Tg1 Conjectura Prova

ESCOLA SECUNDÁRIA SÁ DE MIRANDA Trabalho de grupo nº 1 Setembro 2008

12º 5/9

CONJECTURA E PROVA 1. Lê com atenção o texto de Nuno Crato (Matemático português, vencedor em 2007 do “Science Communication of the year”) CONJECTURA DE COLLATZ A conjectura foi formulada em 1937 pelo matemático alemão Lothar Collatz. Trata-se de uma suposição matemática, algo que se imagina ser verdadeiro mas que não se conseguiu ainda provar nem rejeitar. E, tal como algumas das mais célebres suposições matemáticas, é fácil de entender, mas parece tremendamente difícil de provar ou rejeitar. Diz a conjectura de Collatz que, fazendo certas operações sucessivas a partir de qualquer número natural (inteiro positivo), se obtém sempre o número 1. Funciona da seguinte forma: Começa-se com um número inteiro positivo. Se esse número for par, dividese por 2. Se for ímpar, multiplica-se por 3 e soma-se 1. Ao fim disto obtém-se um novo número e repete-se o processo. Lothar Collatz conjecturou que, prosseguindo recursivamente esta sequência de operações, se atinge inevitavelmente o número 1. Nada melhor que um exemplo. Comece-se com 6. Como é par, divide-se por 2 e obtém-se 3. Como este é ímpar, multiplica-se por 3, soma-se 1 e obtém-se 10. Prossegue-se... Se o leitor fizer as contas verificará que obtém os números: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Atinge 1, portanto. Pode tentar com outros números. Acabará quase certamente por encontrar 1, pois muitos outros o tentaram e chegaram sempre à unidade. O investigador português Tomás Oliveira e Silva explorou um grande número de hipóteses, começando no número 1 e ultrapassando o número 27 mil milhões de milhões. Não encontrou nenhum caso em que a sequência não atingisse 1. É um resultado importante, mas não basta aos matemáticos. Pode muito bem acontecer que haja um número ainda não explorado que falhe a conjectura. Sem uma demonstração rigorosa ou sem encontrar tal hipotético número, continuamos sem o saber. 2. Lança várias vezes o “dado esférico” e tenta descobrir o seu funcionamento. Faz uma “conjectura” sobre a sua forma interior. Apresenta-a sobre a forma de texto ou desenho. Neste caso seria fácil verificares a tua conjectura! Como o farias? Não o faças!

Fernanda Carvalhal