Terminada Guia 7 Mmm
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- Words: 2,354
- Pages: 9
SOLUCION GUIA 7
Calculo diferencial función es de una variable PROBLEMAS Evaluar la primera derivada con respecto a x para cada una de las funciones siguientes y = f(x) 1.
y = 2x³ + 4x² - 5x + 8 Y = 6x² + 8x - 5
2.
y = -5 + 3x3 Y = -7x³ 3 -
2 Y = -21x² 62 3.
x² - 7x³
2 x² + 3x – 5 x+3
y = (2x² + 4x – 5)⁶ Y = 6 (2x² + 4x – 5)⁵ (4x + 4) Y = 24x + 24 (2x² + 4x – 5)⁵
4. y =
1 52 1 32 x + x 5 3 3
1
5 1 2 3 1 2 y = x + x 25 23 3
1
5x 2 3x 2 y= + 10 6
(
5. y = 1 − x
y=
(
1 2 2
)
1 1− x2 2
)
−1 2
(−2 x)
1 y = −6 2 x 4 3 y =2 + 2 − 3 x x x −2 y = x(=0)−−x6(1) x 2 ( 0) − 4( 2 x ) x 3 ( 0) − 3 3 x 2 6. y =2 + − 2 2 x2 x2 x3
( )
y=
6 − 8x − 9 x 2 + 4 − 9 x2 x x
( )
( )
7.
y = (x³ - 3x)⁴ Y = 4 (x³ - 3x)³ (3x² - 3) Y = 12x² - 12 (x³ - 3x)³
8.
y = x + x −1
(
)
2
( ) y = 2( x + x )(1 + x ) y = 2 + 2x ( x + x ) y = 2 x + x −1 −1
−2
−2
−1
9.
y = (x – 1)³ (x + 2)⁴ Y = (x – 1)³ 4(x+2)³ (1) + (x + 2)⁴ 3(x – 1)² (1) Y = (x – 1)³ 4(x+2)³ + (x + 2)⁴ 3(x – 1)² Y = (x – 1)³ (4x + 8)³ + (x + 2)⁴ (3x – 3)²
10.
y = (x + 2)² (2 – x)³ Y = (x + 2)² 3(2 – x)² (-1) + (2 – x)³ 2(x + 2) (1) Y = (x + 2)² -3(2 – x)² + (2 – x)³ 2(x + 2) Y = (x + 2)² (-6 + 3x)² + (2 – x)³ (2x + 4)
11.
y = (x + 1)² (x² + 1)-3 Y = (x + 1)² -3(x² + 1)-4 (2x) + (x² + 1)-3 2(x + 1) (1) Y = (x + 1)² -6x(x² + 1)-4 + (x² + 1)-3 2(x + 1) Y = (x + 1)² (-6x³ + 1) -4 + (x² + 1)-3 (2x + 2)
y=
12.
y=
2x + 1 x 2 −1 x 2 − 1( 2 ) − 2 x + 1( 2 x )
(x
2
)
−1
2
y=
2x 2 − 2 − 4x 2 + 2x x4 − 2
y=
2x 2 − 2 + 2x x4 − 2
13.
y=
y=
y=
14.
x x +1 2
x 2 + 1(1) − x( 2 x )
(x
2
)
−1
2
x 2 + 1 − 2x3 x4 − 2
x2 +1 y= 4 x −2 2 x +1 y = x −1 x + 1 x − 1(1) − x + 1(1) y = 2 ( x − 1) 2 x − 1 x + 1 x − 1 − x + 1 y = 2 2 x − 1 x − 2 x + 1 0 y = 2 2 x − 1 x − 2 y=
2x + 2 x −1
15.
y = (x² - x)-2 Y = -2(x² - x) (2x -1) Y = -4x +2 (x² - x)
16.
y = x² (x + 1)-1
Y = x² - 1(x + 1)-2 (1) + (x + 1) -1 (2x) Y = x² (-x -1) -2 + (2x² + 2x) -1 17.
y=
y=
1
(x
2
−9
)
(x
2
−9
) ( 0) − 1 12 ( x
1
1
2
2
(
x2 − 9
(
)
1
−9
2
2
) ( 2 x ) −1
2
2
)
−1 − 1 x x 2 − 9 2 y= 2 x −9
(
18.
