Texto Algebra Lineal.pdf

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE EXTENSION LATACUNGA

Guía didáctica para la aplicación de Scilab y Wiris en la asignatura de Álgebra Lineal.

Ing. Jorge Sánchez M Latacunga 2014.

Contenido 1. SCILAB. .................................................................................................................................. 5

2.

1.1

Dónde encontrar SCILAB? ............................................................................................. 6

1.2

Qué se puede hacer con SCILAB? .................................................................................. 6

1.3

Ambiente de Scilab. ...................................................................................................... 6

1.4

Resumen de comandos y operadores. .......................................................................... 7

1.4.1

Operaciones Básicas .............................................................................................. 7

1.4.1

Gráficos. ................................................................................................................ 7

1.4.2

Programación. ....................................................................................................... 9

1.4.3

Vectores .............................................................................................................. 10

1.4.4

Matrices y Algebra Lineal. ................................................................................... 10

1.4.5

Números Complejos ............................................................................................ 11

MATRICES ............................................................................................................................ 11 2.1

Definición: ................................................................................................................... 11

2.1

Matrices en Scilab ....................................................................................................... 11

2.2

Orden de una matriz ................................................................................................... 12

2.3

Igualdad de Matrices................................................................................................... 12

2.4

Transpuesta de una matriz.......................................................................................... 16

2.5

Álgebra de Matrices. ................................................................................................... 12

2.5.1

Suma.................................................................................................................... 12

2.1.1

Multiplicación de una matriz por un Escalar. ...................................................... 13

2.1.2

Producto Matricial............................................................................................... 14

2.2

Algebra de Matrices Utilizando Scilab. ....................................................................... 15

2.3

Operaciones elementales en una matriz. ................................................................... 18

2.4

Matrices equivalentes. ................................................................................................ 19

2.5

Matriz Escalonada ....................................................................................................... 20

2.6

Matriz escalonada reducida. ....................................................................................... 20

2.7

Rango de una matriz. .................................................................................................. 20

3.7

Tipos de Matrices ........................................................................................................ 20

3.7.1

Matrices Cuadradas. ........................................................................................... 20

3.7.1

Matriz Simétrica. ................................................................................................. 21

3.7.2

Matriz Antisimétrica ............................................................................................ 21

3.7.3

Matriz Triangula superior. ................................................................................... 21

3.7.4

Matriz Triangular Inferior. ................................................................................... 22

3.7.5

Matriz Diagonal. .................................................................................................. 22

3.7.6

Matriz Escalar. ..................................................................................................... 22

3.7.7

Matriz Identidad ( 𝑰𝒏 ). ....................................................................................... 22

3.7.8

Matrices Elementales. ......................................................................................... 22

3.7.9 3.8

Tipos de Matrices cuadradas (Parte II). ......................... ¡Error! Marcador no definido.

3.8.1

Matriz Nilpotente. ............................................................................................... 23

3.7.1

Matriz Idempotente. ........................................................................................... 23

3.7.2

Matriz Involutiva ................................................................................................. 23

3.7.3

Matriz Ortogonal. ................................................................................................ 23

3.8

Potencia de una Matriz Cuadrada. .............................................................................. 26

3.8.1 3.9

4

5.

Potencia de una Matriz con Scilab ...................................................................... 28

Inversa de una matriz. ................................................................................................. 29

3.9.1

Propiedades de la matriz inversa. ....................................................................... 29

3.9.2

Métodos para obtener la inversa de una matriz................................................. 29

DETERMINANTES................................................................................................................. 31 4.7

4

Matriz Nula. ......................................................................................................... 22

Métodos de para obtener el determinante de una matriz. ........................................ 31

4.7.1

Determinante de una matriz de orden dos......................................................... 31

3.7.1

Determinante de un amatriz de orden tres ........................................................ 32

3.7.2

Método por menores para encontrar el determinante de una matriz. .............. 32

3.7.3

Determinantes con Scilab. .................................................................................. 34

3.8

Propiedades de los determinantes ............................................................................. 34

3.9

Adjunta de una Matriz. ............................................................................................... 34

3.10

Inversa de una matriz mediante determinantes......................................................... 35

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ................................................................................ 37 4.7

Sistemas de ecuaciones lineales. ................................................................................ 38

4.8

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. ............................... 38

4.9

Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales. ........................................................ 39

4.10

Sistemas Lineales Homogéneos .................................................................................. 39

4.11

Tipos de sistemas de Ecuaciones Lineales .................................................................. 39

4.12

Sistemas de ecuaciones de dos incógnitas. ................................................................ 39

4.13

Sistemas de ecuaciones de tres incógnitas. ................................................................ 39

4.13.1

Eliminación Gaussiana......................................................................................... 40

4.13.2

Método de Cramer. ............................................................................................. 41

4.13.3

Método Grafico: .................................................................................................. 42

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES. ........................................................................... 47 5.1

ESPACIOS VECTORIALES. ............................................................................................. 47

5.2

SUBESPACIOS VECTORIALES........................................................................................ 48

5.2.1

Rutina de determinación de subespacios vectoriales de R3 ............................... 51

5.3

COMBINACIONES LINEALES ........................................................................................ 56

5.3.1

Rutina para analizar combinaciones lineales.. ........................................................... 57

5.4

Conjunto Generador ................................................................................................... 58

5.5

Cápsula de un Conjunto .............................................................................................. 59

5.6

Dependencia e Independencia lineal .......................................................................... 60

5.7

Base y Dimensión ........................................................................................................ 62

5.7.1

Base: .................................................................................................................... 62

5.7.2

Dimensión: .......................................................................................................... 63

La dimensión de un espacio vectorial, es el número de vectores que posee las bases del espacio vectorial. ................................................................................................................. 63 5.7.3 5.8

BASES CANÓNICAS .............................................................................................. 63

SUMA E INTERSECCIÓN DE SUB- ESPACIOS VECTORIALES.......................................... 69

5.8.1

Intersección: ........................................................................................................ 69

5.8.2

Suma:................................................................................................................... 70

5.8.3

Suma Directa: ...................................................................................................... 70

Primeramente hallar una base para 𝑉1 ....................................................................................... 72 6.

ESPACIOS EUCLÍDEOS: ......................................................................................................... 76 6.1

Producto interno ......................................................................................................... 77

6.2

ESPACIO EUCLÍDEO ..................................................................................................... 78

6.3

NORMA (MÓDULO) ..................................................................................................... 78

6.3.1

PROPIEDADES DE LA NORMA .................................................................................. 79

6.4

Distancia entre Vectores ............................................................................................. 79

6.5

PARALELISMO.............................................................................................................. 80

6.6

PERPENDICULARIDAD ................................................................................................. 80

6.7

PROYECCIÓN DE VECTORES ........................................................................................ 81

6.8

ÁNGULO ENTRE VECTORES. ........................................................................................ 82

6.9

PROCESO DE ORTOGONALIZACION ............................................................................ 83

PROCESO DE GRAM – SCHMIDT.......................................................................................... 83 7.

TRANSFORMACIONES LINEALES ......................................................................................... 88 7.1

Propiedades de las Transformaciones lineales: ...................................................... 91

7.2

Aplicación Lineal asociada a una matriz...................................................................... 94

7.3

Matriz asociada a una aplicación lineal....................................................................... 95

7.4

Matriz de Rotación ...................................................................................................... 96

7.5

Matriz Asociada a una Transformación Lineal en función a otra Base ....................... 97

7.6

Matriz cambio de base ................................................................................................ 99

7.6.1 7.7

Propiedades de las matrices de cambio de base. ............................................. 100

Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal ....................................................... 101

7.7.1

Núcleo ............................................................................................................... 101

7.7.2

Imagen............................................................................................................... 101

7.8

Aplicación Lineal Inyectaba ....................................................................................... 103

7.9

Transformación Lineal Sobreyectiva. ........................................................................ 103

7.10

Transformación Lineal Biyectiva ............................................................................... 103

7.11

Isomorfismo .............................................................................................................. 103

7.12

Inversa de una Transformación Lineal ...................................................................... 103

7.13

Algebra de transformaciones Lineales ...................................................................... 104

7.13.1

Suma.................................................................................................................. 104

7.13.2

Producto por escalar ......................................................................................... 105

7.13.3

Composición de Transformación Lineal ............................................................ 105

GUIA METODOLOGICA DE LA UTILIZACION DE SCILB Y WIRIS EN ALGBERA LINEAL.

1. SCILAB. Scilab es un software matemático, con un lenguaje de programación de alto nivel, para cálculo científico, interactivo de libre uso y disponible en múltiples sistemas operativos (Mac OS X, GNU/Linux, Windows). Desarrollado por INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et Automatique) y la ENPC (École Nationale des Ponts et Chaussées) desde 1990, por Scilab Consortium dentro de la fundación Digiteo desde 2008, Scilab es ahora desarrollado por Scilab Enterprises desde julio 2012. Scilab fue creado para hacer cálculos numéricos aunque también ofrece la posibilidad de hacer algunos cálculos simbólicos como derivadas de funciones polinomiales y racionales. Posee cientos de funciones matemáticas y la posibilidad de integrar programas en los lenguajes más usados (Fortran, Java, C y C++). La integración puede ser de dos formas: por ejemplo, un programa en Fortran que utilice Scilab o viceversa.1 Scilab fue hecho para ser un sistema abierto donde el usuario pueda definir nuevos tipos de datos y operaciones entre los mismos. Scilab viene con numerosas herramientas: gráficos 2-D y 3-D, animación, álgebra lineal, matrices dispersas, polinomios y funciones racionales, Simulación: programas de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales (explícitas e implícitas), Xcos: simulador por diagramas en bloque de sistemas dinámicos híbridos, Control clásico, robusto, optimización LMI, Optimización diferenciable y no diferenciable, Tratamiento de

señales, Grafos y redes, Scilab paralelo empleando PVM, Estadísticas, Creación de GUIs, Interfaz con el cálculo simbólico (Maple, MuPAD), Interfaz con TCL/TK.

1.1

Dónde encontrar SCILAB? SCILAB es disponible en forma gratuita en sitio web oficial de SCILAB: http://scilabsoft.inria.fr. Documentación referente a SCILAB puede ser encontrada y bajada desde el mismo sitio web de SCILAB, así como muchas otras obras y colaboraciones disponibles en Internet. Normalmente, todos los materiales pueden ser utilizados sin costo, solamente se deben mantener los créditos y referencias correspondientes para los autores.

1.2 Qué se puede hacer con SCILAB? Como ya fuera dicho, SCILAB es un ambiente de programación flexible cuyas principales características y prestaciones son: 

Programación con lenguaje simple y fácilmente asimilable;



Posee capacidades de generación de gráficos en dos y tres dimensiones;



Permite operaciones diversas operaciones matriciales;



Permite operaciones con polinomios y funciones de transferencia;



Permite la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones diferenciales;



Posibilita al usuario la creación y definición de funciones propias;



Soporta la creación y utilización de conjuntos de funciones destinadas a aplicaciones específicas denominados “Toolboxes”, por ejemplo: Control, Optimización, Redes Neurales, etc.

1.3 Ambiente de Scilab. En la siguiente figura se ve la ventana de trabajo de SCILAB.

Figura 1. Ambiente Scilab. En la barra de herramientas se tienen diferentes opciones, entre las cuales se puede mencionar como más importantes: • • •

File: para manejo y ejecución de archivos Editor: que inicializa el editor de archivos de comandos y funciones Control: con las funciones resume, abort e interrupt, que permiten moverse dentro de diferentes workspace (ambiente de trabajo)

También es importante recordar, que se dispone de un menú de ayuda Help

1.4 Resumen de comandos y operadores. 1.4.1 Operaciones Básicas • •

SCILAB muestra el siguiente símbolo indicando que el programa está listo para ejecutar la siguiente instrucción. Esto se conoce como prompt: Las variables van siendo cargadas al workspace mediante asignaciones: --> a = 2.3

• • • • • • •

Para ver las variable las variables activas se utiliza: -->who Existen variables pre-definidas, por ejemplo: %e, %i, %pi, %eps, %inf, %nan, etc. El operador : (dos puntos) sirve para crear un vector fila, por ejemplo: --> nombre del vector = valor inicial : incremento : valor final El operador ; (punto y coma) evita la impresión en pantalla de la salida del comando Para introducir un comentario y no ejecutar la línea se usa: // Para abrir el menú de ayuda se usa: --> help Para empezar a guardar una sesión de SCILAB en un archivo se usa: diary(nombre_del_archivo).

1.4.2 Gráficos. •

Para gráficos simples en 2 dimensiones (2-D): -->plot(x,y,"título_eje_x","título_eje_y","título_del_gráfico")

•

Agregando un grilla para gráficos simples en 2 dimensiones (2-D): --> grid(n)

•

Para cambiar parámetros del gráfico: color, tipo de líneas, fondo, espesor de líneas, etc., ver: --> xset( )

•

Para abrir una nueva ventana de gráfico: --> xset(‘window’,número de ventana )

•

Borrar el contenido de la ventana actual: --> xbasc()

•

Para gráficos simples en 2 dimensiones (2-D): --> plot2d(x,y,[style,strf,leg,rect,nax])

x, y matrices o vectores a graficar style: vector conteniendo números que definen el color. Para graficar usando símbolos (+,*,o, etc.) usar números negativos. strf = “xyz” donde        

x = 1, muestra leyenda de líneas y = 1, usa rect; y = 2, calcula bordes usando xmax y xmin y = 3, similar a y = 1 pero con escala isométrica y = 4, similar a y = 2 pero con escala isométrica z = 1, ejes graficados de acuerdo a especificaciones en nax z = 2, marco del gráfico sin grilla leg = “nombrelínea1@l nombrelínea2@…”

 

rect = [xmin, ymin, xmax, ymax] nax = [nx, Nx, ny, Ny] donde nx,ny = sub-graduaciones de x,y; Nx,Ny = graduaciones de x,y.

•

Para colocar título a un gráfico:

-->xtitle(‘Nombre_del_gráfico’,‘Nombre_eje_x’, ‘Nombre_eje_y’)

• •

Creando sub-ventanas:-->xsetech( wrect). Donde wrect es un vector de 4 elementos [ x, y, “ancho”, “alto”] donde “ancho” y “alto” definen en cuantas ventanas estará dividida la ventana, “x” e “y” definen cual de las ventanas activar. Gráficos en 3 dimensiones: -->Plot3d(x,y,z[,theta,alpha,leyenda,flag,ebox]).

Donde “theta” y “alpha” son los ángulos (en grados sexagesimales) representado las coordenadas esféricas del punto de vista, “leyenda” contiene las leyendas identificadoras de los ejes. •

Contorno en 3 dimensiones: --> contour(x,y,z[,theta,alpha,leyenda,flag,ebox])

•

Contorno (curvas de nivel) en 2 dimensiones : --> contour2d(x,y,z[,theta,alpha,leyenda,flag,ebox])

1.4.3 Programación. • • •

Operadores de comparación: = =, <, >, <=, >=, <> 𝑜 ~ = Operadores lógicos: & (and), | (or), ~ (not) Lazo FOR: for índice = valor_inicial : incremento : valor_final end

•

Lazo WHILE: while condición end

•

Condicional IF: if condición then else end

•

Selección de casos con SELECT-CASE: select nombre_variable case valor_1 case valor_2 …. end

•

Definición de funciones en una sola instrucción: deff(‘[variable_salida] = nombre_funcion(variable_entrada)’,[‘ variable_salida = la función’])

•

definición de

Definición de funciones usando archivos (extensión del archivo sci) : Primera línea del archivo debe empezar con: Function [y1,…,yn] = nombre_funcion(x1,…,xm) y1,…,yn

son las variables de salida, creadas/definidas en la función

x1,…,xm

son las variables de entrada

Se recomienda que el nombre del archivo sea el mismo que el de la función. La función puede ser creada usando el editor. Para utilizar una función primeramente debe ser cargada usando el comando getf: getf(´nombre_de_archivo_de_función’)

La última línea del archivo debe ser: EndFunction

•

Continuación de una línea: en caso que requiera dividir una línea de comando en más de una línea, se tienen que colocar los caracteres (…) al final de la línea: Ejemplo: A = [ 1 2 3 … 5 6] Se definió un vector de 1 fila y 6 columnas.

• • •

Variable Global: son aquellas variables definidas en el ambiente principal SCILAB. Variable Local: son aquellas variables definidas solamente dentro de una función. Guardando las variables en un archivo: save(´nombre_de_archivo’, lista_de_variables)

•

Cargando las variables de un archivo: load(´nombre_de_archivo’)

•

Imprimiendo en archivo de salida sin formato: print(´nombre_de_archivo’, lista_de_variables)

•

Escribiendo en un archivo de salida: write(´nombre_unidad’, lista_de_variables, ‘(formato)’)

1.4.4 Vectores • • • • • •

Magnitud de un vector: norm( vector) Transpuesta de un vector: ’ Mínimo y máximo de los valores de un vector: min( vector) max( vector) Producto escalar de dos vectores fila: u*v’ Operación término a término de matrices: usar el punto (.) antes del operador, ejemplo: .*, ./ ,.^2

1.4.5 Matrices y Algebra Lineal. • • • • • • • • • • • • • •

Transpuesta de una matriz/vector: usar el apóstrofe: ejemplo: A’ Inversa de una matriz: inv( matriz) Matriz identidad: eye(n,n) Traza: trace( matrix) Dimensiones de una matriz/vector: size(matriz) Matriz con elementos aleatorios: rand(n,m) Extrayendo filas: A(2,:), A(1:3,:) Extrayendo columnas: A(:,1), A(:,2:5) Para acceder a la última fila/columna de una matriz usar el símbolo “$”, por ejemplo: A(:,$) extrae la última columna de la matriz A Solución de un sistema lineal A*x = b : --> xsol = A\b Factorización LU: [L,U] = lu(A) or [L,U,P] = lu(A) Descomposición en valores singulares: [U,S,V] = svd(A) Rango de una matriz: rank( matriz) Normas de una matriz: --> norm(A) o norm(A,2) : norma Euclidiana --> norm(A,1) : norma columna

--> norm(A,’inf’): norma infinita --> norm(A,’fro’) : norma Frobenius

Número de condición de uma matriz: cond( matriz) Determinante de una matriz: det( matriz) Autovalores y autovectores de una matriz: spec( matrix)

• • •

1.4.6 Números Complejos Si z es un número complejo z = x + iy, donde i = −1 (%i en SCILAB) • • •

Para hallar la parte real de z: real(z) Para hallar la parte imaginaria de z: imag(z) Para hallar la representación polar de z: [r,theta] = polar(z) Para hallar la magnitud : abs(z) Para hallar el argumento: arctan(Im(z)/Re(z)) Para hallar el complejo conjugado: conj(z) Para hallar el negativo: -z En general las matrices definidas en SCILAB pueden tener como argumentos a números complejos.

•

• • •

•

2. MATRICES 2.1 Definición: Una matriz definida sobre un campo 𝕂 , es un arreglo rectangular de filas y columnas. Se utilizan letras mayúsculas para su identificación y sus elementos se encierran en paréntesis.

𝐴=

𝑎 𝑎 … 𝑎

𝑎 𝑎 … 𝑎

𝑎 𝑎 … 𝑎

… 𝑎 … 𝑎 ⋱ … … 𝑎

En la matriz A, la 𝑚 representa las filas y la 𝑛 representa las columnas.

2.2 Matrices en Scilab Para crear un vector o una matriz es lo mismo. El delimitador que se usa para filas es ";" y para filas se puede dejar un espacio o también podemos utilizar ",". Creación de un vector x que va desde -1 a 1 con intervalos de 0.2: -->x=-1:.2:1 x

= - 1.

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0 1 1 Creación de una matriz 𝐴 = 1 2 3 2 0 2 -->A=[0 1 1 2;1 2 3 4;2 0 2 0] A

=

0.

2 4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.

0. 1. 2.

1. 2. 0.

1. 3. 2.

2. 4. 0.

2.3 Orden de una matriz Si una matriz tiene m filas y 𝑛 columnas se dice que tiene un orden 𝑚𝑥𝑛. A una matriz también se la representa de la siguiente manera: 𝐴= 𝑎 Donde: 𝑎 : representa el elemento. 𝑖𝑗: representa la posición del elemento. i: la fila ; j : la columna. 𝑚: indica el número de filas que tiene la matriz. 𝑛: indica el número de columnas que tiene la matriz. Ejemplo 1 : Sea la matriz A definida sobre el campo de los reales.

𝐴=

1 −2 4 6 −6 −4 −1 5 23 12 11 −7 0 18 20 −21 3 13 −3 8

a. Cuál es el orden de la matriz?: Su orden es: 𝑚𝑥𝑛 = 4𝑥5 b. Cuáles son los elementos 𝒂𝟏𝟑 y 𝒂𝟑𝟒 El elemento 𝑎 es 4 El elemento 𝑎 es 18

2.4 Igualdad de Matrices. Sean 𝐴 = 𝑎 y 𝐵= 𝑏 , matrices definidas sobre un campo 𝕂, se dice que 𝐴 = 𝐵, si y solamente si, sus elementos son iguales en su respectiva posición 𝑎 = 𝑏 . Ejemplo 2: Matrices Iguales.

𝐴=

1 −2 −3 −1 14 7 −21 3

−6 12 20 8

;

𝐵=

𝑎

1 −4 + 2 −3 −1 7+7 9−2 −21 3

−6 9+3 20 8

=𝑏

−2 = −4 + 2

2.5 Álgebra de Matrices. 2.5.1 Suma. Sean 𝐴 𝑦 𝐵 𝜖 𝑀

, tal que 𝐴 = 𝑎

y 𝐵= 𝑏

𝐴 + 𝐵 = (𝑎 ) + (𝑏 ) 𝐴+𝐵 = 𝑎 +𝑏 𝐴+𝐵𝜖𝑀 Ejemplo 4: Dadas las siguientes matrices

, la suma 𝐴 + 𝐵, se define:

𝐴=

1 0 7 −1 2 3 2 , 𝐵 = 5 −4 𝑦 𝑀 = −1 −6 −2 8 9 4

6 −1 2 0 −2 9

Calcular: 𝐴 + 𝐵 𝑦 𝐵 + 𝑀 Las matrices A y B son de orden 3 × 2, mientras la matriz M es cuadrada de orden 3𝑥3. Por tanto, no podemos calcular la suma de B + M, en cambio, sí podemos sumar A y B ya que tienen el mismo orden. Esto es, 𝐴+𝐵=

1 3 −6

𝐴+𝐵 =

0 7 −1 2 + 5 −4 −2 8 9

1+7 0−1 3+5 2−4 −6 + 8 −2 + 9

𝐴+𝐵 =

8 −1 8 −2 −2 7

Por lo tanto la suma se matrices se puede realizar únicamente si las matrices tienen el mismo orden. 2.5.1.1 Propiedades de la Suma de Matrices. Sean 𝐴 , 𝐵 𝑦 𝐶 𝜖 𝑀(𝐾)     

Clausurativa (𝐴 + 𝐵) 𝜖 𝑀(𝐾) Conmutativa (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) Asociativa (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + ( 𝐵 + 𝐶) Existencia del Elemento Neutro. ∃𝑂 ∈ 𝑀(𝐾) ∀𝐴 ∈ 𝑀(𝐾) ∶ 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴 Elemento Opuesto. ∀𝐴 ∈ 𝑀(𝐾) ∃(−𝐴) ∈ 𝑀 ∶ 𝐴 + (−𝐴) = (−𝐴) + 𝐴 = 𝑂

2.5.2 Multiplicación de una matriz por un Escalar. Sea 𝐴 𝜖 𝑀(𝐾) por:

y 𝛼 𝜖 𝐾, la multiplicación de una matriz por un escalar se define 𝛼𝐴 = 𝛼 𝑎 𝛼𝐴 = (𝛼𝑎 )

Ejemplo 5: Dada la matriz A y 𝛼 = 3, encontrar 𝛼𝐴 𝐴=

𝛼𝐴 = 3

1 0 3 2 −6 −2 1 3 −6

0 2 −2

3 0 9 6 −18 −6

𝐴=

2.5.2.1 Propiedades del Producto por Escalar. Sea 𝐴 𝑦 𝐵 𝜖 𝑀(𝐾) y 𝛼 ∧ 𝛽𝜖 𝐾.     

Clausurativa (𝛼𝐴) 𝜖 𝑀(𝐾) . Distributiva respecto a la suma de matrices. 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 Distributiva del producto respecto a la suma de matrices. (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐵 (𝛼𝛽)𝐴 Asociativa. = 𝛼(𝛽𝐴) Elemento neutro 1. 𝐴 = 𝐴

2.5.3 Producto Matricial. Se denomina matriz producto de la matriz 𝐴 = 𝑎 matriz 𝐶 = 𝑐

por la matriz 𝐵 = 𝑏

a una

cuyos elementos son de la forma: 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐶; 𝑎

Donde: 𝑐 = ∑

∗ 𝑏

= 𝑐

𝑎 𝑏

Ejemplo 6: Sean: 1 𝐴= 2 0

3 −1 4

1 3 𝐴 ∗ 𝐵 = 2 −1 0 4 𝑐

𝑐

=

𝑎 𝑏 =𝑎 𝑏

𝑦𝐵 =

−1 2 −2 0

=

−1 2 5 −2 0 3 5 = 3

−7 2 14 0 4 7 −8 0 12

𝑎 𝑏

+ 𝑎 𝑏

= 2 ∗ 5 + (−1) ∗ 3 = 7

*Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columna de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda. 2.5.3.1 Propiedades del producto Matricial.  Asociativa: 𝐴(𝐵 ∗ 𝐶) = (𝐴 ∗ 𝐵)𝐶, ∀ 𝐴, 𝐵, 𝐶: 𝐴 𝜖 𝑀 ,𝐵 𝜖 𝑀  Elemento neutro (Es la matriz unidad) ∃! ∈ 𝑀 ∀𝐴 ∈ 𝑀 ∶ 𝐴 ∗ 𝐼 = 𝐼 ∗ 𝐴  Distributiva mixta. 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∗ 𝐵 + 𝐴 ∗ 𝐶, ∀𝐴, 𝐵, 𝐶 ∶ 𝐴 𝜖 𝑀

,𝐴 ∧𝐶 𝜖 𝑀

𝐵, 𝐶 𝜖 𝑀

2.6 Algebra de Matrices Utilizando Scilab. Hay que recordar que para realizar las operaciones entre matrices existen restricciones, estas hay que tener en cuenta cuando se definen las matrices. Suma de Matrices: -->A=[1 -2 4 6;-4 -1 5 23;11 -7 18 20;-21 3 13 -5] A = 1. - 4. 11. - 21.

- 2. - 1. - 7. 3.

4. 5. 18. 13.

6. 23. 20. - 5.

-->B=[0 2 -3 7;4 9 8 -8;-1 -3 -5 8; 1 0 3 -7] B = 0. 4. - 1. 1. -->A+B ans = 1. 0. 10. - 20.

2. 9. - 3. 0.

- 3. 8. - 5. 3.

7. - 8. 8. - 7.

0. 8. - 10. 3.

1. 13. 13. 16.

13. 15. 28. - 12.

-->C=A+B C = 1. 0. 0. 8. 10. - 10. - 20. 3.

1. 13. 13. 16.

13. 15. 28. - 12.

Si el resultado se quiere guardar en una nueva matriz basta con poner:

Para la multiplicación se utiliza el comando *: -->A*B ans = - 6. 14. - 26. - 6.

-

28. 32. 95. 54.

- 21. 48. - 119. 7.

13. - 141. 137. – 32

Si no se cumple con la condición de multiplicación nos dará un error en la operación: -->A=[1 -2 4 6;-4 -1 5 23;11 -7 18 20;-21 3 13 -5] A = 1. - 4. 11. - 21.

- 2. - 1. - 7. 3.

4. 5. 18. 13.

6. 23. 20. - 5.

-->B=[0 2 -3 7;4 9 8 -8;-1 -3 -5 8] B = 0. 4. - 1. -->A*B

2. 9. - 3.

- 3. 8. - 5.

7. - 8. 8.

!--error 10

Multiplicación inconsistente. En este caso el número de columnas de la matriz A es diferente al número de filas de la matriz B.

2.7 Transpuesta de una matriz Sea 𝐴 = (𝑎 )𝜖 𝑀 , su transpuesta 𝐴 , es la matriz 𝐴 = (𝑎 )𝜖 𝑀 a partir de la matriz A al intercambiar las filas por las columnas.

, que se obtiene

Ejemplo 3 1 2 Sea 𝐴 = −3 0 4 6

Su Transpuestas es 𝐴 =

1 −3 2 0

4 6

Propiedades. Dada una matriz, siempre existe la transpuesta y esta es única     

(𝐴 ) =A (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 + 𝐵 (∝ 𝐴) = ∝ 𝐴 , 𝑐𝑜𝑛 ∝∈ 𝑅 (𝐴 ∗ 𝐵) = 𝐵 ∗ 𝐴 (𝐴 ) = (𝐴 )

En Scilab para obtener la transpuesta se utilizar á el apostrofe tal como se indica en el ejemplo siguiente. Matriz Original -->A=[1 -2 4 6 -6;-4 -1 5 23 12;11 -7 0 18 20;-21 3 13 -3 8] A

= 1. - 4. 11. - 21.

- 2. - 1. - 7. 3.

4. 5. 0. 13.

6. 23. 18. - 3.

- 6. 12. 20. 8.

Matriz Transpuesta. -->A=[1 -2 4 6 -6;-4 -1 5 23 12;11 -7 0 18 20;-21 3 13 -3 8]' A

= 1. - 2. 4. 6. - 6.

- 4. - 1. 5. 23. 12.

11. - 7. 0. 18. 20.

- 21. 3. 13. - 3. 8.

EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Realice las siguientes demostraciones: a. La propiedad conmutativa de la suma de matrices en el campo de los reales. b. La propiedad clausurativa del producto por escalar, en el campo de los reales.

Desarrollo: a. La propiedad conmutativa de la suma de matrices en el campo de los reales Sean 𝐴 𝑦 𝐵 𝜖𝑀(𝑅) , P.D 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

A B  A B A  B  (aij ) mxn  (bij ) mxn

Axioma Re flexivo Def . de matrices

A  B  (aij  bij ) mxn

Def . suma de matrices

A  B  (bij  aij ) mxn

Axio. Conmutativo de suma de reales.

