Test3 Solution

TS

Mathématiques

Test n˚3 du 1/12/2008

Exercice 1 1. Un exemple. a. Voir figure. b. Le point K  a pour affixe zK  =

−(1 + i )2 = −2i. 1+i−i

c. Voir figure. 2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas.  2  2 − 2i − 2i i = = . On remarque ainsi que L = L. a. L a pour affixe z L = i i 2 −2 2 −i b. Soit M un point du plan complexe d’affixe z = i. Alors : 

       i − z2  f ( M ) = M ⇐⇒ z = . ⇐⇒ z(z − i ) = −z2 ⇐⇒ z(2z − i ) = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z = z−i 2

Il n’y a donc que deux points invariants par f : O et L. 3. Un procédé de construction. i+z− i + z + z a. On a : g = = 3 3

z2 z−i

(z − i )(z + i ) − z2 z2 + 1 − z2 1 = = . L’égalité est vérifiée. 3( z − i ) 3( z − i ) 3( z − i ) b. Soit M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors AM = r, donc |z − i | = r. D’après la relation 1 1 précédente, cela implique que | g| = , donc que G appartient au cercle de centre O de rayon . 3r 3r c. D’après la relation de la question 3a :   − → −−→ 1 arg g = arg = − arg(3(z − i )) = − arg 3 − arg(z − i ) = − arg(z − i ) = − u ; AM . 3( z − i ) =

d. Construction du point D  : 2 – on construit le point G, point d’intersection du cercle de centre O et de rayon et de la demi-droite 3 − → −−→ d’origine O faisant un angle de −( u ; AD ) avec l’horizontale ; −−→ −→ – G est le centre de gravité du triangle ADD  , en notant J le milieu de [ AD ] on a donc : JD  = 3 JG .

Exercice 2 D

B 1

K π/3

A

−3

−2

−1

I 1

2

−1 −2

1 + 4i −7 + 6i (1 + 4i )(1 + 2i ) . = = 1 − 2i ( 1 − 2i )( 1 + 2i ) 5   −2 + 1 1 3 IA Le cercle (C) a pour centre K =− = . et pour rayon 2 2 2 2       7 6   9  1 12 3  = − + i = . On calcule KB : KB = − + i − − 5 5 2   10 10  2 B appartient donc bien au cercle (C) .       1   1  3  2. a. d +  = d − − = KD = puisque D est un point du cercle (C).  2 2 2   −→ − → 3→ − → → 1 − → arg d + = u ; KD [2π ]. De plus, KI = − u . Les vecteurs KI et − u sont colinéaires et de même sens, d’où 2  2   − → −→ 1 π = KI ; KD = arg d + [2π ]. 2 3 1.

b=

 √  √ √ √ π 1 3 3 1 3 3 3i 3 3 3i 3 1 1 3i 3 π cos + i sin , puis d = + . b. On en déduit : d + = = +i = + − = + 2 2 3 3 2 2 2 4 4 4 4 2 4 4 1 + 2ia d−1 puisque d = −2. c. L’équation = d s’écrit 1 + 2ia = (1 − ia)d ou 2ia + iad = d − 1, d’où a = 2i + id √1 − ia √ 3i 3 1 1 1 −3 + 3i 3 4 + 4 −√  = √ a= = √ . 3i 3 1 −3 3 + 9i 3 2i + i + 4

3. Z =

m−1 = m+2

4 1+2ix 1−ix 1+2ix 1−ix

−1 +2

=

3ix 1−ix = 3 1−ix 

ix.

 m−1 π π Puisque x est un réel non nul, arg = arg (ix ) = [2π ] ou = − [2π ] suivant si x > 0 ou x < 0. m + 2 2 2    −−→ −→ m−1 D’autre part : arg = AM ; I M [2π ]. m+2 On en déduit que le triangle AI M est rectangle en M, donc que M est sur (C). n−1 1 + 2iy puisque n = −2. 4. L’équation = n s’écrit 1 + 2iy = (1 − iy)n ou 2iy + iyn = n − 1, d’où y = 1 − iy 2i + in Il reste à vérifier que y est bien un réel. y est bienun réel. Si N = I, alors n = 1et y = 0 :     n−1 n−1 n−1 π Sinon : arg(y) = arg = arg − arg(i ) = arg − [2π ]. i ( n + 2) n+2 n+2 2    −→ − → π n−1 Puisque N est sur le cercle (C) de diamètre [ I A], le triangle AI N est rectangle en N et arg = AN ; I N = [2π ] n+2 2 π π π ou − [2π ]. On aura respectivement : arg(y) = − = 0 [2π ] ou = −π [2π ]. 2 2 2 Dans le premier cas, y est un réel positif ; dans le deuxième cas y est un réel négatif. Dans tous les cas y est bien un nombre réel. Exercice 1 - Annexe à rendre avec la copie

J

+

A + − → v

O

+

D +

+

+ +

+

K

− → u I

G

K

D

+