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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Civil

Matemática III

Apuntes de Clase Parte I Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

2017, UNI, Perú

Índice general Portada

i

1. Función vectorial de variable vectorial

1

1.1. Definiciones previas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Campos Vectoriales y Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1. Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3. Campos vectoriales en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.4. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.5. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.6. Coordenadas esféricas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Integrales de linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.4. Integrales de Campos Escalares Sobre Superficies . . . . . . . . . . . .

32

1.5. Integral de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.6. Teorema de la divergencia (teorema de Gauss) . . . . . . . . . . . . . .

38

1.6.1. Teorema de la divergencia (para el caso de 2 superficies.). . . . .

39

1.6.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.6.3. Caracterización de límite de la divergencia . . . . . . . . . . . .

52

1.7. Teorema de la divergencia (teorema de Gauss) . . . . . . . . . . . . . .

53

1.7.1. Teorema de la divergencia (para el caso de 2 superficies.). . . . .

55

Bibliografía

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i

1 Función vectorial de variable vectorial 1.1.

Definiciones previas:

Definición 1. Sean a “ pa1 , a2 , ..., an q y x “ px1 , x2 , ..., xn q, puntos de Rn . Se define la longitud o norma de a como b b 2 2 2 }a} “ a1 ` a2 ` ... ` an , }x ´ a} “ px1 ´ a1 q2 ` ... ` pxn ´ an q2 Definición 2. Se denomina Bola abierta de centro a y radio δ ą 0 al conjunto B pa; δq “ tx P Rn { |x ´ a| ă δu Ă Rn Definición 3. Se llama Bola abierta reducida o vecindad reducida de centro a y radio δ ą 0 al conjunto B 1 pa; δq “ B pa; δq ´ tau Ă Rn Definición 4. Punto frontera. x0 es un punto frontera del conjunto A si y solo si @δ ą 0, B px0 ; δq X A ‰ φ ^ B px0 ; δq X Ac ‰ φ, esto es, x0 se llama punto frontera del conjunto A Ă Rn si cada bola abierta con centro en x0 contiene al mismo tiempo puntos que están en A y puntos que están en Ac . Definición 5. De conjunto cerrado y conjunto abierto Un conjunto A Ă Rn se llama cerrado si y solo si A contiene a todos sus puntos de frontera. Un conjunto A Ă Rn se llama abierto si y solo si A no contiene a ningún punto de su frontera. Ejemplo. C “ tpx, yq P R2 {1 ď x ă 4, 1 ď y ă 3u este conjunto no es ni cerrado ni abierto Conjunto Convexo Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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Definición 6. Un conjunto S Ă Rn , se llama convexo, si para cada par de puntos x0 , x1 de S , el segmento de recta que une a x0 y x1 está íntegramente contenida en S, esto es. x “ x0 ` t px1 ´ x0 q , @t P r0, 1s Conjunto Conexo Definición 7. Un conjunto D Ă Rn , se llama conexo, si para cada par de puntos x0 , x1 de D , existe una curva r ptq que los une y está íntegramente contenida en D, esto es. r : ra, bs Ñ Rn , r ptq P D, @t P ra, bs donde r paq “ x0 , r pbq “ x1

Figura 1.1: Conjunto Convexo

Figura 1.2: Conjunto Conexo

Definición 8. Un conjunto S Ď Rn es conexo si la única manera de escribir a S como la unión disjunta de dos subconjuntos abiertos en S, es la trivial, es decir S “ S Y H. Ejemplo 1. Las bolas abiertas B pa; δq Ă Rn son conjuntos conexos, así como también las bolas cerradas B pa; δq Ă Rn , las coronas abiertas, cerradas o semiabiertos como D “ tx P Rn {δ1 ď |x ´ a| ă δ2 u pδ1 ą 0q Conjuntos simplemente conexos en el plano., Definición 9. Un conjunto conexo D Ă R2 se llama simplemente conexo si tiene la propiedad siguiente: La región encerrada por cualquier curva cerrada simple C contenida en D, pertenecen también al conjunto D

Figura 1.3: Conjunto simplemente conexa

Figura 1.4: Conjunto no simplemente conexa

Ejemplos. 1. Las bolas abiertas, rectángulos son conjuntos simplemente conexos en el plano R2 . Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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2. Los conjuntos U “ B pa; δq ´ tau Ă R2 y V “ R2 ´ tau no son simplemente conexos en R2 , pues existen curvas cerradas que no encierran regiones integramente contenidas en los conjuntos dados, pues el conjunto tau no pertenece a ellos. Conjuntos simplemente conexos en Rn Definición 10. En general un conjunto S Ă Rn se llama simplemente conexo si toda curva cerrada simple C contenida en S, puede ser deformada de manera continua hasta convertirla en un punto x0 de S, con la particularidad de que todas las curvas cerradas intermedias obtenidas en el proceso de deformación están contenidas en S. Conjunto multiplemente conexo Un conjunto S Ă R2 abierto y conexo que no es simplemente conexo se le llama multiplemente conexo. esto es si tiene un hoyo se le llama doblemente conexo, si tiene dos hoyos se le llama triplemente conexo y si tienen más de dos hoyos se le llama multiplemente conexo. Ejemplos. 1. En R3 , así como en Rn , n ě 3, todas las bolas abiertas reducidas B 1 pa; δq “ B pa; δq ´ tau Ă Rn si resultan ser simplemente conexas, pues cualquier curva cerrada simple C puede ser deformada en forma continua hasta convertirla en un punto 2. En R3 , el conjunto A “ R3 ´ tp0, 0, zq {z P Ru que es el espacio R3 al que se le ha quitado el eje Z no es simplemente conexo

Figura 1.5: Conjunto triplemente conexo

1.2.

Figura 1.6: Conjunto no simplemente conexa

Campos Vectoriales y Campos Escalares

Recordamos un poco sobre curvas en el espacio Sea r : ra, bs Ñ Rn una función que toma valores en Rn describiendo un conjunto C de puntos r ptq definida como r ptq “ pr1 ptq , r2 ptq , ..., rn ptqq donde ri : I Ñ R son las funciones coordenadas de r, Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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i “ 1, 2, ..., n llamada gráfica de la función , traza o camino, o curva C descrita por r ptq. Definición 11. La función r ptq que describe la curva C se le llama una parametrización de C. Ejemplo. La circunferencia C : x2 ` y 2 “ 9 puede ser representada por la parametrización r ptq “ p3 cos t, 3sentq , t P r0, 2πs C : x “ 3 cos t ; y “ 3sent t P r0, 2πs , d de tal manera que la gráfica de r ptq se encuentra sobre la circunferencia x2 ` y 2 “ 9 recorrida en sentido antihorario.(ver figura a) otras parametrizaciones pueden ser. v : r0, πs Ñ R2 definida como v ptq “ p3 cos 2t, 3sen2tq , t P r0, πs, o w : r0, 2πs Ñ R2 definida como w ptq “ p3 cos p2π ´ tq , 3sen p2π ´ tqq , t P r0, 2πs esta parametrización invierte la orientación del recorrido. Notación: Dado una curva C parametrizada por rptq con una cierta orientación, cuando a esta curva se parametriza por una función wptq que le invierte la orientación, entonces lo denotamos por C´ (ver figura b)

Figura 1.8: Figura b) Figura 1.7: Figura a)

Definición 12. Curva cerrada simple, es aquella curva r : ra, bs Ñ Rn que verifica rpt1 q ‰ rpt2 q, t1 ‰ t2 , t1 , t2 P xa, by y rpaq “ rpbq Al estudiar las integrales de linea nos interesa no solamente el conjunto de puntos de una curva C sino también la manera como ha sido originada es decir también nos interesa la parametrización, el cual nos da el sentido de recorrido de la curva. Definición 13. A una curva C se le llama camino o trayectoria. Las curvas que estudiaremos pueden ser: regulares, seccionalmente regulares cerradas o no. Definición 14. La función r : ra, bs Ñ Rn describe una curva cerrada C si r paq “ r pbq Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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Figura 1.9: Curva Simple

FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Figura 1.10: Curva no simple

Definición 15. Sea C : r : ra, bs Ñ Rn un camino continuo en Rn , al camino r ptq se le llama regular si existe el vector derivada r1 ptq ‰ 0 y continua en el intervalo abierto xa, by Definición 16. Un camino C : r : ra, bs Ñ Rn se llama seccionalmente regular si el intervalo dominio ra, bs se puede particionar en un número finito de subintervalos ra, t1 s , rt1 , t2 s , ..., rtn´1 , bs continuos y regulares en Rn , al camino r ptq se le llama regular por tramos, y sea C “ C1 Y C2 Y ... Y Cn

Figura 1.11: Curva seccionalmente suave

Definición 17. En este capítulo vamos a trabajar con funciones del tipo F : U Ď Rn Ñ Rn , definidas en un abierto U de Rn . El objetivo de este capítulo es familiarizarnos con las funciones, tanto con su naturaleza y propiedades como visualizaciones geométricas, utilizando algunos ejemplos importantes.

1.2.1.

Campos Vectoriales

Definición 18. Una función del tipo F : U Ď Rn Ñ Rn se llama campo vectorial (en Rn ). Si este asocia a cada vector x “ px1 , x2 , ...xn q P U, un vector F pxq P Rn . De modo que podemos escribir la imagen F pxq P Rn del vector x P U como F pxq “ pF1 pxq , F2 pxq , ...Fn pxqq donde cada Fi pxq es una función real definida en U Ď Rn , Fi : U Ď Rn Ñ R y que son las funciones coordenadas del campo F Ejemplo 2. Un campo vectorial en R2 , F :U Ď R2 Ñ R2 se verá como un conjunto de vectores o flechas dentro del conjunto U . Cada flecha es la imagen bajo el campo F del punto x P U donde comienza la flecha. Esta idea para representar campos vectoriales, es muy útil, pues se puede usar como por ejemplo, campo de velocidades: un líquido Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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que fluye dentro de un tubo en un momento dado, cada partícula del líquido se está moviendo a determinada velocidad en la dirección del flujo. Del mismo modo, un campo de fuerzas, es un campo vectorial en R2 o en R3 , donde a cada punto del plano o del espacio se ejerce una determinada fuerza, de modo que se establece la función F :U Ď R2 Ñ R2 o F : U Ď R3 Ñ R3 en que a cada x se le asocia la fuerza F pxq

1.2.2.

Campos Escalares

Definición 19. Dada la función f : Rn Ñ R se dice que es un campo escalar si este asocia un escalar a cada punto del espacio. Ejemplos; 1. La temperatura, presión,altura,densidad,potencial eléctrico, etc. 2. a) Mostrar en un gráfico la representación del campo vectorial F px, yq “ p´y, xq b) Demostrar que el campo vectorial es tangente a una circunferencia con centro en el origen y tiene una longitud igual al radio de la circunferencia. Solución: a) b) Sea R px, yq “ px, yq el vector de posición cuyo punto final está en px, yq entonces F px, yq ¨ R px, yq “ p´y, xq px, yq “ 0. Por lo tanto los vectores R y F ortogonales esto indica que F con centro en a a es tangente a la circunferencia 2 2 2 2 el origen y radio }R px, yq} “ x ` y y }F px, yq} “ x ` y son de igual magnitud. px, y, zq . es un campo vectorial de 3. El campo vectorial en R3 es F px, y, zq “ ´ GM d2 fuerzas central. Definición 20. Sea f px, y, zq “ c una función que define una superficie de nivel, es una´función escalar. Se llama gradiente de f px, y, zq al vector ∇f se define como ¯ Bf Bf Bf ∇f “ Bx , By , Bz . se le llama vector gradiente del campo f . El gradiente de un campo escalar en un punto dado P “ px, y, zq está orientado por la normal a la superficie de nivel f px, y, zq “ c que pasa por el punto P . Para cada punto este vector ofrece o muestra la¯velocidad máxima de variación de la función gradf “ ∇f ;y al operador ∇ “ ´ B B , , B se le llama operador Hamiltoneano. Y sabemos que la derivada direccional Bx By Bz se expresa como Du f “ ∇f ¨ u donde u es un vector unitario Definición 21. Sea F : R3 Ñ R3 un campo vectorial definida como F “ pP, Q, Rq , denominamos divergencia del campo vectorial F a la función escalar divF “ ∇ ¨ F “

BP BQ BR ` ` Bx By Bz

Definición 22. Si F es el campo de velocidades de un fluido entonces divF da información a cerca del flujo o desplazamiento de masa. así si divF ă 0 la masa fluye al punto M0 psumideroq si divF ą 0 la masa fluye desde el punto M0 pf uenteq si divF “ 0 se dice que la masa es incompresible, esto es no hay aumento ni disminución de masa (la masa que ingresa es igual a la masa que sale). Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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Definición 23. Dado el campo vectorial F se define el rotacional de F como: ˇ ˇ ˇ i j k ˇ ˇ B B B ˇ ˇ rotF “ ∇ ˆ F “ ˇˇ Bx By Bz ˇ ˇ P Q R ˇ El rotacional da la información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. Si se considera un punto K px, y, zq al rededor del cual el fluido gira entonces rotF coincide con el eje de rotación y se puede emplearlas para describir las propiedades rotacionales del campo. Ejemplo 3. Determinar el rotacional de F si: F “ pe2x , 3x2 yz, 2y 2 z ` xq Solución. ` ˘ rotF “ ∇ ˆ F “ 4yz ´ 3x2 y, ´1, 6xyz , divF “ ∇ ¨ F “ 2e2x ` 3x2 z ` 2y 2 Teorema 1.2.1. Supónganse que F es un campo vectorial definido en una bola abierta B, tal que si F “ pP x, Qx, Rxq , y si las segundas derivadas parciales de P, Q y R son continuas en B entonces div protFq “ 0 o ∇ ¨ ∇ ˆ F “ 0 Teorema 1.2.2. Si f es un campo escalar en una bola abierta B Ă R3 si las derivadas parciales de f son continuas en B entonces: rot pgradf q “ 0 o ∇ ˆ ∇f “ 0 Definición 24. Dado un campo escalar f se puede determinar el campo vectorial gradiente de f, a este campo gradiente determinamos su divergencia, obteniéndose un campo escalar, al cual se le llama el Laplaciano de f . esto es. Sea f : R2 Ñ R entonces ∇f “ pfx , fy , fz q y Bfx Bfy Bfz ` ` ; Bx By Bz ∇ ¨ ∇f “ fxx ` fyy ` fzz “ ∇2 f “ ∆f ∇ ¨ ∇f “

Definición 25. Para el caso de funciones f : R2 Ñ R se tiene: ∇2 f “ fxx ` fyy ¯ ´ BP Oservación 1.2.1. Si F P R2 entonces rotF “ BQ ´ k ; divF “ Bx By

BQ Bx

`

BP By

Definición 26. Si el laplaciano de f es cero entonces la ecuación se llama ecuación de Laplace ∇2 f “ 0 Propiedades: a) ∇ ¨ pf Fq “ f ∇ ¨ F ` p∇f q ¨ F c) ∇ ¨ pF ` Gq “ ∇ ¨ F ` ∇ ¨ G e) ∇ ˆ pf Fq “ f ∇ ˆ F ` ∇f ˆ F

b) ∇ pf ` gq “ ∇f ` ∇g d) ∇ ˆ pF ` Gq “ ∇ ˆ F ` ∇ ˆ G f) ∇ ¨ pF ˆ Gq “ ∇ ˆ F ¨ G ´ ∇ ˆ G ¨ F

g) ∇ ˆ pF ˆ Gq “ pG ¨ ∇q F ´ G p∇ ¨ Fq ´ pF ¨ ∇q G ` F p∇ ¨ Gq h) ∇ pF ¨ Gq “ pG ¨ ∇q F ` pF ¨ ∇q G ` G ˆ p∇ ˆ Fq ` F ˆ p∇ ˆ Gq Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Ejemplo 4. Dada las funciones determinar ∇ ˆ F y ∇ ¨ F si: a) F px, y, zq “ px3 ln z, xe´y , ´y 2 ´ 2zq b) F px, y, zq “ px2 z, y 2 x, y ` 2zq c) F px, y, zq “ p3x ` y, xy 2 z, xz 2 q d) F px, y, zq “ p3z sin x, z cos x, xyzq c Ejemplo 5. Sea r “ px, y, zq , r “ }r} . Demuestre que si F px, y, zq “ k r, donde c r es una constante y k es cualquier número real positivo, entonces el rotacional de F es cero.

1.2.3.

Campos vectoriales en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas

Dentro de las aplicaciones a la física es común trabajar con campos vectoriales en R descritos en otros sistemas coordenados distintos del cartesiano. Escribamos las funciones coordenadas del campo vectorial 3

p F pxq “ pP pxq , Q pxq , R pxqq “ P pxq pi ` Q pxq pj ` R pxq k pi, p j, p k donde i, j, k son los vectores de l abase canónica de R3 , donde P, Q, R son las proyecciones de F en las direcciones de los ejes coordenados. En el sistema de coordenadas cilíndricas, el espacio R3 se describe en términos de la base ortonormal ter , eθ , ez u donde er “ cos θ i ` senθ j , eθ “ ´senθ i ` cos θ j , ez “ k de aquí podemos obtener que i “ cos θer ´ senθeθ , j “ senθer ` cos θeθ ,

k “ ez

, además sabemos que las ecuaciones de transformación en coordenadas cilíndricas son. x “ r cos θ, y “ rsenθ, z “ z, en el campo vectorial F reemplazamos estos valores y los vectores de transformación y obtenemos la representación del campo vectorial en el nuevo sistema r pr, θ, zq “ P pr, θ, zq er ` Q pr, θ, zq eθ ` R pr, θ, zq ez F de igual forma se podrá expresar el campo vectorial F en coordenadas esféricas.

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1.2.4.

FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Coordenadas polares

Consideremos x “ xpρ, θq “ ρ cos θ, y “ ypρ, θq “ ρ sen θ donde ρ P r0, `8y y θ P r0, 2πs El vector posición r “ rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θq Cuando ρ se mantiene fijo y se varía θ en sentido positivo se obtiene circunferencias concéntricas de centro el origen. cuyos vectores tangentes son Br “ p´ρ sen θ, ρ cos θq Bθ Cuando θ se mantiene fijo y se varía ρ se obtienen semirectas que parten del origen. cuyos vectores tangentes son Br “ pcos θ, sen θq Bρ Los vectores t

1.2.5.

Br Br , u forman una base ortogonal de R2 Bρ Bθ

Coordenadas cilíndricas

Consideremos x “ xpρ, θq “ ρ cos θ, y “ ypρ, θq “ ρ sen θ, z “ z donde ρ P r0, `8y y θ P r0, 2πs y z P R El vector posición r “ rpρ, θ, zq “ pρ cos θ, ρ sen θ, zq Cuando z y ρ se mantienen constantes y se varía θ en sentido positivo se obtienen circunferencias horizontales, cuyos vectores tangentes son Br “ p´ρ sen θ, ρ cos θ, 0q Bθ Cuando z y θ se mantienen constantes y se varía ρ se obtienen semirectas que empiezan en el ejeZ, cuyos vectores tangentes son Br “ pcos θ, sen θ, 0q Bρ Cuando ρ y θ se mantienen constantes y se varía z se obtienen rectas verticales, cuyos vectores tangentes son Br “ p0, 0, 1q Bz Los vectores t

Br Br Br , , u forman una base ortogonal de R3 Bρ Bθ Bz

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1.2.6.

FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Coordenadas esféricas

Consideremos x “ xpρ, θ, ϕq “ ρ cos θ sen ϕ, y “ ypρ, θ, ϕq “ ρ sen θ sen ϕ, z “ zpρ, θ, ϕq “ ρ cos ϕ donde ρ P r0, `8y , θ P r0, 2πs y ϕ P r0, πs El vector posición r “ rpρ, θ, ϕq “ pρ cos θ sen ϕ, ρ sen θ sen ϕ, ρ cos ϕq Cuando ρ se mantienen fijo se obtiene una esfera centrada en el origen. θ corresponde a la longitud y ϕ es la latitud Cuando ρ varia y se fija las otras dos obtenemos semirectas que parten del origen, cuyos vectores tangentes son Br “ pcos θ sen ϕ, sin θ sen ϕ, cos ϕq Bρ Cuando θ varia y se fija las otras dos se obtienen meridianos, cuyos vectores tangentes son Br “ ρp´ sen θ sen ϕ, cos θ sen ϕ, 0q Bθ Cuando ϕ varia y se fija las otras dos se obtienen paralelos, cuyos vectores tangentes son Br “ ρpcos θ cos ϕ, sen θ sen ϕ, ´ sen ϕq Bϕ Los vectores t

Br Br Br , , u forman una base ortogonal de R3 Bρ Bθ Bϕ

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1.3.

FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Integrales de linea

Definición 27. Sea F : U Ď Rn Ñ Rn , F pxq “ pF1 pxq, F2 pxq, ..., Fn pxqq un campo vectorial continuo y sea r : ra, bs Ñ Rn , rptq “ px1 ptq, x2 ptq, ..., xn ptqq un camino de clase C 1 cuya traza está contenida en U , es decir r ra, bs de linea a ş Ă U .ş La integral ş ř lo largo del (o sobre el) camino r se define y denota por: r F, r F ¨ dr o r ni“1 Fi dxi como: ş şb F prptqq ¨ r1 ptqdt F ¨ dr “ r şab řn “ a i“1 Fi prptqq x1i ptq dt řn şb 1 “ i“1 a Fi prptqq xi ptq dt Oservación 1.3.1. Si n “ 2 denotaremos x “ px, yq , F pxq “ pP pxq , Q pxqq . Si n “ 3 denotaremos F pxq “ pP pxq , Q pxq , R pxqq x “ px, y, zq , Ejemplos: 1. Sea F : U Ď R2 Ñ R2 , Fpx, yq “ px ` y, yq un campo vectorial y sea r : r0, 1s Ñ R2 , rptq “ pt, t2 q La integral de linea de F a lo largo del (o sobre el) camino r es: ż F“ r

ż ÿ 2 r i“1

Fi dxi “

ż1ÿ 2 0 i“1

Fi prptqq x1i ptqdt “

4 3

2. Una partícula se mueve a lo largo de una curva C : r ptq en U, se desea determinar el trabajo que se realiza al mover la partícula dentro de un campo vectorial F desde el punto A “ rpaq hasta el punto B “ rpbq a lo largo de C.

El campo de fuerzas F puede representar el viento y la partícula puede ser un avión volando dentro del campo de fuerzas del viento. Para hallar el trabajo tomamos la componente de F a lo largo de la curva C en el punto r ptq es decir la 1 ptq componente de F en la dirección del vector tangente unitario T ptq “ }rr1 ptq} a la curva C. Esta componente está dada por el producto escalar que se convierte en una función de t luego integramos esta función a lo largo de ş la curva şC y a ese resultado se interpreta como el trabajo total W esto es W “ C F¨dr “ F prptqq¨ C

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

şt Tptqds donde s es la longitud de arco definida por s ptq “ a }r1 ptq} dt , t P ra, bs ñ ds “ }r1 ptq} dt luego se tiene que ż ż r1 ptq r1 ptq F pr ptqq ¨ 1 ds “ F pr ptqq ¨ 1 }r1 ptq} dt W “ }r ptq} }r ptq} C ż C ż F pr ptqq ¨ r1 ptq dt “ F pr ptqq ¨ dr W “ C

C

3. Si n “ 2 denotaremos r ptq “ px, yq , dr ptq “ pdx, dyq , F pxq “ pP pxq , Q pxqq , t P ra, bs ş ş şb entonces F “ F pr ptqq ¨ dr “ a F pr ptqq ¨ r1 ptq dt reemplazando obtenemos C ş şB C F “ A pP pxq , Q pxqq ¨ pdx, dyq donde A “ r paq , B “ r pbq

C

Si n “ 3 denotaremos r ptq “ px, y, zq , dr ptq “ pdx, dy, dzq , F pxq “ pP pxq , Q pxq , R pxqq , t P ra, bs ş ş şb entonces F “ F pr ptqq ¨ dr “ a F prptqq ¨ r1 ptq dt reemplazando obtenemos C

żB

ż F“ C

C

pP pxq , Q pxq , R pxqq ¨ pdx, dy, dzq

donde

A “ r paq , B “ r pbq

A

4. Calcular la integral de linea del campo vectorial F px, yq “ px2 , y 2 q sobre la parábola C : y “ x2 , desde A p0, 0q hasta B p1, 1q Solución: Parametrizamos la curva x “ t , y “ t2 ñ r ptq “ pt, t2 q y r1 ptq “ p1, 2tq , t P r0, 1s además F px, yq “ px2 , y 2 q y F pr ptqq “ pt2 , t4 q entonces ż żB ż1 ` 2 4˘ 2 F“ pP pxq , Q pxqq ¨ pdx, dyq “ t , t ¨ p1, 2tq dt “ 3 A 0 C

Cuando se calcula la integral desde el punto `B p1, 1q hasta ˘el punto A p0, 0q, consideremos la parametrizaciónş C ´ : w ptq “ 1 ´ t, p1 ´ tq2 , t P r0, 1s donde w p0q “ p1, 1q , w p1q “ p0, 0q ñ C ´ F “ ´ 32 Teorema 1.3.1. Sean r ptq y w ptq dos caminos de la curva C : a) Si la misma orientación de C entonces ş r ptq y w ptq originan ş F pwq ¨ dw “ F prq ¨ dr C

C

orientaciones opuestas de C entonces b) Si ş r ptq y w ptq originan ş F pwq ¨ dw “ ´ F prq ¨ dr. C´

C

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Corolario 1.3.1. Si la curva C está definida por el camino r ptq , t P ra, bs la integral de F sobre la curva C ´ (con orientación opuesta) es igual a ża ż F pr ptqq ¨ r1 ptq dt F prq ¨ dr “ b

C

Ejemplo: 1. determinar la integral de linea del campo vectorial F px, yq “ px2 , xyq desde el punto B p1, 1q hasta el origen A p0, 0q a lo largo de: a) un segmento de recta. b) la curva y 2 “ x c) la curva y “ x2 . Solución a) Sea C el segmento de recta que va desde A p0, 0q hasta B p1, 1q representado por C : px, yq “ r ptq “ A`t pB ´ Aq , t P r0, 1s esto es r ptq “ pt, tq donde r p0q “ A, r p1q “ B. nos piden evaluar la integral sobre el camino opuesto C ´ desde B hasta A, entonces ż ż ż1 ` 2 2˘ 2 F “ ´ F prq ¨ dr “ t , t ¨ p1, 1q dt “ ´ 3 0 C´

ş

2. Evaluar

C

xydx ` x2 dy suponiendo que:

C

a) que C consta un segmento de recta que va desde p2, 1q hasta p4, 1q y de p4, 1q a p4, 5q. b) C es el segmento que va desde p2, 1q“ hasta ‰ p4, 5q c) C tiene la 5 2 ecuación paramétrica x “ 3t ´ 1, y “ 3t ´ 2t, t P 1, 3 . Integral de linea sobre caminos seccionalmente regular Si la curva C : r ptq , t P ra, bs es seccionalmente regular entonces existe una partición a “ t0 ă t1 ă ... ă tn “ b del intervalo ra, bs, tal que C resulta ser la unión de las curvas regulares. C1 : r ptq , t P ra, t1 s , C2 : r ptq , t P rt1 , t2 s , ..., Cn : r ptq , t P rtn , bs esto es C “ C1 Y C2 Y ... Y Cn entonces

ş

F prq ¨ dr “

i“1

C

Ejemplo 6. Evaluar

ş

n ş ř Ci

F prq ¨ dr

F prq¨dr para F px, yq “ px ` y, y 2 q donde C es la curva cerrada

C

en cada caso: a) C “ Y3i“1 Ci Solución. Veamos el caso a)

b) C “ Y3i“1 Ci ş

F prq ¨ dr “

C

3 ş ř i“1

Ci

F prq ¨ dr entonces

a) C1 : r ptq “ pt, 0q , t P r0, 1s y dx “ dt, dy “ 0 entonces ż ż p1,0q ż1 ` ˘ 1 2 pt, 0q ¨ p1, 0q dt “ F prq ¨ dr “ x ` y, y ¨ pdx, dyq “ 2 p0,0q 0 C1

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Figura 1.13: b)

Figura 1.12: a)

b) C2 : r ptq “ p1, tq , t P r0, 1s y dx “ 0, dy “ dt entonces ż1 ż p1,1q ż ` ˘ ` ˘ 1 2 1 ` t, t2 ¨ p0, 1q dt “ x ` y, y ¨ pdx, dyq “ F prq ¨ dr “ 3 0 p1,0q C2

ÐÝÝÝ c) C3 : r ptq “ pt, tq , t P r0, 1s y dx “ dy “ dt entonces ż ż p0,0q ż0 ` ˘ ` ˘ 4 2 F prq ¨ dr “ x ` y, y ¨ pdx, dyq “ 2t, t2 ¨ pdt, dtq “ ´ 3 p1,1q 1 C3

por lo tanto

ş

F prq ¨ dr “

C

Ejemplo 7. Evaluar

ş

1 2

` 13 ´ 43 .

F prq ¨ dr para F px, yq “ px2 ´ 4x ` y, y ` xq donde C es la

C

curva que va desde el punto Ap0, ´1q hasta el punto Bp´1, 0q donde C1 y C3 son segmentos de recta y C3 : px ´ 2q2 ` py ´ 1q2 “ 4, C4 : 2x2 “ 2 ´ y

ż Ejemplo 8. Calcular

´ydx ` xdy donde C : x2 ` y 2 “ a2 , a ą 0, recorrido en 2 2 x `y

C

sentido antihorario Solución. Sea r ptq “ px, yq “ pa cos t, asentq , t P r0, 2πs , r1 ptq “ pdx, dyq “ p´asent, a cos tq dt entonces ż ż 2π 2 ż ÿ ` 2 ˘ F prq ¨ dr “ F prq ¨ dr “ a sen2 t ` a2 cos2 t dt “ 2π C

i“1 Ci

0

Se observa que el valor de la integral no depende del radio a de la circunferencia. Oservación 1.3.2. Cuando la curva C es cerrada, a la integralű de linea ű del campo vectorial F a lo largo deűC se le denota por los siguientes símbolos: C F , C F recorrido en sentido antihorario C F recorrido en sentido horario. Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Oservación 1.3.3. Cuando F pxq representa un campo de velocidades , T el vector unitario tangente a la curva C en el punto x entonces: F pxq ¨T representa la componente tangencial de la velocidad y la integral de linea ż ż F ¨ Tds “ F prq ¨ d prq C

C

es llamada integral de flujo de F a lo largo de la curva C. Cuando C es cerrada la integral de linea recibe el nombre de circulación de F a lo largo de C. Ejemplo 9. Determinar el valor de la integral de linea del campo vectorial definido como F px, y, zq “ p2yz, 2 ´ x ´ 3y, x2 ` zq a lo largo del borde de la superficie de la intersección de los cilindros x2 ` y 2 “ a2 , x2 ` z 2 “ a2 , situados en el primer octante y recorrido en sentido horario visto desde el origen. 3 ş ş ř Solución. En el gráfico F prq ¨ dr “ F prq ¨ dr de manera que determinamos la Ci C

i“1

integral a lo largo de cada una de las curvas:

“ ‰ a) C1 : r ptq “ pasent, 0, a cos tq , t P 0, π2 y dx “ a cos tdt, dy “ 0, dz “ ´asentdt así ş şpa,0,0q F prq ¨ dr “ p0,0,aq p2yz, 2 ´ x ´ 3y, x2 ` zq ¨ pdx, dy, dzq C1 şπ “ 02 pa3 sen3 t ´ a2 sent cos tq dt 3 2 “ ´ a2 ´ 2a3 “ ‰ b) C2 : r ptq “ pasent, a cos t, 0q , t P 0, π2 y dx “ a cos tdt, dy “ ´asentdt, dz “ 0 así ş şp0,a,0q F prq ¨ dr “ pa,0,0q p2yz, 2 ´ x ´ 3y, x2 ` zq ¨ pdx, dy, dzq C2 şπ “ 02 pa2 cos2 t ´ 3a2 sent cos t ` 2a cos tq dt 2 2 “ ´ πa4 ´ 3a2 ` 2a. c) C3 : r ptq “ p0, a, tq , t P r0, as y dx “ 0, dy “ 0, dz “ dt así şp0,a,aq ş p2yz, 2 ´ x ´ 3y, x2 ` zq ¨ pdx, dy, dzq F prq ¨ dr p0,a,0q C3 ş0 2 tdt “ a2 a ÐÝÝÝ d) C4 : r ptq “ p0, t, aq , t P r0, as y dx “ 0, dy “ 1dt, dz “ 0 así ş şp0,0,aq F prq ¨ dr “ p0,a,aq p2yz, 2 ´ x ´ 3y, x2 ` zq ¨ pdx, dy, dzq C4 ş0 2 “ a p´3t ` 2q dt “ 3a 2´4a ş 2 Por lo tanto F prq ¨ dr “ ´ a12 p3π ` 8aq . C

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Integral de linea respecto a la longitud de arco Definición 28. Sea f pxq un campo escalar x P Rn definido y acotado sobre la curva C. La integral de linea de f pxq respecto a la longitud de arco se define como sigue. żb ż żb ż 1 f pr ptqq }r1 ptq} dt f“ f pxq ds f pr ptqq s ptq dt “ C

C

a

a

ş

Ejemplo 10. Calcular la integral C px ` yq ds donde C es una parte de la circunferencia x2 ` y 2 ` z 2 “ a2 , y “ x, a ą 0 situada en el primer octante y recorrida en sentido horario vista desde el eje Y ` . ”ÐÝÝπÝÝı Solución. Se observa que la curva de intersección es C : r ptq “ px, y, zq si t P 0, 2 y donde x “ asent. cos π4 y “ asent. cos π4 z “ a cos t entonces ds “ | r1 ptq| “ |a| “ a de manera que: ż ż0? ? px ` yq ds “ 2asentdt “ ´ 2a C

π 2

Interpretación: Sea f : R3 Ñ R una función escalar y la integral I “ curva parametrizada por

ş C

f pxq ds donde C es la

r ptq “ px ptq , y ptq , z ptqq , t P ra, bs y : |r1 ptq| “ ds. La imagen C de r ptq representa un alambre en R3 , luego: Si ş f “ 1 entonces la integral I representa la longitud total del alambre L “ ds, s P r0, Ls C Si f px, y, zq denota la densidad de masa en x “ px, y, zq entonces I representa la masa total del alambre. Si f px, y, zq denota la temperatura şen x “ px, y, zq entonces la temperatura ş f pxqds promedio del alambre está dado por Cş ds “ L1 C f pxq ds. C ş Ejemplo 11. Hallar el valor de la integral; C px2 ` y 2 ` z 2 q ds a lo largo de la hélice C : r ptq “ pa cos t, asent, btq , t P r0, 2πs Solución. Aplicamos la definición ş şb pxq ds “ f f pr ptqq ds C ? şa2π “ 0 f pa cos t, asent, btq a2 ` b2 dt ? ş2π 2 “ 0 pa ` b2 t2 q a2 ? ` b2 dt 2 2 2 “ 3 π p3a ` b ` 4πq a2 ` b2 Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

ş Ejercicio 1. Calcular C px ` yz, x, x ´ yzq pdx, dy, dzq a lo largo de la curva C “ 3 Ť Ci , donde C1 es un arco de circunferencia de radio r “ 1, con centro en p1, 0, 0q en i“1

el plano XZ, con Z positivo , C2 un aro de circunferencia en el plano XY con centro en pp1, 1, 0q de radio 1 (con x ě 1 )y C3 es un segmento de recta que une el punto pp1, 2, 0q con el punto p0, 0, 4q. ş Ejercicio 2. Calcular C pxz, x, ´yzq pdx, dy, dzq a lo largo de la curva C “ Y3i“1 de la figura, donde C1 es un arco de circunferencia en XZ, C2 y C3 son segmentos de recta.