A  B  (bij )mxn  (aij ) mxn

Def . suma de matrices

A B  B  A b. La propiedad clausurativa del producto por escalar, en el campo de los reales Sea 𝐴 𝜖𝑀(𝑅)

𝑦 𝛼𝜖𝑅, P.D 𝛼𝐴𝜖𝑀(𝑅)

AA  A   (aij ) mxn

Axioma Re flexivo

 A  ( aij ) mxn

Def . Pr oducto por escalar

Def . de matriz

( aij ) mxn Î M ( R)mxn

2. Sean las siguientes matrices: 𝐴=

−1 −2 1 + 3𝑖

𝑖 0 −𝑖

3 3 4 − 𝑖 ,𝐵 = −𝑖 𝑖

−3 1 − 𝑖 0 1 − 3𝑖

𝑦 𝐶=

−𝑖 2 4 6 −3 𝑖

Determinar: La siguiente operación: (−2𝐴 + 𝐵 𝐶 ) Desarrollo: Aplicando las propiedades de la transpuesta tenemos: (−2𝐴 + 𝐵 𝐶 ) = (−2𝐴 ) + (𝐵 𝐶 ) (−2𝐴 + 𝐵 𝐶 ) = −2(𝐴 ) + [(𝐶 ) (𝐵 ) ] (−2𝐴 + 𝐵 𝐶 ) = −2𝐴 + 𝐶𝐵 Por lo tanto se operara −2𝐴 + 𝐶𝐵 −2

−2

−1 −2 1 + 3𝑖

𝑖 0 −𝑖

−1 −2 1 + 3𝑖

𝑖 0 −𝑖

3 −𝑖 4−𝑖 + 4 𝑖 −3

−𝑖 ∗ 3 + 2 ∗ −𝑖 3 4 − 𝑖 + 4 ∗ 3 + 6 ∗ −𝑖 −3 ∗ 3 + 𝑖 ∗ −𝑖 𝑖

2 6 𝑖

3 −𝑖

−3 0

1−𝑖 1 − 3𝑖

−𝑖 ∗ −3 + 2 ∗ 0 −𝑖 ∗ (1 − 𝑖) + 2 ∗ (1 − 3𝑖) 4 ∗ −3 + 6 ∗ 0 4 ∗ (1 − 𝑖) + 6 ∗ (1 − 3𝑖) −3 ∗ −3 + 𝑖 ∗ 0 −3 ∗ (1 − 𝑖) + 𝑖 ∗ (1 − 3𝑖)

2 4 −2 − 6𝑖

−2𝑖 0 2𝑖

−6 −5𝑖 −8 + 2𝑖 + 12 − 6𝑖 −2𝑖 −8

2 − 5𝑖 16 − 6𝑖 −10 − 6𝑖

𝑖 −12 9 + 2𝑖

3𝑖 −12 9

1 − 7𝑖 10 − 22𝑖 4𝑖

−5 − 7𝑖 2 − 20𝑖 2𝑖

2.8 Operaciones elementales en una matriz. Se pondrán atención en tres operaciones entre filas de una matriz: a. Intercambio de filas de una matriz. 𝑓 ↔ 𝑓 𝑠 𝑦 𝑡 𝜖 𝑁 , 𝑠 ∧ 𝑡 ≠ 0 b. Multiplicación de un escalar ∝ diferente de cero a una fila de una matriz. c. Sumar a una fila de una matriz otra fila de la misma matriz multiplicada por un escalar. 𝑓 +∝ 𝑓 𝑠 , 𝑡 𝑦 ∝ 𝜖 𝑅 , 𝑠, 𝑡 ∧ ∝ ≠ 0. Con el Software Scilab si se pueden realizar estas operaciones utilizando los siguientes comandos: Se almacena en A una matriz 4x4 de num. Aleatorios

-->A=rand(4,4) A = 0.2113249 0.7560439 0.0002211 0.3303271

0.6653811 0.6283918 0.8497452 0.6857310

0.7263507 0.1985144 0.5442573 0.2320748

Se modifica el segundo elem. diagonal de A

-->A(2,2)=0 A

0.8782165 0.0683740 0.5608486 0.6623569

= 0.2113249 0.7560439 0.0002211 0.3303271

-->A(2:3,1:2)=1 A = 0.2113249 1. 1. 0.3303271

0.6653811 0. 0.8497452 0.6857310

0.8782165 0.0683740 0.5608486 0.6623569

0.7263507 0.1985144 0.5442573 0.2320748

La submatriz A(2:3,1:2) se llena con unos 0.6653811 1. 1. 0.6857310

0.8782165 0.0683740 0.5608486 0.6623569

0.7263507 0.1985144 0.5442573 0.2320748

Se añade a A una nueva columna al final

-->A=[A,[1:5]']

2.8.1.1 Instrucciones específicas para las operaciones entre filas de una matriz: Definamos la siguiente matriz: -->A=[1 -2 4 6 -6;-4 -1 5 23 12;11 -7 0 18 20;-21 3 13 -3 8] A

= 1. - 4. 11. - 21.

- 2. - 1. - 7. 3.

4. 5. 0. 13.

6. 23. 18. - 3.

Una operación elemental seria: -->A(2,:)=A(2,:)+4*A(1,:) A

=

- 6. 12. 20. 8.

1. 0. 11. - 21.

Donde:

- 2. - 9. - 7. 3.

4. 21. 0. 13.

A(2,:)= Indica que

6. 47. 18. - 3.

- 6. - 12. 20. 8.

el resultado se pondrá en la fila 2.

A(2,:)+4*A(1,:) Indica que a los elementos de la fila 2 se les sumara cuatro veces los elementos de la fila 1. Se puede observar que en la operación anterior se está utilizando la operación de multiplicar un escalar por toda una fila 4*A(1,:.) Para seguir introduciendo ceros en la primera columna de la matriz dada es suficiente seguir realizando operaciones elementales asi: si se quiere introducir un celo en la posición 𝑎 basta con poner: -->A(3,:)=A(3,:)-11*A(1,:) A

= 1. 0. 0. - 21.

- 2. - 9. 15. 3.

4. 21. - 44. 13.

6. 47. - 48. - 3.

- 6. - 12. 86. 8.

2.9 Matrices equivalentes. Sean 𝐴 𝑦 𝐵 𝜖 𝑀(𝐾) . La matriz B es equivalente por filas a la matriz A (𝐵 ∼ 𝐴), si la matriz B se obtiene de A al aplicar una o más operaciones elementales. Ejemplo. 1 −2 −6 Ejemplo 7: Sea: 𝐴 = −3 −1 12 14 7 20 1 𝐴 = −3 14

−2 −6 −1 12 𝑓 ↔ 𝑓 7 20 𝑓 − 3𝑓

−3 −1 12 1 −2 −6 2𝑓 14 7 20

−3 −1 2 −4 14 7

−3 −1 12 2 −4 −12 8 19 56

Esta última matriz que la llamaremos B, es equivalente a la matriz A. 𝐵=

−3 −1 12 2 −4 −12 8 19 56

12 −12 20

2.10 Matriz Escalonada Una matriz 𝐴𝜖𝑀(𝐾)   

, se dice que es escalonada si cumple las siguientes características:

El número de ceros iniciales de izquierda a derecha aumentan al pasar de una fila a otra. Los primeros elementos diferentes de cero de izquierda a derecha en cada fila son iguales a uno. Si existen filas completas de cero (nulas), estas se encuentran en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo 8:

𝐴=

1 0 0 0

0 2 −1 4 1 −3 5 2 0 0 1 −1 0 0 0 0

2.11 Matriz escalonada reducida. Una matriz 𝐴𝜖𝑀(𝐾) , es escalonada reducida si los “1” iniciales de cada fila son los únicos elementos diferentes de “0” en su columna. Así por Ejemplo: Ejemplo 9:

𝐴=

1 0 0 0

0 2 0 4 1 −3 0 2 0 0 1 −1 0 0 0 0

2.12 Rango de una matriz. El rango (ram( ) ) de una matriz 𝐴 𝜖 𝑀(𝐾) es el número de filas no nulas (diferentes de cero) de una matriz reducida por filas equivalentes a la matriz A. Ejemplo 10:

𝐴=

1 0 0 0

0 2 0 4 1 −3 0 2 0 0 1 −1 0 0 0 0

𝑟𝑎𝑚(𝐴) = 3 Para obtener el rango de una matriz se utiliza las operaciones elementales de fila de una matriz. TEOREMA 1. Toda matriz 𝐴 𝜖 𝑀(𝐾) 𝐵 𝜖 𝑀(𝐾) escalonada por filas.

es equivalente por filas a una matriz

2.13 Tipos de Matrices 2.13.1 Matrices Cuadradas. Una matriz es cuadrada si el número de filas es iguala al número de columnas. Ejemplo 11:

1 −2 𝐴 = −3 −1 14 7

−6 12 20

A una matriz cuadrada de la representa de la siguiente manera. 𝐴 = 𝑎 representa el orden de la matriz.

, donde 𝑛

En una matriz cuadrada hay que destacar un elemento, este es su diagonal principal.

𝐴=

𝑎 𝑎 … 𝑎

𝑎 𝑎 … 𝑎

𝑎 𝑎 … 𝑎

… 𝑎 … 𝑎 … … … 𝑎

Los elementos de su diagonal principal serán los 𝑎 ∀ 𝑖 = 𝑗, para la matriz A la diagonal principal estará formada por los siguientes elementos: 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , . . . , 𝑎

2.13.2 Matriz Simétrica. Sea 𝐴 = 𝑎

, La matriz A se dice que es simétrica ssi 𝐴 = 𝐴 .

Ejemplo 12: 𝐴=

−3 5 6 5 1 12 6 12 0

𝐴 =

−3 5 6 5 1 12 6 12 0

2.13.3 Matriz Antisimétrica Sea 𝐴 = 𝑎

, La matriz A se dice que es antisimétrica ssi 𝐴 = −𝐴 ó 𝐴 = −𝐴 .

Ejemplo 13: 0 1 −2 𝐴 = −1 0 −3 2 3 0 𝐴 =

0 −1 2 1 0 3 −2 −3 0

0 1 𝐴 = − −1 0 2 3

−2 −3 0

𝐴 = −𝐴

2.13.4 Matriz Triangula superior. Una matriz 𝐴 = 𝑎

, es triangular superior ssi: 𝑎 = 0, ∀ 𝑖 > 𝑗 .

Ejemplo 14: 1 −1 𝐴= 0 2 0 0

−2 −3 −1

2.13.5 Matriz Triangular Inferior. Una matriz 𝐴 = 𝑎

, es triangular inferior ssi: 𝑎 = 0, ∀ 𝑖 < 𝑗 .

Ejemplo 15: 𝐴=

1 0 0 3 2 0 −6 −2 −1

2.13.6 Matriz Diagonal. Una matriz 𝐴 = 𝑎

, es diagonal ssi: 𝑎 = 0 , ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 .

Ejemplo 16: 1 0 0 𝐴= 0 2 0 0 0 −3

2.13.7 Matriz Escalar. Una matriz 𝐴 = 𝑎 , es escalar si es diagonal, en los cuales los elementos de la matriz diagonal son los mismos. 𝑎 = 𝑘 ∀ 𝑖 = 𝑗 ∧ 𝑎 = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 . Ejemplo 17: 𝐴=

−3 0 0

0 0 −3 0 , 𝑘 = −3 0 −3

2.13.8 Matriz Identidad ( 𝑰𝒏 ). Una matriz 𝐴 = 𝑎 se denomina condiciones:𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, 𝑦 𝑘 = 1

identidad

si

cumple

las

siguientes

A la matriz identidad de le identifica con la letra I. Ejemplo 18: 1 𝐼 = 0 0

0 0 1 0 0 1

2.13.9 Matrices Elementales. Se dice que una matriz 𝐸 ∈ 𝑀(𝑅) es una matriz elemental si se obtiene de la matriz identidad 𝐼𝑛 ∈ 𝑀(𝑅)𝑛 por medio de solo una operación elemental de fila. Las matrices siguientes son matrices elementales pues todas ellas se obtuvieron a partir de la matriz 𝐼 por medio de la única operación elemental de fila: 𝐹 ↔ 𝐹 , 𝐹 − 2𝐹 𝑦 3𝐹 , respectivamente. Ejemplo 19: 1 0 0 1 0 −2 0 0 1 , 0 1 0 0 1 0 0 0 1

2.13.10

𝑦

1 0 0 3 0 0

0 0 1

Matriz Nula.

Se dice que una matriz es nula, si todos sus elementos son cero. 𝑎 = 𝑜 ∀ 𝑖, 𝑗.

Ejemplo 20: 0 0 0 Ο= 0 0 0 0 0 0

2.13.11

Matriz Nilpotente.

Una matriz 𝐴 = 𝑎 es nilpotente de orden r, si existe un r tal que 𝐴 es igual a Ο, donde r es el menor entero positivo que cumple con la condición. Ejemplo 21:. 0 𝐴= 0 0 0 𝐴 = 0 0

2.13.12

3 0 4 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Matriz Idempotente.

Una matriz 𝐴 = 𝑎

es idempotente cuando 𝐴 = 𝐴.

Ejemplo 22: 0 1 0 𝐴 = 1 𝐴=

2.13.13

0 1 0 1

Matriz Involutiva

Una matriz 𝐴 = 𝑎

, es involutiva cuando 𝐴 = 𝐼.

Ejemplo 23: 0 1 1 𝐴 = 0 𝐴=

2.13.14

1 0 0 1

Matriz Ortogonal.

Una matriz 𝐴 = 𝑎

, es ortogonal si 𝐴 ∗ 𝐴 = 𝐼.

Ejemplo 24: 𝐴=

sin 𝑥 cos 𝑥

− cos 𝑥 sin 𝑥

Las matrices ortogonales de orden 2 son de la forma: 𝐴=

𝑎 −𝑏

𝑏 𝑎

0 𝐴=

𝑎 𝑏

𝑏 −𝑎

2.14 Matriz Conjugada Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑎𝑡(ℂ) : la conjugada de A, es otra matriz conjugada sus elementos.

Ᾱ= 𝑎 Ejemplo: 1 − 𝚤 2 + 3𝚤 𝐴̅ = 4 5 − 2𝚤 0 4−𝚤 Ᾱ=

1 + 𝑖 2 − 3𝑖 0 5 + 2𝑖 4 4+𝑖

2.14.1 Propiedades de la conjugada: Sea 𝐴 𝑦 𝐵 ∈ 𝑀𝑎𝑡(ℂ) : 1. A= A

  3.  A  =  A;    4.  AB  = AB 2. A+B = A  B

Ejercicio: Sean: 𝐴 =

 AB = AB

1 − 2𝑖 0

3 1 y 𝐵= 2+𝑖 1+𝑖

2 + 3𝑖 , comprobar que 1−𝑖

3  3   1- 2i  1  2i A ; A    2i 2i  0  0  1 2  3i   1 2 - 3i  B ; B    1  i 1  i  1  i 1  i 

3   1 2  3i   4  i 11  4i   1- 2i AB      2  i  1  i 1  i   1  3i 3  i   0  4  i 11  4i  AB     1  3i 3  i  3   1 2  3i   4  i 11  4i  1  2i AB      2  i   1  i 1  i   1  3i 3  i   0

2.15 Matriz transpuesta conjugada Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑎𝑡(ℂ)

 

, la matriz transpuesta conjugada se la representa A

2.16 Matriz Hermitica Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑎𝑡(ℂ) , se dice que A es Hermítica si cumple: A + =A

T

= A+

Ejemplo: Sea : 𝐴 =

1 2−𝑖

2+𝑖 , comprobar que A es hermítica: 1 Ᾱ=

1 2+𝑖

Ᾱ =𝐴 =

1 2−𝑖

2−𝑖 1 2+𝑖 1

2.16.1 Propiedades de la transpuesta conjugadsa Sean A y B  Mat (C)mxn 1. 2. 3. 4.

(𝐴 )+ = A (∝ 𝐴) = ∝ 𝐴 ; ∝ ∈ 𝑙𝑘 (𝐴 𝐵 ) = 𝐴 + 𝐵 + (𝐴𝐵) = 𝐵 𝐴

Demostración de la cuarta propiedad

 AB 



  AB 

 AB 



 AB

 AB 



  AB 

Propiedad de la Conjugada

 AB 



  B T AT 

Propiedad de la Transpuesta

 AB 



  B  A 

Def. Transpuesta Conjugada



 

T

T

Axioma Reflexivo Def. Transpuesta Conjugada

Ejercicios: 1. Sean A y B dos matrices simétricas del mismo orden a. Pruebe que A.B + B.A es una matriz simétrica. Desarrollo a. Pruebe que A.B + B.A es una matriz simétrica. H: Sabemos que A y B son matrices simétricas, por lo tanto: 𝐴=𝐴 𝑦 𝐵=𝐵 P.D: (𝐴. 𝐵 + 𝐵. 𝐴) = (𝐴. 𝐵 + 𝐵. 𝐴) (𝐴. 𝐵 (𝐴. 𝐵 (𝐴. 𝐵 (𝐴. 𝐵 (𝐴. 𝐵

+ + + + +

𝐵. 𝐴) 𝐵. 𝐴) 𝐵. 𝐴) 𝐵. 𝐴) 𝐵. 𝐴)

= (𝐴. 𝐵 + 𝐵. 𝐴) = (𝐴. 𝐵) + (𝐵. 𝐴) =𝐵 𝐴 +𝐴 𝐵 = 𝐵. 𝐴 + 𝐴. 𝐵 = 𝐴. 𝐵 + 𝐵. 𝐴

Axio. Reflexivo Propiedad de la transpuesta. Propiedad de la transpuesta. Por hipótesis Prop. Conmutativa suma de Matrices.

2. Sea A una matriz cualquiera cuadrada A  Mat (C)mxn . Determinar cuál de las siguientes expresiones me da como resultado una matriz hermitica. + + a. AA + A A



Para que sea Hermítica debe cumplir que: AA + + A + A  AA + + A + A





a. AA + + A + A  AA + + A + A (AA++A+A)+ = (AA++A+A)+ = (AA+)+ + (A+A)+ = (A+)+ * A+ + A+(A+)+ = A*A+ + A+A + + b. AA - A A (AA+-A+A)+ = (AA+-A+A)+ = (A*A+)+ - (A+A)+ = (A+)+ * A+ - A+(A+)+ = A*A+ - A+A

3. Potencia de una Matriz Cuadrada. Vamos a tratar de exponer distintas técnicas para hallar las potencias naturales de matrices cuadradas. Esta cuestión es de gran importancia y tiene muchas aplicaciones prácticas. Como vamos a poder observar el cálculo de potencias de matrices cuadradas lleva consigo un número muy elevado de operaciones. Es conveniente encontrar estrategias adecuadas que nos permitan calcular de modo eficiente las potencias naturales de matrices cuadradas. Empezamos con este primer ejemplo en el que utilizaremos el método de inducción. Ejemplo. 𝐴=

1 0 −1 1

En cualquier problema de este tipo es conveniente empezar calculando las potencias sucesivas de la matriz cuadrada A. En este caso vamos a observar que estas potencias parecen obedecer a un cierto patrón, lo que nos permite la posibilidad de lanzar una hipótesis sobre el valor de 𝐴 que luego habría que demostrar por inducción. 𝐴 =

1 0 −1 1

1 0 1 = −1 1 −2

0 1

𝐴 =

1 0 −2 1

1 0 1 = −1 1 −3

0 1

𝐴 =

1 0 −3 1

1 0 1 = −1 1 −4

0 1

Se puede concluir que 𝐴 =

1 −𝑛

0 1

La demostración mediante inducción sería: Para 𝑛 = 1 𝐴 = Para 𝑛 = 𝑘

1 0 1 0 = −1 1 −1 1

1 −𝑘

𝐴 =

0 1

Para encontrar 𝑛 = 𝑘 + 1 𝐴 ∗𝐴= 𝐴

=

1 −𝑘

0 1

1 −1

0 1

1 0 1 0 = −(𝑘 + 1) 1 −𝑘 − 1 1

Por lo tanto queda demostrado por inducción que: 𝐴 =

1 −𝑛

0 1

El segundo método para encontrar la potencia n-esima de una matriz está condicionado a encontrar una matriz B nilpotente así por ejemplo: 𝐵 = 𝐴−∝ 𝐼 1 −1

𝐵=

0 1 0 −1∗ ; ∝= 1 1 0 1 0 0 −1 0

𝐵=

La matriz A deberá tener los mismos elementos en su diagonal principal caso contrario no se podrá encontrar la matriz nilpotente. 𝐵 =

0 0 0 0

Para este caso la matriz B es nilpotente de orden de nilpotencia igual a 2. Por lo tanto la matriz A se le puede reescribir de la siguiente manera: 𝐴 = 𝐵+∝ 𝐼 𝐴 = (𝐵+∝ 𝐼) Par desarrollar el lado derecho de la igualdad se utilizara el binomio de Newton: 𝐴 =

𝐴 =

𝑛 (∝ 𝐼) 0

𝐵 +

𝑛 (∝ 𝐼) 1

𝑛 (∝ 𝐼) 𝑟 𝐵+

𝐵

𝑛 (∝ 𝐼) 2

𝐵 + ⋯+

𝑛 (∝ 𝐼) 𝐵 𝑛

0 0 0 0 , todos los demás términos de la sumatoria serán , por lo tanto 0 0 0 0 los términos a desarrollar queda: Como 𝐵 =

𝐴 = 𝐴 = 𝐴 =

𝑛 𝑛 (∝ 𝐼) 𝐵 + (∝ 𝐼) 0 1 𝑛 𝑛 (∝ 𝐼) 𝐼 + (∝ 𝐼) 0 1

𝑛! ∝ 𝐼 0! (𝑛 − 0)!

+

𝐵 𝐵

𝑛! ∝ 1! (𝑛 − 1)!

𝐵

Recordemos que: 𝐼 = 𝐼, 0! = 1 𝐴 =

𝑛! 𝑛! ∝ 𝐼+ ∝ (𝑛 − 1)! 𝑛!

𝐴 =∝ 𝐼 +

𝑛(𝑛 − 1)! ∝ (𝑛 − 1)!

𝐴 =∝ 𝐼 + 𝑛 ∝ 𝐴 =∝ 𝐴 =

𝐴 =

0 −1

+

0 −𝑛 ∝

∝ −𝑛 ∝

0 ∝

0 ∝

𝐵 𝐵

1 0 +𝑛 ∝ 0 1 ∝ 0

𝐵

0 0 0 0

Como ∝= 1 𝐴 =

3.1

1 0 −𝑛 1

Potencia de una Matriz con Scilab Para obtener la potencia de una matriz se definirá la matriz y se le elevara a la potencia correspondiente, así por ejemplo: -->A=[1 0;-1 1] A = 1. - 1. -->A^2 ans = 1. - 2.

0. 1.

0. 1.

-->A^3 ans = 1. - 3.

0. 1.

-->A^4 ans = 1. - 4.

0. 1.

Se puede observar que el único elemento de la matriz que se altera al encontrar las deferentes potencias es el elemento 𝑎 , y este elemento coincide con la potencia de la matriz en ese instante, con lo cual podemos generalizar que la potencia de 𝐴 es: 𝐴 =

1 0 −𝑛 1

4 Inversa de una matriz. En Álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible o inversible (no singular), si existe otra matriz cuadrada B del mismo orden tal que AB=I, si se cumple la matriz B es la inversa de A y se representada como 𝐴 , tal que: 𝐴∗𝐴

=𝐴

∗𝐴=𝐼

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si, su determinante es cero.

4.1

Propiedades de la matriz inversa.   

La inversa de una matriz, si existe, es única. (𝐴 ∗ 𝐵) = 𝐵 ∗ 𝐴 (𝐴 ) = (𝐴 )



(𝛼𝐴)

= 𝐴



(𝐴 )

=𝐴

4.1.1 Métodos para obtener la inversa de una matriz. Se pueden aplicar dos métodos para obtener la inversa de una matriz: 4.1.1.1

Mediante operaciones elementales de fila: Sea 𝐴 ∈ 𝑀 se cumple que (𝐴 ⋮ 𝐼 ) ~ … ~ (𝐼 Ejemplo 25.: Sea 𝐴 =

1 2 , encontrar la Inversa de A 3 4 1 3

− 𝑓

2 1 4 0

0 1 2 𝑓 − 3𝑓 1 0 −2

1 2 1 0 1

0 − 𝐴

4.1.1.2

⋮ 𝐴 ).

𝑓 − 2𝑓

=

1 −3

1 0 −2 0 1

0 1 1 −

−2 1 3 1 − 2 2

Mediante Determinantes. Este método se verá luego de ver determinantes.

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: A y B, en cada uno de los tamaños grande, pequeño y mediana. Produce diariamente 400 grandes, 200 pequeñas y 50 medianas del tipo A, 300 grandes, 100 pequeñas y 30 medianas del tipo B, la del tamaño grande gasta 30 horas de taller y 3 horas de administración, la del tamaño pequeño gasta 20 horas de taller y 2 horas de administración, la del tamaño mediano gasta 15 horas de taller y 1 hora de administración, represente la información en matrices.

2.

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estantería: A,B,C en cada uno de los tamaños grande y pequeño. produce diariamente 2000 estanterías grandes y 4000 pequeñas del tipo A, 5000 grandes y 3000 pequeñas del tipo B, 4000 grandes y 6000

pequeña del tipo C. Cada estantería grande lleva 20 tornillos y 6 soportes y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos, represente esta información en matrices. 3.

Ilustrar cada una de las propiedades de las matrices estudiadas con un ejemplo.

4. a. b. c.

Bajo que circunstancia se da la igualdad. (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 + 2𝐴𝐵 + 𝐵 (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 − 2𝐴𝐵 + 𝐵 𝐴 − 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) (𝐴 + 𝐵) d. (𝐴𝐵) = 𝐴 𝐵

5.

Demostrar que si AB = A y BA = B entonces A y B son matrices Idempotentes.

6.

Si A y B son matrices conmutativas demostrar que 𝐴 ;𝐵 conmutan.

7.

Hallar una matriz 𝐴

8.

Demostrar que si una matriz A satisface la ecuación 𝐴 − 3𝐴 + 𝐼 = 0 entonces 𝐴 3𝐼 − 𝐴.

9.

Cuáles de los enunciados siguientes es verdadero. Justifique su respuesta desarrollando el ejercicio o poniendo un contraejemplo. a. (𝐴𝐵𝐶) = 𝐶 𝐵 𝐴 . b. (𝐴𝐵𝐶 ) = 𝐶 𝐵 𝐴 . c. 𝐴𝐴 es una matriz simétrica. d. Si A y B son matrices simétricas entonces (𝐴𝐵) = 𝐵𝐴 e. Si A y B son matrices simétricas entonces (𝐴 + 𝐵) es simétrica. f. 𝐴 + 𝐴 es una matriz simétrica. g. 𝐴 − 𝐴𝑇 es una matriz antisimétrica. 1 𝑏 h. La matriz 𝐴 = , es involutiva para b número real cualquiera. 0 −1 cos 𝜃 − sin 𝜃 i. La matriz 𝐴 = , es una matriz ortogonal. sin 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝑛𝜃 − sin 𝑛𝜃 j. Si 𝐴 = , entonces 𝐴 = . sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝑛𝜃 cos 𝑛𝜃 1 0 0 1 0 0 k. Si 𝐴 = 0 2 0 , entonces 𝐴 = 0 2 0 0 0 3 0 0 3 l. Si A y B son matrices invertibles entonces A + B es una matriz invertible. m. Si 𝐴 existe, y 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 entonces 𝐵 = 𝐶.

1 10. Si 𝐴 = 1 1 1 11. Si 𝐴 = 2

, tal que 𝑎 = 𝑖 + 𝑗. =

2 5 0 −3 3

3 3 , Explicar 2 métodos diferentes como hallar 𝐴 y cual es la inversa. 8 1 2 3 2 4 , 𝐵 = 3 5 𝑦 𝐶 = 1 0 , Calcular: B+C; AB; BA; AC; 1 2 0 −1 4 CA; A(3B- 2C ).

12. Sabiendo que A y B son conmutables y que además: a. A es idempotente y B es involutiva, pruebe que (𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵) = 8𝐴. b. A es involutiva y B es idempotente, pruebe que (𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵) = 8𝐵. 13. Hallar los valores de k , tal que es idempotente.:

𝑘 a. 𝐴 = 0 0 b. 𝐴 =

0 0 𝑘 0 , 𝑘+4 0

0 0 𝑘 𝑘 𝑘+2 0

𝑘+2 𝑘 0

𝑝 0 , donde 𝑝 es un escalar e 𝑖 es la unidad imaginaria, verificar que 𝐴 = 𝑖 𝑝 2𝑝𝐴 − 𝑝 𝐼, obtenga 𝐴 .

14. Sea 𝐴 =

15. Demostrar que si A y B son matrices cuadradas simétricas conmutativas de un mismo orden, entonces la matriz: C = ABAB…..ABA es simétrica. 16. Demostrar que el producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica, sii las matrices dadas son conmutativas. 17. Demostrar que el producto de dos matrices antisimétrica es una matriz simétrica si y sólo si, las matrices dadas son conmutativas. 18. Demuestre que A y B conmutan, sí y solo sí 𝐴 − 𝑘𝐼 y 𝐵 − 𝑘𝐼 , conmutan para cierto escalar k. 19. Si A conmuta con B, demuestre que la transpuesta de A conmuta con la transpuesta de B. 20. Si A y B son matrices cuadradas y A es no singular, verifique que: (𝐴 + 𝐵)𝐴 (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵)𝐴 (𝐴 + 𝐵) 21. Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz: 𝐴 =

1 1 . 0 1

5 DETERMINANTES. Históricamente la teoría de los determinantes precedió a la teoría de matrices, y muchos resultados familiares de la teoría de matrices fueron originalmente formulados en términos de determinantes. Definición: El determinante de una matriz 𝐴 = 𝑎 función: 𝑑𝑒𝑡:

5.1

𝜖 𝑀 (𝐾), notado det(𝐴) 𝑜 |𝐴| es la

𝑀 →𝐾 𝐴 → det(𝐴)

Métodos de para obtener el determinante de una matriz.

