dessus du prix at-themoney (390.-) l'exercice du Put n'offre vraiment plus aucun intérêt et nous disons alors que l'option Put est out-of-the money.

(14)

Considérons le cas du vendeur du Put : Le vendeur du Put encaisse d'abord la prime de l'option soit 49.50. Tant que le cours se maintient au-dessous de 390. il est gagnant. Si le cours de l'option se situe entre 340.50.- et 390.- il perd un peu de sa prime mais reste gagnant. En-dessous de 340.50 le vendeur du Put sera obligé au moment de l'échéance de verser 390.- à l'acheteur du Put (en vendant le sousjacent et en versant la différence d'une manière ou d'une autre). Bien évidemment si le prix du sous-jacent tombe à zéro, le vendeur du Put peut ainsi perdre jusqu'à 340.50.- de fonds propres.

(15)

FONDS DE PLACEMENTS Définition: Un "fond de placement" est un véhicule d'investissement (portefeuille de titres, d'actions ou d'obligations par exemple) que les établissements financiers proposent à leurs clients. Remarque: Un "hedge fund" ou "fond couvert" est un ensemble de produits financiers utilisées comme couverture contre les fluctuations du marché. En théorie, si la Bourse chute, le hedge fund ne descend pas et a une performance absolue Ces types de fonds alternatifs sont cependant réservés à une clientièle fortunée et avertie.

Bien qu'un fond de placement réunisse divers actifs financiers, les clients peuvent acheter les parts émises à une faible valeur par rapport à l'achat d'actifs individuels. Chaque part contient théoriquement une proportion de chacun des actifs se trouvant dans le fonds de placement. Elles garantissent un droit de participation à la fortune globale du fonds sans toutefois donner de droit sur les sociétés inclues dans le fonds. Un fond de placement peut investir les montants de diverses manières dont les plus communément pratiquées sont les papiers-valeurs (actions, obligations), papiers monétaires, valeurs immobilières, régions (pays, continents), secteurs d'activité ou encore selon des objectifs personnels. Il existe en ce début de 21ème siècle à peu près 30'000 fonds de placements à travers le monde. Les fonds de placement rendent souvent service aux petits portefeuilles : avec des montants relativements modestes, il est possible de bénéficier d'une bonne répartition des risques et aussi à des prix de gros accordés sur les transactions effectuées par les gestionnaires de fonds.

Retours et taux d'investissements Pour définir l'objectif poursuivi par le possesseur d'actifs financiers, nous nous référerons à la motivation économique de tout acte d'investir. Celle-ci consiste concrètement à consentir présentement à une dépense, en vue d'un accroissement de patrimoine espéré dans le futur.

De deux ou plusieurs stratégies d'investissements, la meilleure au niveau individuel est celle qui maximise la capital final de l'investisseur. Il existe alors différents types de retour sur investissements suivant l'objet d'étude. Ainsi, nous différencions en finance (avant d'en voir les détails) : 1. Les retours d'actifs financiers sur une horizon économique (return on investment) et leur taux de rendement respectifs (rate of return). 2. Les retours sur des investissements en comparaison à un taux géométrique moyen du marché (goodwill) et la limite du taux de rentabilité correspondante (internal rate of return). Ensuite, il faut considérer d'autres approches de taux de rentabilité outre le deux mentionnés ci-dessus les deux autres grands classique sont (avant d'en voir les détails): 1. Le taux de retour pondéré par les capitaux investis (M.W.R.R.) qui a l'avantage par rapport au taux de rendement interne du Goodwill de prendre en compte les investissements faits en dehors des périodes temporelles classiques. 2. Le taux de retour pondéré dans le temps (T.W.R.R.) qui est un outil pratique pour mesurer la performance des gestionnaires de fonds car il ne prend pas en compte les flux (retraits ou investissements) des investisseurs qui sont incontrôlables. Voyons donc un peu tout cela :

Return on investment En pratique, nous définirons l'objectif de l'investisseur comme consistant à maximiser l'accroissement de sa fortune initiale, quelles que soient les modalités de cet accroissement. Cet accroissement appelé donc "return on investment" (R.O.I.) ou, plus brièvement, "return" est défini par la relation (logique) dans le cadre de la gestion d'actifs par : (16)

où

est donc le return de l'actif financier pour la période (se terminant au temps) t,

le prix

du marché au temps t de l'actif financier et le revenu liquide attaché à la détention de l'actif financier durant la période (se terminant au temps) t. Le revenu

est supposé perçu au temps t, ou, s'il est perçu entre

et t, il est supposé ne

pas être ré-investi avant le temps t. Le prix de marché au temps est une valeur "excoupon" c'est-à-dire une valeur enregistrée immédiatement après (le détachement du coupon donnant à) la perception, au temps , du revenu liquide afférant à la période . Sur le plan empirique, l'hypothèse de non réinvestissement jusqu'à la période élémentaire de temps utilisée est courte (un mois maximum), afin d'éviter des distorsions statistiques trop importantes dans le traitement des données chronologiques.

Pour faciliter les comparaisons entres investissements, nous utilisons une mesure exprimée en termes relatifs le "taux de rentabilité" ou "rate of return" défini assez logiquement par :

(17)

où

est le taux de rentabilité pour la période t.

Nous reviendrons lors de notre étude du modèle mathématique d'évaluation des actifs financiers sur ces outils.

INTERNal rate of return La mise en œuvre d'un capital financier pour permettre la réalisation d'opérations d'économie réelle (c'est-à-dire le fait de consacrer, directement ou indirectement, ce capital financier à l'acquisition ou à la constitution de moyens de production, au sens le plus large de ce terme) peut donc produire à travers le temps des retours d'argent sous la forme de flux nets liquidités appelés "flux net de trésorerie" (F.N.T.) ou encore "cash flows" (C.F.) (cela fait toujours mieux en anglais....). Le calcul actuariel permet de construire formellement un critère de décision. En effet, nous définissons (logiquement mais sans toutefois étant complétement réaliste) la prise de risque par le "Goodwill" comme étant donné par la relation :

(18)

Explications : Le deuxième terme à droite de l'égalité nous est déjà connu (nous l'avons vu lors de notre étude du calcul actuariel) mais sous la forme :

(19)

Dans un contexte de certitude de l'avenir (...) il nous donne donc l'investissement initial à effectuer à un pourcentage donné constant (...) pour avoir un retour sur investissement (cash flow)

à un taux d'intérêt périodique moyen géométrique t% (taux du marché) avec T étant

l'horizon de l'opération (nombre de périodes),

étant la dépense initiale d'investissement.

En d'autres termes, le Goodwill de l'opération représente les flux excédentaires actuels obtenus après avoir remboursé la somme intiale investie au cours de sur sa durée d'utilisation et après avoir rémunéré le capital encore investi au début de chaque période au taux d'actualisation. Si :

(20)

A la formulation du critère de décision telle qu'elle vient d'être présentée, nombreux sont ceux, notamment les praticiens, qui préfèrent la méthode dite du "taux interne de rentabilité" (TRI) ou "internal rate of return" (I.R.R.). Celle-ci n'est en apparence qu'une variante de la première formulation. Elle consiste à calculer un taux généralement symbolisé par la lettre grecque , qui annule la valeur du Goodwill (il s'agit donc de déterminer le taux de rentabilité tel que la somme des flux nets de trésorerie soit égale au montant du capital investi) :

(21)

Si :

Nous voyons que le taux interne de rentabilité intervient dans le processus de décision de manière à première vue équivalente à celle dont il est utilisé dans le calcul d'une valeur actuelle nette. En outre, l'expression du résultat du calcul est indéniablement plus parlante que le montant absolu (Goodwill) obtenu dans la première formulation. Nous inclinerions donc à adopter la seconde formulation si celle-ci ne présentait, à l'examen approfondi, l'inconvénient majeur que le calcul du taux interne de rentabilité comporte dans certains cas plusieurs solutions. La relation est en effet une équation polynômiale dont nous avons démontré dans le chapitre algèbre qu'elle a autant de racines que le polynôme présente de changements de signe.

MONEY WEIGHTED RATE OF RETURN Nous allons maintenant introduire un type de taux interne de rentabilité différent de celui du lié au Goodwill et qui s'applique mieux à la gestion de portefeuilles que le taux interne de rentabilité vu plus haut (qui rappelons-le se base sur l'hypothèses que les cash-flow sont déboursés à intervalles périodiques). Considérons un fond F et les informations suivantes : 1. La valeur du fond 2. La valeur du fond

juste avant le temps 0 juste après le temps 1

3. Une valeur monétaire totale nette investie durant la période [0,1] payée (pour simplifier l'exemple) en deux moitiés en début et fin de période

Les données qui vont nous intéresser sont les suivantes : 1. La valeur qui représente la valeur totale du fond et d'une partie de l'investissement au moment 0. 2. La valeur qui représente le capital qu'il aurait fallu rassembler pour arriver en fin de période à la valeur N/2 lorsque le taux du marché est à un taux t%. 3. La valeur fin de période à

qui représente le capital qu'il aurait fallu rassembler pour arriver en lorsque le taux du marché vaut aussi t%.

La différence :

(22)

donne le valeur qu'il aurait fallu capitaliser pour obtenir la somme en d'autres termes la valeur finale du fond en fin de période investissement initial compris. Ce qui est trivialement intéressant pour un investisseur est alors de connaître le taux que :

tel

(23)

soit :

(24)

relation qui est appelée "relation de Hardy". Si cette relation se vérifie pour un connus et déterminés et supposé un investisseur n'aura rien à gagner ni à perdre à investir dans le fond ou de capitaliser au taux du marché . Si l'équation de Hardy n'est pas non nulle mais positive alors l'investissement dans le fond n'est pas intéressant. Si elle est négative il vaut alors mieux investir dans le fond. De l'algèbre élémentaire nous amène à la relation :

(25)

avec

.

Effectivement :

(26)

Le taux est souvent nommé en gestion de fortune le "Money Weighted Rate of Return " (M.W.R.R.). ou "Taux de Retour Pondéré par les Capitaux Investis" (T.R.P.C.I.). Exemple: Un fond a eu les revenus suivants pendant l'année 2006 : - Valeur au 1er Janvier 2006 : 30 MFr.- Investissement sur le fond pendant l'année : 18 MFr.- Retraits sur le fond : 30 MFr.- Valeur du fond au 31 décembre 2006 : 21 MFr.Quel est le taux effectif (M.W.R.R.) de ce fond en 2006 ? Nous avons alors comme données initiales si nous assumons les hypothèses de départ concernant N :

ce qui donne

(27)

et alors :

(28)

Considérons maintenant que nous savons que les investissements ont eu lieu le 16 Mai (3/8ème de l'année) et les retraits 1 Octobre (9ème mois). Le M.W.R.R. est alors le taux du cash flow : (29)

Nous devons alors trouver t% tel que : (30)

La résolution de cette équation avec Maple donne Nous voyons qu'en considérant les cash-flows et le moment où ils ont lieu (donc une analyse plus fine et rigoureuse) nous réduisons le M.W.R.R. Par ailleurs, le dernier calcul étant plus rigoureux que le premier c'est celui que l'investisseur voudra connaître en fin d'année. Ce taux est donc une mesure effective du taux d'accroissement du fond, donnant l'impact du poids des cash-flows sur la valeur du fond. Il s'agit aussi au fait d'une simple généralisation du IRR (Internal Rate of Return).

