Ter

Une demonstraton du théorème de d’Alembert T.E.R. Cau O. - Roux G.

Le but de ce T.E.R. est de montrer, en utilisant les groupes de Lie, que C est algébriquement clos. Autrement dit, que les polynômes irréductibles à coefficients réels sont nécessairement de degré 1 ou 2. On procède par l’absurde en supposant l’existence d’un polynôme réel irréductible de degré n ≥ 3. Plusieurs étapes s’en suivent : – R[X]/(P ) est un corps de dimension n = deg(P ), extension de R – les inversibles de ce corps forment un groupe de Lie pour la multiplication – on construit l’exponentielle d’un espace tangent dans ce groupe – on obtient un homéomorphisme d’un produit de cercles dans le groupe – on conclut grâce au π1 : ceci n’est possible que si n = 1 ou 2

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Etude du corps R[X]/(P )

R[X] est un anneau factoriel, et P est, par hypothèse, irréductible. L’idéal engendré par P est maximal et le quotient de R[X] par cet ideal est un corps. C’est une extension finie de R, de dimension n. R[X]/(P ) \ {0} muni de la multiplication est un goupe. De plus, la multiplication et l’inversion sont C ∞ . Pour montrer cela, on associe (de maniere bijective et linéaire) à chaque a ∈ R[X]/(P ) l’endomorphisme de R[X]/(P ) suivant : A : R[X]/(P ) → R[X]/(P ) x 7→ ax On note ψ : a 7→ A. ψ est un isomorphisme : ψ(ab) = ψ(a)ψ(b). Le produit matriciel étant C ∞ le produit de R[X]/(P ) l’est également. A est inversible d’inverse A−1 : x 7→ a−1 x. La formule exprimant A−1 à l’aide de la transposée de la comatrice montre que que l’inversion est C ∞ . R[X]/(P ) \ {0} est donc un groupe de Lie.

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Groupes de Lie

Définition 1 Soit G un groupe muni d’une structure de variété (C ∞ ). On dit que G est un groupe de Lie lorsque la multiplication et l’inversion sont C ∞. Exemples : – (Rm , +), S1 × S1 × · · · S1 – GLn (R) – Le groupe construit dans la premiere partie Remarques : – on peut affaiblir les conditions, on obtient des groupes de Lie C r – la condition sur l’inversion est superflue – tous les groupes de Lie sont en fait des sous groupes de GLn (R) Lemme 1 Soit G un groupe de Lie connexe, soit U un ouvert de G (U non vide) alors Gr(U ) = G. (On note Gr(U ) le groupe engendré par U ) Démonstration 1 On utilise la connexité. [ Gr(U ) = gU g∈Gr(U )

or l’application g: G→G u 7→ gu est un difféomorphisme donc Gr(U ) est un ouvert (réunion d’ouverts). On note H = Gr(U ). On considère la relation d’équivalence associée à H. On a [ G= aH a∈G?

où G? est une transverse de G pour la relation. Alors [ G\H = aH(ouvert) a∈G?

T

Hc

donc G \ Hest un ouvert d’où H est fermé. Finalement, H est un ouvert fermé non vide donc H = G. Ce lemme servira dans la suite pour montrer que l’exponentielle est surjective dans le cas de groupes abéliens connexes.

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Champ de vecteurs, flots

Définition 2 Soit M une variété, un champ de vecteurs est une application qui à chaque point m ∈ M associe un vecteur tangent en ce point. Dans le cas des groupes de Lie, il y a une notion un peu plus importante, celle de champ de vecteurs invariants à gauche. Explication : soit v un vecteur de l’espace tangent Te G ; on peut associer un champs de vecteur naturel en utilisant les translations, c’est-à-dire les applications g(u) := gu (translation a gauche) cette application est différentiable. La différentielle en e va de Te G vers Tg G ,on définit v(g) = (dg)(e)(v) ∈ Tg G. On a bien un champ de vecteurs, on dit que ce champ est invariant à gauche suivant la definition. Définition 3 Soit X un champ de vecteur G on dit que X est invariant a gauche quand X(g) = (dg)(e)(X(e)) c’est a dire que le vecteur X(g) est exactement le translaté du vecteur X(e) par g . Clairement on a équivalence entre champ invariant à gauche et vecteur de Te G. En effet, un champ de vecteur invariant à gauche est entierement déterminé par l’image de e. On a une troisième interprétation de Te G ; elle est donnée par le théoreme 1. Avant de l’énoncer, rappelons quelques definitions. Définition 4 Soit X un champ de vecteur sur G , une courbe integrale est une application φ de R dans Dif f eo(G) ou d’un intervalle I ⊂ R dans Dif f eo(G) ayant pour vitesse en l’instant t le vecteur X(φ(t)). On parle de maximale quand on ne peux pas pronloger φ Définition 5 On dit que φ ⊂ R de I dans Dif f eo(G) est un groupe a un paramètre quand φ(t + t0 ) = φ(t) ◦ φ(t0 ) Théorème 1 (admis) 1. Quelque soit g ∈ G, il existe une unique courbe intégrale maximale de X passant par g en t = 0, φX (0) = g X est dit complet quand φ est définie sur R 2. La courbe intégrale maximale β d’un champ de vecteurs X ∈ Te G invariant à gauche, et qui passe par le point e pout t = 0, est un sous-groupe à un paramètre d’un groupe de Lie. Ce théorème montre qu’on a équivalence entre groupe à un paramètre, vecteur tangent à l’origine et champ invariant à gauche.

