Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Eletrotécnica – TEXTO Nº 2 Introdução aos Circuitos de Corrente Alternada
1. INTRODUÇÃO 1.1. GRANDEZAS MAGNÉTICAS n Intensidade de Campo Magnético (H) (LEI DE AMPERE) i
G G v∫ H .d A = ienv ⇒ H .2π r = i
r
G JG G H , B, φ
H =
o Densidade de Campo Magnético (B) B = µ0 H =
µ0 ⋅ i (t ) 2π r
⎡⎣ Wb/m 2 ⎤⎦
p Fluxo Magnético (φ) φ = B. A =
µ0 A ⋅ i (t ) 2π r
1 de 17
[ Wb]
1 2π r
⋅ i (t )
⎡ A.e ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
1.2. LEI DE FARADAY A lei de Faraday diz em uma linguagem mais simples que “se o fluxo enlaçado por uma bobina estiver variando no tempo, vai aparecer nos terminais desta bobina uma tensão, que tenderá a fazer circular uma corrente, que irá criar um outro fluxo de sentido contrário, de tal forma que este outro fluxo vai tender a compensar a variação do fluxo original”. Em uma linguagem matemática esta lei pode ser descrita por
v (t ) = −
d λ (t ) dt
Nesta equação aparece uma nova grandeza magnética denominada enlace de fluxo λ(t). De uma forma geral, o enlace de fluxo é definido pelo fluxo que atravessa a bobina, multiplicado pelo seu número de espiras. A figura abaixo explica o funcionamento da geração de tensão em uma bobina devido à variação do enlace de fluxo criado por uma outra bobina. Este equipamento recebe o nome de transformador de potência e é extensamente utilizado em sistemas elétricos de potência. H (t ) = H m cos (ω t + δ )
i (t ) = I m cos (ω t + δ )
i(t) + N
v(t) –
i (t ) = I m cos (ω t + δ )
B (t ) = µ H = Bm cos (ω t + δ )
φ (t ) = B ⋅ A = φm cos (ω t + δ )
Área da Seção Transversal
λ (t ) = N φ = N φm cos (ω t + δ ) 2 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Desta forma tem-se que
d λ (t ) d d = − [ N φ (t ) ] = − [ N ⋅ A ⋅ Bm cos(ω t + δ ) ] = dt dt dt = N ⋅ A ⋅ Bm ⋅ ω sen(ω t + δ ) = 2π f ⋅ N ⋅ A ⋅ Bm sen(ω t + δ )
v (t ) = −
ou seja
v (t ) = Vm sen(ω t + δ ) A expressão anterior mostra que a tensão “induzida” em uma bobina devido à corrente em outra bobina está atrasada de 90° em relação à corrente que a induziu.
1.3. GERAÇÃO DE TENSÃO SENOIDAL A obtenção de uma f.e.m. senoidal pode ser explicada com o auxílio de um gerador elementar formado por um campo magnético que se movimenta e enlaça uma bobina estacionária. ω
φq
φ
rotor a
α
φd
a'
Gerador Elementar
3 de 17
eixo aa'
estator
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
No gerador elementar, o ângulo α é dado pelo produto da velocidade angular ω pelo tempo, ou seja, α = ω t. Assim, pela lei de Faraday tem-se que
e=−
dλ dφ = −N dt dt
O fluxo φ é formado por duas componentes. Uma primeira componente φd, perpendicular à bobina, e uma segunda componente φq , paralela à bobina, onde
⎧ φd = φ cos α ⎨ ⎩ φq = φ senα Apenas a primeira componente produz f.e.m, uma vez que somente ela enlaça a bobina aa’. Desta forma, a f.e.m. criada será dada por
dφ d d = − N (φ cos α ) = dt dt d = − N (φ cos ω t ) = N ω φ senω t dt
e (t ) = − N
Como N, ω e φ são grandezas constantes, pode-se escrever finalmente que
e (t ) = Em senω t
(1)
Em = N ω φ
(2)
onde
Esta f.e.m. criada por este gerador elementar é senoidal, de freqüência angular ω, valor médio nulo e valor eficaz dado por Em /√ 2. 4 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
1.4. VALOR MÉDIO DE SINAIS SENOIDAIS O valor médio de um sinal periódico é definido por T
1 y = ∫ y (t ) dt T0 Para uma senóide tem-se que y (t ) = Ym sen(ωt + δ )
Assim T
1 y = ∫ Ym sen(ω t + δ ) dt T0 Fazendo uma mudança de variável dada por
x =ωt +δ Então
dx = ω dt ⇒ dt =
dx
ω
Também percebe-se que quando
⎧t = 0 ⎨ ⎩t = T
⇒
⎧x = δ ⎨ ⎩x = ω T + δ
Substituindo na equação anterior do valor médio fica
1 y= T
ωT +δ
∫δ
(
Ym sen x
dx
ω
=
(
Ym − cos x ωT
)
ωT +δ δ
)=
Ym Y δ cos x ωT +δ = m [ cos δ − cos(ωT + δ )] = ωT ωT Y = m {cos δ − [ cos(ωT )cos δ − sen(ωT )sen δ ]} ωT =
5 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Mas
ωT = 2π Então
y=
Ym {cos δ − [cos(2π )cos δ − sen(2π )sen δ ]} ωT
Ou finalmente que
y=
Ym ( cos δ − cos δ ) = 0 2π
Ou seja, o valor médio de um sinal senoidal é nulo.
