Tetrahedron Method

7

En général, l'approximation de l'ASA est appliquée par la plupart des versions de la

LMTO (standard :ASA, TB et FP ) de stru tures de bandes pour le al ul self- onsistant

des densités de harge lo ales (sphériques). En dépit de ette approximation de forme,

es densités sphériques sont très pro hes des densités lo ales exa tes. Le re ours à ette approximation de forme est prin ipalement lié à sa simpli ité et à sa pré ision, même pour des systèmes omplexes. Pour aller au-delà de l'ASA et tenant ompte des densités de

harge dans la région interstitielle, des orre tions sont apportées aux densités sphériques densités [7℄.

A.5. Cal uls des Moments magnétiques lo aux

Pour le as spin polarisé σ =↑ (↓), le moment magnétique lo al (atomique) est déterminé par la diéren e des o

upations éle troniques par spin : mR = NR↑ − NR↓

...(A.5.1)

σ en termes des densités d'états de spin (SDOS's ) gR (E), e al ul est réalisé par une intégration en énergie du bas de la bande de ondu tion vers le niveau de Fermi :

mR =

Z

EF

Ec

n

↑ ↓ gR (E) − gR (E)

o

dE

...(A.5.2)

A.6. Méthode des tétraèdres

La méthode des tétraèdres est proposée par Lehmann-Taut en s'inspirant des deux méthodes développées pré édemment, la méthode de Gilat-Raubenheimer et elle de Lipton-Ja obs [12℄, [13℄,[14℄. En fait, la première méthode a mis en éviden e l'idée d'un dé oupage de la BZ en ubes de mêmes volumes et d'une interpolation des énergies éle troniques Ejk . et ~ k Ejk aux entres de es ubes. Les auteurs de la se onde méthode ont de leurs gradients ∇ montré qu'une utilisation des énergies sur les quatre sommets des ubes est sus eptible de réduire onsidérablement le l'eort de al ul. Cette méthode de Lehmann-Taut est destinée au départ à l'évaluation numérique des intégrations de surfa e (des énergies) sur la zone de Brillouin (BZ ), du type de elle utilisée pour le al ul des densité d'états parteilles (PDOS's ) :   Z A ~k dSk ...(A.6.1) ℑBZ (E) = ~ BZ,Ejk =E ∇ E k jk ~ j représentant un  indi e de bande, k . un ve teur éle tronique de Blo h dans le réseau

ré iproque et A ~k une fon tion dépendant de e ve teur.

8

Chapitre 1.

Fig.

Annexe : Appendi es

1.1  Premier dé oupage d'une zone de Brillouin ubique en 06 tétraèdres équivolumes.

L'idée mise en ÷uvre par une telle méthode est basée sur un dé oupage de la BZ ave une grille de points ~k de manière à la diviser en tétraèdres de forme arbitraire et de mêmes volumes (équivolumes) ΩT ET . La pré ision et le temps de al ul étant dire tement liés à la nesse de la grille utilisée {06, 48, 384 ...} [15℄, Fig. n1. o Les quatre ve teurs d'ondes éle troniques de Blo h ~k1 , ~k2 , ~k3 , ~k4 délimitant ha un des tétraèdres sont ordonnées de manière à présenter des énergies roissantes {E1 ≤ E2 ≤ E3 ≤ E4 }, Fig. 2.

Fig.

1.2  S héma du tétraèdre de al ul oupé par un plan (surfa e) équi-énergie.

Pour ha une des bandes j , la pro édure de  al ul adoptée est basée en un premier lieu en ~ une interpolation de l'énergie Ejk ≡ Ej k par une fon tion linéaire du type :     ...(A.6.2) Ej ~k = E1 + ~bj . ~k − ~k1   les oe ients E1 et ~b étant déterminés à partir des valeurs E ~kα = Eα sur les sommets du tétraèdre de al ul. Le fa teur linéaire étant exprimé sous la forme :   X ~bj = ∇ ~ k Ej ~k = (Eα − E1 ) .~rα ...(A.6.3) α=2...4

ave



 ~r2 1  ~r3  = 6ΩT ET ~r4

     ~k3 − ~k1 ∧ ~k4 − ~k1         ~k4 − ~k1 ∧ ~k2 − ~k1         ~k2 − ~k1 ∧ ~k3 − ~k1





& ~rj . ~ki − ~k1 = δij =



1 i=j 0 i= 6 j

9

  En se ond lieu, et de façon similaire, la fon tion A ~k du numérateur est interpolée par une se onde fon tion linéaire :     A ~k = E1 + ~c. ~k − ~k1 ...(A.6.4)

le oe ient linéaire ~c étant déterminé par analogie à (A.6.3). Compte tenu de l'Eq. (A.6.4), l'intégration (A.6.1) sur ha un des tétraèdres est dé omposée en deux (02) parties : ξT ET (E) =

occ n X

~G ~ j (E) α. gj (E) + β.

j

o

...(A.6.5)

ave ℑBZ (E) =

X

ξT ET (E)

T ET

la première intégrale gj (E) présentant, sur un tétraèdre, un prol similaire à elui d'une densité d'état est exprimée, pour haque bande, sous la forme : Z dSk S (E) = gj (E) = ...(A.6.6) ~ ~ T ET,Ejk =E bj bj


   


  







  






1.3  Représentation des surfa es équi-énergies oupants un tétraèdre de al ul en diérentes régions.

Fig.

