Test.pdf

Huiswerkset 6 oktober 2016 Leander Kalff (s1824341) 5 oktober 2016 Opgave 5.4.3 hv,ai Voor spiegeling van v in een vlak met normaalvector a geldt: s(v) = v − 2 ||a|| 2 · a. Hier geldt 2 2 2 2 voor de normaalvector a = (1, 2, −1). ||a|| = 1 + 2 + (−1) = 6. Dus voor spiegeling van de standaard generatoren geldt:

h(1, 0, 0)(1, 2, −1)i 1 2 2 1 · (1, 2, −1) = (1, 0, 0) − (1, 2, −1) = ( , − , ), 6 3 3 3 3 2 2 1 2 h(0, 1, 0)(1, 2, −1)i · (1, 2, −1) = (0, 1, 0) − (1, 2, −1) = (− , − , ), s(e2 ) = (0, 1, 0) − 2 6 3 3 3 3 1 1 2 2 h(0, 0, 1)(1, 2, −1)i · (1, 2, −1) = (0, 0, 1) − − (1, 2, −1) = ( , , − ). s(e3 ) = (0, 0, 1) − 2 6 3 3 3 3 s(e1 ) = (1, 0, 0) − 2

Dus voor matrix M geldt: 2 3 − 2 3 1 3

 M = (s(e1 ), s(e2 ), s(e3 )) =

− 23 − 13 2 3

1 3 2 3 2 3



Opgave 5.5.4 

 cos(α + β) −sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β) Ook geldt er dat een draaing over α + β een draaing over α en daarna over β is. Daarom geldt: Cα+β · v = Bβ · (Aα · v). Dus Cα+β = Aα · Bβ .       cos(α + β) −sin(α + β) cos(α) −sin(α) cos(β) −sin(β) = · sin(α + β) cos(α + β) sin(α) cos(α) sin(β) cos(β)

Er geldt: Cα+β =

Volgens de rekenregels van matrices geldt dus nu:     cos(α + β) −sin(α + β) cos(α)cos(β) − sin(α)sin(β) −cos(α)sin(β) − sin(α)cos(β) = . sin(α + β) cos(α + β) sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) −sin(α)sin(β) + cos(α)cos(β) Hieruit volgt dat geldt cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sin(α)sin(β) en sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β).

1