Theorie Du Risque Appliquee A La Gestion De Portefeuilles

Th´ eorie du risque appliqu´ ee ` a la gestion de portefeuilles

par Thierry zen Ruffinen [email protected] Institut des Sciences Actuarielles Ecole des Hautes Etudes Commerciales Universit´e de Lausanne BFSH-1 CH-1015 Lausanne Suisse Avril 2002

S´ eminaire r´ ealis´ e sous la direction du professeur Daniel Neuenschwander

Table des mati` eres 1 Introduction

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2 Evaluation d’un portefeuille d’actifs

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3 Exemple concret

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4 D´ efinitions de th´ eorie du risque

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5 Interpr´ etation de R

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6 R : une mesure du risque

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7 Proc´ edure non param´ etrique

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8 Conclusion

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Introduction

Durant la derni`ere d´ecennie, les sciences actuarielles ont grandement profit´e des id´ees d´evelopp´ees par les math´ematiques financi`eres: l’utilisation des produits d´eriv´es dans le domaine de l’assurance est, du moins en th´eorie, consid´er´ee comme une alternative fort int´eressante aux couvertures d’assurance traditionnelles; les actuaires prennent peu `a peu conscience de l’importance que peuvent revˆetir les mod`eles `a structure finie pour les taux d’int´erˆet, et en particulier pour ce qui concerne les produits d’assurancevie. L’une des principales activit´es de l’actuaire consiste en effet `a assigner une valeur `a un portefeuille de contrats financiers au dividende incertain. Si l’actuaire sp´ecialis´e en assurance-vie traditionnelle r´ealise cette tˆache lorsqu’il est confront´e `a un portefeuille de polices d’assurances sur la vie, l’actuaire sp´ecialis´e en assurance de dommages applique ce proc´ed´e lorsqu’il a `a s’occuper d’un portefeuille de sinistres dont les montants ne sont pas encore d´etermin´es. Il est donc bien naturel d’envisager une activit´e actuarielle analogue dans le cadre d’un investissement: le rˆole de l’actuaire consiste alors `a ´evaluer le rendement du portefeuille d’investissements. Toutefois, le rapport entre les sciences actuarielles et la finance ne doit pas ˆetre per¸cu comme une relation `a sens unique. En effet, la finance peut ´egalement tirer bien des profits des concepts actuariels, tout particuli`erement pour ce qui a trait `a la th´eorie actuarielle du risque. Il appert que le concept de taux de croissance th´eorique du risque pour un actif peut avoir de multiples applications, notamment pour - la projection des r´esultats d’investissement, - l’´evaluation des r´eserves de fluctuation quant au rendement d’un portefeuille d’investissement, - la d´efinition des mesures du risque d’un portefeuille. Le pr´esent expos´e s’inspire grandement d’une m´ethode rationnelle propos´ee par B¨ uhlmann (confer la r´ef´erence [1] de la bibliographie, page 15), fond´ee sur les principes des sciences actuarielles, pour d´eterminer ce rendement, que nous appellerons le taux de croissance th´ eorique du risque. Il explique comment exprimer les conditions de s´ecurit´e sous-jacentes `a l’´evaluation, et comment obtenir ce taux de croissance th´eorique du risque sur la base de ces hypoth`eses subjectives. Il importe de relever que, contrairement aux pratiques comptables usuelles, l’´evaluation actuarielle du rendement d’un investissement ne peut prendre tout son sens qu’`a la condition expresse que soient pris en consid´eration des portefeuilles complets d’actifs suffisamment diversifi´es pour justifier le raisonnement statistique dont nous ferons ici usage.

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2

Evaluation d’un portefeuille d’actifs

Il semble essentiel de relever que les techniques d’´evaluation des portefeuilles d’investissement, telles que propos´ees par les pratiques comptables usuelles, ont tendance `a g´en´erer des r´esultats par une approche “ascendante”, dans la mesure o` u la valeur du portefeuille est obtenue en additionnant les valeurs intrins`eques des actifs qu’il contient. Cette m´ethode est d´esu`ete, ne serait-ce qu’en regard des produits d´eriv´es, qui peuvent ˆetre d´etenus en association avec l’actif sous-jacent ou sans celui-ci; la valeur du produit d´eriv´e de l’entreprise n’est alors pas la mˆeme dans les deux cas. Afin de mieux se repr´esenter ce concept, examinons le probl`eme suivant: Probl` eme 1 Soit G0 la valeur de notre portefeuille d’investissement au moment t = 0, et soit G1 , G2 , . . . , Gn le d´eveloppement stochastique de G0 dans le temps, sans qu’il y ait d’investissement suppl´ementaire. ck au temps t = k? Quelle est, d`es lors, l’estimation de la valeur G