5.1.1 Determinante de una matriz de orden dos. Sea 𝐴 = 𝑎

, el determinate queda definido de la siguiente manera. 𝑎 𝐴= 𝑎 𝑎 |𝐴| = 𝑎

Ejemplo 26:

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎 =𝑎 𝑎

−𝑎 𝑎

Sea 𝐴 =

1 2 , encontrar su determinante. −3 5 |𝐴| = 1 2 = (1)(5) − (−3)(2) −3 5 |𝐴| = 5 + 6 |𝐴| = 11

5.1.2 Determinante de un amatriz de orden tres Sea 𝐴 = 𝑎 , para obtener su determinante se puede ocupar el método de Sarrus, que consiste en aumentar las dos primeras filas al ultimo de la matriz, o las dos primeras columnas en la parte derecha de la matriz, asi: 𝑎 𝑎 𝑎 Sea 𝐴 = 𝑎 𝑎 𝑎 siguiente manera: 

, su determinante aplicando el método de Sarrus quedaraá de la

Aumentando las dos primeras filas. 𝑎 𝑎 |𝐴| = 𝑎 𝑎 𝑎

|𝐴| = 𝑎 𝑎 𝑎

𝑎 𝑎 𝑎

𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎

+𝑎 𝑎 𝑎

𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 𝑎

−𝑎 𝑎 𝑎

−𝑎 𝑎 𝑎

−𝑎 𝑎 𝑎

−𝑎 𝑎 𝑎

−𝑎 𝑎 𝑎



Aumentando las dos primeras columnas 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 |𝐴| = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 |𝐴| = 𝑎 𝑎 𝑎

+ 𝑎 𝑎 𝑎

Ejemplo 27: Sea 𝐴 =

+𝑎 𝑎 𝑎

1 3 2 4 −3 0

−𝑎 𝑎 𝑎

−1 5 , encontrar su determinante. −2 1 2 |𝐴| = −3 1 2

3 −1 4 5 0 −2 3 −1 4 5

|𝐴| = (1)(4)(−2) + (2)(0)(−1) + (−3)(3)(5) − (−1)(4)(−3) − (5)(0)(1) − (−2)(3)(2) |𝐴| = −8 + 0 − 45 − 12 − 0 + 12 |𝐴| = −53

5.1.3 Método por menores para encontrar el determinante de una matriz. Este método es generalmente utilizado para encontrar el determinante de una matriz de orden mayor que tres. Esta definida por: 1. Si 𝑛 = 1, det(𝑎 ) = 𝑎 2. Si 𝑛 > 1, las siguientes son dos formas equivalentes de definir el det(𝐴)

a. El desarrollo del determinante por menores por la r-esima fila de A. |𝐴| = ∑ (−1) 𝑎 𝐴 , Donde 𝐴 es la matriz 𝑛 − 1 que resuslta de quitar de la matriz A la fila 𝑟 y la columna 𝑗 para 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 b. El desarrollo del determinante por menores por la s-esima columna de A. |𝐴| = ∑ (−1) 𝑎 |𝐴 | , Donde 𝐴 es la matriz 𝑛 − 1 que resuslta de quitar de la matriz A la fila 𝑖 y la columna 𝑠 para i= 1,2, … , 𝑛 En este método se puede identificar los siguientes elementos: Elemento

Menor

Cofactor

|𝐴 |

𝑎

(−1)

|𝐴 |

Se llama menor del elemento 𝑎 de un determinante A de orden n al determinante |𝐴 | de orden (𝑛 − 1) que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna s de A. Se llama cofactor del elemento ais del determinante A, al menor |𝐴 | con el signo (-1)i+s y se denota 𝐴 , esto es 𝐴 = (−1)

|𝐴 |

Ejemplo 28: Determinar el determinante de la matriz A. 1 3 𝐴 = 2 −1 0 4 |𝐴| =

(−1)

1 2 3 𝑎

𝐴

Para este ejemplo se desarrolla con la fila 2 |𝐴| =

|𝐴| = (−1) |𝐴| = (−1)

3 4 3 2 4

𝑎

(−1)

1 + (−1) 3 1 + (−1) 3

𝑎

𝐴

1 0 1 (−1) 0 𝑎

1 + (−1) 3 1 + (−1) 3

1 0 1 2 0

𝑎

3 4 3 4

|𝐴| = (−1)(2)(5) + (1)(−1)(3) + (−1)(2)(4) |𝐴| = −10 − 3 − 8 |𝐴| = −21 Para agilizar el cálculo de un determinante, es preferible hacer el desarrollo por menores por la fila o la columna que tenga mayor cantidad de ceros

5.1.4 Determinantes con Scilab. Definir la matriz y utilizar el comando: -->det(A) A

= 1. - 4. 1.

- 2. - 1. - 3.

4. 5. 8.

-->det(A) ans = - 15.

5.1.5 Propiedades de los determinantes 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Sean 𝐴, 𝐵 𝜖 𝑀(𝑅) |𝐴| = |𝐴 | Si B se obtiene de A intercambiando dos filas (o columnas) cualquiera entonces: |𝐵| = −|𝐴| Si B se obtiene de A sumando un múltiplo de un fila (o columna) a otro fila (o columna) de A, entonces. |𝐵| = |𝐴| Si la matriz A es triangular (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces |𝐴| = 0 Si A tiene dos filas (o columnas) que son iguales, entonces |𝐴| = 0. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son múltiplos entre sí, entonces |𝐴| = 0. Si A es cualquier matriz y 𝑘 es cualquier escalar, y este escalar se multiplica por una sola fila (o columna), entonces su nuevo determinante será k|𝐴| Si A es cualquier matriz y 𝑘 es cualquier escalar, entonces |𝑘𝐴| = 𝑘 |𝐴| El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores.|𝐴𝐵| = |𝐴||𝐵|, |𝐴 𝐴 … 𝐴 | = |𝐴 ||𝐴 | … |𝐴 | |𝐴 | = |𝐴| Utilizando cualquiera de los dos Software comprobar las propiedades de los determinantes.

5.2

Adjunta de una Matriz. Consideremos una matriz cuadrada 𝐴 = 𝑎

sobre un campo K. La adjunta de A,

denotado por 𝑎𝑑𝑗 (𝐴), es la traspuesta de la matriz de cofactores de A: 1 2 −1 Ejemplo 28.: Sea 𝐴 = 0 −3 2 2 1 5 Los cofactores de los nueve elementos de A son: 𝐴

= (−1)

𝐴

= (−1)

𝐴

= (−1)

−3 2 𝐴 = (−1) 1 5 2 −1 𝐴 = (−1) 1 5 2 −1 𝐴 = (−1) −3 2 𝐴

0 2 0 −3 𝐴 = (−1) 2 5 2 1 1 −1 1 2 𝐴 = (−1) 2 5 2 1 1 −1 1 2 𝐴 = (−1) 0 2 0 −3

= −17 𝐴

=4 𝐴

=6

𝐴 𝐴

= −11 𝐴 = 7 𝐴 = 3 = 1 𝐴 = −2 𝐴 = −3

Por lo tanto su adjunta es : −17 4 −11 7 1 −2

𝑎𝑑𝑗(𝐴) =

5.3

6 3 −3

Inversa de una matriz mediante determinantes. Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula: 𝐴

=

1 𝑎𝑑𝑗(𝐴) |𝐴|

Donde 𝑎𝑑𝑗(𝐴) es la transpuesta de la matriz adjunta de la matriz original 𝐴; |𝐴| es el determinante de A . Cuando la matriz tiene más de tres filas, está fórmula no es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes. 1 2 Ejemplo 29.: Sea 𝐴 = 0 −3 2 1

−1 2 , encontrar 𝐴 5 1 2 −1 A= 0 −3 2 = −9 2 1 5 𝐴

=

1 𝑎𝑑𝑗(𝐴) |𝐴|

De la matriz A ya encontramos su adjunta: 𝑎𝑑𝑗(𝐴) =

−17 −11 1

𝐴

=

6 1 −17 4 −11 7 3 −9 1 −2 −3

𝐴

=

1 −17 −11 1 4 7 −2 −9 6 3 −3

4 7 −2

6 3 −3

− 𝐴

⎛ = ⎜−

−

− ⎝

−

⎞ ⎟ ⎠

Inversa de una Matriz mediante Scilab Se procederá como en el caso de obtener la potencia de una matriz, pero su exponente será -1 de tal forma que se obtendrá la inversa. Así por ejemplo:

A

= 1. - 1.

0. 1.

-->A^-1 ans = 1. 1.

0. 1.

Recordemos que : 𝐴 ∗ 𝐴

=𝐴

∗𝐴 =𝐼

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.

𝑎 Si 𝑑 𝑔 a)

d) 2. Si 𝐴

𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 = −6 , Hallar: ℎ 𝑖 2𝑎 2𝑏 2𝑐 𝑔 3𝑑 3𝑒 3𝑓 = , b) 𝑎 𝑔 ℎ 𝑖 𝑑 −𝑎 −𝑏 −𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 = 𝑔 ℎ 𝑖

𝑏+𝑐 𝑎 1

Demostrar que :

4.

1 Demostrar que : 𝑎 𝑎

5.

Demostrar que:

6.

3 Considere que:𝐴 = −2 5

8.

9.

𝑎+𝑔 𝑖 𝑐 =, c) 𝑑 𝑓 𝑔

𝑏+ℎ 𝑒 ℎ

𝑐+𝑖 𝑓 = 𝑖

y |𝐴| =2; calcular: a) |𝐴| b) |𝐴 | c) |2𝐴 | d) |(2𝐴) |

3.

7.

ℎ 𝑏 𝑒

𝑐+𝑎 𝑏 1

1 𝑏 𝑏

𝑎+𝑏 1 𝑏+1

𝑏+𝑎 =0 𝑐 1

1 𝑐 = (𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏). 𝑐 𝑏+𝑐 1 𝑐+1

𝑐+𝑑 𝑎 = 1 1 𝑑+1 𝑏

0 c. 𝐴 𝑎𝑑𝑗𝐴 3 , hallar: a. 𝑎𝑑𝑗𝐴 b. 𝑎𝑑𝑗𝐴 −2 −𝛼 𝛼−1 𝛼+1 Para que valores de 𝛼, la matriz A tiene inversa 𝐴 = 1 2 3 2−𝛼 𝛼+3 𝛼+7 1 0 0 3 2 7 0 6 Calcular 0 6 3 0 7 3 1 −5 Calcular

3𝑎 + 𝑏 3𝑎 − 𝑏

1 4 4

𝑏 𝑐 1 1 𝑐 𝑑

3𝑎 − 𝑏 3𝑎 + 𝑏

1 cos(𝛼) cos(2𝛼) 10. Calcular cos(𝛼) cos(2𝛼) cos(3𝛼) cos(2𝛼) cos(3𝛼) cos(4𝛼)

𝑥 0 4 0 1 0 𝑥 0 ⎛ 11. Dada la matriz: 𝐴 = ⎜5 𝑥 + 3 5 𝑥 + 2 2 −1 2 1 1 3 𝑥+1 ⎝3 polinomio en x y sus raíces son : -3, -2, -1, 1, 2 12. Demostrar que

𝑎−𝑏−𝑐 2𝑏 2𝑐

2𝑎 𝑏−𝑎−𝑐 2𝑐

0 0 ⎞ 𝑥 − 1⎟ Verificar que |A| en un 𝑥−1 0 ⎠

2𝑎 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 2𝑏 𝑐−𝑎−𝑏

á .{ }

13. Sea 𝐴 = 𝑎

𝜖𝑀 tal que 𝑎 = 2

.Hallar |𝐴|.

14. Sea 𝐴 = 𝑎

𝜖𝑀 tal que 𝑎 = min{𝑖, 𝑗}.Hallar |𝐴|

15. Sea 𝐴 = 𝑎

𝜖𝑀 tal que 𝑎 = 𝑚á𝑥{𝑖, 𝑗}.Hallar |𝐴|

16. Sea 𝐴 = 𝑎

1 𝑠𝑖 𝑖 0 𝜖𝑀 tal que 𝑎 = 1 −1

=𝑗=1 𝑠𝑖 = 𝑗 .Demostrar |𝐴| = 1 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗

17. Calcular los siguientes determinantes:

a.

1 2 3 4 −1 0 3 4 −1 −2 0 4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −1 −2 −3 −4 −1 −2 −3 −4

b.

1 1 0 ⋮ 0 0

1 1 1 ⋮ 0 0

0 1 1 ⋮ 0 0

… … … … … …

0 0 0 ⋮ 1 1

… 𝑛−1 … 𝑛−1 … 𝑛−1 … ⋮ … 0 … −(𝑛 − 1)

𝑛 𝑛 𝑛 ⋮ 𝑛 0

0 0 0 ⋮ 1 1

6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas, las ecuaciones lineales con dos incógnitas representan una recta en el plano, si la ecuación lineal tiene tres incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales.

6.1

Sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯+ 𝑎 𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯+ 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⋮ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯+ 𝑎 𝑥 = 𝑏 En este caso tenemos 𝑚 ecuaciones y 𝑛 incógnitas Los números reales 𝑎 se denominan coeficientes y los 𝑥 se denominan incógnitas (o números a determinar) y 𝑏 se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean dos se suelen designar simplemente por 𝑥 𝑒 𝑦 en vez de 𝑥 𝑦 𝑥 , y en el caso de tres, 𝑥, 𝑦, 𝑧 en lugar de 𝑥 , 𝑥 𝑦 𝑥 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

6.2

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

𝐴=

𝑎 𝑎 … 𝑎

𝑎 𝑎 … 𝑎

𝑋=

𝑥 𝑥 ⋮ 𝑥

𝑎 𝑎 … 𝑎

… 𝑎 … 𝑎 ⋱ … … 𝑎

𝐵=

𝑏 𝑏 ⋮ 𝑏

Donde: a. A, es la matriz de los coeficientes. b. X, es la matriz de las incógnitas c. B, es la matriz del término independiente. Un sistema de ecuaciones se les puede representar de la siguiente manera: 𝐴𝑋 = 𝐵 𝑎 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝑥 𝑏 . ⋮ = ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝑥 𝑏 La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:

(𝐴|𝐵) =

𝑎 𝑎 ⋮ 𝑎

𝑎 𝑎 ⋮ 𝑎

𝑎 𝑎 ⋮ 𝑎

… 𝑎 … 𝑎 ⋱ ⋮ … 𝑎

𝑏 𝑏 ⋮ 𝑏

se llama matriz ampliada del sistema y se representará por (𝐴|𝐵) o b ien por A∗

6.3

Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales. La solución de un sistemas de ecuaciones lineales es un conjunto de valores que al reemplazarlos en dichas ecuaciones satisfacen la ecuación. El conjunto solución se lo representa de la siguiente manera: 𝑆 = (𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , … , 𝑠 ) Para que sea solución se debe cumplir que: 𝐴𝑆 = 𝐵

6.4

Sistemas Lineales Homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝐵 se llama homogéneo si 𝐵 = 𝑂. Si 𝐵 ≠ 𝑂 el sistema se llama no homogéneo.

6.5

Tipos de sistemas de Ecuaciones Lineales En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo de las soluciones que tenga un sistema, éstos se pueden clasificar en: ∗ 𝐼𝑁𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸𝑆 (𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛) ∗ 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂𝑆 (𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎) ∗ 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸𝑆 (𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛) ∗ 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂𝑆 (𝐼𝑛fi𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)

6.6

Sistemas de ecuaciones de dos incógnitas. Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y dos ecuaciones, y que ya son conocidos. Hay varios métodos para resolverlos, los más habituales son:    

6.7

Reducción Igualación Sustitución Gráfico.

Sistemas de ecuaciones de tres incógnitas. En este tipo de sistemas tenemos tres incógnitas y los métodos más habituales son:  Eliminación Gaussiana.  Método de Cramer.  Gráfico (Interpretación Geométrica de las ecuaciones.)

6.7.1 Eliminación Gaussiana. Este método consiste en llevar la matriz aumentada del sistema a su forma escalonada o escalonada reducida. Ejemplo 30: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 11 𝑥 − 3𝑦 = 20 4𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 8 Su representación matricial será: 2 (𝐴|𝐵) = 1 4

1 −1 ⋮ 11 −3 0 ⋮ 20 2 5 ⋮ 8

Para llevarle a su forma escalonada se necesita aplicarle operaciones elementales a esta última matriz. Para este caso utilizaremos Scilab: -->A=[2 1 -1 11;1 -3 0 -20;4 2 5 8] A = 2. 1. 4.

1. - 3. 2.

- 1. 0. 5.

-->A(1,:)=0.5*A(1,:) A = 1. 0.5 - 0.5 1. - 3. 0. 4. 2. 5.

11. -20. 8.

5.5 -20. 8.

-->A(2,:)=A(2,:)-A(1,:) A = 1. 0.5 - 0.5 5.5 0. - 3.5 0.5 - 25.5 4. 2. 5. 8. -->A(3,:)=A(3,:)-4*A(1,:) A = 1. 0.5 - 0.5 5.5 0. - 3.5 0.5 25.5 0. 0. 7. - 14. ->A(3,:)=(1/7)*A(3,:) A = 1. 0.5 - 0.5 5.5 0. - 3.5 0.5 - 25.5 0. 0. 1. - 2.

El sistema escalonado nos quedaría de la siguiente manera: 1 1 5 𝑥+ 𝑦− 𝑧= 2 2 2 7 1 29 − 𝑦+ 𝑧= 2 2 2 𝑧 = −2 Por lo tanto la variable z=-2, para encontrar el valor de la variable y se deberá remplazar este valor en la ecuación superior, con estos valores de z e y se puede encontrar el valor de x. La solución es (1,7,−2).

Teorema: Sea el sistema lineal de m ecuaciones con 𝑛 incógnitas cuya representación matricial es 𝐴𝑋 = 𝐵. 1. Si 𝑟𝑎𝑛 𝐴 < 𝑟𝑎𝑛(𝐴 | 𝐵), el sistema no tiene solución. 2. 𝑆𝑖 𝑟𝑎𝑛 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛(𝐴 | 𝐵) = 𝑟, el sistema tiene solución. Si, además, r = n, tal solución es única. Si, además, r < n, el sistema tiene número infinito de soluciones con n − r parámetros. Ejemplo 30.: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. 𝑥+𝑦−𝑧=5 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0 −𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −5 1 1 −1 5 1 1 −1 5 𝑓 − 2𝑓 1 1 −1 5 1 3 2 −3 1 0 0 −5 3 −10 − 𝑓 0 1 − 2 𝑓 +𝑓 5 5 −1 −1 1 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 En este caso se puede observar que el rango de la matriz es 2, por lo tanto el sistema tendrá infinitas soluciones que se obtienen de la siguiente manera: Escribimos el sistema escalonado que se obtiene de la matriz aumentada, sin tomar en cuenta las filas nulas: 𝑥+𝑦−𝑧=5 3 𝑦− 𝑧=0 5 En este caso de la última ecuación despejamos la incógnita "𝑦" 𝑦=

3 𝑧 5

Ésta última ecuación queda en función de la incógnita "𝑧", y la reemplazmo en la primera ecuación para encontrar la incógnita "𝑥" en función de "𝑧" 3 𝑥+ 𝑧−𝑧 = 5 5 2 𝑥 =5+ 𝑧 5 Por lo tanto la solución que dará de la siguiente manera: 2 3 𝑥 = 5 + 𝑧, 𝑦 = 𝑧, 𝑧=𝑧 5 5 Una de las infinitas soluciones se obtiene dando valores a la variable "𝑧", entonces para 𝑧 = 1, tendremos: 27 3 𝑥= , 𝑦= , 𝑧=1 5 5

6.7.2 Método de Cramer.

Está definido por 𝑋 = 𝐴

∗ 𝐵. Del ejemplo anterior se tiene que:

𝑥 2 1 −1 11 𝐴 = 1 −3 0 ; 𝑋 = 𝑦 𝐵 = 20 𝑧 4 2 5 8 𝑥 2 1 −1 11 𝑦 = 1 −3 0 ∗ 20 𝑧 4 2 5 8 Utilizando Scilab : -->A=[2 1 -1;1 -3 0;4 2 5]; -->B=[11;-20;8]; -->X=(A^-1)*B X = 1. 7. - 2.

Análisis del Método de Cramer.  

El método de Cramer se utiliza únicamente en sistemas de ecuaciones lineales que tengan el mismo número de ecuaciones y de incógnitas. Si |𝐴| = 0, existe la posibilidad que el sistema no tenga solución o tena infinitas soluciones.

Ejemplo 31.: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (∝ +1)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + (∝ +1)𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑦 + (∝ +1)𝑧 = 1 Determinar el valor del parámetro ∝ para que el sistema tena: a. Única solución. b. Infinitas Soluciones c. No tenga solución. Bastará con analizar una de las incógnitas, para este caso analizaremos en la incógnita x. 1 1 1 1 ∝ +1 1 ∝ 1 ∝ +1 = 𝑥= 1 ∝ +1 1 1 ∝ +3∝ 1 ∝ +1 1 1 1 ∝ +1 𝑥=

∝ ∝ = ∝ +3 ∝ ∝ (∝ +3)

Si ∝= 0|, entonces 𝑥 = , por lo tanto el sistema tendría infinitas soluciones. Si ∝= −3, entonces 𝑥 = sistema no tiene solución Si ∝≠ 0 ∧ ∝≠ −3 el sistema tiene única solución.

6.7.3 Método Grafico: El método gráfico se puede utilizar para obtener la solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres incógnitas.

Una de las mayores complicaciones es graficar en 𝑅 , y aun mas su interpretación, debido a que al tratar de graficar con papel y lápiz no se puede apreciar los puntos de corte de los planos resultantes en el caso de tener sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, para lo cual es recomendable utilizar un software que nos ayude con la gráfica de las ecuaciones, de tal manera que resulte mucho más fácil la interpretación de los resultados. Utilizando Scilab. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 11 𝑥 − 3𝑦 = 20 4𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 8 Hay algunas formas de graficar planos en Scilab, una de las más sencillas está expuesta de la siguiente manera: 1. Lo primero que tendremos que hacer es despejar la variable y de cada una de las ecuaciones dadas. Para nuestro caso específico tendremos:

𝑦 = 11 − 2𝑥 + 𝑧 𝑥 − 20 𝑦= 3 8 − 4𝑥 − 5𝑧 𝑦= 2 2.

Lugo escribimos los comando en Scilab de esta forma:

[x,z]=meshgrid(-10:0.4:10);//Definimos el rango de x y z y1=11-2*x+z;//definimos la primera ecuación. mesh(x,y1,z,'Edgecolor','red')//comando utilizado para graficar,'red' indica que el plano tomara el color rojo. y2=(x-20)/3;//segunda ecuación mesh(x,y2,z,'Edgecolor','yellow')//plano color amarillo y3=(8-4*x-5*z)/2; mesh(x,y3,z,'Edgecolor','blue') xtitle("Solución Gráfica de un S.E.L","x","y","z")//Título del gráfico xgrid()

3. El resultado es la intersección de los planos, en el gráfico se observa que los tres planos se intersecan en un solo punto.

Figura 1. - Interpretación Geométrica de la solución de un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas 4. Con el mouse se le puede girar la figura para poder apreciar de una mejor manera el resultado del sistema de ecuaciones lineales.

Figura 2 - Interpretación Geométrica de la solución de un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas En la interpretación gráfica se pueden presentar los siguientes casos: 5.

Los tres planos no se cortan en un solo punto, se puede observar que el plano de color rojo y de color amarillo no se cortan, es decir los planos pueden cortarse de dos en dos por lo tanto el sistema no tendría solución.

Figura 3 - Interpretación Geométrica un sistema de ecuaciones que no tiene solución.

6.

Si los planos se intersecan en un conjunto de puntos comunes, es decir los planos se intersecan en una recta común. El sistema tiene infinitas soluciones.

Figura 4. Interpretación Geométrica un sistema de ecuaciones que no tiene infinitas soluciones.

EJERECICIOS PROPUESTOS. 1. Calcular las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

i.

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 1 −4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3 −2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 4 10𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = −10

ii.

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = 3 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2𝑡 = 1 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 3𝑡 = 4 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 7𝑡 = 4

iii.

𝑥+𝑦+𝑧=1 𝑥−𝑦+𝑧=0 𝑥+𝑦−𝑧=1 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0

iv.

𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1 𝑥+𝑦+𝑧 =3 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 1

v.

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3 3𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 0 4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 𝑥 + 3𝑦 − 13𝑧 = −6

vi.

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 3𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 0 𝑥 + 17𝑦 + 4𝑧 = 0

vii.

𝑥+𝑦+𝑧+𝑢+𝑣 =7 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑢 − 3𝑣 = −2 𝑦 + 2𝑧 + 2𝑢 + 6𝑣 = 23 5𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 + 3𝑢 − 𝑣 = 12

2. Las ecuaciones para hallar las intensidades de corriente 𝑖 ; 𝑖 ; 𝑖 ; en un determinado circuito de tres mallas son: 3𝑖 − 2𝑖 + 4𝑖 = 2 𝑖 + 3𝑖 − 6𝑖 = 8 2𝑖 − 𝑖 − 2𝑖 = 0 Hallar 𝑖 ; 𝑖 ; 𝑖 3. Hallar los valores de la constante ∝ para que el sistema: i. Tenga solución única ii. No tenga solución iii. Tenga infinitas soluciones a.

𝑥+𝑦−𝑧 =1 2𝑥 + 3𝑦+∝ 𝑧 = 3 𝑥+∝ 𝑦 + 3𝑧 = 2

b.

𝑥 + 2𝑦+∝= 1 2𝑥+∝ 𝑦 + 8𝑧 = 3

c.

𝑥 + 𝑦+∝ 𝑧 = 2 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 =∝ 2𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 1

d.

𝑥+𝑦−𝑧 =2 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3 𝑥 + 𝑦 + (∝ − 5)𝑧 =∝

e.

∝ 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 =∝ +1 𝑥+∝ 𝑦 − 𝑧 = −1 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =∝

f.

(∝ +1)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + (∝ +1)𝑦 + 𝑧 = 1 (∝ +3)𝑥 + (2 ∝ +4)𝑦 + (1−∝)𝑧 = 2

4. Discuta los valores de 𝛼 𝑦 𝛽 del siguiente sistema de ecuaciones

𝑥+𝑦+𝑧 = 1 2𝑥 − 𝛼𝑦 + 𝑧 = 1 −3𝑥 + (𝛼 − 1)𝑦 + 𝛽𝑧 = 2𝛽

7. ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES. 7.1

Espacios Vectoriales.

Sea V un conjunto no vacío, sobre el cual se han definido dos operaciones, la suma de dos elementos del conjunto V y la multiplicación de un escalar ∝∈ 𝐾 por un elemento de V, se dice que V es un espacio vectorial 〈𝑉; 𝐾; +;∗〉 si cumple con las siguientes propiedades: Sea 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 𝜖𝑉 y 𝛼 ∧ 𝛽 ∈ 𝐾 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

𝑢+𝑣 𝜖𝑉 𝑢+𝑣 =𝑣+𝑢 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 𝑢+∅=𝑢 𝑢 + (−𝑢) = ∅ 𝛼𝑢 𝜖𝑉 𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 (𝛼 + 𝛽)𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 𝛼(𝛽𝑢) = (𝛼𝛽)𝑢 1𝑢 = 𝑢

Ejemplos 32: Demostrar el axioma conmutativo en el espacio vectorial de las funciones reales Sean 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝐹, 𝛼𝑦𝛽 ∈ 𝑅

i. ii. iii. iv. v.

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑔 + 𝑓)(𝑥) (𝑔 + 𝑓)(𝑥) = (𝑔 + 𝑓)(𝑥) 𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑜 (𝑔 + 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) 𝑑𝑒𝑡. 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑔 + 𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 (𝑔 + 𝑓)(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥)

Ejemplos 33: Demostrar el axioma asociativo en el espacio vectorial ℝ Sean 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 𝜖 ℝ 𝑢 = (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) 𝑣 = (𝑦 , 𝑦 , … , 𝑦 ) 𝑤 = (𝑧 , 𝑧 , … , 𝑧 ) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 i. ii. iii.

𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) + (𝑦 + 𝑧 , 𝑦 + 𝑧 , … , 𝑦 + 𝑧 ) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) + (𝑦 , 𝑦 , … , 𝑦 ) + (𝑧 , 𝑧 , … , 𝑧 )

iv. v.

𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 , … , 𝑥 + 𝑦 ) + (𝑧 , 𝑧 , … , 𝑧 ) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 Ejemplos 34: Demostrar el axioma del producto de un escalar por la suma de vectores en el espacio vectorial de los polinomios de grado n con coeficientes reales Sea 𝑄 (𝑥), 𝑅 (𝑥), ∈ 𝑃 (𝑥) ; 𝛼 ∈ ℝ 𝑄 (𝑥) = 𝑎 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 𝑅 (𝑥) = 𝑏 + 𝑏 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑥 ∝ [𝑄 (𝑥) + 𝑅 (𝑥)] = ∝ 𝑄 (𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥)

i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii.

∝ ∝ ∝ ∝ ∝ ∝ ∝ ∝

7.2

𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 𝑄

(𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥)+∝ 𝑅

(𝑥) = ∝ 𝑄 (𝑥)+∝ 𝑅 (𝑥) (𝑥) = ∝(𝑎 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 )+∝ (𝑏 + 𝑏 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑥 ) (𝑥) = ∝ 𝑎 +∝ 𝑎 𝑥 + ⋯ +∝ 𝑎 𝑥 +∝ 𝑏 +∝ 𝑏 𝑥 + ⋯ +∝ 𝑏 𝑥 (𝑥) = ∝ 𝑎 +∝ 𝑏 +∝ 𝑎 𝑥+∝ 𝑏 𝑥 + ⋯ +∝ 𝑎 𝑥 +∝ 𝑏 𝑥 (𝑥) = ∝ (𝑎 + 𝑏 ) +∝ (𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥) + ⋯ +∝ (𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 ) (𝑥) = ∝ [(𝑎 + 𝑏 ) + (𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥) + ⋯ + (𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 )] (𝑥) =∝ [(𝑎 +𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 ) + ( 𝑏 + 𝑏 𝑥 + ⋯+𝑏 𝑥 )] (𝑥) =∝ 𝑄 (𝑥) + 𝑅 (𝑥)

Subespacios Vectoriales

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V 〈𝑉; 𝐾; +;∗〉 a cualquier subconjunto no vacío 𝑆 ⊂ 𝑉 que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V. Si V es un espacio vectorial y 𝑆 ⊂ 𝑉, 𝑆 ≠ ∅, entonces: S es subespacio vectorial de 𝑉 ⇔

𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑆; ∀𝒖, 𝒗 ∈ 𝑆, 𝛼𝒖 ∈ 𝑆; ∀𝛼 ∈ 𝐾 𝑦 𝒖 ∈ 𝑆

Ejemplos 35: Determinar si el conjunto 𝑤 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ : 𝑦 − 2𝑥 = 0} es un subespacio de ℝ Sean: 𝑢 𝑦 𝑣 𝜖𝑊 ; 𝑢 = (𝑥 , 2𝑥 ) 𝑦 𝑣 = (𝑥 , 2𝑥 ) Por demostrar que: 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 𝑦 𝛼 𝑢 ∈ 𝑊. 1. 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 i. 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 ii. 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 , 2𝑥 ) + (𝑥 , 2𝑥 ) iii. 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑥 , 2𝑥 + 2𝑥 ) iv. 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑥 , 2(𝑥 , +𝑥 )) v. 𝑢 + 𝑣 = (𝑥, 2𝑥) 2. 𝛼 𝑢 ∈ 𝑊. i. 𝛼𝑢 = 𝛼𝑢 ii. 𝛼𝑢 = 𝛼(𝑥 , 2𝑥 ) iii. 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥 , 𝛼2𝑥 )

Axioma reflexivo Definición de vectores Defi. Suma de Vectores Axi. Recolectivo dela suma de R

Axioma reflexivo Definición de vector Definición de producto por escalar.

iv. v.

