Terjemahan_chantika_180312613038 - Copy.docx

Nama : Chantika Putri Ana/180312613038

Lingkaran dan Relasi Segmen dan Sudut 6.1 KUNCI KONSEP

Lingkaran Lingkaran kongruen Lingkaran sepusat Pusat Jari-jari

Diameter Tali Busur Setengah Lingkaran Busur Busur Mayor

Busur Minor Perpotongan Busur Busur Kongruen Sudut Pusat Sudut Dalam

Dalam bab ini, kami akan memperluas terminologi untuk lingkaran yang ditemukan di Bagian 1.2. Kami juga memperkenalkan beberapa metode mengukur busur dan sudut dan mengembangkan banyak sifat dari lingkaran.

Definisi Sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik-titik pada sebuah bidang yang berada pada jarak tetap dari titik tertentu yang dikenal sebagai pusat lingkaran.

Lingkaran dinamai dengan titik pusatnya. Dalam Gambar 6.1, titik P adalah pusat lingkaran. Simbol untuk lingkaran adalah ⊙ , jadi gambar dalam Gambar 6.1 adalah ⊙ P. Titik-titik A,B,C dan D adalah titik dari (atau pada) lingkaran. Titik P (pusat) dan R berada di bagian dalam lingkaran P, titik G dan H berada dibagian luar lingkaran. ̅̅̅̅ , adalah jari-jari pada lingkaran. JariDalam ⊙ Q pada gambar 6.2, 𝑆𝑄 jari adalah suatu segmen yang melalui pusat lingkaran ke suatu titik pada ̅̅̅̅ , 𝑇𝑄 ̅̅̅̅, 𝑉𝑄 ̅̅̅̅ dan 𝑊𝑄 ̅̅̅̅̅, adalah jari-jari (bentuk jamak dari jari-jari) lingkaran. 𝑆𝑄 dari ⊙ Q. Menurut definisi, SQ = TQ = VQ = WQ; lebih umum, pernyataan berikut adalah suatu konsekuensi dari definisi pada suatu lingkaran.

Gambar 6.1

Semua jari jari pada sebuah lingkaran adalah kongruen

Sebuah segmen garis (seperti ̅̅̅̅̅ 𝑆𝑊 pada gambar 6.2) yang melalui dua titik pada sebuah lingkaran adalah tali busur dari lingkaran. Diameter pada sebuah lingkaran adalah sebuah tali busur yang memuat pusat dari lingkaran. Jika T-Q-W dalam gambar 6.2, maka ̅̅̅̅̅ 𝑇𝑊 adalah sebuah diameter pada ⊙Q Gambar 6.2 Definisi Lingkaran yang kongruen adalah dua atau lebih lingkaran yang mempunyai jari-jari yang sama.

Dalam gambar 6.3 halaman 269, lingkaran P dan Q kongruen karena jari-jarinya memiliki panjang yang sama. Kita dapat menggeser ⊙ P ke kanan untuk berhimpit dengan ⊙ Q

Gambar 6.3

Definisi Lingkaran sepusat adalah lingkaran-lingkaran sebidang yang memiliki pusat yang sama.

Gambar 6.4

Lingkaran sepusat dalam gambar 6.4 memiliki pusat O yang sama. Dalam ⊙ P pada gambar 6.5, bagian dari lingkaran yang ditunjukkan dengan warna merah dari titik A ke titik B adalah busur AB, disimbolkan dengan AB. Jika ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 adalah sebuah diameter, maka ABC (tiga huruf digunakan untuk menjelaskan) adalah sebuah setengah lingkaran. Dalam gambar 6.5, sebuah busur minor seperti AB adalah bagian dari setengah lingkaran; sebuah busur mayor seperti ABCD (juga dinotasikan oleh ABD atau ACD ) lebih dari setengah lingkaran tetapi kurang dari lingkaran penuh. Definisi Sudut Pusat dari suatu lingkaran adalah suatu sudut yang titik sudutnya adalah pusat dari lingkaran dan yang sisinya merupakan jari -jari lingkaran.

Dalam gambar 6.6
Gambar 6.5

Gambar 6.6

Contoh 1

Dalam gambar 6.6, ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑃 dan ̅̅̅̅ 𝑁𝑄 berpotongan di O, pusat lingkaran. bernama : a. b. c. d. e. f. g. h. i.

Semua empat jari-jari Keduanya Diameter Semua empat tali busur Satu sudut pusat Satu busur minor Satu setengah lingkaran Satu busur mayor Busur yang dibatasi oleh < MON Sudut pusat yang memotong NP

Solusi a. b. c. d. e. f. g. h. i.

̅̅̅̅̅ , 𝑂𝑄 ̅̅̅̅ , 𝑂𝑃 ̅̅̅̅ dan 𝑂𝑁 ̅̅̅̅ 𝑂𝑀 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ dan 𝑄𝑁 𝑀𝑃 ̅̅̅̅, 𝑄𝑃 ̅̅̅̅, 𝑁𝑃 ̅̅̅̅̅ , 𝑄𝑁 ̅̅̅̅ 𝑀𝑃 < QOP (jawaban lain adalah mungkin) NP (jawaban lain adalah mungkin) MQP (jawaban lain adalah mungkin) MQN (Dapat diberi nama MQPN; jawaban lain adalah mungkin ) MN (terletak dibagian dalam ∠<MON dan termasuk titik M dan N)
Dalam sebuah lingkaran , panjang diameter adalah dua kali panjang suatu jari-jari; disimbolkan, d = 2r.

