Tgs_mekanika.doc

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang System koordinat merupakan suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu bidang (R2) maupun suatu ruang (R3). Terdapat beberapa system koordinat yang dilakukan dalam fisika yaiu system koordinat kartesian, system koordinat polar, system koordinat silinder, dan system koordinat bola.

Penggunaan pada masing-masing system koordinat tersebut

disesuaikan pada bentuk geometri sistemnya. Pada bidang (R2) biasanya digunakan system koordinat kartesian dan koordinat polar. Sedangkan pada ruang (R 3) biasanya digunakan system koordinat silinder dan koordinat bola.

B. Rumusan Masalah Hal-hal yang akan dibahas dalam makalah ini adalah : a. b. c. d. e.

Koordinat kartesian Koordinat polar Koordinat silinder Koordinat bola Kinematik berbagai system koordinat

C. Tujuan Makalah ini dibuat agar pembaca lebih mengetahui tentang system koordinat yang biasa digunakan dalam fisikan, dan untuk memenuhi tugas tengah semester.

BAB II PEMBAHASAN 1

A. Sistem Koordinat Cartesius x0 y0

Y

x  0, y0

Kwadran II

Kwadran I

X Kwadran III

Kwadran IV

x  0,

x  0,

y0

y0

Gambar 1 Berdasarkan Gambar 1 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbusumbu koordinat X dan Y, masing-masing bidang yang dibatasi oleh bidang dinamakan kwadran, sehingga terdapat 4 kwadran, yaitu kuadran I (x>0, y>0), kwadran II (x<0, y>0), kwadran III (x<0, y<0), dan kwadran IV (x>0, y<0). Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka titik tersebut posisinya dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran IV tergantung besaran x dan y. Jika letak titik P(x,y), maka x disebut absis, y disebut ordinat koordinat.

1. Sistem koordinat kartesian 2dimensi

2

dan P(x,y) disebut

Perhatikan gambar berikut ini. Misal P(x1,y1) dan terletak di kwadran I hal ini berarti x1 >0 dan y1 >0

Y

P ( x1 , y1 )

y1

O (0,0)

x1

M ( x1 ,0)

X

Gambar 2 Berdasarkan gambar 2 di atas, tampak suatu segitiga yaitu OPM yang salah satu sudutnya siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras OP2

= OM2 + MP2 = (x1-0)2 + (y1-0)2 = x12 + y12 =

2

x1  y1

2

atau ditulis dengan notasi OP  x12  y 22 Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik O(0,0) dengan titik P(x 1 ,y 1 )

Selanjutnya perhatikan gambar berikut.

3

Y P ( x1 , y1 )

X Q( x 2 , y 2 ) R( x3 , y 3 )

Gambar 3 Gambar 3 di atas menunjukkan segitiga PQR yang masing-masing titik sudutnya yaitu P ( x1 , y1 ) terletak pada kuadran II, Q ( x 2 , y 2 ) terletak pada kuadran IV, R ( x3 , y 3 ) terletak

pada kuadran III dan jarak masing-masing titik dinyatakan oleh: 1.

PQ 



2.

PR  

3.

QR 



( xQ  x P ) 2  ( y Q  y P ) 2

( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 ( xR  xP ) 2  ( y R  y P ) 2 ( x3  x1 ) 2  ( y 3  y1 ) 2 ( x R  xQ ) 2  ( y R  y Q ) 2

( x3  x 2 ) 2  ( y 3  y1 ) 2

2. Sistem koordinat kartesian 3dimensi

4

Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan system koordinat kartesian 2 Dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus, seperti yang terlihat pada gambar :

Titik O merupakan titik pusat dari ketiga sumbu koordinat X, Y, dan Z. Sedangkan titik P didefinisikan dengan P (x, y, z). Contoh penggambaran objek pada koordinat kartesius 3 dimensi :

3. Aplikasi system koordinat kartesius

5

Salah satunya adalah dalam hal penerbangan. Seorang pilot dapat menerbangkan pesawat terbangnya tanpa bertabrakan satu sama lainnya dan juga dapat mengetahui apabila pesawat sudah sampai tujuan. Hal ini dikarenakan pesawat terbang itu dilengkapi dengan alat yang canggih seperti radar sebagai alat pendeteksi, kompas sebagai petunjuk arah, dan radio sebagai alat komunikasi. Oleh karena itu seorang pilot harus memahami cara membaca dan menentukan letak suatu tempat pada bidang koordinat kartesius .

