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Agradecimentos Aos nossos pais e familiares por sempre nos incentivar e se esforçarem para viabilizar a nossa formação acadêmica Ao Prof. Dr. Eng. Carlos Patrício Samanez, por nos orientar o tempo que foi preciso para a realização deste trabalho, dando suporte do mais alto gabarito. Aos professores colaboradores, Kátia Rocha e Paulo Henrique que através de seus conhecimentos foram de grande valia para o trabalho. Aos professores que tornaram possível a realização deste trabalho ao longo dos anos de aprendizado conjunto. À equipe de apoio, sempre presente nas necessidades extra-classe. Às amizades que fizemos e construímos ao longo da Graduação. À Deus por nos arranjar forças, motivação e esperança para superar todos os obstáculos.

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Resumo Este trabalho tem como objetivo a precificação de debêntures conversíveis, que são títulos de renda fixa com opção de conversão em ações, pela utilização dos métodos de Árvore Binomial e simulação de Monte Carlo. Os problemas de valoração são resolvidos sobre a ótica de opções reais em contexto de negociação em mercado perfeito, livre de risco, sem possibilidade de arbitragem ou qualquer outra informação e instrumento que possibilitem ganhos não inerentes a operação. Assim sendo, embora todas as situações analisadas neste trabalho apresentem incertezas relacionadas ao mercado e aos riscos de cada empresa quanto à insolvência ou capacidade competitiva, estes fatores não são considerados no ambiente livre de risco. Na primeira análise foi utilizado o modelo de árvore binomial sobre opções reais, na qual se definiu como variável estocástica o preço da ação e, como variáveis determinísticas, os juros remuneratório e de mercado e a volatilidade do preço da ação. Também foi utilizado no método o conceito da probabilidade de Martingale. Na segunda avaliação foi utilizado o método de simulação de Monte Carlo, gerando caminhos aleatórios possíveis para o preço da ação. Assim como na primeira análise, os demais parâmetros se mantiveram fixos. Outro conceito muito importante utilizado nesta parte foi o movimento geométrico Browniano, também conhecido como processo de Wierner. Todas as análises se deram em condições especiais e com características únicas que não refletem em igualdade todas as condições do mercado de renda fixa nem seus pares ou similares. Os resultados encontrados neste trabalho, bem como suas simulações realizadas com recursos computacionais nos métodos de simulação de Monte Carlo ou Árvore Binomial, sofreram aproximações. Estes resultados foram comparados, evidenciando as similaridades e diferenças dos métodos utilizados.

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Índice 1 - Introdução do trabalho...........................................................................................................5 2 - Posicionamento do mercado de Títulos conversíveis no Brasil............................................6 2.1 - Histórico.........................................................................................................................6 2.2 - Características ................................................................................................................8 2.2.1 - Amortização e Resgate Antecipado.......................................................................11 2.2.2 - Repactuação...........................................................................................................11 2.3 - A importância em emitir debêntures.............................................................................11 2.4 - Tipos de Distribuição/Colocação..................................................................................12 2.4.1 - Emissões Primárias................................................................................................12 2.4.2 - Programa de Distribuição......................................................................................12 2.4.3 - Distribuições Secundárias......................................................................................13 2.4.4 - Emissões e Séries...................................................................................................13 3 - Conversível sob avaliação...................................................................................................14 4 - Técnicas de simulação.........................................................................................................16 4.1 - Árvore Binomial...........................................................................................................16 4.2 - Simulação de Monte Carlo...........................................................................................17 4.2.1 - Introdução..............................................................................................................17 4.2.2 - Procedimento.........................................................................................................17 4.2.3 - A Simulação de Quase-Monte Carlo (SQMC)......................................................19 4.2.4 - Técnicas de Redução de Variância .......................................................................21 4.2.4.1 - Latin Hipercub (Hipercubo Latino)................................................................21 4.2.5 - Gerador de Números aleatórios (RNG).................................................................22 4.2.5.1 - Os números pseudo-aleatórios........................................................................23 4.2.5.2 - Os números quase-aleatórios..........................................................................25 4.2.5.3 - Convertendo a distribuição Uniforme (0,1) em outras distribuições..............26 4.2.6 - Simulação de Monte Carlo para o Movimento Geométrico Browniano...............28 5 – Árvore Binomial aplicada a Debênture Conversível..........................................................30 6 - Simulação de Monte Carlo aplicada a Debênture Conversível...........................................33 7 - Análise de Sensibilidade......................................................................................................35 8 – Conclusões..........................................................................................................................40 ..................................................................................................................................................40 9 - Bibliografia..........................................................................................................................41 Apêndice A...............................................................................................................................43 Apêndice B................................................................................................................................45 Apêndice C................................................................................................................................50 Apêndice D...............................................................................................................................52 Anexo A....................................................................................................................................53 Anexo B....................................................................................................................................59

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Índice de Tabelas Tabela 1: Geração de Números Aleatórios...............................................................................23 Tabela 2: Geração de números Quase-aleatórios......................................................................26 Tabela 3: Árvore Binomial.......................................................................................................31 Tabela 4: Sensibilidade da Árvore Binomial - Preço da Ação.................................................35 Tabela 5: Sensibilidade da Árvore Binomial – Volatilidade....................................................35 Tabela 6: Sensibilidade da Simulação de Monte Carlo - Preço da Ação..................................37 Tabela 7: Sensibilidade da Simulação de Monte Carlo – Volatilidade.....................................37 Tabela 8: Sensibilidade dos Limites - Preço da Ação...............................................................38 Tabela 9: Sensibilidade dos Limites - Volatilidade..................................................................38 Tabela 10: Cálculo da TJLP......................................................................................................44 Tabela 11: Cálculo da Volatilidade...........................................................................................49

Índice de Ilustrações Ilustração 1:Árvore Binomial....................................................................................................16 Ilustração 2: Densidade Normal Padrão....................................................................................26 Ilustração 3: Função de Distribuição da Normal Padrão..........................................................27

Índice de Gráficos Gráfico 1: Dispersão Pseudo-aleatório.....................................................................................20 Gráfico 2: Dispersão Quase-aleatório.......................................................................................20 Gráfico 3 - Distribuição da Árvore Binomial do valor esperado do título...............................32 Gráfico 4: Caminhos Aleatórios gerados na Simulação de Monte Carlo.................................33 Gráfico 5: Distribuição do Valor esperado do Título da Simulação de Monte Carlo...............34 Gráfico 6: Sensibilidade da Árvore Binomial...........................................................................36 Gráfico 7: Sensibilidade entre as Médias da Simulação de Monte Carlo.................................37 Gráfico 8: Sensibilidade referente a amplitude da Simulação de Monte Carlo........................39

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1 - Introdução do trabalho A aplicação da teoria de opções reais na análise de investimentos vem sendo amplamente discutida na comunidade acadêmica e no mundo empresarial, e tem sido tema de diversos papers e outros trabalhos a respeito de investimentos em diversas áreas. Uma opção real é o direito, mas não a obrigação, de empreender uma ação (por exemplo, diferir, expandir, contrair ou abandonar) a um custo predeterminado que se denomina preço de exercício, por um período preestabelecido – vida da opção. Esta metodologia tem como grande benefício a modelagem de incertezas, o que antes não era abordado por outras técnicas. Ela permite quantificar as mudanças de incertezas e variáveis, que em geral possuem grande influência no resultado, baseando-se nas prerrogativas de decisão ótima, a serem tomadas, para cada instante de tempo em análise. Através da modelagem das incertezas por processos estocásticos e as flexibilizações decorrentes destas incertezas, foi possível levar em consideração, na análise econômica em questão, a irreversibilidade dos investimentos e parte da flexibilidade e incerteza do mundo real. À luz da Teoria de Opções Reais, o título analisado neste trabalho pode ser considerado uma opção européia com steps. A opção européia convencional é caracterizada pela possibilidade do exercício somente no vencimento da mesma. Já a debênture analisada neste trabalho apresenta possibilidade de exercício a cada 6 meses, caracterizando os steps. É importante ressaltar que foi utilizado o regime de capitalização contínua, pelo fato da facilidade nos cálculos envolvidos.

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2 - Posicionamento do mercado de Títulos conversíveis no Brasil

2.1 - Histórico As debêntures constituem uma das formas mais antigas de captação de recursos por meio de títulos. Elas são valores mobiliários de emissão de companhias abertas, nominativas, negociáveis, de médio ou longo prazo, e os debenturistas tornam-se credores da companhia emissora. O mercado de títulos de debêntures no Brasil remonta à época do Império, inicialmente regulamentado de acordo a Lei nº 3.150 e decreto nº 8.821, ambos de 1882. Nos anos que seguiram, elas sofreram diversas modificações em suas leis, porém a atratividade por títulos foi caindo em função da falta de mecanismos que protegessem as aplicações dos efeitos da inflação no longo prazo. Durante as mudanças que reorganizaram o sistema financeiro nacional no ano de 1965, foi introduzida uma importante inovação às debêntures, destacando-se a possibilidade de conversão em ações e a correção monetária. E com a edição da Lei de Sociedade por Ações, as debêntures assumiram a forma que prevalece e que foi reforçada pela criação da Comissão de Valores Mobiliários (CVM), disciplinando o mercado de capitais. Durante os anos 80, as diversas alterações na política econômica, acarretaram mudanças operacionais, tributárias e dos indexadores, o que afastou o interesse do investidor por esse mercado. Em 1988, as debêntures tiveram a sua aquisição encorajada por instituições financeiras e, em seguida, o Plano Verão permitiu o uso de uma ampla gama de indexadores, estimulando os investidores. Mas as incertezas no campo político e na política econômica recessiva ocorrida em 1990-1991 esfriaram o mercado de capitais doméstico, que em seguida passou a sofrer a concorrência das captações externas. Com o Plano Real, o mercado de debêntures apresentou as condições necessárias para recuperação através da estabilidade monetária, do progressivo alongamento dos prazos dos títulos da dívida, das reestruturações patrimoniais e financeiras das companhias, da retomada do crescimento econômico e do processo de privatização. Neste cenário, as debêntures se tornaram um importante instrumento para captação de recursos para empresas de

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arrendamento mercantil (leasing), administração e participação, serviços de utilidade pública, comércio e insumos intermediários. Porém, a partir de 1995, com a resolução do CMN 1.723/95, foi regulamentada a oferta pública de notas promissórias emitidas por sociedades por ações. A partir daí, as notas promissórias consagraram-se como um título de renda fixa de emissão mais simples e de mais curto prazo. Recentemente, duas instruções da CVM incrementaram o mercado de debêntures. A primeira consolidou diversas normas acerca das ofertas públicas de valores mobiliários e procurou refletir uma série de práticas atuais do mercado, como o bookbulding (mecanismo de consulta prévia ao mercado para definição da remuneração das debêntures ou do ágio/deságio no preço de subscrição, tendo em vista a quantidade de debêntures, para diferentes níveis de taxa, que cada investidor tem disposição de adquirir) Também introduziu outras práticas correntes em outros países como o programa de distribuição, green shoe e a possibilidade de aumentar a oferta em 20% sem alteração do Prospecto. Além disso, passou a exigir nas ofertas públicas, um prospecto mais completo que visa melhor refletir as práticas adotadas nos mercados interno e externo. A segunda instrução introduziu as debêntures padronizadas e as condições para o procedimento simplificado de registro de emissões de debêntures. Elas são títulos que possuem escrituras comuns, negociadas em ambiente especial com Formadores de Mercado que propiciem Liquidez mínima para esses títulos. As Debêntures padronizadas foram introduzidas com o objetivo de desenvolver um mercado mais dinâmico para títulos de dívida de emissão de companhias abertas e fornecer ao investidor um título de pouca complexidade e, conseqüentemente, mais atraente. Para os emissores, o procedimento simplificado de registro possibilita uma substancial economia de tempo no momento do processo de emissão das debêntures. Ainda como benefício aos emissores, existe a possibilidade de uma emissão poder ser oferecida ao longo de 24 meses, abrindo novas opções e estratégias para os emissores, que podem aproveitar de maneira eficiente as oportunidades favoráveis que se apresentam no mercado doméstico.