𝛼𝑢 = (𝛼𝑥 , 2𝛼𝑥 ) 𝛼𝑢 = (𝑥, 2𝑥)

Axioma conmutativo del producto de R

El espacio vectorial ℝ se lo puede representar como el conjunto de todos los pares ordenados que se encuentren en el plano 𝑥𝑦, y el subespacio vectorial como el conjunto de pares ordenados que pasan por el origen del plano formando la recta ue se encuentra en color rojo. Lo que se acaba de probar es que: si tomamos dos puntos sobre la recta que representa el conjunto W y lo sumamos, debe caer en el mismo conjunto W, para este caso en en la misma recta, de igual forma si multiplicamos un escalar por un punto que pertenezca a la recta, el resultado deberá caer en la misma recta.

Ejemplos 36: Determinar cuál de los Subconjuntos son subespacios vectoriales de ℝ : a. 𝑺𝟏 { (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ ℝ𝟑 : 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎} Del conjunto dado tenemos que: 𝑥 = 2𝑦 − 𝑧 Tomamos dos vectores u y v del conjunto dado: 𝑢 = (2𝑦 − 𝑧 , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑦 𝑣 = (2𝑦 − 𝑧 , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑢+𝑣 ∈ 𝑆 𝑢+𝑣 𝑢+𝑣 𝑢+𝑣 𝑢+𝑣 𝑢+𝑣

𝑢+𝑣 = 𝑢+𝑣 = (2𝑦 − 𝑧 , 𝑦 , 𝑧 ) + (2𝑦 − 𝑧 , 𝑦 , 𝑧 ) = (2𝑦 − 𝑧 + 2𝑦 − 𝑧 , 𝑦 +𝑦 , 𝑧 + 𝑧 ) = (2𝑦 + 2𝑦 − 𝑧 − 𝑧 , 𝑦 +𝑦 , 𝑧 + 𝑧 ) = [(2(𝑦 + 𝑦 ) − (𝑧 − 𝑧 ), ( 𝑦 +𝑦 ), ( 𝑧 + 𝑧 )] = (2𝑦 − 𝑧, 𝑦, 𝑧)

Definición de vectores Definición suma de vectores Axi. conmutativo de suma de ℝ Axioma recolectivo

∝𝑢∈ 𝑆 ∝ 𝑢 =∝ (2𝑦 − 𝑧 , 𝑦 , 𝑧 ) ∝ 𝑢 = (2 ∝ 𝑦 −∝ 𝑧 , ∝ 𝑦 , ∝ 𝑧 ) ∝ 𝑢 = (2𝑦 − 𝑧, 𝑦, 𝑧 )

∝𝑢 =∝𝑢 Axioma reflexivo Definición suma de vectores L.Q.Q.D.

Se puede observar que el conjunto cumple con las dos propiedades, por lo tanto el conjunto 𝑆 , es un subespacio vectorial de ℝ𝟑 b. 𝑺𝟐 = { (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ ℝ𝟑 : 𝒙 + 𝒚 = 𝒛 − 𝟏 } El conjunto 𝑆 no es un subespacio vectorial de ℝ , ya que no posee elemento neutro Ejemplos 37: Determinar si el siguiente conjunto W es un subespacio vectorial de 𝑴𝒂𝒕 (𝑹)𝟐 . 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅

𝑾=

∈ 𝑴𝒂𝒕 (𝑹)𝟐 ∶ 𝒂 − 𝒃 = 𝟎

De la condición dada tenemos que 𝒂 = 𝒃, por lo tanto sus elementos serán: 𝑎 𝐴= 𝑐

𝑎 𝑑

𝑎 𝐵= 𝑐

𝑎 𝑑

; 𝐴𝑦 𝐵 𝜖𝑊

Por demostrar que: 𝐴 + 𝐵 𝜖 𝑊 Axioma reflexivo

𝐴+𝐵 =𝐴+𝐵 𝑎 𝐴+𝐵= 𝑐

𝑎 𝑑

𝐴+𝐵=

𝑎 +𝑎 𝑐 +𝑐

𝐴+𝐵=

𝑎 𝑎 𝑐 𝑑

𝑎 + 𝑐

𝑎 𝑑

Definición de matrices

𝑎 +𝑎 𝑑 +𝑑

Definición de suma de R

Por demostrar que: 𝛼𝐴 𝜖 𝑊 Axioma reflexivo

𝛼𝐴 = 𝛼𝐴 𝑎 𝛼𝐴 = 𝛼 𝑐

𝑎 𝑑

Definición de matriz

𝛼𝑎 𝛼𝐴 = 𝛼𝑐

𝛼𝑎 𝛼𝑑

Definición de producto por escal

𝛼𝐴 =

𝑎 𝑎 𝑐 𝑑

Ejemplos 38:¿El conjunto de las funciones pares es sub espacio vectorial? Definición de función par 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 𝒖+𝒗 ∈𝑽 i. ii. iii. iv.

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(−𝑥) + 𝑔(−𝑥) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(−𝑥)

Axioma reflexivo Definición de suma de funciones Definición de función par Definición de suma de funciones

i. ii. v. iii.

(∝ 𝑓)(𝑥) = (∝ 𝑓)(𝑥) (∝ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(∝ 𝑥) (∝ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(−∝ 𝑥) (∝ 𝑓)(𝑥) =∝ 𝑓(−𝑥)

∝𝒖∈𝑽 Axioma reflexivo Producto de un escalar por una función Definición de función par

Ejemplos 39: Sea 𝑉 = 𝑅 ; con operaciones usuales. 𝑊 = {𝑓(𝑥; 𝑦): 𝑥 = 𝑦 Λ 𝑥 ∈ 𝑍} . Es W un subespacio vectorial de V ? El conjunto W no es un subespacio vectorial de V, no cumpliría con el segundo axioma ∝ 𝒖 ∈ 𝑾, debido a que ∝∈ 𝑹, es decir que ∝ puede tomar cualquier valor por ejemplo∝= √𝟑, y al realizar el producto por escalar se tiene que 𝑢 ∉ 𝑊, ya que 𝑥 ∉ 𝑍

7.2.1 Rutina de determinación de subespacios vectoriales de R3 Para determinar un subespacio vectorial se debe determinar que dicho conjunto cumpla con las siguientes condiciones: Sea S un subconjunto de 𝑅 y 𝑢 , 𝑣 ∈ 𝑆 𝑦 𝛼 ∈ 𝑅 Para que sea considerado subespacio debe cumplir que: 1. 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆 2. 𝛼𝑢 ∈ 𝑆 Es decir deben cumplir con las leyes de composición interna y externa.

Recordemos que: Todo subespacio vectorial puede ser considerado como un Espacio Vectorial, por lo tanto el subespacio necesariamente deberá tener elemento neutro y cumplir con los diez axiomas de un espacio vectorial.

Ejemplo 40: Determinar si los siguientes conjuntos pueden ser considerados subespacios vectoriales: 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 : 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0}; 𝑊𝑠. 𝑒. 𝑣 𝑑𝑒 𝑅 Para esto utilizaremos el programa realizado en Scilab llamado interfaz. Pasos a seguir de la utilización del programa llamado interfaz.

1. 2.

Copiamos los programas llamados interfaz e interfaz2. Abrimos el software de Scilab y mediante el menú de Archivo en la opción Abrir, buscamos el programa interfaz de acuerdo a la ubicación donde le hayamos guardado.

Gráfico 32 - Abriendo la rutina interfaz

3.

Una vez que abramos el programa, aparecerá una nueva ventana donde está el código fuente de este programa, en esta ventana compilamos, este comando se encuentra en la parte superior tal como se indica en la figura:

Gráfico 33 - Ejecución de la rutina Interfaz.

4.

Una vez ejecutado, regresamos a nuestra pantalla principal y lo llamamos de esta manera: -->interfaz

Gráfico 34 - Llamando al programa interfaz a la ventana de ejecución.

5.

Si no hay ningún error debería salirnos la siguiente ventana:

Gráfico 35 - Pantalla principal de la rutina interfaz. En esta ventana por default nos saldrá una condición de un conjunto, ésta nos muestra como debemos introducir nuestras condiciones de los conjuntos a hacer analizados. También se genera un punto aleatorio, que sirve únicamente para comprobar si este punto pertenece o no al plano dibujado. Automáticamente nos indicara si la condición puesta para hacer analizada es o no un subespacio vectorial y si el punto pertenece o no a dicho plano, este punto se lo puede variar de acuerdo a su necesidad. En donde tenemos los siguientes elementos:

Ingreso de la condición para ser analizada. Automáticamente el programa nos indicará si le conjunto es o no un subespacio.

Punto cualquiera, que se le utiliza para verificar si pertenece éste punto o no al plano generado (es decir si el punto cumple o no con la condición)}

Gráfico 36 - Gráfico de la condición a ser analizada. Grafico que representa la condición del conjunto, el punto amarillo representa el origen punto (0,0,0) y el punto rosa representa el punto “P” aleatorio.

Gráfico 37 - Generación de puntos.

Con esta opción de generar puntos 𝑃 y 𝑃 , se generaran dos puntos aleatorios 𝛼 y 𝛼 que pertenezcan a la condición y con los escalares podremos comprobar las leyes de composición interna y externa siempre y cuando este sea un subespacio vectorial. Si no es subespacio vectorial podremos generar los puntos, pero la suma de estos no cumplen con el axioma clausurativo de la suma. De los ejercicios propuestos tendremos: 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 : 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0} Despejando una variable de la condición z: 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦, al poner en el programa llamado “interfaz” tenemos:

Gráfico 38 - Representación de los puntos que pertenecen a la condición. Como conclusión se puede observar que los puntos generados caen en el conjunto W, por lo tanto este conjunto W es un subespacio vectorial de 𝑅 . Ejercicios Propuestos 1.

En el e.v (𝑅 , 𝑅, +,∗) a. Enuncie y compruebe la propiedad conmutativa de la suma. b. Enuncie y compruebe la propiedad asociativa del producto por escalar

2.

En el e.v (𝑅 , 𝑅, +,∗) a. Enuncie y compruebe la propiedad asociativa de la suma. b. Enuncie y compruebe las propiedades distributivas del producto por escalar.

3.

En el e.v (𝑀 ∗ , 𝑅, +,∗). Enuncie y compruebe la propiedad del inverso aditivo, asumiendo la existencia del neutro aditivo.

4.

En el e.v (ℱ, 𝑅, +,∗) el e.v de las funciones reales sobre el campo de los reales. Enuncie y compruebe las propiedades distributivas

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son s.e.v del e.v 𝑅 sobre el campo de R? (Justifique su respuesta) a. 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑧} b. 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 ∶ |𝑥| = |𝑦 + 𝑧|} 1 1 −𝑥 c. 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ / |𝐴| = 0} donde 𝐴 = −1 2 𝑧 −1 2 𝑦 5.

6.

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son s.e.v del e.v de las matrices 𝑀 sobre el campo de los R? (Justificar) 𝑆 = {𝐴 ∈ 𝑀 ∶ 2|𝐴| = 0} 𝑆 = {𝐴 ∈ 𝑀 ∶ 𝑇𝑟(𝐴 ) = 0} 𝑆 = {𝐴 ∈ 𝑀 ∶ 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠} 𝑆 = {𝐴 ∈ 𝑀 ∶ 𝐴 = 𝐴 }

a. b. c. d. e. 𝑆 = {𝐴 ∈ 𝑀 ∶ 𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠} f. 𝑆 = {𝐴 ∈ 𝑀 ∶ 𝐴𝐵 = 0} 7.

a. b. c. d. e.

7.3

¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son s.e.v del e.v(F, 𝑅, +, . ) ? (justificar) 𝑆 = {𝑓 / 𝑓 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟} 𝑆 = {𝑓 / 𝑓 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒} 𝑆 = {𝑓 / 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎} 𝑆 = {𝑓 / 𝑓 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑏𝑎𝑏𝑙𝑒} 𝑆 = {𝑓 / 𝑓 (0) = 𝑓(1) + 2}

Combinaciones Lineales Sea V un espacio vectorial 〈𝑉, 𝐾, +,∗〉 , 𝐴 ⊂ 𝑉 𝐴 = {𝑢 , 𝑢 , … , 𝑢 } ; se llama combinación lineal de los elementos del conjunto “A” a todo vector que se pueda formar por la combinación de los elementos del conjunto A: ∑

∝ 𝑢 = ∝ 𝑢 +∝ 𝑢 + , … , +∝ 𝑢 ; ∝ ∈ 𝑅

𝑢 ∈𝑉

Diremos que u es una combinación lineal del conjunto A, si existen los ∝ de la siguiente igualdad: 𝑢 = ∝ 𝑢 +∝ 𝑢 +, … , +∝ 𝑢 ,

∝∈𝑅

Ejemplo 40:Determine si el siguiente polinomio 𝑃 (𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 + 1, es un combinación lineal del conjunto 𝐴 = {𝑟 (𝑥), 𝑡 (𝑥), 𝑞 (𝑥)} tal que 𝑟 (𝑥) = 𝑥 − 1; 𝑡 (𝑥) = 𝑥 + 5; 𝑞 (𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥. Lo que se quiere saber es si: 𝑃 (𝑥) =∝ 𝑟 (𝑥) + 𝛽𝑡 (𝑥) + 𝛿𝑞 (𝑥) 3𝑥 − 𝑥 + 1 = ∝ (𝑥 − 1) + 𝛽(𝑥 + 5) + 𝛿(2𝑥 + 3𝑥) 3𝑥 − 𝑥 + 1 = ∝ 𝑥 −∝ +𝛽𝑥 + 5𝛽 + 𝛿2𝑥 + 3𝛿𝑥 3𝑥 − 𝑥 + 1 = ∝ 𝑥 + 𝛿2𝑥 + 𝛽𝑥 + 3𝛿𝑥−∝ +5𝛽 3𝑥 − 𝑥 + 1 = 𝑥 (∝ + 𝛿2) + 𝑥(𝛽 + 3𝛿) + (−∝ +5𝛽)

El sistema a resolver es: 𝛼 + 2𝛿 = 3 𝛽 + 3𝛿 = −1 -𝛼 + 5𝛽 = 1 𝛼=

57 14 9 ;𝛽= ;𝛿= 13 13 13

Como existe solución, el 𝑃 (𝑥), es una combinación lineal del conjunto A Ejemplos 41: Determinar el valor de “a” para que el vector 𝑣 sea combinación lineal de 𝑣 𝑦𝑣 : 𝑣 = (𝑎, 0, 0); 𝑣 = (0, 1, 1); 𝑣 = (1, −1, 1) (𝑎, 0,0) = 𝛼(0,1,1) + 𝛽(1, −1,1) (𝑎, 0,0) = (0, 𝛼, 𝛼) + 𝛽(𝛽, −𝛽, 𝛽) 𝑎 =0+𝛽

𝛼=𝛽

0=𝛼−𝛽

0=𝛼−𝛽

0=𝛼+𝛽

0=𝛼+𝛽

0 1𝑎 1 −1 0 𝑓 − 𝑓 1 10

0 1 𝑎 1 −1 0 0 2 0

𝑓

0 1 𝑎 1 −1 0 𝑓 + 𝑓 0 1 0

0 1𝑎 1 0 0 𝑓 −𝑓 0 10

0 1 𝑎 1 0 0 0 0 −𝑎

Para que el sistema tenga solución 𝑎 = 0, por lo tanto para que el vector 𝑣 sea combinación lineal de 𝑣 𝑦 𝑣 , 𝒂 = 𝟎.

7.3.1 Rutina para analizar combinaciones lineales. El objetivo de la utilización de este programa es interpretar gráficamente el concepto de combinación lineal. Para esta aplicación específica trabajaremos en 𝑅 Sea: 𝑍 = {(1,2, −5) ; (4, −7,3) ; (2, −1, .2) } Determinar si el siguiente conjunto S el linealmente dependiente o linealmente independiente.

1.

Cargar el archivo llamado interfaz2 , en la consola de Scilab tal como se hiso en el programa anterior. Llamamos a la aplicación. -->interfaz2

Gráfico 39 - Pantalla de inicio del programa interfaz2 Al iniciar el programa éste tiene unos vectores por default, estos vectores son linealmente dependientes, y esto se observa en el gráfico.

2.

Para el ejemplo específico tendremos:

Gráfico 40 - Presentación del análisis de los vectores Para este caso se puede observar que los vectores son linealmente independientes, es decir que ningún vector de ese conjunto es combinación lineal de los otros. No existen los escalares α , 𝛼 , … , 𝛼

7.4

Conjunto Generador Un conjunto de vectores {𝑣 , 𝑣 , . .. , 𝑣 }, de un espacio vectorial V, se llama un conjunto generador de V si todo 𝑣 ∈ 𝑉 se puede expresar como combinación lineal de los vectores 𝑣 , 𝑣 , . .. , 𝑣 .

a. Cápsula de un Conjunto De esto se puede decir que todo vector en V es una combinación lineal de un conjunto finito de vectores de V. Sea V un espacio vectorial cualquiera y S subconjunto de V. 𝑆 ≠ 0 (vacío). La capsula S es el conjunto formado por todos los elementos de V que puedan expresarse como una combinación lineal de S (S es el conjunto de todas las combinaciones lineales de dichos elementos que pertenecen a S) < 𝑆 >= Cápsula < 𝑆 >= {𝑣 ∈ 𝑉 ∑

𝑎 𝑣 = 𝑎 𝑣 + 𝑎 𝑣 + ⋯ + 𝑎 𝑣 ; 𝑎 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ}

Ejemplo 42: Determinar la capsula de 𝑆 = {1 + 𝑥, 1 + 𝑥 , 1 + 𝑥 }

𝑆 ⊂ 𝑃 (𝑥)

𝛼(1 + 𝑥) + 𝛽(1 + 𝑥 ) + 𝛿(1 + 𝑥 ) = 𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 𝛼 + 𝛼𝑥 + 𝛽 + 𝛽𝑥 + 𝛿 + 𝛿𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 (𝛼 + 𝛽 + 𝛿) + 𝑥(𝛼) + 𝑥 (𝛽) + 𝑥 (𝛿) = 𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 El sistema a resolver es: 𝛼+𝛽+𝛿 =𝑎 𝛼=𝑎 𝛽=𝑎 𝛿=𝑎 1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

𝑎 𝑎 𝑎 𝑎

𝑓 −𝑓

1 0 0 0

𝑓 +𝑓

𝑎 1 1 −1 −1 𝑎 − 𝑎 𝑎 1 0 0 1 𝑎

𝑓 +𝑓

1 1 0 −1 0 0 0 0

𝑎0 1 −1 𝑎1 − 𝑎0 −1 𝑎2 + 𝑎1 − 𝑎0 0 𝑎3

𝑎 1 1 1 𝑎 −𝑎 0 −1 −1 𝑎 + 𝑎 −𝑎 0 0 −1 0 0 0 𝑎 +𝑎 +𝑎 +𝑎

Para que el Sistema planteado tenga solución 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 = 0, por lo tanto el espacio generado por el conjunto dado son todos los polinomios que cumplan con la condición: 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 = 0; donde 𝑎 son los coeficientes reales de los polinomios. El espacio generado se le puede representar como: 𝑆 = {𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥) ∶ 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 = 0} Ejemplo 43: Encontrar la cápsula del siguiente conjunto: 𝑆 = {

1 −1 2 −3 , } 2 3 1 0

𝛼

1 −1 2 −3 𝑎 +𝛽 = 2 3 1 0 𝑐 2𝛽 −𝛼 + 3𝛼 𝛽

𝛼 2𝛼

𝑏 𝑑

−3𝛽 𝑎 = 0 𝑐

𝑏 𝑑

El Sistema a resolver es:

1 2 𝑎 𝑓 +𝑓 −1 −3 𝑏 𝑓 − 2𝑓 2 1 𝑐 𝑓 − 3𝑓 3 0 𝑑

1 0 0 0

𝛼 + 2𝛽 = 𝑎

− 𝛼 − 3𝛽 = 𝑏

2𝛼 + 𝛽 = 𝑐

3𝛼 = 𝑑

𝑎 2 −1 𝑏 + 𝑎 (−1)𝑓 −3 𝑐 − 2𝑎 −6 𝑑 − 3𝑎

Por lo tanto su cápsula es:

𝑎 1 2 0 1 −𝑎 − 𝑏 𝑓 + 𝑓 0 −3 𝑐 − 2𝑎 𝑓 + 6𝑓 0 −6 𝑑 − 3𝑎

1 0 0 0

𝑎 2 −𝑎 − 𝑏 1 0 −5𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 0 −9𝑎 − 6𝑏 + 𝑑

−5𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0 −9𝑎 − 6𝑏 + 𝑑 = 0

El espacio generado se le puede representar como: 𝑆=

7.5

𝑎 𝑐

𝑏 : ∈ 𝑀𝑎𝑡 𝑑

∶ −5𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0; −9𝑎 − 6𝑏 + 𝑑 = 0

Dependencia e Independencia lineal Sea V un espacio vectorial 〈𝑉, 𝐾, +,∗〉 , 𝑆 ⊂ 𝑉 𝑆 = {𝑢 , 𝑢 , … , 𝑢 } ; se dice que el conjunto A es Linealmente Independiente (L.I) si el siguiente sistema homogéneo ∝ 𝑢 + ∝ 𝑢 + ⋯ +∝ 𝑢 = 0 , tiene como única solución la solución trivial es decir ∝ = 0; ∀𝑖 ∈ 𝑍 . Si el sistema tiene infinitas soluciones el conjunto es Linealmente Dependiente (L-D). Ejemplo 44: Determinar si el siguiente conjunto es linealmente independiente. 𝑊 = {1 + 2𝑥 − 3𝑥 , −2 + 3𝑥 + 𝑥 , 𝑥 − 5𝑥 } ⊂ 𝑃 (𝑥) ∝ (1 + 2𝑥 − 3𝑥 ) + 𝛽(−2 + 3𝑥 + 𝑥 ) + 𝛾(𝑥 − 5𝑥 ) = 0 ∝ +2 ∝ 𝑥 − 3 ∝ 𝑥 − 2𝛽 + 3𝛽𝑥 + 𝛽𝑥 + 𝛾𝑥 − 5𝛾𝑥 = 0

El sistema homogéneo a resolver es: ∝ −2𝛽 = 0 2 ∝ +3𝛽 + 𝛾 = 0 −3 ∝ +𝛽 − 5𝛾 = 0 Un sistema homogéneo tiene dos posibilidades de solución; única e infinitas soluciones. 𝐴=

1 −2 2 3 −3 1

0 1 ; Matriz de los coeficientes. −5

0 −2 0 0 3 1 0 ∝= 0 1 5 = =0 1 −2 0 −30 2 3 1 −3 1 −5 0 −30 ∝= 0 ∝=

0 −30 𝛽=0 𝛽=

0 −30 𝛾=0 𝛾=

El conjunto dado es Liealmente Independiente. Al aplicar el método de Cramer en la resolución del sistema se puede observar que, basta con analizar el determinante de la matriz de los coeficientes, ya que el determinante del numerador siempre será igual a cero debido a que siempre tendrá una columna nula. Por lo tanto se puede concluir que: 𝑠𝑖 |𝐴| = 0, 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑫𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑠𝑖 |𝐴| ≠ 0, 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 Ejemplo 45: Sea 𝑆 ⊂ 𝑃 (𝑥). Determinar el valor de “a” para que el conjunto 𝑆 sea linealmente independiente. 𝑆 = {1 + 𝑎𝑥 + 𝑥 ; −1 + 𝑥 ; (1 + 𝑎) + 𝑥} ∝ (1 + 𝑎𝑥 + 𝑥 ) + 𝛽(−1 + 𝑥 ) + 𝛾 (1 + 𝑎) + 𝑥 = 0 ∝ −𝛽 + 𝛾(1 + 𝑎) = 0 ∝𝑎+𝛾 =0 ∝ +𝛽 = 0 1 𝑆= 𝑎 1

−1 0 1

1+𝑎 1 = 𝑎(1 + 𝑎) − 1 − 1 0

=𝑎+𝑎 −2 =0 = (𝑎 + 2)(𝑎 − 1) = 0 = 𝑎 = −2 =𝑎=1 𝐿. 𝐼. ∀𝑎 ∈ 𝑅 − {−2,1} 𝐿. 𝐷. 𝑆𝑖 𝑎 = −2; 𝑎 = 1

Wronskiano: Sean 𝑓 , 𝑓 , . . . , 𝑓 funciones reales 𝑛 − 1 veces diferenciables. El Wronskiano de estas funciones es la función con dominio de la intersección de los dominios de todas las 𝑓 definida por: 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) 𝑤(𝑥) = ⋮ ⋮ 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥)

… 𝑓 (𝑥) … 𝑓 (𝑥) ⋱ ⋮ … 𝑓 (𝑥)

Para determinar si el conjunto dado de funciones el Linealmente Dependiente o Independiente se analiza el determinante formado por sus diferenciales; es decir si : 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) = 0; El conjunto es L.D. ⋮ 𝑓 (𝑥)

𝑓 (𝑥) 𝑓 𝑓 (𝑥) 𝑓 ⋮ 𝑓 (𝑥) 𝑓

(𝑥) … (𝑥) … ⋮ ⋱ (𝑥) …

𝑓 (𝑥) 𝑓 𝑓 (𝑥) 𝑓 ⋮ 𝑓 (𝑥) 𝑓

(𝑥) … 𝑓 (𝑥) (𝑥) … 𝑓 (𝑥) ≠ 0; El Conjunto es L.I. ⋮ ⋱ ⋮ (𝑥) … 𝑓 (𝑥)

Ejemplo 46: Determine si el siguiente conjunto {𝑒 , 𝑒

, cos ℎ𝑥} es L.D o L.I.

Aplicando el Wronskiano: 𝑒 𝑒 𝑒

𝑒 − 𝑒 𝑒

cos ℎ𝑥 sen ℎ𝑥 =0 cos ℎ𝑥

Como tenemos dos filas iguales eso significa que el determinante es 0; por lo tanto el conjunto dado es Linealmente Dependiente.

7.6

Base y Dimensión 7.6.1 Base: Un conjunto de vectores {𝑣 , 𝑣 , . . . , 𝑣 } de un espacio vectorial V, es una base de este espacio si y solo si todo vector 𝑣 ∈ 𝑉 se puede expresar como combinación lineal única de los vectores 𝑣 , 𝑣 , . . . , 𝑣 . Sean (𝑉, 𝐾, +,∗) un espacio vectorial y 𝐵 ⊂ 𝑉. El conjunto B es una base del espacio vectorial V si y solamente si B es linealmente independiente y B genera V; es decir, el subespacio vectorial generado por B es el espacio vectorial V. En otras palabras, B es una base de B si y solo si: 1. B es Linealmente Independiente. 2. < 𝐵 > B genera Espacio Vectorial.

7.6.2 Dimensión: La dimensión de un espacio vectorial, es el número de vectores que posee las bases del espacio vectorial.

7.6.3 Bases Canónicas Dentro de las bases canónicas se pueden destacar las siguientes: 𝐵

= {(1,0); (0,1)}

𝐵

( )

𝐵

( )

= {1, 𝑥, 𝑥 } =

1 0 0 1 0 0 0 ; ; ; 0 0 0 0 0 1 0

0 1

Ejemplo 47: Determinar una base del siguiente espacio vectorial. 𝑊=

𝑎 𝑐

𝑎 − 𝑏 + 3𝑐 = 0 𝑏 ∈ 𝑀𝑎𝑡 (𝑅 ): 2𝑎 + 𝑏 + 𝑑 − 𝑐 = 0 𝑑

Para pertenecer al espacio W, las matrices deberán cumplir con estas condiciones: 𝑎 − 𝑏 + 3𝑐 = 0 2𝑎 + 𝑏 + 𝑑 − 𝑐 = 0 Para encontrar la base se debe resolver el sistema formado por las condiciones de anteriormente expuestas: 1 −1 3 0 0 𝑓 − 2𝑓 2 1 −1 1 0

1 −1 3 0 0 0 3 −7 1 0

Al resolver el sistema se tiene el siguiente Sistema escalonado: 𝑎 − 𝑏 + 3𝑐

=0

3𝑏 − 7𝑐 + 𝑑 = 0 Como, en el sitema escalonado se tiene mas incógnitas que ecuaciones, el Sistema tiene infinitas soluciones, las cuales , para este caso, quedaran en función de 𝑏 𝑦 𝑐 𝑎 = 𝑏 − 3𝑐 𝑑 = −3𝑏 + 7𝑐 Al encontrar la solución general se tiene que: 𝑏 − 3𝑐 𝑐

𝑏 𝑏 = −3𝑏 + 7𝑐 0

−3𝑐 𝑏 + 𝑐 −3𝑏

Por lo tanto una base del espacio dado es:

𝐵 =

1 1 0 −3

−3 1

0 7

0 7𝑐

La dimensión del espacio W es “2” Ejemplo 48: Determine una base del siguiente subespacio dado 𝑤 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥); 𝑎 − 𝑏 + 3𝑐 = 0} Partimos de la condición dada: 𝑎 − 𝑏 + 3𝑐 = 0 Como se tiene una sola condición: 𝑎 + 3𝑐 = 𝑏, se podría despejar cualquier variable en este caso. Al plantear la solución general se obtendría: 𝑎 + (𝑎 + 3𝑐)𝑥 + 𝑐𝑥 𝑎(1 + 𝑥) + 𝑐(𝑥 + 3𝑥) Por lo tanto una base del conjunto dado es: 𝐵

= {1 + 𝑥; 3𝑥 + 𝑥 }

( )

Ejemplo 48: Determine si es L.D o L.I. {𝑒 , 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒

𝑒 − 𝑒 𝑒

, cos ℎ𝑥} cos ℎ𝑥 sen ℎ𝑥 =0 cos ℎ𝑥

Como tenemos dos filas iguales eso significa que el determinante es 0. EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Dado el conjunto 𝑆 = ((1, −2), (−3, 6)). Hallar: < 𝑆 >. El vector (2,3) pertenece a < 𝑆 > ? (𝑎, 𝑏) = 𝛼(1, −2) + 𝛽(1, −2) 𝛼 + 𝛽=𝑎 −2𝛼 − 2𝛽 = 𝑏 1 −2

1 1 1 ⋮ 𝑎 = 𝑓2 + 2𝑓1 0 0 −2 ⋮ 𝑏

⋮ 𝑎 ⋮ 𝑏 + 2𝑎

𝑏 + 2𝑎 = 0 < 𝑺 >= {(𝒂, 𝒃) ∈ 𝑹𝟐 : 𝒃 + 𝟐𝒂 = 𝟎} 𝑏 + 2𝑎 = 0; (2,3) 3 + 2(2) = 0 7≠0 El vector (𝟐, 𝟑) no pertenece al subespacio generado por los vectores (𝟏, −𝟐), (−𝟑, 𝟔).