B. Sistem Koordinat Polar Sistem koordinat Cartesius, menyatakan bahwa letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan ( x, y ) , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real  r ,  , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan  adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub) P (r ,  )

 r O

 Gambar 4

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650) dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik P(3,  3) dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar

 3

radian terhadap sumbu mendatar arah

positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 5.a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat  3,  3  2k  , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 5.b). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat   3, 4 3 pun juga

6

menggambarkan titik P (lihat Gambar 5.c). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar OP  . P (3,  3)

P (3,  3  2k )

3

3

 3  2k

 3

(b)

(a)

P ( 3, 4 3)

3 4 3

O 3

P (c)

Gambar 5

Secara umum, jika  r ,  menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

 r ,  2k 

atau

  r ,   (2k  1) 

dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat (0, ) dengan  sebarang bilangan.

Aplikasi system koordinat polar

7

Vektor dalam koordinat polar dan Differensiasinya terhadap Waktu sebuah titik pada (x, y) atau (r , ), yang bergerak dengan  = constan ber-arah r. Ini kita sebut gerak arah r. y

er e

e

j er



(x,y) (r,)

er

e

i x

Gambar 4.1

Gambar 4.2

Pada arah ini gambar vektor unit ( yaitu vektor yang panjangnya = satu ) dan diberi nama er. Dengan cara yang sama gerakkan titik itu dengan r konstan ber-arah membesarnya . Gerak ini disebut arah . Selanjutnya pada arah  ini gambarkan vektor unit yang diberi nama e. Dari gambar 4.1 tersebut tampak bahwa dari er ke e bersudut siku dengan arah berlawanan jarum jam. Sekarang setelah menggambar vektor unit dalam koordinat polar yaitu er dan e . Besarnya vektor unit koordinat polar adalah tetap, hanya arahnya saja yang berbeda jika letaknya berbeda (gambar 4.2). Selanjutnya hubungan antara er dan edengan i dan j untuk vektor dua dimensi, hubungan antara r dan komponen-komponennya adalah: r=ix +jy bahwa x = r cos  sedang y = r sin jadi: r = i r cos  + j r sin  Harus diingat bahwa er adalah r yang harga skalar r nya = 1, jadi: er = i cos  + j sin 

(4-11)

8

hubungan antara e dengan i dan j, diketahui bahwa e bersudut 900 dari er, jadi cos berubah menjadi  sin sedang sin berubah menjadi cos, jadi: e =  i sin  + j sin 

(4-12)

Turunan er dan e terhadap waktu adalah: de r d d d =  i sin  + j cos  = e dt dt dt dt

(4-13a)

de  d d d =  i cos   j sin  =  er dt dt dt dt

(4-13b)

Sekarang, jika sebuah vektor komponen-komponennya dinyatakan dalam koordinat polar, misal: A = Ar. er + A e maka turunannya adalah: dA = d (Ar. er ) + d(A e) = dAr. er + Ar . der + dA . e + A de atau: dA = er . dAr+ Ar . der + edA + A de Jadi turunannya terhadap waktu adalah: dA r de dA dA = er . + Ar  r + e  dt dt dt dt

+ A

de  dt

dengan menggunakan (4-13), persamaan di atas dapat ditulis: dA r dA dA = er . + e Ar . d + e  dt dt dt dt

er A d dt

(4-14)

C. System koordinat Silender Titik P terletak pada jarak r dari O, dapat diletakkan pada koordinat kartesian (x,y,z) atau dalam koordinat silinder (p,ø, z). Adapun hubungan antara (x,y,z) dengan (p,ø, z) : 9

