Terjemahan Fismat.docx

Membran melingkar (misalnya, drummer , gendang). Temukan frekuensi getaran karakteristik dan yang sesuai mode getaran normal. Ambil bidang (x, y) menjadi bidang dukungan melingkar dan ambil asal di pusatnya. Biarkan z (x, y, t) adalah perpindahan membran dari (x, y)pesawat. Maka z memenuhi persamaan gelombang kita memisahkan (6.1) ke dalam persamaan ruang (Helmholtz) dan persamaan waktu (lihat Masalah 3.10 dan Bagian 3). Disini kita mendapatkan dua persamaan Karena membran melingkar kita menulis ∇2 dalam koordinat kutub (lihat Bab 10, Bagian 9); maka persamaan F adalah (6.4) menjadi (5.5), dan persamaan yang dipisahkan dan solusinya hanya (5.6),(5.7), dan (5.8). Solusi dari persamaan waktu (6.3) adalah sinKvt dan cosKvt. Jadi solusi untuk z adalah z = R (r) Θ (θ) T (t), di mana R (r) = Jn (Kr), Θ (θ) ={sin nθ, cos nθ} dan T (t) = {sinKvt, cosKvt}. Sama seperti di Bagian 5, n harus berupa bilangan bulat. Untuk menemukan nilai yang mungkin dari K, kami menggunakan fakta bahwa membran terpasang ke frame yang kaku pada r = a, jadi kita harus memiliki z = 0 pada r = a untuk semua nilai θ dan t. Jadi Jn (Ka) = 0 sehingga nilai-nilai yang mungkin dari Ka adalah nol dari Jn. Seperti dalam Bagian 5, biarkan k = Ka, yaitu, K = k / a. Maka kemungkinan nilai k untuk setiap Jn adalah kmn,angka nol dari Jn. Kami sekarang dapat menulis solusi untuk z as Untuk perpindahan atau kecepatan awal membran yang diberikan, kita dapat menemukan z sebagai seri ganda seperti yang kami temukan (5.17) dalam masalah suhu silinder. Namun, di sini kita akan melakukan sesuatu yang berbeda, yaitu menyelidiki mode normal yang terpisah getaran dan frekuensinya. Ingat bahwa untuk string bergetar (Bagian 4), setiap n memberikan frekuensi yang berbeda dan mode getaran normal yang sesuai (Gambar 4.2). Frekuensi string adalah ν = nv / (2l); semua frekuensi kelipatan integral dari frekuensi ν1 = v / (2l) dari fundamental. Untuk yang melingkar membran, frekuensinya adalah [dari (6.6)] Nilai yang mungkin dari k adalah kmn nol fungsi Bessel. Setiap nilai dari kmn memberikan frekuensi νmn = kmnv / (2πa), jadi kita memiliki set karakteristik ganda yang tak terbatas frekuensi dan mode getaran normal yang sesuai. Semua frekuensi berbeda, dan bukan kelipatan integral dari fundamental untuk string. Inilah sebabnya mengapa drum kurang musik daripada biola. Dari sini kita menemukan beberapa nilai kmn (Soal 2) dan menemukan frekuensi sebagai (nonintegral) kelipatan dari fundamental (yang sesuai dengan k10, nol pertama J0). Mari kita membuat sketsa beberapa grafik (Gambar 6.1) dari getaran normal mode yang sesuai dengan yang ada pada Gambar 4.2 untuk string, dan tulis yang sesuai formula (eigenfunctions) untuk perpindahan z diberikan dalam (6.6). (Untuk kesederhanaan, kami telah menggunakan hanya cos nθ cos kvt / a solutions pada Gambar 6.1.) Pada dasarnya mode getaran yang sesuai dengan k10, membran bergetar secara keseluruhan. Dalam Mode k20, bergetar dalam dua bagian seperti yang ditunjukkan, bagian + bergetar sementara- bagian bergetar ke bawah, dan sebaliknya, dengan lingkaran di antara mereka saat istirahat. Kita dapat menunjukkan bahwa ada lingkaran seperti itu (disebut garis nodal) dan menemukan jari-jarinya. Sejak k20> k10, lingkaran r = ak10 / k20 adalah lingkaran dengan radius kurang dari a. Maka itu adalah lingkaran pada membran. Untuk nilai r ini, J0 (k20r / a) = J0 (k20k10 / k20)) = J0 (k10) = 0, jadi poin pada lingkaran ini adalah 0 . Untuk mode k11, cos θ = 0 ketika θ = ± π / 2 dan positif atau negatif seperti yang ditunjukkan. Kemudian kita bisa membuat sketsa yang normal mode (Masalah 1). Sulit secara eksperimental untuk mendapatkan mode normal murni dari objek yang bergetar. Namun, getaran yang rumit akan memiliki garis-garis nodal dari beberapa jenis dan itu mudah untuk mengamati ini. Pasir halus yang ditaburkan pada objek yang bergetar akan terkumpul di sepanjang garis nodal (di mana tidak ada getaran) sehingga Anda dapat melihatnya dengan jelas

— tetapi lihat Am. J. Phys. 72, 1345–1346, (2004). [Untuk pekerjaan eksperimental pada getaran membran melingkar, lihat Am. J. Phys. 35, 1029– 1031, (1967); Saya. J. Phys. 40, 186–188, (1972); Saya. J. Phys. 59, 376– 377, (1991). Juga lihat Soal 1 (b).]