2. Sea 𝑆 = (1 + 𝑡 − 𝑡 , 2 + 𝑡 − 3𝑡 , 1 + 3𝑡 + 𝑡 , 1 + 2𝑡 ) un subconjunto del espacio vactorial 𝑃 (𝑡). Hallar el subespacio vectorial generado por 𝑆, además determinar una base. 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡 = 𝛼(1 + 𝑡 − 𝑡 ) + 𝛽(2 + 𝑡 − 3𝑡 ) + 𝛾(1 + 3𝑡 + 𝑡 ) + ∅(1 + 2𝑡) 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡 = (𝛼 + 2𝛽 + 𝛾 + ∅) + (𝛼 + 𝛽 + 3𝛾 + 2∅)𝑡 + (−𝛼 − 3𝛽 + 𝛾)𝑡

𝛼 + 2𝛽 + 𝛾 + ∅ = 𝑎 𝛼 + 𝛽 + 3𝛾 + 2∅ = 𝑏 −𝛼 − 3𝛽 + 𝛾 = 𝑐 1 2 1 1 −1 −3

1 1 3 2 1 0

⋮ ⋮ ⋮

𝑎 1 2 𝑏 = 𝑓2 − 𝑓1 0 −1 𝑓3 + 𝑓1 0 −1 𝑐

1 1 2 1 2 1

⋮ ⋮ ⋮

𝑎 1 𝑏−𝑎 = 0 𝑓3 − 𝑓2 0 𝑎+𝑐

2 1 −1 2 0 0

1 ⋮ 1 ⋮ 0 ⋮

𝑎 𝑏−𝑎 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐

𝑺𝒑𝒂𝒏(𝑺) = {𝒂 + 𝒃𝒕 + 𝒄𝒕𝟐 ∈ 𝑷𝟐 (𝒕): 𝟐𝒂 − 𝒃 + 𝒄 = 𝟎} 𝑏 = 2𝑎 + 𝑐 𝐵(𝑆) = {𝑎 + (2𝑎 + 𝑐)𝑡 + 𝑐𝑡 } 𝐵(𝑆) = {𝑎 + 2𝑎𝑡, 𝑐𝑡 + 𝑐𝑡 } 𝑩(𝑺) = {𝟏 + 𝟐𝒕, 𝒕 + 𝒕𝟐 } 3. Demuestre que el subespacio de 𝑅 en el que se encuentran los vectores 𝑣 = (1,0, −1), 𝑣 = (0,2, −2), 𝑣 = (0, −2,2) es el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0. Y verifique si el vector (1,1, −2) se encuentra en dicho subespacio. (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼(1,0, −1) + 𝛽(0,2, −2) + 𝛾(0, −2,2) 1 0 −1

0 2 −2

0 ⋮ 𝑥 1 0 −2 ⋮ 𝑦 = 0 2 2 ⋮ 𝑧 𝑓3 + 𝑓1 0 −2

0 ⋮ −2 ⋮ 2 ⋮

𝑥 1 0 𝑦 0 2 = 𝑥+𝑧 𝑓3 + 𝑓2 0 0

𝑥 0 ⋮ 𝑦 −2 ⋮ 0 ⋮ 𝑥+𝑦+𝑧

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎, El plano es el subespacio generado por los tres vectores, el cual pasa por el origen. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0; (1,1, −2) 1+1−2 = 0 0=0 El vector (𝟏, 𝟏, −𝟐) pertenece al subespacio generado por los tres vectores. 4. Dado el conjunto 𝑆 = ( 1 + 𝑥 − 𝑥 , 3𝑥 − 4𝑥 , 1 − 2𝑥 + 3𝑥 ). Hallar < S > y establecer una base para el subespacio generado. 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝛼(1 + 𝑥 − 𝑥 ) + 𝛽(3𝑥 − 4𝑥 ) + 𝛾(1 − 2𝑥 + 3𝑥 ) 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = (𝛼 + 𝛾) + (𝛼 + 3𝛽 − 2𝛾)𝑥 + (− 𝛼 − 4𝛽 + 3𝛾) 𝑥

𝛼+𝛾 =𝑎 𝛼 + 3𝛽 − 2𝛾 = 𝑏 −𝛼 − 4𝛽 + 3𝛾 = 𝑐

1 1 −1

=

0 3 −4

𝑎 1 0 𝑏 = 𝑓2 − 𝑓1 0 3 𝑐 𝑓3 + 𝑓1 0 −4

1 ⋮ −2 ⋮ 3 ⋮

1 0 𝑓3 + 𝑓2 0

0 1 0

1 −1 0

1 ⋮ −3 ⋮ 4 ⋮

𝑎 1 𝑏 − 𝑎 = 1/3𝑓2 0 𝑎+𝑐 1/4𝑓3 0

0 1 −1

𝑎 1 ⋮ −1 ⋮ (𝑏 − 𝑎)/3 1 ⋮ (𝑎 + 𝑐)/4

𝑎 ⋮ (𝑏 − 𝑎)/3 ⋮ ⋮ (−𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐)/12

𝑺𝒑𝒂𝒏(𝑺) = {𝒂 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒙𝟐 ∈ 𝑷𝟐 (𝒙) : − 𝒂 + 𝟒𝒃 + 𝟑𝒄 = 𝟎} 𝑎 = 4𝑏 + 3𝑐 𝐵(𝑆) = {4𝑏 + 3𝑐 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 } 𝐵(𝑆) = {4𝑏 + 𝑏𝑥, 3𝑐 + 𝑐𝑥 } 𝑩(𝑺) = {𝟒 + 𝒙, 𝟑 + 𝒙𝟐 } 5. Dada el s.e.v 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥)/ 𝑝 (0) = 𝑝(−1)} del e.v. 𝑃 (𝑥) sobre 𝑅. Determinar un conjunto generador de 𝑊. 𝑝 (0) = 𝑏 + 2𝑐(0) = 𝑏 𝑝(−1) = 𝑎 + 𝑏(−1) + 𝑐(−1) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 𝑝 (0) = 𝑝(−1) 𝑏 =𝑎−𝑏+𝑐 𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥)/ 𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 0} 𝑎 = 2𝑏 − 𝑐 𝑊 = {2𝑏 − 𝑐 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 } 𝑊 = {2𝑏 + 𝑏𝑥, −𝑐 + 𝑐𝑥 } 𝑾 = 𝟐 + 𝒙, −𝟏 + 𝒙𝟐 6. Analizar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos. En caso de ser linealmente dependiente , hallar una relacion de dependencia a: a. 𝑆 = {(1, −1, −2,3), (1, −1,0,2), (−2,0,1, −1), (0,1,0,1)} (0,0,0,0) = 𝛼(1, −1, −2,3) + 𝛽(1, −1,0,2) + 𝛾(−2,0,1, −1) + 𝛿(0,1,0,1) 1 1 −2 −1 −1 0 −2 0 1 3 2 −1 =

0 1 0 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 0 0 0

0 𝑓2 + 𝑓1 0 = 0 𝑓3 + 2𝑓1 0 𝑓4 − 3𝑓1 1 −2 0 ⋮ −1 5 1 ⋮ 2 −3 0 ⋮ 0 −2 1 ⋮

1 1 0 0 0 2 0 −1 0 0 0 0

−2 −2 −3 5

0 1 0 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 0 0

=

𝑓3 + 2𝑓2

1/11𝑓4

1/7𝑓3

0 1 2 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

1 1 −2 0 ⋮ 0 −1 5 1 ⋮ 0 0 7 2 ⋮ 0 0 0 1 ⋮

=

=

1 1 −2 0 −1 5 0 0 7 0 0 −2

1 0 0 0

1 −2 −1 5 0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

𝑓1 + 𝑓22 −𝑓2

0 0 0 1 0 0 0 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 = 0 7𝑓4 + 2𝑓3 0

0 0 𝑓2 − 𝑓4 = 0 𝑓3 − 2𝑓4 0 𝑓1 + 2𝑓3 0 0 𝑓2 − 5𝑓3 = 0 0

1 0 0 0

1 −2 0 −1 5 1 0 7 2 0 0 11

1 1 −2 0 ⋮ 0 −1 5 0 ⋮ 0 0 7 0 ⋮ 0 0 0 1 ⋮ 1 1 0 −1 0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮ 0 ⋮ 0 ⋮ 0 ⋮ 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

El sistema tiene la solucion trivial por lo tanto es linealmente independiente. b. 𝑆 = {−1,2𝑒 , 𝑥 𝑒 } Aplicando el Wronskiano y analizando el determinante. −1 0 0

2𝑒 4𝑒 8𝑒

= (−1)

𝑥 𝑒 2𝑥𝑒 + 2𝑥 𝑒 2𝑒 + 8𝑥𝑒 + 4𝑥 𝑒

= − 4𝑒 8𝑒

4𝑒 2𝑥𝑒 + 2𝑥 𝑒 𝑓2 − 2𝑓1 0 2𝑒 + 4𝑥𝑒 = −8𝑒 (1 + 2𝑥)

2𝑒

2𝑥𝑒 + 2𝑥 𝑒 + 8𝑥𝑒 + 4𝑥 𝑒

= −4𝑒 (2𝑒

+ 4𝑥𝑒 )

El determinante es diferente de 0 por lo tanto es linealmente independiente.

7. Sea 𝑆 = ( 1 + 2𝑥 − 𝑥 , −1 + 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 , −2 − 4𝑥 + (𝛼 + 𝛼)𝑥 ). El campo R. a. Para que valores de 𝛼 y 𝛽 es l.d. ? Hallar una relacion de dependencia en cada caso. 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝛿(1 + 2𝑥 − 𝑥 ) + 𝜃(−1 + 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 ) + ∅(−2 − 4𝑥 + (𝛼 + 𝛼)𝑥 ) 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = (𝛿 − 𝜃 − 2∅) + (2𝛿 + 𝛼𝜃 − 4∅)𝑥 + (−𝛿 + 𝛽𝜃 + (𝛼 + 𝛼)∅)𝑥 1 2 −1

−2 ⋮ −1 𝛼 −4 ⋮ 𝛽 (𝛼 + 𝛼) ⋮

𝑎 𝑏 𝑐

1 −1 2 𝛼 −1 𝛽

−2 1 −1 −2 −4 0 = 𝑓2 − 2𝑓1 0 𝛼 + 2 (𝛼 + 𝛼) 𝑓3 + 𝑓1 0 𝛽 − 1 (𝛼 + 𝛼 − 2) 𝛼+2 0 = 𝛽 − 1 (𝛼 + 𝛼 − 2)

= (𝛼 + 2)(𝛼 + 𝛼 − 2) = (𝛼 + 2)(𝛼 + 2)(𝛼 − 1) 𝜷 ∈ 𝑹 puede tomar cualquier valor no influye en la relacion de dependencia Cuando 𝜶 = −𝟐, 𝜶 = 𝟏 el sistema es linealmente dependiente. Con 𝛼 = −2 y 𝛽 = 0 1 2 −1

−1 −2 ⋮ 𝑎 1 −1 −2 −4 ⋮ 𝑏 = 𝑓2 − 2𝑓1 0 0 𝑓3 + 𝑓1 −1 0 0 2 ⋮ 𝑐 1 −1 −2 ⋮ 𝑎 = −1 0 2 ⋮ 𝑐 0 0 0 ⋮ 𝑏 − 2𝑎

−2 ⋮ 𝑎 0 ⋮ 𝑏 − 2𝑎 2 ⋮ 𝑐

Con 𝛼 = 1 y 𝛽 = 1 1 −1 −2 2 1 −4 −1 1 2

⋮ 𝑎 1 −1 ⋮ 𝑏 = 𝑓2 − 2𝑓1 0 3 𝑓3 + 𝑓1 0 0 ⋮ 𝑐

−2 0 0

⋮ 𝑎 ⋮ 𝑏 − 2𝑎 ⋮ 𝑐

b. Para que los valores de 𝛼 y 𝛽 es l.i.? 𝜷 ∈ 𝑹 puede tomar cualquier valor no influye en la relacion de independencia Cuando 𝜶 ≠ −𝟐, 𝜶 ≠ 𝟏 el sistema es linealmente dependiente. c. Hallar < 𝑆 > en cada caso de la parte (a) Con 𝛼 = −2 y 𝛽 = 0 < 𝑺 >= {𝒂 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒙𝟐 ∈ 𝑷𝟐 (𝒙)/𝒃 − 𝟐𝒂 = 𝟎 } Con 𝛼 = 1 y 𝛽 = 1 < 𝑺 >= {𝒂 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒙𝟐 ∈ 𝑷𝟐 (𝒙)/ 𝒄 = 𝟎 } 8.

Sea 𝑀 = / 𝑝 − 𝑞 − 𝑟 = 0 𝑦 𝑝 + 𝑞 − 𝑠 = 0 . Demostrar que 𝑀 es un s.e.v. de (𝑀 (𝑅), 𝑅, +, ∙ ) Determine una base, diga su dimensión. 𝑝−𝑞−𝑟 = 0

𝑝+𝑞−𝑠 =0

𝑟 =𝑝−𝑞

𝑠 =𝑝+𝑞

𝑢=

𝑣=

𝒊. − 0 = 𝑀𝑎𝑡(0)𝑛 Como: 2𝑞 + 𝑟 − 𝑠 = 0 2(0) + (0) − 0 = 0

0=0

∅∈𝑾

𝒊𝒊. − 𝛼𝑢 + 𝑣 = 𝛼𝑢 + 𝑣

=𝛼

+

= =

+ (𝜶𝒑𝟏 𝒑𝟐 ) (𝜶𝒒𝟏 𝒒𝟐 ) (𝜶𝒑𝟏 𝒑𝟐 ) (𝜶𝒒𝟏 𝒒𝟐 )

𝜶𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑾 ∴ 𝑺𝒊 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒔. 𝒆. 𝒗

𝐵(𝑀) =

𝑝 𝑞 𝑝−𝑞 𝑝+𝑞

𝐵(𝑀) =

𝑝 0 0 𝑞 , 𝑝 𝑝 −𝑞 𝑞

𝑩(𝑴) =

𝟏𝟎 𝟎 𝟏 , 𝟏𝟏 −𝟏 𝟏

𝒅𝒊𝒎(𝑴) = 𝟐 9.

Sea 𝑊 = {( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) / 𝑥 + 2𝑦 – 𝑧 = 0 , 𝑥 – 2𝑧 = 0 } un s.e.v. del e. v. 𝑅 . Determinar una base de 𝑊 , diga su dimension . 𝑥 – 2𝑧 = 0 ; 𝑥 = 2𝑧 𝑥 + 2𝑦 – 𝑧 = 0 2𝑧 + 2𝑦 – 𝑧 = 0 𝑧 + 2𝑦 = 0; 𝑦 = −𝑧/2 𝐵(𝑊) = {( 2𝑧 , −𝑧/2 , 𝑧 ) } 𝑩(𝑾) = {( 𝟐 , −𝟏/𝟐 , 𝟏) } 𝒅𝒊𝒎(𝑾) = 𝟏

7.7 SUMA E INTERSECCIÓN DE SUB- ESPACIOS VECTORIALES 7.7.1 Intersección: Se denomina intersección de los subespacios vectoriales 𝑊 y 𝑊 , al conjunto de todos los vectores pertenecientes simultáneamente tanto a 𝑊 como a 𝑊 . Sea (𝑉, 𝐾, +,∗) un espacio vectorial cualquiera con 𝑊 y 𝑊 subespacios vectoriales de 𝑉 𝑊 ∩ 𝑊 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝑣 ∈ 𝑊 ∧ 𝑊 }

TEOREMA: Sea (𝑉, 𝐾, +,∗) un espacio vectorial cualquiera con 𝑊 y 𝑊 subespacios vectoriales de 𝑉 , la intersección 𝑊 ∩ 𝑊 , es otro subespacio vectorial del mismo espacio vectorial

7.7.2 Suma: Dados un espacio vectorial(𝑉, 𝐾, +,∗) , y dos subespacios suyos 𝑊 y 𝑊 , se denominan suma de dichos subespacios, y se representa por 𝑊 + 𝑊 , al conjunto de todos los vectores de 𝑉 que pueden expresarse como suma de un vector de 𝑊 y otro de 𝑊 . 𝑊 + 𝑊 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝑢 + 𝑤 = 𝑣, 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊 } Notas: 

Obsérvese que, tanto la intersección como la suma de subespacios siempre son conjuntos no vacíos, ya que les pertenece a ciencia cierta el vector nulo del espacio vectorial V. Para encontrar la intersección de subespacios, se formará un sistema de ecuaciones con la condición de un subespacio. Para encontrar la suma de subespacios vectoriales se necesita las bases de cada uno de los subespacios, con las base se formara una matriz y mediante la eliminación Gaussiana se elimina los vectores comunes. Si 𝑊 intersección 𝑊 su elemento es 0 se dice que los conjuntos son

 



disjuntos, hay que recordar que para que un conjunto sea considerado subespacio debe contener el elemento neutro, por lo que este elemento va ha estar presente en todo subespacio.

7.7.3 Suma Directa: Dados un espacio vectorial(𝑉, 𝐾, +,∗) , y dos subespacios suyos 𝑊 y 𝑊 , se denominan suma directa de dos subespacios, y se representa por 𝑊 ⊕ 𝑊 , si 𝑣 = 𝑢 + 𝑤 tal que si ∃! 𝑢 ∈ 𝑊 y ∃! 𝑢 ∈ 𝑊 , da como resultado 𝑣 = 𝑢 + 𝑤.

𝑊 ⊕ 𝑊 = {𝑣 ∈ 𝑉: (∃! 𝑢 ∈ 𝑊 )(∃! 𝑤 ∈ 𝑊 ): 𝑣 = 𝑢 + 𝑤} Notas:

 

La suma directa se presenta cuando: 𝑊 ∩ 𝑊 = {0}, es decir los subespacios son disjuntos. Si 𝑊 y 𝑊 son disjunto, estos subespacios toman el nombre de subespacios suplementarios.

Ejemplo 49: Determine la suma e intersección de los siguientes sub-espacios

𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, ) ∈ 𝑅 ; 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0} 𝑇 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, ) ∈ 𝑅 ; 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0} i. ii.

𝑆∩𝑇 𝑆+𝑇

iii.

𝑆⊕𝑇

iv.

𝑺∩𝑻

Utilizamos la condición de cada uno de los subespacios para encontrar la intersección 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 0 1 −2 1 1

1 −5

0 1 𝑓2 − 𝑓1 0 0

−2 3

1 0 −6 0

Sistema escalonado 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑦 − 6𝑧 = 0 6𝑧 𝑦= 3 𝑦 = 2𝑧 𝑥 = 2𝑦 − 𝑧 𝑥 = 2(2𝑧) − 𝑧 𝑥 = 3𝑧 La solución general del sistema es en (𝑥, 𝑦, 𝑧) , por lo tanto el resultado es (3𝑧, 2𝑧, 𝑧).

La intersección presentada como subespacio: 𝑆 ∩ 𝑇 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 : 𝑥 − 3𝑧 = 0 ∧ 𝑦 − 2𝑧 = 0} Una base de la intersección: 𝑩𝑺∩𝑻 = {(3,2,1)} i. 𝑺 + 𝑻 Para encontrar la suma se necesitan las bases de cada uno de los subespacios: Base del subespacio S: 𝑆 = 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 𝑥 = 2𝑦 − 𝑧 (2𝑦 − 𝑧, 𝑦, 𝑧) 𝑩𝑺 = {(2,1,0); (−1,0,1)} Base del subespacio S: 𝑇 = 𝑥 + 𝑦 − 5𝑧

𝑥 = −𝑦 + 5𝑧 ( −𝑦 + 5𝑧, 𝑦, 𝑧) 𝑩𝑻 = {(−1,1,0); (5,0,1)} Para obtener la suma: 2 −1 −1 5

𝑆+𝑇 =

1 0 1 0

0 1 0 1

Ejemplo 50: Se consideran los subespacio: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀 × (ℝ): 𝑉 = 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑦 𝑉 = 𝑐, 𝑒, 𝑑 ∈ ℝ . −𝑏 𝑎 𝑒 −𝑐 Halle una base de los espacios 𝑉 , 𝑉 , 𝑉 + 𝑉 , 𝑉 ∩ 𝑉 . Base de los espacios 𝑉 , 𝑉 Para hallar una base de los espacios de 𝑉 , 𝑉 se realiza los siguientes cálculos: Primeramente hallar una base para 𝑉 𝑎 −𝑏

𝑉 =

𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ = 𝑎

𝑎 −𝑏

𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∖ 𝑑 = 𝑎 , 𝑐 = −𝑏 𝑎

Ahora bien, como: 𝑎 𝑏 = 0 𝑎

𝑎 −𝑏

0 0 + 𝑎 −𝑏

1 𝑏 =𝑎 0 0

0 0 +𝑏 1 −1

1 0

Una base para el subespacio 𝑉 :

𝐵 =

1 0

0 0 1 , 1 −1 0

Ahora hallar una base para 𝑉 : 𝑉 =

𝑐 𝑒

𝑑 𝑐, 𝑒, 𝑑 ∈ ℝ = −𝑐

𝑐 𝑒

𝑑 𝑐, 𝑒, 𝑑 ∈ ℝ ∖ 𝑐 = −𝑎 −𝑐

Ahora bien, como: 𝑐 𝑑 = 0 −𝑐

𝑐 𝑒 𝑒

0 1

0 0 + −𝑐 0

0 𝑑 + 𝑒 0

0 1 =𝑐 0 0

0 0 +𝑑 −1 0

0 0

Una base para el subespacio 𝑉 𝐵 =

1 0

TEOREMA DE LA DIMENSIÓN:

0 0 , −1 0

1 0 , 0 1

0 0

1 + 0

dim(𝑆 + 𝑇) = dim(𝑆) + dim(𝑇) − dim(𝑆 ∩ 𝑇) dim(𝑆 ∩ 𝑇) = 0, 𝑠𝑖 𝑆 ∩ 𝑇 = {0} Ejemplo: Dados los s.e.v. 𝑎 𝑏 /𝑏 = 𝑐Ʌ𝑏−𝑐 = 𝑑 y 𝑊 =〈 𝑐 𝑑 e.v. (𝑀 (𝑅), 𝑅, + , ∙ ). Hallar: 𝑊 =

1 0 0 1 −1 −1 〉 , , del 0 1 1 −1 −1 2

a) Una base B para el s.e.v. 𝑊 ∩ 𝑊 𝑎 𝑐

1 0 0 1 −1 𝑏 =𝛼 +𝛽 +𝛾 0 1 1 −1 −1 𝑑

1 0 0 1 0 1 1 −1

⋮ 𝑎 ⋮ 𝑏 = ⋮ 𝑐 ⋮ 𝑑 𝑓4 − 𝑓1

−1 −1 −1 2

1 0 0 0

0 1 1 −1

−1 −1 −1 3

−1 2

⋮ 𝑎 ⋮ 𝑏 = 𝑓3 − 𝑓2 𝑐 ⋮ ⋮ 𝑑−𝑎 𝑓4 + 𝑓2

𝑐−𝑏 =0 𝑊 =

𝑎 𝑐

𝑏 / 𝑐−𝑏 =0 𝑑

𝑏−𝑐−𝑑 =0 𝑏−𝑐 =0 𝑐−𝑏 =0 1 1 −1

−1 −1 ⋮ 0 1 −1 −1 1 −1 0 −1 0 ⋮ 0 = 𝑓3 + 𝑓2 0 0 1 0 ⋮ 0 0

𝑏=𝑐 𝑐 − 𝑐 − 𝑑 = 0;

𝑑=0

𝑎 𝑐

𝑊 ∩𝑊 =

𝑏 / 𝑏=𝑐Ʌ𝑑 =0 𝑑

𝐵(𝑊 ∩ 𝑊 ) =

𝑎 𝑐

𝑐 0

𝐵(𝑊 ∩ 𝑊 ) =

𝑎 0

0 0 𝑐 , 0 𝑐 0

𝑩(𝑾𝟏 ∩ 𝑾𝟐 ) =

𝟏 𝟎 𝟎 , 𝟎 𝟎 𝟏

𝟏 𝟎

b) Una base B para el s.e.v. 𝑊 + 𝑊 𝑊 =

𝑎 𝑐

𝑏 /𝑏 = 𝑐Ʌ𝑏−𝑐 = 𝑑 𝑑

𝑏=𝑐 𝑑=0 𝐵(𝑊 ) =

𝑎 𝑐

𝑐 0

⋮ 0 ⋮ 0 ⋮ 0

1 0 𝟎 0

0 −1 1 −1 𝟎 𝟎 0 2

𝑎 ⋮ 𝑏 ⋮ 𝒄−𝒃 ⋮ ⋮ 𝑑+𝑏−𝑎

𝐵(𝑊 ) =

𝑎 0

0 0 , 0 𝑐

𝐵(𝑊 ) =

1 0

0 0 1 , 0 1 0

1 ⎛0 ⎜−1 1 ⎝0

0 1 −1 0 1

0 1 −1 0 1

1 ⎛0 = 1/2𝑓3 ⎜0 2𝑓4 + 𝑓3 0 2𝑓5 − 𝑓3 ⎝0

𝑐 0

1 1 0 −1⎞ ⎛0 1 2 ⎟ = 𝑓3 + 𝑓1 ⎜0 −1 0 𝑓4 − 𝑓1 0 0 0⎠ ⎝0 1 0 1 0 0 0

𝑩(𝑾𝟏 + 𝑾𝟐 ) =

0 1 −1 0 1

𝑓1 − 𝑓3 1 1 𝑓2 + 𝑓1 ⎛0 −1⎞ 1⎟= ⎜0 0 0 0⎠ ⎝0

0 1 0 0 0

𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 , 𝟎 𝟏

𝟏 𝟎 , 𝟎 𝟎

0 1 0 0 0

1 1 −1⎞ ⎛0 3 ⎟ = 𝑓3 + 𝑓2 ⎜0 −1 0 0 ⎠ 𝑓5 − 𝑓2 ⎝0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 1 1 −1⎞ 0 2⎟ 0 −1 0 1⎠

0 0⎞ 1⎟ 0 0⎠

𝟎 𝟏

𝑑𝑖𝑚(𝑊 + 𝑊 ) = 𝑑𝑖𝑚(𝑊 ) + 𝑑𝑖𝑚(𝑊 ) − 𝑑𝑖𝑚 (𝑊 ∩ 𝑊 ) 𝑑𝑖𝑚(3) = 𝑑𝑖𝑚(2) + 𝑑𝑖𝑚(3) − 𝑑𝑖𝑚(2) 𝒅𝒊𝒎(𝟑) = 𝒅𝒊𝒎(𝟑)

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Exprese (-2,-8,-6) como combinación lineal de (1,-1,1) y(2,3,4) Dado el conjunto 𝑆 = {(1, −2), (−3,6)}. Hallar 〈𝑆〉 Dado el conjunto 𝑆 = {(−1, −1,1), (−8,1, −4), (2, −1,2)}. Hallar 〈𝑆〉 Dado el conjunto 𝑆 = {(−1,1), (2, −3)}. Hallar 〈𝑆〉 Dado el conjunto 𝑆 = {(2,1, −4)}. Hallar 〈𝑆〉 Dado el conjunto 𝑆 = {1 + 𝑥 − 𝑥 , 3𝑥 − 4𝑥 , 1 − 2𝑥 + 3𝑥 }. Hallar 〈𝑆〉

7. Dado el s.e.v. 𝑊 = 𝐴 ∈

( )

𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 del e.v. 𝑀 (𝑅). Determinar un

conjunto generador de W. 8. Dado el s.e.v. 𝑊 = 𝑝 ∈ 𝑃 (𝑥)/𝑝´ (0) = 𝑝(−1) dl e.v. 𝑃 (𝑥) sobre R Determinar un conjunto generador de W. 9. Analizar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos. En caso de ser linealmente dependiente, hallar una relación de dependencia. a. 𝑆 = {(1 , 1 , −2 , 3), (1 , −1 , 0 , 2), (−2 , 0 , 1 , −1), (0 , 1 , 0 , 1)} 1 −1 1 0 1 −2 b. 𝑆 = , , 1 −1 0 2 −1 3 c. 𝑆 = 1, √3 sobre el e.v. (𝐑 , 𝐑+ , …) 𝑆 = 1, √3 sobre el e.v. (𝐑 , 𝐐+ , …) e. 𝑆 = {1, 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), cos(2𝑥)} f. 𝑆 = {1, sen (x), cos (x)} g. 𝑆 = {−1,2e , x e } d.

10. Sea 𝑆 = {1 + 2x − x , −1 + αx + βx , −2 − 4x + (α + α)x }. El campo es R a. ¿ Para qué valores de α y β, S es l.d.? Hallar una relación de dependencia en cada caso.

b. ¿Para qué valores de α y β, S es l.i.? . c. Hallar <S> en cada caso de la parte (2) 11. Sea {u , … . . , u } un conjunto l.i. de vectores en un V sobre K. 12. Sea w = α u + α u , … , +α u α Є K . Demostrar que: {u w, u , … , u } es l.i. si≠0. 13. Sea {u , … , u } , un conjunto de l.i.de vectores en un e.v.V, sea αЄK {αu . u , … , u } es l.i. si α ≠ 0. 14. Sean W , W s.e.v. de un e.v. V sobre K, de dimensión finita, tal que : V = W ⊗ W Demostrar que: Si 𝑆 = {𝑢 , … , 𝑢 } ⊆ W , y T = {v , … , v } ⊆ W son l.i. Entonces u , v es l.i. {𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 }es 15. Demostrar que: (∀ x Є D) : l.i. si (∃ x Є D ): 𝑓 𝑓 … 𝑓 𝑓ˊ 𝑓ˊ … 𝑓ˊ ≠ 0, D es el dominio común de las n funciones. : : … : ( ) ( ) ( ) 𝑓 𝑓 … 𝑓 16. Sean W , W dos s.e.v. de 𝑹𝟒 y {𝑒 , 𝑒 , 𝑒 , 𝑒 } la base canónica de 𝑹𝟒 . Sea SeaW =< {e , e − e + e } >, W =< {e , e − e − e } > a. Hallar las ecuaciones generadoras de W y de W b. Determinar 𝑊 ∩ 𝑊 17. Sea 𝑆 = {1 − 𝑡 − 2𝑡 ; 2 + 𝑡 − 𝑡 ; 𝑡 + 𝑡 }¿S es base de 𝑃 [𝑡]?. 18. Sea 𝑆 = {(1,2), (2,3), (−5,7)}¿S es base de𝑅 ? 19. Sea 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) / 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0, ; 𝑥 − 2𝑧 = 0} un s.e.v del e.v 𝑅 . Determinar una base de W, diga su dimensión. 20. Sea 𝑊 = {𝐴ℰ𝑀 (𝑅)} / 𝐴. 𝑀 = 0} un s.e.v de 𝑀 (𝑅). Determinar una base de W −1 1 (donde 𝑀 = ). 1 3 21. Sea 𝑊 = 𝑝(𝑥)ℰ𝑃 [𝑥] / ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 0 un espacio vectorial de 𝑃 [𝑥]. Calcular una base de W. 𝑝 𝑞 22. Sea 𝑀 = 𝑝−𝑞−𝑟 =0𝑦𝑝+𝑞−𝑠 =0 𝑟 𝑠 a. Demostrar que M es un s.e.v. de (𝑀 (𝑅), 𝑅, +, … ). Hallar una base de este s.e.v. y diga su dimension b. Demostar que (∀𝐴 ∈ 𝑀, 𝐴 ≠ 0): A es invertible.Hallar la inversa de A c. ¿La matriz 𝐴 pertenece a M?. En caso de que sea falso, ¿què condicon hay que añadir sobre p y q para que 𝐴 pertenezca a M? d. Sea N= {𝐴 ∈ 𝑀⁄𝐴 ∈ 𝑀 } ∪ {0 } ¿N es un s.e.v. de M? 23. Sea W= {(𝑥, 𝑦, 𝑧)⁄𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑎, 𝑥 − 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎 } a. Para que valores de W es un s.e.v. vectorial de e.v. (𝑅 , 𝑅, +, … ) b. Para los valores de a para cuales W es un s.e.v. dar una base 3 −1 1 0 3 2 .Determinar s.e.v. de menor dimensión de 0 0 3 (𝑀 (𝑅), +, … )que contiene a todas las matrices I, A, 𝐴 ,...,𝐴 ,....Dar una base y diga su dimension. 25. Sea W= {p(x)ε P₃[x]/p(x)=a+bx-bx²+(2ª-b)x³,a,b ε R} un s.e.v. de P₃[x] a. Calcular una base B para W y diga la dimensión de W b. Dar una base e.v. P₃[x] tal que contenga la base B 24. Dada la matriz A=

26. Sea W₁, W2 dos s.e.v. de R4 y {e1,e2,e3,e4} La base canónica de R4. Sea 𝑊 =< {𝑒 + 𝑒 , 𝑒 − 𝑒 } >, 𝑊 =< {−𝑒 + 𝑒 , 𝑒 + 𝑒 } >. Determinar W₁+W2 y diga su dimensión. 27. Sea el e.v. (𝑃 [𝑥], 𝑅, +, … ). Sea 𝑊 = {𝑝(𝑥) ∈ 𝑃 [𝑥]/𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥 + 1)}. un s.e.v. de 𝑃 [𝑥]. Determinar un s.e.v. 𝑊 𝑑𝑒 𝑃 [𝑥] 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑃 [𝑥] = 𝑊 𝑊

8 ESPACIOS EUCLÍDEOS: En matemáticas, un espacio con producto interior es un espacio vectorial con una operación adicional, el producto interno (también llamada producto escalar o producto punto). Los espacios vectoriales con producto interno generalizan el concepto de Espacio Euclidiano

(el cual posee el producto escalar como producto interno) y se estudian en análisis funcional.