)
− x x2 − 9 y= x2 − 9 1 y= 1 16 − x 2 2
(
2
)
(16 − x ) ( 0) − 1 12 (16 − x ) ( 2 x ) 1
2
y=
−1
2
2
(
)
16 − x 2
(
− 1 x 16 − x 2 y= 16 − x 2
(
x − x2 − x 16 1 yy == ( x +161) −2 x 2
)
)
−1
−1
2
1
2
y=
y=
y=
2
2
2
( x + 1) 2 (1) − x 1 ( x + 1) 2 (1) −1
1
19.
−1
2
[( x + 1) ] 1
2
2
( x + 1) 12 − x 1 ( x + 1) −12 2 x +1
( x + 1)
1
2
−−x
2 x +1
( x + 1)
−1
2
20.
(x y=
2
+2 x
)
1
2
(
)
(
x 1 x 2 + 2 −12 ( 2 x ) − x 2 + 2 2 y= 2 ( x)
(
x x x 2 + 2 y=
y=
(
x2 x2 + 2
(
y = x2 + 2
y=
21. y=
y=
y=
)
−1
2x
)
)
−1
)
1
2
(
− x2 + 2
x2
(
− x2 + 2
)
1
)
1
+10
)
(x
5
+10
) ( 2) − 2 x 18 ( x
1 8
1 8
(
x 5 +10 + 20
)
1 8
5
+ 20
)
1 8
)
1 8
5
−10
2
) (5 x ) −1
(
4 − 2 x 5 x x 5 −10 8
(x
(2 x
2
2
(x
5
2
2
5
(2 x
1
x2
−1
2
(
− x2 + 2
2
) (1)
5
+10
5 −10 x
(x
5
+10
)
8
)
1
4
1
)
4
(x
5
−10
)
−7
8
4
2
−1 8
22.
y = (x + 2)³ (x² + 1)-1 Y = (x + 2)³ - 1(x² + 1)-2 (2x) + (x² + 1)-1 3(x + 2)² (1) Y = (x + 2)³ - 2x (2x³ + 2x)-2 + (x² + 1)-1 3(x + 2)² Y = (x + 2)³ (-4x⁴ - 4x²)-2 + (x² + 1)-1 (3x + 6)² 10
23.
x 2 + 10 y = x
(
)
x 2 + 10 y = 10 x
9
x( 2 x ) − x 2 + 10 (1) ( x) 2
x 2 + 10 y = 10 x
9
2 x 2 − x 2 + 10 2 x
x 2 + 10 y = 10 x
9
x 2 + 10 2 x
9
x 2 + 10 10 y = 10 x 24.
3 9 y= x 2 2+3 10 3 4 y = 100 x − x
(
y=
(x
)
3
−4
) ( 0) − 3 2 3 ( x 2
3
(
x3 − 4
(
)
)
−1 2 3 6 x x 3 − 4 3 3 y=
(x
y=
18 x 2
3
−4
(x 3
(x
3
3
−4
)
4
3
−4
)
4
3
)
−1
3
2
3
3
−4
2
) (3x ) −1
3
2
25.
(x y=
2
)
+1
1
( 2 x + 4)
2
1
4
( 2 x + 4) 14 12 ( x 2 + 1) 2 ( 2 x ) − ( x 2 + 1) −1
y=
y=
y= 26.