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2.2 - Características As debêntures podem ser caracterizadas: Quanto às Formas: - Nominativas: quando forem representadas por certificados emitidos em nome do titular e registrados em livro próprio mantido pela emissora. A transferência de titularidade é efetuada por endosso em preto, substituindo-se posteriormente o certificado. Atualmente, todas as debêntures são nominativas, ou seja, estão em nome de seus titulares, visto que as debêntures ao portador foram oficialmente extintas pela Lei n.º 9.457/97. - Escriturais: quando não possuírem certificados representativos, sendo mantidas em nome do titular em conta de depósito em instituição financeira depositária designada pela emissora. Essa é a forma mais utilizada. Quanto à Classe ou Tipo: - Conversíveis em Ações: quando, além de serem resgatáveis em moeda, puderem ser convertidas em ações de emissão da empresa, nas condições estabelecidas pela escritura de emissão. - Não Conversíveis ou Simples: quando não puderem ser convertidas em ações, ou seja, resgatáveis exclusivamente em moeda nacional. - Permutáveis: quando puderem ser transformadas sem ações de emissão de outra companhia que não a emissora dos papéis

(1)

, ou ainda, apesar de raro, em outros tipos de

bens, tais como títulos de crédito. No que diz respeito à Espécie/Garantia (2):

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Na maioria das vezes, a companhia emissora das ações objeto da permuta é empresa integrante do mesmo conglomerado da companhia emissora das debêntures. 2 Além de possuírem as garantias citadas no quadro, as debêntures podem ter garantias adicionais, constantes da escritura de emissão. A garantia fidejussória geralmente é representada por uma fiança conferida por pessoas físicas ou jurídicas (compreendendo geralmente acionistas ou sociedades do mesmo grupo da emissora). A escritura de emissão também pode prever covenants, que são compromissos contratuais que complementam a garantia das debêntures. Podem incluir cláusulas que limitam a ação da companhia emissora relativamente a endividamentos, seguros, controle acionário da empresa etc. O fiel cumprimento dos covenants é fiscalizado pelo agente fiduciário.

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(3)

- Garantia Real hipoteca

(4)

, penhor

: quando são garantidas por bens (móveis ou imóveis) dados em

(5)

ou anticrese

(6)

pela companhia emissora, por empresas de seu

conglomerado ou por terceiros. - Garantia Flutuante (7): quando possuem um privilégio geral sobre o ativo da empresa, o que não impede, entretanto, a negociação dos bens que compõem esse ativo. As debêntures com garantia flutuante possuem preferência de pagamento sobre debêntures de emissões anteriores e sobre outros créditos especiais ou com garantias reais, firmados anteriormente à emissão. - Quirografárias (sem preferência)

(8)

: debêntures que não possuem as vantagens dos

dois tipos anteriores. Assim, os debenturistas, em caso de falência, equiparam-se aos demais credores quirografários (não privilegiados) da empresa. - Subordinadas

(9)

: quando não possuem garantia, o que significa que, em caso de

liquidação da companhia emissora, os debenturistas têm preferência apenas sobre os acionistas. Em relação à Remuneração e Atualização Monetária (10): - Taxa de Juros Pré-Fixada - TR ou TJLP (11) - TBF (12) - Taxas de Juros Flutuantes (13) 3

O volume de emissão de debêntures com garantia real é limitado pela regulamentação até 80% do valor dos bens gravados da empresa, quando o valor da emissão ultrapassar o do capital social. 4 A hipoteca representa um direito real de garantia sobre bens imóveis (incluindo navios e aeronaves). 5 O penhor é um direito real de garantia sobre bens móveis entregues pela emissora ou por terceiros, para assegurar o cumprimento de uma obrigação. 6 A anticrese é também um direito real de garantia pelo qual o credor recebe os rendimentos de um imóvel, possuindo, durante o período que se estender até o cumprimento da obrigação, os poderes de proprietário para fins de arrendamento ou locação do imóvel. 7 O volume de emissão das debêntures com garantia flutuante é limitado até 70% do valor contábil do ativo da emissora, líquido das dívidas garantidas por direitos reais, quando o valor da emissão ultrapassar o do capital social. 8 As emissões de debêntures quirografárias não podem ter valor maior que o do capital social da companhia. 9 No caso das debêntures subordinadas, não existem limites máximos para a emissão. 10 A emissão de debêntures com previsão de mais de uma base de remuneração ou correção é admitida somente para efeito de substituição da base pactuada, na hipótese de extinção desta. 11 No caso das debêntures serem remuneradas pela TR (Taxa Referencial) ou TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo), o prazo mínimo para vencimento ou periodicidade de repactuação é de um mês. Este mecanismo é utilizado pelas companhias emissoras de debêntures – quando previsto na escritura de emissão – para adequar seus títulos, periodicamente, às condições vigentes no mercado e, com isso, torná-los mais atrativos para os investidores. Na repactuação, a emissora está obrigada a recomprar os títulos dos debenturistas que não aceitarem as novas condições propostas. 12 Apenas as sociedades de leasing e as companhias hipotecárias podem emitir debêntures remuneradas pela TBF (Taxa Básica Financeira); nesse caso, o prazo mínimo para vencimento ou periodicidade de repactuação é de dois meses. 13 As taxas flutuantes utilizadas em debêntures devem ser regularmente calculadas e de conhecimento público, devendo ser baseadas em operações contratadas a taxas prefixadas, com prazo não inferior ao período de reajuste estipulado

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- Índice de Preço + Taxa de Juros Fixa (14) - Taxa Cambial + Taxa de Juros Fixa - Coeficiente de Correção de Títulos da Dívida Pública + Taxa de Juros Fixa - Participação nos Lucros (15) Por último, sobre o vencimento: - Definido: quando tiverem o vencimento definido na escritura de emissão - Indeterminado (debênture perpétua): quando não tiverem vencimento determinado. Nesse caso, o vencimento é condicionado apenas a eventos especiais expressos na escritura da emissão ou nos casos de inadimplência do pagamento de juros e dissolução da companhia. A empresa também pode prever casos de resgate parcial ou total das debêntures, situações em que podem ser pagos prêmios. Além das características apresentadas acima, as debêntures também apresentam prêmios, visando: - Fornecer remuneração; - Adaptar a rentabilidade total às condições de mercado; - Compensar o debenturista pelo resgate antecipado; - Estimular o detentor do título a continuar com as debêntures em processo de repactuação. Os prêmios das debêntures não podem ter como base a TR, a TBF, a TJLP, índices de preços, a variação da taxa cambial ou qualquer referencial baseado em taxa de juros. Porém, é permitido ter como base a variação da receita ou lucro da emissora.

contratualmente. O prazo mínimo de vencimento é de 180 dias e as taxas deverão ser reajustadas em períodos fixos. 14 O índice de preços deve ter série regularmente calculada e ser de conhecimento público. A periodicidade de aplicação da cláusula de atualização não pode ser inferior a um ano, e o pagamento do valor correspondente à correção somente pode ocorrer por ocasião do vencimento ou da repactuação das debêntures. Além disso, o pagamento de juros e a amortização realizados em períodos inferiores a um ano devem ter como base de cálculo o valor nominal das debêntures, sem considerar a atualização monetária de período inferior a um ano. 15 As debêntures podem remunerar os investidores por meio de participação nos lucros, agregando características de renda variável ao papel. Quando a debênture possuir exclusivamente essa forma de remuneração, não haverá prazo mínimo para o vencimento ou periodicidade de repactuação.

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2.2.1 - Amortização e Resgate Antecipado Uma companhia pode reservar-se o direito, desde que previsto na escritura de emissão, de realizar amortizações ou resgates antecipados de debêntures de uma série de circulação. As amortizações compreendem a redução do valor nominal de todas as debêntures em circulação, ao passo que o resgate abrange a retirada de unidades delas, de forma parcial ou total. Onde ambos podem ser programados (previstas as épocas e os critérios adotados) ou extraordinários (prevista a possibilidade de sua ocorrência, porém sem ser de maneira objetiva).

2.2.2 - Repactuação A escritura de emissão pode conter cláusula de repactuação, que significa renegociar as condições acertadas com os debenturistas, de forma a adequar as características dos títulos às condições de mercado. Caso os investidores não aceitem as novas condições propostas pela companhia, esta terá de adquirir as debêntures. As debêntures, uma vez adquiridas, podem permanecer em tesouraria (fora de circulação) ou serem canceladas. Se a empresa mantiver as debêntures em tesouraria, poderá, posteriormente, recolocá-las no mercado para outros interessados.

2.3 - A importância em emitir debêntures As debêntures são utilizadas para a captação de recursos junto aos investidores para o financiamento de projetos, reestruturação de passivos, aumento de capital de giro ou estruturação de operações de securitização de recebíveis. Na reestruturação de passivos, elas são utilizadas para consolidar as dívidas, bem como reduzir o custo médio e a complexidade de administrar a dívida. Também é possível obter prazos mais longos, uma melhor adequação do perfil da dívida e a diminuição significativa das garantias dadas pela companhia. As debêntures podem ser emitidas lastreadas na securitização de recebíveis. Neste processo, o risco de crédito dos recebíveis é separado do risco de crédito da companhia

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originária, o que viabiliza uma emissão que em muitos casos não poderia ser realizada por esta companhia. A securitização de recebíveis é um procedimento que envolve a venda de recebíveis (direitos creditórios oriundos de venda a prazo de bens, serviços ou operações imobiliárias) de uma empresa originária para uma segunda. É importante ressaltar a capacidade de ajustamento das condições de uma debênture de acordo às necessidades do emissor, o que torna para a empresa um grande instrumento de captação de recursos, inclusive para capital de giro. A emissão de debêntures é considerada o estágio preliminar a uma plena abertura de capital realizada por meio da emissão de ações, especialmente no caso de debêntures conversíveis. Estas, como o nome diz, possuem uma cláusula de conversibilidade que estabelece condições, preço e período para que as mesmas sejam convertidas em ações.

2.4 - Tipos de Distribuição/Colocação

2.4.1 - Emissões Primárias As emissões primárias são operações de lançamentos de novos títulos, nas quais há o aporte de novos recursos para a companhia. As ofertas podem ser publicas e/ou transacionadas no mercado, desde que a empresa seja uma companhia de capital aberto e obedeça às normas exigidas pela CVM. Porém, as emissões também podem ser privadas, não havendo registro da distribuição das debêntures junto a CVM e sem necessidade da emissora constituir-se ou manter-se como companhia aberta.

2.4.2 - Programa de Distribuição Os emissores podem registrar na CVM um Programa de Distribuição de Valores Mobiliários, com o objetivo de, no futuro, efetuar ofertas públicas. Para isso, é necessário que já tenham efetuado distribuições públicas de valores mobiliários (ações, debêntures ou outros) e estejam com o registro de companhia aberta atualizado. Uma vez arquivado o Programa de Distribuição, o emissor terá um prazo de até dois anos para realizar a emissão da totalidade

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das debêntures previstas no Programa. A cada nova oferta pública de debêntures relativas a um mesmo Programa, é necessário atualizar a escritura e o prospecto junto à CVM.

2.4.3 - Distribuições Secundárias As distribuições secundárias (block-trade) de debêntures compreendem distribuições públicas de grandes lotes de debêntures que já foram emitidas, que estão nas mãos de controladores/acionistas da empresa ou qualquer outro investidor (debêntures que estão fora de circulação do mercado) e que compreendem um esforço de vendas sobre esses títulos. O procedimento para o registro da oferta secundária é análogo àquele para o registro das emissões primárias de debêntures.

