Test 4
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- Words: 582
- Pages: 1
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Mathématiques
Test n˚4 du 20/12/2007
Exercice 1 1 − 4 ln x. x2 1. Calculer la dérivée de g( x ) et dresser le tableau de variations de g. Préciser g(1). (On ne demande pas le calcul des limites en 0 et en +∞ ).
On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞ [ par : g( x ) = x2 −
2. En déduire le signe de la fonction g sur chacun des intervalles ]0 ; 1 [ et ]1 ; +∞ [. x2 1 On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ par f ( x ) = + 2 − (ln x )2 . 4 4x 3. Déterminer la limite de f en +∞ et la limite de f en 0. 1 g( x ) . En utilisant les résultats des deux premières questions, étudier 4. Montrer que, pour tout x > 0 , f 0 ( x ) = 2x le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞ [. 5. On nomme C la représentation graphique de f dans un repère orthonormal avec une unité de 5 cm. Tracer C sur papier millimétré.
Exercice 2 Résoudre dans C l’équation z3 = −8 et écrire les solutions sous forme algébrique ainsi que sous forme trigonométrique. Indication : z3 + 8 = a3 + b3 = · · · .
Exercice 3 I. Première partie On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f ( x ) = ln(1 + x ) − x
et
g( x ) = ln(1 + x ) − x +
x2 . 2
1. Étudier les variations de f et de g sur [0 ; +∞[. 2. En déduire que pour tout x > 0, x −
x2 6 ln(1 + x ) 6 x. 2
II. Deuxième partie On se propose d’étudier la suite (un ) de nombres réels définie par : 3 1 u1 = et un+1 = un 1 + n+1 . 2 2 1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel n > 1. 2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n > 1 : 1 1 1 + ln 1 + 2 + · · · + ln 1 + n . ln un = ln 1 + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + + 3 + · · · + n et Tn = + 2 + 3 + · · · + n . 2 22 2 4 4 4 2 4 À l’aide de la première partie, montrer que :
3. On pose Sn =
1 Sn − Tn 6 ln un 6 Sn . 2 4. Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire que lim Sn = 1 et lim Tn = n→+∞
n→+∞
1 . 3
5. Étude de la convergence de la suite (un ). (a) Montrer que la suite (un ) est strictement croissante. (b) En déduire que (un ) est convergente. Soit ` sa limite. (c) On admet le résultat suivant : si deux suites (vn ) et (wn ) sont convergentes et telles que vn 6 wn pour tout n entier naturel, alors lim vn 6 lim wn . n→+∞
n→+∞
5 Montrer alors que 6 ln ` 6 1 et en déduire un encadrement de `. 6
Mathématiques
Test n˚4 du 20/12/2007
Exercice 1 1 − 4 ln x. x2 1. Calculer la dérivée de g( x ) et dresser le tableau de variations de g. Préciser g(1). (On ne demande pas le calcul des limites en 0 et en +∞ ).
On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞ [ par : g( x ) = x2 −
2. En déduire le signe de la fonction g sur chacun des intervalles ]0 ; 1 [ et ]1 ; +∞ [. x2 1 On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ par f ( x ) = + 2 − (ln x )2 . 4 4x 3. Déterminer la limite de f en +∞ et la limite de f en 0. 1 g( x ) . En utilisant les résultats des deux premières questions, étudier 4. Montrer que, pour tout x > 0 , f 0 ( x ) = 2x le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞ [. 5. On nomme C la représentation graphique de f dans un repère orthonormal avec une unité de 5 cm. Tracer C sur papier millimétré.
Exercice 2 Résoudre dans C l’équation z3 = −8 et écrire les solutions sous forme algébrique ainsi que sous forme trigonométrique. Indication : z3 + 8 = a3 + b3 = · · · .
Exercice 3 I. Première partie On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f ( x ) = ln(1 + x ) − x
et
g( x ) = ln(1 + x ) − x +
x2 . 2
1. Étudier les variations de f et de g sur [0 ; +∞[. 2. En déduire que pour tout x > 0, x −
x2 6 ln(1 + x ) 6 x. 2
II. Deuxième partie On se propose d’étudier la suite (un ) de nombres réels définie par : 3 1 u1 = et un+1 = un 1 + n+1 . 2 2 1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel n > 1. 2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n > 1 : 1 1 1 + ln 1 + 2 + · · · + ln 1 + n . ln un = ln 1 + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + + 3 + · · · + n et Tn = + 2 + 3 + · · · + n . 2 22 2 4 4 4 2 4 À l’aide de la première partie, montrer que :
3. On pose Sn =
1 Sn − Tn 6 ln un 6 Sn . 2 4. Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire que lim Sn = 1 et lim Tn = n→+∞
n→+∞
1 . 3
5. Étude de la convergence de la suite (un ). (a) Montrer que la suite (un ) est strictement croissante. (b) En déduire que (un ) est convergente. Soit ` sa limite. (c) On admet le résultat suivant : si deux suites (vn ) et (wn ) sont convergentes et telles que vn 6 wn pour tout n entier naturel, alors lim vn 6 lim wn . n→+∞
n→+∞
5 Montrer alors que 6 ln ` 6 1 et en déduire un encadrement de `. 6