[( 2 x + 4) ] 1
( 2 x + 4)
1
( 2 x + 4)
1
y = ( x + 2)
−3
y = ( x + 2)
−3
(
4
4
(
)
(
)
1
2
( 14 ( 2 x + 4)
2
4
(
x x 2 + 1 −1 2 − x 2 + 1 12 2 ( 2 x + 4 ) −3 4 4 2 ( 2 x + 4)
(x
+x
3
)
2
(
)
− x +1 2
1
2
( 2 x + 4) 2
4x 8 + 4 4
−3
2
( 3x
2
( 6 x ) − (3x 2 + 1)(− 3 2 ( x + 2) 2 (1) )
y = 6 x 2 + 12 x
)
1
+1
2
)
−3
2
)(
(
− 3x 2 + 1 − 3
( x + 2) 2
−3
2
28.
y = x6 + x
+ 6x
y = 6x5 + 4 x 3 29.
1
3
1
2
+6 x 2
Si u = x²
du dy
X=
4
)
y = x³(x² + 3)-1 Y = x³ - 1(x+ 3)-2 (2x) + (x² + 3)-1 (3x²) Y = x³ - 2x(x+ 3)-2 + (3x⁴ + 9x) -1 Y = x³ (-2x² + 6x) -2 + (3x⁴ + 9x) -1 3
)
−3
27.
4
−3
−1
y
y ( y + 1) 2
=
2
y ( y + 1)
x =2
y ( y + 1) 2
2
du dy
encuentre
4
( 2) )
y ( y + 1) 2 (1) − 1( 2( y + 1)(1) ) du = 2 2 2 dy ( y + 1 ) ( y + 1 )
[
]
y ( y + 1) 2 − 1( 2( y + 1) ) du = 2 2 4 dy ( ) ( ) y + 1 y + 1 y ( y + 1) 2 − 2( y + 1) du = 2 2 dy ( y + 1) 4 ( y + 1) y ( y + 1) 2 − 2 y + 2 du = 2 2 4 dy ( ) ( ) y + 1 y + 1 Si y = x
30.
y
x+2
x = u³ - 5
dy encuentre du
u3 − 5 dy = y= 3 du u −5+ 2
( )
( )
dy u 3 − 5 + 2 3u 2 − u 3 − 5 3u 2 = 2 du u3 − 5 + 2
(
)
dy 3u 2 − 15u 2 + 6u 2 − 3u 2 − 15u 2 = 2 du u3 − 5 + 2
(
)
dy − 24u 2 = du u 3 − 3 2
(
31.
)
Si u = y-3
du = (x² + 2x) -3 dx du dx
y
y = x² + 2x encuentredu
dx
= -3(x² + 2x)-4 (2x + 2)
du = -6x + 6 (x² + 2x)-4 dx 32.
Si x = y³ + 2y – 1 y
y =u
−1
encuentre
2
3
−1 −1 x = u 2 + 2u 2 − 1
2 −1 1 −3 x = 3 u 2 + 2u 2 2
x= 33.
−3 − 3 −3 2 −12 2 u u + u 2 2
Si y =u
(
2
y
)
u = x² + 5
dy dx
encuentre
−1 dy = x2 + 5 2 dx 3 u 2 − 5u − 1 dx = 2 du u − 5u − 7 −3 dy − 1 = x2 + 5 2 ( 2x) 2 dx dx 3u 2 − 15u − 1 = 2 du u − 5u − 7 −3 dy = −x x2 + 5 2 dx dx u 2 − 5u + 7 ( 6u − 15) − 3u 2 − 15u − 1 ( 2u − 5) = 2 2 du u − 5 − 7 −3 dy = − x3 + 5 2 dx 2 3 y3 − 1 2 dx30u 2 + 75u − 2u + 5 dx + 42 6u 3 − 15u 2 − Si x= =6u 15u − 30uy + 75u y = uu²− 105 - 5u − encuentre 2 y +1 du du u2 − 5 − 7
(
( (
34.