2.4.4 - Emissões e Séries Uma empresa pode efetuar várias emissões de debêntures, de acordo com suas necessidades. Cada emissão pode ainda ser dividida em séries, de forma a adequar o montante de recursos às necessidades da empresa ou à demanda do mercado. As debêntures de uma mesma série deverão ter igual valor nominal e conferir a seus titulares os mesmos direitos. As séries de uma emissão podem ter ou não a mesma data de vencimento.

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3 - Conversível sob avaliação A emissão de debêntures conversíveis escolhida foi da emissora Tele Centro Sul Participações,

recebendo

nova

denominação,

posteriormente,

de

Brasil

Telecom

Participações, companhia com o objetivo de exercer o controle das sociedades exploradoras dos serviços públicos de telefonia fixa da região II (Regiões Sul e Centro-Oeste do Brasil). A emissão, de série única, é de 1.500 debêntures, conjugadas com 750 bônus. O montante da operação totaliza R$ 1.095.000.000,00. Cada debênture tem, na data de emissão, valor nominal de R$ 730.000,00 e tem garantia do tipo flutuante. A data de emissão é de 27 de Julho de 2000, correspondente à da publicação do 2º Anúncio de Distribuição Pública das Debêntures. E as respectivas vencerão no dia 27 de Julho de 2006. Sobre os Juros Remuneratórios, os debenturistas receberão 4% ao ano, acima da Taxa de Juros de Longo Prazo – TJLP. Observando a seguinte esquemática: I.

Quando a TJLP for superior a 6%: a. o montante excedente a 6% ao ano da TJLP será capitalizado nas datas de pagamento de juros, no vencimento ou na conversão ou liquidação e mediante a incidência do seguinte termo de capitalização sobre o saldo devedor: TC = [ (1 + TJLP ) / 1,06 ]

n / 360

− 1 , onde:

TC = termo de capitalização; n = número de dias decorrente entre a data da emissão e o vencimento do título. b. o percentual de 4% ao ano acima da TJLP, incidirá sobre o saldo devedor não amortizado das debêntures nas datas de exigibilidade dos juros mencionados acima. A Taxa de Juros Longo Prazo (TJLP) é definida trimestralmente pelo Conselho Monetário Nacional (CMN). A TJLP é definida como o custo básico dos financiamentos concedidos pelo BNDES. 14

Os pagamentos de juros terão vencimento semestral observando como início 6 meses após a data de emissão. Sendo assim, o primeiro vencimento dar-se-á em 27 de Janeiro de 2001 e seus semestres subseqüentes. A taxa de conversibilidade da debênture foi estabelecida em contrato igual a 22.188.450 ações preferenciais para cada debênture convertida. Para efeitos práticos neste trabalho a taxa de juros utilizada foi fruto de cálculo da média da TJLP apresentada nos meses correntes de prazo do contrato, sendo a remuneração do título igual a 13,951% ao ano (TJLP + 4%), vide apêndice A.

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4 - Técnicas de simulação

4.1 - Árvore Binomial A árvore binomial é um diagrama representativo dos diferentes valores que poderiam ser assumidos pela variável estocástica (S) que se deseja avaliar ao longo de intervalos discretos de tempo (∆t). Tem-se que, a cada período, o valor de S move-se para cima ou para baixo, de acordo com as constantes proporcionais u e d, respectivamente. Atrelado a este raciocínio, existe a probabilidade de Martingale (vide anexo B), que é a probabilidade de S de mover-se para cima (p), ou para baixo (1-p), ambas as medidas neutras ao risco. Os parâmetros u, d e p são definidos pelas seguintes equações: u = eσ

∆t

d = e −σ

p=

∆t

e rT − d , onde: u −d

σ = volatilidade de S; r = taxa de juros livre de risco. T = período de duração da variável estocástica A figura abaixo mostra os possíveis valores de S ao longo de três intervalos de tempo:

Ilustração 1:Árvore Binomial

A árvore acima é conhecida como árvore binomial multiplicativa, pois os valores futuros em cada período seguem uma distribuição binomial e são proporcionais ao

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estado inicial. O modelo em questão é dito recombinante, ou seja, alguns nós voltam a assumir valores de nós já encontrados anteriormente. Quando o número de períodos tornase muito grande, no limite, a distribuição dos resultados nas ramificações finais se aproxima de uma distribuição logarítmica normal.

4.2 - Simulação de Monte Carlo

4.2.1 - Introdução A simulação de Monte Carlo possui grandes aplicações na solução de uma variedade de problemas matemáticos, através de experimentos computacionais em diversas áreas das ciências. O método é aplicado tanto em problemas determinísticos quanto aos que possuem caráter probabilístico. A estrutura, em si, é muito simples e flexível, o que a torna viável de ser aplicada em qualquer nível de complexidade. No entanto, é importante destacar a inconveniência do método, no que diz respeito ao número de simulações necessárias para a redução do erro da estimativa da solução procurada, o que tende, na prática, a tornar o método um pouco lento. O método possui, ainda, grande aplicação na teoria financeira e tem sido largamente usado nos cálculos de Opções e do Valor em Risco (VaR), na medição do Risco de Mercado e de Crédito, na Análise de Projetos de Investimento e, recentemente, na solução de Opções Reais. Devido à simplicidade do raciocínio envolvido na geração do método e à grande inovação tecnológica dos computadores pessoais, o método de MC se tornou uma poderosa e atrativa ferramenta para lidar com questões ligadas à Teoria Financeira.

4.2.2 - Procedimento A técnica do MC consiste em gerar valores aleatórios de acordo com a distribuição de probabilidade, dentro de um modelo, com o objetivo de produzir vários cenários. A distribuição de valores calculados (para cada caso) deve refletir a probabilidade de ocorrência dos mesmos.

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A simulação dessa técnica também é usada para avaliar o valor esperado de uma variável, onde esta é função de várias variáveis estocásticas, que não podem ser tratadas de forma analítica. No contexto de precificação de opções americanas, a simulação de Monte Carlo e a Programação Dinâmica são usadas de forma combinada, por exemplo. Algumas vantagens podem ser destacadas, como: - Não existe necessidade de aproximação nas distribuições das variáveis do modelo; - As correlações e outras interdependências podem ser modeladas; - O processo de geração dos valores aleatórios é realizado somente pelo computador; - O nível de precisão da simulação pode ser melhorado através do aumento do número de iterações; - A validade da teoria da simulação de Monte Carlo é amplamente reconhecida, o que possibilita que os seus resultados sejam facilmente aceitos; - As alterações no modelo matemático em questão podem ser feitas rapidamente e os novos resultados podem ser comparados com os anteriores. Com isso, o método de simulação de Monte Carlo será usado no desenvolvimento deste trabalho, de modo a viabilizar a precificação do título conversível proposto.

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4.2.3 - A Simulação de Quase-Monte Carlo (SQMC) Também chamada de Seqüência de Baixa Discrepância, o método de Simulação Quase-Monte Carlo tem por objetivo gerar, de maneira determinística, números distribuídos uniformemente em um dado intervalo. Esses números são chamados de quase-aleatórios, em contraposição aos conhecidos pseudo-aleatórios, gerados pelo Método de Monte Carlo tradicional. Estudos realizados demonstram que a utilização de seqüências de baixa discrepância (ou quase-aleatória) pode acelerar substancialmente a convergência da SMC devido à necessidade de um menor número de simulações, a fim de conseguirmos a precisão desejada. Nessa seqüência, as amostras são selecionadas de forma a preencherem igualmente todo o domínio da simulação. Pode-se citar que uma das aplicações do QMC (Quase-Monte Carlo) é na redução de variância, ou seja, espalham-se amostras o mais uniformemente possível sobre o espaço amostral e a uniformidade pode ser conseguida estratificando o mesmo. A estratificação envolve a divisão da distribuição em intervalos iguais ou de preferência com probabilidades de ocorrências iguais. Por exemplo, supondo que a distribuição foi dividida em 10 intervalos, onde todos possuem a mesma probabilidade. Com isso, poderemos escolher um esquema de simulação que nos assegure que 10% das amostras estejam contidas primeiro intervalo, 10% contidas no segundo intervalo e assim por diante. Ao final da simulação, ter-se-ão 10 valores médios resultantes da simulação dentro do limite de cada intervalo.

19

É importante destacar que a SQMC possui melhor desempenho quando comparada à de MC. Este fato é devido ao método de geração de números aleatórios utilizado. Por fim, foi feita uma comparação empírica dos gráficos resultantes da plotagem dos números pseudoaleatórios e os de baixa discrepância. Com isso, é percebido que o gráfico de dispersão dos números pseudo-aleatórios possui uma distribuição com aglomerações e áreas não preenchidas pelos valores, o que praticamente não ocorre com a seqüência quase-aleatória.

Dispersão dos números Pseudo-aleatórios 1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Números P seudo-aleatórios

Gráfico 1: Dispersão Pseudo-aleatório Dispersão dos núm eros Quase -aleatórios 1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

NúmerosQuase-aleatórios

Gráfico 2: Dispersão Quase-aleatório

20

4.2.4 - Técnicas de Redução de Variância

4.2.4.1 - Latin Hipercub (Hipercubo Latino) As técnicas de redução de variância estão relacionadas a diferentes métodos de amostragem de números aleatórios, com o objetivo de diminuir o tempo de processamento das simulações e aumentar a eficiência das mesmas, geradas pela amostragem aleatória simples. Portanto, para determinado nível de precisão, é necessário um número menor de simulações e, conseqüentemente, um menor esforço computacional. A redução de variância é medida, geralmente, através do erro padrão das estimativas. Com isso, quanto menor o erro padrão obtido, maior será a precisão e qualidade das simulações. Na literatura relacionada à técnica em questão, existem várias abordagens e, dentre estas, destaca-se a do Hipercubo Latino. A técnica de amostragem por LH foi apresentada por Mckay (1979). A idéia básica do procedimento consiste na divisão do espaço amostral em estratos, de forma que um número aleatório seja obrigatoriamente sorteado em cada estrato. Com isso, garante-se, pelo menos, alguma regularidade da distribuição sobre a qual a simulação é feita. A aleatoriedade da geração é obtida pela permutação aleatória da ordem em que os números, gerados dentro de cada estrato, serão sorteados. Um dos algoritmos que formaliza a geração por hipercubo latino pode ser escrito como:  i − 1 + Rand i   ( i − Rand i )  xhi = F −1   = F −1   n n     onde: n = tamanho da amostra de números aleatórios a serem gerados; i = 1,2,3,......., n; xh i = i-ésimo elemento do primeiro conjunto de valores da amostra; F-1 = inversa da função de distribuição acumulada da variável X; Randi = i-ésimo número aleatório entre 0 e 1. 21

É imprescindível relatar que o Método de LH oferece um excelente desempenho em relação às demais técnicas de redução de variância.

