Teorie Analiza Matematica Clasa A 11-a

S ¸ IRURI Definit¸ie: O funct¸ie a : N → R se nume¸ste ¸sir de numere reale. Valorile funct¸iei a(0), a(1), a(2), ..., a(n), ... se numesc termenii ¸sirului ¸si se noteaz˘a a0 , a1 , a2 , ..., an , ..., unde an = termenul de rang n al ¸sirului. Pentru a : N → R se mai folosesc notat¸iile: (an )n∈N sau (an )n≥0 sau (an ). Uneori, domeniul funct¸iei este N\{0, 1} sau N\{0, 1, 2}. ˆIn aceste cazuri, folosim pentru ¸sirul (an ) notat¸iile: (an )n≥1 sau (an )n≥2 . S¸irul, fiind o funct¸ie, este bine precizat dac˘a i se cunosc: domeniul, codomeniul ¸si legea de corespondent¸a˘. Deoarece domeniul este prin definit¸ie N, iar codomeniul este prin definit¸ie R, cˆand definim un ¸sir preciz˘am doar legea de corespondent¸˘a. Exist˘a mai multe moduri de a defini un ¸sir: I) prin ˆın¸siruirea termenilor lui 0, 1, 2, 3, ... → ¸sirul numerelor naturale 0, 2, 4, 6, ... → ¸sirul numerelor naturale pare 1 2 3 , , , ... 2 3 4 II) se precizeaz˘a legea de corespondent¸a˘ an = n, n ∈ N bn = 2n, n ∈ N n ,n ∈ N cn = n+1 III) prin relat¸ii de recurent¸˘a r1 ∈ R, a1 ∈ R, an+1 = an + r, (∀) n ≥ 1 → progresie aritmetic˘a de rat¸ie r q ∈ R, b1 ∈ R, bn+1 = q · bn , (∀) n ≥ 1 → progresie geometric˘a de rat¸ie q f0 = f1 = 1, fn+1 = fn + fn−1 , (∀) n ≥ 1 → ¸sirul lui Fibonacci Dac˘a formula de recurent¸˘a exprim˘a un termen (an+1 ) printr-o formul˘a ˆın raport de termenul precedent (an ) o numim recurent¸˘a de ordin I. Dac˘a formula de recurent¸˘a exprim˘a un termen (an+1 ) printr-o formul˘a ˆın raport de precedent¸ii 2 termeni (an , an−1 ) o numim recurent¸˘a de ordin II. ············

1

S ¸ IRURI MONOTONE Definit¸ia 1: a) Un ¸sir (an )n≥0 este monoton cresc˘ator dac˘a (∀) n ∈ N, an ≤ an+1 . b) Un ¸sir (an )n≥0 este monoton strict cresc˘ator dac˘a (∀) n ∈ N, an < an+1 . S¸irurile cresc˘atoare verific˘a: a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ ... S¸irurile strict cresc˘atoare verific˘a: a0 < a1 < a2 < a3 < ... < an < ...

Definit¸ia 2: a) Un ¸sir (an )n≥0 este monoton descresc˘ator dac˘a (∀) n ∈ N, an ≥ an+1 . b) Un ¸sir (an )n≥0 este monoton strict descresc˘ator dac˘a (∀) n ∈ N, an > an+1 . S¸irurile descresc˘atoare verific˘a: a0 ≥ a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an ≥ ... S¸irurile strict descresc˘atoare verific˘a: a0 > a1 > a2 > a3 > ... > an > ...

Definit¸ia 3: a) Un ¸sir este monoton dac˘a este monoton cresc˘ator sau monoton descresc˘ator. b) Un ¸sir este monoton strict dac˘a este monoton strict cresc˘ator sau monoton strict descresc˘ator. Este evident c˘a un ¸sir care este ˆın acela¸si timp monoton cresc˘ator ¸si monoton descresc˘ator este ¸sirul constant. Pentru a stabili monotonia unui ¸sir sunt (mai) cunoscute 3 metode: I) Metoda diferent¸ei: - se calculeaz˘a an+1 − an ¸si se compar˘a cu 0 II) Metoda raportului - se folose¸ste numai pentru ¸siruri cu termeni strict pozitivi an+1 si se compar˘a cu 1 - se calculeaz˘a an III) Induct¸ia matematic˘a

˘ S ¸ IRURI MARGINITE S¸irurile sunt funct¸ii a : N → R. Un ¸sir este m˘arginit dac˘a funct¸ia ¸sir este m˘arginit˘a.