1.5. VALOR EFICAZ DE SINAIS SENOIDAIS (VALOR RMS) O valor eficaz (rms – root mean square) de um sinal periódico é definido por T
1 2 y (t ) dt ∫ T0
Yef = Y =
Para uma senóide tem-se que y (t ) = Ym sen(ωt + δ )
Assim T
Yef =
1 2 Y sen t dt = ω + δ ( ) [ ] m T ∫0 6 de 17
Ym2 T sen2 (ω t + δ ) dt ∫ T 0
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Sabe-se que
cos 2a = cos(a + a) = cos a cos a − sen a sen a = = cos 2 a − sen 2 a = (1 − sen 2 a ) − sen 2 a = = 1 − 2sen 2 a Então sen 2 a =
1 − cos 2a 2
Desta forma
Yef = =
Ym2 T
T
Ym2 2T
T
∫
1 − cos ⎡⎣ 2 (ωt + δ ) ⎤⎦ 2
0
dt =
∫ ⎡⎣1 − 2cos ⎡⎣2 (ωt + δ )⎤⎦ ⎤⎦ dt 0
Fazendo a mesma mudança de variável anterior dada por
x =ωt +δ Então
dx = ω dt ⇒ dt =
dx
ω
e
⎧t = 0 ⎨ ⎩t = T
⇒
⎧x = δ ⎨ ⎩x = ω T + δ 7 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Substituindo na equação anterior do valor médio fica Yef = =
=
Ym2 2T
ωT +δ
∫
δ
dx ⎡⎣1 − 2cos ( 2 x ) ⎤⎦ = ω
sen ( 2 x ) Ym2 ⎡ ⎢t −2 2ωT ⎢ 2 ⎣
ωT +δ
δ
⎤ ⎥ = ⎥⎦
ωT +δ Ym2 = ⎡⎣ t − sen ( 2 x ) ⎤⎦ δ 2ωT
{
}
Ym2 ⎡(ωT + δ ) − sen ( 2 (ωT + δ ) ) ⎤⎦ − [δ − sen 2δ ] 2ωT ⎣
=
ou seja Yef =
Ym2 ⎡ωT + sen 2δ − sen ( 2 (ωT + δ ) ) ⎤⎦ = 2ωT ⎣
=
Ym2 ⎡ωT + sen 2δ − ( sen 2ωT cos 2δ + cos 2ωT sen 2δ ) ⎤⎦ = 2ωT ⎣
=
Ym2 ⎡ωT + sen 2δ − ( sen 4π cos 2δ + cos 4π sen 2δ ) ⎤⎦ = 2ωT ⎣
=
Ym2 [ωT + sen 2δ − sen 2δ ] = 2ωT
Ym2 ωT = 2ωT
Ym2 Y = m 2 2
Ou finalmente
Yef =
Ym 2
= 0,707 Ym
Ou seja, o valor eficaz de um sinal senoidal é seu valor máximo dividido por √2.
8 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
1.6. TENSÃO EFICAZ (RMS)
Vef =
T
1 T
2 v ∫ (t ) dt = 0
Vm 2
1.7. CORRENTE EFICAZ (RMS)
I ef =
T
1 T
2 i ∫ (t ) dt = 0
Im 2
1.8. REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Representação de uma variável complexa Z no Plano Complexo Im (Z)
b |Z|
δ a
Re(Z)
Forma Exponencial (Fórmula de Euler)
Z = Z e jδ = Z ( cos δ + j sen δ ) = Z cos δ + j Z sen δ onde
j = −1 9 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Forma Cartesiana
Z = a + jb
⎧⎪ a = Z cos δ ⎨ ⎪⎩b = Z sen δ
onde
Forma Polar
Z = Z ∠δ
onde
⎧ Z = a2 + b2 ⎪ ⎨ b ⎪δ = arctg a ⎩
Propriedades Úteis Sejam duas variáveis complexas Z1 e Z2 dadas por sua notação polar ⎧⎪ Z 1 = Z1 ∠θ1 = a1 + j b1 ⎨ ⎪⎩ Z 2 = Z 2 ∠θ 2 = a2 + j b2
Para estas variáveis complexas valem as seguintes propriedades: Z 1.Z 2 = Z1 . Z 2 ∠θ1 + θ 2 Z 1 = Z 1 ∠θ − θ 1 2 Z 2 Z2 ( Z 1 )n = Z1 n ∠nθ1 ( Z 1 )1 n = Z1 1 n ∠θ1 n ( Z 1 )* = Z1 ∠ − θ1 = a1 − j b1 Z 1⋅Z1* = ( a1 + j b1 ) ⋅ ( a1 − j b1 ) = a12 + b12 = Z 1 2 10 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
1.9. REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE UMA ONDA SENOIDAL Chama-se fasor  o vetor de módulo |Â|, que gira com uma velocidade angular ω no plano complexo. A figura abaixo mostra o fasor  fotografado no instante t = 0, tal como ele é representado.