4.2.5 - Gerador de Números aleatórios (RNG) A simulação computacional de qualquer fenômeno aleatório envolve a geração de variáveis aleatórias. Para que os resultados da simulação de Monte Carlo sejam satisfatoriamente condizentes com os resultados esperados na situação real, é muito importante que se tenha uma fonte de números aleatórios de boa qualidade. Em experiências físicas podem ser gerados números aleatórios, associando os resultados experimentais aos números. Entretanto, isto se torna inviável quando é necessário gerar uma grande quantidade desses números. Além disso, como não se pode garantir a total aleatoriedade do experimento, os números gerados desta maneira não serão totalmente aleatórios. Nas simulações computacionais, os números aleatórios costumam ser produzidos diretamente pelo computador, utilizando um gerador de números aleatórios ou RNG (randon number generator). Este algoritmo produz seqüências numéricas que seguem uma distribuição de probabilidade específica e assim possuem a aparência de aleatoriedade. Portanto, os números gerados computacionalmente não devem ser chamados de aleatórios, pois são previsíveis e repetíveis. Contudo, o mais importante é que esses números substituem satisfatoriamente os números realmente aleatórios se o método de geração for válido. Vários procedimentos estatísticos sofisticados foram propostos para testar e garantir se uma seqüência de números aleatórios gerada computacionalmente tem aleatoriedade suficiente. Basicamente, os requisitos são que haja uma distribuição uniforme da probabilidade de ocorrência de cada número e que um número seja estatisticamente independente do número subseqüente, ou seja, que haja uma baixa correlação entre os números. Os números aleatórios podem ser divididos em dois grupos: discretos e contínuos. Os discretos são os escolhidos de uma lista de números discretos e os contínuos de um intervalo

22

contínuo de números. Como os computadores trabalham com números discretos, eles geram números aleatórios com estas características, mas veremos que estes podem facilmente ser convertidos em números contínuos. Sendo assim, os métodos computacionais de simulação podem trabalhar tanto com números discretos como contínuos. Veremos a geração de dois tipos de números aleatórios, os pseudo-aleatórios e os quase-aleatórios:

4.2.5.1 - Os números pseudo-aleatórios Existem inúmeros algoritmos geradores de números pseudo-aleatórios. Para fins didáticos, veremos o método do resíduo (Congruential method, em inglês), que se baseia na seguinte função recursiva:

xn+1 = (axn+c)(modulo m) O método sempre calcula o próximo número aleatório dado um número aleatório

x0

Xn+1 a partir do ultimo obtido,

, chamado de semente. Na formula, a, c e m são positivos

inteiros (a<m, c<m). A notação matemática “módulo” significa que Xn+1 é o resto da divisão de

(axn+c) por m.

Logo, os possíveis valores de

xn+1 são 0,

1,..., m-1. Portanto,

mé

a

quantidade desejada de diferentes números aleatórios gerados. Vamos ilustrar com um exemplo: Usando m = 8, a = 5, c = 7, e na tabela abaixo:

Vemos que nas primeiras oito iterações, escolhidos

foram oito

diferentes números, mas que

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Xn 4 3 6 5 0 7 2 1 4 3 6 5 0 7 2 1

x0 = 4. A seqüência de números aleatórios é calculada 5X + 7 27 22 37 32 7 42 17 12 27 22 37 32 7 42 17 12

(5X + 7)/8 3,375 2,75 4,625 4 0,875 5,25 2,125 1,5 3,375 2,75 4,625 4 0,875 5,25 2,125 1,5

Tabela 1: Geração de Números Aleatórios

Xn+1 3 6 5 0 7 2 1 4 3 6 5 0 7 2 1 4

23

a partir da oitava iteração, esses números se repetiram. Essa repetição faz com que os números gerados pelo algoritmo não sejam considerados verdadeiramente aleatórios. Para solucionar este problema, basta utilizar um valor bem grande para m, o que é trivial para os computadores, e utilizar apenas os m primeiros números gerados pelo algoritmo. É preciso observar quais são os valores escolhidos para a, c, m e x0. Na base decimal, m=10d, onde d é a quantidade máxima de dígitos suportada pela ferramenta computacional. Os valores de a podem ser: 1, 21, 41, 61 ... (a= 20n+1) e c = 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, ... (isto é, qualquer número positivo, impar, não divisível por 5). Não há qualquer restrição quanto ao valor de x0 , ou semente, pois apenas afeta onde a seqüência começará e não a progressão dos números. A seqüência obtida será de números discretos e, portanto, inteiros ente 0 e m-1. Podemos transformar para uma seqüência de números contínuos entre 0 e 1 se dividirmos todos os números por m.

24

4.2.5.2 - Os números quase-aleatórios Conforme foi visto, o método do resíduo gera números denominados pseudoaleatórios, utilizados na Simulação de Monte Carlo. Existe também um outro algoritmo que gera os números denominados quase-aleatórios, utilizados na simulação de Quase-Monte Carlo (QMC). A principal diferença em relação ao método anterior é que os números quasealeatórios são gerados de uma forma que evita a aglomeração dos mesmos, ou seja, os números são os mais dispersos possíveis. Essa série de números é chamada de seqüência de baixa discrepância. A seqüência de van der Corput, na base 2, é a principal fonte de seqüências de baixa discrepância. A seqüência de van der Corput , para o numero n e base b, segue três passos: 1. O número na base decimal é expandido na base b. Por exemplo, n = 4 na base 2 é 100 (4 = 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20); 2. O número na base b é refletido. No exemplo, 001; 3. Transformamos o número refletido na base b para a base decimal. No exemplo, o número na base 2 (0,001) corresponde ao número decimal 1/8, isto é, van der Corput = 1/8 = 0.125 (= 0 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3). Com duas equações é possível executar estes passos. Na primeira equação, obtemos o número invertido aj, na base b, (para a base 2, uma seqüência de 0 e 1; para a base 3 uma seqüência de 0, 1 e 2, etc.), na segunda equação obtemos a seqüência de van der Corput na base b correspondente ao numero decimal n: m

n = ∑a j ( n )b j j =0

m

Van der Corput base b( n ) = Φ b ( n ) = ∑ a j ( n ) b − j −1 j =0

Onde m é o menor inteiro que faz aj(n) = 0, ∀ j > m . Assim, para a base 2, teríamos a seguinte seqüência de números: Base 10

Base 2

Base 10 25

N° de interações

Número expandido

0

2

1

0

2

1

0

000

número refletido

0=0x2 +0x2 +0x2

0

0

-1

1/2

0,5

1/4

0,25

3/4

0,75

1/8

0,125

0x2

1

001

1=0x2 +0x2 +1x2

1x2

2

010

2 = 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20

1 x 2-2

3

011

2

1

0

2

1

0

3=0x2 +1x2 +1x2

van der Corput

-1

-1

1x2 +1x2

-2

-3

4

100

4=1x2 +0x2 +0x2

1x2

5

101

5 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

1 x 2-1 + 1 x 2-3

5/8

0,625

6 ...

110 ...

6 = 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 ...

1 x 2-2 + 1 x 2-3 ...

3/8 ...

0,375 ...

Tabela 2: Geração de números Quase-aleatórios

4.2.5.3 - Convertendo a distribuição Uniforme (0,1) em outras distribuições Vimos, então, duas maneiras de se obter números “aleatórios” distribuídos uniformemente no intervalo 0 e 1. Todavia, precisaremos de amostras obtidas de outras distribuições. Na simulação em questão, necessitamos de amostras de números aleatórios oriundas da distribuição N ~ ( 0,1) . Não é preciso um algoritmo que gere esses valores com essas características, pois existem técnicas para transformar uma amostra da distribuição Uniforme (0,1) em outras distribuições, inclusive em Normal (0,1). O método mais simples é o da inversão da função de distribuição cumulativa de probabilidade. Vejamos o caso da Normal (0,1):

Ilustração 2: Densidade Normal Padrão

Este gráfico é da função densidade de probabilidade da Normal Padrão. Desta função, obtemos a função de distribuição cumulativa de probabilidade, ilustrada no próximo gráfico: 26

Ilustração 3: Função de Distribuição da Normal Padrão

A curva é da distribuição cumulativa da Normal Padrão, mas poderia ser de qualquer distribuição com função de distribuição cumulativa de probabilidade conhecida, da qual se desejasse obter uma amostra aleatória. Note que o eixo Y varia de 0 até 1 assim como a distribuição Uniforme(0,1), além de ambos serem equiprováveis. Isso significa que podemos associar qualquer valor de U(0,1) com qualquer função de distribuição cumulativa de probabilidade conhecida, inclusive com a da Normal Padrão. A linha pontilhada indica que com uma amostra da distribuição U(0,1) (na figura y ≈ 0,3), podemos obter uma amostra numérica x para a distribuição que desejamos simular (na figura x ≈ -0,5). Assim, é possível obter tantos quantos forem os números aleatórios que desejarmos com distribuição Normal (0,1).

27

4.2.6 - Simulação de Monte Carlo para o Movimento Geométrico Browniano Para a análise da debênture em questão, utilizou-se o preço da ação como variável estocástica. Um processo estocástico pode ser definido como sendo a soma de duas parcelas, uma esperada e a outra aleatória. De forma esquemática, temos: X (t ) = E[ X (t )] + erro (t ) , onde:

X(t)

= variável estocástica;

E[X(t)] = valor esperado da variável estocástica Erro(t) = erro aleatório. O processo de Markov é um processo estocástico onde o melhor parâmetro para definir o próximo valor de uma variável estocástica é o seu valor atual e não a série histórica destes valores, ou seja, a distribuição de probabilidade para Xt+1 depende somente de Xt e não do que ocorreu antes do tempo t (não depende de Xs, onde s
dS = α dt + σ dz , onde: S

dS = retorno da variável estocástica; S α dt = parcela de valor esperado;

σ dz = parcela de desvio;

28

dz = ε t

dt

, conhecido como incremento de Wiener;

εt ~ N (0,1) .

Aplicando o Lema de Itô ao MGB obtemos a equação seguinte, conforme demonstração no anexo A:

2 {( r −σ ) ∆t +σN ( 0 ,1) ∆t } 2 ,

St = S 0 e

onde:

St = Preço da ação no instante t S0 = Preço inicial da ação objeto r = Taxa de juros livre de risco ∆t = Intervalo de tempo σ = Volatilidade da ação N(0,1) = Valor aleatório da distribuição Normal padronizada Esta equação foi utilizada na simulação em questão a fim de gerar possíveis valores do preço da ação (St) a cada intervalo de tempo (∆t), a partir de um preço inicial (S0), com o objetivo de reproduzir vários cenários. Para os cálculos, é necessário determinar: a taxa livre de risco (r), fator de remuneração garantido do projeto analisado, de maneira a não gerar uma oportunidade de arbitragem; e a volatilidade intrínseca da ação (σ), que é uma medida de variação do preço da mesma.

29

5 – Árvore Binomial aplicada a Debênture Conversível No presente trabalho, foi utilizado o modelo de árvore binomial, com o objetivo de precificar o título conversível, simulando a variável estocástica em questão, ou seja, o preço da ação. Os inputs requeridos foram: a Taxa Livre de Risco (r), o preço inicial da ação (S0), a Taxa de Conversão (T.Conv.), a volatilidade da ação (σ), a vida da opção (em anos) e o valor de face da debênture. Com isso, utilizou-se a probabilidade de Martingale, à qual relaciona os parâmetros: taxa livre de risco, a volatilidade do preço da ação e, por fim, as constantes proporcionais u e d, para o cálculo das probabilidades de subida (p) e descida (1 − p ) . Os parâmetros acima citados foram obtidos da forma que segue: Taxa livre de risco (r) – Esta é uma taxa de remuneração definida no contrato, como sendo Taxa de Juros de Longo Prazo, adicionado quatro pontos percentuais (TJLP + 4%). Como o objetivo do trabalho não é estimar a TJLP, esta foi calculada como sendo a média dos seus valores do período entre o lançamento e o prazo de expiração da debênture, ou seja, de julho de 2000 a julho de 2006. Estes valores foram obtidos junto ao Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social. Portanto, o valor encontrado da Taxa Livre de Risco (TJLP + 4%) foi de 13,951% ao ano. Os cálculos constam no apêndice A. Volatilidade do preço da ação (σ) – Para o cálculo deste parâmetro, foi utilizada uma série histórica dos preços da ação, obtida do Banco de Dados Economática. Os valores de fechamento diário estão compreendidos no período de 20 de julho de 1999 a 19 de julho de 2000 e, desta série, foi calculado o desvio padrão anual, cujo valor é 45,73%. Os cálculos constam no apêndice B. Constantes proporcionais u e d - De acordo com as equações citadas no item 4.1, sobre os cálculos de u e d, temos que os respectivos valores são: 2,2078 e 0,4529, aproximadamente. Os cálculos constam no Apêndice C. Probabilidade de Martingale – Ainda de acordo com o item 4.1, temos que as probabilidades de subir (p) e descer (1-p), ambas neutras ao risco, são, respectivamente, 38,79% e 61,20%, aproximadamente. Na elaboração da árvore binomial levamos em consideração, além do preço assumido pela ação em cada nó (“preço da ação”), também o valor futuro do título (“não converter”), o retorno esperado da conversão em ações (“converter”) e o valor máximo entre estes dois últimos (“máximo”). A disposição destes valores pode ser observada na tabela a seguir:

30

Tabela 3: Árvore Binomial

0

730.000,00 0 18,65 413.814,59 730.000,00 730.000,00

1

782.739,18 1 41,18 913.720,37 782.739,18 913.720,37

839.288,52 2 90,91 2.017.151,99 839.288,52 979.732,51

Preço da ação converter não converter Maximo

8,45 187.492,40 782.739,18 782.739,18

18,65 413.814,59 839.288,52 839.288,52

Preço da ação converter não converter Maximo

3,83 84.981,76 839.288,52 839.288,52

Preço da ação converter não converter Maximo

2

Valor de Face

A Árvore, na íntegra, consta no apêndice C. O retorno esperado da conversão em ações é o retorno obtido ao exercer a conversão da debênture por ações, isto é, multiplica-se o valor da ação, em cada nó analisado, pela taxa de conversão. O valor futuro do título é o valor esperado por não exercer a conversão no nó analisado, ou seja, é o valor inicial da debênture (R$ 730.000,00) capitalizado pela Taxa Livre de Risco (13,95% a.a), do período inicial (t0) até o período de cada nó (tn). Por fim, considerou-se o máximo entre estes dois últimos valores como sendo o valor representativo de cada nó, já que sempre será exercida a opção de maior retorno para o debenturista. Para a precificação do título conversível são considerados apenas os valores obtidos até o momento da conversão. Portanto, os valores posteriores à conversão são descartados, ou seja, os nós onde houve conversão não geram nós subjacentes. Para o cálculo do valor esperado da debênture, foi preciso multiplicar os valores representativos dos nós do ultimo período por suas respectivas probabilidades, trazer estes resultados a valor presente e, por fim, soma-los. É importante ressaltar que as probabilidades dos resultados de cada período são dadas pela fórmula:

(

B = p n (1 − p )

T −n

)Tn   

31

Onde: B = probabilidade de combinação p = probabilidade neutra ao risco T = período corrente n = número de vezes em que o preço da ação subiu T 

A utilização da combinação  n   equivale aos coeficientes do triângulo de Pascal.  

Estes coeficientes representam uma contagem da distribuição de resultados de testes binomiais. Com isso, pela árvore binomial, foi possível calcular treze resultados que quantificam o valor esperado do título, onde cada um destes apresenta sua probabilidade de ocorrência. Conseguinte, foi possível elaborar o seguinte histograma, onde a média é R$ 758.093,88 e, para um intervalo de confiança de 90%, tem-se o limite inferior igual a R$ 730.000,00 e superior igual a R$ 1.004.145,18.

Distribuição do valor esperado titulo L.I.: 730.000,00 5%

1,8

L.S.: 1.004.145,18 95%

Média = 758.093,88

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,6

1

1,4

1,8

Valores em Milhões

Gráfico 3 - Distribuição da Árvore Binomial do valor esperado do título

32

6 - Simulação de Monte Carlo aplicada a Debênture Conversível Utilizamos, além do modelo de Árvore Binomial, a simulação de Monte Carlo, para precificar, novamente, a debênture conversível. Assim como no modelo anterior, foi simulada a variável estocástica, isto é, o preço da ação. Para a realização da simulação, foi utilizado o software @Risk, que funciona em conjunto com o programa Excel. Os mesmos inputs da árvore binomial foram utilizados na SMC. A simulação tem início com o sorteio de valores aleatórios de uma distribuição Normal padronizada. Estes números são utilizados para o cálculo dos valores assumidos pela ação a cada período, formando “caminhos aleatórios” para o preço da ação. Para melhor entender o procedimento, é preciso introduzir o conceito de curva de gatilho (curva de exercício ótimo). Esta definição é baseada na regra de decisão ótima em opções, ou seja, ela representa a fronteira entre o exercício da opção, na parte superior da curva, e o não exercício, na parte inferior da mesma, para todos os instantes de tempo envolvidos até a maturação da opção. Com isso, o cálculo é efetuado dividindo-se o valor futuro de cada período pela taxa de conversão. Caminhos aleatórios e a curva de gatilho 80 Caminhos do preço da ação onde houve conversão

Curva de Gatilho

70

60 Caminhos do preço da ação onde não houve conversão 50

40

30

20

10

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Gráfico 4: Caminhos Aleatórios gerados na Simulação de Monte Carlo

33

Assim, cada “caminho aleatório” pode nunca ser convertido, ou ser convertido em algum ponto dos 12 períodos. Quando não é dada a conversão, o retorno financeiro, trazido a valor presente pela Taxa Livre de Risco, do caminho em questão, será o próprio valor inicial (R$730.000,00). Caso contrário, o retorno é obtido de acordo a seguinte relação:

R = St × T .Conv. × e

(− r t ) 2

Com isso, o @Risk gera um histograma com os retornos financeiros de cada caminho. Deste, foi obtido um intervalo de valores no qual, com 90% de certeza, será encontrado o valor real da debênture, onde a média é R$ 778.781,64, com os limites inferior e superior, iguais a R$ 730.000,00 e R$ 1.008.781,64, respectivamente.

L.I.: 730.000,00 5%

Distribuição do valor esperado titulo

L.S.: 1.008.677,5 95%

1,8

Média = 778.781,64

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,6

1

1,4

1,8

Valores em Milhões

Gráfico 5: Distribuição do Valor esperado do Título da Simulação de Monte Carlo

34

7 - Análise de Sensibilidade Esta técnica visa determinar qual dos fatores de entrada (Inputs) influencia mais na incerteza da variável de interesse (output). Através das devidas variações controladas dos fatores de entrada e da análise dos resultados das simulações, é possível chegar a conclusões bem aderentes e confortáveis. Para o modelo de árvore binomial, variou-se, de 1 em 1 ponto percentual, o preço da ação e sua volatilidade. Começando com 95% dos seus respectivos valores iniciais e chegando até 105% dos mesmos, temos os resultados obtidos que constam nas duas tabelas abaixo: % do valor do preço Resultado da àrvore Variação do valor esperado 95% R$ 752.800,68 -0,86% 96% R$ 754.142,11 -0,68% 97% R$ 755.483,54 -0,50% 98% R$ 756.824,96 -0,33% 99% R$ 757.979,83 -0,17% 100% R$ 759.304,66 0,00% 101% R$ 760.644,19 0,18% 102% R$ 761.983,72 0,35% 103% R$ 763.323,25 0,53% 104% R$ 764.662,78 0,71% 105% R$ 766.002,35 0,88% Tabela 4: Sensibilidade da Árvore Binomial - Preço da Ação % da volatilidade Resultado da àrvore Variação do valor esperado 95% R$ 753.119,63 -0,81% 96% R$ 754.538,95 -0,63% 97% R$ 755.881,18 -0,45% 98% R$ 757.163,85 -0,28% 99% R$ 758.174,56 -0,15% 100% R$ 759.304,66 0,00% 101% R$ 760.393,04 0,14% 102% R$ 761.397,61 0,28% 103% R$ 762.348,32 0,40% 104% R$ 763.232,76 0,52% 105% R$ 764.065,47 0,63% Tabela 5: Sensibilidade da Árvore Binomial – Volatilidade

Dos valores esperados encontrados pelo método da árvore binomial, de acordo com a análise de sensibilidade, foram calculadas as taxas de variação do valor esperado do titulo (R$ 759.304,66), plotadas no gráfico abaixo:

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Sensibilidade da Árvore Binomial 1% 1% 1% 0% 0% 0% 95%

96%

97%

98%

99%

100%

101%

102%

103%

104%

105%

0% 0% -1% -1% -1% % do valor do preço

% da volatilidade

Gráfico 6: Sensibilidade da Árvore Binomial

O eixo da abscissa representa o percentual em relação aos valores iniciais do preço da ação e da volatilidade. O eixo ordenado representa a variação do valor esperado do título, gerada pela variação dos inputs. Comparando as curvas, observa-se que o preço inicial da ação tem impacto mais relevante sobre os resultados obtidos. Isso indica que, teoricamente, é preciso uma cautela maior em relação à determinação do preço inicial da ação, quando o método da árvore binomial for utilizado. Na prática, os dois inputs são igualmente relevantes dado que causaram variações muito próximas. Seguindo os mesmos procedimentos usados em relação à árvore binomial, executou-se a análise de sensibilidade para a simulação de Monte Carlo.

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Com isso, foram calculados os valores médios esperados e as respectivas taxas de variação, de acordo as tabelas abaixo: % do valor do preço Resultado da média da SMC Variação do valor esperado 95% R$ 776.661,20 -0,550% 96% R$ 777.563,10 -0,434% 97% R$ 778.206,50 -0,352% 98% R$ 779.104,10 -0,237% 99% R$ 779.907,90 -0,134% 100% R$ 780.955,90 0,000% 101% R$ 781.347,30 0,050% 102% R$ 782.179,10 0,157% 103% R$ 782.768,30 0,232% 104% R$ 783.630,40 0,342% 105% R$ 784.545,30 0,460% Tabela 6: Sensibilidade da Simulação de Monte Carlo - Preço da Ação % da volatilidade Resultado da média da SMC Variação do valor esperado 95% R$ 774.279,00 -0,554% 96% R$ 775.143,60 -0,443% 97% R$ 776.102,40 -0,319% 98% R$ 776.750,10 -0,236% 99% R$ 777.641,60 -0,122% 100% R$ 778.589,00 0,000% 101% R$ 778.979,50 0,050% 102% R$ 779.665,90 0,138% 103% R$ 780.595,10 0,258% 104% R$ 781.263,90 0,344% 105% R$ 782.271,10 0,473% Tabela 7: Sensibilidade da Simulação de Monte Carlo – Volatilidade

Dos valores obtidos das tabelas acima, foi feito o gráfico referente às taxas de variação do valor esperado médio do titulo (R$ 780.955,90 e R$ 778.589,00): Análise de sensibilidade da média da SMC 0,6%

0,4%

0,2%

0,0% 95%

96%

97%

98%

99%

100%

101%

102%

103%

104%

105%

-0,2%

-0,4%

-0,6%

-0,8% % do valor do preço

% da volatilidade

Gráfico 7: Sensibilidade entre as Médias da Simulação de Monte Carlo

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Observando o gráfico, tem-se que a média do valor esperado da SMC é igualmente sensível às variações do preço da ação e da volatilidade. Contudo, devemos analisar também o modo como as variações dos inputs repercutem nos intervalos dos resultados obtidos, ou seja, a diferença entre os limites superior (L.S.) e inferior (L.I.), todos com 90% de confiança. Cabe ressaltar que, quão menor for esse intervalo, mais precisa será a resposta da simulação. Obtivemos as seguintes tabelas e o respectivo gráfico da análise de sensibilidade: % do valor do preço LS-LI Variação do intervalo 105% 274.902,30 -3,903% 104% 277.274,50 -3,074% 103% 281.276,30 -1,675% 102% 282.820,30 -1,135% 101% 284.750,10 -0,461% 100% 286.067,90 0,000% 99% 285.727,60 -0,119% 98% 289.273,90 1,121% 97% 291.897,40 2,038% 96% 294.156,80 2,828% 95% 300.501,40 5,045% Tabela 8: Sensibilidade dos Limites - Preço da Ação % do valor da volatilidade LS-LI Variação do intervalo 105% 256.251,50 -7,382% 104% 260.835,70 -5,725% 103% 265.643,10 -3,987% 102% 267.784,30 -3,213% 101% 273.170,60 -1,267% 100% 276.674,70 0,000% 99% 279.833,20 1,142% 98% 282.380,10 2,062% 97% 287.474,00 3,903% 96% 289.960,90 4,802% 95% 294.794,90 6,549% Tabela 9: Sensibilidade dos Limites - Volatilidade

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Análise de sensibilidade da amplitude da SMC 8%

6%

4%

2%

0% 105%

104%

103%

102%

101%

100%

99%

98%

97%

96%

95%

-2%

-4%

-6%

-8%

-10% % do valor do preço

% do valor da volatilidade

Gráfico 8: Sensibilidade referente a amplitude da Simulação de Monte Carlo

Observando as curvas encontradas, conclui-se que a volatilidade tem impacto muito maior na qualidade do resultado da simulação de Monte Carlo. Neste caso, a volatilidade é o parâmetro que deve ser estimado com maior cautela, a fim de garantir um resultado mais aderente à realidade.