8.1 Producto interno Sean (V, K, +, *) un espacio vectorial cualquiera. Un producto interno sobre V es una función 〈. 〉: 𝑉𝑥𝑉 → 𝐾 tal que cumple con las siguientes propiedades: Sean 𝑢 , 𝑣 𝑦 𝑤 ∈ 𝑉 ; ∝∈ 𝐾 1. 2. 3. 4.

Linealidad: 〈(𝒖 + 𝒗). 𝒘〉 = 〈𝒖. 𝒘〉 + 〈𝒗. 𝒘〉 Homogeneidad: 〈∝ 𝒖. 𝒗〉 =∝ 〈𝒖. 𝒗〉 Simetría: 〈𝒖. 𝒗〉 = 〈𝒗. 𝒖〉 Positividad: 〈𝒗. 𝒗〉 > 𝟎, 𝒗 ≠ 𝟎

A la estructura de espacio vectorial junto con un producto interno se le denomina espacio con producto interior. Espacios vectoriales más frecuentemente utilizados: 8.1.1 8.1.2 8.1.3

(𝑅 , 𝑅, +,∗) Sean: 𝑢 = (𝑥 , 𝑥 )𝑦 𝑣 = (𝑦 , 𝑦 ); 𝑢 𝑦 𝑣 ∈ 𝑅 〈𝑢. 𝑣〉 = 𝑥 . 𝑦 + 𝑥 𝑦 (𝑅 , 𝑅, +,∗) Sean: 𝑢 = (𝑥 , 𝑥 , 𝑥 )𝑦 𝑣 = (𝑦 , 𝑦 , 𝑦 ); 𝑢 𝑦 𝑣 ∈ 𝑅 〈𝑢. 𝑣〉 = 𝑥 . 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 En general para (𝑅 , 𝑅, +,∗) Sean: 𝑢 = (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 )𝑦 𝑣 = (𝑦 , 𝑦 , … , 𝑦 ); 𝑢 𝑦 𝑣 ∈ 𝑅 〈𝑢. 𝑣〉 = 𝑥 . 𝑦 + 𝑥 𝑦 +, … , +𝑥 𝑦 Por lo tanto: 〈𝑢. 𝑣〉 =

8.1.4

𝑥 . 𝑦 = 𝑥 . 𝑦 + 𝑥 𝑦 +, … , +𝑥 𝑦

En general para (𝐶 , 𝐶, +,∗) Sean: 𝑢 = (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 )𝑦 𝑣 = (𝑦 , 𝑦 , … , 𝑦 ); 𝑢 𝑦 𝑣 ∈ 𝐶 〈𝑢. 𝑣〉 = 𝑥 . 𝑦 + 𝑥 𝑦 +, … , +𝑥 𝑦 Por lo tanto: 〈𝑢. 𝑣〉 =

𝑥 . 𝑦 = 𝑥 . 𝑦 + 𝑥 𝑦 +, … , +𝑥 𝑦

Ejemplo 51. Determinar si la siguiente expresión puede ser considerada un producto interno: Sean: 𝑢 = 𝑎 , 𝑎 , 𝑣 = 𝑏 , 𝑏 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅 : < 𝑢. 𝑣 > = 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 + 2𝑎 𝑏 Para que la expresión dada sea considerada un producto inetrno deberá cumplir con los axiomas anteriormente expuestos: 1. Linealidad: 〈(𝒖 + 𝒗). 𝒘〉 = 〈𝒖. 𝒘〉 + 〈𝒗. 𝒘〉 〈(𝒖 + 𝒗). 𝒘〉 = 〈(𝒖 + 𝒗). 𝒘〉 = < [(𝑎 , 𝑎 ) + (𝑏 , 𝑏 )] . (𝑐 , 𝑐 ) >

Axio. Reflexivo Def. vectores

= (𝑎 + 𝑏 , 𝑎 + 𝑏 ). (𝑐 , 𝑐 ) Hipótesis = (𝑎 + 𝑏 ). 𝑐 − (𝑎 + 𝑏 ). 𝑐 − (𝑎 + 𝑏 ). 𝑐 + 2(𝑎 + 𝑏 ). 𝑐 Hipótesis = 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑐 + 2𝑎 𝑐 + 2𝑏 𝑐 Axio. Distributivo = (𝑎 𝑐 − 𝑎 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 2𝑎 𝑐 ) + (𝑏 𝑐 − 𝑏 𝑐 − 𝑏 𝑐 + 2𝑏 𝑐 ) Axio. Asociativo =< (𝑎 , 𝑎 ). (𝑐 , 𝑐 ) > +< (𝑏 , 𝑏 ). (𝑐 , 𝑐 ) > Hipótesis. = 〈(𝑢 + 𝑣). 𝑤〉 2. Homogeneidad: 〈∝ 𝒖. 𝒗〉 =∝ 〈𝒖. 𝒗〉 〈∝ 𝒖. 𝒗〉 = 〈∝ 𝒖. 𝒗〉 Axio. Reflexivo = <∝ (𝑎 , 𝑎 ). (𝑏 , 𝑏 ) > Def. vectores = (∝ 𝑎 , ∝ 𝑎 ). (𝑏 , 𝑏 ) Produc. Por Escalar =∝ 𝑎 𝑏 −∝ 𝑎 𝑏 −∝ 𝑎 𝑏 + 2 ∝ 𝑎 𝑏 ) Hipótesis =∝ (𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 + 2𝑎 𝑏 ) Axio. Recolectivo =< (𝑎 , 𝑎 ). (𝑏 , 𝑏 ) > =∝ 〈𝒖. 𝒗〉 3. Simetría: : 〈𝒖. 𝒗〉 = 〈𝒗. 𝒖〉 〈𝒖. 𝒗〉 = 〈𝒖. 𝒗〉 = < (𝑎 , 𝑎 ). (𝑏 , 𝑏 ) > = 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 + 2𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 2𝑏 𝑎 =< (𝑏 , 𝑏 ). (𝑎 , 𝑎 ) > = 〈𝒗. 𝒖〉

Axio. Reflexivo Def. vectores Hipótesis Axio. Conmutativo Hipótesis

4. Positividad: 〈𝒗. 𝒗〉 > 𝟎, 𝒗 ≠ 𝟎 < 𝑢. 𝑢 > =< 𝑢. 𝑢 > = < (𝑎 , 𝑎 ) (𝑎 , 𝑎 ) > =𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 + 2𝑎 𝑎 = 𝑎 − 2𝑎 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = (𝑎 − 𝑎 ) + 𝑎 (𝑎 − 𝑎 ) + 𝑎 > 0

Axio. Reflexivo Def. vectores Hipótesis Suma de escalares Def. Producto Notable

8.2 Espacio Euclídeo Sea V un Espacio Vectorial cualquiera, este espacio toma el nombre de Espacio Euclideo si en este espacio se ha definido un producto interno.

8.3 Norma (módulo) La longitud de un vector 𝑢 a menudo se denomina norma de 𝑢 y se denota por La norma de un vector se define de la siguiente manera: ∥ 𝑢 ∥= √< 𝑢. 𝑢 >

∥𝑢∥

De esta definición se ve directamente que el vector nulo es el único vector cuya longitud es igual a cero. Un vector de norma 1 se denomina vector unitario.

Ejemplo 52. Determinar la norma de los siguientes vectores: Sea 𝑢 = (3, 4); 𝑢 ∈ 𝑅 ∥𝑢 ∥𝑢 ∥𝑢 ∥𝑢

∥= √< 𝑢. 𝑢 > ∥= < (3.4)(3.4) > ∥= √25 ∥= 5

1 2 ; 𝐴 ∈ 𝑀𝑎𝑡(𝑅) 3 −2 ∥ 𝐴 ∥= √< 𝐴. 𝐴 > ∥ 𝐴 ∥= 𝑡𝑟(𝐴. 𝐴 ) 1 2 1 3 ∥ 𝐴 ∥= 𝑡𝑟 . 3 −2 2 −2 5 −1 ∥ 𝐴 ∥= 𝑡𝑟 −1 13 ∥ 𝐴 ∥= √18

Sea 𝐴 =

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑒 ∁ [1,2] ∥ 𝑓(𝑥) ∥=

< 𝑓. 𝑓 >

∥ 𝑓(𝑥) ∥ =

∫ 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥

∥ 𝑓(𝑥) ∥ =

∫ 𝑒

∥ 𝑓(𝑥) ∥ = ∥ 𝑓(𝑥) ∥ =

. 𝑑𝑥

𝑙, (𝑒 − 𝑒 )

8.3.1 Propiedades de la Norma 1. ∥ 𝑢 ∥≥ 0 2. ∥∝ 𝑢 ∥= ∥∝ 𝑢 ∥ 3. ∥ 𝑢 + 𝑣 ∥≤ ∥ 𝑢 ∥ + ∥ 𝑣 ∥

Positividad Homogeneidad Desigualdad Triangular

Un espacio vectorial V en el que hay definida una norma se denomina espacio vectorial normado.

8.4 Distancia entre Vectores Sean 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, la distancia entre los vectores se define de la siguiente manera (para el caso en que se pueda graficar):

Si hacemos referencia con vectores, tendríamos que: 𝑣 = 𝑢 + 𝑢𝑣⃗ Donde la distancia entre los vectores 𝑢, 𝑣 gráficamente sería 𝑢𝑣⃗ = 𝑣 − 𝑢 Como la distancia es una métrica, se tiene que : ∥ 𝑢𝑣 ∥=∥ 𝑣 − 𝑢 ∥ Ejemplo: Determinar la distancia entre los vectores dados: 𝑢 = (1,3) 𝑣 = (2,5) 𝑤 = 𝑣 − 𝑢 ∥ 𝑤 ∥= √< 𝑤. 𝑤 > ∥ 𝑤 ∥= < (𝑣 − 𝑢). (𝑣 − 𝑢) > ∥ 𝑤 ∥= < (1 − 2). (1 − 2 > ∥ 𝑤 ∥= √5

8.5 Paralelismo Sean 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑉 un espacio vectorial cualquiera, se dice que 𝑢 𝑦 𝑣 son paralelos si ∃∝ ∈ 𝐾 tal que: ∝ 𝑢 = 𝑣

8.6 Perpendicularidad. Sean 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑉 un espacio vectorial cualquiera, se dice que 𝑢 𝑦 𝑣 son perpendiculares si < 𝑢. 𝑣 >= 0 Ejemplo 53: Supóngase que u, v y w son vectores tales que: < 𝑢 ∙ 𝑣 >= 3, < 𝑣 ∙ 𝑤 >= −5, < 𝑢 ∙ 𝑤 >= 6 , ‖𝑢‖ = 2, ‖𝑣‖ = −2 , ‖𝑤‖ = 4 Determine el valor de las siguientes expresiones: a. ‖5𝑤 − 2𝑣‖ b. < 𝑢 − 𝑣 − 3𝑤 ∙ 5𝑣 + 2𝑤 − 𝑢 > Solución: a. ‖5𝑤 − 2𝑣‖ ‖5𝑤 − 2𝑣‖ =

(5𝑤 − 2𝑣). (5𝑤 − 2𝑣)

‖5𝑤 − 2𝑣‖ = √25 < 𝑤 ∙ 𝑤 > −10 < 𝑣 ∙ 𝑤 > −10 < 𝑣 ∙ 𝑤 > +4 < 𝑣 ∙ 𝑣 > ‖5𝑤 − 2𝑣‖ = √25 < 𝑤 ∙ 𝑤 > −20 < 𝑣 ∙ 𝑤 > +4 < 𝑣 ∙ 𝑣 > Sabemos que: ‖𝑤‖ = √< 𝑤 ∙ 𝑤 > ; Por lo tanto: ‖𝑤‖ =< 𝑤 ∙ 𝑤 > < 𝑤 ∙ 𝑤 >= 16 ‖𝑣‖ =< 𝑣 ∙ 𝑣 > < 𝑤 ∙ 𝑤 >= 4 Con estos valores reemplazando en la expresión anterior tenemos: ‖5𝑤 − 2𝑣‖ = 25(16) − 20(−5) + 4(4) ‖5𝑤 − 2𝑣‖ = 25(16) − 20(−5) + 4(4) ‖5𝑤 − 2𝑣‖ = √400 + 100 + 16 ‖5𝑤 − 2𝑣‖ = √516 b.

< 𝑢 − 𝑣 − 3𝑤 ∙ 5𝑣 + 2𝑤 − 𝑢 >

< 𝑢 − 𝑣 − 3𝑤 ∙ 5𝑣 + 2𝑤 − 𝑢 >= 5 < 𝑢 ∙ 𝑣 > −5 < 𝑣 ∙ 𝑣 > −15 < 𝑣 ∙ 𝑤 > −2 < 𝑢 ∙ 𝑤 > −2 < 𝑣 ∙ 𝑤 > −6 < 𝑤 ∙ 𝑤 > −< 𝑢 ∙ 𝑢 > +< 𝑢 ∙ 𝑣 > +3 < 𝑢 ∙ 𝑤 > < 𝑢 − 𝑣 − 3𝑤 ∙ 5𝑣 + 2𝑤 − 𝑢 >= 6 < 𝑢 ∙ 𝑣 > −5 < 𝑣 ∙ 𝑣 > −17 < 𝑣 ∙ 𝑤 > −< 𝑢 ∙ 𝑤 > −6 < 𝑤 ∙ 𝑤 > −< 𝑢 ∙ 𝑢 > < 𝑢 − 𝑣 − 3𝑤 ∙ 5𝑣 + 2𝑤 − 𝑢 >= 6(3) − 5(4) − 17(−5) − 6 − 6(16) − (4) < 𝑢 − 𝑣 − 3𝑤 ∙ 5𝑣 + 2𝑤 − 𝑢 >= −23

8.7 Proyección de vectores Sean 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑉 un espacio vectorial cualquiera

Para determinar la proyección del vector 𝑢 sobre el vector 𝑣, se debe determinar el valor de ∝ y este valor multiplicarlo por v, de tal forma que: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑐𝑐 𝑣 =∝ 𝑣 Partiendo de: 𝑢 + 𝑝 =∝ 𝑣 Al realizar el producto interno en ambos lados de la igualdad tenemos: 〈𝑣 ∙ (𝑢 + 𝑝)〉 = 〈𝑣 ∙ 𝑣〉 〈𝑣 ∙ 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑝〉 = 〈𝑣 ∙∝ 𝑣〉 Como 𝑣 y 𝑝 son perpendiculares se tiene que 〈𝑣 ∙ 𝑝〉=0 〈𝑣 ∙ 𝑢〉 =∝ 〈𝑣 ∙ 𝑣〉 ∝=

〈𝑣 ∙ 𝑢〉 〈𝑣 ∙ 𝑣〉

8.8 Ángulo entre vectores.

u

p

𝜃 ∝𝑣

v  v Como se puede observar en el gráfico: cos   u  u Se conoce que: 

uv vv

v

u v

Por lo tanto se tiene que: cos  

v  Se conoce que:

v cos  

cos  

2

vv

v

u

vv  v v

u v v 2 v u uv v u

Por lo tanto la expresión para calcular el ángulo entre vectores es: cos  

u v v u

8.9 Proceso de Ortogonalización PROCESO DE GRAM – SCHMIDT Sea B un subconjunto linealmente independiente B = {u , u , . . . , u }, del conjunto B se puede obtener un conjunto ortogonal B = {w , w , … , w }, con el siguiente proceso: 1. w = u 2. w = u −

< u .w < w .w

> .w >

Ejemplo: Sea B una base del Subespacio Mat(R) . B = obtener una base ortogonal a partir de esta base. Aplicando: 1. w = u 2. w = u −

< u .w < w .w

B=

1 0 2 −1

> .w >

0 1 −1 3

0 1 2 0

1 0 2 −1

0 −1

1 3

0 2

1 , 0

1 0 0 ;𝑢 = 2 −1 −1

u =

1 0 1 ;𝑢 = 3 2 0

w =u 1 0 2 −1

w =

w =u −

< u .w > w < w .w >

0 1 1 2 . 0 1 −1 0 . 1 2 2 −1 𝑤 = − 1 2 1 2 2 −1 −1 0 . −1 0 −1 0 𝑤 =

0 1 2 −1 . .

𝑤 =𝑢 −

. .

.𝑤 −

𝑤 =

3 0 − 0 −2

𝑤 =

3 0 − 0 −2

𝑤 =

3 0 − 0 −2

.

.𝑤 .

.

1 −1

2 − 0

1 0

−

1 −1

.

2 − 0

.

.

0 1 2 −1

0 1 2 −1 0 −

−

𝑤 =

−

−

Por lo tanto la base ortogonal será:

B =

1 −1

2 0 1 ; ; 0 2 −1

5 4 − 2 3 1 5 − − 6 3

Ejemplo: Ortogonalizar el siguiente conjunto: S={(1,2, −1); (0,1,3); (1,0,5)} Para este caso analizamos primeramente si el conjunto es linealmente independiente: α(1,2, −1) + β(0,1,3) + γ(1,0,5) = (0,0,0) 1 2 −1

0 1 0 F − 2F 1 0 0 F +F 3 50

1 0 0 1 0 3

1 0 −2 0 F − 3F 6 0

1 0 1 0 0 1 −2 0 0 0 12 0

Como el sistema tiene única solución, y ésta es la trivial, el conjunto es linealmente independiente; por lo tanto se puede ortogonalizar. w =u

w = (1,2, −1) w =u −

< u .w > .w < w .w > ( , , )∗( , , ) , , )∗( , , )

w = (0,1,3) − ( w = (0,1,3) + w = (0,1,3) + w =

(1,2, −1)

, ,−

, ,−

w = u − w = (1,0,5) −

. .

. .

.w − ( , , ).( , , ) ( , , ).( , , )

w = (1,0,5) − ( , , ) − ,−

.w .w −

w = (1,0,5) − . (1,2, −1) −

w =

. (1,2, −1)

. ,

( , , ). , , , ,

. , ,

.w

, ,− ,−

,−

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. En el e.v. (P , ℝ, +, .. se define: 𝑝(𝑥)/𝑞(𝑥) = 𝑝(0)𝑞(0) + 𝑝(1)𝑞(1) + 𝑝(−1)𝑞(−1)

Demostrar que (/) define un producto interno (p.i.) en el e.v. (𝑃 , ℝ, +,∗) 2. Sean u = (x , x , x , x ), y = (y , y , y , y ) elementos del e.v. (𝐑𝟒 ,ℝ, +. . ).Se define 1 0 (𝑢/𝑣) = (x , x , x , x ) 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4

y y y y

. Demostrar que (/) defien un p.i.

3. Sean u, v Є V e.v. con p.i. (/) sobre ℝ. a. ¿ Si ‖𝑢 + 𝑣‖ = ‖𝑢‖ + ‖𝑣‖ ⇒ (𝑢/𝑣) = 0? b. Si {𝑢, 𝑣} es l.d. ⇒ ¿‖𝑢 + 𝑣‖ = ‖𝑢‖ + ‖𝑣‖? 4. Sea (V,K,+,..) un e.v. con p.i. (/) a. Sean 𝑢 , 𝑢 , 𝑣 , 𝑣 elementos del e.v. entonces:2‖𝑢 + 𝑢 ‖ + 2‖𝑣 ‖ + 2‖𝑣 ‖ + 2‖𝑢 ‖ = ‖𝑢 + 𝑢 + 𝑣 ‖ + ‖𝑢 + 𝑢 − 𝑣 ‖ + ‖𝑢 + 𝑣 ‖ + ‖𝑢 − 𝑣 ‖ b. Si ‖𝑢 ‖ = ‖𝑣 ‖⇒ u + v y u − v son ortogonales 5. Ver si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas (justificar la respuesta): a. Sea (/) es un p.i. en (V, ℝ,+,..). Si αЄℝ⇒ α.(/) ¿es un p.i. en el e.v. V sobre ℝ? b. Sea V un e.v. con p.i. sobre ℝ. Sea S ⊆ V, S={u,v} l.d. u y v no son nulos. ¿Existe algún conjunto ortogonal que genere a <S>? c. ¿Sea S un subconjunto de un e.v. V con p.i. Si S es ortogonal ⇒ S es l.i.?

d. Sea V un e.v. con p.i. (/) sobre ℝ. Si el ángulo entre los vectores u,v es 90°, entonces ¿(u/v)=0? e. Sea p(x) = a° + a x y q(x) = b° + b x elementos del e.v. P [x] sobre ℝ.Si (p/q) = a b + a° b + a b° + 8a° b° ⇒ (/) es un p.i.? 6. En el e.v. (ℝ , ℝ, +..) con el p.i. (/) usual: a. Si W = {(x, y, z, t)Єℝ /x − 2y − z + t = 0} un s.e.v. del e.v. ℝ , dar una base B ortonormal para W. b. A partir de B completar una base ortonormal para todo el e.v. ℝ 7. Sobre V = (P , ℝ, +, . . ) se define el p.i. (/) de la siguiente manera: (p(x)/q(x)) = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(−1)q(−1) a. Sea 𝑟(𝑥) = 1 − 2𝑥 + 𝑥 . Calcular W = {p(x)ЄP /(p(x)/r(x)) =0} b. Calcular una base B para W (indique la dimensión de W ). c. Hallar una base B ortonormal para W . d. A partir de B construir una base ortonormal para todo el e.v. P . e. ¿P =< {𝑟(𝑥)} >⊗ W ? 8. Sea 𝐹 = {𝑓: 𝑅𝑅 / 𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛} Sea (F,R,+,.) e.v. con p.i. definido por:  (f/g)=∫  𝑝(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Demostrar que 𝑆 = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), 3 + cos(𝑥)}es ortogonal ¿S es una base para <S>? 9. En el e.v. 𝑃 [𝑡] sobre R se define el p.i. (/): Sea 𝑝(𝑡) = 𝑎 + 𝑏 𝑡 + 𝑐 𝑡 y 𝑞(𝑡) = 𝑎 + 𝑏 𝑡 + 𝑐 𝑡 y (𝑝(𝑡)/ 𝑞(𝑡)) = 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 a. Calcular el conjunto 𝐵 = {𝑝 , 𝑝 , 𝑝 } tal que: 𝑝 (𝑡)es un polinomio ortogonal a 𝑝(𝑡) = 2𝑡 + 𝑡 𝑝 (𝑡) = 𝑡 + 𝑡 + 1y forma un ángulo de 60 con 𝑝 (𝑡) 𝑝 (𝑡)es una combinación lineal de 𝑝(𝑡) b. ¿B es una base para dicho e.v.? c. Ortonormalizar la base 𝐵 10. Sean el e.v. (𝑃 [𝑥], 𝑅, +, . ) con un p.i. (/) y q 𝑃 [𝑥]. ¿Si {𝑝 , 𝑝 } es l.i. en 𝑃 [𝑥] => {(𝑞 /𝑝 ), (𝑞/ 𝑝 )} es l.i. en el e.v. 𝑃 [𝑥]? 11. Sean 𝑝(𝑥) = 5-2x+3𝑥 . Sea 𝑆 = {𝑝(𝑥), 𝑝, (𝑥), 𝑝,, (𝑥), 𝑝,,, (𝑥)} a. ¿ S es una base del e.v. (𝑃 [𝑥],R,+,.)? b. Halle las coordenadas del polinomio 𝑞(𝑥) = 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 en esta base (en el caso de que S sea una base). c. Determinar <S> 𝑥 + ( − 3)𝑦 + 𝑧 =  + 2 12. Sea W el conjunto solución del sistema: −𝑥 + ( + 3)𝑦 + (2 − 6)𝑧 = 2 + 2 .En 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 =  + 2 los casos, en los cuales sea posible, encontrar una base ortogonal para W y extiende a una base ortogonal para 𝑅 13. Sobre 𝑉 = (𝑃 [𝑥], 𝑅, +, . ) Se define (p(x)/q(x))=∫ 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)𝑑𝑥 a. Demostrar que (/) define un producto interno (p.i.) en 𝑃 [𝑥] b. Sea r(x)=𝑥 − 𝑥 . Calcular 𝑊  = {𝑝(𝑥)𝑃2[𝑥]/(𝑝(𝑥)/ 𝑟(𝑥) = 0)} c. Halle una base B para 𝑊  (indique su dimensión). 14. Sobre V = (𝑃 [𝑥], 𝑅, +, … ) 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒: (𝑝(𝑥)⁄𝑞(𝑥)) = ∫ 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)𝑑𝑥 a. Demostrar que (/) define un producto interno (p.i.) en 𝑃 [𝑥] . b. Sea 𝑟(𝑥) = 𝑥. 𝑥 . 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑊  = {𝑝(𝑥) ∈ 𝑃2[𝑥]⁄(𝑝(𝑥)/𝑟(𝑥) = 0} c. Halle una base B para 𝑊  (indique su dimensión) d. Hallar una base B ortonormal para 𝑊  e. e) A partir de B, construir un base ortonormal para todo el e.v. 𝑃 [ ] . ¿ 𝑃 [ ] = < {𝑟(𝑥)} > 𝑊  ?

𝑎 𝑏 15. Dados los s.e.v. 𝑊 = 𝑎 +𝑑 = 𝑏 +𝑐 ,𝑦 𝑊 = 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 𝑥 + 𝑡 = 𝑧  𝑥 − 𝑦 = 𝑡 del e.v. (𝑀 (𝑅), 𝑅, +, … ) con el producto interno 𝑧 𝑡 definido por: (A/B) =Tr (A.B)? a. Determinar 𝑊 ∩ 𝑊 𝑦 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠. 𝑒. 𝑣. . 𝐷𝑖𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 b. Determinar 𝑊 + 𝑊 y de una base 𝐵 ortogonal de este s.e.v que contenga a 𝐵. Diga la dimensión c. 𝑀 = 𝑊 𝑊 ?(justifique) d. 𝑊 ∪ 𝑊 es un s.e.v.? (justifique) e. ¿Existe alguna base ortonormal para 𝑀 (𝑅) que contenga a 𝐵 o a B? En caso afirmativo, encontrar la base. 16. 16. Sea 𝐹 = {𝑓: 𝑅 → 𝑅 ⁄𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛}. Sea (F, R,+,…) e.v. con p.i. definido por: (𝑓 ⁄𝑔) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Si 𝑃 [𝑥] es un s.e.v. del e.v. F sobre R, entonces a partir de la base {1,x,𝑥 }, obtenga una base ortonormal para 𝑃 [𝑥] 17. 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝐵 = {1 + 𝑥, 𝑥 + 𝑥 , 1 + 𝑥 } 𝑦 𝐵 = {1 + 𝑥 + 𝑥 , 𝑥 − 𝑥 , 𝑥 } dos bases de e.v. 𝑃 [𝑥] sobre R a. Encontrar las coordenadas de los vectores de 𝐵 respecto a la base 𝐵 . b. Escriba M, donde M es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de 𝐵 respecto a la base 𝐵 , respectivamente c. Si u es el vector coordenado de q(x) (expresado como columna) en las base 𝐵 , entonces w=M.u es el vector coordenado de q(x) en la base 𝐵 . d. Sea u= (1,-1,2) el vector coordenado de q(x) respecto a 𝐵 , hallar las coordenadas de q(x) respecto a 𝐵 usando la matriz M. Determinar el polinomio q(x).