TIME WEIGHTED RATE OF RETURN Nous allons maintenant nous intéresser à un autre outil financier de la gestion de portefeuilles utilisé également pour juger du rendement d'un investissement. Considérons un fond tel que : Décembre T1 T2 T3 T4 31. 2000 2001 2001 2001 2001 Valeur de début du fond 1000 370 81 7.8 Gain ou (perte) pour le trimestre % 10% 3% (4%) 6% Gain ou (perte) pour le trimestre .100 11 (3.2) 0.5 Cash flows trimestriels entrées/(sorties) (730) (300) (70) 0 Valeur du fond 1000 370 81 7.8 8.3 (31)

Le 31 décembre 2000, le fond à une valeur de 1000.-. Durant le premier trimestre 2001 il a un retour de 10% mais nous imaginons que cette valeur est loin de ce qui était attendu alors l'investisseur retire 730.- du fond (portefeuille basé sur le fond). Lors du second trimestre, le fond a gagné 3% et 300.- supplémentaires ont été retirés par l'investisseur. Lors du troisième trimestre le fond a perdu 4% et 70.- on été retirés. Le dernier trimestre, le fond a gagné 6% et aucun fond n'a été retiré. Nous avons alors l'accroissement (retour) global sur l'ensemble de la période (année) qui est donnée par : (32)

Nous voyons bien que cette valeur est indépendante des flux monétaires du portefeuille de l'investisseur. Nous appelons la valeur de 15.3% le "Time Weighted Rate of Return" (T.W.R.R) ou "Taux de Retour Pondéré dans le Temps" (T.R.P.T.). Ce cas particulier peut être noté de manière générale par la relation :

(33)

Il convient de se rappeler que si nous avions voulu calculer calculer la moyenne du rendement du fond par trimestre nous aurions simplement utilisé la moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques)! Le T.W.R.R. est un outil pratique pour mesurer la performance des gestionnaires de fonds car il ne prend pas en compte les flux (retraits ou investissements) des investisseurs qui sont incontrôlables. Ainsi, nous avons une mesure de la qualité de la dynamique des fonds indépendante du choix des investisseurs qui pourraint considérer les retraits ou investissements comme des cash flow qui serviraient à calculer un I.R.R. qui n'aurait plus ou moins aucune signification par rapport à la dynamique du fond

MODÈLE spéculatif DE BACHELIER Après ces nombreuses définitions, le but maintenant est d'introduire les techniques mathématiques spéculatives stochastiques utilisées en finance. En effet, la finance étant devenue au fil du temps un domaine de plus en plus concurrentiel, les marges sur les produits standards ont tendances à se réduire, la prime est donc donnée à l'innovation. Cette évolution a conduit à une sophistication croissante des produits financiers, faisant ainsi appel à des notions mathématiques poussées, basées principalement sur des modèles de probabilité, introduits par Louis Bachelier dans sa " Théorie de la spéculation " mais réellement utilisés depuis 1973 grâce aux différents travaux de Black & Scholes, et Merton. Ces travaux d'évaluation d'options ont valu à leurs auteurs le dernier Prix Nobel d'économie. Avant d'étudier ce dernier modèles, regardons quels sont les développements proposés par Louis Bachelier dans sa thèse en 1900 pour déterminer l'espérance mathématique prévisionnelle d'un actif financier (résultat que nous utiliserons dans le cadre de l'étude du modèle d'évaluation de Black & Scholes). Désignons pour cela par

la probabilité que le cours d'un actif soit x. Dès lors, la

probabilité que le cours se trouve compris dans l'intervalle élémentaire x, x + dx est

.

En vertu du quatrième axiome des probabilités (voir chapitre du même nom), la probabilité cherchée sera égale au produit de la probabilité pour le cours x soit coté dans un intervalle donné à l'époque

, c'est-à-dire

, multipliée par la probabilité pour que, le cours x étant

coté à l'époque , le cours z soit coté dans un intervalle donné à l'époque multipliée par

, c'est-à-dire,

.

La probabilité cherché est donc : (34)

Le cours pouvant se trouver à l'époque dans tous les intervalles dx compris entre probabilité pour que le cours z soit coté à l'époque

sera :

, la

(35)

La probabilité de ce cours z, à l'époque donc :

a aussi pour expression

. Nous avons

(36)

ou :

(37)

telle est l'équation à laquelle doit satisfaire la fonction p. Cette équation est vérifiée, comme nous allons le voir, par la fonction : (38)

Remarquons dès maintenant que nous devons d'abord avoir :

(39)

L'intégrale classique qui figure dans le premier terme a pour valeur (cf. chapitre de Statistiques)

, nous avons donc

et par suite : (40)

En posant , nous obtenons c'est-à-dire : A égale la probabilité du cours coté actuellement. Il faut donc établir que la fonction : (41)

où

dépend du temps, satisfait bien à l'équation de condition ci-dessus.

Soient les quantités correspondant à que l'expression :

et relatives aux temps

(42)

, il faut donc prouver

peut se mettre sous la forme où A,B ne dépendant que du temps. Cette intégrale devient, en remarquant que n'est pas une variable z d'intégration (nous supposons qu'il est indépendant de x comme vous l'aurez compris depuis le début)

(43)

ou (nous changeons de notation pour l'exponentielle sinon cela devient illisible) :

(44)

posons :

(45)

Nous aurons alors :

(46)

L'intégrale :

(47)

ayant pour valeur 1 (cf. chapitre de Statistiques), nous obtenons finalement :

(48)

Cette expression ayant la forme désirée, nous devons en conclure que la probabilité que le titre soit coté z au temps

s'exprime bien par la relation : (49)

Nous voyons que la probabilité est régie par la loi de distribution de Gauss. Ceci constitue un résultat remarquable obtenu par Louis Bachelier en 1900.

La relation antéprécédente nous montre que les paramètres fonctionnelle :

satisfont à la relation

(50)

différentions par rapport à , puis par rapport à dans les deux cas, nous obtenons :

. Le premier membre ayant la même forme

(51)

donc après simplification :

(52)

Ce qui donne finalement :

(53)

Cette relation ayant lieu, quels que soient constante et nous avons donc :

, la valeur commune des deux rapports est

(54)

Une fonction qui satisfait cette relation existe et est :

(55)

H désignant une constante ou une fonction indépendante du temps. Vérification :

(56)

donc :

(57)

Nous avons donc pour expression finale de la probabilité :

(58)

Le lecteur remarquera donc que pour une valeur de H et t fixées nous retrouvons ici la forme d'une loi Normale centrée réduite (cf. chapitre de Statistiques)!! L'espérance correspondant au cours x à donc trivialement pour valeur :

(59)

L'espérance totale étant donc (cf. chapitre de Statistiques) :

(60)

en notant

nous avons ainsi :

(61)

l'espérance mathématique est donc proportionnelle à la racine carrée du temps!! Deux résultats majeurs à retenir ici sont : 1. Que la fonction de distribution de probabilité que le cours d'un actif financier soit x suit une loi Normale centrée réduite! 2. Que l'espérance totale de la valeur d'un actif financier est proportionnelle à la racine carrée du temps!! Ce le premier modèle de base à connaître en finance et nous réutiliserons donc ces deux résultats majeurs lors de notre introduction au modèle de Black & Scholes.

MODÈLE de diversification efficiente de MARKOWITZ

Les travaux de Markowitz en 1954 ont constitué la première tentative de théorisation de la gestion financière de portefeuilles et son modèle suggère une procédure de sélection de plusieurs titres boursiers, à partir de critères statistiques, afin d'obtenir des portefeuilles optimaux. Plus précisément, Markowitz a montré que l'investisseur cherche à optimiser ses choix en tenant compte non seulement de la rentabilité attendue de ses placements, mais aussi du risque de son portefeuille qu'il définit mathématiquement par la variance de sa rentabilité. Ainsi, le "portefeuille efficient" est le portefeuille le plus rentable pour un niveau de risque donné. Il est déterminé au mieux par application de méthodes de programmation quadratique (cf. chapitre de Méthodes Numériques) ou sinon de manière heuristique en les étapes suivantes : 1. Noux fixons une espérance de rentabilité et nous trouvons tous les portefeuilles de variance minimale satisfaisant l'objectif de rentabilité. Nous obtenons ainsi un ensemble de portefeuilles de variance minimale. 2. Nous gardons de ces portefeuilles celqui qui pour une variance donne le rendement le plus élevé.. En procédant ainsi pour plus plusieurs valeurs de l'espérance, nous nous retrouvons avec un ou plusieurs portefeuilles efficients. Ainsi, entre deux portefeuilles (ensemble d'actifs) caractérisés par leur rendement (supposé aléatoire!), nous ferons les hypothèses suivantes : H1. A risque identique, nous retenons celui qui a l'espérance de rendement la plus élevée (gain maximal) H2. A espérance de rendement identique, nous retenons celui qui présente le risque le plus faible (aversion au risque) Ce principe conduit à éliminer un certain nombre de portefeuilles, moins efficients que d'autres. Passons maintenant à la théorie (un exemple pratique du modèle de Markowitz sera donné après les développements mathématiques). Soit

le rendement d'un portefeuille composé de n actifs caractérisés par leur rendement

respectif . Nous posons, en outre, que chaque actif i entre pour une proportion Xi dans la composition du portefeuille P tel que:

(62)

Remarque: Un part Xi d'un actif peut aussi être négative... Détenir une part négative d'un actif, c'est ce qui s'appelle en anglais le "short-selling" (vente à découvert) . Cette technique consiste par exemple à emprunter beaucoup d'actifs (supposés surévalués sur le marché) à une banque, les vendre pour faire baisser le prix de l'actif, et faire un profit en les rachetant moins cher pour les rendre à la banque (grosso modo car c'est assez complexe au fait...).