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8 – Conclusões A árvore binomial apresentou o valor esperado da debênture, como sendo igual a R$ 758.093,88. Constatamos que, em 41,75% dos casos, houve a conversão (valor obtido dividindo-se o número de nós onde houve conversão pelo número total de nós). Da análise de sensibilidade, foi constatado que o valor esperado da debênture sofre a mesma influencia tanto pela volatilidade quanto pelo preço inicial da ação. É importante ressaltar que o resultado da árvore binomial é determinístico, pois seus valores são estipulados em função da probabilidade de Martingale. A simulação de Monte Carlo, diferentemente da árvore binomial, retorna um resultado probabilístico. A precificação do título conversível infere como resultado que, para um intervalo de confiança de 90%, o valor da debênture está contido em uma faixa que vai de R$ 730.000,00 até R$ 1.008.677,50, com valor médio de R$ 778.781,64. Neste processo, em 32,48% dos casos houve a conversão (valor obtido dividindo-se o número de caminhos onde houve a conversão pelo número total de caminhos). Da análise de sensibilidade, constatou-se que a variação da volatilidade do preço da ação causou maior impacto na qualidade do resultado, quando comparado com a variação do preço inicial da ação. A partir da comparação dos resultados obtidos através do modelo de Árvore Binomial e da simulação de Monte Carlo, bem como os obtidos na análise de sensibilidade, foi possível verificar que ambos os métodos resultam em valores muito similares de média e limites inferior e superior, quando a quantidade de períodos é grande. Tem-se também que, pela alta volatilidade, peculiar ao setor de telecomunicações, pode-se inferir o aumento do valor da opção. Este fato pode ser comprovado observando-se o modelo de Black & Scholes (Anexo B), utilizado para o cálculo do valor de uma opção de compra, onde este valor torna-se maior com o aumento da volatilidade. Em análise aos estudos apresentados, pode-se sugerir, para estudos futuros, a utilização de um modelo com mais uma variável estocástica, sendo esta a taxa de juros de mercado. Além disso, outros modelos de simulação podem ser utilizados, como o de QuaseMonte Carlo, o modelo dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo ou outros, bem como métodos de redução de variância, como o Hipercubo Latino.

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9 - Bibliografia Bayda, T. K. N.; Casto, A.L.; Convergência dos Modelos de Árvores Binomiais para Avaliação de Opções. Pesquisa. Operacional, v.21, nº1, Rio de Janeiro, junho 2001. Brealey, R. A.; Myers, S.C. Princípios de Finanças Empresariais. Terceira Edição. Mc. Graw Hill, 1992. Cartilha de Debêntures, disponível no site http://www.debentures.com.br. Consulta realizada em 10 de outubro de 2006. Copeland, T.E.; Weston, J.F.; Shastri, K. Financial Theory and Corporate Policy. Fourth Edition. Pearson Addison-Wesley Publishing Company, 2004 Copeland, T.; Antikarov, V. Opções Reais. Um novo paradigma para reinventar a avaliação de investimentos. Editora Campus, 2000. Costa, L. C; Opções. Operando a volatilidade. Editora Bolsa de Mercadorias & Futuros, 1998. Frota, A. E. F. Avaliação de opções Americanas Tradicionais e Complexas. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, 2003. Guia de Debêntures , disponível no site http://www.bovespa.com.br. Consulta realizada em 10 de outubro de 2006. Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. San Francisco: Holden-Day, 1967. Hull, J. C.; Options, Futures & Others Derivatives, Fifth Edition, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2002.

41

Site de Análise Estratégica de Investimentos e de Decisões com Teoria dos Jogos e Jogos de Opções Reais: http://www.puc-rio.br/marco.ind/ele2005.html Última consulta realizada em 15 de novembro de 2006. Site de Opções Reais: http://www.puc-rio.br/marco.ind/main.html. Última consulta realizada em 15 de novembro de 2006.

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Apêndice A Na situação real de precificação de um título conversível seria preciso estimar diversos parâmetros. Contudo, no presente estudo, foi definida como variável apenas o preço da ação, enquanto que os outros parâmetros, por motivos didáticos, foram mantidos fixos. Logo, para os cálculos da Taxa Livre de Risco (r), não foram estimados os valores da Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP), e sim foram obtidos junto ao BNDES. Os valores obtidos referem-se ao período de validade da debênture, ou seja, de Julho de 2000 até Junho de 2006. Para o cálculo de r, acrescentou-se quatro pontos percentuais à TJLP referente de cada mês e, dado que a TJLP é anualizada, foi necessário transforma-la para uma taxa mensal. Todas essas taxas foram acumuladas e, por fim, foi obtida uma taxa mensal média, a qual foi anualizada.

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Datas jul/00 ago/00 set/00 out/00 nov/00 dez/00 jan/01 fev/01 mar/01 abr/01 mai/01 jun/01 jul/01 ago/01 set/01 out/01 nov/01 dez/01 jan/02 fev/02 mar/02 abr/02 mai/02 jun/02 jul/02 ago/02 set/02 out/02 nov/02 dez/02 jan/03 fev/03 mar/03 abr/03 mai/03 jun/03 jul/03 ago/03 set/03 out/03 nov/03 dez/03 jan/04 fev/04

TJLP 10,25 10,25 10,25 9,75 9,75 9,75 9,25 9,25 9,25 9,25 9,25 9,25 9,50 9,50 9,50 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 9,50 9,50 9,50 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 11,00 11,00 11,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 11,00 11,00 11,00 10,00 10,00

TJLP + 4% 14,25% 14,25% 14,25% 13,75% 13,75% 13,75% 13,25% 13,25% 13,25% 13,25% 13,25% 13,25% 13,50% 13,50% 13,50% 14,00% 14,00% 14,00% 14,00% 14,00% 14,00% 13,50% 13,50% 13,50% 14,00% 14,00% 14,00% 14,00% 14,00% 14,00% 15,00% 15,00% 15,00% 16,00% 16,00% 16,00% 16,00% 16,00% 16,00% 15,00% 15,00% 15,00% 14,00% 14,00%

TJLP a.m. Acumulador Datas TJLP 1,116% 1,116% mar/04 10,00 1,116% 2,245% abr/04 9,75 1,116% 3,387% mai/04 9,75 1,079% 4,502% jun/04 9,75 1,079% 5,630% jul/04 9,75 1,079% 6,771% ago/04 9,75 1,042% 7,884% set/04 9,75 1,042% 9,008% out/04 9,75 1,042% 10,144% nov/04 9,75 1,042% 11,292% dez/04 9,75 1,042% 12,452% jan/05 9,75 1,042% 13,624% fev/05 9,75 1,061% 14,830% mar/05 9,75 1,061% 16,048% abr/05 9,75 1,061% 17,279% mai/05 9,75 1,098% 18,567% jun/05 9,75 1,098% 19,868% jul/05 9,75 1,098% 21,184% ago/05 9,75 1,098% 22,515% set/05 9,75 1,098% 23,860% out/05 9,75 1,098% 25,220% nov/05 9,75 1,061% 26,548% dez/05 9,75 1,061% 27,891% jan/06 9,00 1,061% 29,247% fev/06 9,00 1,098% 30,666% mar/06 9,00 1,098% 32,101% abr/06 8,15 1,098% 33,551% mai/06 8,15 1,098% 35,017% jun/06 8,15 1,098% 36,500% 1,098% 37,998% 1,171% 39,615% 1,171% 41,251% 1,171% 42,905% 1,245% 44,684% 1,245% 46,484% 1,245% 48,307% 1,245% 50,153% 1,245% 52,022% 1,245% 53,914% 1,171% 55,717% 1,171% 57,541% 1,171% 59,387% 1,098% 61,136% 1,098% 62,906% Tabela 10: Cálculo da TJLP

TJLP + 4% TJLP a.m. Acumulador 14,00% 1,098% 64,694% 13,75% 1,079% 66,472% 13,75% 1,079% 68,269% 13,75% 1,079% 70,085% 13,75% 1,079% 71,921% 13,75% 1,079% 73,776% 13,75% 1,079% 75,652% 13,75% 1,079% 77,548% 13,75% 1,079% 79,465% 13,75% 1,079% 81,402% 13,75% 1,079% 83,360% 13,75% 1,079% 85,339% 13,75% 1,079% 87,339% 13,75% 1,079% 89,362% 13,75% 1,079% 91,406% 13,75% 1,079% 93,472% 13,75% 1,079% 95,560% 13,75% 1,079% 97,671% 13,75% 1,079% 99,804% 13,75% 1,079% 101,961% 13,75% 1,079% 104,141% 13,75% 1,079% 106,344% 13,00% 1,024% 108,457% 13,00% 1,024% 110,591% 13,00% 1,024% 112,747% 12,15% 0,960% 114,789% 12,15% 0,960% 116,851% 12,15% 0,960% 118,934% Média mensal 1,0943% Média anual 13,951%

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Apêndice B Para o cálculo da volatilidade (σ) da ação (BRTP4) em estudo, obteve-se a série de valores de fechamentos diários do preço da ação, referente ao ano anterior de lançamento da debênture. A fonte desses valores foi o banco de dados Economática. Deles foram calculados os retornos geométricos diários e, em seguida, a média (μ) e a variância dos mesmos. Da variância obteve-se o desvio-padrão diário – volatilidade (σ) – que foi anualizado. Para uma maior aderência da volatilidade, determinaram-se limites superior (L.S.) e inferior (L.I.) dos retornos, sendo os mesmos definidos como: L.S . = µ + 3σ

L.I . = µ −3σ

Os retornos que estavam fora desses limites foram excluídos e substituídos pela média dos mesmos, com o intuito de eliminar retornos que apresentem discrepância elevada em relação aos demais. Este critério gerou os valores da coluna “Retorno considerado” e, a volatilidade obtida daí, foi à utilizada no trabalho.