  S (E) désignant la surfa e d'interse tion entre un plan équiénergie Ej ~k = E et le tétraèdre. Compte tenu des onsidérations géométriques de la méthodes des tétraèdres,

ette dernière surfa e est développée sous la forme d'une somme des surfa estriangulaires  (S1 , S2 &S3 ), issues respe tivement d'une interse tion du plan équiénergie Ej ~k = E ave les fa es délimitées par les lignes {12,13,14 }, {21,23,24 } et {41,42,43 }, Fig. 3. :  S1 E1 ≤ E ≤ E2    S1 − S2 E2 ≤ E ≤ E3 S (E) = ...(A.6.7) S E  4 3 ≤ E ≤ E4   0 E < E1 E > E4

10

Chapitre 1.

Annexe : Appendi es

Les résultats des intégrations sur les diérentes surfa es (et après division sur le fa teur ~ bj ) sont développés sous la forme [12℄,[16℄ : gj (E) =

3ΩT ET .(E−E1 )2 (E2 −E1 ).(E3 −E1 ).(E4 −E1 ) 3ΩT ET .(E−E2 )2 (E2 −E1 ).(E3 −E2 ).(E4 −E2 ) 3ΩT ET .(E−E4 )2 (E4 −E1 ).(E4 −E2 ).(E4 −E3 )

          

E1 ≤ E ≤ E2 E2 ≤ E ≤ E3

...(A.6.8)

E3 ≤ E ≤ E4 E < E1 E > E4

0

Une fois les intégrations individuelles sur l'ensemble des tétraèdres ( onstituant la BZ ) réalisées, l'intégration globale ℑ (E) sur ette BZ est déterminée par une sommation (sur tous es tétraèdres) des valeurs des intégrations individuelles : ℑBZ (E) =

X

ξT ET (E) =

T ET

occ n XX

~G ~ j (E) α. gj (E) + β.

j

T ET

o

...(A.6.9)

ette dernière fon tion gj (E) est entièrement indépendante de la forme géométrique du tétraèdre utilisé pour leur al ul, dépendant uniquement des quatre valeurs des énergies des sommets et du volume du tétraèdre. ~ j (E) est égale à : D'une manière similaire, et pour haque bande j , le se ond terme G ~ j (E) = G

Z

T ET,E(k)=E

  ~k − ~k1 ~ (E) C S (E) dS = k ~ ~ bj bj

...(A.6.10)

~ (E) étant le entre de gravité de l'aire S (E) déni par : C

~ (E) = C

        

~

C1 (E) ~ 1 (E)−S2 .C ~ 2 (E) S1 . C S1 −S2 ~ 4 (E) C 0

E1 ≤ E ≤ E2 E2 ≤ E ≤ E3 E3 ≤ E ≤ E4 E < E1 E > E4

...(A.6.11)

où les entres de gravité des triangles {S1 , S2 & S4 }, sont exprimés par :    ~ 1 (E) = ~k1 + C      ~ 2 (E) = ~k2 + C      ~ 4 (E) = ~k4 +   C

(E−E1 ) 3 (E−E2 ) 3 (E−E4 ) 3

  

(~k2 −~k1 ) (E2 −E1 )

(~k1 −~k2 ) (E1 −E2 )

(~k1 −~k4 ) (E1 −E4 )

+ + +

(~k4 −~k1 ) (E4 −E1 )

(~k4 −~k2 ) (E4 −E2 )

(~k2 −~k4 ) (E2 −E4 )

  

...(A.6.12)