FASOR
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
Im
Aˆ = | Aˆ | e j (ω t +θ 0 )
(
Â
Im (Â)
⇓
Aˆ = | Aˆ | e jθ 0
)
ω
|Â|
θ0
e jω t
Re (Â) Re
Utilizando a fórmula de Euler para uma onda de tensão senoidal tem-se que
[
]
v (t ) = Vm cos (ω t + δ ) = ℜe Vm e j (ω t +δ ) = ℜe
[ (V
m
[ ]
]
)
e jδ e jω t = ℜe Vˆm
Ou seja, para se conhecer v(t), basta então conhecer seu valor de pico Vm, seu ângulo de fase δ e sua freqüência angular ω. Desta forma, pode-se associar v(t) à projeção de um fasor sobre o eixo real, ou seja ℑm
⎧⎪ | Aˆ | → Vˆm = Vm ⎨ ⎪⎩ θ 0 → δ
ω
( )
ℑm Vˆm
Vˆm δ
( )
ℜe
ℜe Vˆm
Na verdade a freqüência angular ω não precisa ser indicada, ficando implícita sua existência. Desta forma, para se conhecer a onda v(t) basta conhecer o fasor no instante t = 0. 11 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
1.10.
® Clever Pereira / UFMG
NOTAÇÕES PARA UM FASOR
É adequado (mais tarde será mostrado o por quê) considerar o módulo do fasor associado à onda v(t) como o valor eficaz desta onda e não como o seu valor de pico. Esta nova abordagem não causa perda de informação uma vez que se conhece a relação entre o valor de pico e o valor eficaz de uma onda senoidal. Este novo fasor é conhecido como “fasor RMS” ou “fasor EFICAZ”. Assim
[
]
⎡ ⎛ V ⎞⎤ v(t ) = Vm cos (ω t +δ ) = ℜe Vm e j (ωt +δ ) = ℜe ⎢ 2 ⎜ m e j (ωt +δ ) ⎟⎥ = ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2 = ℜe 2 V e j (ωt +δ ) = ℜe 2 Vˆ
[ (
)]
ef
[
ef
]
É prática comum não indicar a natureza eficaz deste novo fasor, uma vez que este tipo de fasor é o mais utilizado. Desta forma o subscrito “ef” é retirado da notação, resultando
v(t ) = ℜe
(
)
2 Vˆef = ℜe
(
2 Vˆ
)
Assim pode-se associar v(t) a um fasor eficaz Vˆ , ou seja
(
v(t )
)
(
)
Vˆ = Vef e jδ e jω t = V e jδ e jω t
Desta forma, a onda senoidal v(t) pode ser representada por um fasor RMS através de três notações distintas, a saber: Ve
jδ
NOTAÇÃO EXPONENCIAL
V ( cos δ + j sen δ )
NOTAÇÃO CARTESIANA
V ∠δ
NOTAÇÃO POLAR
ℑm ω
()
ℑm Vˆ
Vˆ = V δ
()
ℜe Vˆ
12 de 17
ℜe
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Também é prática comum não representar o fasor com o chapéu, mas sim apenas com a letra associada à grandeza elétrica em CA, resultando
v ( t ) = ℜe
(
2 Vef
) = ℜe (
2V
)
Exercício: Calcular v1(t)+v2(t) sendo
v1 = 25cos(ωt + 135°) e v2 = 12 cos(ωt − 30°) Os fasores (eficazes) V1 e V2 associados serão
V1 =
25 2
∠135° e V2 =
12 2
∠ − 30°
Somando resulta em
V = V1 + V2 = 17,678∠135° + 8, 485∠ − 30° = 9,758∠122° Cuja onda no tempo associada é
v = 2 ⋅ 9,758cos(ωt + 122°) = 13,8cos(ωt + 122°)
13 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
2. CIRCUITOS RESISTIVOS EM CA 2.1. Excitação Senoidal I
i(t)
R.i
v(t)
R.I
V
R
R
–
–
–
–
+
+
+
+
2.2. Gráfico
2.3. POTÊNCIA EM CIRCUITOS CA Seja o par de grandezas elétricas senoidais dado por ⎧v(t ) = Vm cos ω t ⎨ ⎩i (t ) = I m cos (ω t −θ )
ℑm
ω
Vˆ θ
Vm ⎧l = ∠0 V ⎪ 2 ⎪ ⎨ ⎪ I = I m ∠ − θ ⎪⎩ 2
Iˆ
14 de 17
ω
ℜe
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Potência Instantânea