Definit¸ie: (an )n≥0 este m˘arginit dac˘a (∃)m, M ∈ R astfel ˆıncˆat (∀)n ∈ N, m ≤ an ≤ M . m se nume¸ste minorant al ¸sirului. M se nume¸ste majorant al ¸sirului. m ¸si M nu sunt unici.

Teorem˘ a: (an )n≥0 este m˘arginit ⇔ (∃)M > 0 astfel ˆıncˆat (∀)n ∈ N, |an | < M .

Demonstrat¸ie: |an | < M ⇔ −M ≤ an ≤ M Se alege m = −M si se obt¸ine c˘a (an )n≥0 este m˘arginit.

2

S ¸ IRURI CONVERGENTE Intuitiv, un ¸sir este convergent dac˘a, atunci cˆand rangul termenului cre¸ste foarte mult, valorile termenilor se apropie oric˘at de mult de un num˘ar real unic pe care ˆıl vom numi limita ¸sirului. Exemple: 1 1) S¸irul (an )n≥0 , an = n are termenii: 10 1 a0 = 0 = 1 10 1 a1 = 1 = 0, 1 10 1 a2 = 2 = 0, 01 10 1 a3 = 3 = 0, 001 10 1 a4 = 4 = 0, 0001 10 ············ Pe m˘asur˘a ce n cre¸ste foarte mult, an se apropie de 0. Vom spune c˘a ¸sirul an are limita 0. n 2) S¸irul (bn )n≥1 , bn = are termenii: n+1 1 b1 = = 0, 5 2 2 b2 = = 0, (6) 3 3 b3 = = 0, 75 4 4 b4 = = 0, 8 5 ············ 999 = 0, 999 b999 = 1000 ············ 9999 b9999 = = 0, 9999 10000 ············ Pe m˘asur˘a ce n cre¸ste foarte mult, bn se apropie de 1. Vom spune c˘a ¸sirul bn are limita 1.

Definit¸ie: (an )n≥0 este convergent dac˘a (∃)l ∈ R astfel ˆıncˆat (∀)V ∈ V(l), (∃) un rang care depinde de V ¸si pe care ˆıl vom nota nV ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ nV , an ∈ V . n→∞ Vom spune c˘a l este limita lui (an ) ¸si vom nota lim an = l sau an −→ l sau n→∞ an → l.

Definit¸ie: (an )n≥0 este convergent dac˘a (∃)l ∈ R astfel ˆıncˆat ˆın afara oric˘arei V ∈ V(l) se afl˘a cel mult un num˘ar finit de termeni ai ¸sirului. 3

Teorem˘ a: Dac˘a un ¸sir este convergent, limita lui este unic˘a.

Demonstrat¸ie: Presupunem prin absurd c˘a ¸sirul (an )n≥0 are 2 limite l1 , l2 ∈ R, l1 6= l2 . an → l1 ⇒ (∀)V ∈ V(l1 ), (∃)n0V ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ n0V , an ∈ V (*) an → l2 ⇒ (∀)V ∈ V(l2 ), (∃)n00V ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ n00V , an ∈ V (**) T.SEP ARARE l1 6= l2 =⇒ (∃)V1 ∈ V(l1 ) ¸si (∃)V2 ∈ V(l2 ) astfel ˆıncˆat V1 ∩ V2 = ∅ 0 (∗) ⇒ (∃)nV1 ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ n0V1 , an ∈ V1 (∗∗) ⇒ (∃)n00V2 ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ n00V2 , an ∈ V2 Fie n ≥ max(n0V1 , n00V2 ) ⇒ an ∈ V1 ∩ V2 (F) pentru c˘a v1 ∩ V2 = ∅ ⇒ Presupunerea f˘acut˘a este fals˘a ⇒ l1 = l2 .

Definit¸ie: Un ¸sir este divergent dac˘a nu este convergent.