11

A.7. Méthode des tétraèdres améliorée

Suivant la nature du matériau étudié, les intégrations sur des BZ's sont en majorité réalisées par l'une des deux méthodes : le s héma du point spé ial adapté au traitement des isolants et des semi ondu teurs et la méthode des tétraèdres appropriée au al ul des isolants et des métaux, une méthode onstituant un s héma d'intégration plus général est d'autant meilleure pour le al ul des fon tions spe trales A(~k) et les DOS's g (E ) [12℄,[16℄,[17℄,[18℄ :  La première méthode est basée sur une représentation de l'intégration sur la BZ par une somme pondérée sur un nombre limité de points ~k spé iaux (les points de Monkhorst-Pa k ) [19℄.  La se onde méthode est mise en ÷uvre sur la base d'une division de l'espa e ré iproque en tétraèdres à l'intérieur desquels les diérents éléments de matri e et les énergies de bandes sont linéarisées (en fon tion des ve teurs d'ondes éle troniques ~k ), une linéarisation orant l'avantage d'un al ul analytique des intégrations et pour toutes formes de surfa es de Fermi (même les plus omplexes). Néanmoins, e s héma des tétraèdres a révélé ertaines limites dans son appli ation dues essentiellement à deux di ultés prin ipales :  une première di ulté liée au hoix approprié de la division de la partie irrédu tible de la zone de Brillouin (IBZ ) en tétraèdres, en parti ulier pour un ertain nombre de groupes de symétrie omplexe.  une se onde di ulté liée au fait que l'intégration sur la BZ est onditionnée par la disponibilité d'un grand nombre d'éléments de matri e, une ondition di ile à satisfaire. Dans le but de remédier es limites de la méthode, Bloe hl et al. ont proposé une amélioration du s héma onventionnel des tétraèdres, une amélioration donnant lieu à des résultats de al uls des isolants de même pré ision que eux issus d'une appli ation de la méthode du point spé ial de Monkhorst-Pa k tout en né essitant un nombre supérieur de points ~k supérieur (don un temps de al ul plus important) [20℄. Dans le as des milieux métalliques, les résultats obtenus sont de meilleures pré isions que eux de la méthode des tétraèdres onventionnelle [16℄,[12℄.   Dans une base de fon tions |ψjk i et d'énergies Ej ~k ≡ Ejk dépendants de l'indi e de bande j et du ve teur d'onde éle tronique ~k , la valeur hEi d'un opérateur H est al ulée par une intégration de ses éléments : hEi =

occ Z D    E 1 X ψj ~k H ψj ~k d~k ΩG j ΩG

...(A.7.1)

ΩG représentant le volume de la ellule unité dans le réseau ré iproque.

Dans les al uls de stru tures de bandes, les fon tions d'ondes |ψjk i sont al ulées seulement sur un ensemble limité de points ~k, le reste des valeurs est retrouvé par une

12

Chapitre 1.

Annexe : Appendi es

pro édure d'interpolation. L'obje tif prin ipal de toute méthode de al ul sur la BZ est d'obtenir des valeurs pré ises ave le minimum de points ~k possible, pour lesquels sont

al ulés les diérents éléments de matri e. La symétrie est exploitée pour réduire autant que possible e nombre de points ~k indépendants. Dans la méthode des tétraèdres onventionnelle divisant l'IBZ en tétraèdres, les énergies (valeurs propres) Ejk et les éléments de matri e sont al ulés pour les points ~k aux sommets de haque tétraèdres. L'intégration sur haque tétraèdre est réalisée analytiquement après une interpolation linéaire des énergies et des éléments de matri e à son intérieur. DUne E ˜ étude de la onvergen e de la méthode a révélé une erreur (pré ision) δ hEi = hEi − E D E ˜ qui entre l'intégration de la fon tion réelle hEi et l'intégration de sa version linéarisée E est d'autant faible que le nombre de points ~k utilisé est grand et que les espa ements entre

es points sont réduits. La dé roissan e de ette erreur en termes de ∆~k est : δ hEi ≈ (∆k)2 .  Pour le as des isolants, les auteurs ont montré qu'une utilisation d'une grille de points ~k équidistants ave un arrangement parti ulier (réarrangement) des tétraèdres est susante pour une amélioration onséquente de la pré ision du al ul des intégrations de manière à diminuer l'erreur δ hEi (dé roissant en ≈ (∆k)) et à donner lieu à une onvergen e plus rapide. Les diérents réarrangements possibles des tétraèdres (i i des triangles) dans un réseau ré iproque bidimensionnel (2D ) sont représentés sur la Fig. 4. Les zones irrédu tibles étant représentées en-dessous de

haque as et les fa teurs de poids (pondération) par des numéros sur les noeuds de la grille (nombre de triangles en onta t ave le n÷ud en question). Le dernier arrangement des triangles étant elui re ommandé par les auteurs [21℄.  Pour le as des métaux, le simple réarrangement des tétraèdres est insusant pour atteindre ette onvergen e rapide. L'intégration (A.7.1) est ainsi développée sous la forme d'une somme pondérée (ave poids) des éléments de matri e sur les points ~ko irrédu tibles [20℄ :

hEi =

occ D XX α

j

   E ˆ ψj ~kα H ψj ~kα .wαj

...(A.7.2)

les oe ients wαj représentant des oe ients de poids qui sont entièrement indépendantes des valeurs des éléments de matri e à intégrer. Ces poids sont  don al ulées une fois pour toute et pour une série de bande d'énergie Ej ~kα , ave la méthode des tétraèdres. La pro édure automatique de division de l'espa e ré iproque en tétraèdres (pour des groupes d'espa e de diérentes symétries) et de re her he des points ~k irrédu tibles est détaillée dans la publi ation de Bloe hl et al. , es derniers ont aussi montré que la pré ision d'une appli ation de leur nouveau s héma aux métaux est omparable à elle du s héma du point spé ial appliqué aux semi ondu teurs [20℄.

13













































































































































































Fig. 1.4  Congurations possibles d'un dé oupage du réseau arré en triangles ( as bidimensionnel).

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