9 TRANSFORMACIONES LINEALES Sea V y W espacios vectoriales definido sobre un mismo campo K, y f una función f: V → W, f es una transformación lineal (Aplicación Lineal) si cumple el siguiente axioma: ∀ u, v ∈ V,

∝∈ K

1. f (u + v) = f(u) + f(v) 2. f (∝ u)

= ∝ f(u)

Generalmente a las Transformaciones Lineales se les identifica con ℒ (V, W) → conjunto de aplicaciones lineales de V a W Se puede considerar como la unión de los anteriores axiomas el siguiente axioma. 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) = ∝ 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣)

Ejemplo: Determine si la siguiente aplicación lineal se puede considerar transformación lineal. f∶ R → R f(x, y) = (x + y, x − 2y) Se procede a la comprobación de los dos axiomas. Primer axioma 1 2 3 4 5 6 7

f (u + v) = f(u) + f(v)

𝑓 (𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑢 + 𝑣) 𝑓 (𝑢 + 𝑣) = [(𝑥 , 𝑦 ) + (𝑥 , 𝑦 )] 𝑓 (𝑢 + 𝑣) = 𝑓[(𝑥 + 𝑥 ); (𝑦 + 𝑦 )] 𝑓 (𝑢 + 𝑣) = [𝑥 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 , 𝑥 + 𝑥 − 2(𝑦 + 𝑦 )] 𝑓 (𝑢 + 𝑣) = [𝑥 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 ] 𝑓 (𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑥 , 𝑦 ) + 𝑓(𝑥 , 𝑦 ) 𝑓 (𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣)

Segundo axioma

f (∝ u)

1 2 3 4 5

= = = = =

𝑓 (∝ 𝑢) 𝑓 (∝ 𝑢) 𝑓 (∝ 𝑢) 𝑓 (∝ 𝑢) 𝑓 (∝ 𝑢)

= ∝ f(u)

𝑓 (∝ 𝑢) 𝑓[∝ (𝑥 , 𝑦 )] 𝑓[∝ 𝑥 , ∝ 𝑦 ] [∝ 𝑥 + ∝ 𝑦 , ∝ 𝑥 − 2 ∝ 𝑦 ] [∝ (𝑥 + 𝑦 ), ∝ (𝑥 − 2𝑦 ) ]

6 7 8

𝑓 (∝ 𝑢) 𝑓 (∝ 𝑢) 𝑓 (∝ 𝑢)

= ∝ [(𝑥 + 𝑦 ), (𝑥 − 2𝑦 ) ] = ∝ 𝑓[(𝑥 , 𝑦 )] = 𝑓 (∝ 𝑢)

Si u=(𝑥 , 𝑦 ) y v=(𝑥 , 𝑦 ) Determinar si 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦) es una transformación lineal mediante : 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) = 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣)

= 𝑓[∝ (𝑥 , 𝑦 ) + (𝑥 , 𝑦 )] = 𝑓[∝ (𝑥 + 𝑥 ) , (𝑦 + 𝑦 )] = [∝ 𝑥 + 𝑥 +∝ 𝑦 + 𝑦 ] = [(∝ 𝑥 + 𝑥 +∝ 𝑦 + 𝑦 ), (∝ 𝑥 + 𝑥 −∝ 𝑦 − 𝑦 )] = [∝ 𝑥 +∝ 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 , ∝ 𝑥 − 2 ∝ 𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 ] = [∝ (𝑥 + 𝑥 ) , ∝ (𝑦 − 2𝑦 )] =∝ [(𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 ) + (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 )] =∝ 𝑓(𝑥 , 𝑦 ) + 𝑓(𝑥 , 𝑦 ) = ∝ 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣)

Ejemplo: Sea V = {f f = R → R continua} y F ∶ V → V, determinar si ∫ f(t)dt, es una combinación lineal. Sean : g(x) y h(x) ∈ V; ∝ ∈ 𝑅 𝑇[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] = 𝑇[𝑔(𝑥)] + 𝑇[ℎ(𝑥)] 𝑇[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] = 𝑇[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] 𝑇[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] =

[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)]𝑑𝑡

𝑇[(𝑓 + 𝑔)(𝑥) ] = 𝑇[(𝑓 + 𝑔)(𝑥)] 𝑇[(𝑓 + 𝑔)(𝑥)] =

[(𝑓 + 𝑔)(𝑥)]𝑑𝑡

𝑇[(𝑓 + 𝑔)(𝑥)] =

[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)]𝑑𝑡

𝑇[(𝑓 + 𝑔)(𝑥)] =

𝑔(𝑥) +

𝑇[𝑓(𝛼𝑓)(𝑥)]

ℎ(𝑥)

= ∝ 𝑇[𝑓(𝑥)]

𝑇[𝑓(𝛼𝑓)(𝑥)] = 𝑇[𝑓(𝛼𝑓)(𝑥) 𝑇[𝑓(𝑓)(𝑥)] = 𝑇[𝑓𝛼(𝑥)] =

[(𝛼𝑓)(𝑥)]𝑑𝑡 𝛼𝑓(𝑥)𝑑𝑡

𝑇[𝑓(∝ 𝑓)(𝑥)] = 𝛼

𝑓(𝑥)𝑑𝑡

Ejemplo: Verificar si f Mat(R) → P es una transformación lineal: 𝑓

𝑎 𝑐

𝑏 = (𝑎 − 𝑑) + (𝑐 + 𝑏)𝑥 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 𝑑

𝑇 f(x) =

Siendo: 𝑢=𝐴=

𝑎 𝑐

𝑏 𝑑

𝑣=𝐵=

𝑎 𝑐

𝑏 𝑑

𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) = ∝ 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) Las matrices se pueden representar de la siguiente manera 𝑓(𝐴 + 𝐵) = 𝑓(∝ 𝑢 + 𝑣) = 𝑓 (𝐴 + 𝐵) = 𝑓(𝐴) + 𝑓(𝐵) 1 2 3 4 5 6

𝑓 (𝐴 + 𝐵) = 𝑓(𝐴 + 𝐵) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑓 (𝐴 + 𝐵) = 𝑓 + 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 𝑓 (𝐴 + 𝐵) = (𝑎 + 𝑎 ) − (𝑑 + 𝑑 ) + [(𝑐 + 𝑐 ) + (𝑏 + 𝑏 )]𝑥 − [(𝑎 + 𝑎 ) + (𝑏 + 𝑏 )]𝑥 𝑓 (𝐴 + 𝐵) = 𝑎 − 𝑑 + 𝑎 − 𝑑 + [(𝑐 + 𝑏 )𝑥 + (𝑐 + 𝑏 )]𝑥 − [(𝑎 + 𝑏 )𝑥 − (𝑎 + 𝑏 )]𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑓 (𝐴 + 𝐵) = 𝑓 +𝑓 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 𝑓 (𝐴 + 𝐵) = 𝑓(𝐴) + 𝑓(𝐵)

Cuando existe una constante, esta elevado a cualquier potencia o se multiplican no es transformación lineal. Ejemplo: Determine si la siguiente función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧 + 1), puede ser considerada una aplicación lineal Utilizando las bases canónicas sacamos su imagen y comprobamos el axioma de la suma. 𝑓(1,0,0) = (1,1) 𝑓(0,0,1) = (0,0) Sumando los vectores del espacio de partida se tiene: f(1,0,0) + f(0,0,1) = f(1,0,1) y evaluando este resultado en la función dada 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧 + 1) se tiene: f(1,0,1) = (1,0); mientras que sumando las imágenes de cada una de los vectores de entrada se tiene que: f(1,0,1) = (1,1); por lo tanto esa función no puede ser considerada una aplicación lineal. Comprobar si f Mat(R) → Mat(R) es Transformación Lineal: 𝑓(A) = A ∗ A

Sean: C y D ∈ Mat(R) 𝑇(𝐶) = 𝐶 ∗ 𝐶 𝑇(𝐷) = 𝐷 ∗ 𝐷 1. 2. 3. 4.

𝑇(𝐶 + 𝐷) = 𝑇(𝐶 + 𝐷) 𝑇(𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷) ∗ (𝐶 + 𝐷) 𝑇(𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷 ) ∗ (𝐶 + 𝐷) 𝑇(𝐶 + 𝐷) = 𝐶 ∗ 𝐶 + 𝐶 ∗ 𝐷 + 𝐷 ∗ 𝐶 + 𝐷 ∗ 𝐷

Ya que T(C + D) es diferente a C ∗ C + C ∗ D + D ∗ C + D ∗ D Transformación Lineal.

9.1

NO

es

Propiedades de las Transformaciones lineales: I. II. III.

Si f(u) = v , f(−u) = −v 𝑓(0) = 0 , 0 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑆𝑒𝑎 𝑓: 𝑉 → 𝑊: S un subconjunto de 𝑉, 𝑆 = {𝑣 , 𝑣 , 𝑣 , … . . 𝑣 } Linealmente independiente y 𝑇 = {𝑤 , 𝑤 , 𝑤 , … . . 𝑤 } un subconjunto cualquiera de W; entonces existe una única transformación lineal tal que: f(v ) = w ; f(v ) = w ; f(v ) = w ; … … … … ; f(v ) = w

IV. 𝑆𝑒𝑎 𝑓: 𝑉 → 𝑊: se tiene que 𝑣 , 𝑣 , 𝑣 , … . 𝑣 ∈ 𝑉 𝑦 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , … … . . 𝑎 ∈ 𝐾 entonces se cumple que: f(a v + a v + ⋯ + a v ) = a f(v ) + a f(v ) + a f(v ) + ⋯ a f(v ) Ejemplo: Sea f: R → P tal que: 𝑓(1,1,1) 𝑓(2,0,0) 𝑓(0,4,5)

= 1 − 2𝑥 + 𝑥 = 3+𝑥−𝑥 = 2 + 3𝑥 + 3𝑥

Determinar f(2, −3,1) = ? Para resolver este ejercicio se debe probar que los elementos del espacio de partida deben ser linealmente independientes, es decir se debe probar que el siguiente conjunto sea linealmente independiente {(1,1,1); (2,0,0); (0,4,5)}. 1 1 2 0 0 4

1 0 = −2 5

Como el determinante es diferente de cero, entonces el conjunto es linealmente independiente. Como el conjunto es linealmente independiente, este puede ser considerado como una base, por lo tanto: (2, −3,1) = α(1,1,1) + β (2,0,0) + γ (0,4,5) Es decir : f(2, −3,1) = 𝑓[𝛼(1,1,1) + 𝛽 (2,0,0) + 𝛾 (0,4,5)] f(2, −3,1) = 𝛼𝑓(1,1,1) + 𝛽 𝑓(2,0,0) + 𝛾 𝑓(0,4,5), aplicando la IV propiedad anteriormente expuesta. Por lo tanto se necesita encontrar los escalares: 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 Se plantea el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de alfa, beta y gama. 2 = α + 2β −3 = α + 4 γ 1 = α+ 5γ Dándonos como resultado

α = −19 21 β = 12 γ = 4 Los valores se reemplazan en función a las imágenes dadas 𝑓(2, −3,1) = 𝛼𝑓(1,1,1) + 𝛽 𝑓(2,0,0) + 𝛾 𝑓(0,4,5) 21 𝑓(2, −3,1) = −19𝑓(1,1,1) + 𝑓(2,0,0) + 4𝑓 (0,4,5) 12 21 (3 + 𝑥 − 𝑥 ) + 4 ( 2 + 3𝑥 + 3𝑥 ) 𝑓(2, −3,1) = −19(1 − 2𝑥 + 𝑥 ) + 12 41 31 35 𝑓(2, −3,1) = − 𝑥− 𝑥 2 2 2 En caso de tener muchas transformaciones lineales con su imagen lo más conveniente es sacar una formula general. Ejemplo: En el siguiente gráfico se tiene la siguiente información:

-4,6

y

4,6 7,4

-7,4 -2,2

2,2 x

Determina la aplicación lineal para pasar del primer al segundo cuadrante: Por simple Inspección se puede determinar que: f(x, y) = (−x, y); se debe analizar si esta expresión cumple con los axiomas de una aplicación lineal, para lo cual: Sean: u , v ∈ R y α ∈ R u = (x , y ) y v = (x , y ) Por demostrar que: 1. f (u + v) = f(u) + f(v) 2. f (∝ u)

= ∝ f(u)

𝒇 (𝒖 + 𝒗) = 𝒇(𝒖) + 𝒇(𝒗) f(u + v) = f(u + v) f(u + v) = f (x , y ) + (x , y ) f(u + v) = f (x + x ) + (y + y ) f(u + v) = f (−x − x ), (y + y ) f(u + v) = f (−x , y ) + (−x , y )

f(u + v) = f(u) + f(v)

𝒇 (∝ 𝒖)

= ∝ 𝒇(𝒖)

f(αu) = f(αu) f(αu) = f(α(x , y ) ) f(αu) = f(αx , αy ) f(αu) = (−αx , αy ) f(αu) = α(−x , y ) f(αu) = αf(u)

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Considere las transformaciones del 1 al 15 y en cada una de ellas verificar que son lineales, 𝑎 𝑏 2. 𝑇 ∶ 𝑃 (𝑥)  𝑀 𝑥 (𝑅) 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥) = 𝑏 0 3. 𝑇 ∶ 𝑃 (𝑥)  𝑃 (𝑥) 𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑥𝑝(𝑥) 𝑎 𝑏 4. 𝑇 ∶ 𝑀 𝑥 (𝑅)  𝑅 𝑇 =𝑎 + 𝑏 𝑐 𝑑 5. 𝑇 ∶ 𝑃 (𝑥)  𝑃 (𝑥) 𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑝’(𝑥) 𝑎 𝑎 6. 𝑇 ∶ 𝑃 (𝑥)  𝑀 𝑥 (𝑅) 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = 𝑎 𝑎 7. 𝑇 ∶ 𝑀 𝑥 (𝑅))  𝑀 𝑥 (𝑅) 𝑇 (𝐴) = 𝐴 8. 𝑇 ∶ 𝑀 𝑥 (𝑅)  𝑅 𝑇(𝐴) = 𝑇𝑟(𝐴) 𝑎 𝑏 9. 𝑇 ∶ 𝑀 𝑥 (𝑅)  𝑅 𝑇 = (𝑎 , 𝑏 , 𝑏) 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 10. 𝑇 ∶ 𝑅  𝑀 𝑥 (𝑅) 𝑇(𝑎 , 𝑏 , 𝑐) = 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 11. 𝑇 ∶ 𝑀 𝑥 (𝑅)  𝑅 𝑇 = 𝑎 + 𝑑 𝑐 𝑑 2. Sea el espacio vectorial 𝑉(𝑉, 𝐾, +, . . ); 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛. 𝐿: 𝑉 → 𝑉 es una transformación lineal. a. Si {𝑣 , 𝑣 , … , 𝑣 } es linealmente dependiente, {𝐿(𝑣 ), 𝐿(𝑣 ), … , 𝐿(𝑣 )} es linealmente dependiente? b. Si {𝑣 , 𝑣 , … , 𝑣 } es linealmente independiente, {𝐿(𝑣 ), 𝐿(𝑣 ), … , 𝐿(𝑣 )} es linealmente independiente? 3. Si 𝐴 es subespacio vectorial de 𝐸 𝑦 𝐿: 𝐸 → 𝐹, define una transformación lineal, demostrar que 𝐿(𝐴) es subespacio vectorial de 𝐹. 4. Sean 𝑉 , 𝑉 dos espacios vectoriales de dimensión 2 y con la misma base, 𝐵 = {𝑣 , 𝑣 } y sea 𝐿: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal, tal que: 𝐿(𝑣 , 𝑣 ) = 3𝑣 + 9𝑣 𝐿(3𝑣 , 2𝑣 ) = 7𝑣 + 23𝑣 a. Calcular 𝐿(𝑣 − 𝑣 ) 5. Comprobar que las siguientes aplicaciones no son lineales. a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2. |𝑥| + 𝑦

b. c. d. e. f. g. 6. Si

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦 ) 𝑓(𝐴) = 𝐷𝑒𝑡 𝐴, 𝐴 𝑀 (𝑅) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 − 𝑧; 𝑥 + 1 + 𝑧) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝐼𝑛 (𝑦), 𝑥) 𝑓(𝑥) = (𝑥, 𝑒 , 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑓(𝐴) = 𝐴. 𝐴, 𝑐𝑜𝑛 𝐴 𝑀 (𝑅) f  L (𝑅 , 𝑅 ) tal que f (1, 1,-1)= (1,-2,3). Hallar el valor de f (-1,-1,1) 7. ¿Sea f de 𝑅 𝑒𝑛 𝑅 tal que, f (0⃗)=0⃗, entonces f es una aplicación lineal? 8. Hallar una aplicación lineal f de 𝑃 (𝑥)en 𝑅 tal que f (p(x))= (p(0),p(1),p(2)). 9. Hallar la aplicación lineal de f de 𝑃 (𝑥) en 𝑅 tal que f(p(x))=(p(-1),p(1),p(-2)) 10. Determinar la fórmula que define la simetría con respecto a la recta y=2x. Verificar que esta aplicación es lineal. 11. La proyección ortogonal f de un vector 𝑣⃗V sobre un subespacio vectorial W de V está ( / ⃗)

dada por f (v) =v – ‖ ⃗‖ .𝑛⃗ .Demostrar que f es una aplicación lineal.

9.2

Aplicación Lineal asociada a una matriz Dada la matriz A ∈ Mat(k)

∶ A = (a )

, la aplicación definida por:

f :k → k x → f (x) = Ax f (k) = Ax es una aplicación lineal es decir f ∈ ℒ (k , k ); Esta aplicación lineal asociada a la matriz A. Demostración: f (αx + y) = f (αx + y) f (αx + y) = A(αx + y) f (αx + y) = A(αx) + Ay f (αx + y) = αf x + f y Ejemplo: Dada la matriz: A =

1 −1 2 −1

1 encontrar la aplicación lineal a la matriz A 0

NOTA:  

El número de columnas indícale espacio de partida. El número de filas indica el espacio de llegada.

Por lo tanto la aplicación lineal sea de f: R → R x f (x, y, z) = A y x 1 −1 f (x, y, z) = 2 −1

1 0

x y x

f (x, y, z) = (x − y + z; 2x − y)

𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 ; 𝒙 − 𝒛) 𝑥 𝑥 También se lo puede representar como: 𝑓 𝑦 = 𝑥 𝑧

9.3

−2𝑦 0

3𝑧 −𝑧

Matriz asociada a una aplicación lineal Sea f ∈ L (k , k ) entonces existe una matriz A = (a ) ∈ M ∀x ∈ k

tal que: f(x) = Ax ∶

La columna de la matriz A, son las coordenadas de los elementos de la base canónicas de k , bajo f respecto de la base canónica de R y R respectivamente. 𝑥 𝑥 Ejemplo: Considerando el ejercicio anterior: 𝑓 𝑦 = 𝑥 𝑧

−2𝑦 0

3𝑧 −𝑧

Para determinar la matriz asociada a la transformación lineal se deben considerar las bases canónicas. Bases canónica R ; B = {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)} R ; B = {(1,0); (0,1)} Calcular imágenes con respecto a B, es decir: f(1,0,0) = (1,0) f(0,1,0) = (0,1) f(0,0,1) = (1, −2) Con la base canónica del conjunto de llegada se calculamos las coordenadas de la imagen, por ser la base canónica las coordenadas vienen a ser las imágenes de la función (1,0) = α(1,0) + β(0,1) α=1 ; β=0 (0,1) = α(1,0) + β(0,1) α=0 ; β=1 (1, −2) = α(1,0) + β(0,1) α = 1 ; β = −2 Por lo tanto la matriz A es: A =

1 0 1 0 1 −2

f(x, y, z) =

1 0 1 0 1 −2

Aplicando f(x) = Ax x y x

9.4 Matriz de Rotación Se conoce que: 𝑥 , = ||u|| cos(𝛼 + 𝜃)

;

𝑦 , = ||u|| sen(𝛼 + 𝜃)

𝑥 , = ||u|| cos(𝛼 + 𝜃) 𝑥 = ||u||[𝑐𝑜𝑠 𝛼. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼. 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑥 , = ||u||𝑐𝑜𝑠 𝛼. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − ||𝑢|| 𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑥 , = x𝑐𝑜𝑠 𝜃 - y𝑠𝑖𝑛 𝜃 ,

𝑦 , = ||u|| 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝜃) 𝑦 = ||u||[𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼. 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑦 , = ||𝑢|| 𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + ||𝑢||𝑐𝑜𝑠 𝛼. 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑦 ,=x𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ,

ƒ(x,y) =(𝑥 , , 𝑦 , )

ƒ(x,y) =(𝑥 , , 𝑦 , )

𝑥 = ||𝑢|| 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ; 𝑦 = ||𝑢|| 𝑠𝑖𝑛 𝛼

𝑓(𝑥, 𝑦) = ( 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ; 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃)

La matriz asociada a esta transformación lineal es: A= ƒ(x,y)

cos 𝜃 sin 𝜃

− sin 𝜃 cos 𝜃

cos 𝜃 sin 𝜃

− sin 𝜃 cos 𝜃

𝑥 𝑦

Ejemplo: Girar el vector (7,2), 60° grados con respecto al origen. −senθ cosθ

x y

f(x, y) =

cosθ senθ

f(x, y) =

cos60° −sen60° sen60° cos60°

7 2

f(7,2) = (7cos60° − 2sen60°; 7sen60° + 2cos60°) f(7,2) = (1,16; 7,06) Su nueva coordenada será: = (1,16; 7,06) Ejemplo: Girar el vector (5,3), 30° grados con respecto (3,-2) (h, k) = (3, −2) θ = 30° U = (0,0) − (h, k) U = (0,0) − (3, −2) U = (−3, 2) U = (5,3) − (h, k) U = (5,3) − (3, −2)

U = (2,5) U : f(x, y) =

cosθ senθ

f(x, y) =

cos30° sen30°

−senθ cosθ

x y

−sen30° cos30°

−3 2

f(−3,2) = (−3cos30° − 2sen30°; −3sen30° + 2cos30°) f(−3,2) = (−3,6; 0,23) U : −senθ cosθ

x y

f(x, y) =

cosθ senθ

f(x, y) =

cos30° −sen30° sen30° cos30°

2 5

f(2,5) = (2cos30° − 5sen30°; 2sen30° + 5cos30°) f(2,5) = (−0,76; 5,33) Para regresar al sistema original: U = (−3,6; 0,23) + (h, k) U = (−3,6; 0,23) + (3, −2) U = (−0,6; −1,77) U = (−0,76; −1,77) + (h, k) U = (−0,76; −1,77) + (3, −2) U = (2,24; 3,33) Para comprobar que el proceso se haya realizado correctamente el modulo del vector original debe ser igual al módulo del vector resultante

9.5 Matriz Asociada a una Transformación Lineal en función a otra Base Sea f: V → W una aplicación lineal cualquiera y sean S ∧ T dos bases cualesquiera de S V ∧ W respectivamente a la matriz asociada a f se les representa: [ f ] T a b Ejemplo: Dada la siguiente aplicación lineal f = a + (b − c)x + dx , c d S encontrar la matriz asociada [ f ] con respecto a las siguientes bases: T a. b.

Bases canónicas Las siguientes Bases: S=

1 1 0 , 0 0 1

−1 1 0 0 , , 0 0 1 1

T = {1 − x; x ; x + x }

0 1

a. Bases canónicas Sacamos las imágenes con respecto a la base T 𝑓

1 0

1 0

𝑓

0 1

−1 =𝑥 0

𝑓

0 1

0 1

= −𝑥

𝑓

1 0

0 1

= 𝑥

=1

Se procede a formar la matriz asociada con los resultados obtenidos 1 0 0

[ 𝑓 ]𝑏1 𝑏2

0 0 0 1 −1 0 0 0 1

b. En función de las siguientes Bases:

𝑆=

1 0

1 0 , 0 1

−1 0 , 0 1

1 0 , 0 1

0 1

𝑇 = {1 − 𝑥; 𝑥 ; 𝑥 + 𝑥 } Sacamos las imágenes 𝑓

1 0

1 0

𝑓

0 1

−1 = −2𝑥 0

𝑓

0 1

0 1

= −𝑥 + 𝑥

𝑓

1 0

0 1

= 1+𝑥

=1+𝑥

𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝛼(1 − 𝑥) + 𝛽𝑥 + 𝛾(𝑥 + 𝑥 ) Se encuentra las coordenadas en forma general de cualquier polinomio en función de la base del espacio de llegada; se plantea la siguiente combinación lineal: 𝑎=𝛼 𝑏 = −𝛼 + 𝛾 𝑐 =𝛽+𝛾 Resolviendo el sistema:

𝛼=𝑎

𝑏 = −𝛼 + 𝛾 𝑏 = −𝑎 + 𝛾 𝛾 =𝑎+𝑏

𝑐 =𝛽+𝛾 𝑐 =𝛽+𝑎+𝑏 𝛽 = −𝑎 − 𝑏 + 𝑐

Representando la solución en forma matricial: 𝛼 𝑎 𝛽 = 𝑎+𝑏 𝛾 −𝑎 − 𝑏 + 𝑐 Para 1 + 𝑥:

𝛼 1 𝛽 = 2 𝛾 −2

Para −2𝑥:

𝛼 0 𝛽 = −2 𝛾 2

Para −𝑥 + 𝑥 : 𝛼 0 𝛽 = −1 𝛾 2 Para 1 + 𝑥 :

𝛼 1 𝛽 = 1 𝛾 0

La matriz asociada a las bases dadas es: [ 𝑓 ]𝑆 𝑇

1 −2 2

0 2 −2

0 1 −1 1 2 0

9.6 Matriz cambio de base Sea 𝑓: 𝑉 → 𝑉 y sea 𝑆 ∧ 𝑇 bases de V la matriz cambia de base es la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base 𝑆 expresados en función de la base 𝑇. Ejemplo: Sea S = {(1,1); (−1,1)} y T = {(2, −2); (1, 2)} base R . Encontrar: [ f ] S ; y las coordenadas de v= (−3; 4) con respecto a la base T si se sabe que T las coordenadas de V con respecto a S son: V = ;

[ 𝑓 ]𝑆 𝑇 (𝑎, 𝑏) = 𝛼(2, −1) + 𝛽(1,2) 𝑎 = 2𝛼 + 𝛽 𝑏 = −𝛼 + 2𝛽 𝛼=

2𝑎 − 𝑏 5

𝛽=

𝑎 + 2𝑏 5

Se determinan las coordenadas del conjunto S = {(1,1); (−1,1)}, en función de la base T 𝑢 = (1,1) α=

1 5

β=

3 5

𝑢 = (−1,1) α= −

3 5

β=

1 5

Se forma la matriz cambio de base [ f ]S = T

1 3

5 5

−3 5 1 5

9.6.1 Propiedades de las matrices de cambio de base. 1. Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio al que se refieren las bases. 2. Toda matriz de cambio de base es inversible (es decir, con determinante no nulo). Además, la matriz de cambio de S a T es inversa de la matriz de cambio de T a S. T S Es decir se cumple que: [ f ] ∗ [ f ] = 𝐼 S T Para el caso del ejercicio anterior se puede encontrar la matriz de cambio de base aplicando la segunda propiedad expuesta. T [ f ] = [ f ]S S T

T [f] = S

3 5 − 5 3 1 5 5 1

−3 2 1 2

1 T 2 [f] = 3 S 2 T S Se cumple que: [ f ] ∗ [ f ] = 𝐼 S T 1 3

5 5

−3 5 1 5

1 3

2 2

−3 2 1 = 1 0 2

0 1

9.7 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal 9.7.1 Núcleo Sean 𝑉, 𝑊 espacios vectoriales sobre un campo 𝐾 y sea 𝑓 ∈ ℒ(𝑉, 𝑊). El núcleo (kernel, espacio nulo) de 𝑓 se define como la preimagen completa del vector nulo: Sea f: V → W 𝑁(𝑓) = {𝑣 ∈ 𝑉: 𝑓(𝑣) = 0}

𝑁(𝑓) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎.

9.7.2 Imagen Sean 𝑉, 𝑊 espacios vectoriales sobre un campo 𝐾 y sea 𝑓 ∈ ℒ(𝑉, 𝑊). La imagen de 𝑓 se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación 𝑓: 𝐼𝑚 (𝑓) = { 𝑤 ∈ 𝑊: ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑣) = 𝑤}

f V

f W

Imagen

a. La imagen puede ser un subespacio del espacio de llegada

V

W

Imagen

b. La imagen puede ser todo el espacio de llegada

Ejemplo: Encontrar el Núcleo de la siguiente aplicación lineal: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 f(x, y, z) = (x − y + z; x + y + z; x − 3y + z) Núcleo f(𝑣) = 0 f(x, y, z) = (0,0,0) x−y+z=0 x+y+z=0 x − 3y + z = 0 1 −1 1 ⋮ 0 F − F 1 1 1 ⋮ 0 F −F 1 −3 1 ⋮ 0

1 −1 0 2 0 −2

1 ⋮ 0 F +F 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0

1 −1 0 2 0 0

1 ⋮ 0 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0

Resolviendo el sistema se tiene: y = 0 ; x = −z Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones, por lo tanto la base del núcleo es: 𝑁(𝑓) = (−𝑧; 0; 𝑧) Imagen f(x, y, z) = (a, b, c) x−y+z= a x+y+z=b x − 3y + z = c 1 −1 1 ⋮ a F − F 1 1 1 ⋮ b F −F 1 −3 1 ⋮ c

1 −1 0 2 0 −2

F +F 1 ⋮ a 0 ⋮ b−a 0 ⋮ c−a

Para que el sistema de ecuaciones tenga solución imagen es:

1 0 0

−1 2 0

a 1 ⋮ b−a 0 ⋮ 0 ⋮ −2a + b + c

−2a + b + c = 0 ; por lo tanto la

𝐼𝑚 (𝑓) = { (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 ∶ −2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0} La base de la imagen es: 𝐵 𝐵

( )

( )

= (𝑎; 2𝑎 − 𝑐; 𝑐)

= {(1, 2,0); (0, 0, 1)}

NOTA: Si el sistema tiene una sola solución cae en todo el espacio

Teorema de la dimensión: 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 𝑑𝑖𝑚[𝑁(𝑓)] + 𝑑𝑖𝑚[𝐼𝑚(𝑓)]

9.8 Aplicación Lineal Inyectivaa Sea f: V → W, f es inyectiva si: ∀ v ∈ V ; ∃w ∈ W tal que f(v) = w . Si N(f) = 0 En otras palabras, f es inyectiva si, y sólo si f aplica vectores distintos en V sobre vectores distintos en W. f V

W u

f(u)

v

f(v)

w

f(w)

9.9 Transformación Lineal Sobreyectiva. Sea f: V → W, f es sobreyectiva si la imagen es todo W: Si Im(f) = W En otras palabras Sea f una transformación lineal de V en W. Diremos que f es sobreyectiva si la imagen de la transformación f es todo U. TEOREMA: Sea f una transformación lineal de V en W. Si V es un espacio vectorial finito, una transformación lineal f es sobreyectiva si, y sólo si, Img(f) = W. TEOREMA: Sea f una transformación lineal de V en W y sea DimV = DimW. Entonces f es biyectiva si y sólo si f es sobreyectiva.

9.10 Transformación Lineal Biyectiva Sea f: V → W, f es biyectiva si: f es inyectiva y sobreyectiva

9.11 Isomorfismo Las transformaciones lineales que son a la vez inyectivas y sobreyectivas, se llaman isomorfismos, y se dice que son inversibles. f V

W

𝑢 =𝑓

(𝑣 )

𝑢 =𝑓

(𝑣 )

𝑣 = 𝑓(𝑢 )

𝑣 = 𝑓(𝑢 )

𝑓

9.12 Inversa de una Transformación Lineal

Sea f: V → W, f tiene inversa si: f es isomorfismo Ejemplo: Determinar si la siguiente Transformación Lineal tiene inversa. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥 + 2𝑦) Encontramos el núcleo: 𝑥=0 𝑥 + 2𝑦 = 0 La solución es única: 𝑥=0 𝑦=0 Por ende el núcleo de la función es igual a cero. Determinamos su Imagen: 𝑥=𝑎 𝑥 + 2𝑦 = 𝑏 𝑦=

𝑏−𝑥 2

𝑦=

𝑏−𝑎 2

La imagen es todo el espacio por lo que es sobreyectiva , por lo tanto si tiene inversa Se determina la matriz asociada en función de las bases canónicas: B = {(1,0); (0,1)} f (1,0) = (1,1) f (0,1) = (0,2) x 1 f y = 1

0 2

x y

𝑒 [ f ]e = A = 1 0 1 2  

Si |A| = 0 no tiene inversa ; Si |A| ≠ 0 tiene inversa

Como |A| ≠ 0 , la transformación lineal tiene inversa.