FaltaungraficoJGK3460N.wmf Ejercicio 3. Calcular la integral del campo vectorial F px, y, zq “ pyexy , xexy , xyzq a lo largo de la curva C que ees la intersección del cono x2 ` y 2 “ pz ´ 1q2 , con los planos coordenados en el primer octante, recorrido en sentido horario visto desde el origen. (resp. 0) Ejemplo 12. Si f px, y, zq “ p3x2 ` 6yq cos α ´ 14yz cos β ` 20xz 2 cos γ. Calcular I “ ş f ds, donde C es la curva descrita por r ptq “ pt, t2 , t3 q , t P r0, 1s. en la dirección de C esta, donde α, β, γ son los ángulos directores del vector tangente a la curva C. Solución. Como la curva está dada por r ptq “ pt, t2 , t3 q , t P r0, 1s determinamos su vector tangente r1 ptq “ p1, 2t, 3t2 q dt y el vector tangente unitario es de la forma 1 ptq “ pcos α, cos β, cos γq se tiene T ptq “ }rr1 ptq} I“

ş C

ş f ds “ şC p3x2 ` 6y, 14yz, 20xz 2 q ¨ T ptq ds “ C p3x2 ` 6y, 14yz, 20xz 2 q ¨ r1 ptq dt ş1 2 p9t ´ 28t6 ` 80t9 q dt “ 5. “ 0

Ejemplo: 1. Determinar el valor de ∇ ˆ prrq, si r “ px, y, zq y además r “ }r} 2. Determinar el trabajo realizado por la fuerza Fpx, y, zq “ px2 ´ y 2 qi ` 2xyj, para mover una partícula desde el punto Ap1, 0q hasta el punto Bp2, 2q a lo largo de la curva x2 ´ x. ş 3. Sea Gpx, y, zq “ p4xy ´ 3x2 z 2 , 2x2 , ´2x3 zq. Demuestre que C G ¨ dr es independiente de la trayectoria C que pasa por los puntos dados.

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

ű 4. Verifique el Teorema de Green para C py ´ xqdx ` p2x ´ yqdy , donde C es la frontera, tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas y “ x, y “ x2 ´ x ť ű 5. Demuestre que S ∇u ˆ ∇v ¨ nds “ udv 6. Sea

ş C

f px, yqdx ` gpx, yqdy, donde f px, yq “

x`y x´y y f px, yq “ . px2 ` y 2 qn px2 ` y 2 qn

Determinar el valor de la integral. 7. Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva: ¿ 2 pxy ` ex qdx ` px2 ´ lnp1 ` yqqdy C

Donde C consiste del segmento de recta que va desdep0, 0q a pπ, 0q y de la curva y “ sin x con ď x ď π. 8. Demuestre que la integral de linea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral. ¿ p2xsenyqdx ` px2 cosy ´ 3x2 qdy C

Donde C es cualquier trayectoria que va desde p´1, 0q hasta p5, 1q. 9. Sea f “ f px, y, zq un campo escalar y F un campo vectorial dado por F “ pP px, y, zq, Qpx, y, zq, Rpx, y, zqq. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son continuas. Demuestre que: divpf F q “ f divF ` ∇f ¨ F 10. Sea F px, y, zq “ pyzp2x ` yq, xzpx ` 2yq, xypx ` yqq a) Demuestre que F es un campo conservativo b) Encuentre el potencial escalar f ş c) Calcule C F ¨ dr donde C está dado por rptq “ p1 ` t, 1 ` 2t2 , 1 ` 3t3 q ş 11. Calcule C xydx ` px ` yqdy , donde C es la frontera de la región situada entre las gráficas de x2 ` y 2 “ 9 , x2 ` y 2 “ 16 12. Determinar el exponente constante λ , de modo que: żB x2 x dx ´ 2 dy R2 “ x2 ` y 2 L“ y A y Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa. ş 13. Calcule la integral de linea C yexy dx ` xexy dy, donde C es la curva formada por los siguientes segmentos de rectas:Punto Inicial p2, 1q Ñ p1, 2q Ñ p´1, 2q Ñ p´2, 1q Ñ p´2, ´1q Ñ p´1, ´2q Ñ p1, ´2q Ñ p2, ´1q punto final. Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

14. Dadoş el campo vectorial F px, yq “ p3x2 `2y ´y 2 ex , 2x´2yex . ¿Es posible afirmar que C F ¨ dr es nula si C , definida por Rptq es una curva simple cerrada? kpx, y, zq calcule el trabajo realizado por F al desplazar ` y 2 ` z 2 q3{2 una partícula a lo largo del segmento de recta que va desde el punto p3, 0, 0q hasta el punto p3, 0, 4q. Evalúe sin utilizar una función de potencial

15. Si F px, y, zq “

px2

16. Sea Γ la curva de intersección de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 4 y el plano x ´ z “ 0. Calcule la integral ¿ p2x ´ yqdx ´ yz 2 dy ´ y 2 zdz Γ

Orientada en el sentido positivo, respecto del plano xy. 17. Calcular

¿ x2 ydy ´ y 2 xdx Γ

donde Γ es la hipocicloide x2{3 ` y 2{3 “ a2{3 , orientada en sentido positivo. 18. Calcular

ż p0,1,1q senycosxdx ` cosysenxdy ` dz p1,0,1q

19. Calcular

ż py 2 ` z 2 qdx ` pz 2 ` x2 qdy ` px2 ` y 2 qdz Γ

donde Γ es la curva x2 ` y 2 “ 2z,x ` y ´ z “ ´1 20. hallar la longitud de los arcos de las siguientes curvas: a) x “ 3t2 , y “ 3t2 , z “ 2t3 entre los puntos p0, 0, 0q y p3, 3, 2q entre los puntos p0, 0, 0q y px0 , y0 , z0 q b) y “ arcsen xa , z “ a4 ln a´x a`x 21. Hallar la masa del arco de la curva a a x “ at, y “ t2 , z “ t3 , p0 ď t ď 1q 2 3 b si la densidad en cada punto está dada por ρ “ 2y a 22. Hallar las coordenadas del centro de gravedad del contorno del triángulo esférico x2 ` y 2 ` z 2 “ a2 , x ě 0, y ě 0, z ě 0

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Independencia del camino, campos conservativos y funciones potenciales Definición 29. Se dice que la integral de linea del c.v. F a lo largo de la curva C Ă S es independiente del camino si para cada par de puntos A y B en S el valor de la integral no varía para todos los caminos posibles que unen a los puntos A y B dentro del conjunto S. Oservación 1.3.4. Este fenómeno ocurre solamente cuando se satisfacen ciertas condiciones para el campo vectorial F y para el dominio S de F en el cual se encuentra contenida la curva C. Oservación 1.3.5. Recordar que si el campo vectorial F : U Ď Rn Ñ Rn es el campo gradiente de alguna función escalar f : U Ď Rn Ñ R. Así si el campo vectorial F es de clase C k la función f deberá de ser clase C k`1 , k ě 0, En efecto las funciones coordenadas de F son las derivadas parciales de f de modo que teniendo f derivadas parciales de clase C k entonces esta función F será de clase C k`1 . Teorema 1.3.2. Sea F : U Ď Rn Ñ Rn un campo de clase C k , k ě 0 definido en el conjunto abierto U de Rn . Las afirmaciones siguientes son equivalentes: 1. F es el campo gradiente de f : U Ď Rn Ñ R de clase C k`1 ş 2. La integral F ¨ dr del campo F a lo largo del camino r : ra, bs Ñ Rn (tal que r pra, bsq Ă U ) seccionalmente C 1 (regular), depende solamente del punto inicial r paq y del punto final r pbq del camino r ş 3. La integral C F.dr del campo F a lo largo del camino r : ra, bs Ñ Rn (tal que r pra, bsq Ă U ) cerrado seccionalmente C 1 (regular), es igual a cero. Definición 30. El campo vectorial F : U Ď Rn Ñ Rn de clase C k , k ě 0 Definido en el abierto U de Rn , que cumpla con alguna de (y por lo tanto de todas ) las condiciones del teorema anterior, se le llama campo vectorial conservativo y a la función escalar f : U Ď Rn Ñ R de clase C k`1 tal que F “ grad f “ ∇f se le llama función potencial Teorema 1.3.3. (Segundo teorema fundamental del cálculo de integrales de linea). Si f : U Ď Rn Ñ R es un campo escalar diferenciable con ∇f continuo sobre un conjunto conexo y abierto S Ď Rn entonces, para dos puntos cuales quiera A y B unidos por un camino seccionalmente regular C : r ptq contenido en S se tiene que żB

ż ∇f “ C

∇f prq .dr “ f pBq ´ f pAq A

dependiendo este valor únicamente de los extremos A y B más no de la trayectoria C que une A y B. Corolario 1.3.2. La integral de linea de un campo gradiente continuo sobre un conjunto conexo y abierto S es cero ”0” a lo largo de toda curva cerrada seccionalmente regular C Ă S.

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Teorema 1.3.4. (Primer teorema fundamental del calculo para integrales de linea). Sea F un campo vectorial continuo sobre el abierto conexo S Ă Rn , tal que la integral de linea de F sea independiente de la trayectoria şx en S y sea A un punto fijo de S, f un campo escalar f : S Ă Rn Ñ R. f pxq “ A F prq .dr. Para cualquier camino r seccionalmente regular en S que une A con un punto x P S, entonces el gradiente ∇f existe y satisface que ∇f pxq “ F pxq Definición 31. Cuando el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar f sobre un conjunto S abierto entonces: a) a la función f se le llama función potencial del campo vectorial F y ∇f “ F b) al campo vectorial F se le llama campo vectorial conservativo sobre el conjunto S. ű Corolario 1.3.3. Con las mismas hipótesis del teorema anterior. Si C F “ 0 para cada trayectoria cerrada C en un conjunto conexo abierto S de Rn , entonces F es un campo gradiente, es decir que existe una función potencial f tal que ∇f pxq “ F pxq , @x P S Teorema 1.3.5. (Condición necesaria para que un campo vectorial sea conservativo) Sea F : U Ď Rn Ñ Rn , F “ pF1 , F2 , ..., Fn q un campo de clase C k , k ě 1 Definido en el BF BFi pxq “ Bxji pxq para x P U, 1 ď i ă abierto U de Rn . Si F es conservativo entonces Bx j j ď n. Esta propiedad está establecida en términos de las derivadas parciales de las funciones coordenadas de F, es una propiedad local: tales derivadas parciales establecen un comportamiento determinado del campo F en los alrededores del punto en que ocurre la igualdad de tales derivadas parciales. No es extraño pues que, en principio, estas dos propiedades no sean equivalentes. Lo que si podemos esperar es que la propiedad establecida garantice localmente que el campo F es conservativo. Esto es. Teorema 1.3.6. Sea F : U Ď Rn Ñ Rn , F “ pF1 , F2 , ..., Fn q un campo de clase BF BFi pxq “ Bxji pxq para todo C k , k ě 1. Definido en el abierto U de Rn . Suponga que Bx j x P U, 1 ď i ă j ď n. Entonces el campo F es localmente conservativo. Ejemplos: 1. El campo vectorial F px, yq “ p2xy, y 2 q se tiene que BP “ 2x, BQ “ 0 se observa By Bx BQ BP que By ‰ Bx a menos que x “ 0 Por lo tanto el campo F no es un gradiente en ningún sub conjunto abierto S “ R2 2. Sea S “ R´2 ´ tp0, 0qu ¯un conjunto abierto y conexo y sea el campo vectorial F px, yq “ x2´y , x . Se verifica que BP “ BQ , @x P S. pero F no es un gra`y 2 x2 `y 2 By Bx diente en S pues şsi tomamos la curva C una circunferencia r ptq “ pcos t, sentq , t P ş ş r0, 2πs entonces C F “ C F ¨ dr “ 2π ‰ 0 entonces C F ¨ dr ‰ 0 Corolario 1.3.4. Sea F un campo vectorial sobre un conjunto abierto S Ă Rn . a) Si F tiene una función potencial f entonces Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

ş C

F.dr “ 0, @ camino C en S. 21

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

b) Si existe un camino cerrado C en S tal que F no tiene una función potencial sobre S.

ş C

F¨dr “ 0 entonces el campo vectorial

Teorema 1.3.7. (Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial se conservativo) Sea F : U Ď Rn Ñ Rn , F “ pF1 , F2 , ..., Fn q un campo de clase C k , k ě 1 Definido en el abierto convexo U de Rn . Una condición necesaria y suficiente para que BF BFi pxq “ Bxji pxq para x P U, 1 ď i ă j ď n. el campo F sea conservativo es que Bx j Sea F : U Ď Rn Ñ Rn , F “ pF1 , F2 , ..., Fn q un campo de clase C k , k ě 1 Definido en el abierto convexo U de Rn . Entonces el campo: F es un gradiente ô .

BFj BFi pxq “ pxq parax P U, 1 ď i ă j ď n. pi ‰ jq Bxj Bxi

Demostración. Demostración: Veamos la condición suficiente. Consideremosş el caso n “ 2. Sea p un punto fijo de U definimos f : U Ď Rn Ñ R como: f px, yq “ λ F¨dλ. Donde λ : r0, 1s Ñ R2 , λ ptq “ t px, yq ` p1 ´ tq p. Notar que λ r0, 1s “ rp, px, yqs “ recta que une a p con px, yq , y por ser U convexo, λ pr0, 1sq Ă U,por lo que hace perfecto sentido la definición de f . tenemos que demostrar que gradf px, yq “ F px, yq , px, yq P U así: Sea ş Bf B px, yq “ F ¨ dλ Bx şBx1 Bλ “ 0 Bx pM ptx, tyq x ` N ptx, tyq yq dt ş1 B B “ 0 x Bx M ptx, tyq ` M ptx, tyq ` y Bx N ptx, tyq dt Ejemplo 13. Determinar si el campo vectorial F px, yq “ p2xseny, x2 cos y ` 2yq es un campo conservativo, si es así determinar su función potencial. Solución. El dominio de F es S “ R2 es un abierto y conexo,identificamos las funpxq “ ciones P px, yq “ 2xseny, Q px, yq “ x2 cos y ` 2y de donde se verifica que BP By BQ pxq entonces F “ pP, Qq es un gradiente de alguna función potencial f es decir Bx ∇f “ pP, Qq, así obtenemos que: a) Bf px, yq “ P , b) Bf px, yq “ Q, integraBx By mos a) respecto a x Bf px, yq “ P Bx ş Bf ş px, yq dx “ 2xsenydx Bx “ x2 cos y ` h pyq f px, yq luego derivando esta función respecto de y se tiene B f px, yq By x2 cos y ` 2y ş 2y 2ydy h pyq

a y, y simplificando, para luego integrar respecto “ “ “ “ “

B 2 px cos y ` h pyqq By x2 cos y ` h1 pyq 1 şh pyq h1 pyq dy y2 ` c

por lo tanto la función potencial de F es: f px, yq “ x2 cos y ` y 2 ` c Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

ş Ejemplo 14. Evaluar la integral F donde C encierra un área circular (antihorario) C “ ‰ r ptq “ pcos t, sentq , t P 0 π2 para el campo F px, yq “ py 2 , 2xy ´ ey q Solución. El dominio de F es S “ R2 es un abierto y conexo, P px, yq “ y 2 , Q px, yq “ pxq “ BQ pxq entonces F “ pP, Qq es un gradiente de alguna 2xy ´ ey se verifica que BP By Bx función potencial f es decir ∇f “ pP, Qq de donde se tiene que: a) “ P , b) Bf px, yq “ Q, integramos a) respecto a x By Bf px, yq “ P Bx ş Bf ş px, yq dx “ y 2 dx Bx f px, yq “ xy 2 ` h pyq luego derivando esta función respecto a y, se tiene Bf Bf px, yq “ pxy 2 ` h pyqq By By 2xy ´ ey “ 2xy ` h1 pyq ´ey “ h1 pyq integrando esto respecto a y , ş

ş h1 pyq dy “ ´ey dy h pyq “ ´ey ` c

de donde se tiene que la función potencial de F es: f px, yq “ xy 2 ´ ey ` c Así F es un ş campo gradiente entonces la integral C F depende solamente de los extremos A p1, 0q y B p0, 1q de la curva así żB ż ∇f “ f pBq ´ f pAq “ f p0, 1q ´ f p1, 0q “ ´e ` 1 F“ C

A

Ejemplo 15. Determinar si el campo vectorial: ` ˘ F px, y, zq “ y cos pxyq , x cos pxyq ` 2yz 3 , 3y 2 z 2 ` 2 tiene una función potencial f px, y, zq si es así, determinarla. Solución. El dominio de F es S “ R3 es un abierto y conexo, consideremos F px, y, zq “ pP, Q, Rq y se verifica que BP “ BQ , BP “ BR , BQ “ BR , entonces F “ pP, Q, Rq es un By Bx Bz Bx Bz By campo gradiente de alguna función potencial f es decir ∇f “ pP, Q, Rq de donde : a) Bf “ P , b) Bf “ Q, c) Bf “ R, integramos a) respecto a x Bx By Bz B f px, y, zq “ P px, y, zq Bx ż ż B f px, y, zq dx “ y cos pxyq dx Bx f px, y, zq “ sen pxyq ` h py, zq Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

luego derivado esta función respecto a y, y simplificando se tiene B f px, y, zq By x cos pxyq ` 2yz 3 2yz 3

B psen pxyq ` h py, zqq By B “ x cos pxyq ` h py, zq By B “ h py, zq By “

e integrando esto respecto a y , ż ż B h py, zq dy “ 2yz 3 dy By h py, zq “ y 2 z 3 ` u pzq , entonces f px, y, zq “ sen pxyq ` y 2 z 3 ` u pzq ahora derivamos esta expresión respecto de z se tiene ˘ B B ` sen pxyq ` y 2 z 3 ` u pzq f px, y, zq “ Bz Bz 3y 2 z 2 ` 2 “ 3y 2 z 2 ` u1 pzq 2 “ u1 pzq integrando respecto de z se tiene u pzq “ 2z ` c. por lo tanto la función potencial de F es: f px, y, zq “ sen pxyq ` y 2 z 3 ` 2z ` c. Ejercicios 1. Calcular las siguientes integrales de linea: ż ż xdy ` ydx, OA

xdy ´ ydx

OA

donde O es el origen de coordenadas y A “ p1, 2q, a lo largo de las trayectorias: a) segmento que une O con A b) parábola con eje OY c) poligonal que se compone del segmento OB en el eje Xy un segmento AB paralelo al eje Y . ş 2. Calcular C yzdx ` xzdy ` xydz donde C consiste de segmento de rectas que unen p1, 0, 0q con p0, 1, 0q y con p0, 0, 1q 3. Sea γ una trayectoria suave. ş a) Probar que C F “ 0, si F es perpendicular a r1 ptq a lo largo de la curva C : rptq ş ş b) Probar que C F “ C | F |, si F es paralelo a r1 ptq a lo largo de la curva C : rptq Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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ş 4. Sea F px, y, zq “ px2 xy, x2 , 3xz 2 q. Probar que C F “ 0 si C es el perímetro de cualquier cuadrado unitario (es decir, con vértice en el origen y lado 1). ˇş ˇ ˇ P px, yqdx ` Qpx, yqdy ˇ ď LM donde L es la longitud de C y 5. Probar que C a M “ P 2 ` Q2 a lo largo de C. ş 6. Calcular la integral de linea C pex y ´ 3x2 coszqdx ` ex dy ` x3 senzdz a lo largo de la hélice x “ cost, y “ sent, z “ t desde el punto p1, 0, 0q hasta el punto p´1, 0, πq ş Ejemplo 16. Evaluar F prq¨dr para F px, yq “ p6x2 ´ ycosxy ` sec2 x, ´xcosxy ´ 2yq C

donde C es la curva que va desde el punto Ap0, ´1q hasta el punto Bp´1, 0q donde C1 , C3 y C4 son segmentos de recta, C2 : px ´ 2q2 ` py ´ 1q2 “ 4, C5 : 4x2 ` y 2 “ 4

Ejercicio 4. Hallar el trabajo realizado al mover un objeto sobre la hélice circular C : r ptq “ pcos t, sent, tq , t P r0, 2πs. Sometida a una fuerza F pxq “ k |x|x2 , x ‰ 0

1.3.1.