Donc l'espérance du portefeuille est donnée par :

(63) (64)

où l'espérance de Ri est sovuent pris comme étant simplement la moyenne arithmétique. Maintenant, nous supposerons que les return des différents actifs financiers ne fluctuent pas indépendamment les uns des autres: ils sont corrélés ou, ce qui revient au même, ont des covariances non nulles (cf. chapitre de Statistiques) : (65)

Dès lors, la variance du portefeuille est donnée par (cf. chapitre de Statistiques) :

(66)

Avant d'aller plus loin, précisons (car c'est important dans la pratique) que nous pouvons également écrire cette dernière relation sous forme matricielle (le lecteur peut facilement vérifier en prenant par exemple que deux titres que les deux écritures donnent un résultat identique) si nous notons X le vecteur des parts d'actifs et

et finalement

la matrice des covariances :

matrice qui se simplifie directement en :

le même vecteur transposé :

nous obtenons finalement la relation de la variance sous forme matricielle condensée :

telle que nous la voyons souvent dans la littérature spécialisée. Pour en renvenir à la forme algébrique du modèle, puisque la covariance est symétrique (cf. chapitre de Statistiques) : (67)

et que : (68)

Nous pouvons simplifier et écrire la variance :

(69)

sous la forme algèbrique suivante :

(70)

telle que nous la voyons souvent dans la littérature spécialisée ancienne... Sélectionner un portefeuille revient donc à résoudre problème de maximisation sous contrainte suivant :

en utilisant la programmation quadratique (cf. chapitre de Méthodes Numériques). Dans la pratique, nous cherchons non pas un, mais tous les portefeuilles qui pour une espérance donnée minimise la variance. Nous obtenons alors une fonction de l'espérance en fonction de la variance pour les portefeuilles optimaux si nous traçons cela sur un graphique (voir plus bas). Cette fonction est souvent assimilée par les financiers (à juste titre!) à une frontière comme le précise la définition qui suit. Définition: La frontière qui caractérise le polygone ou la courbe des contraintes s'appelle dans cette situation la "frontière efficiente (de Markowitz)" et dans le polygone/courbe se situent tous les portefeuilles à rejeter dits "portefeuilles dominés". Une autre manière de

formuler ceci consiste à dire que les combinaisons (rendement, risque) de cette frontière forment un ensemble d'optima de Pareto (cf. chapitre de Théorie De La Décision), c'est-à-dire que si l'un des éléments augmente, l'autre doit augmenter aussi. Maintenant, formalisons l'optimisation comme cela était fait à l'époque où les gens devaient encore développer les algorithmes eux mêmes... Soit Z la fonction économique précitée : (71)

qui doit être maximisée sous la contrainte que et où est un paramètre qui représente le degré d'aversion au risque des investisseurs (histoire aussi d'homogénéiser la relation...). Le problème de maximisation sous contrainte consiste à déterminer le maximum de la fonction économique Z définie par:

(72)

Cette fonction de n + 1 variables ( ) est maximisée si sa dérivée (partielle) par rapport à chacune de ces variables est nulle, ce qui revient à poser le système suivant :

(73)

Posons: (74)

Nous pouvons alors écrire:

(75)

soit sous forme matricielle :

(76)

Soit désormais:

et

(77)

Dans ce cas, le système d'équations à résoudre peut se résumer sous la forme matricielle: (78)

Par conséquent: (79)

La détermination du poids de chacun des n actifs susceptibles d'entrer dans la composition d’un portefeuille passe donc par l'inversion d’une matrice carrée de n + 1 lignes et n + 1 colonnes comportant covariances (la diagonale comportant des variances seulement et la matrice étant symétrique!). Ce qui est relaviment long à calculer pour de gros portefeuilles. Cependant, même une fois la pondération des actifs terminée, le problème lui ne l'est pas complétement. Effectivement, nous pouvons donc connaître la frontière efficiente mais le client va lui imposer une contrainte bien logique au niveau du risque nul de son portefeuille et du rapport rendement/risque maximum.

Compte tenu de la lourdeur des calculs nécessaires à l'inversion de la matrice A, Sharpe a proposé un modèle simplifié que nous verrons après un exemple pratique du modèle de Markowitz. Exemple: Considérons trois titres composants un portefeuille en proportions égales (que nous supposerons dans des proportions égales dans le portefeuille) et les n observations de leur rendement temporelle) :

saisis dans MS Excel (la composante j pouvant être vue comme une période

(80)

Le but est donc de déterminer la frontière d'efficience du portefeuille selon le modèle de Markowitz ainsi que la C.M.L. et la pondération des actifs qui minimise la variance pour une espérance maximum pour un portefeuille composé d'un actif sans risque d'un rendement Rf de 0.22. Dessous la table donnée précédemment nous allons créer dans MS Excel le tableau contenant les proportions

des titres (que nous supposerons équidistribuées, soit 1/3), nous

afficherons la moyenne du rendement

calculée bien évidemment selon l'estimateur :

(81)

et la variance

calculée pour chaque titre par l'estimateur :

(82)

Ce qui nous donne le tableau suivant dans MS Excel :

(83)

Soit sous forme détaillée dans MS Excel toujours :

(84)

Nous devons maintenant calculer le rendement moyen du portefeuille selon :

(85)

Cette relation est un peu longue à saisir, et le sera davantage si nous avons un nombre bien plus important de titres. Dans notre cas, il s'agit de faire la somme des produits terme à terme de deux plage de cellules ( et ) ayant la même dimension (même nombre de lignes et même nombre de colonnes). Nous pouvons alors utiliser la fonction suivant dans MS Excel : =SOMMEPROD(B14:D14;B15:D15) Pour la variance du portefeuille, c'est un peu plus compliqué puisqu'il s'agira de calculer :

(86)

La relation développée dans notre cas particulier donne :

(87)

L'astuce pour appliquer ceci dans MS Excel consiste à utiliser l'algèbre linéaire et écrire cette relation sous forme matricielle comme nous l'avons démontré : (88)

Ce qui équivaut dans MS Excel à écrire : =SOMMEPROD(PRODUITMAT(B14:D14;G14:I16);B14:D14) Soit sous forme matricielle explicite :

(89)

Donc en se basant sur les tableaux précédents, il est simple dans MS Excel d'obtenir la matrice de covariance :

(90)

Soit sous forme détaillée dans MS Excel toujours :

(91)

Rappel : La matrice des covariances est symétrique… (cf. chapitre de Statistiques). Et pour l'espérance et la variance du portefeuille nous aurons donc le tableau suivant :

(92)

en appliquant donc les relations susmentionnées:

(93)

Le problème maintenant est de déterminer pour un rendement du portefeuille fixé (B19), les proportions des différents titres qui minimisent le risque. Après avoir ajouté les deux cellules B24 (rendement espéré/attendu du portefeuille) et B25 (nombre total des parts du portefeuille) :

(94)

Nous devons donc maintenant résoudre le problème d'optimisation non linéaire :

(95)

et ceci ne peut que se faire (simplement) à l'aide du solveur :

(96)

Ce que nous allons faire à l'aide du solveur est de chercher et reporter les solutions pour des rendements de 0.2 à 0.245 par pas de 0.05. A chaque résultat, nous noterons le numéro de l'itération, la variance du portefeuille et l'espérance de rendement qui était exigée. Cela devrait donner (bon il faudrait automatiser dans l'idéal la procédure par du VBA) :

(97)

Ce qui donne la frontière efficiente de Markowitz suivante sous forme graphique dans MS Excel :

(98)

Maintenant il est aisé avec MS Excel de déterminer l'équation de cette parabole en utilisant l'outil d'interpolation (nous sommes obligés dans MS Excel de tourner la parabole pour cela…) :

(99)

Maintenant, nous allons déterminer la C.M.L (voir le modèle du modèle des actifs financiers plus bas) qui est la droite formée par l'ensemble des portefeuilles composés de l'actif sans risque, d'une part, et du portefeuille de marché, d'autre part. Par construction, elle associe à chaque niveau de risque, la rentabilité espérée la plus élevé.

Nous allons pour déterminer cette droite avec MS Excel nous fixer dans un premier temps un taux de rendement sans risque que nous noterons et que nous prendrons arbitrairement comme valant 0.22. Nous avons donc la courbe de Markowitz d'équation :

(100)

et la droite : (101)

avec la condition :

(102)

Nous avons alors deux équations connues à deux inconnues pour résoudre ce problème (l'intersection de la droite et la parabole pour la première et l'égalité de la pente de la parabole et de la droite au point d'intersection) :

(103)

La deuxième équation nous donne :

(104)

Injecté dans la première équation :

(105)

Si nous résolvons ce polynôme du deuxième degré nous avons deux solutions réelles (Excel n'arrive pas à déterminer les racines de ce polynôme) : (106)

La solution 2 est à éliminer (nous le savons en essayant de la prendre comme solution). Nous avons donc:

(107)

Ce qui donne sous forme graphique :

(108)

Soit sous forme traditionnelle :

(109)

Il vient aussi immédiatement :

(110)

Ainsi, en réutilisant le solveur comme plus haut mais avec cette nouvelle valeur pour l'espérance, nous obtenons pour un portefeuille du marché composé d'un actif sans risque de rendement 0.22, un rendement global efficient de 0.2314276… avec la composition suivante du portefeuille donnée par le solveur :

(111)

Voilà donc un sympathique petit exemple applicatif dans un logiciel accessible à prestque tout le monde!

MODÈLE de diversification efficiente de sharpE L'utilisation du modèle de Markowitz, tel qu'il le proposait dans son ouvrage de 1959, soulevait de nombreux problèmes dès qu'il s'agissait d'utiliser des algorithmes à partir d'une liste de base comportant un nombre élevé de valeurs. Ces problèmes étaient de deux ordres: 1. L'ampleur des matrices requérait à l'époque une calculateur de grande capacité et un temps de calcul assez long!

2. L'utilisation du modèle de base requérait que l'on connaisse dans son entièreté la matrice des covariances. Le principal problème qui se pose à ce propos réside tant dans le nombre des estimations à fournir que dans la difficulté de réaliser des estimations précises et surtout cohérentes. Si nous voulons que l'approche proposée par Markowitz puisse entrer dans le domaine de l'application, il faut de toute évidence trouver le moyens d'alléger notablement la procédure tout en perdant le moins possible de la rigueur de la méthode. En 1963, William Sharpe a proposé une solution dont la caractéristique essentielle consiste à faire l'hypothèse que les returns des diverses valeurs sont exclusivement liés entre eux par leur commune relation avec un facteur de base sous-jacent (indice boursier typiquement) qui permet de déterminer un coefficient appelé le "bêta". Cette hypothèse purement empirique appelée "modèle à un indice" ou "modèle unifactoriel" a revêtu par la suite une importance considérable, car elle a été, comme on le verra dans les développements ultérieurs, à la base de la théorie de la formation des prix des actifs financiers dans un univers incertain. Remarque: Encore une fois, les développements qui vont suivre pourraient s'avérer abstraits mais... nous verrons comment appliquer l'exemple précédent fait avec MS Excel pour le modèle de Markowitz mais appliqué avec le modèle de Sharpe et nous pourrons ainsi même comparer visuellement les deux méthodes.

Le terme "unifactoriel" vient donc du fait qu'à la base le but du modèle de Sharpe est de définir le rendement d'un placement financier en fonction de son risque non diversifiable, assimilé au seul risque de marché (ou risque systématique) donné par un nombre appelé "coefficient bêta". Les investisseurs et gestionnaires distinguent trois sortes de risques: 1. Le "risque spécifique" relatif (implicite) au titre lui-même (sa variance). 2. Le "risque systématique/non diversiable" relatif à l'économie/marché au sens le plus large (variance du portefeuille de référence du marché). 3. Le "risque global" qui est en quelque sorte la somme des deux (c'est un peu plus subtil qu'un simple somme...). Comme vous l'aurez probablement deviné, le facteur risque est difficilement quantifiable. L'élément qui aidera à le déterminer est la variation du rendement de l'actif financier par rapport à la variation du rendement du marché dans sa globalité. Un actif financier dont le cours fluctue souvent et dont la volatilité est grande présente donc certainement un risque élevé. Définition (simpliste): Le "coefficient bêta" mesure la dépendance entre le rendement d'un portefeuille ou d'un actif financier et le rendement d'un indice de référence et constitue la pente d'une droite appelée "security characteristic line" (S.C.L.) :

(112)

ce coefficient est bien évidemment d'autant plus utile que l'horizon de prévision futur est éloigné et que la fréquence d'observation est petite. Ce coefficient est aussi parfois appelé "volatilité relative".