6 XXX Gk .. .J ... J  ... J  .... JJ  ..    @ ,  @ ,  @, 

0



... ... ... .... .... ... ... ... k

-

n

Fig. 1 – Evolution de Gn dans le temps Remarques : Afin de mettre en ´evidence l’aspect stochastique de ce probl`eme, il faut prendre comme point de d´epart le temps t = 0 et s’efforcer de pr´evoir la croissance de G0 pendant n intervalles de temps. ck permet d’obtenir des r´eserves de flucIl est ´evident que l’estimation de G tuations coh´erentes; ce probl`eme met donc en lumi`ere une mani`ere bien

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plus ´elabor´ee d’arriver ` a de telles r´eserves que par le biais des pratiques usuelles qui se basent, par exemple, sur les valeurs initiales, ck = G0 , ou alors sur les valeurs minimales, par exemple `a savoir G ck = min (G0 , Gk ) au temps t = k. G D´ efinition 1 Sachant que Zj est le taux de croissance stochastique de la valeur de march´e d’une unit´e d’un portefeuille d’investissement, et que Wj est le taux de croissance attendu (c’est-` a-dire que Wj est un estimateur de Zj ), d´efinissons: Gk := G0 · Z1 · Z2 · · · · · Zj · · · · · Zk ck := G0 · W1 · W2 · · · · · Wj · · · · · Wk . et G

(1) (2)

ck , notre probl`eme devient le suivant: Ayant ainsi explicit´e Gk et G Probl` eme 2 Connaissant la loi de probabilit´es de (Zj )j=1,2,...,n , il s’agit de d´eterminer les projections (Wj )j=1,2,...,n des taux de croissance th´eorique du risque. Notons que, pour la partie th´eorique de cet expos´e, nous travaillerons avec n = ∞.

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Exemple concret

Au cours de la derni`ere d´ecennie, l’Indice Suisse des Performances SPI a subi les variations suivantes: 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

+ + + − + + + + + +

15,9 % 17,6 % 50,8 % 7,6 % 23,1 % 18,3 % 55,2 % 15,4 % 11,7 % 11,9 %

Ainsi, les valeurs observ´ees du taux de croissance stochastique sont:  Z1 = 1,15909    Z2 = 1,17648     Z3 = 1,50799     Z4 = 0,92381     10 Z5 = 1,23059 Y Zj = 6,18849. Z6 = 1,18296   j=1  Z7 = 1,55189     Z8 = 1,15364     Z9 = 1,11692     Z10 = 1,11909 En consid´erant les Zj , j = 1, 2, . . . , 10, comme ´etant ind´ependants et identiquement distribu´es, nous pouvons estimer le taux de croissance annuel i∗ , sur la base de ces dix ann´ees d’observation, comme ´etant Q10 = 6,18849, (1 + i∗ )10 = j=1 Zj √ ∗ d’o` u 1 + i = 10 6,18849 = 1,19994, et enfin i∗ = 19,99 %. Toutefois, ce taux de croissance de 19,99 % ne constitue qu’une mesure des r´esultats pass´es. Afin de pr´evoir les r´esultats futurs `a partir de cette mesure et de s’assurer de la fiabilit´e de cette pr´evision, nous nous voyons oblig´es d’´etudier bien plus en d´etail la structure stochastique du taux de croissance (Zj )j=1,2,...,10 . 6

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D´ efinitions de th´ eorie du risque