−1
( (
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
(
(
)
)
(
) (
)
dx 6u 3 − 15u 2 − 30u 2 + 75u + 42u − 105 − 6u 3 + 15u 2 + 30u 2 − 75u + 2u − 5 = du u 4 + 25u 2 + 49 dx 44u − 110 = 4 du u + 25u 2 + 49
)
Calculo diferencial función es de una variable PROBLEMAS Evaluar la primera derivada con respecto a x para cada una de las funciones siguientes y = f(x) 1.
y = 2x³ + 4x² - 5x + 8 Y = 6x² + 8x - 5
2.
y = -5 + 3x3 Y = -7x³ 3 -
2 Y = -21x² 62 3.
x² - 7x³
2 x² + 3x – 5 x+3
y = (2x² + 4x – 5)⁶ Y = 6 (2x² + 4x – 5)⁵ (4x + 4) Y = 24x + 24 (2x² + 4x – 5)⁵
4. y =
1 52 1 32 x + x 5 3 3
1
5 1 2 3 1 2 y = x + x 25 23 3
1
5x 2 3x 2 y= + 10 6
(
5. y = 1 − x
y=
(
1 2 2
)
1 1− x2 2
)
−1 2
(−2 x)
1 y = −6 2 x 4 3 y =2 + 2 − 3 x x x −2 y = x(=0)−−x6(1) x 2 ( 0) − 4( 2 x ) x 3 ( 0) − 3 3 x 2 6. y =2 + − 2 2 x2 x2 x3
( )
y=
6 − 8x − 9 x 2 + 4 − 9 x2 x x
( )
( )
7.
y = (x³ - 3x)⁴ Y = 4 (x³ - 3x)³ (3x² - 3) Y = 12x² - 12 (x³ - 3x)³
8.
y = x + x −1
(
)
2
( ) y = 2( x + x )(1 + x ) y = 2 + 2x ( x + x ) y = 2 x + x −1 −1
−2
−2
−1
9.
y = (x – 1)³ (x + 2)⁴ Y = (x – 1)³ 4(x+2)³ (1) + (x + 2)⁴ 3(x – 1)² (1) Y = (x – 1)³ 4(x+2)³ + (x + 2)⁴ 3(x – 1)² Y = (x – 1)³ (4x + 8)³ + (x + 2)⁴ (3x – 3)²
10.
y = (x + 2)² (2 – x)³ Y = (x + 2)² 3(2 – x)² (-1) + (2 – x)³ 2(x + 2) (1) Y = (x + 2)² -3(2 – x)² + (2 – x)³ 2(x + 2) Y = (x + 2)² (-6 + 3x)² + (2 – x)³ (2x + 4)
11.
y = (x + 1)² (x² + 1)-3 Y = (x + 1)² -3(x² + 1)-4 (2x) + (x² + 1)-3 2(x + 1) (1) Y = (x + 1)² -6x(x² + 1)-4 + (x² + 1)-3 2(x + 1) Y = (x + 1)² (-6x³ + 1) -4 + (x² + 1)-3 (2x + 2)
y=
12.
y=
2x + 1 x 2 −1 x 2 − 1( 2 ) − 2 x + 1( 2 x )
(x
2
)
−1
2
y=
2x 2 − 2 − 4x 2 + 2x x4 − 2
y=
2x 2 − 2 + 2x x4 − 2
13.
y=
y=
y=
14.
x x +1 2
x 2 + 1(1) − x( 2 x )
(x
2
)
−1
2
x 2 + 1 − 2x3 x4 − 2
x2 +1 y= 4 x −2 2 x +1 y = x −1 x + 1 x − 1(1) − x + 1(1) y = 2 ( x − 1) 2 x − 1 x + 1 x − 1 − x + 1 y = 2 2 x − 1 x − 2 x + 1 0 y = 2 2 x − 1 x − 2 y=
2x + 2 x −1
15.
y = (x² - x)-2 Y = -2(x² - x) (2x -1) Y = -4x +2 (x² - x)
16.
y = x² (x + 1)-1
Y = x² - 1(x + 1)-2 (1) + (x + 1) -1 (2x) Y = x² (-x -1) -2 + (2x² + 2x) -1 17.
y=
y=
1
(x
2
−9
)
(x
2
−9
) ( 0) − 1 12 ( x
1
1
2
2
(
x2 − 9
(
)
1
−9
2
2
) ( 2 x ) −1
2
2
)
−1 − 1 x x 2 − 9 2 y= 2 x −9
(
18.