(113)

Remarque: L'indice de référence est choisi de la manière la plus pertinente possible avec ce que cela implique... Si possible lorsque le rendement de l'indice est nul, la variation de la valeur du portefeuille ou de l'actif devrait aussi être nulle.

Une simple analyse du graphique (c'est de l'analyse fonctionnelle élémentaire) montre donc qu'un coefficient bêta égal à 1 pour un titre/actif donné signifie qu'une augmentation (respectivement : diminution) de 10 % du return des titres sur le marché pendant une certaine période se traduira par une augmentation (respectivement : diminution) de 10 % en moyenne du rendement de ce titre. Donc la volatilité de l'actif est égale à celle de l'indice. Un bêta supérieur à 1 signifie que l'évolution du return de l'actif financier est plus volatile (ou plutôt, était volatile, puisque ce coefficient se réfère généralement à une période passée) que celle du return du marché, tandis qu'un bêta inférieur à 1 révèle l'inverse. Ainsi, un fonds ayant un bêta de 1.15 est de 15% plus volatil que l’indice. Inversement, un fonds ayant un bêta de 0.70 est 30% moins volatile que l’indice. Donc pour résumer : 1. Un investissement ne présentant aucun risque afficherait donc un bêta nul ! 2. Un bêta inférieur à 1 indique que si le marché est à la baisse, le titre sera susceptible de baisser moins que le marché.

3. Un bêta supérieur à 1 indiquera que si le marché est à la hausse, le titre sera susceptible de suivre moins rapidement la tendance à la hausse. Le concept de bêta ayant été introduit, passons maintenant à la théorie du modèle qui a pour objectif donc de simplifier celui de Markowitz en utilisant ce fameux coefficient. Par définition, le bêta global d'un portefeuille est déterminé à partir des bêta pondérés respectifs de chacun des titres ou bêta sous-jacents qui le composent tel que:

(114)

avec

étant le bêta du portefeuille global, Xi la proportion du titre i dans le portefeuille P,

le bêta du titre i et n le nombre d'actifs financiers présents dans le portefeuille. Sharpe donc que le rendement Ri de chaque actif i à un instant t est donné par la régression linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) security characteristic line vue plus haut : (115)

où : - I est donc le rendement d'un indice économique donné (indice boursier, indice du produit national brut, indice des prix ou voir même rendement le rendement du portefeuille du marché lui-même…) au temps t et est la variable expliquée de la régression (selon la terminologie utilisée dans le chapitre de méthodes numériques) considérée comme une variable aléatoire. sont des estimateurs non biaisés (cf. chapitre de Statistiques) des paramètres propres à cette valeur. Le premier terme appelée en finance "coefficient alpha" est simplement l'ordonnée à l'origine de la régression (le rendement de l'actif lorsque le rendement de l'indice de référence est nul soit lorsque le marché à un rendement nul) et le deuxième paramètre est pour rappel simplement le bêta du portefeuille risqué i. -

une variable aléatoire supposée caractérisée par une espérance nulle, une variance égale à

une constante et les différents

sont supposés non corrélés entre eux (covariance nulle).

Quant au niveau de l'indice I, il sera caratérisé par la relation (afin de simplifier les développements plus tard) : (116)

où est un paramètre non biaisé supplémentaire pour caractériser l'indice I et une variable aléatoire caractérisée par une espérance nulle et une variance égale à une constante

Pour résumer les points principaux, le modèle de régression linéaire simple des rendements des actifs financiers est basé sur les hypothèses majeures suivantes : H1. Le modèle de rendement s'écrit de manière générale : (117)

en supposant que nous n'avons pas fait d'erreur sur la forme linéaire du modèle, ni sur la liste des régresseurs. H2. Nous supposons que la perturbation de la régression est d'espérance nulle telle que : (118)

H3. Pour n'importe quel échantillon de taille n, nous utilisons les estimateurs de maximum de vraisemblance (cf. chapitre de Statistiques) pour l'espérance et variance des rendements des actifs financiers du portefeuille de référence :

(119)

Ces hypothèses posées, nous utilisons aussi les résultats obtenus dans le chapitre de méthodes numériques sur la régression linéaire pour obtenir le bêta. Nous y avons démontré qu'il existait plusieurs manières de faire une régression linéaire donc une consiste à utiliser la covariance et l'espérance. En adoptant les notations de l'économétrie, la pente de la régression peut alors s'écrire :

(120)

ce qui donne la définition rigoureuse du coefficient bêta selon le modèle de Sharpe où Ri est le rendement de l'actif financier et RI le rendement du marché (ou du portefeuille du marché/référence). Définition (rigoureuse): Le "coefficient bêta" est donné par le rapport de la covariance des rendements et indices des actifs avec l'écart-type de l'indice du marché du portefeuille. Maintenant, en considérant la même hypothèse que dans le modèle de Markowitz, le rendement

d'un portefeuille est défini à nouveau assez logiquement par :

(121)

Si les rendements ne sont pas explicitement connus dans les pratique, nous utilisons alors le modèle linéaire :

(122)

Dès lors en utilisant les propriétés de l'espérance :

(1 23)

Posons pour simplifier l'écriture que :

(124)

Dans ce cas, comme par hypothèse

:

(125)

Finalement:

(126)

Si les rendements sont explicitement données et donc connus l'espérance se calculera avec :

(127)

Comme le client va souvent chercher à maximiser l'espérance tout en minimisant la variance (le risque) il nous reste à déterminer cette dernière. Etant donnée que maintenant supposons explicitement connus les rendements des actifs financiers du portefeuille et les rendements du portefeuille (indice) du marché nous avons :

Hypothèse : Si l'indice I est correctement choisi, lorsque qui implique Ainsi :

nous devons avoir

(c'est une hypothèse forte qui amène à avoir une approximation!).

ce

(128)

Finalement :

(129)

Ce qui donnerait donc pour un portefeuille comportant deux titres :

(130)

Nous pouvons condenser la notation de la variance en utilisant les notations matricielles en notant d'abord respectivement le vecteur transposé et le vecteur colonne des poids des actifs du portefeuille par :

(131)

et en en définissant la matrice des bêta :

(132)

Ce qui nous donne finalement :

(133)

Ce qui donne pour un portefeuille de deux titres :

(134)

Nous retrouvons donc bien la même chose que la forme algébrique. Si nous ne connaissons pas explicitement les rendements, l'étude de la variance est un peu plus délicate. Il faut alors utiliser le modèle linéaire tel que :

(135)

En outre, notons: (136)

De plus nous savons que: (137)

Dès lors:

(138)

car Finalement :

.

(139)

Dans ce contexte le problème revient toujours à maximiser la fonction économique Z :

(140)

simplement que maintenant elle s'écrit :

(141)

Le calcul de chacune des dérivées partielles donne alors :

(142)

soit sous forme matricielle :

(143)

La résolution de ce système passe alors par l’inversion d'une matrice plus simple que celle du modèle de Markovitz mais nécessite cependant des d'hypothèses relativement contraignantes. Par ailleurs, les financiers utilisent souvent les indicateurs de rendement modéré par le risque, le plus répandu au niveau international étant le "ratio de Sharpe". Il est déterminé par le rapport entre le rendement (pour être plus exact il s'agit de son espérance) différentiel du rendement d'un placement (actif) sans risque et le rendement du marché et la déviation

standard du placement sans risque (nous déterminerons rigoureusement l'origine de cette relation plus loin lors de notre étude du MEDAF):

(144)

Relation qui exprime donc le niveau de rendement pure par unité de volatilité (ou par unité de risque). Pour simplifier, c'est un indicateur de la rentabilité (marginale) obtenue par unité de risque pris dans cette gestion. Il permet de répondre à la question suivante : le gestionnaire parvient-il à obtenir un rendement supérieur au référentiel, mais avec davantage de risque? - Si le ratio est négatif, le portefeuille a moins performé que le référentiel et la situation est très mauvaise. - Si le ratio est compris entre 0 et 0.5, le sur-rendement du portefeuille considéré par rapport au référentiel se fait pour une prise de risque trop élévée. Ou, le risque pris est trop élevé pour le rendement obtenu. - Si le ratio est supérieur à 0.5, le rendement du portefeuille sur-performe le référentiel pour une prise de risque ad hoc. Autrement dit, la sur-performance ne se fait pas au prix d'un risque trop élevé. Ce qui donne en développant :

(145)

Ces modèles sont relativement complexes. Raison pour laquelle quelques années plus tard, Sharpe et Lintner ont créé un nouveau modèle qui leur à valu le prix Nobel d'économie et que nous allons étudier de suite après un exemple pratique de ce que nous venons de voir. Exemple: Considérons trois titres composants un portefeuille en proportions égales et les n observations de leur rendement

saisis dans MS Excel. Ces rendements seront comparés à un indice de

référence I qui sera le rendement d'un portefeuille de marché de référence

:

Le but se de déterminer la frontière d'efficience du portefeuille avec le modèle de Sharpe. En détail sous forme graphique voici d'abord les bêtas (rendement de l'actif en fonction du rendement du portefeuille de marché/indice de référence) obtenus avec MS Excel :

(146)

et le tableau de construction suivant pour le calcul des bêta, la variance et l'espérance du portefeuille du marché et des différents titres :

(147)

Voici les détails du calcul (remarquez que les bêtas sont obtenus à l'aide d'une simple régression linéaire avec l'indice de référence qui est le portefeuille et les autres paramètres avec les estimateurs non biaisés) :

(148)

L'espérance du rendement du portefeuille composé des trois titres est facile à calculer puisque nous avons leur rendement. Donc :

(149)

Ce qui donne sous MS Excel :

(150)

Soit de manière détaillée :

(151)

Maintenant, il nous faut calculer l'espérance en utilisant la relation démontrée dans la partie théorique des paragraphes précédents : (152)

avec pour rappel dans notre cas particulier :

(153)

avec dans notre exemple

(cellule B13).

Soit sous forme développée pour notre exemple :

(154)

Ce qui donne dans MS Excel pour notre matrice des bêtas :

(155)

Soit sous forme développée (la matrice est symétrique) :

(156)

Et finalement le couple variance/espérance du portefeuille est donné par :

(157)

Soit sous forme détaillée :

(158)

Une fois ceci fait, nous procédons comme pour la frontière de Markowitz. Nous utilisons le solveur en minimisant la variance tout en imposant une espérance et une contrainte comme quoi la somme des parts des actifs financiers est égale à l'unité :

(159)

Ce qui donne le tableau variance/rendement suivant (à comparer avec le même tableau de Markowitz) :

(160)

et le graphique suivant (comparaison directe avec Markowitz mise en évidence) :

(161)

La suite de l'exercice (C.M.L.) se fait de la même manière que dans le modèle de Markowitz.