D´ efinition 2 Soit R est le niveau de risque du portefeuille, quel que soit k = 1, 2, . . . , n. On a alors l’´egalit´e suivante: # " −R 1 (3) Zk E ϕk−1 = 1. 1 + ik Cette d´efinition n´ecessite davantage d’explications: en particulier, son aspect un peu abstrait ne devrait pas poser de probl`emes. Tout le reste du pr´esent expos´e consistera `a tenter d’en ´eclairer le sens. Observons au pr´ealable que: i). E[ · |ϕk−1 ] repr´esente l’esp´erance conditionnelle d’une variable al´eatoire, connaissant toutes les informations ϕk−1 au temps t = k − 1. ii). Les quantit´es inconnues exprim´ees dans l’´equation repr´esentent, – pour ik , le taux de croissance th´eorique du risque pour l’intervalle de temps [k − 1, k], – pour R, une mesure du risque. Cela signifie que le taux de croissance ik est celui que nous recherchons. Quant `a R, cette mesure du risque n´ecessite de plus amples d´eveloppements. Les experts en th´eorie du risque auront bien ´evidemment identifi´e le coefficient d’ajustement, ou constante de Cram´er-Lundberg, utilis´e pour donner une borne sup´erieure `a la probabilit´e de la ruine Ψ(x). En effet, soient – u > 0 le capital initial, – c > 0 la somme des primes encaiss´ees – N un processus de Poisson(λ) qui repr´esente le nombre de sinistres survenus au cours de l’intervalle de temps [0, t], – Yk , pour k ∈ N, des variables al´eatoire positives, ind´ependantes et identiquement distribu´ees, qui d´esignent le montant de chacun des N (t) sinistres. Alors on a N (t) X Ψ(x) = u + c · t − Yk . k=1

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Interpr´ etation de R

En se penchant `a nouveau sur le processus stochastique (Gk )0≤k≤n , servons-nous de ik , pour k = 1, 2, . . . , n, et, afin de construire un intervalle de confiance autour de ce processus, posons Finf < 1 et Fsup > 1. Observons sur la figure 2 que la limite sup´erieure de l’intervalle de confiance prend pour ordonn´ee `a l’origine la valeur G0 Fsup alors que sa limite inf´erieure est G0 Finf ; de plus, ces deux limites ´evoluent de concert avec le taux de croissance th´eorique du risque. Q G0 · Fsup kj=1 (1 + ij ) Gn

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XXX
J
J Q
J G0 · Finf kj=1 (1 + ij )
JJ


G0 · Fsup @ ,  @ ,  @, G0 




G0 · Finf -

0

k

n

Fig. 2 – Intervalle de confiance pour Gn Proposition 1 La probabilit´e que le processus stochastique (Gk )0≤k≤n sorte de notre intervalle de confiance par sa limite sup´erieure est facile ` a ´evaluer au moyen de la formule  R 1 − Finf (4) P [sortie par le haut] =  F R . inf 1− F sup Remarques : La valeur initiale G0 du portefeuille d’investissement n’apparaˆıt pas dans l’expression de cette probabilit´e de sortie. La formule ´etant ´elabor´ee (et donc valable) pour n = ∞, alors, a fortiori dans le cas o` u n serait fini, plus l’intervalle de confiance sera ´etroit, meilleure sera l’approximation. 8

D´ emonstration Remarquons que, d’apr`es l’´equation (1) de la d´efinition 1: Gk := G0 · Z1 · Z2 · · · · · Zj · · · · · Zk et l’´equation (3) de la d´efinition 2,  !−R  k Y 1  Gk  1 + i j j=1

est une martingale.

k=0,1,2,...

En d´efinissant T comme le temps de sortie (qui, pour tout mod`ele raisonnable, peut ˆetre consid´er´e comme une valeur finie avec une probabilit´e de 1), et en appliquant le th´eor`eme d’arrˆet des martingales au temps d’arrˆet T , nous obtenons que  !−R  T Y 1  = (G0 )−R . E  GT 1 + ij j=1 Si la sortie a lieu exactement aux limites de notre intervalle de confiance, alors

+

(G0 Finf )−R P [sortie par le bas]
−R G0 Fsup P [sortie par le haut] = (G0 )−R .

Par ailleurs, puisque nous partons du principe que la sortie se r´ealisera avec une probabilit´e de 1, nous devons ´egalement avoir P [sortie par le bas] + P [sortie par le haut] = 1, soit P [sortie par le bas] = 1 − P [sortie par le haut]. D’o` u, par substitution,

+

(G0 Finf )−R (1 − P [sortie par le haut])
−R G0 Fsup P [sortie par le haut] = (G0 )−R ,

soit (G0 Finf )−R − +

(G0 Finf )−R P [sortie par le haut]
−R G0 Fsup P [sortie par le haut] = (G0 )−R .