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L’exponentielle

On va construire la fonction exponentielle. Soit X un vecteur de Te G, comme nous l’avons vu a l’étape 3 nous pouvons lui associer un groupe à un 3

paramètre, que l’on note exp(tX). exp(X) est donc par définition la valeur en t=1 de la courbe intégrale passant par e en t=0 ayant comme vitesse X en ce même point. Par définition, exp(X) est différentiable en l’origine et sa différentielle est l’identité car exp0 (tX)t=0 = X. Le théorème d’inversion local permet d’affirmer que l’exponentielle est un difféomorphisme local en e. On va maintenant étudier l’exponentielle dans le cas d’un groupe de lie commutatif. Cette étude va nous conduire a la classification des groupe de Lie commutatifs connexes et montrer le théoreme 2. Théorème 2 Tout groupe de Lie abélien connexe est isomorphe à S1 × S1 × · · · × S1 × Rm . Lemme 2 exp : Te G −→ G est un morphisme de groupe. Démonstration 2 Soit θ(t) = exp(tx)exp(ty), c’est un groupe à un paramètre. En effet, on a : 0

0

0

θ(t + t ) = exp((t + t )X)exp((t + t )Y ) 0

0

(1)

= exp(t X)exp(tY )exp(tX)exp(t Y ) 0

Montrons que θ (0) = X + Y . Soit : φ: G×G→G (u, v) 7→ uv On a : dφ(e,e) (u, v) = dφ(e,e) (u) + dφ(e,e) (v) = u + v. Le théorème d’unicité du groupe à un paramètre permet de conclure. Lemme 3 L’exponentielle est surjective Démonstration 3 Soit exp : Te G −→ G. On a dit que c’est un difféomorphisme à l’origine. De ce fait, exp(Te G) contient un ouvert de G. Par conséquent, exp(Te G) est un groupe qui contient le groupe engendré par un ouvert de G, c’est-à-dire qui contient G. On peut factoriser l’exponentielle : Te G/Ker(exp) ' G en tant que groupe de Lie. On obtient bien un ismorphisme car l’exponentielle, une fois passée au quotient, est un difféomorphisme local bijectif.

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Le noyau de l’exponentielle est discret. En effet, il suffit de montrer que 0 est isolé. Si 0 était un point d’accumulation, l’exponentielle ne pourrait pas être un difféomorphismme local en 0. D’autre part, un argument d’homologie montre que ce noyau ne peut pas être réduit à {0}. En effet, dans ce cas l’exponentielle serait un difféomorphisme de Rn dans Rn−1 , ce qui est impossible : Rn et Rn−1 n’ont pas le même type d’homologie. Lemme 4 Les sous-groupes discrets de Rn sont isomorphes à Zk On en deduit le théorème.

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Conclusion à l’aide du π1

R[X]/(P ) \ {0} se rétracte sur Sn−1 donc π1 (R[X]/(P ) \ {0}) = π1 (Sn−1 ). Or π1 (S1 × S1 × · · · × S1 × Rm ) ' π1 (Sn−1 ) si, et seulement si, n ≤ 2. En effet, 1 1 1 m k π1 (S | ×S × {z · · · × S} ×R ) ' Z kf ois

D’autre part,   {e} Z π1 (Sn−1 ) '  {e} On en déduit le théorème de d’Alembert.

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si n ≥ 3 si n = 2 si n = 1