MODÈLE D'ÉVALUATION DES ACTIFS FINANCIERS (MEDAF) Comme nous l'avons vu, Markowitz (1959) a développé la théorie du choix optimal d'un portefeuille par un individu sur la base du rendement espéré de la variance. Plus tard (1963) , Sharpe élabore une modèle de choix d'actifs basé sur des indices de risques comme les coefficients bêta. Sharpe, Lintner et Mossin (1965) ont ensuite étudié les conséquences de ces théories pour mettre en place une théorie extrêmement simple permettant d'évaluer les coefficients bêta, les rendements espérés et les variances d'actifs financiers d'un portefeuille à partir de données statistiques sur le marché global et de la spécificité de la composition d'un portefeuille. Cette théorie basée encore une fois sur le problème moyenne-variance est appelée "modèle d'évaluation des actifs financiers" (MEDAF) ou "capital asset pricing model" (C.A.P.M.) est donc un modèle très souvent utilisé, aussi bien par les praticiens que par les académiciens, pour évaluer les rendements anticipés d'équilibre sur n'importe quel actif risqué sur le marché. Pour commencer, rappelons que nous avons vu plus haut lors de notre étude du return que le taux de rentabilité périodique (quotidien, hebdomadaire, mensuel, annuel) d'un actif se calcule comme suit :

(162)

avec

qui est le prix d'un actif à la fin de la période t,

période t-1 et finalement allant de t-1 à t.

le prix d'un actif à la fin de la

le flux monétaire payé par l'actif pendant la période de détention

Cette relation sert à calculer le "rendement réalisé" (ex post) d'un titre alors qu'au fait c'est le "rendement espéré" qui intéresse un investisseur donné. À la date de la prise de la décision, le rendement que va réaliser l'investisseur en détenant un actif donné est incertain, c'est pour cette raison qu'on parle de rendement espéré: il s'agit d'un rendement que l'on cherche à évaluer et qu'on espère recevoir dans la prochaine période d'investissement. Pour calculer le rendement espéré, comme nous l'avons déjà vu, il convient d'attribuer à chaque valeur possible du rendement une probabilité de réalisation, puis de calculer une moyenne pondérée de ces différentes valeurs possibles en utilisant les probabilités pondérations :

(163)

comme

Or, il est clair que dans une économie donnée, l'investisseur sera tenté de détenir plusieurs actifs financiers et cherchera donc à composer des portefeuilles. Le rendement (moyen) espéré d'un portefeuille peut être calculé en utilisant la relation connue :

(164)

avec n qui est le nombre de titres inclus dans le portefeuille, inclus dans le portefeuille et dans l'actif i.

le rendement de l'actif i

la proportion de la richesse totale de l'investisseur investie

Le taux de rendement espéré est cependant insuffisant pour caractériser une opportunité d'investissement et il faut tenir compte également du risque, c'est à dire de la variabilité du rendement de cet investissement sur l'actif financier. La variance est comme nous l'avons déjà vu utilisée comme mesure du risque et donnée pour un actif financier par : (165)

Soit :

(166)

Le calcul du risque d'un portefeuille fait donc intervenir deux concepts importants: la variabilité du rendement de chacun des actifs, mesurée par les variances de ces derniers, ainsi que les relations existantes entre les différents actifs composant le portefeuille. La dépendance entre deux actifs est souvent mesurée, comme nous en avons déjà fait mention lors de notre étude des return, par la covariance ou encore le coefficient de corrélation linéaire. La covariance entre deux actifs i et j se calcule comme suit :

(167)

Soit comme nous le savons si les probabilités sont équiprobables :

(168)

La covariance entre les rendements de deux titres peut être positive ou négative et sa valeur n'a aucune signification économique comme nous le savons (cf. chapitre de Statistiques).

Remarque: Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de statistiques que lorsque les rendements (valeurs) de deux actifs (variables aléatoires) varient dans le même sens (dans le sens contraire) la covariance sera positive (négative).

Le coefficient de corrélation entre deux actifs i et j quant à lui se calcule comme suit (cf. chapitre de Statistiques):

(169)

Une fois les variances et covariances des différents actifs calculés, nous serons en mesure de calculer la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs. Cette variance est donnée par la relation suivante (cf. chapitre de Statistiques) :

(170)

ou écrit autrement :

(171)

La relation ci-dessus de la variance de rendement d'un portefeuille montre clairement que même dans le cas où les rendements des différents actifs détenus dans le portefeuille sont totalement non corrélés, la variance de ce dernier peut encore être réduite en ajoutant plus d'actifs. Pour comprendre ceci, nous noterons que pour n actifs non corrélés, la variance se réduit à (puisque la covariance est alors nulle):

(172)

En simplifiant davantage, si toutes les variances sont supposées égales et si tous les actifs sont détenus dans les mêmes proportions (1/n), nous avons (cf. chapitre de Statistiques) :

(173)

Ainsi, quand n tend vers l'infini, la variance du portefeuille s'approche de zéro. Ainsi, si des risques non corrélés sont réunis en portefeuille, le risque total peut être éliminé par diversification. Dans le cas où les risques sont corrélés, la diversification ne permettra d'éliminer que les risques spécifiques aux actifs alors que le risque de marché continuera d'exister. Notons que la réduction du risque serait plus importante lorsque les différents actifs

détenus sont négativement corrélés. En effet, plus le coefficient de corrélation entre les rendements des titres est petit, plus les bénéfices inhérents à la diversification sont substantiels. Dans le cas ou le coefficient de corrélation est égal à 1, il n’y a aucun bénéfice lié à la diversification, puisque le risque du portefeuille sera égal à la moyenne pondérée des risques le composant. Par contre la diversification est à son maximum lorsque le coefficient de corrélation est égal à -1. Dans cette situation il est possible de combiner deux actifs risqués pour former un portefeuille sans risque. D'après ce qui précède, il est clair que tout investisseur désirant former un portefeuille cherchera à détenir un ensemble d'actifs risqués qui lui permettra de recevoir un rendement donné avec un minimum de risque. En d'autres termes, il cherchera à minimiser la variance pour un niveau de rendement espéré tout en respectant une contrainte budgétaire. Nous savons que le rendement espéré et la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs risqués s'écrivent comme suit :

(174)

Par ailleurs, nous savons qu'à partir de ces n titres, il possible de construire une infinité de portefeuille en faisant varier les pondérations Xi. Or, les portefeuilles les plus intéressants pour un investisseur donné sont ceux qui permettent de minimiser le risque qu'il doit supporter pour obtenir un niveau de rendement donné. Ces portefeuilles sont le résultat du problème de minimisation suivant qui est un problème d'optimisation non linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) :

(175)

que nous avions déjà vu lors de notre étude du modèle de Markowitz. Il est donc possible de constituer une infinité de portefeuilles en faisant varier les proportions investies dans chacun des titres. La prochaine étape consiste à sélectionner, parmi l’ensemble des portefeuilles disponibles, un portefeuille donné. Pour ce faire, on doit considérer les préférences individuelles de l’investisseur. Un investisseur rationnel ne devrait donc considérer que les portefeuilles se trouvant sur la frontière efficiente pour ses choix d'investissement. Son portefeuille optimal se situera donc au point de tangence entre la frontière efficiente et sa courbe d'indifférence la plus haute qu'il serait capable d'atteindre. En procédant ainsi, chaque investisseur maximisera son utilité espérée. En présence d'une économie ne contenant que des actifs risqués, la composition du portefeuille d'actifs risqués varie d'un individu à un autre.

En pratique, les investisseurs ont également la possibilité d'investir dans des actifs financiers sans risques. Nous allons donc chercher à déterminer la nouvelle frontière efficiente en tenant compte de cette nouvelle opportunité d'investissement. Considérons alors un portefeuille qui est une combinaison de l'actif sans risque et d'un portefeuille de marché (à risque). Nous avons alors : (176)

où est la fraction du portefeuille investie dans le portefeuille du marché (m) et "taux de rendement certain".

est le

Rappel : L'espérance d'une constante est égale à cette constante (cf. chapitre de Statistiques). Nous avons donc : (177)

et donc (en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre de statistiques) :

(178)

Soit : (179)

La dérivée du rendement espéré par rapport à

nous donne :

(180)

La dérivée de l'écart-type par rapport à

nous donne :

(181)

Mettant ces deux résultats ensemble, nous avons :

(182)

Cette équation nous donne la pente de la "capital market line" (C.M.L.). Elle est constante (la pente!), et donc la C.M.L. est une droite. L'ordonnée à l'origine est évidemment

.

Puisque : (183)

L'équation de la C.M.L. se réduit alors à :

(184)

Et puisque dans la finance l'intérêt est de représenter graphiquement . (185)

Alors il est de tradition de noter la fonction sous la forme suivante :

où nous retrouvons en facteur de l'écart-type de le coefficient appelé "Sharpe ratio" (ou ratio de Sharpe) dont nous avions parlé plus haut mais sans en démontrer la provenance. Par construction, cette droite associe donc à chaque niveau de risque, la rentabilité espérée la plus élevé. Ainsi, étant donnée le rendement d'un actif sans risque il devient facile à partir de cette équation de déterminer le point de tangence avec la frontière d'efficience de Markowitz ou de Sharpe pour obtenir le portefeuille le plus efficient sur la base du rendement sans risque!! Intéressons nous maintenant à déterminer une équation pour le rendement espéré de n'importe quel actif individuel.

Considérons un nouveau portefeuille de rendement

qui est une combinaison d'un actif

sans risque quelconque A et du portefeuille de marché, où investie dans l'actif sans risque A.

est la fraction du portefeuille

Ce que nous souhaiterions évaluer est le pente de la courbe des combinaisons espérance/écarttype lorsque nous combinons le portefeuille de marché (qui contient déjà l'actif A) avec l'actif A. Nous souhaitons évaluer la valeur de la pente de l'équation tangente à la frontière efficiente telle que la pondération de l'actif sans risque A soit nulle. Nous avons : (186)

Nous obtenons de suite : (187)

et (cf. chapitre de Statistiques) : (188)

donc : (189)

Dérivant le rendement espéré de ce nouveau portefeuille par rapport à

, nous obtenons :

(190)

Dérivant l'écart-type du rendement de ce nouveau portefeuille par rapport à obtenons :

, nous

(191)

La contribution de Sharpe et Lintner a été de dire qu'il faut évaluer ces dérivées au point où c'est-à-dire où la pondération de l'actif A dans le nouveau portefeuille est nulle.