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En divisant le tout par (G0 )−R , on obtient h i
−R (Finf )−R + Fsup − (Finf )−R · P [sortie par le haut] = 1, ou encore h i
−R Fsup − (Finf )−R · P [sortie par le haut] = 1 − (Finf )−R . Ainsi, en divisant l’´equation ci-dessus par (Finf )−R , elle devient:    1 Fsup −R − 1 · P [sortie par le haut] = − 1, F inf (Finf )−R soit    F R inf − 1 · P [sortie par le haut] = (Finf )R − 1. F sup

On en tire ais´ement (Finf )R − 1 1 − (Finf )R P [sortie par le haut] =  =  F R , R F inf inf − 1 1 − F F sup

sup

qui est la formule ´enonc´ee dans la proposition 1, quod erat demonstrandum. z

Application num´ erique: En choisissant Finf = les valeurs suivantes:

1 2

et Fsup = 2, on obtient

R P [sortie par le haut] 0,1 0,517 0,5 0,586 1 0,667 2 0,800 3 0,889 4 0,941 Fig. 3 – Diff´erentes valeurs de P [sortie par le haut] selon le choix de R

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R : une mesure du risque

Admettons que, d’apr`es certains crit`eres, nous nous soyons d´etermin´e quant au choix de l’intervalle de confiance d´efini par Finf et Fsup (par exemple, 12 et 2, respectivement). Le fait de fixer la probabilit´e de d´epassement de la limite sup´erieure (par exemple `a 80%) nous permet d’obtenir, grˆace `a la proposition 1, la valeur exacte de R (dans le cas d’esp`ece, nous obtiendrions R = 2): afin de d´eterminer le taux de croissance th´eorique du risque au niveau de risque R, il suffit d’appliquer la formule (3) ´enonc´ee dans la d´efinition 2 avec la valeur de R obtenue, et nous trouvons toutes les valeurs de ik , pour k = 1, 2, . . . , n (confer le tableau de la figure 3, page 10). Appliquons cette proc´edure pour le cas o` u les (Zk )k=1,2,... seraient ind´ependants et identiquement distribu´es, et o` u leur distribution serait log-normale, d’esp´erance µ et de variance σ 2 . Evidemment, nous allons dans ce cas obtenir un taux de croissance qui sera identique quel que soit l’intervalle de temps consid´er´e... 1 En posant e−δ = 1+i et en se servant de l’´equation (3) ´enonc´ee `a la d´efinition 2 du paragraphe 4, nous obtenons: " −R # h
−R i 1 −δ 1=E Zk = E e Zk 1+i

= eRδ · E [Zk ]−R  −R = eRδ · E e−R·log Zk , σ2

2

d’o` u eRδ · e−µR+ 2 ·R = 1 ≡ e0 . Et donc, du fait de la bijection de la fonction exponentielle, nous arrivons, en identifiant les exposants, `a R(δ − µ) +

σ2 · R2 = 0, 2

ou encore, en divisant par R, σ2 δ =µ− · R. 2 Ce r´esultat, tr`es intuitif, nous montre que l’intensit´e de croissance atten2 due µ est diminu´ee de R · σ2 pour donner l’intensit´e de croissance th´eorique du risque δ.

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Proc´ edure non param´ etrique

Il est `a relever que la proc´edure d´evelopp´ee dans le paragraphe pr´ec´edent peut aussi porter ses fruits sans hypoth`eses param´etriques quant `a la distribution des taux de croissance stochastiques. Postulons simplement que les (Zk )k=1,2,... sont ind´ependants et identiquement distribu´es, et que le taux de croissance th´eorique du risque est ind´ependant de l’intervalle de temps k consid´er´e. Notre ´equation originelle (confer d´efinition 2) devient alors " −R #  −R h i 1 1 −R 1=E Zk = · E (Zk ) , 1+i 1+i ou encore

" E

1 Zk

R #

 =

1 1+i

R .

(5)

Si nous avons relev´e n valeurs de Zj , il est alors assez logique d’estimer la partie de gauche de l’´equivalence (5) par n

1X Eˆ = n j=1



1 Zj

R .