Teorema de Green

En esta sección estudiaremos uno de los resultados clásicos del cálculo en Rn el cual relaciona integrales de linea con integrales dobles. Consideremos el campos vectoriales F : U Ď R2 Ñ R2 de clase C 1 , denotaremos F px, yq “ pP px, yq , Q px, yqq y con cierto tipo de regiones S Ă U, que llamaremos ”compactas”. Por el momento, el teorema de Green establece la siguiente igualdad entre una integral de línea y una integral doble ˙ ż ij ˆ BQ BP F.dr “ ´ dA Bx By BS ` S

`

donde BS es la frontera de S (imagen del camino r) positivamente orientado, lo cual indica que ésta se recorre ”en sentido antihorario”. Teorema 1.3.8. (Teorema de Green) Sea F : U Ď R2 Ñ R2 , F px, yq “ pP px, yq , Q px, yqq un campo de clase C 1 , en el abierto U de R2 . Sea S Ă U una región compacta con su frontera BS ` positivamente orientada. Entonces ˙ ż ij ˆ BQ BP F ¨ dr “ ´ dA Bx By BS ` S ij “ ∇ ˆ F ¨ kdA S Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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donde r es un camino seccionalmente regular de clase C 1 cuya traza es BS ` . tambiéen podemos denotar como: ˙ ij ˆ ż BQ BP P dx ` Qdy “ ´ dxdy Bx By BS ` S

esto es equivalente a los casos ij ż BQ aq dxdy “ Qdy Bx BS `

ij bq

S

´

BP dxdy “ By

ż

S

P dx BS `

Ejemplo 17. Hallar la integral del campo vectorial F px, yq “ py ` 4x, 2y ´ xq al re2 2 dedor de la elipse C; xa2 ` yb2 “ 1 en sentido antihorario. ş Solución. Por el teorema de Green se tiene que BS ` F.dr “ ´2πab Teorema 1.3.9. Sea f : U Ď R2 Ñ R una función real definida en el abierto U de R2 . Sea {a ď x ď b, ϕ1 pxq ď y ď ϕ2 pxqu. Entonces ş S Ă U la región ť Bf (del tipo 1), S “ tpx, yq 2 F.dr “ ´ By dxdy, donde F : U Ď R Ñ R2 , es el campo F px, yq “ pf px, yq , 0qy BS ` S

r es un camino cuya traza es BS ` la frontera de S, positivamente orientada. Teorema 1.3.10. Sea f : U Ď R2 Ñ R una función real definida en el abierto U de R2 . Sea (del tipo 2), S “ tpx, yq {h1 pyq ď x ď h2 pyq , c ď y ď du . Entonces ş S Ă U laťregión Bf dxdy, donde F : U Ď R2 Ñ R2 , es el campo F px, yq “ p0, f px, yqqy r F.dr “ Bx BS ` S

es un camino cuya traza es BS ` la frontera de S, positivamente orientada.

Figura 1.14: región tipo 1

Figura 1.15: Región tipo 2

Definición 32. Dado un conjunto S multiplemente conexo con m´1 hoyos (es decir la frontera de S está constituida por m curvas cerradas simples seccionalmente regulares). Se llama borde a la reunión de las m curvas. Ci con la orientación tal que un observador sobre una de tales curvas siempre va a encontrar la región S a su izquierda. (las curvas interiores recorren en sentido opuesto al de la curva exterior). BS “ Cm Y C1´ Y C2´ Y ... Y Cm´1 donde Ci , i “ 1, ..., m ´ 1 son las curvas interiores y Cm es la curva exterior Ejemplos: 1. Si m “ 2 entonces el borde de S es BS “ C1´ Y C2 y ż ż ż ż ż F“ F“ F` F“ BS `

C1´ YC2

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C1´

C2

C2

ż F´

F C1

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2. Si m “ 3 entonces el borde de S es BS “ C1´ Y C2´ Y C3 y ˛ ¨ ¿ ¿ ż ¿ F “ F ´ ˝ F ` F‚ BS `

C2

C1

C3

Teorema 1.3.11. Teorema de Green para regiones multiplemente conexas. Sea F : U Ď R2 Ñ R2 , F px, yq “ pP px, yq , Q px, yqq un campo de clase C 1 , en el abierto U de R2 . Sea S Ă U una región multiplemente conexa cuya frontera BS ` constituida por m curvas cerradas simples seccionalmente regulares orientadas de modo tal que un observador sobre una de tales curvas siempre va a encontrar la región S a su izquierda. es decir BS “ Cm Y C1´ Y C2´ Y ... Y Cm´1 . Entonces ij ˆ

ż F.dr “ BS `

o equivalentemente ť´ S

BQ Bx

´

BQ BP ´ Bx By

˙

¿

S

BP By

F´

dA “

i“1

Cm

¯ dA “

ş

“

ű

BS `

m´1 ÿ¿

F

Ci

P dx ` Qdy

P dx ` Qdy ´ Cm

m´1 ř ű i“1

Ci

P dx ` Qdy

Corolario 1.3.5. (doblemente conexos) con las hipótesis del teorema anterior si además BQ “ BP , @x P U Ą S y si BS “ C1´ Y C2 “ C1´ C2 entonces Bx By ¿

¿ P dx ` Qdy “

C2

P dx ` Qdy C1

donde las curvas C1 y C2 tienen la misma orientación Oservación 1.3.6. Según este corolario bastaría hallar el valor de la integral de P dx` Qdy a lo largo de alguna curva cerrada C donde fuese sencilla esta evaluación Definición 33. Cuando en un conjunto conexo S existen dos curvas C1 , C2 tales que una de ellas puede ser deformada de manera continua hasta coincidir con la otra curva sin salirse de S entonces dice que estas curvas son homotópicas (ver figura b) . Si C es una curva cerrada y esta puede deformarse de manera continua hasta formar un punto entonces se dice que C es homotópica a un punto (ver figura a). ´ ¯ x Oservación 1.3.7. Sea F “ pP, Qq “ x2´y , entonces para cualquier curva `y 2 x2 `y 2 cerrada seccionalmente regular que envuelve al punto "Problema p0, 0q"se tiene que (ver figura c): " ¿ 2π ; si C antihorario P dx ` Qdy “ ´2π ; si C horario C

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¯ ´ x , sobre R2 ´ tp0, 0qu entonces Oservación 1.3.8. Sea F “ pP, Qq “ x2´y `y 2 x2 `y 2 ű “ BP , además C una curva cerrada seccionalmente regular P dx ` Qdy “ 0 pues BQ Bx By C que no rodea al punto problema p0, 0q entonces C es homotópica a un punto A. (ver figura b) Oservación 1.3.9. Si el campo vectorial F “ pP, Qqes de clase C 1 sobre un dominio abierto y simplemente conexo S tal que BP “ BQ sobre S y si R es una región enceBy Bx ű rrada por C entonces por el teorema de Green se tiene (ver figura a) P dx ` Qdy “ C ű P dx ` Qdy “ 0 A Corolario 1.3.6. (triplemente conexos) con las hipótesis del teorema anterior si ade“ BP , @x P U Ą S y si BS “ C1´ Y C2´ Y C3 “ C1´ C2´ C3 entonces más BQ Bx By ¿ ¿ ¿ P dx ` Qdy “ P dx ` Qdy ` P dx ` Qdy C3

C1

C2

donde las curvas C1 , C2 y C3 tienen la misma orientación pues

ť ´ BQ S

Bx

´

BP By

¯ dA “ 0

Consideremos loa siguientes ejemplos: Ejemplo 18. Sean P px, yq , Q px, yq de clase C 1 tal que BP “ BQ en todo el plano By Bx ű excepto en dos puntos (hoyos). Sean C1 , C2 dos circunferencias tal que Ik “ Ck P dx ` Qdy ; k “ 1, 2 tal que I1 “ 4, I2 “ 7 a) Hallar el valor de la integral de P dx ` Qdy al rededor de la curva D1 y al rededor de la curva D2 . b) Hallar el valor de la integral de P dx ` Qdy al lo largo de la curva D “ D1 D2 . (en forma de ocho) ş c) Dibujar una curva cerrada E a lo largo de la cual E P dx ` Qdy “ 1 Solución. Como I1 , I2 son diferentes de cero entonces C1 , C2 están rodeando a los “ BQ entonces por el teorema de Green se tiene hoyos del enunciado; y como BP By Bx ¿ ¿ ¿ P dx ` Qdy “ P dx ` Qdy ` P dx ` Qdy C3

C1

C2

de donde I3 “ I1 ` I2 “ 4 ` 7 a) Dentro de la región R vemos que C1 y D1 son homotópicas en R además C2 y D2´ también son homotópicas en R entonces: ű ű P dx ` Qdy “ D ű 1 ű ű C1 P dx ` Qdy “ 1 “ ´ D´ “ ´ C2 P dx ` Qdy “ ´7 D2 2 ű ű ű “ D1 ` D2 “ 4 ` p´7q D Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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ű ű ű b) Sabemos que C1 “ 4 y C2 “ 7 entonces E “ 2 p4q´1 p7q pues E1 es el lazo interior que parte de M y vuelve a M , E2 es el lazo (exterior de E1 ) seccionalmente regular que pasa por M y N. como E1 es homotópica a Cű1 y Eű2 es homotópica a C1 y E3 ű ű es homotópica a C2´ entonces E “ E1 E2 E3 luego E “ E1 ` E2 ` E3 Ejemplo 19. Con los mismos datos del problema anterior excepto que I1 “ 4, I2 “ 12. ş Demostrar que no existe camino alguno E a lo largo del cual E P dx ` Qdy “ 1 ş Solución. Consideremos E P dx ` Qdy “ mI1 ` nI2 de donde se tiene que 1 “ 4m ` 12n ñ n ` 3m “ 41 esto no es posible pues m, n son enteros por lo tanto no existe tal curva cerrada E. ű Ejemplo 20. Sea Ik “ Ck P dx ` Qdy donde ˙ ˆ ˙ ˆ x´4 1 1 x , Q px, yq “ P px, yq “ ´y ` ` px ´ 4q2 ` y 2 x2 ` y 2 px ´ 4q2 ` y 2 x2 ` y 2 donde: C1 :circunferencia de radio 0 ă a ă 4 al rededor de p0, 0q, C2 : circunferencia de radio 0 ă b ă 4 al rededor de p4, 0q, C3 : curva seccionalmente de la figura en el orden ABCDEF CGHA. a) Evaluar I1 , I2 recorrido en sentido antihorario. b) Calcular I3 Solución. Veamos a) El campo pP, Qq P C 1 en R2 excepto en los puntos p0, 0q y p4, 0q que constituyen los hoyos del dominio S además se sabe que ˜ ¸ y 2 ´ x2 BP BQ y 2 ´ px ´ 4q2 “ “ ` ; px, yq P S ˘2 ` 2 Bx By px ` y 2 q2 px ´ 4q2 ` y 2 y S “ R2 ´ tp0, 0q , p4, 0qu pero podemos escribir F “ G ` H donde ˆ ˙ ˆ ˙ ´y x ´y x´4 , ,H “ G“ , x2 ` y 2 x2 ` y 2 px ´ 4q2 ` y 2 px ´ 4q2 ` y 2 ű ű ű entones C F “ C G ` C H si G px, yq “ pP1 , Q1 q y H px, yq “ pP2 , Q2 q, como C1 ű BP1 1 “ de modo que G“ contiene al hoyo p0, 0q y C2 no lo contiene y como BQ Bx By C1 ű 2π; C2 G “ 0. Por otro lado C1 no contiene al hoyo p4, 0q y C2 si lo contiene y ű ű 2 2 “ BP de modo que C1 H “ 0; C2 H “ 2π. en efecto parametrizamos como BQ Bx By C2 : x “ 4 ` b cos t, y “ bsent, t P r0, 2πs de así ˙ ¿ ż 2π ˆ ´bsent b cos t p´bsent, b cos tq dt “ 2π H“ , 2 b2 b 0 C2

Por lo tanto:

ű ű ű I1 “ űC1 F “ űC1 G ` űC1 H “ 2π ` 0 I2 “ C2 F “ C2 G ` C2 H “ 0 ` 2π

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

b) La curva K1 es homotópica a C1 y K2 es homotópica a C2 en S y como ű ű ű ű y K1 “ C1 “ 2π; K2 “ C2 “ 2π , si C3 “ K1 Y K2 entonces ¿ ¿ ¿ I3 “ “ ` “ 4π C3

ť

Ejemplo 21. Evaluar

K1

BQ Bx

“

BP , By

K2

x2 zds donde S es la parte del cono circular z 2 “ x2 ` y 2 que

S

se encuentra entre los planos z “ 1, z “ a 4. ť ť | Solución: La función . f px, yq “ z “ x2 ` y 2 ñ x2 zds “ x2 z |∇f dA en coorfz S D ? ? ş2π ş2 denadas polares se tiene “ 0 1 r2 cos2 θr2 2drdθ “ 10235 2π ť ds donde S es la porción del cilindro x “ y 2 que se encuentra Ejemplo 22. Evaluar xz y S

en el primer octante entre los planos z “ 0, z “ 5, y “ 1, y “ 4.. Solución: . Proyección en el plano Y Z es el rectángulo f py, zq “ x “ y 2 entonces ? ij 2 ż4ż5 ij xz y z |∇f | 1023 2π ds “ dA “ dzdy “ y y fx 5 1 0 S

D

ű

Ejemplo 23. Calcular

F ¨ Tds, F pxq “ py, ´x, 3yq C es la curva de intersección del

C

plano x ` y ` z “ 0 con la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 9 recorrida en sentido antihorario visto desde el eje Y ` Solución: Por el teorema de Stokes se tiene ij ¿ ij ij ? p1, 1, 1q 1 ds “ ? ds “ 3 3π F ¨ Tds “ p∇ ˆ Fq ¨ nds “ p3, 0, ´2q ¨ ? 3 3 C

S

S

S

Ejemplo 24. Calcular

ť

p∇ ˆ Fq ¨ nds, F pxq “ pxz, x2 , xyq, C es la superficie del

S

cubo determinado por los planos x “ 0, x “ 1, y “ 0, y “ 1, z “ 0, z “ 1 sin la cara z “ 1, n es la normal exterior al cubo Solución: . Por el teorema de Stokes se tiene ij ¿ ż1ż1 p∇ ˆ Fq ¨ nds “ F ¨ Tds “ 2xdxdy “ 1, S

C

0

0

donde ds “ sec θda

ű Ejemplo 25. Calcular F ¨ Tds, donde C es la curva que une los puntos P p2, 0, 3q , Q p0, 0, 1q , R p0, 2 C

, S p0, 3, 2q , T p0, 3, 0q O p0, 0, 0q , M p2, 0, 0q y P y F pxq “ pxz, x2 , xyq Solución: . Por el teorema de Stokes se tiene ¿ ij ij ij ij ij p∇ ˆ Fq¨nds “ p∇ ˆ Fq¨n1 ds` p∇ ˆ Fq¨n2 ds “ px ´ yq ds` 0ds F ¨ Tds “ C

S

pero en S1 y “ 0 entonces “

S1

ť S1

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S2

px ´ yq ds “

ş2 şx`1 0 0

S1

xdzdx “

S2

14 3

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Ejemplo 26. Hallar una expresión para