Ce faisant, nous obtenons, l'expression suivante pour l'écart-type du nouveau portefeuille (bien sûr, l'expression pour le rendement espéré ne change pas) :

(192)

ce qui donne après simplification :

(193)

Avec les deux dérivées, nous pouvons obtenir une expression pour la courbe de combinaisons de combinaisons espérance/écart-type pour le nouveau portefeuille. Nous avons alors :

(194)

Cette pente doit être égale à celle de la C.M.L. En égalisant, nous obtenons :

(195)

Quelques manipulations algébriques et nous y sommes! Nous avons :

(196)

et donc :

(197)

d'où :

(198)

En posant ce que nous avons déjà vu lors de notre étude du modèle de Sharpe, c'est-à-dire le risque non diversifiable sous forme de facteur bêta :

(199)

c'est donc la volatilité de la rentabilité de l'actif considérée rapportée à celle du marché. Nous avons alors : (200)

Cette expression permet donc d'exprimer le rendement excédentaire d'un actif comme le produit du rendement excédentaire du portefeuille de marché et le facteur bêta du titre. Le rendement excédentaire d'un actif ne dépend pas directement que de sa variance, qui est souvent une mesure intuitive du risque d'un actif. Ce qui compte est sont facteur bêta, qui dépend de sa covariance avec le portefeuille de marché. Plus classiquement, la dernière relation est utilisée graphiquement sous forme de droite : (201)

Cette droite est appelée la "security market line" (S.M.L.) elle est extrêmement importante en finance car elle donne donc le rendement moyen d'un titre A en fonction du bêta, du rendement du marché et du taux sans risque. On la trouve aussi fréquemment sous la forme suivante : (202)

avec qui est appelé la "prime par unité de risque" (surplus de rentabilité exigé par les investisseurs lorsque ces derniers placent leur argent sur le marchée plutôt que dans un actif sans risque) et l'ordonnée à l'origine est le taux d'intérêt sans risque (généralement des emprunts d'état). Le MEDAF stipule donc que le taux de rendement espéré (ou que devrait exiger un investisseur rationnel averse au risque) d'un actif risqué doit être égal au taux de rendement de l'actif sans risque, plus une prime de risque. Dans ce cas, la relation entre le risque systématique et le rendement espéré demeure linéaire et seul le risque systématique doit être rémunéré par le marché puisque le risque spécifique peut être éliminé grâce à la diversification. Il est peut-être intéressant d'expliciter les hypothèses sur lesquelles reposent mathématiquement les développements que nous avons fait. Ce sont donc les hypothèses du MEDAF dont un certain nombre d'hypothèses dont certaines semblent difficilement

acceptables. Il ne faut pas cependant oublier que la validité d'un modèle ne dépend pas du réalisme de ses hypothèses mais bien de la conformité de ses implications avec la réalité. Nous avons donc émis les hypothèses suivantes : H1. Les investisseurs composent leurs portefeuilles en se préoccupant exclusivement de l'espérance et de la variance de rendement de ces derniers H2. Les investisseurs sont averses au risque: ils n'aiment pas le risque H3. Il n'y a pas de coût de transaction et les actifs sont parfaitement divisibles H4. Ni les dividendes, ni les gains en capitaux ne sont taxés H5. De nombreux acheteurs et vendeurs interviennent sur le marché et aucun d'entre eux ne peut avoir d'influence sur les prix. H6. Tous les investisseurs peuvent prêter ou emprunter le montant qu'ils souhaitent au taux sans risque. H7. Les anticipations des différents investisseurs sont homogènes H8. La période d'investissement est la même pour tous les investisseurs

MODÈLE D'évaluation des options de BLACK & SCHOLES C'est au génie de trois célèbres mathématiciens que le marché des dérivés doit son succès, grâce à la formule Black & Scholes conçue dans les années 1970. Black, Scholes et Merton sont les ancêtres d'une génération de produits dérivés sophistiqués, donnant droit de cité à tout un lexique de termes aussi exotiques que Butterflies, Rainbows, Knock-in, Knock-out, Barrières, Swaps, Calls, Puts, Baskets, Swings. Ce que nous aimerions dans ce qui va suivre, est de déterminer la valeur théorique d'une option à partir des cinq données suivantes : 1. La valeur actuelle de l'actif financier sous-jacent de l'option (déterminée par la spéculation du marché). 2. Le temps qui reste à l'option avant son échéance (choisie par la société émettrice). 3. Le prix d'exercice (Strike) fixé par l'émetteur subjectivement ou après modélisation. 4. Le taux d'intérêt sans risque (supposé comme étant le taux de rendement attendu du sousjacent). 5. La volatilité (écart-type) du prix du sous-jacent de l'option (mesurée sur le marché).

La modélisation du cours des options (Black & Scholes) repose sur l'utilisation du calcul différentiel stochastique. Ainsi, l'approche de Black et Scholes suppose que l’évolution du cours de l’action définit un mouvement brownien géométrique (dans le sens que les mouvements possibles du prix tendent vers l'infini) et que son rendement définit un processus de Wiener généralisé (concept que nous allons définir un peu plus loin).

ÉQUATION DE PARITÉ CALL-PUT Avant de nous attaquer a des calculs stochastiques un peu ardus il est utile d'établir au préalable une équation dite de "parité Call-Put" qui nous servira de sorte d'équation de conservation pour vérifier la validité des résultats que nous établirons par la suite sur l'évaluation des prix des options. L'objectif va être de répondre à la question suivante : Quelle somme M devons nous payer maintenant pour recevoir une somme garantie E appelée "prix d'exercice" (ou "strike price") à un temps futur T ? Ainsi, nous avons vu lors de notre étude du calcul d'intérêts qu'en considérant un capital C et un intérêt r constant nous avions trivialement :

(203)

Dès lors, en posant

et

nous avons : (204)

d'où : (205)

Mais cette relation n'est pas tout à fait juste. Effectivement, nous devons avoir M = E assuré au temps T - t . Dès lors nous somme naturellement amenés à poser : (206)

Nous allons maintenant supposer que le call et le put possèdent les caractéristiques suivantes : 1. Même support qui vaut S à l'instant t. 2. Même échéance T 3. Même prix d'exercice E Dès lors, étant donnée C le prix d'un call et P le prix d'un put à même échéance T et à même valeur et S un titre, nous avons alors pour la valeur du portefeuille :

(207)

Cette relation ainsi que les précéentes supposent les hypothèses suivantes : 1. Il n'existe pas de coûts de transaction 2. Le support n'est pas un instrument à terme (i.e. payable ou livrable immédiatement) : nous disons que le support est "spot". 3. Le support spot ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l'option ( i.e. entre [0;T] ). 4. Les options sont européennes En nous posant maintenant la question : Quelle somme devons nous payer maintenant pour un portefeuille afin de recevoir une somme garantie E (prix d'exercice) à un temps futur T ? Le portefeuille pouvant être considérée comme une boîte noire, rien ne nous empêche dès lors d'écrire : (208)

qui n'est rien d'autre que "l'équation de parité Call-Put". Cette relation montre que la valeur d'un call européen avec prix d'exercice E et maturité T peut être déduite de celle d'un put européen avec le même prix d'exercice E et la même maturité T.

HypothÈsE efficiente du marchÉ Le modèle de Black & Scholes se base sur le postulat que le marché est "efficient". Définition: Un "marché efficient" (efficient market hypothesis en anglais... - abrégée E.M.H) est un marché où les prix reflètent complètement toute l'information disponible. Ainsi, si le marché est efficient, il n'est pas possible de faire des profits anormaux. Nous pouvons distinguer trois types de marchés efficients qui sont fonction du type d'information disponible: 1. L'hypothèse de marché efficient en "forme faible" qui explicite que les prix reflètent toute l'information contenue dans la série historique des prix 2. L'hypothèse de marché efficient en "forme semi-forte" établit que les prix reflètent toute l'information publique disponible. 3. L'hypothèse de marché efficient en "forme forte" qui établit que toute l'information connue, publique et privée, est reflétée dans les prix du marché.

Plusieurs études ont essayé de tester l'hypothèse de l'efficience des marchés des actifs. Pour tester la forme faible de l'hypothèse, on a utilisé l'analyse des séries temporelles en testant spécifiquement l'hypothèse d'une marche au hasard (mouvement brownien - nous y reviendrons). Plus spécifiquement ces tests ont essayé de tester si les accroissements des prix sont indépendants des accroissements passés. Si l'hypothèse d'une marche au hasard est rejetée, alors le marché n'est pas efficient, car les accroissements de prix passés pourraient aider à anticiper les prix futur des actifs. L'évidence empirique soutient l'hypothèse de marché efficient en forme faible. Pour tester la forme semi-forte de l'hypothèse, on a évalué la vitesse d'ajustement des prix de marché à l'arrivée de nouvelle information; l'évidence en faveur d'un rapide ajustement des prix de marché est dominante. La forme forte de l'hypothèse de l'efficience des marchés, consiste à tester s'il est possible de profiter sur la base d'information privilégiée (information accessible à un petit groupe des agents économiques). Etant donné qu'on ne peut pas identifier l'information non publique, un type de test de forme forte considère l'examen de la performance d'investissement des individus ou groupes qui pourraient avoir de l'information privée. Elton et Gruber (1984) signalent que l'analyse de la performance des fonds mutuels, après déduction des coûts, soutient la forme forte de l'efficience. Ceci implique les hypothèses suivantes (pour résumer en gros) : H1. L'histoire passée du cours de l'option est complétement réfléchie dans le prix présent qui ne contient lui pas d'autres informations sur l'option H2. Le marché réponde immédiatement à toute nouvelle information sur le prix d'une option. Le paradoxe du postulat des marchés efficients tient à ce que si chaque investisseur pensait vraiment que le marché était parfaitement efficient, alors personne n'étudierait les sociétés, leurs bilans, etc. Il suffirait d'acheter de l'indice. En vérité, les marchés efficient dépendent d'individus actifs sur le marché parce qu'ils pensent que ce marché est "inefficient" et qu'ils peuvent faire mieux que le marché ! Ce postulat est source de beaucoup de débats dans le domaine... Remarque: Avec les deux hypothèses précédement énononcées, tout changement nonanticipé dans le prix de l'option est appelé un "processus de Markov".

Rappel : un processus de Markov est un processus dont l'évolution future ne dépend de son passé qu'à travers son état à l'instant. Or, le cours d'une action n'est vraisemblablement pas un processus de Markov : la "mémoire" du processus est probablement plus longue (par exemple une tendance saisonnière)

PROCESSUS DE WIENER Soit

la variation de la valeur d'une option sur un petit intervalle de temps noté

.