En appliquant cette proc´edure `a l’exemple ´etudi´e au paragraphe 3, toujours avec Finf = 12 et Fsup = 2 (confer l’application num´erique de la figure 3, page 10), nous obtenons:

Application num´ erique: – pour R = 1 (c’est-`a-dire pour P [sortie par le haut] = 66,7 %), Eˆ = = = = d’o` u i =

 10  1 X 1 · 10 j=1 Zj   1 1 1 1 1 1 1 · + + + ... + + + 10 Z1 Z 2 Z3 Z8 Z9 Z10 0.84164 1 , 1+i 1 1 −1= − 1 = 18,82 %. 0,84164 Eˆ

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– pour R = 2 (c’est-`a-dire pour P [sortie par le haut] = 80,0 %), Eˆ = = = = d’o` u i =

2 10  1 X 1 · 10 j=1 Zj  2  1 12 12 12 12 1 2 1 · + + + ... + + + 10 Z1 Z2 Z3 Z8 Z9 Z10 0,72199 2  1 , 1+i 1 1 p −1= √ − 1 = 17,69 %. 0,72199 Eˆ

– pour R = 3 (c’est-`a-dire pour P [sortie par le haut] = 88,9 %), Eˆ = = = = d’o` u i =

3 10  1 X 1 · 10 j=1 Zj  3  1 1 13 13 13 13 1 3 · + + + ... + + + 10 Z1 Z2 Z3 Z8 Z9 Z10 0,63070  3 1 , 1+i 1 1 p √ − 1 = − 1 = 16,61 %. 3 3 0,63070 ˆ E

Ces taux doivent ˆetre compar´es `a celui de 19,99 %, qui correspond au taux de croissance d´eterministe, observ´e par le pass´e (confer paragraphe 3, page 6).

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Conclusion

Nous avons ainsi ´etabli une mani`ere de d´eterminer relativement facilement un taux de croissance th´eorique du risque pour les actifs. Rappelons que nous avons eu recours: – `a la distribution de probabilit´e des taux de croissances stochastiques Zj (ou `a des statistiques donn´ees permettant d’en inf´erer cette distribution), – au choix, forc´ement subjectif, du niveau de risque que l’investisseur serait prˆet `a courir (autrement dit, `a la d´etermination de la probabilit´e que le processus stochastique (Gk )0≤k≤n d´epasse, par sa limite sup´erieure, l’intervalle de confiance auquel il avait ´et´e astreint), – `a un intervalle de confiance d´efini par Finf et Fsup , qui peut ˆetre interpr´et´e comme une strat´egie nous pr´evenant `a quel moment notre portefeuille d’investissement doit ˆetre restructur´e. Au sujet de cette derni`ere exigence, si l’on d´efinit T comme ´etant le temps stochastique de s´ejour dans les limites convenues (c’est-`a-dire la dur´ee pendant laquelle nous d´esirons garder notre portefeuille sans y op´erer de changement), il semble naturel d’appeler T l’horizon-temps du portefeuille d’investissement. Evidemment, plus la marge convenue est large, plus l’horizon-temps est long, et inversement. Il faut relever que l’analyse du temps de s´ejour escompt´e E[T ] permettrait d’expliquer plus clairement cette id´ee: en effet, on pourrait 1 montrer que cette quantit´e d´epend du choix de Finf et Fsup . Esp´erons que l’outil propos´e supra facilitera la gestion du risque th´eorique d’un portefeuille d’actifs. Il serait certainement fort instructif de voir ces id´ees appliqu´ees dans la pratique et de tirer les enseignements de l’application de la proc´edure propos´ee.

1. A ce sujet, confer les m´ethodes d´evelopp´ees par Wald pour les tests s´equentiels, qui permettent de calculer pr´ecis´ement E[T ], ou alors confer la r´ef´erence [5] de la bibliographie, o` u Gerber donne une formule exacte pour le calcul de E[T ], cette grandeur n’´etant fonction que de Finf , de Fsup et du taux d’int´erˆet.

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Bibliographie [1] H. B¨ uhlmann. Collective Risk theory for Assets, in North American Actuarial Journal, janvier 1997. [2] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt. Actuarial Mathematics, Second Edition, The Society of Actuaries, 1997. [3] H. Schmidli. Characteristics of ruin probabilities in classical risk models with and without investment, Cox risk models and perturbed risk models, in 15th Memoirs, D´epartement de Statistiques th´eoriques de l’Universit´e de ˚ Arhus, Danemark, 2000. [4] B. Bayart. Joli manuel pour LATEX 2ε , in Guide local de l’Ecole Sup´erieure d’Ing´enieurs en Electrotechnique et Electronique, France, d´ecembre 1995. [5] H. U. Gerber. Cours de Th´eorie du Risque II, Ecole des Hautes Etudes Commerciales, Universit´e de Lausanne, Suisse, 2002.

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