ť

F ¨ nds, sin utilizar la proyección sobre

S

los planos coordenados, si S es el cilindro x2 ` y 2 “ a2 limitada superiormente por z “ f px, yq e inferiormente por z “ g px, yq (g px, yq ď f px, yq ) Solución: . Determinemos el diferencial de area ds “ adθdz donde 0 ď θ ď 2π, g px, yq ď z ď f px, yq en coordenadas cilíndricas x “ r cos θ, y “ rsenθ, z “ z pero r “ a por lo tanto se tiene ij ż ż 2π

f px,yq

F ¨ nds “ S

Ejemplo 27. Calcular

ť

F ¨ ndθdz 0

gpx,yq

p∇ ˆ Fq ¨ nds donde S es la superficie que envuelve al sólido

S

encerrado por los paraboloides z ´ 4 “ x2 ` y 2 , 12 ´ z “ x2 ` y 2 , p20 ´ z “ x2 ` y 2 q , 3 3 F pxq “ pz 3 , xť , y q y n normal exterior a S. ţ ţ Solución: . p∇ ˆ Fq ¨ nds “ ∇ ¨ p∇ ˆ Fq dv “ 0dv “ 0 S

V

V

ť ť ť otra forma p∇ ˆ Fq ¨ nds “ p∇ ˆ Fq ¨ n1 ds ` p∇ ˆ Fq ¨ n2 ds por Stokes S1 S2 ű űS “ F ¨ Tds ` F ¨ Tds “ 0 la misma curva recorrida en sentido opuesto. C

C´

Ejemplo 28. Calcular

ť

p∇ ˆ Fq ¨ nds donde S es la superficie que envuelve al sólido

S

encerrado superiormente por x2 ` y 2 ` z 2 “ 4 e inferiormente por z 2 “ x2 ` y 2 , z ě 0, F pxq “ pz 3ť , x3 , y 3 q y n normalţexterior a S. ţ Solución: . p∇ ˆ Fq ¨ nds “ ∇ ¨ p∇ ˆ Fq dv “ 0dv “ 0 S

V

otra forma ij

V

ij

ij p∇ ˆ Fq ¨ nds “

S

p∇ ˆ Fq ¨ n1 ds ` S

S2

¿1

¿ F ¨ Tds `

“

p∇ ˆ Fq ¨ n2 ds

C

F ¨ Tds “ 0 por Stokes C´

Ejemplo 29. Proyectando sobre los 3 planos coordenados calcular el flujo del campo ¯ ´ a a vectorial F pxq “ x ´ y ´ z 2 , 1, y ´ z 2 ´ z a través del lado exterior del paraboloide y “ x2 ` z 2 limitado por el plano y “ 4 y que se encuentra en el primer octante. Solución: Sea S : y “ax2 ` z 2 de esta ecuación cartesiana de la superficie a se tiene que x “ x py, zq “ y ´ z 2 , y “ y px, zq “ x2 ` z 2 , z “ z px, yq “ y ´ x2 si α, cos β, cos γq , F pxq “ n “ pcos ť ť pP pxq, Qpxq, Rpxqq ahorať la proyección a los planos será: p∇ ˆ Fq ¨ nds “ ˘ P px py, zq , y, zq dydz ˘ Q px, y px, zq , zq dxdz ˘ S Ryz Rxz ť R px, y, z px, yqq dxdy donde Ryz , Rxz , Rxy son las proyecciones de S sobre los planos Rxy

Y Z, XZ, XY respectivamente luego si hacemos f px, y, zq “ x2 ` z 2 ´ y “ 0 donde ∇f “ p2x, ´1, 2zq así n “ ?p2x,´1,2zq “ pcos α, cos β, cos γq utilizando las tres ecua2 2 4x `4y `1

ciones anteriores y como cos β ă 0 se tiene P px py, zq , y, zq “ 0, Q px, y px, zq , zq “ 1, Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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R px, y, z px, yqq “ 0 luego

ť

FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

p∇ ˆ Fq¨nds “ ´

S

ť

Q px, y px, zq , zq dxdz “ ´

Rxz

ť

1dxdz “

Rxz

´area pRxz q “ ´π Ejemplo 30. Consideremos que la curva C se encuentra inmovil sobre la superficie de un fluido, donde fluido es un conjunto de partículas, de modo que a cada punto px, yq de R2 le asignamos un vector v px, yq que representa la velocidad de la partícula en dicho punto, el conjunto de vectores v determina un campo de velocidades de la corriente del fluido, si v no cambia con el tiempo, es decir depende solo del punto se le denomina corriente estacionaria. Ejemplo 31. Si en cada punto px, yq la densidad del fluido (masa por unidad de area) es ρ px, yq entonces el campo vectorial F px, yq “ ρ px, yq v px, yq se le denomina densidad de flujo de la corriente y su módulo tiene las dimensiones de masa por unidad de área y por unidad de tiempo. ű

el fluido entra o sale de la región R encerrada por C, entonces la integral de linea F ¨ nds es una medida de la cantidad de fluido que entra o sale de R por unidad de

C

tiempo, si r ptq genera C en sentido antihorario, si la integral es positiva la densidad en R disminuye y si la integral es negativa la densidad aumenta. MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

1.4.

Integrales de Campos Escalares Sobre Superficies

Parametrización de una superficie Sea S una superficie parametrizada por r : D Ñ S donde D Ă R2 , S Ă R3 tal que r pu, vq “ px pu, vq , y pu, vq , z pu, vqq tal que pu, vq P D . Definición 34. Sea f una función real, continua y definida sobre una superficie S : r pDq siendo r una parametrización de Clase C 1 sobre D, se define la integral de superficie de f sobre S como ť ť f ds “ f px, y, zq ds S S ť f px, y, zq |ru ˆ rv | dudv D

donde ru “

Br ;r Bu v

“

Br Bv

Teorema 1.4.1. Si S es la superficie parametrizada por r pu, vq “ px pu, vq , y pu, vq , z pu, vqq tal que pu, vq P D. entonces ť ť f px, y, zq ds “ f px, y, zq |ru ˆ rv | dudv S

D

En caso particular si f px, y, zq “ 1 entonces el área de la superficie S se calcula ť como A pSq “ ds S Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Superficie orientada Sea S una superficie con una parametrización r pu, vq de clase C 1 sobre un dominio abierto y convexo del plano U V que contiene a una región D acotada y simplemente conexa (convexo y sin hoyos), ru ˆ rv ‰ 0, @ pu, vq P D. así S tiene un vector normal bien definido por n “ ru ˆ rv cuya dirección depende continuamente del punto r pu, vq P S Definición 35. Si una superficie S tiene en cada punto un vector normal definido cuya dirección depende continuamente de los puntos de S entonces a S se le llama superficie suave o S superficie seccionalmente suave Ejemplo 32. Superficie suave es la esfera, superfice seccionalmente suave es el cubo Definición 36. Una superficie orientable es aquella superficie que tiene dos lados o dos caras a uno de ellos se le llama lado interior o negativo y a la otra se le llama lado exterior positivo. En cada punto px, y, zq de S hay dos vectores normales unitarios n1 y n2 de modo que n2 “ ´n1 Ejemplo 33. El cilindro, el plano, esfera, etc. son superficies de dos caras Oservación 1.4.1. Existen superficies de una sola cara o un solo lado, como por ejemplo la cinta de Moebius la cual es una superficie no orientable Oservación 1.4.2. Una superficie orientada se obtiene cuando el vector normal se mueve a lo largo de una curva del borde de las superficie se encontrará siempre a la un solo lado Definición 37. Una superficie seccionalmente suave es orientable si al orientar positivamente las curvas del borde de sus pedazos los bordes comunes a dos pedazos deben tener orientaciones opuestas . Area de una superficie Sea S una superficie definida por la función F px, y, zq “ 0, y sea D su proyección en el plano XY,el área de la superficie S está dada por: Sea 4Si área en el plano tangente (Plano P1 ) y se 4Ai área de su proyección sobre el plano XY (Plano P2 ), sea ϕ el ángulo formado por dichos planos, entonces se tiene que 4Si “ ab y 4Ai “ ab cos ϕ de donde se obtiene 4Ai “ 4S ť i cos ϕ ť ñ 4Si “ 4Ai sec ϕ de donde sumando todas las áreas 4Si se tiene A pSq “ ds “ sec ϕdA. S

D

el ángulo ϕ formado por los planos es el mismo ángulo formado por los vectores Ñ Ý normales a los planos, donde k vector normal al plano XY y ∇F vector normal al

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Ñ Ý k .∇F Fz › “ por lo tanto se tiene plano tangente luego se tiene que cos ϕ “ ››Ñ Ý› }∇F } › k › }∇F } A pSq “

ť

ds

S

ť }∇F } dA |Fz | D a ť Fx2 ` Fy2 ` Fz2 “ dA |Fz | D “

Si S está definida por la ec. z “ f px, yq, es decir de dos variables entonces a 2superficies fx ` fy2 ` 1 F px, y, zq “ f px, yq ´ z “ 0 entonces sec ϕ “ de donde se tiene 1 ť A pSq “ ds S a ť fx2 ` fy2 ` 1dA “ D d ť δz 2 δz 2 “ ` dA δx δy D Ejemplo a 34. Calcular el área de la porción de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 8 interior al cono z “ x2 ` y 2 . Solución. Sea F px, y, zq “ x2 ` y 2 ` z 2 ´ 8 “ 0, de donde se tiene: ∇F px, y, zq “ pxq| p2x, 2y, 2zq . además ds “ |∇F dA. Determinamos los puntos de intersección, z ą 0 |Fz | 2 2 de la ecuación del cono z “ x ` y 2 en la ecuación de la esfera se tiene x2 ` y 2 “ 4 que viene a ser la región D. entonces ť ť pxq| A pSq “ ds “ |∇F dA |Fz | S ? S ť x2 `y2 `z2 “ dA |z| D ? ť x2 `y2 `8´x2 ´y2 ? “ dA 8´x2 ´y 2 D ? ť 2 2 a “ dA 8 ´ x2 ´ y 2 D ? 2π ? ˘ ` ş ş2 2 2r a en coordenadas polares se tiene:A pSq “ drdθ “ 8π 2 ´ 2 . 8 ´ r2 0 0 Ejemplo 35. Hallar el área del paraboloide S : z “ x2 ` y 2 , 0 ď z ď 6. Solución. Sea F px, y, zq “ x2 `y 2 ´z “ 0, de donde se tiene: ∇F px, y, zq “ p2x, 2y, ´1q . Determinamos los puntos de intersección, z ą 0 de la ecuación del cono z 2 “ x2 ` y 2 en la ecuación de la esfera se tiene x2 ` y 2 “ 4 que viene a ser la región D. entonces

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

A pSq “

ť

ds a ť Fx2 ` Fy2 ` Fz2 “ dA |Fz | D a ť 4x2 ` 4y 2 ` 1 “ dA |´1| D a ť “ 4x2 ` 4y 2 ` 1dA S

D

ş2π ş?6 ? en coordenadas polares :x “ r cos θ, y “ r sin θ se tiene A pSq “ 0 0 4R2 ` 1rdrdθ “ 32π . 3 ť Ejercicio 5. Evaluar x2 zds suponiendo que S es la parte del cono circular y 2 “ S

x2 ` z 2 que se encuentra entre los planos y “ 1, y “ 4 y porción del plano y “ 4 que se encuentra en el interior del cono ť Ejemplo 36. Evaluar x2 zds suponiendo que S es la parte del cono circular z 2 “ S

entre los planos z “ 1; py “ 1q, y z “ 4; py “ 4q x2 `y 2 ; py 2 “ x2 ` z 2 q que se encuentra a Solución: Sea z “ f px, yq “ x2 ` y 2 si ť 2 A “ x zds S ť x2 z?fx2 `fy2 `1 dA “ |1| D a ? ť x2 x2 ` y 2 2dA D

en coordenadas polares :x “ r cos θ, y “ r sin θ se tiene ? ż 2π ż 4 ? 1023 2π 2 2 A pSq “ R cos θr 2rdrdθ “ 5 0 1 . ť Ejemplo 37. Evaluar xz ds donde S es la parte del cilindrox “ y 2 que se encuentra y S

en el primer octante entre los planos z “ 0; z “ 5, y “ 1, y “ 4 Solución: En este caso observamos el gráfico y es conveniente proyectar al plano Y Z y esta proyección es el rectángulo cuyos vertices son p0, 1, 0q , p0, 4, 0q , p0, 4, 5q y p0, 1, 5qSea x “ f px, yq “ y 2 luego se tiene ť xz ť y2 z?fz2 `fy2 `1 ds “ dA y y|1| S D a ť “ yz 4y 2 ` 1dA D ş4 ş5 a “ 1 0 yz 4y 2 ` 1dzdy “ ? ť Ejemplo 38. Evaluar py ` zq ds donde S es la parte de la gráfica z “ 1 ´ x2 que S

se encuentra en el primer octante entre el plano XZ y el plano y “ 3 Solución Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Ejemplo 39. Hallar el área de la superficie S del cilindro x2 `y 2 “ 8y que se encuentra dentro de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 64 Observación Çonsideremos la curva C cerrada que se encuentra inmóvil sobre la superficie de un fluido, donde el fluido es un conjunto de partículas, de modo que en cada punto px, yq de R le asignamos un vector vpx, yq que representa la velocidad de la partícula en dicho punto , el conjunto de vectores v determina un campo vectorial de velocidades de la corriente del fluido, si v no cambia con el tiempo es decir depende solo del punto se le denomina corriente estacionaria. Si en cada punto px, yq la densidad del fluido (masa por unidad de área) es ρpx, yq entonces el campo vectorial Fpx, yq “ ρpx, yqvpx, yq, se le denomina densidad de flujo de la corriente y su mmódulo tiene laş dimensión de masa por unidad de área y por unidad de tiempo. La integral de linea C F.nds es una medida de la cantidad de fluido que entra o sale de la región R por unidad de tiempo (ds es longitud de arco), si rptq genera a C en sentido antihorario si la la integral es positiva la densidad en R disminuye, si es negativa la densidad en R aumenta. representa la medida de la cantidad de fluido que entra o sale de la región R por unidad de tiempo ˙ ˆ dx dy , Sea C una curva cerrada descrita por rptq “ pxpsq, ypsqq entonces Ds rptq “ ds ds es el vectorˆtangente a˙la curva descrita ˆ por r, el˙vector normal exterior estará dado dy dx dy dx por n “ ´ ´ , , entonces n “ , ´ , entonces: ds ds ds ds ˆ ˙ ű ű dy dx , ´ , ds F.nds “ C pP, Qq ¨ C ds ds ű “ ťC pP dy ´ Qdxq “ ťR pPx ` Qy q da “ ∇ ¨ Fda R En resumen, recordamos que el teorema de Green transforma la integral de linea a lo largo de C en una integral doble sobre la región R encerrada por C. ű ť ; campo normal ű C F.nds “ ť R ∇ ¨ Fda F.Tds “ ∇ ˆ F ¨ kda ; campo tangencial C R

1.5.

Integral de Superficie

Sabemos que una superficie puede ser representada en la forma: S : f px, y, zq “ 0, donde S es una superficie de nivel cero representada por la función escalar f px, y, zq además ∇f pxq es el vector normal a S en el punto x P S, x “ px, y, zq siempre que ∇f pxq ‰ 0, para que la superficie S tenga una única normal en cada punto, cuya dirección dependa continuamente de los puntos de S esto e es f ∇f pxq debe ser de clase C 1 , así el vector n “ |∇f es el vector unitario perpendicular a la pxq| superficie S Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

El Flujo de un campo vectorial através de una superficie S podemos denotar y determinar como ij F.nds I“ S

ť Si el fluido tiene densidad δ px, y, zq entonces la masa del fluido se representa como δF.nds S Así F puede representar el flujo térmico estacionario, un gas que se expande uniformemente, una corriente eléctrica (u otros campos) en estos casos ”f lujo ” corresponde a cantidad (por unidad de tiempo) de calor que cruza S, de gas a través de S o de carga eléctrica que a través de la superficie S respectivamente. Para una superficie cerrada S como una esfera, si n es el vector normal unitario exterior entonces el flujo mide el desplazamiento neto hacia afuera por unidad de tiempo

Ejemplo 40. Sea S la parte de z “ 9 ´ x2 ´ y 2 tal que z ě 0, sea Fpx, y, zq “ p3x, 3y, zq. Calcular el flujo de F a través de S. Solución. Sea gpx, y, zq “ z ´ 9 ` x2 ` y 2 la función que describe la superficie, su ∇g así n “ ?p2x,2y,1q , gradiente es ∇g “ p2x, 2y, 1q y el vector normal será n “ |∇g| 2 2 x `y `1

además ds “

|∇g| dA |gz |

luego se tiene que:

ť I “ F.nds ťS |∇g| “ p3x, 3y, zq ?p2x,2y,1q dA |gz | S x2 `y 2 `1 ? ť x2 `y 2 `1 p3x, 3y, zq ?p2x,2y,1q da “ 1 S 2 2 x `y `1 ť “ p5x2 ` 5y 2 ` 9qda “ ş2πD ş3 “ 0 0 p5R2 ` 9q rdrdθ “ 567π 2

1

M 09J170N.wmf 1 ;

Si el campo F es la velocidad de un gas en expansión y }F} se mide en cm{s , entonces la cantidad de flujo de gas a través de la superficie es 890,6cm2 {s. ť Ejercicio 6. Calcular S F.nds, donde n es un vector normal unitario exterior a la superficie S. si: a) Fpx, y, zq “ px, y, zq, S es la mitad superior de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ a2 . 1 b) Fpx, y, zq “ p2, 3, 5q, S es la parte del cono z “ px2 `y 2 q 2 que está dentro del cilindro x2 ` y 2 “ 1. Ejercicio 7. Calcular el flujo del campo vectorial Fpx, y, zq “ px`y `z, x`y `z ´1, 1q a través de la superficie S conformada por la porción del plano P : 4x ` 6y ` 3y “ 12 limitado por los planos coordenados, y el vector normal tiene componente z ă 0. Ejercicio 8. Calcular el flujo del campo vectorial Fpx, y, zq “ px`y `z, x`y `z ´1, 1q a través de la superficie S conformada por la porción del plano P : 4x ` 6y ` 3y “ 12 limitado por los planos coordenados, por porción del plano XZ y porción del plano Y Z arriba del plano XY y debajo del plano P, el vector normal tiene componente z ă 0. Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Ejercicio 9. Sea Q el sólido acotado por las superficies, el cilindro z “ 4 ´ x2 , el plano z ` y “ 5, el plano XY y el plano XZ. Sea ť S la superficie que encierra a Q menos el lado contenido en el plano XY.. Evaluar F.nds para S 2 `y 2