Nous posons que (dans le sens que la variation de l'option est similaire à la variation de la valeur du sous-jacent!) et avec à l'aide de la connaissance des deux résultats majeurs du

modèle de Bachelier vu plus haut nous avons donc une espérance variable dans le temps de la valeur de l'option selon: (209)

où nous posons comme hypothèse que: (210)

où rappelons-le, N(0,1) est la notation de la loi normale centrée réduite telle que nous l'avons établi dans le chapitre de Statistiques. Ce qui est souvent noté de la manière suivante après intégration dans la littérature spécialisée: (211)

et défini comme étant un "mouvement brownien standard" et le W est là pour faire honneur à Wiener! Il est possible de produire un graphique de ce mouvement brownien dans MS Excel avec dans la colonne A le temps avec un pas typique de 0.01 [s] et dans la cellule B2 la formule suivante: =B1+NORMSINV(RAND())*SQRT(0.1) où B1 contient la valeur 0. Nous obtenons alors pour 4 colonnes du même type:

(212)

Les mouvements browniens standards ont certaines propriétés remarquables comme nous pouvons le voir: la trajectoire à tendance à alterner au-dessus et en dessous de l'axe des abscisses. Cela provient de ce que la loi Normale considérée est d'espérance nulle, autrement dit qu'il n'y pas de tendance générale à la hausse ou à la baisse. Mais ceci n'est pas vraiment conforme à la réalité. Nous préférons alors ajouter un décalage constant dans le temps ce qui donne le mouvement brownien que nous allons voir maintenant. Il est facilement possible de caractériser

à l'aide de son espérance : (213)

effectivement, rappelons que pour la loi Normale centrée réduite nous avons : (214)

Nous pouvons également caractériser

à l’aide de sa variance : (215)

d'où : (216)

effectivement, rappelons que pour la loi Normale centrée réduite nous avons :

(217)

Finalement (au fait ce résultat découle de manière immédiate de la propriété de linéarité de la loi Normale): (218)

La propriété qui vient d’être établie reste valable pour un grand intervalle de temps noté T correspondant à n petits intervalles . En d’autres termes . Dans ce contexte, il convient de remplacer

par

. Or :

(219)

Comme dans l’hypothèse d’une évolution du cours sur un petit intervalle de temps, il est possible de caractériser

à l’aide de son espérance et de son écart type :

(220)

Rappelons la propriété démontrée de la variance (cf. chapitre de Statistiques): (221)

Nous retrouvons alors, pour un grand intervalle de temps T : (222)

Il est également possible d'écrire que : (223)

Si tend vers 0 (ce qui revient à considérer une subdivision du temps T en intervalles extrêmement petits) le cours de l’option subit sur la période T un nombre infiniment grand de variations. En d’autres termes, le processue d’évolution du cours de l’option est continu, ce qui conduit à remplacer par dt, par dx et par dz. Dans ce cas, nous obtenons : (224)

ce qui définit un "processus de Wiener" (nous reviendrons là-dessus lorsque nous aurons établi l'équation différentielle stochastique).

MOUVEMENT BROWNIEN généralisé Dans ce cas, l'évolution du cours dépend non seulement d'un processus aléatoire brownien standard (deuxième terme à droite de l'égalité), mais également d'un paramètre de tendance centrale, ou "drift" (premier terme à droite de l'égalité): (225)

avec toujours : et

(226)

Nous avons donc un mouvement brownien généralisé, constituté d'un mouvement brownien standard (dz représenté donc par une loi normale d'espérance nulle et de variance dt comme nous l'avons vu plus haut) et d'un drift. Dans ce scénario, a et b sont imposés comme constant contraitement au cas plus général que nous verrons un peu plus loin. La relation antéprécédente est souvent représentée dans la littérature sous la forme suivante: (227)

Donc graphiquement cela donne, en rajoutant ce drift et en prenant une valeur positive et non nulle pour a, un mouvement brownien qui aura tendance à alterner au-dessus et en dessous du drift:

(228)

Sur un petit intervalle de temps

, le processus, en temps discret s'écrit bien évidemment :

(229)

Dans ce cas, nous avons : (230)

dans la mesure où seule

a une composante aléatoire.

Ainsi :

(231)

Finalement : (232)

En subdivisant une période T en n intervalles de temps cours devient sur cette période T :

(soit

), la variation du

(233)

Dès lors :

(234)

Finalement : (235)

Soit: (236)

ou encore : (237)

PROCESSUS D'ITO Considérons maintenant un processus correspondant à une variation de x en temps continu (ou suffisament régulière...) définie par : (238)

a et b étant alors des fonctions des 2 variables x et t. Cette considération est ce que nous appelons un "processus d'Ito". Il s'agit donc d'une généralisation du cas précédent où a et b ne sont plus constants. Il est possible de calculer l'espérance et la variance de dx exactement de la même façon à celle que pour le processus de Wiener et nous obtenons très facilement par analogie : (239)

Par conséquent nous pouvons écrire :

où a(x,t) correspondant au drift instantané et b(x,t) à la variance instantanée. Le "mouvement brownien géométrique" qui permet de définir théoriquement la meilleure prédiction d'évolution du rendement d'une option est un cas particulier de processus d'Ito où nous supposons que : et

(240)

Dès lors nous pouvons écrire l'expression du mouvement brownien géométrique de la valeur de l'option notée : (241)

Souvent représentée dans la littérature sous la forme suivante: (242)

ou encore plus explicitement: (243)

L'interprétation financière de la relation antéprécédente devient apparente lorsque nous divisons les deux membres par x:

ce qui correspond aux taux de rentabilité de l'option (ou tout autre actif de la même famille) sur une période infinitésimale dt. Le mouvement brownien géométrique est donc à priori un bon candidat pour modéliser l'évolution du prix d'un actif financier à partir de sont taux de rentabilité. Dans la littérature spécialisée, le return est aussi parfois noté (notation justifiée) sous la forme de l'équation différentielle stochastique suivante :

(244)

où est bien évidemment le prix de l'option (sous-jacent) appelé "stock price" au temps t. C'est la notation que nous adopterons pour la suite. Au cas où (processus de Wiener, autrement dit le prix de l'action est parfaitement connu à un temps donné), nous nous retrouvons avec une équation différentielle (connue dans le domaine) que nous pouvons de suite résoudre :

(245)

où rappelons que dans la littérature spécialisée, "volatilité".

est appelé la "dérivation" et

la

Nous allons établir maintenant à l'aide du "lemme d'Ito", qu'il est possible (ce qui n'est pas une possibilité unique!) d’établir qu’un tel processus peut définir une loi log-normale (cf. chapitre de Statistiques). Le lemme d'Ito est établi à partir de la formule de Taylor à 2 variables x et t définie par :

(246)

avec

à l'origine du mouvement brownien.

En considérant , et en prenant les termes que jusqu'au deuxième ordre (approximation formelle périlleuse mais numériquement non obligatoire à l'aide de la puissance de calcul des ordinateurs), nous avons :

(247)

Revenons maintenant à : (248)

Elevons au carré, nous obtenons : (249)

Or : (250)

et comme nous l'avons démontré en probabilités et statistique: (251)

Nous avons alors : (252)

Donc : (253)

Par ailleurs : (254)

qui tendent tout deux vers 0 quand

tend vers 0.

Par conséquent : (255)

En considérant une subdivision du temps en intervalles dt extrêmement petits qui implique , donc en se plaçant en temps continu (donc un modèle continu), l'application de la formule de Taylor peut alors s'écrire:

(256)

il s'agit du lemme d'Ito également appelé "théorème d'Itô-Doeblin". Remarque: Comparer la forme de la dernière égalité à la relation

Si nous prenons: (257)

Dès lors :

(258)

Dans ce cas :

(259)

En revenant à l’hypothèse de mouvement brownien géométrique, nous savons que nous devons considérer que : et

(260)

Nous avons donc :

(261)

et nous obtenons finalement l'équation différentielle stochastique à coefficient constants :

(262)

Soit en reprenant la notation du début sous forme explicite:

(263)

ou sous une autre forme encore plus explicite:

Remarque: Se rappeler que nous sommes partis de la relation

dF définit alors un mouvement brownien avec drift particulier dont nous pouvons maintenant mesurer les paramètres (c'est ce que nous voulions obtenir). Par conséquent, les résultats que

nous avions obtenu pour le mouvement brownien peuvent êtres récupérés et nous permettent d'écrire :

(264)

ce qui revient dire que dx suit une loi log-normale de paramètres

et

.

Nous avons donc obtenu une formulation (sous forme de fonction de distribution probabiliste) d'une variation temporelle et du return intrinsèque d'une action qui peut être utilisé à des fins décisionnelles d'investissements sur une prévision temporelle donnée (nous devions absolument éliminer la variable intrinsèque x des paramètres de la fonction de distribution puisque cette dernière est en pratique impossible à déterminer à cause du trop grand nombre de facteurs du marché et qu'elle est justement… la valeur que l'on cherchait à déterminer). Critique : Deux prétentions de la formule de Black & Scholes sont que le ln(x) est une variable aléatoire normalement distribuée et que les prix de l'action (Stock) ne s'affectent pas avec le temps. Cependant, un des propriétés principales des données de série chronologique (time-series data) est justement que la variance est auto-régressive (autrement dit : "corrélée"). Il existe d'autres modèles que le log-normale mais celle-ci de par sa facilité est la plus répandue. Il faut cependant encourager d'autres méthodes plus généraliste, numériques et d'autres modèles que ne manqueront pas de développer des mathématiciens.

ÉQUATION DE BLACK & SCHOLES Nous avons obtenu lors des développements précédents, sous la contrainte d'une loi lognormale et d'un mouvement brownien, l'équation différentielle suivante pour la marche aléatoire de la valeur de l'action :

(26 5)

Si nous construisons maintenant un portefeuille consistant en une option et un nombre titres sous-tendants. La valeur du portefeuille est alors exprimée par :

de

(266)

Le différentiel temporel du portefeuille s'écrit alors : (267)

Vous remarquerez que nous supposons constant (et négatif) le nombre de temps.

durant le différentiel

En réunissant les relations précédentes et (nous adoptons ici la notation traditionnelle usitée dans le domaine de l'économétrie où) :

(268)

nous trouvons pour la valeur du portefeuille l'équation différentielle suivante :

(269)

Considérons maintenant que prenons la valeur entière) :

est lié par la relation de dépendance spéculative (dont nous

(270)

Nous pouvons alors écrire :

(271)

Or, nous avons également : (272)

En substituant maintenant le deux relations :

(273)

dans :

(274)

Nous obtenons :

(275)

qui n'est d'autre que l'équation différentielle partielle de Black & Scholes.