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Data 20/07/99 21/07/99 22/07/99 23/07/99 26/07/99 27/07/99 28/07/99 29/07/99 30/07/99 02/08/99 03/08/99 04/08/99 05/08/99 06/08/99 09/08/99 10/08/99 11/08/99 12/08/99 13/08/99 16/08/99 17/08/99 18/08/99 19/08/99 20/08/99 23/08/99 24/08/99 25/08/99 26/08/99 27/08/99 30/08/99 31/08/99 01/09/99 02/09/99 03/09/99 06/09/99 08/09/99 09/09/99 10/09/99 13/09/99 14/09/99 15/09/99 16/09/99 17/09/99 20/09/99 21/09/99 22/09/99 23/09/99 24/09/99 27/09/99 28/09/99

Preço no Retorno Retorno fechamento observado considerado 14,01 --14,15 1,01% 1,01% 14,08 -0,50% -0,50% 14,01 -0,51% -0,51% 13,79 -1,53% -1,53% 13,64 -1,09% -1,09% 13,87 1,60% 1,60% 13,79 -0,51% -0,51% 13,72 -0,52% -0,52% 13,72 0,00% 0,00% 13,87 1,03% 1,03% 13,72 -1,03% -1,03% 13,65 -0,52% -0,52% 13,51 -1,05% -1,05% 13,37 -1,06% -1,06% 12,80 -4,35% -4,35% 12,81 0,06% 0,06% 12,73 -0,61% -0,61% 13,01 2,21% 2,21% 13,30 2,16% 2,16% 13,55 1,85% 1,85% 13,37 -1,32% -1,32% 14,26 6,44% 6,44% 14,43 1,24% 1,24% 14,22 -1,49% -1,49% 14,08 -1,01% -1,01% 14,44 2,54% 2,54% 14,22 -1,54% -1,54% 14,08 -1,01% -1,01% 14,22 1,01% 1,01% 14,58 2,47% 2,47% 15,29 4,81% 4,81% 15,15 -0,98% -0,98% 15,29 0,93% 0,93% 15,15 -0,89% -0,89% 15,00 -0,99% -0,99% 15,15 0,94% 0,94% 15,07 -0,47% -0,47% 14,93 -0,95% -0,95% 14,79 -0,96% -0,96% 14,88 0,58% 0,58% 14,97 0,62% 0,62% 14,92 -0,29% -0,29% 15,50 3,79% 3,79% 15,29 -1,39% -1,39% 15,36 0,46% 0,46% 15,86 3,19% 3,19% 15,86 0,00% 0,00% 15,71 -0,90% -0,90% 15,71 -0,05% -0,05%

Data 29/09/99 30/09/99 01/10/99 04/10/99 05/10/99 06/10/99 07/10/99 08/10/99 11/10/99 13/10/99 14/10/99 15/10/99 18/10/99 19/10/99 20/10/99 21/10/99 22/10/99 25/10/99 26/10/99 27/10/99 28/10/99 29/10/99 01/11/99 03/11/99 04/11/99 05/11/99 08/11/99 09/11/99 10/11/99 11/11/99 12/11/99 16/11/99 17/11/99 18/11/99 19/11/99 22/11/99 23/11/99 24/11/99 25/11/99 26/11/99 29/11/99 30/11/99 01/12/99 02/12/99 03/12/99 06/12/99 07/12/99 08/12/99 09/12/99 10/12/99

Preço no Retorno Retorno fechamento observado considerado 15,64 -0,41% -0,41% 14,93 -4,65% -4,65% 14,65 -1,92% -1,92% 14,58 -0,49% -0,49% 14,61 0,24% 0,24% 15,00 2,64% 2,64% 15,35 2,30% 2,30% 15,29 -0,42% -0,42% 15,71 2,75% 2,75% 15,43 -1,83% -1,83% 16,00 3,62% 3,62% 15,36 -4,08% -4,08% 15,54 1,15% 1,15% 15,50 -0,23% -0,23% 15,79 1,82% 1,82% 16,35 3,54% 3,54% 16,75 2,36% 2,36% 16,43 -1,93% -1,93% 16,72 1,76% 1,76% 16,57 -0,90% -0,90% 16,71 0,85% 0,85% 16,57 -0,81% -0,81% 16,50 -0,47% -0,47% 17,78 7,47% 7,47% 18,84 5,83% 5,83% 18,98 0,75% 0,75% 19,48 2,59% 2,59% 19,48 0,00% 0,00% 20,26 3,94% 3,94% 20,69 2,08% 2,08% 20,41 -1,38% -1,38% 19,91 -2,47% -2,47% 18,84 -5,51% -5,51% 18,98 0,75% 0,75% 19,20 1,12% 1,12% 19,20 0,00% 0,00% 19,41 1,10% 1,10% 19,27 -0,74% -0,74% 19,20 -0,37% -0,37% 19,62 2,20% 2,20% 19,70 0,36% 0,36% 18,98 -3,68% -3,68% 18,77 -1,13% -1,13% 19,20 2,25% 2,25% 19,70 2,56% 2,56% 19,70 0,00% 0,00% 19,26 -2,23% -2,23% 19,06 -1,08% -1,08% 19,20 0,74% 0,74% 20,16 4,88% 4,88%

46

Data 13/12/99 14/12/99 15/12/99 16/12/99 17/12/99 20/12/99 21/12/99 22/12/99 23/12/99 27/12/99 28/12/99 29/12/99 30/12/99 03/01/00 04/01/00 05/01/00 06/01/00 07/01/00 10/01/00 11/01/00 12/01/00 13/01/00 14/01/00 17/01/00 18/01/00 19/01/00 20/01/00 21/01/00 24/01/00 26/01/00 27/01/00 28/01/00 31/01/00 01/02/00 02/02/00 03/02/00 04/02/00 07/02/00 08/02/00 09/02/00 10/02/00 11/02/00 14/02/00 15/02/00 16/02/00 17/02/00 18/02/00 21/02/00 22/02/00 23/02/00

Preço no Retorno Retorno fechamento observado considerado 20,48 1,57% 1,57% 20,02 -2,28% -2,28% 20,02 0,00% 0,00% 19,90 -0,61% -0,61% 19,91 0,07% 0,07% 20,55 3,16% 3,16% 21,69 5,39% 5,39% 21,90 0,98% 0,98% 21,90 0,00% 0,00% 21,76 -0,65% -0,65% 22,04 1,30% 1,30% 22,40 1,60% 1,60% 23,46 4,62% 4,62% 23,44 -0,09% -0,09% 22,64 -3,44% -3,44% 22,35 -1,28% -1,28% 21,64 -3,25% -3,25% 21,78 0,63% 0,63% 22,43 2,94% 2,94% 22,36 -0,29% -0,29% 22,21 -0,68% -0,68% 22,72 2,28% 2,28% 24,23 6,42% 6,42% 25,60 5,50% 5,50% 25,25 -1,39% -1,39% 24,16 -4,41% -4,41% 24,16 0,00% 0,00% 24,19 0,12% 0,12% 23,08 -4,70% -4,70% 22,84 -1,04% -1,04% 22,57 -1,18% -1,18% 20,98 -7,29% -7,29% 20,91 -0,34% -0,34% 19,98 -4,59% -4,59% 20,34 1,82% 1,82% 20,16 -0,93% -0,93% 19,98 -0,90% -0,90% 21,09 5,44% 5,44% 22,28 5,46% 5,46% 21,60 -3,09% -3,09% 21,06 -2,54% -2,54% 19,69 -6,73% -6,73% 19,04 -3,35% -3,35% 19,11 0,38% 0,38% 19,54 2,24% 2,24% 19,75 1,06% 1,06% 19,63 -0,62% -0,62% 19,48 -0,77% -0,77% 19,17 -1,57% -1,57% 19,83 3,37% 3,37%

Data 24/02/00 25/02/00 28/02/00 29/02/00 01/03/00 02/03/00 03/03/00 08/03/00 09/03/00 10/03/00 13/03/00 14/03/00 15/03/00 16/03/00 17/03/00 20/03/00 21/03/00 22/03/00 23/03/00 24/03/00 27/03/00 28/03/00 29/03/00 30/03/00 31/03/00 03/04/00 04/04/00 05/04/00 06/04/00 07/04/00 10/04/00 11/04/00 12/04/00 13/04/00 14/04/00 17/04/00 18/04/00 19/04/00 20/04/00 24/04/00 25/04/00 26/04/00 27/04/00 28/04/00 02/05/00 03/05/00 04/05/00 05/05/00 08/05/00 09/05/00

Preço no Retorno Retorno fechamento observado considerado 19,40 -2,21% -2,21% 18,68 -3,79% -3,79% 18,53 -0,78% -0,78% 18,46 -0,39% -0,39% 18,68 1,20% 1,20% 19,54 4,49% 4,49% 19,69 0,74% 0,74% 19,82 0,69% 0,69% 19,25 -2,92% -2,92% 18,75 -2,66% -2,66% 18,17 -3,16% -3,16% 17,33 -4,71% -4,71% 17,53 1,16% 1,16% 18,64 6,14% 6,14% 18,82 0,96% 0,96% 18,89 0,38% 0,38% 19,97 5,53% 5,53% 19,68 -1,46% -1,46% 19,69 0,04% 0,04% 20,34 3,24% 3,24% 21,20 4,17% 4,17% 21,20 0,00% 0,00% 21,13 -0,34% -0,34% 20,44 -3,30% -3,30% 20,47 0,11% 0,11% 19,36 -5,54% -5,54% 18,75 -3,22% -3,22% 18,39 -1,94% -1,94% 18,68 1,56% 1,56% 19,00 1,72% 1,72% 17,95 -5,70% -5,70% 17,80 -0,81% -0,81% 17,16 -3,71% -3,71% 16,02 -6,83% -6,83% 14,64 -9,04% 0,14% 14,57 -0,49% -0,49% 16,21 10,69% 0,14% 15,14 -6,81% -6,81% 15,54 2,59% 2,59% 15,16 -2,49% -2,49% 15,72 3,64% 3,64% 15,94 1,41% 1,41% 16,23 1,75% 1,75% 17,02 4,77% 4,77% 16,73 -1,71% -1,71% 15,82 -5,58% -5,58% 15,47 -2,26% -2,26% 15,11 -2,36% -2,36% 14,82 -1,93% -1,93% 14,04 -5,40% -5,40%

47

Data 10/05/00 11/05/00 12/05/00 15/05/00 16/05/00 17/05/00 18/05/00 19/05/00 22/05/00 23/05/00 24/05/00 25/05/00 26/05/00 29/05/00 30/05/00 31/05/00 01/06/00 02/06/00 05/06/00 06/06/00 07/06/00 08/06/00 09/06/00 12/06/00 13/06/00 14/06/00 15/06/00 16/06/00 19/06/00 20/06/00 21/06/00 23/06/00 26/06/00 27/06/00 28/06/00 29/06/00 30/06/00 03/07/00 04/07/00 05/07/00 06/07/00 07/07/00 10/07/00 11/07/00 12/07/00 13/07/00 14/07/00 17/07/00 18/07/00 19/07/00

Preço no Retorno Retorno fechamento observado considerado 13,88 -1,14% -1,14% 13,92 0,26% 0,26% 13,77 -1,04% -1,04% 14,39 4,35% 4,35% 14,70 2,13% 2,13% 14,10 -4,16% -4,16% 13,88 -1,55% -1,55% 13,70 -1,31% -1,31% 13,81 0,79% 0,79% 13,34 -3,45% -3,45% 14,31 7,04% 7,04% 14,57 1,75% 1,75% 15,22 4,36% 4,36% 15,50 1,88% 1,88% 16,36 5,39% 5,39% 15,85 -3,18% -3,18% 16,77 5,66% 5,66% 18,32 8,80% 8,80% 17,84 -2,63% -2,63% 17,49 -2,00% -2,00% 17,96 2,65% 2,65% 17,61 -1,95% -1,95% 17,23 -2,15% -2,15% 16,66 -3,40% -3,40% 16,95 1,72% 1,72% 17,09 0,85% 0,85% 16,91 -1,06% -1,06% 16,33 -3,52% -3,52% 17,17 5,02% 5,02% 17,31 0,84% 0,84% 18,18 4,88% 4,88% 18,24 0,36% 0,36% 18,02 -1,23% -1,23% 18,10 0,48% 0,48% 18,90 4,29% 4,29% 18,60 -1,58% -1,58% 18,83 1,19% 1,19% 19,11 1,52% 1,52% 18,90 -1,14% -1,14% 18,47 -2,32% -2,32% 18,18 -1,57% -1,57% 18,97 4,27% 4,27% 18,47 -2,66% -2,66% 17,78 -3,82% -3,82% 18,27 2,72% 2,72% 17,88 -2,15% -2,15% 18,90 5,53% 5,53% 20,27 7,00% 7,00% 20,55 1,38% 1,38% 19,69 -4,27% -4,27%