Fpx, y, zq “ px3 ` sin z, x2 y ` cos z, xyex

1.6.

q

Teorema de la divergencia (teorema de Gauss)

El teorema se refire al flujo de un campo a través de una superficie cerrada que es la frontera de una región Q en tres dimensiones. Teorema 1.6.1. Sea Q una región en tres dimensiones acotada por una superficie cerrada S, y sea n un vector normal unitario exterior a S en el punto px, y, zq. Si F es una función vectorial que tiene derivadas continuas en Q entonces: ij

¡

¡ ∇ ¨ Fdv “

F.nds “ S

divFdv. Q

Q

Ejemplo 41. Sea Q el sólido acotado por las gráficas de x2 ` y 2 “ 4, z “ 0, z “ 3 además S es la frontera de Q y Fpx, y, zq “ px3 , y 3 , z 2 q. Use el teorema de la divergencia ť para evaluar F.nds. S

Solución.Calculamos la divergencia divFpx, y, zq “3x2 `3y2 `3z2 usando el teorema tenemos ť ţ I “ F.nds “ divFdv S Q ţ 2 “ p3x ` 3y 2 ` 3z 2 qdv ş2π ş2 şQ3 2 “ 0 0 0 pR ` z 2 qrdzdrdθ “ 180π ’M09J170O.wmf ’ 2 Ejemplo 42. Sea Q el sólido acotado por las superficies, ť el cilindro z “ 4 ´ x , el plano z ` y “ 5, el plano XY y el plano XZ.. Evaluar F.nds para S 2

2

Fpx, y, zq “ px3 ` sin z, x2 y ` cos z, ex `y q donde S es la superficie de Q. Solución.Determinamos la divergencia divFpx, y, zq “4x2 luego se tienen ť 1 I “ F.nds S ţ ţ 2 M 09J170P.wmf 1 divFdv 4x dv “ Q

Q

así en coordenadas rectangulares se tiene ş2 ş4´x2 ş5´z 2 . I “ ´2 0 4x dydzdx “ 4608 35 0 Ejemplo 43. Verifique el teorema de la divergencia para x2 `y 2 `z 2 “ a2 , Fpx, y, zq “ px, y, zq. Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Solución. Calculamos la divergencia del campo vectorial divFpx, y, zq “ 3 luego se tienen ť ţ ţ I “ F ¨ nds “ divFdv “ 3dv así se tiene Sţ Q Q I “ 3 dv “ 4πa3 Q

Veamos ahora por definición, para esto, sea S la superficie representada por gpx, y, zq “ ∇gpxq x2 ` y 2 ` z 2 ´ a2 con gradiente ∇gpx, y, zq “ p2x, 2y, 2zq entonces n “ }∇gpxq} , además }∇g} da, así se tiene ds “ |gz | ť I “ F ¨ nds S ť p2x, 2y, 2zq a a px, y, zq ¨ “ da S 2 a a ´ x2 ´ y 2 ť “ 2a2 ? 2 da 2 2 a ´x ´y şS ş 2 2π a ? r “ 2a 0 0 a2 ´r2 drdθ “ 4πa3 . ť Ejercicio 10. Calcular px2 , y 2 , z 2 q ¨ pcos α, cos β, cos γq ds, donde S es la superficie S

x2 y 2 z 2 total del solido 2 ` 2 ´ 2 “ 1; 0 ď z ď b a a b Ejemplo 44. Sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ p0, 0, zq , sea Q la regiónťsólida encerrada por la mitad superior de x2 ` y 2 ` z 2 “ a2 y el plano XY. Hallar F ¨ nds y S

verificar el teorema de la divergencia . Ejemplo 45. Sea Q la región sólida limitada por ťlos planos coordenados y el plano 2x ` 2y ` z “ 6 sea Fpx, y, zq “ px, y 2 , zq. Hallar F ¨ nds donde S es la (frontera) S

superficie de la región Q. Solución. Sabemos que la divergencia es divFpx, y, zq “ 1 ` 2y ` 1 luego se tiene ť ţ 1 I “ F ¨ nds “ divFdv S Q ţ “ p2 ` 2yq dv M 09J170Q.wmf 1 ; Q ş3 ş3´x ş6´2x´2y p2 ` 2yq dzdydx “ 0 0 0 terminar

1.6.1.

Teorema de la divergencia (para el caso de 2 superficies.).

Se D una región en el espacio R3 cuya frontera son dos superficies S1 y S2 , siendo S2 interior a S1 . Sea F un campo vectorial con divergencia continua en cada punto de D entonces ij ij ¡ F ¨ n1 ds ´ F ¨ n2 ds “ divFdv S1

S2

D

donde n1 es normal exterior a la región encerrada por S1 y n2 es normal exterior a la región encerrada por por S2 . Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Si en todo punto de la región D se tiene que la divergencia ∇ ¨ F “ 0 entonces ť

ť

F ¨ n1 ds “

S1

F ¨ n2 ds

S2

1

M 09J170R.wmf 1 ;

Ejemplo 46. Sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ ? px,y,zq 3 , sea S una superficie que x2 `y 2 `z 2 ť engloba al origen. Calcular F ¨ nds. S ¯ ´ B B B ? px,y,zq 3 “ 0, la divergencia en Solución.Se tiene que divFpx, y, zq “ Bx , By , Bz x2 `y2 `z2

el origen no existe por lo que no se puede aplicar el teorema de la divergencia, entonces buscamos otra superficie que encierra al origen sea S1 una esfera con centro en el origen entonces en la región D comprendida entre S y S1 se cumple que ∇ ¨ F “ 0. luego se tiene ť ť ţ F ¨ nds ´ F ¨ n1 ds “ divFdv así se tiene S Sť D 1 ť F ¨ nds “ F ¨ n1 ds donde S1 : f px, y, zq “ x2 ` y 2 ` z 2 ´ a2 , cuya normal exterior S

es n1 “

S1 px,y,zq , a

ť

luego F ¨ nds “

S

ť

1

F ¨ n1 ds

S1

“

ť px,y,zq px,y,zq S1

“ “

a3

a

ť x2 `y2 `z2

S1 1 a2

a4

ť

ds

ds

S1

ds “ “

ť a2

ds a4

M 09J170S.wmf 1 ;

S1 areaS1 a2

Rotacional de un campo vectorial Sea F : U Ď R3 Ñ R3 , F pxq “ pP x, Qx, Rxq diferenciable, definido em el conjunto abierto U de R3 , definimos el rotacional de F en le punto x de U y denotamos por ˇ ˇ ˇ i ˇ ˆ ˙ j k ˇ B ˇ BQ BP BR BQ BP BR B B ´ , ´ , ´ rotF pxq “ ∇ ˆ F “ ˇˇ Bx By Bz ˇˇ “ By Bz Bz Bx Bx By ˇ P x Qx Rx ˇ como el rotF pxq es un vector, entonces podemos hablar del campo vectorial rotacional de F, rotF : U Ď R3 Ñ R3 el cual a cada punto x de U le asocia el vector rotF pxq P R3 . Ejemplo 47. Determinar el rotF pxq, a) donde F pxq “ px2 y, x ` 3y ` z, xyz 3 q Solución. Aplicando la definición del rotacional se tiene que rotF “ ∇ ˆ F “ pxz 3 ´ 1, ´yz 3 , 1 ´ x2 q b) donde F pxq “ pαxy, βx, 0q Solución. Aplicando la definición se tiene que rotF “ ∇ ˆ F “ p0, 0, β ´ αxq.

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

El rotacional rotF pxq es un concepto que generaliza al de rotación de un campo en R2 . El “rotF pxq en R2 es un escalar que nos da la información sobre la capacidad que tiene el campo F de hacer girar un cuerpo que se encuentra en el flujo descrito por F”. “El rotacional en R3 nos da la información sobre la circulación del campo por unidad de área en cada punto” F : U Ď R2 Ñ R2 un campo vectorial en R2 tal que F pxq “ pP x, Qxq entonces ˇ ˇ ˇ ˆ ˇ i ˙ j k ˇ ˇ B BQ BP B B ´ rotF pxq “ ˇˇ Bx By Bz ˇˇ “ 0, 0, Bx By ˇ P x Qx 0 ˇ es un vector perpendicular al plano XY (donde se encuentra el campo F) cuya coordenada z es BQ ´ BP ; Bx By En R3 si F pxq “ pP x, Qx, Rxq, si el campo es conservativo sabemos que se cumple BFj BFi “ entonces rotF pxq “ p0, 0, 0q ( el regreso no siempre es cierto) esto significa Bxi Bxj que el campo es irrotacional. Obs. El hecho que el campo es irrotacional solo nos permite concluir que el campo es localmente conservativo.

1.6.2.

Teorema de Stokes

Introducción: Este teorema es una generalización en R3 del teorema de Green el cual trabaja con campos en R2 y establece la relación entre la integral de linea del campo vectorial a lo largo de la curva cerrada simple C que es la frontera de la region S Ă R2 . Consideraremos superficies simples en R3 . El teorema que estudiaremos establece la relación entre la integral de línea del campo vectorial F en R3 a lo largo de la frontera BS de S y la integral de superficie de cierto campo sobre la superficie suave S. Teorema de Stokes Teorema 1.6.2. Sea S una superficie orientable seccionalmente suave determinada por la función f : R3 Ñ R, f px, y, zq “ 0 de clase C 2 , y sea F : U Ď R3 Ñ R3 un campo vectorial de clase C 1 en el conjunto abierto U de R3 que contiene a S. Si F es un campo de fuerza el teorema afirma que el trabajo realizado por F a lo largo de la curva C es igual al flujo de rotF a través de S. ű

ť ű F ¨ Tds “ rotF ¨ nds equivalentemente “ F prq ¨ dr donde F es el vector BS S BS posición px, y, zq de C “ BS. Ejemplo 48. Sea S una superficie en R3 cuya frontera C está sobre el plano XY. Sea D la región en el plano XY , interior a la curva C. Demostrar el teorema de Stokes Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

para este caso particular, para el campo vectorial Fpx, y, zq “ pP x, Qx, Rxq. Solución: Consideremos S la superficie cuya frontera C está sobre le plano XY , y C está orientada positivamente. Consideremos S0 “ S Y D, entonces ť ť ť rotF ¨ nds “ ťS rotF ¨ nds ` ťD rotF ¨ n1 ds S0 “ rotF ¨ nds ´ D rotF ¨ kds p˚q S Por otro lado aplicando el teorema de la divergencia para S0 tenemos ť ţ rotF ¨ nds “ ∇ ¨ rotFddv “ 0; pues ∇ ¨ rotF “ 0 S0 Q

en la ecuación p˚q tenemos 0 ť

ť ť “ ťS rotF ¨ nds ´ D rotF ¨ kds rotF ¨ nds “ ťD rotF ¨ kds S “ ű D pQx ´ Py q da űBS pP x, Qxq ¨ Tds G ¨ dr BS

1

M 09J170T.wmf 1 ;

Ejemplo 49. Sea F pxq “ pxy, 2xz, 3yzq Sea S la superficie correspondiente a la porción del plano x ` y ` z “ 1 que se encuentra en le primer octante, verificar el teorema de Stokes, Solución: La superficie S tiene como frontera la intersección del plano con los planos coordenados que son los segmentos, los cuales lo denotamos como C1 , C2 y C3 luego podemos calcular la integral de linea a través de la frontera de S integrando sobre cada uno es decir ű de estos segmento, ű prq ¨ dr F ¨ Tds “ F BS şC ş ş ’M09J170U.wmf ’ “ C1 F pr1 q ¨ dr1 ` C2 F pr2 q ¨ dr2 ` C3 F pr3 q ¨ dr3 para C1 : x ` y “ 1 ñ x “ t, z “ 1 ´ t entonces r1 ptq “ pt, 0, 1 ´ tq y al reemplazar en el campo vectorial se tiene ż ż1 F pr1 q ¨ dr1 “ p0, 2tp1 ´ tq, 0q ¨ p1, 0, ´1q dt “ 0. C1

0

para C2 : x ` z “ 1 ñ x “ t, y “ 1 ´ t entonces r2 ptq “ pt, 1 ´ t, 0q y al reemplazar en el campo vectorial se tiene ż ż1 1 ptp1 ´ tq, 0, 0q ¨ p1, ´1, 0q dt “ F pr2 q ¨ dr2 “ 6 C2 0 . para C3 : y ` z “ 1 ñ y “ t, z “ 1 ´ t entonces r3 ptq “ p0, t, 1 ´ tq y al reemplazar en el campo vectorial se tiene ż ż1 1 p0, 0, 3tp1 ´ tqq ¨ p0, 1, 1q dt “ . F pr3 q ¨ dr3 “ 2 C3 0 por lo tanto tenemos ű BS

F ¨ Tds “ 0 ` 16 `

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1 2

“

1 3

, 42

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Veamos ahora cuando aplicamos el teorema para lo cual calculamos previamente rotF “ ? p3z ´ 2x, 0, 2z ´ xq y el vector normal unitario a la superficie S n “ p1,1,1q reemplazan3 do en la formula se tiene ť ť ? ds p3z ´ 2x, 0, 2z ´ xq ¨ p1,1,1q rotF ¨ nds “ S S´ 3 ť 5z´3x ¯ ∇f ? “ dA |fz | S 3 ť ´ 5z´3x ?3 ¯ ? “ dA ş1Dş1´x 3 1 “ 0 0 p5z ´ 3xq dzdx “ 13 ’M09J170V.wmf ’; Ejemplo 50. Sea F : R3 Ñ R3 definida como F pxq “ px2 y, 3x3 z, yz 2 q Sea S la superficie correspondiente al cilindro x2 ` y 2 “ 1, |z| ď 1 cuya normal es hacia el interior de el. Verificar el teorema de Stokes, Solución: Veamos La superficie S tiene como frontera las circunferencias en situadas en los planos z “ ´1 y z “ 1 a los cuales denotamos como C1 y C2 luego podemos calcular la integral de linea a través de la frontera de S integrando sobre cada uno de las curvas, es decir ű ű F ¨ Tds “ şC F prq .dr BS ş “ C1 F pr1 q ¨ dr1 ` C2 F pr2 q ¨ dr2 para C1 : x2 ` y 2 “ 1 ñ x “ cos θ, y “ sin θ, z “ 1 entonces r1 ptq “ pcos θ, sin θ, 1q y al reemplazar en el campo vectorial se tiene ż ż 2π ` ˘ F pr1 q ¨ dr1 “ ´ cos2 θ sin2 θ ` 3 cos4 θ dθ “ 2π. C1

0

para C2 : x2 ` y 2 “ 1 ñ x “ cos θ, y “ ´ sin θ, z “ ´1 entonce r2 ptq “ pcos θ, sin θ, 1q y al reemplazar en el campo vectorial se tiene ż ż 2π ` 2 ˘ 5π. . F pr2 q ¨ dr2 “ cos θ sin2 θ ` 3 cos4 θ dθ “ 2 0 C2 por lo tanto tenemos ű BS

F ¨ Tds “ 2π `

5π 2

“

9π 2

Veamos ahora cuando aplicamos el teorema para lo cual calculamos previamente rotF “ pz 2 ´ 3x3 , 0, x2 p9z ´ 1qq y el vector normal unitario a la superficie S es de la forma ? n “ p´x,´y,0q reemplazando en la formula se tiene 2 2 x `y

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ť S

FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

1

ť

? pz 2 ´ 3x3 , 0, x2 p9z ´ 1qq ¨ p´x,´y,0q ds x2 `y 2 ˙ ˆ ť ∇f 3x4 ´xz 2 ? dA “ |fz | S x2 `y 2 ´ ¯ ? M 09J170W.wmf 1 ; ť 3 5z´3x ? “ dA ş1Dş1´x 3 1 “ 0 0 p5z ´ 3xq dzdx “ 13

rotF ¨ nds “

S

Ejemplo 51. Sea F : R3 Ñ R3 definida como F pxq “ p3z, 4x, 2yq Sea S la superficie correspondiente al paraboloide z “ 9 ´ x2 ´ y 2 , z ě 0 y sea C la traza de S en el plano XY (curva de nivel cero). Verificar el teorema de Stocke, Solución: Para aplicar el teorema, determinamos rotF “ p2, 3, 4q y?el vector normal unitario a la superficie S es de la forma n “ ?p2x,2y,1q 2 2

4x `4y `1

además ds “

fx2 `fy2 `fz2 reemplazando |fz |

en la formula se tiene ť

ť

1

p2, 3, 4q ¨ ?p2x,2y,1q ds S ˆ ˙ 4x2 `4y2 `1 ť 4x`6y`4 ? “ ¨ |f∇fz | dA M 09J170X.wmf 1 ; S x2 `y 2 ť p4x ` 6y ` 4q dA “ D “

rotF ¨ nds “ S

cambiando dea coordenadas polares hacemos x “ r cos θ, y “ r sin θ se tiene ť ş2π ş3 rotF ¨ nds “ p4r cos θ ` 6r sin θ ` 4q rdrdθ S 0 0 “ 36π Ahora si usamos la definición, La superficie S tiene como frontera la circunferencia situada en el plano XY que es la curva C calculamos la integral de linea a través de la frontera de S integrando sobre cada uno de las curvas, es decir C : x2 ` y 2 “ 9 ñ x “ r cos θ, y “ r sin θ, z “ 0 además sabemos que r “ 3, entonces r1 ptq “ p3 cos θ, 3 sin θ, 0q y r1 ptq “ p´3 sin θ, 3 cos θ, 0q al reemplazar en el campo vectorial se tiene ű ű F ¨ Tds “ C F prq ¨ dr BS ş2π “ 0 p0, 4 cos θ, 2 sin θq ¨ p´3 sin θ, 3 cos θ, 0q dθ ş2π “ 0 36 cos2 θdθ “ 36π Ejercicio 11. Verificar el Teorema de Stokes en el campo vectorial F : R3 Ñ R3 a) F pxq “ p3z, 4x, 2yq S “ tpx, y, zq {x2 ` y 2 ` z 2 “ 1, z ě 0u b) F pxq “ px ` 2y, 3x ` z, x ` y ` zq S “ tpx, y, zq {x2 ` y 2 “ 1, ´1 ď z ď 1u c) F pxq “ pz 2 ` 1, 2z, 2xz ` 2yq S porción de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 1 en el primer octante. ť Ejercicio 12. Determinar el valor de la integral de superficie S ∇ ˆ F ¨ nds, si S es la mitad inferior de x2 ` y 2 ` z 2 “ a2 , con vector normal exterior. Si Fpx, y, zq “ py 2 x, x3 , y 2 zq , (Rpta.)