)
− x x2 − 9 y= x2 − 9 1 y= 1 16 − x 2 2
(
2
)
(16 − x ) ( 0) − 1 12 (16 − x ) ( 2 x ) 1
2
y=
−1
2
2
(
)
16 − x 2
(
− 1 x 16 − x 2 y= 16 − x 2
(
x − x2 − x 16 1 yy == ( x +161) −2 x 2
)
)
−1
−1
2
1
2
y=
y=
y=
2
2
2
( x + 1) 2 (1) − x 1 ( x + 1) 2 (1) −1
1
19.
−1
2
[( x + 1) ] 1
2
2
( x + 1) 12 − x 1 ( x + 1) −12 2 x +1
( x + 1)
1
2
−−x
2 x +1
( x + 1)
−1
2
20.
(x y=
2
+2 x
)
1
2
(
)
(
x 1 x 2 + 2 −12 ( 2 x ) − x 2 + 2 2 y= 2 ( x)
(
x x x 2 + 2 y=
y=
(
x2 x2 + 2
(
y = x2 + 2
y=
21. y=
y=
y=
)
−1
2x
)
)
−1
)
1
2
(
− x2 + 2
x2
(
− x2 + 2
)
1
)
1
+10
)
(x
5
+10
) ( 2) − 2 x 18 ( x
1 8
1 8
(
x 5 +10 + 20
)
1 8
5
+ 20
)
1 8
)
1 8
5
−10
2
) (5 x ) −1
(
4 − 2 x 5 x x 5 −10 8
(x
(2 x
2
2
(x
5
2
2
5
(2 x
1
x2
−1
2
(
− x2 + 2
2
) (1)
5
+10
5 −10 x
(x
5
+10
)
8
)
1
4
1
)
4
(x
5
−10
)
−7
8
4
2
−1 8
22.
y = (x + 2)³ (x² + 1)-1 Y = (x + 2)³ - 1(x² + 1)-2 (2x) + (x² + 1)-1 3(x + 2)² (1) Y = (x + 2)³ - 2x (2x³ + 2x)-2 + (x² + 1)-1 3(x + 2)² Y = (x + 2)³ (-4x⁴ - 4x²)-2 + (x² + 1)-1 (3x + 6)² 10
23.
x 2 + 10 y = x
(
)
x 2 + 10 y = 10 x
9
x( 2 x ) − x 2 + 10 (1) ( x) 2
x 2 + 10 y = 10 x
9
2 x 2 − x 2 + 10 2 x
x 2 + 10 y = 10 x
9
x 2 + 10 2 x
9
x 2 + 10 10 y = 10 x 24.
3 9 y= x 2 2+3 10 3 4 y = 100 x − x
(
y=
(x
)
3
−4
) ( 0) − 3 2 3 ( x 2
3
(
x3 − 4
(
)
)
−1 2 3 6 x x 3 − 4 3 3 y=
(x
y=
18 x 2
3
−4
(x 3
(x
3
3
−4
)
4
3
−4
)
4
3
)
−1
3
2
3
3
−4
2
) (3x ) −1
3
2
25.
(x y=
2
)
+1
1
( 2 x + 4)
2
1
4
( 2 x + 4) 14 12 ( x 2 + 1) 2 ( 2 x ) − ( x 2 + 1) −1
y=
y=
y= 26.