s ( t ) = v ( t ) . i ( t ) = Vm . I m . cos ω t cos (ω t − θ ) = = Vm . I m . cos ω t [ cos ω t cos θ + sen ω t sen θ ] = = Vm . I m . ⎡⎣ cos 2 ω t cos θ + cos ω t sen ω t sen θ ⎤⎦ = ⎡ ⎛ 1 + cos 2 ω t ⎞ ⎛ sen 2 ω t ⎞ ⎤ = Vm . I m ⎢cos θ . ⎜ + sen θ . ⎟ ⎜ ⎟⎥ = 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ =
=
Vm . I m ⎡cos θ . (1 + cos 2 ω t ) + sen θ . ( sen 2 ω t ) ⎤⎦ = 2 ⎣ Vm I m 2
2
⎡⎣cos θ . (1 + cos 2 ω t ) + sen θ . ( sen 2 ω t ) ⎤⎦ =
= Vef I ef cos θ (1 + cos 2 ω t ) + Vef I ef sen θ ( sen 2 ω t ) =
p (t )
q (t )
= V I cos θ (1 + cos 2 ω t ) + V I sen θ ( sen 2 ω t )
p (t )
q (t )
Vê-se que a potência instantânea s(t) em circuitos CA é formada por dois termos: o primeiro termo p(t) possui freqüência angular 2ω e valor médio P dado por
P = Vef I ef cos θ = V I cos θ = P 15 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
Este termo recebe o nome de potência ativa e retrata uma potência efetivamente entregue (ou absorvida) e é em geral representada apenas pela letra P. O segundo termo também possui freqüência angular 2ω, mas valor médio nulo. Isto indica que nada é efetivamente entregue (ou absorvido). Em razão de possuir valor médio nulo, sua identificação é feita pelo seu valor de pico, dado por
Qm = Vef I ef sen θ = V I sen θ = Q Este segundo termo recebe o nome de potência reativa e é representada normalmente pela letra Q. Dentre outros, a potência reativa é muito importante, principalmente no estabelecimento de campos eletromagnéticos em máquinas elétricas (rotativas ou estacionárias), campos estes necessários para a operação adequada destas máquinas, bem como no estabelecimento de perfis de tensão na transmissão de energia elétrica. Pode-se associar a estes dois termos uma potência complexa S dada por S = P + j Q = V I cos θ + j V I sen θ = V I ( cos θ + j sen θ ) = V I e j θ = ( V e j 0 ) ( I e j θ ) = Vˆ . Iˆ*
A equação anterior mostra a principal razão para se utilizar os fasores eficazes e não os fasores valores máximos, pois os primeiros permitem a obtenção de uma expressão simples para o cálculo do valor médio P de p(t) e do valor de pico Q de q(t), através de uma nova grandeza denominada potência complexa S. A figura a seguir mostra a representação gráfica desta nova grandeza no plano polar através do chamado triângulo das potências, onde o ângulo θ, que antes tinha sentido negativo , pois se tratava do ângulo da corrente em relação à tensão, passa a ter sentido positivo, em razão do conjugado aplicado à corrente na expressão da potência complexa S. 16 de 17
Intr. Circ. Corrente Alternada
® Clever Pereira / UFMG
ℑm
ω
Vˆ θ
Iˆ
Q ℜe
S Q
θ
ω
P
Assim, se em corrente contínua (CC) a potência dissipada em um resistor era calculada por
v2 P = v ⋅i = R ⋅i = R 2
em corrente alternada (CA) a potência dissipada em um resistor é conhecida como potência média e dada por
P = P = ℜe (V ⋅ I * ) = V I cos θ = V I cos 0 = V ⋅ I Ou também
P = P = ℜe (V ⋅ I * ) = ℜe ⎡⎣( R ⋅ I ) ⋅ I * ⎤⎦ = R ⋅ I * ⎡ ⎤ V V ⎛ ⎞ * P = P = ℜe (V ⋅ I ) = ℜe ⎢V ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = R ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦
17 de 17
2
2