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

ť Ejercicio 13. Determinar el S ∇ ˆ F ¨ nds ,Fpx, y, zq “ pxz, x2 , xyq, Si S es la superficie total del cubo determinado por los planos x “ 0, x “ 1, y “ 0, y “ 1, z “ 0, z “ 1, sin la cara y “ 1, n es el vector normal exterior al cubo. ť Ejercicio 14. Determinar el S ∇ ˆ F ¨ nds , si el vector normal es exterior al solido y: a) Fpx, y, zq “ pz 3 , x3 , y 3 q, Si S es la superficie que envuelve al sólido encerrado por z ´ 4 “ x2 ` y 2 , 12 ´ z “ x2 ` y 2 . b) Fpx, y, zq “ pz 3 , x3 , y 3 q, Si S es la superficie que envuelve al sólido encerrado por z ´ 4 “ x2 ` y 2 , 20 ´ 2z “ x2 ` y 2 . c). Fpx, y, zq “ pz, x, yq, Si S es la superficie que envuelve al sólido encerrado superiormente por x2 ` y 2 ` z 2 “ 4, e inferiormente por x2 ` y 2 “ z 2 , z ě 0. Ejemplo 52. Utilizando el método de proyección ´sobre los tres planos coordenados ¯ a a calcular el flujo del campo vectorial Fpx, y, zq “ x ´ y ´ z 2 , 1, y ´ x2 ´ z , a través del lado exterior del paraboloide y “ x2 ` z 2 limitado por le plano y “ 4, y que se encuentra en el primer octante. Solución: Sea la superficie S : y “ x2 ` z 2 determinemos las variables en función de las otras a partir de la ecuación cartesiana de la superficie, es decir a a x “ xpy, zq “ y ´ z 2 ; y “ ypx, zq “ x2 ` z 2 ; z “ zpx, yq “ y ´ x2 ,Si n “ pcos α, cos β, cos γq y si F “ pP, Q, Rq entonces s el método de proyecciones a los planos coordenados es: ij ij ij ij F ¨ nds “ P pxpy, zq, y, zqdydz ` Qpx, ypx, zq, zqdxdz ` Rpx, y, zpx, yqqdydx S

Ryz

Rxz

Rxy

donde Ryz , Rxz , Rxy son las proyecciones de S sobre los planos coordenado yz, xz, xy respectivamente, luego en nuestro caso tenemos hacemos f px, y, zq “ x2 ´ y ` z 2 ∇f px, y, zq “ p2x, ´1, 2zq , n “

p2x, ´1, 2zq |p2x, ´1, 2zq|

, de donde cos α “

´1 2z 2x ; cos β “ ; cos γ “ |p2x, ´1, 2zq| |p2x, ´1, 2zq| |p2x, ´1, 2zq|

utilizando las ecuaciones (1),(2), (3) se tiene que P pxpy, zq, ypx, zq, zq “ ť y, zq “ 0; Qpx,ť 1; Rpx, y, zpx, yqq “ 0 por lo tanto en la integral se tiene S F ¨ nds “ ´ Rxz dxdz “ AreapRxz q “ ´π ť Ejemplo 53. Evaluar la integral S pxy ` zq ds donde S.es la parte del plano 2x ´ y ` z “ 3 que está arriba del triángulo rectángulo A p0, 0, 0q , B p1, 0, 0q , C p1, 1, 0q Solución. De la ecuación del plano z “ 3`y´2x sea z “ f px, yq es decir z´f px, yq “ 0 entonces el gradiente es ∇f “ p´fx , ´fy , 1q esto es ∇f “ p2, ´1, 1q, además sabemos | dA puesto que la proyección está en el plano XY y que ds “ |∇f |fz | g px, y, zq “

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xy ` z xy ` 3 ` y ´ 2x 45

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luego se tiene que ť S

FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

ť pxy ` zq ds “ ?R ť pxy ` zq |p2,´1,1q| dA 1 “ ?6 R pxy ` zq dA ş1 şx 6 0 ´0 pxy ` 3 ` y ´ 2xq dydx “ ˇx ? ş1 xy2 ˇ y2 “ 6 0 2 ` 3y ` 2 ´ 2xy ˇ dx “

0

? 9 6 8

Ejemplo 54. Verificar el teorema de Gauss F pxq “ px, y, zq y sea S “ tpx, y, zq {x2 ` y 2 ` z 2 ď a2 u ´ ¯ B B B Solución. Se tiene que divFpx, y, zq “ Bx , By , Bz ¨ ? px,y,zq 3 “ 0 , la divergencia en 2 2 2 x `y `z

el origen no existe por lo que no se puede aplicar el teorema de la divergencia, entonces buscamos otra superficie que encierra al origen sea S1 una esfera con centro en el origen entonces en la región D comprendida entre S y S1 se cumple que ∇.F “ 0.luego se tiene ij ij ¡ F ¨ nds ´ F ¨ n1 ds “ divFdv S

S1

D

así ť se tiene ť F.nds “ F.n1 ds donde S1 : f px, y, zq “ x2 ` y 2 ` z 2 ´ a2 , cuya normal exterior S

es n1 “

S1 px,y,zq , a

luego ť

F ¨ nds “

BS

“

ť BS ť

px, y, zq ¨ ? px,y,zq 2 2

x `y `z 2

ds

a2 ds a

BSť

“ a

ds

BS

“ a p4πa2 q veamos ahora cuando aplicamos el teorema de la divergencia para esto calculamos divF “ ∇.F esto es ť ţ F ¨ nds “ divFdv S BS ţ “ 3dv Sţ ˘ ` “ 3 dv “ 3 34 πa3 V

Ejemplo 55. Calcule el flujo del campo vectorial F pxq “ px2 y, 2xz, yz 3 q a través del sólido rectangular S determinado por 0 ď x ď 1, 0 ď y ď 2, 0 ď z ď 3. Use el método directo y luego compruebe usando el teorema de Gauss. Solución. Evaluamos la integral de superficie sobre cada una de las caras del sólido 6 Ť así BS “ Si y ni es el vector normal a la cara Si , para i “ 1.,6, luego sumamos i“1

estos resultados ť

F ¨ nds “

BS Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

6 ť ř

F ¨ ni ds “ 60

i“1 Si

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

veamos ahora cuando aplicamos el teorema de Gauss para esto calculamos divF “ ∇¨F esto es ť ţ ţ F ¨ nds “ divFdv “ ∇ ¨ Fdv S S BS ţ p2xy ` 3yz 2 q dv “ şS1 ş2 ş3 “ 0 0 0 3 p2xy ` 3yz 2 q dzdydx “ 60 Ejemplo 56. Sea S el sólido limitado or x2 ` y 2 “ 4, z “ 0, z “ 3 y sea n el vector normal unitario a la frontera BS de S.Si F pxq “ px3 ` tg pyzq , y 3 ´ exz , 3z ` x3 q . Encuentre el flujo atraves de BS. Solución. Aplicamos el teorema de Gauss para esto calculamos divF “ ∇.F esto es ť ţ F ¨ nds “ divFdv S BS ţ “ p3x2 ` 3y 2 ` 3q dv S

transformando a coordenadas cilíndricas donde x “ r cos θ, y “ r sin θ, z “ z se tiene ť ş2π ş2 ş3 F ¨ nds “ 3 0 0 0 p1 ` r2 q rdzdrdθ “ 108π BS

Ejemplo 57. Calcule la integral del campò vectorial F pxq “ p0, y 2 , zq sobre la cara exterior del paraboloide S : z “ x2 ` y 2 , 0 ď z ď 1 Solución. Para lo cual consideramos f px, y, zq “ z ´ x2 ´ y 2 , además sabemos que | ds “ |∇f dA siendo A la proyección de la superficie S sobre el plano XY. así tenemos |fz | que es ť ť | dA F ¨ nds “ F ¨ n |∇f |fz | D

BS

“ Ejemplo 58. Determine el flujo del campo vectorial Fpxq “ px, y, 4x2 q a través de la porción de superficie S : z “ x2 ` y 2 cortado por el plano z “ 4, considerar la normal exterior a la superficie Solución. Para lo cual consideramos f px, y, zq “ z´x2 ´y 2 ; ∇f pxq “ p´2x, ´2y, 1q , n “ | ∇f pxq además sabemos que ds “ |∇f dA siendo A la proyección de la superficie S sobre |∇f pxq| |fz | el plano XY. así tenemos que ť ť ť ∇f pxq |∇f | | F ¨ nds “ F ¨ n |∇f dA “ F. |∇f dA |fz | pxq| |fz | D D BS ť px, ´y, 4x2 q ¨ p´2x, ´2y, 1q dA “ 1 D M 09J170Y.wmf 1 ; ť 2 2 p2x ` 2y q dA “ D ş2π ş2 “ 0 0 2r2 rdrdθ “ 16π ű Ejemplo 59. Calcular F ¨ Tds. Donde F pxq “ py, ´x, 3yq y C es el círculo que C

resulta de la intersección del plano x ` y ` z “ 0 con la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 9, en sentido antihorario visto desde el eje Y ` . Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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Solución. Para determinar la integral de linea a través de la curva cerrada C usamos el teorema de Stokes para lo cual se tiene que rotF “ ∇ ˆ F “ p3, 0, ´2q además ? n “ p1,1,1q así tenemos que 3 ű ť F ¨ Tds “ ∇ ˆ F ¨ nds C S ť ?1 ds “ 1 3 M 09J170Z.wmf 1 ; S 9π “ ?13 p Area de qS “ ? 3 ű Ejemplo 60. Calcular F.Tds. Donde F pxq “ py 2 , z 2 , zq y C es la curva que resulta C

de la intersección del plano 3y ` 4z “ 5 con la esfera x2 ` y 2 “ 9, la orientación de C Ñ

Ñ

coincide con la del vector 3 j ` 4 k . Solución. Para determinar la integral de linea a través de la curva cerrada C usamos el teorema de Stokes para lo cual se tiene la superficie S está en el plano 3y`4z “ 5 y su p0, 3, 4q frontera es C y el vector normal a S es n “ que rotF “ ∇ˆF “ p´2z, 0, ´2yq , 5 | sea f px, y, zq “ 3y ` 4z ´ 5 entonces ds “ |∇f dA D es la proyección de la superficie |fz | S sobre el plano XY , así tenemos que ű ť F ¨ Tds “ ∇ ˆ F ¨ nds C S ť “ ´ 85 ds S ť “ ´4 dA “ 36π D

Ejercicio 15. Calcular la integral de linea

ű

F.Tds donde C es la curva que une los

C

puntos P QRST OM P 1

M 09J1710.wmf 1 ;

considerar el campo vectorial a) Fpx, y, zq “ pxz, x2 , xyq Teorema 1.6.3. Sean ϕ, ψ dos campos escalares que tienen derivadas continuas hasta de segundo orden, por lo menos, en un conjunto simplemente conexo en R3 que contiene la superficie cerrada S, Sea Q la región encerrada por S entonces las siguientes identidades son válidas: ť ţ ϕ∇ψ ¨ nds “ ϕ∇2 ψ ` ∇ϕ ¨ ∇ψdv S Q ť ţ ψ∇ϕ ¨ nds “ ψ∇2 ϕ ` ∇ϕ ¨ ∇ψdv S Q ť ţ pϕ∇ψ ´ ψ∇ϕq ¨ nds “ pϕ∇2 ψ ´ ψ∇2 ϕq dv S

Q

Teorema 1.6.4. Se F un campo vectorial con rotacional continuo en un conjunto simplemente conexo en R3ţ que contiene a la ť superficie cerrada S, si Q es la región ∇ ˆ Fdv “ n ˆ Fds encerrada por S entonces. Q

S

Ejercicio 16. Calcular el flujo del campo vectorial Fpx, y, zq “ p2x, 1 ´ 2y, 2zq, a través de la porción del paraboloide x2 ` z 2 “ 1 ´ 2y que se encuentra acotado por encima del plano XY . Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

´ ¯ a Ejercicio 17. Calcular el flujo del campo vectorial Fpx, y, zq “ x, y, x2 ` y 2 ´ 1 , 2 2 hacia la parte ? exterior del paraboloide x ` y ´ z “ 1 comprendida entre los planos z “ 0, z “ 3. usar el teorema de la divergencia. ť Ejemplo 61. Hallar una expresión para F ¨ nds, sin utilizar la proyección sobre S

los planos coordenado; Si S es el cilindro x2 ` y 2 “ a2 limitada superiormente por z “ f px, yq, e inferiormente por z “ gpx, yq considere (gpx, yq ď f px, yqq. Solución. Sabemos que el en el sector circular podemos para calcular su área se necesita determinar la longitud de arco y el radio es decir dA “ rdθ, para determinar el área sobre el cilindro necesitamos la longitud de arco y la altura dz es decir ds “ adθdz , por lo tanto se tendrá consideramos el vector normal al cilindro n “ px,yq r ż 2π ż f px,yq

ij

F ¨ ndθdz

F ¨ nds “ 0

S

gpx,yq

´ a ¯2 2 ´ a ¯2 Ejercicio 18. Sea la esfera x2 `y 2 `z 2 “ a2 y sean los cilindros x ´ `y “ 2 2 y x2 ` ax ` y 2 “ 0 si la esfera es cortada por los cilindros. Hallar el área de la superficie de la esfera que queda. Ejercicio 19. Calcular el trabajo realizado por el campo vectorial Fpx, y, zq “ pP, Q, Rq, donde P “ 2xyz ` z 3 cos x ´ yz; Q “ x`2 z ` 2yz˘´ xz; R “ x2 y ` y`2 ´ xy ˘` 3z 2 senx. al , 3, 1 a lo largo de desplazar una partícula desde el punto π2 , ´2, 5 hasta el punto 3π 4 los segmentos que los une ` ˘ ű Ejercicio 20. Sea Fpx, yq “ 2xey ´ xy, x2 ey ` x ` 12 x2 , Calcular C F donde C es el contorno de la región más grande encerrada por x2 ` y 2 “ 2y; y “ x, recorrida en sentido antihorario ű y Ejercicio 21. Sea Fpx, yq “ 3 py, 2 ´ xq , Calcular C F donde C es la elipse 2 2 rpx´2q `y s 2

2

2

4 px ´ 2q ` 9y “ 36 2 2 2 Ejercicio 22.a Calcular el área a de la porción de la esfera ? x ` y ` z? “ 9 acotada por los conos z “ x2 ` y 2 , z “ 3x2 ` 3y 2 y los planos 3x ´ y “ 0; 3y ´ x “ 0

Ejercicio 23. Verificar el teorema de Stoke en el caso en que Fpx, y, zq “ pax ` by ` cz, 0, 0q y S es el triángulo con vértices p0, 0, 0q , p1, 1, 1q , p2, 3, 4q Ejercicio 24. Calcular el flujo del campo vectorial ˆ 2 ˙ x y ´ z2 2xzp1 ` yq ` 1 ` y 2 Fpx, y, zq “ , ´2x arctan y, ´ . 1 ` y2 1 ` y2 hacia la parte exterior de la superficie z “ 1 ´ x2 ´ y 2 que se encuentra por encima del plano XY. şş Ejercicio 25. Calcular R exy da, donde la región R en el primer cuadrante limitada por las curvas: xy “ 1; xy “ 2 y las rectas y ´ x “ 0; y ´ 4x “ 0 Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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şşş Ejercicio 26. Calcular xydv, donde R es el sólido en el primer octante limitada R por las superficies: S1 : z “ x2 ; S2 : z “ y 2 ; S3 : z “ 1 Ejercicio 27. Calcular el volumen del sólido limitado por por las superficies: S1 : z ` 14 “ x2 ` y 2 ; S2 : z “ 4 ´ y 2 ; z ´ 5 Ejercicio 28. Sea Fpx, y, zq “ p6xy 3 z ` 4y 2 z 3 , 9x2 y 2 z ` 8xyz 3 ` z 4 3x2 y 3 ` 12xy 2 z 2 ` 4yz 3 q , un campo de fuerzas. Hallar el trabajo que realiza F al mover una partícula desde el origen hasta el punto p1, 1, 1q siguiendo la trayectoria compuesta por C1 Y C2 Y C3 , donde: C1 ; semicircunferencia en el plano XY que une los puntos p0, 0, 0q con p0, 2, 0q , x ě 0; C2 : semicircunferencia en el plano Y Z que une los puntos p0, 2, 0q con p0, 4, 0q , z ě 0; C3 :recta que une p0, 4, 0q con p1, 1, 1q Ejercicio 29. Sea Fpx, y, zq “ p5esenx ´ 6y ` lnp1 ´ zq, 4x ` ecos y ` ez , 3x3 y 4 zq , un campo de fuerzas hallar el trabajo hecho po rf al mover una partícula en torno a la elipse 9 px ´ 2q2 ` 16y 2 “ 9 ˚ 16; z “ 0, en sentido horario Ejercicio 30. Sea Fpx, y, zq “ px, 2y, 3zq, Sea S la superficie de la esfera con centro en p2, ,2, 1q y radio 9, determinar el flujo del campo vectorial sobre S. Ejercicio 31. Sea Fpx, y, zq “ px3 , y 3 , z 3 q, Sea S la superficie de la esfera con centro en p2, ,2, 1q y radio a, determinar el flujo del campo vectorial sobre S Ejercicio 32. Hallar el área de la superficie S : z “ xy sobre el disco con centro en el origen y de radio a Ejercicio 33. Calcular la integral del campo vectorial Fpx, y, zq “ p2x, 2y, 2zq sobre el hemisferio x2 ` y 2 ` pz ´ aq2 “ a2 , a ą 0, z ě a