[( 2 x + 4) ] 1
( 2 x + 4)
1
( 2 x + 4)
1
y = ( x + 2)
−3
y = ( x + 2)
−3
(
4
4
(
)
(
)
1
2
( 14 ( 2 x + 4)
2
4
(
x x 2 + 1 −1 2 − x 2 + 1 12 2 ( 2 x + 4 ) −3 4 4 2 ( 2 x + 4)
(x
+x
3
)
2
(
)
− x +1 2
1
2
( 2 x + 4) 2
4x 8 + 4 4
−3
2
( 3x
2
( 6 x ) − (3x 2 + 1)(− 3 2 ( x + 2) 2 (1) )
y = 6 x 2 + 12 x
)
1
+1
2
)
−3
2
)(
(
− 3x 2 + 1 − 3
( x + 2) 2
−3
2
28.
y = x6 + x
+ 6x
y = 6x5 + 4 x 3 29.
1
3
1
2
+6 x 2
Si u = x²
du dy
X=
4
)
y = x³(x² + 3)-1 Y = x³ - 1(x+ 3)-2 (2x) + (x² + 3)-1 (3x²) Y = x³ - 2x(x+ 3)-2 + (3x⁴ + 9x) -1 Y = x³ (-2x² + 6x) -2 + (3x⁴ + 9x) -1 3
)
−3
27.
4
−3
−1
y
y ( y + 1) 2
=
2
y ( y + 1)
x =2
y ( y + 1) 2
2
du dy
encuentre
4
( 2) )
y ( y + 1) 2 (1) − 1( 2( y + 1)(1) ) du = 2 2 2 dy ( y + 1 ) ( y + 1 )
[
]
y ( y + 1) 2 − 1( 2( y + 1) ) du = 2 2 4 dy ( ) ( ) y + 1 y + 1 y ( y + 1) 2 − 2( y + 1) du = 2 2 dy ( y + 1) 4 ( y + 1) y ( y + 1) 2 − 2 y + 2 du = 2 2 4 dy ( ) ( ) y + 1 y + 1 Si y = x
30.
y
x+2
x = u³ - 5
dy encuentre du
u3 − 5 dy = y= 3 du u −5+ 2
( )
( )
dy u 3 − 5 + 2 3u 2 − u 3 − 5 3u 2 = 2 du u3 − 5 + 2
(
)
dy 3u 2 − 15u 2 + 6u 2 − 3u 2 − 15u 2 = 2 du u3 − 5 + 2
(
)
dy − 24u 2 = du u 3 − 3 2
(
31.
)
Si u = y-3
du = (x² + 2x) -3 dx du dx
y
y = x² + 2x encuentredu
dx
= -3(x² + 2x)-4 (2x + 2)
du = -6x + 6 (x² + 2x)-4 dx 32.
Si x = y³ + 2y – 1 y
y =u
−1
encuentre
2
3
−1 −1 x = u 2 + 2u 2 − 1
2 −1 1 −3 x = 3 u 2 + 2u 2 2
x= 33.
−3 − 3 −3 2 −12 2 u u + u 2 2
Si y =u
(
2
y
)
u = x² + 5
dy dx
encuentre
−1 dy = x2 + 5 2 dx 3 u 2 − 5u − 1 dx = 2 du u − 5u − 7 −3 dy − 1 = x2 + 5 2 ( 2x) 2 dx dx 3u 2 − 15u − 1 = 2 du u − 5u − 7 −3 dy = −x x2 + 5 2 dx dx u 2 − 5u + 7 ( 6u − 15) − 3u 2 − 15u − 1 ( 2u − 5) = 2 2 du u − 5 − 7 −3 dy = − x3 + 5 2 dx 2 3 y3 − 1 2 dx30u 2 + 75u − 2u + 5 dx + 42 6u 3 − 15u 2 − Si x= =6u 15u − 30uy + 75u y = uu²− 105 - 5u − encuentre 2 y +1 du du u2 − 5 − 7
(
( (
34.
−1
( (
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
(
(
)
)
(
) (
)
dx 6u 3 − 15u 2 − 30u 2 + 75u + 42u − 105 − 6u 3 + 15u 2 + 30u 2 − 75u + 2u − 5 = du u 4 + 25u 2 + 49 dx 44u − 110 = 4 du u + 25u 2 + 49
)
