Thales Y Semejanza

CONTENIDO I :

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO.

Se ve interesante el tema... Y es Geometría… será más entretenido . Ahora comenzaré a investigar de qué se trata

SEGMENTOS PROPORCIONALES. La razón entre dos trazos es el cuociente entre los números que expresan sus longitudes, si se han medido en la misma unidad. Ejemplo : Los trazos AB y CD están en la razón de 3 : 4 , porque la unidad “d” cabe 3 veces en AB y 4 veces en CD .

A

B d

C

D

“ Dos trazos son proporcionales a otros dos , cuando la razón que existe entre las dos primeras , es igual a la razón entre las dos últimas “ . a b c

d

Ejemplo : Si se dan los 4 trazos siguientes : a = 4 cm ; b = 2 cm c = 6 cm ; d = 3 cm a 4 = = 2 La razón entre los dos primeros trazos es : b 2 La razón entre los dos últimos trazos es : Se

dice

,

entonces

que

los

c 6 = = 2 d 3

trazos

PROPORCIONALES con “c” y “d” , es decir :

“a” y a c = b d

“b”

son

DIVIDIR UN TRAZO EN UNA RAZON DADA. Problema:

Dividir un trazo AB en un número cualquiera de partes iguales.

Solución : Sea AB , el segmento. Lo dividimos en 5 partes iguales. Se traza un rayo indefinido AC ( línea auxiliar ). A partir del punto “A” , AC se divide en 5 partes de igual longitud arbitraria. Se une C con B. Por los puntos de división de AC ,se trazan

A

paralelas a CB . Estas paralelas , que determinan partes iguales sobre AC , determinan también partes iguales sobre

C

AB .

Teorema : En un trazo AB existe un sólo punto C y B del trazo , están en una razón dada.

B

cuyas distancias a los

extremos A

Ejemplo : B

Dado el trazo AB

AC

Supongamos que

CB

Se dice en este caso que “ C 4.

y

=

sea C

ese punto.

A

C

3 4 divide interiormente al trazo AB “ en la razón 3 :

PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO INTERIORMENTE. Problema : Dividir un trazo AB interiormente en la razón Solución : Sea AB el trazo dado . Por los extremos del segmento AB se trazan L1 y L2 tales que L1 // L2 Se hace : AE = 2 unidades arbitrarias BF = 3 unidades arbitrarias Se une E con F y se obtiene el punto C L1 AC 2 = Resulta : CB 3

2 : 3.

E B

C

A

F L2

Teorema : Sobre la prolongación de un trazo AB , existe un sólo punto cuyas distancias a los extremos del trazo están en una razón dada.

A

B

Sea D el punto dado en la prolongación de AB .

C

Supongamos que

AC

=

4 3

BC Se dice que “ D divide exteriormente al segmento AB “ en la razón de 4 : 3 .

PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO EXTERIORMENTE. Problema : Dividir exteriormente un trazo AB en la razón de 3 : 2 .

L1 E

L2

F Solución : Sea AB el trazo dado. Por los extremos del segmento AB se trazan L1 y L2 tales que L1 // L2 A B Se hace : AE = 3 unidades arbitrarias. BF = 2 unidades arbitrarias. Se une E con F y se prolonga hasta intersectar la proyección de AB en D.

D

AD

Resulta :

DB

=

AF BE

=

3 2

DEFINICIÓN: Dividir un trazo armónicamente, es dividirlo interior y exteriormente en una razón dada

PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN SEGMENTO ARMÓNICAMENTE EN UNA RAZÓN DADA Problema : Dividir un trazo dado AB , armónicamente , en la razón de 5 : 3 . Solución : - Se dibuja el segmento AB . -

-

L1

Uniendo R y T se determina el punto P de división interior de AB

L2

R

En ambos extremos copiamos sobre segmentos paralelos las longitudes 5 y 3 dando origen a los puntos R y T .