Observado Considerado Média Variância D.P. ad D.P. aa Limite Sup Limite Inf

0,14% 0,09% 3,01% 47,85% 9,18% -8,91%

0,13% 0,08% 2,88% 45,73%

48

Tabela 11: Cálculo da Volatilidade

49

Apêndice C Cox, Ross e Rubinstein (1979) deduziram uma relação que permite converter os movimentos ascendentes (u) e descendentes (d) em um modelo binomial e o desvio-padrão anual instantâneo da taxa de retorno do ativo subjacente sujeito ao risco. Conseguinte, os dados usados para tal procedimento foram: volatilidade (σ = 45,73%), período da opção em anos (T = 6 anos), número de passos por ano (n = 2) e taxa livre de risco (r = 13,951% aa). Com isso, as constantes ascendente e descendente e a probabilidade de Martingale são explicitadas abaixo:

u=e

σ Tn

d=e

−σ T

⇒u=e

n

0 , 4573× 6

⇒d=e

2

⇒ u = 2,207

− 0 , 4573× 6

2

⇒ d = 0,452

A probabilidade de Martingale é um parâmetro que quantifica as chances da variável estocástica assumir valores acima ou abaixo, respectivamente, em relação ao seu valor atual, em função dos parâmetros u, e d (citados acima), r e T, conforme a equação abaixo:

p=

e rT − d e 0,13951 ×6 − 0,452 = = 0,3879 u −d 2,207 − 0,452

Para chegarmos a equação acima, que determina a probabilidade neutra ao risco, é necessário considerar um portfólio de hedge composto de uma ação do ativo subjacente sujeito ao risco. O coeficiente de hegde, m, é escolhido de tal forma que o portfólio esteja livre de risco até o próximo período. Sabendo que o valor corrente do período multiplicado por (1 + r ) tem que ser igual ao retorno do período seguinte, temos:

(1 + r )( S − mc ) = uS − mc u Isolando c no primeiro termo da equação: c=

S [ (1 + r ) − u ] + mc u m(1 + r )

50

Substituindo a taxa de hedge na equação, m, e re-arrumando os termos, pode-se resolver o valor da opção de compra:   (1 + r ) − d   u − (1 + r )   cu  u − d  + c d  u − d       c=  (1 + r )

Simplificando, temos a equação da probabilidade de Martingale discreta:

p=

(1 + r ) − d u −d

Já na forma contínua temos:

p=

e rT − d u −d

51

Apêndice D

52

Anexo A Movimento Geométrico Browniano (MGB) O Movimento Geométrico Browniano, também chamado de processo de Wiener, é o processo estocástico – Markoviano - que possui maior utilização quando é preciso simular o comportamento real de uma ação, por exemplo. Ele, com isso, possui média 0 e variância 1. Diante deste fato, se uma variável possui a característica de modificar-se ao longo do tempo de maneira aleatória, pode-se dizer que a mesma segue um processo estocástico onde o valor presente da variável é suficiente para determinarmos seu próximo valor. Portanto, o próximo valor da variável não depende do caminho de valores anteriores, mas apenas do seu valor final. Dada uma variável aleatória z e esta segue um processo de Wiener, podemos associar algumas propriedades como: - uma variação ∆z durante um pequeno intervalo de tempo ∆t é dado por: ∆z = ε ∆t

Ou fazendo ∆t → 0, temos: dz = ε dt

, onde ε ~ N (0,1)

Assim, ∆z também segue uma distribuição

N ~ (0,

∆t ) ;

- Os valores de ∆z para dois intervalos de tempo diferentes devem ser independentes.

No entanto, seja uma variável x e esta segue um processo de Wiener generalizado, podemos defini-la, em termos de dz, como: dx = αdt + bdz ,

onde α e b são constantes. O Termo α representa o drift do processo (taxa de tendência) e b a sua variação. Já o termo diferencial dz é uma variável aleatória sorteada de uma distribuição

53

(

N ~ 0, dt

).

Portanto, os valores de dx para diferentes intervalos de tempo devem ser

independentes. Inúmeros instrumentos financeiros são representados por um processo onde os parâmetros α e b não são necessariamente constantes. Neste caso, o processo estocástico passa a ser denominado processo de Itô. dx = α( x, t ) dt + b( x, t ) dz

(equação 1)

Assim, considerando a variável S como sendo o preço do ativo base, temos que o seu processo estocástico pode ser definido como um passeio aleatório lognormal. Neste caso, a equação acima assume os valores α(S,t) = μS e b(S,t) = σS. Por conseqüência, temos que: dS = µSdt +σSdz

,

(equação 2)

onde μ (drift) e σ (volatilidade) são constantes. Dado o contexto de Modalidade Neutra ao Risco - se não o fosse, haveria possibilidade de arbitragem - a taxa de tendência ou de retorno, drift, (μ) da equação 2 pode ser substituída pela taxa livre de risco. É importante ressaltar que o ativo base em questão não paga dividendos e, portanto, o drift não será reduzido da quantidade em questão, ou seja, dos dividendos. dS = rSdt + σSdz

(equação 3)

54

Lema de Itô Suponhamos uma função V(xt,t), onde xt representa um função dependente do tempo. No cálculo diferencial e integral, há a Regra da Cadeia, que nos permite derivar a função em relação aos seus argumentos. Por exemplo:

dV =

∂V ∂V dx + dt ∂x ∂t

(equação 4)

Entretanto, quando o contexto envolve variáveis estocásticas, não é possível derivar tais funções usando diretamente a Regra da Cadeia, conforme descrito acima. Conseguinte, o Lema e Itô é o equivalente à regra citada anteriormente, aplicada a uma variável estocástica xt. Com isso, usando a expansão de Taylor e anulando-se os termos de ordem superior, à medida que ∆t → 0, temos que:

dV =

∂V ∂V 1 ∂ 2V dt + dx + dx 2 ∂t ∂x 2 ∂x 2

(equação 5)

Verificando porque ( dz ) 2 = dt : A prova de que ( dz ) 2 = dt pode ser dividida em duas partes. A primeira relaciona que

[

]

[

]

o E ( dz ) 2 = dt e a segunda, que a Var ( dz ) 2 = 0 . Este fato implica que ( dz ) 2 = dt .

[

E ( dz )

É sabido que o incremento de Wiener (dz) é dado pela relação: 2

] = E[ε dt ] = dtE [ε ]. No entanto, a variância de ε 2

2

dz = ε dt

. Com isso,

é dada, por definição, igual a 1

(devido à normal padronizada). Portanto:

[ ]

[ ]

[ ]

Var( ε ) = 1 ⇒ E ε 2 − ( E [ ε ] ) = E ε 2 − 0 ⇒ E ε 2 = 1 . 2

[

]

Conseguinte, substituindo este valor em dtE [ε 2 ]. , tem-se que E ( dz ) 2 = dt .

[

]

Comprovar-se-á, agora, que Var ( dz ) 2 = 0 .

( dz ) 2 = ε 2 dt ⇒ Var[( dz ) 2 ] = Var[ε 2 dt ] = dt 2Var[ε 2 ]

Mas, ( dt ) 2 ≅ 0 ⇒ Var [ε 2 dt ] = 0 × Var [ε 2 ] ⇒ Var [ε 2 dt ] = 0

55

Portanto, substituindo a equação 1 na equação 5 e, sabendo que dx2 = dt, temos a equação resultante abaixo:  ∂V 1 ∂ 2V dV =  + 2 ∂x 2  ∂t

 ∂V dt + dx ∂x 

(equação 6)

Portanto, aplicando o Lema de Itô à função V(S,t) e, sabendo que esta depende do preço do ativo base S e, principalmente, que este segue um processo estocástico de Itô dS = α( S , t ) dt + b( S , t ) dz - temos que:

 ∂V 1 ∂ 2V  ∂v dV = α ( S , t ) + b( S , t ) 2 dt + dS 2  ∂t 2 ∂S ∂S  

(equação 7)

Uma das aplicações mais comuns do Lema de Itô é o processo estocástico que é dado por V(S) = ln(S). Conseguinte, temos que: ∂V 1 = ∂S S

(equação 8)

∂ 2V 1 =− 2 2 ∂S S

(equação 9)

∂ V 1 2 ∂ 2V d V= d s+ σ S 2 d t ∂S 2 ∂S (equação 10) Substituindo a equação 3 na equação 10, temos que:

56

dV =

2 ∂V ( rSdt + σSdt ) + 1 σ 2 S 2 ∂ V2 dt ∂S 2 ∂S

(equação 11)

Substituindo as equações 8 e 9 na equação 11 e fazendo as simplificações possíveis, temos que: 1 dV = rdt + σdz − σ 2 dt 2

(equação 12)

Trabalhando algebricamente a equação 12, tem-se que: 1   dV =  r − σ 2 dt + σdz 2  

(equação 12.1)

Dado que, V(S) = ln (S) e, diferenciando ambos os lados da equação anterior, tem-se que dV = d(ln S). Portanto, da equação 12.1, temos: 1   d ( ln S ) =  r − σ 2 dt + σdz , 2  

(equação 13)

onde, os coeficientes de dt e dz indicam, respectivamente, a média e o desvio padrão.

Isso implica que a mudança de S no intervalo de tempo entre o momento presente t e o momento futuro T é normalmente distribuído e possui os respectivos parâmetros de média e desvio-padrão acima citados. Portanto, usando a propriedade diferencial e, assumindo que o valor de S no momento t é ln S t e no momento T é ln S T e que S T é o preço da ação no período T, temos que: 1   ln S t − ln S o =  r − σ 2 dt + σdz 2  

S ln t  So

  1  =  r − σ 2 dt + σdz 2   

57

S So

=e

 1 2    r − σ  dt +σdz    2 

Entretanto, já sabemos que

dz = ε ∆t

, onde ε ~ N (0,1) e, assumindo que o

intervalo de tempo é tão pequeno, ou seja, no limite em que ∆t → 0, as mudanças de ∆z são próximas de 0, podemos assumir que ∆t ≈ dt. Com isso:

S So

=e

 1 2   r − σ  ∆t + N ( 0 ,1)σ   2

 ∆t  

Portanto, a equação estocástica que fornece o preço do ativo base em cada instante de tempo é dada pela relação abaixo:

St = Soe

 1 2   r − σ  ∆t + N ( 0 ,1)σ   2

 ∆t  

58

Anexo B Em 1973, Black Fischer e Myron Scholes desenvolveram um modelo para avaliação de opções de compra do tipo européia. Eles partiram do pressuposto que o preço de uma ação segue um processo estocástico conhecido como Movimento Geométrico Browniano (Anexo A). A equação que rege este processo é dada por: dS = rSdt + σSdz

Onde: S = preço da ação; r = taxa de juros livre de risco; σ = desvio padrão do preço da ação; dz = incremento de um processo de Wiener, com média 0 e desvio padrão dt. Os parâmetros r e σ são considerados constantes ao longo do tempo. Da suposição sobre o comportamento do preço da ação, o processo que o título derivativo segue pode ser deduzido usando a idéia principal do modelo de Black e Scholes que é a formação de uma carteira dinâmica livre de risco, resultando em uma equação diferencial parcial (EDP), dada a seguir: 1 2 2 ∂ 2C ∂C ∂C σ S + rS + − rC = 0 2 2 ∂S ∂t ∂S

Onde: C = valor da opção. Resolvendo a equação (2), encontra-se a fórmula que calcula o preço de uma opção de compra do tipo Européia:

C = SN ( d1 ) − Xe − rT N ( d 2 )

59

Onde: S ln  X d1 =  σ

  + rT 1  + σ T 2 T

d 2 = d1 − σ T

Onde: N(.) = função de distribuição normal cumulativa; X = preço de exercício da opção e T

= tempo de maturação da opção.

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