Test 3
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- Words: 621
- Pages: 2
TS
Mathématiques
Test n˚3 du 1/12/2008
Exercice 1 La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice. − → − → Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct O ; u , v , le point A a pour affixe i.
On nomme f la transformation qui, à tout point M d’affixe z avec z 6= i associe le point M ′ d’affixe z′ telle que :
− z2 z−i Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M ′ connaissant le point M. 1. Un exemple On considère le point K d’affixe 1 + i. a. Placer le point K. b. Déterminer l’affixe du point K′ image de K par f . c. Placer le point K′ . 2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas i a. On considère le point L d’affixe . Déterminer son image L′ par f . Que remarque-t- on ? 2 b. Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image. Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes. 3. Un procédé de construction On nomme G l’isobarycentre des points A, M, et M ′ , et g l’affixe de G. 1 . a. Vérifier l’égalité g = 3 ( z − i) b. En déduire que si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point du cercle de centre 1 O de rayon . 3r − → −−→ c. Démontrer que arg g = − u ; AM . z′ =
1 d. Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon . 2 On nomme D′ l’image de D par f . Déduire des questions précédentes la construction du point D′ et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.
Exercice 2 − → − → Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct O ; u , v , (unité 2 cm).
On considère les points I et A d’affixe respectives 1 et −2. Le point K est le milieu du segment [ I A]. On appelle (C) le cercle de diamètre [ I A]. Faire une figure. 1. Soit B le point d’affixe b = Placer B sur la figure.
1 + 4i . Écrire b sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle (C). 1 − 2i
− → −→ π [2π ] et soit d l’affixe de D. 2. Soit D le point du cercle (C) tel que l’angle KI, KD = 3 1 1 a. Placer D sur la figure. Quel est le module de d + ? Donner un argument de d + . 2 2 √ 1 3 b. En déduire que d = + 3i . 4 4 √ 1 + 2ia 1 3 c. Déterminer un réel a vérifiant l’égalité = + 3i . 1 − ia 4 4 1 + 2ix 3. Soit x un réel non nul et M le point d’affixe m = . 1 − ix m−1 On pose Z = . Calculer Z et en déduire la nature du triangle AI M. Que peut-on en déduire pour le point m+2 M? 4. Soit N un point, différent de A, du cercle (C) et n son affixe. 1 + 2iy Démontrer qu’il existe un réel y tel que n = . 1 − iy
NOM Prénom............................................................................ Exercice 1 - Annexe à rendre avec la copie
− → −→ Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que u = OI est partagé en six segments d’égale longueur.
+
D A
I O
Mathématiques
Test n˚3 du 1/12/2008
Exercice 1 La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice. − → − → Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct O ; u , v , le point A a pour affixe i.
On nomme f la transformation qui, à tout point M d’affixe z avec z 6= i associe le point M ′ d’affixe z′ telle que :
− z2 z−i Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M ′ connaissant le point M. 1. Un exemple On considère le point K d’affixe 1 + i. a. Placer le point K. b. Déterminer l’affixe du point K′ image de K par f . c. Placer le point K′ . 2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas i a. On considère le point L d’affixe . Déterminer son image L′ par f . Que remarque-t- on ? 2 b. Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image. Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes. 3. Un procédé de construction On nomme G l’isobarycentre des points A, M, et M ′ , et g l’affixe de G. 1 . a. Vérifier l’égalité g = 3 ( z − i) b. En déduire que si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point du cercle de centre 1 O de rayon . 3r − → −−→ c. Démontrer que arg g = − u ; AM . z′ =
1 d. Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon . 2 On nomme D′ l’image de D par f . Déduire des questions précédentes la construction du point D′ et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.
Exercice 2 − → − → Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct O ; u , v , (unité 2 cm).
On considère les points I et A d’affixe respectives 1 et −2. Le point K est le milieu du segment [ I A]. On appelle (C) le cercle de diamètre [ I A]. Faire une figure. 1. Soit B le point d’affixe b = Placer B sur la figure.
1 + 4i . Écrire b sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle (C). 1 − 2i
− → −→ π [2π ] et soit d l’affixe de D. 2. Soit D le point du cercle (C) tel que l’angle KI, KD = 3 1 1 a. Placer D sur la figure. Quel est le module de d + ? Donner un argument de d + . 2 2 √ 1 3 b. En déduire que d = + 3i . 4 4 √ 1 + 2ia 1 3 c. Déterminer un réel a vérifiant l’égalité = + 3i . 1 − ia 4 4 1 + 2ix 3. Soit x un réel non nul et M le point d’affixe m = . 1 − ix m−1 On pose Z = . Calculer Z et en déduire la nature du triangle AI M. Que peut-on en déduire pour le point m+2 M? 4. Soit N un point, différent de A, du cercle (C) et n son affixe. 1 + 2iy Démontrer qu’il existe un réel y tel que n = . 1 − iy
NOM Prénom............................................................................ Exercice 1 - Annexe à rendre avec la copie
− → −→ Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que u = OI est partagé en six segments d’égale longueur.
+
D A
I O