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adicional integral de superficie flujo Definición (Superficie paramétrica simple) Se dice que una superficie S de R3 es una superficie paramétrica simple si existen un abierto acotado D de R2 cuya frontera es una curva cerrada simple regular a trozos, y una aplicación φ : D Ñ R3 inyectiva y de clase C 1 tal que su diferencial Dφpu, vq tiene rango 2 para todo pu, vq P D, y además S “ φpDq. De φ diremos que es una parametrización de S. Evidentemente una misma superficie paramétrica simple S puede tener varias parametrizaciones diferentes. 1. Demostrar que el hemisferio norte de una esfera, es decir, x2 ` y 2 ` z 2 “ r2 , z ě 0, es una superficie paramétrica simple con borde x2 ` y 2 ` z 2 “ r2 , z “ 0 Definición 38. Producto vectorial fundamental Sea φ : D Ñ S Ă R3 una parametrización de una superficie paramétrica simple S. Denotemos φpu, vq “ pxpu, vq, ypu, vq, zpu, vqq. El producto vectorial fundamental es el producto vectorial de las derivadas parciales Bφ Bφ ˆ “ Bu Bv Bφ Bu

ˆ

Bφ Bv

“

ˇ ˇ i ˇ Bx = ˇˇ Bu ˇ Bx Bv ˇ By ˇ = ˇˇ Bu By =

Bv Bpy,zq i Bpu,vq

j By Bu By Bv Bz Bu Bz Bv

´

ˇ k ˇˇ Bz ˇ Bu ˇ Bz ˇ ˇ Bv ˇ ˇ ˇ ˇi ´ ˇ ˇ ˇ Bpx,zq j Bpu,vq

ˇ ˇ i ˇ Bx Bφ Bφ ˆ “ ˇˇ Bu Bu Bv ˇ Bx Bv ˇ By ˇ “ ˇˇ Bu By Bv

Bx Bu Bx Bv

`

ˇ

Bz ˇ Bu ˇ j Bz ˇ Bv Bpx,yq k Bpu,vq

j By Bu By Bv Bz Bu Bz Bv

ˇ k ˇˇ Bz ˇ Bu ˇ Bz ˇ ˇ Bv ˇ ˇ ˇ ˇi ´ ˇ ˇ ˇ

ˇ ˇ ` ˇˇ

Bx Bu Bx Bv

Bx Bu Bx Bv

Bz Bu Bz Bv

By Bu By Bv

ˇ ˇ ˇk ˇ

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇj ` ˇ ˇ ˇ

Bx Bu Bx Bv

By Bu By Bv

ˇ ˇ ˇk ˇ

Bpy, zq Bpx, zq Bpx, yq “ i´ j` k Bpu, vq Bpu, vq Bpu, vq donde Bpf, gq Bf Bg Bg Bf “ ´ Bpu, vq Bu Bv Bu Bv es decir el determinante jacobiano de la aplicación pu, vq ÞÑ pf pu, vq, gpu, vqq Consideremos la curva cerrada C positivamente orientada descrita por r : ra, bs Ñ R2 definida como rptq “ pxptq, yptqq, entonces su vector normal exterior est dada por n“ a Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

py 1 ptq, ´x1 ptqq r1K “´ 1 }r } rx1 ptqs2 ` ry 1 ptqs2 51

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Sea el campo vectorial Fpx, yq “ pP pxptq, yptqq, Qppxptq, yptqqqq, la integral de linea

żb

¿ F ¨ n ds “ BD

“ “ “ ¿ F ¨ n ds “

r1K pP, Qq ¨ ds }r 1 } a żb r1K  pP, Qq ¨ 1  }r1 }dt  }r } a  żb pP pxptq, Qpxptqq ¨ py 1 ptq, ´x1 ptqqdt a żb pP pxptq, Qpxptqq ¨ pdy, ´dxq a ż pP pxptqdy ´ Qpxptqqdx BD

BD

ahora aplicamos el teorema de Green

¿

ż F ¨ n ds “

pP pxptqdy ´ Qpxptqqdx BD

BD

ij “

pPx ´ p´Qy qqdxdy D ij

pPx ` Qy qdxdy

“ D ij

divFdA

“ D

Teorema 1.6.5 (Teorema de la divergencia en el plano). Sea F “ pP, Qq un campo vectorial en el plano de clase C 1 . Entonces ¿ ij F ¨ n ds “ divFdA BD

1.6.3.

D

Caracterización de límite de la divergencia

Sea F : Ω Ď R3 Ñ R3 un campo vectorial de clase C 1 donde Ω es un abierto no vacío. Consideremos un punto arbitrario r0 “ px0 , y0 , z0 q P Ω. Sea tΩε uεą0 una familia de abiertos acotados contenidos en Ω cuyas fronteras tBΩε uεą0 son superficies regulares por pedazos y orientadas según la normal exterior, y tales que se satisface lo siguiente: i. @ε ą 0, r0 P Ωε . Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

ii. diampΩε q :“ supt}x ´ y}{x, y P Ωε u Ñ 0 cuando ε Ñ 0 Ejemplo ejemplo el cubo Ωε “ px0 , x0 ` εq ˆ py0 , y0 ` εq ˆ pz0 , z0 ` εq, ? cuyo diámetro es ε 3 y que está contenido en Ω, al menos para todo ε ą 0 suficientemente pequeño. En el caso general, notemos que como consecuencia de (ii), V olpΩε q Ñ 0 cuando ε Ñ 0. Además, si para cada ε ą 0 escogemos rε P Ωε , por (i) combinado con (ii) deducimos que rε Ñ r0 cuando ε Ñ 0. En virtud primero del teorema de la divergencia de Gauss, y en segundo término del teorema del valor medio para integrales múltiples, se tiene que para cada ε ą 0 ¡ ij divFdV “ divpFqprε qV olpΩε q (1.1) F ¨ dA “ Ωε

Ωε

para algún rε P Ωε . Como F es de clase C 1 , tenemos que divF : Ω Ñ R es continuo y por tanto divpFqprε q Ñ divpFqpr0 q cuando ε Ñ 0. De esta forma, a partir de (1.1) podemos decir lo siguiente:

1 divpFqpr0 q “ l´ım εÑ0 V olpΩε q

ij F ¨ dA “ l´ım

εÑ0

flujo de F que sale de Ωε Volumen de Ωε

(1.2)

BΩε

Observación: La expresión (1.2) proporciona una caracterización del valor que toma divpFqpr0 q que no hace referencia explícita a ningún sistema de coordenadas en particular, sino que sólo depende del comportamiento límite del cociente entre el flujo que sale a través de BΩε y el volumen del abierto Ωε .

1.7.

Teorema de la divergencia (teorema de Gauss)

El teorema se refire al flujo de un campo a través de una superficie cerrada que es la frontera de una región Q en tres dimensiones. Teorema 1.7.1. Sea Q una región en tres dimensiones acotada por una superficie cerrada S, y sea n un vector normal unitario exterior a S en el punto px, y, zq. Si F es una función vectorial que tiene derivadas continuas en Q entonces: ij

¡ ∇ ¨ Fdv “

F.nds “ S

¡

Q

divFdv. Q

Ejemplo 62. Sea Q el sólido acotado por las gráficas de x2 ` y 2 “ 4, z “ 0, z “ 3 además S es la frontera de Q y Fpx, y, zq “ px3 , y 3 , z 2 q. Use el teorema de la divergencia Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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para evaluar

ť

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F.nds.

S

Solución.Calculamos la divergencia divFpx, y, zq “3x2 `3y2 `3z2 usando el teorema tenemos ť ţ I “ F.nds “ divFdv S Q ţ 2 “ p3x ` 3y 2 ` 3z 2 qdv ş2π ş2 şQ3 2 “ 0 0 0 pR ` z 2 qrdzdrdθ “ 180π ’M09J170O.wmf ’ 2 Ejemplo 63. Sea Q el sólido acotado por las superficies, ť el cilindro z “ 4 ´ x , el plano z ` y “ 5, el plano XY y el plano XZ.. Evaluar F.nds para S 2

2

Fpx, y, zq “ px3 ` sin z, x2 y ` cos z, ex `y q donde S es la superficie de Q. Solución.Determinamos la divergencia divFpx, y, zq “4x2 luego se tienen ť 1 I “ F.nds S ţ ţ 2 M 09J170P.wmf 1 “ divFdv 4x dv Q

Q

así en coordenadas rectangulares se tiene ş2 ş4´x2 ş5´z 2 I “ ´2 0 . 4x dydzdx “ 4608 35 0 Ejemplo 64. Verifique el teorema de la divergencia para x2 `y 2 `z 2 “ a2 , Fpx, y, zq “ px, y, zq. Solución. Calculamos la divergencia del campo vectorial divFpx, y, zq “ 3 luego se tienen ť ţ ţ I “ F ¨ nds “ divFdv “ 3dv así se tiene Sţ Q Q I “ 3 dv “ 4πa3 Q

Veamos ahora por definición, para esto, sea S la superficie representada por gpx, y, zq “ ∇gpxq x2 ` y 2 ` z 2 ´ a2 con gradiente ∇gpx, y, zq “ p2x, 2y, 2zq entonces n “ }∇gpxq} , además }∇g} ds “ da, así se tiene |gz | ť I “ F ¨ nds S ť p2x, 2y, 2zq a a “ px, y, zq ¨ da S 2 a a ´ x2 ´ y 2 ť “ 2a2 ? 2 da 2 2 a ´x ´y şS ş 2 2π a ? r “ 2a 0 0 a2 ´r2 drdθ “ 4πa3 . ť Ejercicio 34. Calcular px2 , y 2 , z 2 q ¨ pcos α, cos β, cos γq ds, donde S es la superficie S

x2 y 2 z 2 total del solido 2 ` 2 ´ 2 “ 1; 0 ď z ď b a a b

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Ejemplo 65. Sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ p0, 0, zq , sea Q la regiónťsólida encerrada por la mitad superior de x2 ` y 2 ` z 2 “ a2 y el plano XY. Hallar F ¨ nds y S

verificar el teorema de la divergencia . Ejemplo 66. Sea Q la región sólida limitada por ťlos planos coordenados y el plano 2x ` 2y ` z “ 6 sea Fpx, y, zq “ px, y 2 , zq. Hallar F ¨ nds donde S es la (frontera) S

superficie de la región Q. Solución. Sabemos que la divergencia es divFpx, y, zq “ 1 ` 2y ` 1 luego se tiene ť ţ 1 I “ F ¨ nds “ divFdv S Q ţ p2 ` 2yq dv “ M 09J170Q.wmf 1 ; Q ş3 ş3´x ş6´2x´2y p2 ` 2yq dzdydx “ 0 0 0 terminar

1.7.1.

Teorema de la divergencia (para el caso de 2 superficies.).

Se D una región en el espacio R3 cuya frontera son dos superficies S1 y S2 , siendo S2 interior a S1 . Sea F un campo vectorial con divergencia continua en cada punto de D entonces ij ij ¡ F ¨ n1 ds ´ F ¨ n2 ds “ divFdv S1

S2

D

donde n1 es normal exterior a la región encerrada por S1 y n2 es normal exterior a la región encerrada por por S2 . Si en todo punto de la región D se tiene que la divergencia ∇ ¨ F “ 0 entonces ť

F ¨ n1 ds “

S1

ť S2

F ¨ n2 ds

1

M 09J170R.wmf 1 ;

Ejemplo 67. Sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ ? px,y,zq 3 , sea S una superficie que x2 `y 2 `z 2 ť engloba al origen. Calcular F ¨ nds. S ´ ¯ B B B ? px,y,zq 3 “ 0, la divergencia en , By , Bz Solución.Se tiene que divFpx, y, zq “ Bx x2 `y2 `z2

el origen no existe por lo que no se puede aplicar el teorema de la divergencia, entonces buscamos otra superficie que encierra al origen sea S1 una esfera con centro en el origen entonces en la región D comprendida entre S y S1 se cumple que ∇ ¨ F “ 0. luego se tiene ť ť ţ F ¨ nds ´ F ¨ n1 ds “ divFdv así se tiene S Sť D 1 ť F ¨ nds “ F ¨ n1 ds donde S1 : f px, y, zq “ x2 ` y 2 ` z 2 ´ a2 , cuya normal exterior S

es n1 “

S1 px,y,zq , a

luego

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ť

F ¨ nds “

S

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ť

1

F ¨ n1 ds

S1

“

ť px,y,zq px,y,zq S1

“ “

a3

a

ť x2 `y2 `z2

S1 1 a2

a4

ť

ds

ds

ds

S1

“ “

ť a2

ds a4

M 09J170S.wmf 1 ;

S1 areaS1 a2

ejemplos 1. Utilice el teorema de la divergencia para evaluar la integral de superficie del campo vectorial Fpx, y, zq “ p3xy 2 , xez , z 3 q a través de la superficie del sólido acotado por el cilindro y 2 ` z 2 “ 1 y los planos x “ ´1 x “ 2 (rpta 9π{2) 2. Determine el la integral de superficie del campo vectorial Fpx, y, zq “ pz 2 x, 13 y 3 ` tan z, x2 z ` y 2 q a través de la superficie del sólido acotado por la parte superior ) de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 1 y el plano z “ 0 (rpta 2π 5 3. Determine el la integral de superficie del campo vectorial Fpx, y, zq “ pz 2 x, 13 y 3 ` tan z, x2 z ` y 2 q a través de la superficie del sólido acotado por la parte superior de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 1 (rpta 3π ) 20 4. Determine el flujo del campo vectorial Fpx, y, zq “ px2 , y 2 , z 2 q a través de la a superficie lateral del cono z “ 1 ´ x2 ` y 2 , 0 ď z ď 1 (rpta π6 a) Directamente b) Aplicando el teorema de Gauss. 5. Determine el valor de ij x3 dydz ` y 3 dxdz ` z 3 dxdy, S

donde S es la superficie exterior de la pirámide formado por los planos coordenados y el plano x ` y ` z “ a (rpta 3a5 20

6. Calcular el flujo del campo vectorial Fpx, y, zq “ p4xz, xyz, 3zq a través de la superficie lateral del cono S : x2 ` y 2 “ z 2 , p0 ď z ď 4q (rpta 128π a) Directamente b) Aplicando el teorema de Gauss. ť 7. Sea Fpx, y, zq “ py, z, xzq. Evaluar BΩ F, donde Ω es el sólido x2 ` y 2 ď z ď 1 (rpta 0 8. Determinar el flujo del campo vectorial Fpx, y, zq “ px3 ` 2yz, y 3 ´ 2xz, x2 ` y 2 q. a través e la mitad superior del elipsoide 4x2 ` 4y 2 ` z 2 “ 4 (rpta. 21π ) 10 Matemática III Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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Teorema 1.7.2. Sea f px, yq una función escalar continua en una región regular D y sea ApDq el área de dicha región. Entonces existe un punto pxc , yc q en D tal que ij f px, yqdA “ f pxc , yc qApDq D

donde f pxc , yc q es conocido como el valor medio de f px, yq en D. Interpretación física de la divergencia En un punto P , la divergencia divFpP q es la tasa de flujo neto hacia el exterior en P por unidad de volumen. En efecto, sea Ωρ una bola en R2 centrada en P , de radio ρ. El teorema proporciona Q P Ωρ tal que ¡

ij

divFdV “ divF|Ωρ |

F ¨ ndS “ BΩρ

Ωρ

donde n es el vector normal unitario exterior a BΩρ . Sean f y g dos campos escalares de clase C 1 C 2 , respectivamente, en un abierto no vacío U Ď R3 . Consideremos un abierto Ω Ď R3 cuya superficie BΩ es cerrada, regular por pedazos y orientada según la normal exterior n. Supongamos que Ω Ď U. Entonces ¡

ij f 4 gdV “

Ω

donde

Bg Bn

Bg f dA ´ Bn

¡ ∇f ¨ ∇gdV Ω

BΩ

“ ∇g ¨ n denota la derivada normal de g

Si F “ f ∇g divF “ divpf ∇gq “ f 4 g ` ∇f ¨ ∇g además F¨n“f

Bg Bn

Sean f y g dos campos escalares de clase C 1 C 2 , respectivamente, en un abierto no vacío U Ď R3 . Consideremos un abierto Ω Ď R3 cuya superficie BΩ es cerrada, regular por pedazos y orientada según la normal exterior n. Entonces ¡

ij pf 4 g ´ g 4 f qdV “

Ω

f BΩ

? xps vecesq

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Bf Bg dA ´ g dA Bn Bn (1.3)

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Bibliografía [1] Hasser y Lasalle Análisis Matemático Vol-I, Vol-2. Editorial Trillas 1o edición México 1979 [2] Luis Leithold. El Cálculo. Oxford University Press Máxico S.A. de C.V. [3] Marsden J. y A. Tromba. Cálculo Vectorial Editorial Pearson Educación [4] Claudio Pita Ruiz. Cálculo Vectorial, Edición Prentice (1995). [5] Sherman K. Stein. Cálculo con Geometría Analítica, Edición Prentice (1992).

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