S

A

B

P

-

Así , P divide interiormente al trazo AB en la AP 5 = razón 5 : 3 es decir : PB 3

-

En dirección opuesta a BT dibujamos BS de longitud 3.

-

Se une R con S y se prolonga hasta intersectar la proyección de AB en D y encontramos el punto exterior D .

D

T

Así, D divide exteriormente al trazo AB en la razón 5 : 3

40 cm

TEOREMA DE THALES

d d d d d

Si y

Teorema 1 : Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos rectas transversales, determinan también segmentos iguales en la otra t t’ transversal. A A’ Es decir, según la figura : B B’

AA' // CC' ; t y t’ son dos transversales si AB = BC entonces A' B' = B' C'

C

C’

t

Teorema 2 : ( Teorema de Thales ) A

Si varias paralelas cortan a dos transversales entonces estas determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales. Es decir :

BC

=

C’

A' B' B' C'

A

AD DB

=

E

D

Es decir, en el triángulo ABC : entonces

B’

C

Teorema 3 : Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales.

Si DE // BC

A’

B

Si t y t’ son dos transversales, y si AA' // BB' // CC' si AB = BC entonces AB

t’

AE EC

B

C

Teorema 4 : ( Recíproco ) Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado. Es decir , en el triángulo ABC , anterior si Si

AD DB

=

AE EC

entonces

DE // BC

A Teorema 5 : El segmento que une los puntos medios de un triángulo, es paralela al tercer lado e igual a su mitad. Es decir , en el triángulo ABC :

N

M

Si M y N son los puntos medios de AB y AC entonces MN // BC y

MN =

BC 2

B

C A

Teorema 6 : La bisectríz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos

B

D

C

proporcionales a los lados que forman ese ángulo. Es decir, en el triángulo ABC : Si AD biseca al ángulo A entonces AB BD = AC DC

E J E R C I C I O S. 149. En la fig., si DE // BC , AC = 12

150.

Si AB // EF // CD

A

A

x

5

D

B E

E

4

2x+1 F

5x–4 D

X+4 B Para la siguiente figura, 151.

C L1 // L2 .

Determina el valor de “x” en cada caso :

AE = 2x - 1 , AB = x + 3 DE = x + 4 , BC = x - 1

AB = 2x EB = x + 1

D

E

A 152.

C

7

B

, AC = 3x , CD = 2x - 1

C

L1 153.

En el triángulo ABC , BD biseca el 154. ángulo B , entonces x = ? B

L2

Encuentra CD , si DE // AB AD = 9 , CE = 2 , BC = 8 C

E

D

A

2x

D

C

3x - 1

A

B

En los ejercicios 160 y 161, la recta que intersecta a dos de los lados del triángulo es 9 paralela al tercer lados. Encuentra la medida que falta 6

3 A

x 4

4 C

A

9

x

C

155.

156.

157.

AD es bisectriz

A

158.

AD es bisectriz

C X+1

2x - 5

X+1

12

D x-3

B

D

1 159.

AB

C

3

A 15

// CD

A

10

C

x+4

4 x + 13 D

B

PARECIDOS, PERO .... NO IGUALES.

-

Dos figuras son semejantes si tienen la misma

forma, no necesariamente el mismo tamaño.

B

-

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. ( lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir : C C’ b

a

a’

b’ A ∆ ABC ssi :

B

c

∼

∆ A’B’C’

B’

c’

( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ )

∠ A = ∠ A’ ; ∠ B = ∠ B’ ; ∠ C = ∠ C’

i) ii) Ejemplo :

A’

a b c = = a' b' c' B

Los triángulos siguientes son semejantes :

10

En efecto :

6

∠ A = ∠ A’ ; ∠ B = ∠ B’ ; ∠ C = ∠ C’ C

B’

a b c = = =2 a' b' c'

5

3

C

C’

4

A

8

A’

Postulado : en el triángulo ABC : A' B' // AB , entonces : AB BC AC = = A' B' B' C' A' C'

A’

Si

B’