9.13 Algebra de transformaciones Lineales 9.13.1 Suma Sea 𝑓 𝑦 𝑔 ∈ ℒ (𝑉, 𝑊), la suma 𝑓 + 𝑔 es otra Transformación Lineal (𝑓 + 𝑔) ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) (𝑓 + 𝑔)(𝛼𝑢 + 𝑣) = 𝛼(𝑓 + 𝑔)(𝑢) + (𝑓 + 𝑔)(𝑣)

(𝑓 + 𝑔)(𝛼𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝛼𝑢 + 𝑣) + 𝑔(𝛼𝑢 + 𝑣) (𝑓 + 𝑔)(𝛼𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝛼𝑔(𝑣) + 𝑔(𝑢) (𝑓 + 𝑔)(𝛼𝑢 + 𝑣) = 𝛼[𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑣)] + [𝑓(𝑣) + 𝑔(𝑢)] (𝑓 + 𝑔)(𝛼𝑢 + 𝑣) = 𝛼(𝑓 + 𝑔)(𝑢) + (𝑓 + 𝑔)(𝑣) NOTA: Para poder sumar deber estar en el mismo espacio Ejemplo: Realizar la suma de las siguientes aplicaciones lineales: 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 2𝑦; 𝑥; 𝑦 + 𝑧) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦; 𝑦 − 2𝑧) En este ejemplo no se puede realizar la suma d las aplicaciones lineales debido a que 𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑦 𝑔: 𝑅 → 𝑅 .

Ejemplo: Sea 𝑓 𝑦 𝑔 ∈ ℒ (𝑀𝑎𝑡(𝑅) , 𝑅 ), encontrar 𝑓 + 𝑔 f

a b = (a + d; c − d; a + 2b) c d

g

a c

b = (a, b − 2c; a + b + c + d) d

(f + g) a c

b = (2a + d; b − c − d; 2a + 3b + c + d) d

9.13.2 Producto por escalar Sea 𝑓 ∈ 𝐿 (𝑉, 𝑊) ∧ 𝜆 ∈ 𝐾 ; 𝜆 𝑓 ∈ ℒ(𝑉, 𝑊)

9.13.3 Composición de Transformación Lineal Sea 𝑓 ∈ 𝐿 (𝑉, 𝑊) ∧ 𝑔 ∈ 𝐿 (𝑊, 𝑇) ; (𝑔𝑜𝑓) ∈ ℒ (𝑉, 𝑇) Ejemplo: Determinar (gof), dadas las siguientes aplicaciones lineales: f(a, b, c) = f

x z

a a−b a + c b + 2c

y = (x + w; y − 2z) w

Solución: 𝑔[𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)] 𝑔

𝑎 𝑎+𝑐

𝑎−𝑏 = [𝑎 + 𝑏 + 2𝑐; 𝑏 − 𝑎 − 2(𝑎 + 𝑐)] 𝑏 + 2𝑐

(𝑔𝑜𝑓) = [𝑎 + 𝑏 + 2𝑐; −2𝑎 + 𝑏 − 2𝑐)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sea 𝐿: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑛. 𝐵 = {𝑣 , 𝑣 , … , 𝑣 } ⊂ 𝑉, 𝐵 = {𝐿(𝑣 ), 𝐿(𝑣 ), … , 𝐿(𝑣 )} ⊂ 𝑊. Demostrar que: 𝐿 es invertible si y solo si 𝐵 linealmente independiente implica 𝐵 linealmente independiente. 2. Sea 𝐿: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛. 𝐴 = [𝐿] Demostrar que: a. 𝐷𝑖𝑚(𝐿) ≥ 1 ⟷ 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 0 b. 𝐿 es biyectiva si y solo si 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0. 3. Sea V una espacio vectorial de dimensión 2, {𝑢, 𝑣} es base de V a. Mostrar que 𝑢.. = 𝑢 + 2𝑣 y 𝑣 .. = 𝑣 − 𝑢 forman una base de V b. Cuál es la matriz asociada a la transformación lineal T T: 𝑅 → 𝑅 (𝑥, 𝑦) → 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦) Siendo {𝑢.. , 𝑣 .. } la base de salida y {𝑢, 𝑣} la base de llegada ¿? 4. Sea L : 𝑅 → 𝑅 una transformación lineal tal que: L (u) = v, L(v) = w, L (w) = u B = {𝑢, 𝑣, 𝑤} es base de 𝑅 , donde: u = (1,1,0), v = (0,1,1) 𝑤 = (1,0,1) a. Hallar la matriz asociada a L respecto a B b. Determinar la matriz asociada a L respecto a la base canónica 5. Sea 𝐿: 𝑅 → 𝑅 una transformación lineal cuya matriz asociada con respecto a la base 𝑎 𝑏 canónica es . Qué condiciones deben cumplir a, b, c, d para que: 𝑐 𝑑 𝑁(𝐿) = 〈(1,1)〉 𝑒 𝐼𝑚(𝐿) = 〈(−1,1)〉? 6. Demostrar que si 𝑆 = 𝑣 , 𝑣 , … . . , 𝑣 , 𝐿 (〈𝑆〉) = 〈𝐿(𝑆)〉. 7. Sea L una transformación lineal 𝐿: 𝑅 → 𝑅 1 1 (𝑥, 𝑦) → 𝐿 (𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑘𝑦 2 2 a. Para que valores de k de los reales L es biyectiva ¿? b. Calcular [𝐿]

, donde 𝐵 es base canónica de 𝑅 𝑦 𝐵 = {(−1,0), (0, −1)}

8. Sean las bases 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥 } base de 𝑃 , y 𝐵 = {1,1 + 𝑥, (1 + 𝑥) , (1 + 𝑥) } base de 𝑃 −1 1 − 1 1 −2 3 A= 0 1 −3 0 0 1 Hallar: a. L : 𝑃 → 𝑃 , tal que, 𝐴 = [𝐿] b. 𝑁 (𝐿), 𝐼𝑚(𝐿), dimensiones y bases 9. Sea 𝑓: 𝑅 → 𝑃 (𝑥) , una transformación lineal y 1 −1 0 𝐴= 1 0 − 1 , la matriz asociada a f respecto a las bases canónicas de 𝑅 y 𝑃 (𝑥) 2 −1 −1 representativamente. Hallar: a. f explícitamente b. N (f), Im(f), dimensiones y bases 10. Sea

T: 𝑅 → 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) → (𝑥 + 𝑧, 𝑦 + 𝑤) a. Demostrar que T es lineal b. N (T), Im(T), dimensiones y bases 11. Sea: T: 𝑅 → 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) Una transformación lineal, donde: 𝑇(1,0, −1) = (−3,1), 𝑇(2, −1,1) = (4,2), 𝑇(−1,1, −1) = (−1,3) a. 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) b. 𝑁 (𝐿), 𝐼𝑚(𝐿), dimensiones y bases 12. Sea 𝐿: 𝑃 → 𝑃 𝑝(𝑥) → 𝐿 𝑝(𝑥) = 𝑝``(𝑥) + 𝑥𝑝`(𝑥) + 2𝑝(𝑥) a. Probar que L es un isomorfismo b. Estructurar la inversa de L c. Hallar [𝐿]

, siendo 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 }, base de 𝑃

13. Sea 𝐿:

𝑃 → 𝑃

𝑝(𝑥) → 𝐿 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥) −

1 𝑥 − 1 𝑝´(𝑥) 2

a. Mostrar que L es lineal b. 𝑁 (𝐿), 𝐼𝑚(𝐿), dimensiones y bases

14. Sea 𝐿: 𝑃 → 𝑅 𝑎 𝑡 + 𝑎 𝑡 + 𝑎 → 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 , 𝑘𝑎 − 𝑎 , 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 Hallar a. El valor de k para que L sea inyectiva b. El valor de k para que dim (L) = 2 c. Una base para la imagen y el núcleo en cada caso anterior d. 𝐿 𝑠𝑖 𝑘 = 2 e. [𝐿] , si 𝐵 son las bases de 𝑃 → 𝑅 respectivamente 15. Sea el espacio vectorial 𝐶 (𝐶 𝐶, +, . ) 𝐿: 𝐶 → 𝐶 (𝑧 𝑧 , 𝑧 ) → (𝑧 − 𝑖𝑧 , (1 + 𝑖)𝑧 − 𝑧 , 2𝑖 𝑧 − (1 − 𝑖)𝑧 ) a. Demostrar que L es lineal b. Calcular 𝑁 (𝐿), 𝐼𝑚(𝐿), dimensiones y bases. c. Dar una base B para 𝐶 , tal que [𝐿] tenga una columna de ceros 16. Sea 𝐿: 𝑅 → 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧) 𝐵 = {(2,1,0), (−1,1,0), (2,1, −1)}, 𝐵 base canónica de 𝑅 a. Demostrar que L sea biyectiva b. Comprobar que [𝐿 ]

= [𝐿]

17. Sea 𝐵 = {𝑢 , 𝑢 , 𝑢 } base de 𝑅 , donde: 𝑢 = (1. −1,1), 𝑢 = (1,0,1), 𝑢 = (1,1,1) Si 𝐿: 𝑅 → 𝑅 es una transformación lineal, tal que 𝐵 = {𝑢 } es base de 𝑁(𝐿) 𝑦 𝑣 = 𝐿 (𝑢 ) = (0, −1,1), 𝑣 = 𝐿 (𝑢 ) = (1,1,1) a. Hallar L (𝑥, 𝑦, 𝑧) b. Hallar la matriz asociada a L respecto a B c. L es inyectiva, sobre, ....¿? d. A partir del conjunto {𝑣 , 𝑣 } completar una base ortogonal para 𝑅 18. Sea 𝐿: 𝑅 → 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 , −𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 , 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑘𝑧) a. Hallar la matriz asociada a L respecto a las bases canónicas b. Para qué valores de k , L es un isomorfismo ¿? c. Para qué valores de k la dim (L) = 1 ¿? d. Encontrar una base B para la cual la matriz asociada a L respecto a B tenga una columna de ceros 19. Dadas las funciones f y g de 𝑃 , tales que: 𝑓 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥) − 𝑝`(𝑥) 𝑔 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥) − 𝑝``(𝑥) a. Hallar (gof) (p(x)) b. Demostrar que gof es una transformación lineal c. gof es biyectiva ¿? d. Si 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥 } 𝑦 𝐵 = {1 − 𝑥, 𝑥 − 𝑥 , 1 + 𝑥 } son base de 𝑃 [𝑔𝑜𝑔] −6 e. Si [𝑝(𝑥)] = −6 , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 [(𝑔𝑜𝑓)(𝑝(𝑥))] 4 20. Sean las transformaciones lineales 𝐿:

𝑃 → 𝑅 𝑎 𝑡 + 𝑎 𝑡 + 𝑎 → 2𝑎 − 𝑎 + 𝑎 , 𝑎 + 𝑎 , 𝑎 + 2𝑎 − 𝑎 𝐿: 𝑅 → 𝑃 (𝑎 , 𝑎 , 𝑎 ) → (𝑎 + 𝑎 )𝑡 + (2𝑎 − 𝑎 − 2𝑎 )𝑡 + 𝑎 𝐵 = {(2,1,0), (0,1, −1), (1,0,1)} base de 𝑅 a. Demostrar que gof es invertible b. Hallar (𝑓𝑜𝑔) c. Hallar F = [(𝑓𝑜𝑔) ]

y G = [𝑓𝑜𝑔]

d. Determinar si 𝐹 = 𝐺 21. Sea 𝐿: 𝑃 → 𝑃 𝑝(𝑥) → 𝐿 𝑝(𝑥) = 𝑝`(𝑥) − 2 𝑝(𝑥) a. Demostrar que L es lineal b. Probar que L es invertible c. Hallar 𝐿 d. Hallar la matriz asociada a L respecto a B y 𝐵`, siendo a. 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥 } 𝑦 𝐵 = {1 − 𝑥, 𝑥 − 𝑥 , 1 + 𝑥 } base de 𝑃 e. Si 𝑝(𝑥) = 2 − 𝑥 + 𝑥 , hallar 𝐿 𝑝(𝑥) usando [𝐿]

, hallar

22. Sean 𝑓: 𝑅 → 𝑅 una transformación lineal y 𝐵 = {𝑢, 𝑣, 𝑤} una base de 𝑅 𝑢 = (1,0,0), 𝑣 = (0,1,1), 𝑤 = (0,2,1) 𝑓(𝑢) = (1, −1, 𝑘), 𝑓(𝑣) = (0,1,1), 𝑓(𝑤) = (0,2,1) a. Hallar 𝑓 {𝑥, 𝑦, 𝑧} b. Para que valores de k, L es biyectiva ¿? c. Hallar la base para el núcleo y una base para la imagen de f, cuando esta es biyectiva d. Si k = 2, hallar la matriz asociada a f respecto a B 23. Sean 𝑓: 𝑅 → 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑓 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = (𝑥 + 𝑧, 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦) 𝑔: 𝑅 → 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑔 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = (𝑥, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) a. Hallar gof y fog b. Demostrar que gof es lineal c. Demostrar que gof es diyectiva d. Determinar si se cumple que [𝑔𝑜𝑓] = [𝑓𝑜𝑔] 24. Sea 𝐿: 𝑅 → 𝑅 una transformación lineal, donde: 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) a. Encontrar una base B de 𝑅 , tal que [𝐿] sea diagonal b. Escribir [𝐿] 25. Sea 𝐿: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal invertible. Si λ es un valor propio de L, cual es el valor propio de 𝐿 ¿? 26. Sea 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑦), probar que T es una transformación lineal y calcular N(T), Im(T). 27. Sea 𝑓: 𝑅 → 𝑅 una transformación lineal tal que: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (𝑧 + 𝑤 − 𝑦, 2𝑥 − 2𝑧, 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 3𝑤, 𝑦 − 𝑥 + 𝑧 + 2𝑤), Hallar una base para N (f), Im (f) y su dimensión. Dado 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que: a. Probar que T es una transformación lineal. b. Hallar N(T) y dim N(T), dim, Im(T) 28. Halar una transformación lineal 𝑡: 𝑅 → 𝑅 tal que N(T)= L{(2,1,-1,2),(3,0,1,-1)}. 29. Halar una transformación lineal 𝑡: 𝑅 → 𝑅 tal que N(T)= L{(1,2,3)}. 30. Sea 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅 /𝑥 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 + 𝑐𝑤, 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠}, 𝑊 = {(𝑟, 𝑠, 𝑡) ∈ 𝑅 / 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 0} dos espacios vectoriales 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que T(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (𝑥 − 𝑦, −𝑎𝑦 − 𝑏𝑧, 𝑦 − 𝑐𝑤) probar que T es una transformación lineal, además determinar N(T), Im(T) y sus dimensiones. 31. Sea V el espacio vectorial de las matrices n-cuadradas sobre K y M una matriz arbitraria en V, defínase 𝑇: 𝑉 ⤑ 𝑉 mediante 𝑇(𝐴) = 𝐴𝑀 + 𝑀𝐴, con 𝐴 ∈ 𝑉, mostrar que T es lineal. 32. Sea T: R5⤑R3 la aplicación lineal definida por: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠, 𝑡) = (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑠 + 4𝑡, 2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 − 5𝑠 + 5𝑡, 𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 − 𝑠 − 2𝑡). Hallar una base y la dimensión de la imagen de T. 33. Sea la transformación lineal 𝑇: 𝑅 ⤑ 𝑅 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦): a. Es T inyectiva b. Hallar la inversa de T, si existe. 34. Una transformación lineal f: R3⤑R2 está definida por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 2𝑧, 𝑦 + 𝑧). a. Hallar la matriz A de f, respecto de las bases {(1, 1,1), (2, 2,0), (3, 0,0)} en R3 {(2,0),(0,2)} en R2. b. Mediante la matriz A, obtener la imagen de (-2, 2,-2). 𝑎 𝑏 35. Dada la transformación lineal de 𝑓: 𝑀𝑎𝑡(𝑅) → 𝑅 definida por: 𝑓 = (𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑑 𝑐, 𝑎 + 𝑏 + 𝑑, 𝑏 + 𝑐 + 𝑑). Obtener la matriz A de f respecto de las bases:

1 1 1 0 0 0 0 1 𝑒𝑛 𝑀𝑎𝑡(𝑅) 𝑦 {(0,2,1), (2,0,1), (0,1,1)}𝑒𝑛 𝑅 1 1 1 1 0 1 1 1 −1 3 b. Utilizando la matriz hallada obtener la imagen de 2 2 Sea la aplicación T : 𝑅 → 𝑅 definida por: 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 3𝑦, 𝑥 + 4𝑦), hallar la matriz T relativa respectivamente a las siguientes bases de 𝑅 , B={𝑒 , 𝑒 }, y B' = B={𝑢 , 𝑢 }, donde 𝑒 =(1,0) , 𝑒 = (1,3), 𝑢 = (1,3), 𝑢 = (2,5). ¿Puede existir alguna aplicación lineal f de 𝑅 𝑒𝑛 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑁(𝑓) =< {(1, −1)} > 𝑒 𝐼𝑚𝑔(𝑓) =< {(1,1,2)} >? En caso afirmativo, determine la aplicación lineal ¿f es única? ¿Puede existir alguna aplicación lineal f de 𝑅 𝑒𝑛 𝑅 Tal que: 𝑁(𝑓) = < {(1, −1,1)} > 𝑒 𝐼𝑚𝑔 (𝑓) = < {(1,1,2)} >? ¿Puede existir alguna aplicación lineal f de ℝ enℝ tal que : 𝑁(𝑓) = < {(1, −1,1), (0,1, −1)} > 𝑒 Img(𝑓) =< {(1,1,2)} >?. En caso afirmativo, determinar la aplicación lineal, ¿f es única? Sea 𝑓ЄL(ℝ , ℝ )tal que, 𝑓(1,0,1) = (1,1,2), 𝑓(0,1,1) = (0,2,1) y 𝑓(1,1,0) = (1, −1,1). Determinar : a. La aplicación lineal f. b. El subespacio vectorial Img f. c. El subespacio vectorial 𝑁 d. Bases para el N y la Img. f. Sea 𝑓ЄL(ℝ , ℝ ) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑧 − 𝑦 + 𝑧, 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧) a. Determinar el núcleo de f. b. Verificar que la imagen de f es un plano (s.e.v. de dim. 2) Hallar el plano. a.

36.

37.

38. 39.

40.

41.

c. (c) Sea (r,s,t) ЄImg (f). Demostrar que 𝐿 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) / 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑟, 𝑠, 𝑡)} es una recta paralela al núcleo. 42. Sea 𝑓ЄL(ℝ , ℝ ) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 2𝑥) a. Determinar una base del núcleo de f. b. Verificar que la imagen de f es un plano (s.e.v. de dim. 2). Hallar el plano. c. Sea (2,-3,-1) Є Img(f). Demostrar que 𝐿 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) / 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, −3, −1) } es una recta paralela al núcleo.

10 VALORES Y VECTORES PROPIOS Sea f: V → V siendo V un espacio vectorial cualquiera definida sobre k ⋀ λ ∈ k , se dice que uno es un valor propio de f cumple. f(v) = λv λ=

→v ∈V

Valor Propio (Auto valor, Valor característico, Eigen Valor)

V = Vector propio asociado a λ. Ejemplo: Sea f ∶ R → R f(x, y) = 10x − 18y ; 6x − 11y 2 = (2,1) 1 3 f = (−6, −4) = −2(3,2) 2 Son valores propios por cumplir la propiedad. f

x f y

10 −18 6 −11

2 2 = 1 1 1

Av = λ v Teorema: Sea f: V → V el conjunto de vectores propios forman un sub espacio vectorial. Vx = { v ∈ V ∶ f(v) = λv} Av = λv Av − λv = 0 (A − λ I)v = 0 |A − λ I| = 0

8.1 Polinomio característico Sea A ∈ Mat K , su polinomio característico está definido por: p(λ) = |A − λ I| Ejemplo: A=

10 −18 6 −11

10 −18 1 0 − λ 6 −11 0 1 10 − λ −18 p(λ) = 6 −11 − λ p(λ) = (10 − λ)(−11 − λ) − (6)(−18) p(λ) = −110 + λ + λ + 108 p(λ) = λ + λ − 2 p(λ) =

8.2 Valores propios Los valores propios se encuentran igualando a cero el p(λ).

p(λ) = 0 λ +λ−2=0 (λ − 1)(λ + 2) = 0 λ=1 λ = −2 Vectores propios Los vectores propios se encuentran al obtener la solución no trivial. (A − λ I)(x) = 0 λ

= −2 10 −18 − (−2) 6 −11

1 0 0 1 x y =0

12 −18 6 −9 1 F − F 2

12 −18 ⋮ 0 6 −9 ⋮ 0

x y =0

12 −18 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0

12x − 18y = 0 12x = 18y 3y x= 2 V = (x, y) 3y V = ( , y) 2 V = (3,2)

λ

=1 10 6

−18 − (1) −11 9 6

9 6

−18 −12

⋮ 0 ⋮ 0

1 F 2

−18 −12

1 0 0 1

x y =0

x y =0

9 −18 ⋮ 0 3 −6 ⋮ 0

3F − F

9 −18 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0

9x − 18y = 0 9x = 18y x = 2y V = (x, y) V = (2y, y) V = (2,1)

8.3 Diagonalización Matrices similares Sea A Y B ∈ Mat K : A es similar a B si existe una matriz Q inversa tal que: B= Q

∗A∗Q

Teorema Si dos matrices son similares entonces |A|=|B| Matrices diagonales Sea A ∈ Mat K , A es diagonizado si A es similar a una matriz D D= Q

∗A∗Q

La matriz Q se forma por los vectores propios de A 

Los vectores propios deben ser Linealmente Independientes.

Ejemplo Sea B = Q

∗ A ∗ Q demostrar que |A|=|B| |B| = |Q

∗ A ∗ Q|

|B| = |Q | |A| |Q| |B| =

1 |A| |Q |Q |

|B| = |A|

8.3.1 Aplicaciones de la Diagonalización Potencia Matrices 𝐷 = 𝑄 ∗𝐴∗𝑄 𝑄𝐷 = 𝑄 ∗ 𝑄 ∗ 𝐴 ∗ 𝑄 𝑄𝐷 = 𝐼 ∗ 𝐴 ∗ 𝑄 𝑄𝐷𝑄 = 𝐴 ∗ 𝑄 ∗ 𝑄 𝑄𝐷𝑄 = 𝐴 𝐴 = 𝑄𝐷𝑄 A =? 𝐴 ∗ 𝐴 = 𝑄𝐷𝑄

∗ 𝑄𝐷𝑄

𝐴 = 𝑄𝐷 𝑄 Esta fórmula se aplica para cualquier exponente por ende: 𝑨𝒏 = 𝑸𝑫𝒏 𝑸

Ejemplo: Diagonalizar la siguiente matriz: A = p(λ) =

10 −18 − λ 6 −11

p(λ) =

10 − λ 6

−18 −11 − λ

1 0 0 1

𝟏

10 −18 6 −11

p(λ) = (10 − λ)(−11 − λ) − (6)(−18) p(λ) = −110 + λ + λ + 108 Polinomio característico: 𝒑(𝝀) = 𝝀𝟐 + 𝝀 − 𝟐

p(λ) = 0 λ +λ−2=0 (λ − 1)(λ + 2) = 0 Valores Propios: λ = 1; λ = −2 (A − λ I)(x) = 0 λ = −2 10 −18 − (−2) 6 −11

1 0 0 1 x y =0

12 −18 6 −9 12 −18 ⋮ 0 6 −9 ⋮ 0

x y =0

1 F − F 2

12 −18 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0

12x − 18y = 0 x= V

3y 2

= (3,2)

λ =1 10 −18 − (1) 6 −11 9 −18 6 −12 9 −18 6 −12

⋮ 0 ⋮ 0

1 F 2

1 0 0 1 x y =0

9 −18 ⋮ 0 3 −6 ⋮ 0 9x − 18y = 0 x = 2y V

= (2,1)

Q se forma de los vectores propios Q=

2 1

x y =0

3 2

3F − F

9 0

−18 ⋮ 0 0 ⋮ 0

Sacamos la inversa de Q Q

1 Adj Q |Q|

=

Q

1 2 −1 1 −3 2

=

Q

2 −1 −3 2

=

Sacamos la matriz D

D=

2 −3

D= Q

∗A∗Q

−1 2

10 −18 6 −11 1 0

D=

2 3 1 2

0 −2

A = QD Q A =

2 1

3 2

1 0

A =

4 − 3(−2) 2 − 2(−2)

0 −2

p(λ) =

i 0

2 − λ 3+i

p(λ) =

i−λ 2 0 3+i−λ

1 0 0 1

p(λ) = (i − λ)(3 + i − λ) − (0)(2) 𝐩(𝛌) = (𝐢 − 𝛌)(𝟑 + 𝐢 − 𝛌)

p(λ) = 0 (i − λ)(3 + i − λ) = 0 𝛌=𝐢 𝛌= 𝟑+𝐢

(A − λ I)(x) = 0

−1 2

−6 + 6(−2) −3 + 4(−2)

Ejemplo: Encontrar los vectores y valores propios A=

2 −3

i 2 0 3+i

λ =i i 2 − (i) 0 3+i

1 0 0 1

x y =0

i−i 2 =0 0 3+i−i x y =0

0 2 0 3

0 2 ⋮ 0 0 3 ⋮ 0

x=0 y=0 V

= (1,0)

λ =3+i i 2 − (3 + i) 0 3+i i − (3 + i) 0

1 0 0 1

x y =0

2 3 + i − (3 + i)

−3 2 0 0

x y =0

−3 2 0 0 0 0 −3x + 2y = 0 3x = 2y x= V

2y 3

= (2,3)

Aplicación para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Sea el sistema de ecuaciones diferenciales: 𝑥̇ (t) = 3x (t) − x (t) 𝑥̇ (t) = −2x (t) + 2x (t) 𝑥̇ (t)

=

Ax(t)

𝑑𝑥 = 3𝑥 − 3𝑦 𝑑𝑡 ( , )

= −2𝑥 + 2𝑦

= 𝐴 (𝑥, 𝑦)

La solución de una ecuación diferencial es de la forma: 𝑥̇ (t) = ∑

c;e

()

, V ; donde:

λ = Valores propios V = Valores propios

Ejemplo: x (t) = 10x (t) − 18x (t) x (t) = 6x (t) − 11x (t) 10 −18 6 −11

A= λ λ

=1 = −2

V = (2,1) V = (3,2) 2 X (t) = C e + C e 1

3 2

8.4 Multiplicidad Algebraica Se denomina multiplicidad algebraica de los valores propios al número de veces que se repiten una raíz del polinomio característico. Si se repiten los vectores propios o son múltiplos a estos se les conoce como multiplicidad aritmética en este caso la matriz. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Demostrar que cualquier matriz de 2𝑅 , cuyo determinante es negativo es semejante a una matriz diagonal 2. Sean A, B ∈ 𝑛𝐾 . Probar AB y BA tienen los mismos valores propios 3. Hallar todas las matrices 𝐴 ∈ 2𝑅 , con valores propios 1 y -1 4. Sean 𝐿: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal invertible. Si λ es un valor propio de L, cual es el valor propio de 𝐿 5. Sean V un espacio vectorial y f, g dos transformaciones lineales tales que fog = gof. Si λ es un valor propio de g , y 𝑉 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝑔(𝑣) = λv } a. Demostrar que si 𝑢 ∈ 𝑉 , 𝑓(𝑢) ∈ 𝑉 b. Dar una condición para que: si 𝑓(𝑢) ∈ 𝑉 → 𝑢 ∈ 𝑉

6. Sean 𝑣 𝑦 𝑣 Vectores propios con valores propios asociados λ 𝑦 λ , respectivamente. Demostrar λ 𝑣 + λ 𝑣 , es un vector propio si λ = 0 𝑣 λ = 0 1 1 𝑎 𝑏 7. Para que valores 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, la matriz: 𝑀 = ; Tiene los vectores propios , ? 𝑖 −1 −𝑏 𝑎 1 1 1 1 1 1 8. Sea la matriz: 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 con vectores propios 1 , 0 , −1 . Encontrar los 𝑝 𝑞 𝑟 1 −1 0 valores de a, b, c, p, q, r 1 1 9. Sea la matriz: 𝐴 = . Defina sobre los complejos −1 0 a. Diagonalizar A b. Hallar A , para k = 1,2,3,….. 10. Para cada uno de los siguientes casos, si es posible, diagnosticar la matriz dada y hallar la matriz P invertible tal que, D = P` AP (comprobar) 1 −3 3 −3 1 − 1 3 1 −1 a) 3 − 5 3 b) −7 5 − 1 c) 2 2 − 1 6 −6 4 −6 6 − 2 2 2 0 3 −2 1 2 2 1 5 −6 −6 d) 0 2 0 e) 1 3 1 f) −1 4 2 0 0 0 1 2 2 3 −6 −4 11. Para cada uno de los siguientes casos, si es posible, diagnosticar la matriz dada y hallar la matriz P invertible tal que, D = P` AP 9 −3 0 1 2 1 3 −1 −1 a) −3 12 − 3 b) 2 0 2 c) −1 5 −1 0 −3 9 1 2 1 1 −1 3 1 𝑖 1−𝑖 1 0 0 d) 0 e) −𝑖 −1 0 2 𝑖 0 −1 0 1+𝑖 0 0 12. Demostrar que la siguiente matriz no es diagonalizable, pero, que si es semejante a una λ 0 matriz de la forma . 1 λ 2 1 −1 4 13. Probar que si λ es un valor propio de una matriz A con vector propio asociado v y k es un entero positivo, entonces λ es un valor propio de la matrizA con vector propio asociado v 1 1 14. Sea la matriz: 𝐴 = . Hallar los valores y vectores propios de A y A y verificar el 1 −2 ejercicio 13. 15. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas con base {sen x, cos x} y sea 𝐿: 𝑉 → 𝑉 𝑓(𝑥) → 𝐿 𝑓(𝑥) = 𝑓` (𝑥) Es L diagonalizable ¿? 𝑎 𝑏 16. Sea 𝐴 = . Hallar las condiciones para que A sea diagonalizable 𝑐 𝑑