Contoh 2

̅̅̅̅ 𝑄𝑁 adalah suatu diameter pada ⊙O dalam gambar 6.6 dan PN = ON = 12. Temukan panjang tali busur ̅̅̅̅ 𝑄𝑃. Solusi : karena PN = ON dan ON = OP, ∆NOP adalah sama sisi. Maka m<2 = m
Gambar 6.7

Diberikan

̅̅̅̅ ┴ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dalam ⊙O (lihat gambar 6.7) : 𝑂𝐷

Buktikan

: ̅̅̅̅ 𝑂𝐷 membagi dua ̅̅̅̅ 𝐴𝐵

̅̅̅̅̅ Sekarang ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Bukti : ̅̅̅̅ 𝑂𝐷 ┴ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 dalam ⊙O. Gambar jari-jari ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 𝑑𝑎𝑛𝑂𝐵. 𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐵 karena semua jari-jari pada lingkaran adalah kongruen. Karena < 1 dan <2 adalah sudut ̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ , kita lihat bahwa ∆OCA ≅ ∆OCB oleh HL. Maka ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ oleh siku-siku dan 𝑂𝐶 𝐴𝐶 ≅ 𝐶𝐵 CPCTC, jadi ̅̅̅̅ 𝑂𝐷 membagi dua ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 . SUDUT DAN HUBUNGAN BUSUR DALAM LINGKARAN Pada gambar 6.8, jumlah pengukuran sudut tentang titik O (sudut ditunjukkan tegak lurus oleh ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 𝑑𝑎𝑛 ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 ) adalah 360°. Demikian pula, lingkaran dapat dibagi menjadi 360 busur yang sama, yang masing-masing berukuran 1° dari ukuran busur; yaitu masing-masing busur dibatasi oleh sudut pusat berukuran 1°. Deskripsi kami tentang ukuran busur mengarah ke postulat berikut. Postulat 16 (Postulat Sudut Pusat) Pada lingkaran, pengukuran derajad pada sudut pusat sama dengan mengukur derajad pada busur yang dibatasi. Gambar 6.8

Jika mAB = 90° dalam gambar 6.8, maka m
Jumlah ukuran pada busur bertalian yang membentuk suatu lingkaran adalah 360°

Dalam ⊙Y (gambar 6.9 (a)), jika m<XYZ = 76 ° dengan Postulat Sudut Pusat. Jika dua busur memiliki ukuran derajad yang sama (gambar 6.9(b) dan (c)) tetapi bagian dari dua lingkaran dengan jari-jari tidak sama, maka busur ini tidak akan berhimpit. Pengamatan ini mengarah pada definisi berikut.

Gambar 6.9

Definisi Pada lingkaran atau lingkaran kongruen, busur kongruen adalah busur dengan ukuran yang sama.

Untuk lebih memperjelas definisi busur kongruen, pertimbangkan lingkaran konsentris (memiliki pusat yang sama) pada Gambar 6.10. di sini ukuran derajad < AOB pada lingkaran kecil adalah sama seperti ukuran derajad pada
Gambar 6.10

Contoh 3

Dalam ⊙O pada gambar 6.11. ̅̅̅̅ 𝑂𝐸 membagi dua
mAB mBC mBD m
Gambar 6.11

Solusi : a. b. c. d. e.

105° 70° 105° 150°, dari 360-(105+70+35) 75° karena sudut pusat yang bersesuaian (
Postulat 17 (Postulat Penjumlahan Busur ) Jika AB dan BC memotong hanya pada titik B, maka mAB + mBC = mABC

Ketika mAB + mBC = mABC seperti pada gambar 6.12 (a), kita mengatakan bahwa titik B adalah diantara A dan C pada lingkaran O. Diberikan titik A, B dan C pada ⊙O seperti ditunjukkan dalam gambar 6.12(a), anggap ̅̅̅̅, dan 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ tergambar.hanya seperti m
Gambar 6.12

Postulat Penjumlahan Busur dapat dengan mudah diperluas hingga mencakup lebih dari dua busur. Dalam gambar 6.12(b), mRS + mST + mTQ = mRSTQ (atau mRQ karena RQ adalah sebuah busur minor ). Jika mRS = mST , maka titik S adalah titik tengah pada RT ; secara berurutan, RT dibagi dua sama besar di titik S. Dalam contoh 4, kita menggunakan fakta bahwa ukuran lingkaran penuh 360° Contoh 4

Pada Gambar 6.13, tentukan ukuran sudut yang dibentuk oleh tangan jam di 3:12 P.M. SOLUSI : Jarum menit bergerak selama 12 menit, yang mana adalah 12 60

atau

1 5

atau satu jam. Jadi, jarum menit menunjuk ke arah yang

ukuran sudutnya dari vertikal adalah

1 5

(360°) atau 72°. Tepat pukul 3

p.m., jarum jam akan membentuk sudut 90 ° dengan vertikal. Namun, 1

roda gigi di dalam jam juga memutar jarum jam melalui 5 pada busur 30° dari 3 menuju 4; yaitu, jarum jam bergerak ke yang lain

1 5

(30°)

atau 6° untuk membentuk sebuah sudut 96° dengan vertikal. Pada 3:12 P.M., sudut antara tangan harus berukuran 96° - 72° atau 24 °. Gambar 6.13