A

B W

Ejemplo : En el triángulo GAW , QK // GA K

AK = 4 , KW = 8 , GQ = 5 Encuentra

Q

WQ = A

G

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A ) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes. Es decir , en los triángulos ABC y DEF : ∠A = ∠D y ∠B=∠E Entonces

C F

∆ ABC ∼ ∆ DEF

Ejemplo : Según la figura, si

D AB // DE ,

A

B

Si AB // DE , entonces ∠D=∠B ( alternos internos entre paralelas )

C

∠ E = ∠ A ( alternos internos entre paralelas)

D

A

CRITERIO lado - ángulo - lado ( L .A .L ) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruentes el ángulo comprendido entre ellos. decir , en los triángulos ABC y DEF , ∠A=∠D y

Entonces

E

∆ ABC ∼ ∆ DCE

por lo tanto :

Si

B

∆ ABC ∼ ∆ DCE ?

¿ es

y

A

E

AC DF

=

B

C D

AB DE

∆ ABC ∼ ∆ DEF F

E Ejemplo : ¿ Son semejantes los triángulos ? como

15 12 = 10 8

y ademas

C

∠ R = ∠ B = 35º

B

15

8

Q

35º 10

entonces

∆ CRJ ∼ ∆ LBQ R

L

35º

12

J A

CRITERIO lado - lado - lado ( L . L . L . ) Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. B

Es decir , en los triángulos ABC y DEF : Si

AB DE

=

Entonces

BC EF

=

C D

AC DF

∆ ABC ∼ ∆ DEF E

F

Ejemplo : ¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ? 18 12 15 = = 12 8 10

como

18

J

M

12

∆ ABC ∼ ∆ DEF

entonces

T

15

Q

10

8 C

X

12

E J E R C I C I O S. 160. Encuentra el valor de AD , AC = 25

161.

A

Se sabe que PQ = PR biseca ∠ QPR . Demostrar que

D

15

∆ QPX

∼

y que PX

∆ QPR

P

3 B

C

E

Q

∆ RNQ

¿Para cuáles de los siguientes ángulos , el

∠ Q = 80º ∠ V = 71º

X R

∠ R = 71º ∠ X = 70º

; ;

es semejante al ∆ VBX ?

Q

162. ∠ R = 62º ; ∠ N = 73º ∠ V = 62º ; ∠ B = 73º 163.

R

X

N

V 164. Dado que

∆ NGV

∠R=∠W

165. Dado que

∠ T = ∠ NGV

Demostrar que N

B

∼ ∆ NTX

Demostrar que ∆ JYW R

∼ ∆ JMR

N J

V G CT

X

Y

L M

K

B

W

Dado que LK

CB .

166.

Demostrar que: ∆ LKM

∼ ∆ BCM

Según la fig. NK ⊥ JL ; ML ⊥ JL NK = 4 , ML = 6 ,

J

167.

JM = 15 , JN =? N

K

L

Hipótesis : WZ = XY ; WX = ZY 168. Tesis : ∆ WTZ ∆ VWX

M

169.Hipótesis : CF ⊥ AB ;

∼

Tesis : ∆ FBE

Z

W

BD ⊥ AC

∼ ∆ DEC

C D

X

Y

V

E T

∆ ABC

¿ En qué casos el 170.

171.

AB DE AB BC

=

=

BC EF

=

DE EF

∼

∆ DEF

B ?

C

CA FD ∠B=∠E

;

E

D A

172.

BC EF

=

AC DF

173. ∠ A = ∠ D

A

F

, ,

B

∠B=∠D ∠C=∠E

F

174. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triángulo dado.

176.Según la figura, RQ ⊥ PQ ; PQ ⊥ PT y ST ⊥ PR

175.En el triángulo GHK , GK = HK ; PR ⊥ GK y PQ ⊥ HK Demostrar que GR ⋅ PQ = PR ⋅ HQ

Demostrar que : ST ⋅ RQ = PS ⋅PQ

T

K

R

Q R S G

P

H

P

Q