L'objectif bien évidemment est de résoudre cette équattion différentielle afin de déterminer le return . Celle-ci ne se laisse par ailleurs pas résoudre en deux lignes. Avant de nous attaquer à cette tâche quelques remarques préalables utiles : R1. D'abord, il est important de comprendre que le "delta" d'une option défini par :

(276)

représente le taux de changement de la valeur des options du portefeuille dépendamment des valeurs des titres sous-jacents S. Ce terme est fondamental dans la théorie et dans la pratique et nous en ferons fréquemment usage. C'est donc une mesure dans la corrélation entre le mouvement de l'option ou autres actifs financiers et dérivés et les sous-jacents. R2. Deuxièmement, l'opérateur différentiel linéaire

donné par :

(277)

aurait une interprétation financière comme mesure de la différence entre le retour d'une option (les deux premiers termes) et l'ensemble d'un portefeuille contenant cette option (les deux dernier termes). Dans le cas d'une option européenne, nous aurions dès lors que la différence des couples de ces termes doit être nulle tel que :

(278)

Je ne suis pas tout à fait convaincu mais si un spécialiste qui lirait ces lignes pourrait m'expliquer qu'il me contacte via la page ad hoc du site. R3. Troisièmement, nous notons que le paramètre (dérivation) est absent. En d'autres termes, la valeur d'une option est indépendant de la vitesse de variation des valeurs des titres sous-jacents. Le seul paramètre qui affecte le prix de l'option est la volatilité de l'option sous-jacente. Une conséquence de cela est que deux personnes ayant des opinion divergents quand à la valeur de sont toujours en entente sur la valeur de l'option. Avant de nous attaquer à la résolution de l'équation B.S. donnons déjà les solutions avec un rappel des termes (cela permettra d'avoir une idée préalable des concepts utilisés lors des développements et de plus je ne risque pas d'écrire ceux-ci avant un ou deux ans…) : Soient F(S,t) la valeur d'une option Call C(S,t) ou Put P(S,t), le prix d'exercice, T la date d'expiration et r l'intérêt

la volatilité du sous-jacent, E

- Pour le Call européen (valeur de l'option d'achat) la solution est : (279)

où N(x) est donc une la loi normale centrée réduite :

(280)

avec :

(281)

et : (282)

La distribution normale cumulée de ce paramètre représente la probabilité que l'option soit exercée dans un univers risque-neutre. Multiplié par E, la valeur normale cumulée du paramètre précédent représente donc en quelque sorte l'espérance, en univers risque-neutre, de paiement du prix d'exercice. L'exponentielle se trouvant dans l'expression de C(S,t) est la facteur d'actualisation. et pour un Put européen (valeur de l'option de vente) :

(283)

Dès lors, le "delta du call" est donné par :

(284)

et le "delta du put" par :

(285)

et il est facile de vérifier que ces solutions satisfont l'équation de parité put-call : (286)

et voici les commandes intégrées à Maple pour lancer le calcul : > with(stats); > CND := proc(d)

> statevalf[cdf,normald](d); > end: > BlackScholesCall:=proc(S,X,T,r,v) > local d1,d2; > d1:=(ln(S/X)+(r+v^2/2)*T)/(v*sqrt(T)); > d2:=d1-v*sqrt(T); > S*CND(d1)-X*exp(-r*T)*CND(d2); > end: > BlackScholesPut:=proc(S,X,T,r,v) > local d1,d2; > d1:=(ln(S/X)+(r+v^2/2)*T)/(v*sqrt(T)); > d2:=d1-v*sqrt(T); > X*exp(-r*T)*CND(-d2)-S*CND(-d1); > end: Voici ce que cela donne pour une option sur un sous-jacent compris entre 70<S<120.-, un prix d'exercice K valant 100.-, un taux sans risque de 12% et une volatilité de 0.1 et une expiration sur une année T=1: Remarque: Il est sûr que les formules de Black & Scholes ont permis l'essor des marchés aux options, en permettant une spéculation sécurisée. Cela reste de la spéculation (les acteurs spéculent les uns par rapport aux autres sur la volatilité des actions), mais cette spéculation reste sécurisée par la formule de couverture, qui évite que les pertes ne soient trop importantes. Il existe néanmoins des inconvénients à leur utilisation. Le plus important est sûrement l'effet d'emballement qu'elles provoquent. Supposons par exemple que vous êtes le vendeur d'une option sur l'action d'une société S. Celle-ci annonce des résultats légèrement inférieurs à ceux attendus. Son cours baisse, et c'est normal. La formule de couverture de Black and Scholes vous recommande alors de diminuer le nombre d'actions de cette société dans votre portefeuille, ce que vous faites. Mais tous les acteurs du marché font le même raisonnement, engendrant une nouvelle baisse du cours de l'action. La formule de couverture de Black and Scholes vous recommande de vendre encore des actions, etc.... Cela peut déclencher un véritable emballement du marché, à la baisse comme à la hausse. Ceci est accentué par le fait que bien souvent, les ordres d'achat ou de vente sont automatisés, implémentés directement dans les logiciels, et ne nécessitent plus d'interventions humaines. D'autre part, la formule de couverture de Black and Scholes est efficace pour de petites variations de cours, mais pas pour des "dévissages" brutaux et importants. Ainsi, un an à peine après avoir reçu leur prix Nobel d'économie, Robert Merton et Myron Scholes furent impliqués dans la déconfiture du fonds d'investissement américain LTCM à l'automne 1998, à la suite de la grave crise russe dé l'été 1998.

VALUE AT RISK

Les mesures du risque ont bien évolué depuis que Markowitz a avancé sa célèbre théorie de la diversification de portefeuille à la fin des années 1950, théorie qui devait révolutionner la gestion de portefeuille moderne. Le risque d'un portefeuille était alors relié à la matrices des covariances-variances comme nous l'avons démontré théoriquement et par l'exemple. Dans les années 1960, Sharpe a proposé le modèle uniffactoriel d'évaluation des actifs financiers où le bêta est le facteur explicatif principal du risque d'un portefeuille via la matrice des bêta. Au début des années 1990, une nouvelle mesure du risque a fait son entrée : la VaR, soit l'acronyme de "Value at Risk". On reconnaissait en effet de plus en plus les limites des mesures traditionnelles du risque. Il fallait se donner des mesures du risque de baisse de la valeur des actifs. Pour ce faire, il fallait trouver des mesures qui sont davantage reliées à l'ensemble de la distribution des flux monétaires d'un portefeuille. C'est dans ce contexte qu'une mesure nominale du risque a été proposée: la VaR. Cette mesure a d'abord servi à quantifier le risque de marché auquel sont soumis les portefeuilles bancaires. En effet, l'Accord de Bâle a imposé aux banques, en 1997, de détenir un montant de capital réglementaire pour pallier aux risques de marché. Or, ce capital est calculé à partir de la VaR. Cette mesure est ensuite devenue de plus en plus populaire pour évaluer le risque de portefeuilles institutionnels ou individuels. Elle permet entre autres d'évaluer les risques de type asymétrique, comme celui qui est associé aux options, l'écart-type et le bêta ne permettant pas de prendre en compte ce risque de façon vraiment satisfaisante. Définition: La "Value at Risk" (VaR) est la perte maximale que peut subir un gestionnaire de portefeuille durant une certaine période de temps avec une probabilité donnée. A supposer que cette probabilité soit de 95%, la marge d'erreur ayant trait à cette perte maximale n'est que de 5%. Supposons que la distribution des flux monétaires d'un portefeuille obéisse à une loi Normale. Supposons également que la variable aléatoire X représente la valeur du portefeuille avec

.

La variable aléatoire X peut donc être réécrite en termes de la variable normale centrée réduite (cf. chapitre de Statistiques) : (287)

Soit

le seuil critique associé à la probabilité visée. Nous pouvons alors écrire: (288)

La VaR est alors définie par : (289)

Exemple: Supposons que nous voulions calculer la VaR annuelle d'un portefeuille avec une probabilité de 99% (seuil de confiance). L'écart-type annuel de ce portefeuille est de 100 M$ (c'est donc

un énorme portefeuille!). Pour une probabilité de 99% les tables nous donnent en valeur absolue (voir le traitement des intervalles de confiance dans le chapitre de Statistiques). La VaR de ce portefeuille pour une période d'un an est donc de: (290)

Il faut donc un capital risque de 232.6 M $ pour couvrir les pertes à 99% pour ce portefeuille (dont la valeur n'a pas été communiquée) dont seulement l'écart-type est donné. Une autre manière de voir la VaR est de dire que cette valeur signifie que nous avons 1% de chance de perdre plus de 232.6 M$ d'ici à l'année prochaine, respectivement, que nous avons 99% de chances de perdre moins de 236.2 M$. La mesure de VaR que nous venons de donner est une mesure relative car elle ne tient pas compte de la moyenne des pertes et profits. Si le profit moyen est de 10 M$ dans l'exemple qui vient d'être donné, la VaR absolue est de 222.6 M $. Mais comme le profit moyen est généralement quasi-nul sur une courte période de temps, nous nous en tenons la plupart du temps à la mesure relative de la VaR. Précisons davantage cette relation entre VaR absolue et VaR relative. Nous calculons généralement la VaR à partir des rendements d'un portefeuille! Rappelons d'abord que suite à notre étude du modèle de Bachelier nous avons démontré que l'espérance totale de la valeur (ou rendement) d'un portefeuille suivant une loi normale centrée réduite est proportionnelle à la racine carrée du temps. Supposons que la période d'observation t soit d'un mois. Le rendement mensuel espéré pour le portefeuille de valeur initiale S est de (son espérance donc…) et la variance mensuelle de son rendement de

.

Sa VaR relative au seuil de confiance c (dont dépend que l'équation est bien homogène!) :

) est donc de (vous pouvez vérifier

(291)

Remarque: Contrairement à ce que nous avions vu lors de notre étude des seuils/intervalles de confiances dans le chapitre de Statistiques, nous ne divisons pas par 2 l'argument de la fonction MS Excel NORMALSINV() pour obtenir le dans la situation ci-dessus car ce qui nous intéresse c'estseulement un côté de la courbe centrée réduite (le côté "pessimiste") et non les deux.

Cette dernière relation ne tient pas compte du rendement moyen mensuel espéré pour ce titre, soit . La VaR absolue est donc obtenu en retranchant ce rendement à la VaR relative, c'està-dire:

(292)

La VaR absolue est donc bien évidemment inférieur à la VaR relative de ce montant. Une question fondamentale se pose ici: à quoi sert la VaR? Mentionnons d'abord qu'elle se révèle d'une grande utilité puisqu'elle est mesurée en termes nominaux et non en pourcentage, tel le bêta. Une fois qu'une institution financière a calculé sa VaR globable, c'est-à-dire la perte maximale qu'elle peut encourir sur l'ensemble de son bilan pour une probabilité prédéterminée, il lui est loisible de se servir de ce montant pour déterminer le capital (avoir propre) minimal qu'elle doit maintenir pour ne pas s'exposer à la faillite. Si en effet elle détient un capital moindre et que la perte maximale probabiliste se produit, son avoir propre sera négatif et elle devra peut-être déposer son bilan. La VaR est donc très utile pour une institution financière, car elle lui permet de déterminer le niveau du capital qu'elle doit maintenir pour survivre. Quand la VaR est utilisée à cette fin, nous l'appelons plus communément CaR pour "Capital at Risk", c'est-à-dire que le capital que doit maintenir une institution financière est calculé ou évalué selon les risques auxquels ell est exposée. Plus le risque est important, plus elle devra maintenir un capital élevé. Cela apparaît bien raisonnable, car le capital détenu par une institution financière est d'abord et avant tout un file et sécurité. Pour une banque, il vise à protéger les dépôts à son passif. La VaR se présente donc comme une mesure appropriée pour définir le capital réglementaire que doit détenir une institution financière. C'est pourquoi le Comité de Bâle, chapeauté par la Banque des règlements internationaux, retenait cette mesure pour calculer le capital réglementaire d'une institution de dépôts en 1995 et qui est devenue effective en janvier 1998. Celles-ci doivent maintenant calculer leur exposition au risque en recourant à la VaR.