- Silinder ke cartesius

- Cartesius ke silinder

x  r cos 

r

y  r sin 

x2  y2

  tan 1

zz

y x

zz

D. System Koordinat Bola Ditinjau kembali titik P ditempatkan dalam ruang sejauh r dari O seperti gambar

10

Untuk memukan hubungan antara dua pasang koordinat maka pertama ditetapkan OP = r dalam 2komponen PM dan OM, dalam hal ini : OC = PM = OP cos Ɵ atau z = r cos Ɵ OM = PC = OP sin Ɵ atau OM = r sin Ɵ Selanjutnya di uraikan OM dalam dua komponen, OA dan OB sehingga diperoleh OA = OM cos ø

atau

x = r sin Ɵ cos ø

OB = OM sin ø

atau

y = r sin Ɵ sin ø

E. Kinematika Sistem Koordinat 1. Kinematika system koordinat polar Suatu sistem koordinat polar dapat dijelaskan melalui koordinat kartesian sebagai berikut, terdapat suatu titik di bidang XY dan melalui titik tersebut berjarak r dari pusat koordinat dan garis dari pusat hingga titik tersebut membentuk sudut θ terhadap sumbu X, seperti terlihat pada gambar 1. Posisi titik itu dapat dinyatakan dengan koordinat (r, θ). Hubungan antara (x,y) dengan (r, θ) adalah

Gambar 1.Koordinat Polar (r, )

11

Kartesia nke Polar x = r cos y = r sin

Polar keKarte sian

12

Sehingga Vektor posisi dari koordinat polar adalah

Hubungan antara

dan

dengan dan

Gambar 2.Hubungan dan

dengan dan

Kecepatan merupakan turunan posisi terhadap waktu, maka kecepatan vertor pada koordinat polar : Posisi:

Dimana

Maka,

13

Demikian juga dengan percepatan, merupaka turunan dari kecepatan, dalam koorninat polar : Kecepatan:

Dimana:

Maka,

2. Kinematika Sistem Koordinat Silinder

Gambar 3.KoordinatSilinder Hubungan koordinat kartesian dan silinder : 14

KartesiankeSilinder x=

cos

y=

sin

z=z SilinderkeKartesian

15

Gambar 4. Skema sistem koordinat silinder Sehingga Vektor posisi dari koordinat silinder adalah

Hubungan vector satuansilinderdankartesian (

) dengan ( , , )

Gambar 5.Hubungan vector satuansilinderdankartesian Kecepatanpada system koordinatsilinderadalah Posisi:

Dimana:

Maka,

= merupakan kecepatan arah radial = merupakan kecepatan arah tangensial

Dan percepatanpada system koordinatsilinderiniadalah Kecepatan:

Dimana:

Maka

= merupakan percepatan radial = merupakan kecepatan tangensial

3. Kinematika Sistem Koordinat Bola

Gambar 6.Koordinat Bola Hubungandenganvariabel-variabeldalamsistemkoordinatkartesian Kartesian ke bola x=

cos

y=

sin

Bola ke Kartesian

Gambar 7. Skema Sistem koordinat bola Vektor posisi dari koordinat bola adalah

Hubungan vector satuansilinderdankartesian (

) dengan ( , , )

Gambar 8. Hubungan vector satuansilinderdankartesian

Kecepatanpadakoordinat bola adalah Posisi:

Dimana:

Maka

Dan percepatannyaadalah Kecepatan:

Dimana:

Maka

+(

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan 1. System koordinat kartesian terbagi atas 2dimensi dan 3dimendi. Pada system koordinat katersian 2dimensi menggunakaan sumbu koordinat (x,y) sedangkan pada kartesian 3dimendi mengguanakan sumbu koordinat (x,y,z). 2. System koordinat kartesian dapat diaplikasikan pada alat radar pendekteksi maunpun pada kompas. 3. Sama halnya dengan koordinat kartesian, koordinat polar juga menggunakan sumbu koordinat (x,y), hanya saja koordinat polar terdapat titi sembarang yang di anggap P dengan sumbu koordinat (r,Ɵ) 4. Pada system koordinat silinder dan system koordinat bola, sumbu koordinat yang digunakan dengan system koordinat kartesian 3dimensi, yaitu (x,y,z) atau (p,ø, z). B. Saran Penulis menyarankan sebaiknya pembaca dapat lebih memahami tentang system koordinat, karena system koordinat ini sangat banyak kegunaannya didalam kehidupan sehari-hari.