SUBS ¸ IRURI Fiind dat un ¸s, prin sub¸sir al s˘au se ˆınt¸elege ”un ¸sir mai mic”. Sub¸sirul se formeaz˘a cu o parte din termenii ¸sirului, luat¸i ˆın ordinea strict˘a a rangului. Pentru ¸sirul (an )n≥0 consider˘am k0 < k1 < ... < kn < ... numere naturale. Spunem c˘a ¸sirul cu termenii ak0 , ak1 , ak2 , ... este un sub¸sir al ¸sirului (an ) ¸si ˆıl not˘am (akn )n≥0 . ˆIntregul ¸sir este sub¸sir al s˘au. Un ¸sir are o infinitate de sub¸siruri. Exemple: - (a2n )n≥0 este sub¸sirul termenilor de rang par ¸si cont¸ine termenii a0 , a2 , a4 , a6 , ... - (a2n+1 )n≥0 este sub¸sirul termenilor de rang impar ¸si cont¸ine termenii a1 , a3 , a5 , a7 , ... - (an2 +1 )n≥0 cont¸ine termenii a1 , a2 , a5 , a10 , a17 , ...

Teorem˘ a: Dac˘a un ¸sir este convergent atunci orice sub¸sir al s˘au este convergent la aceea¸si limit˘a.

Demonstrat¸ie: Dac˘a ¸sirul (an ) converge c˘atre l ∈ R atunci ˆın afara oric˘arei vecin˘at˘a¸ti V ∈ V(l) se afl˘a cel mult un num˘ar finit de termeni ai ¸sirului (an ). Cum ¸sirul se formeaz˘a cu o parte din termenii ¸sirului, ˆınseamn˘a c˘a ˆın afara oric˘arei vecin˘at˘a¸ti V ∈ V(l) se afl˘a cel mult un num˘ar finit de termeni ai sub¸sirului. Deci ¸sirul converge c˘atre l.

Consecint¸˘ a: Dac˘a un ¸sir are 2 sub¸siruri cu limite diferite atunci ¸sirul nu este convergent.

4

DEFINIT ¸ IA CU EPSILON(ε) A CONVERGENT ¸ EI Fie a ∈ R ¸si ε > 0. Atunci Vε = (a − ε, a + ε) ∈ V(a).

Teorem˘ a: Fie (an )n≥0 . Urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: 1) ¸sirul (an )n≥0 este convergent 2) (∃)l ∈ R astfel ˆıncˆat (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ nε , |an − l| < ε

Demonstrat¸ie: 1) ⇒ 2) (an )n≥0 este convergent ⇒ (∃)l ∈ R astfel ˆıncˆat (∀)V ∈ V(l), (∃)nV ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ nV , an ∈ V Fie l ∈ R acela¸si. Fie ε > 0 oarecare. Fie Vε = (ε − l, ε + l) ∈ V(l). Punem V = Vε ⇒ (∃) un rang care depinde de V = Vε , deci va depinde de ε ¸si pe care ˆıl not˘am cu nε ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ nε , an ∈ Vε ⇒ an ∈ (l − ε, l + ε) ⇒ l − ε ≤ an ≤ l − ε ⇒ −ε ≤ an − l ≤ ε ⇒ an − l ∈ (−ε, ε) ⇒ |an − l| < ε 2) ⇒ 1) (∃)l ∈ R astfel ˆıncˆat (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ nε , |an − l| < ε Fie l ∈ R acela¸si. Fie V ∈ V(l) oarecare. Se ¸stie c˘a V cont¸ine o vecin˘atate simetric˘a ⇒ (∃)ε > 0 astfel ˆıncˆat Vε = (l − ε, l + ε) ⊂ V . Dac˘a ε > 0 atunci (∃) un rang nε ∈ N care depinde de ε, iar ε depinde de V , deci not rangul nε = nV depinde de V astfel ˆıncˆat |an − l| < ε ⇒ an ∈ Vε ⊂ V ⇒ an ∈ V ⇒ (∃)l ∈ R astfel ˆıncˆat (∀)V ∈ V(l), (∃)nV ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ nV , an ∈ V ⇒ (an )n≥0 este convergent. Deci 1) ⇔ 2).

Observat¸ii: 1) Definit¸ia init¸ial˘a a convergent¸ei va fi numit˘a definit¸ia cu vecin˘at˘a¸ti. 2) Caracterizarea din teorem˘a a convergent¸ei va fi numit˘a definit¸ia cu ε.

Teorem˘ a: Orice ¸sir convergent este m˘arginit.

Demonstrat¸ie: Fie ¸sirul (an )n≥0 convergent ⇒ (∃)l ∈ R astfel ˆıncˆat (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ nε , |an − l| < ε Fie ε = 1 ⇒ (∃)n1 ∈ N astfel ˆıncˆat (∀)n ≥ n1 , |an − l| < 1 Fie n ≥ n1 . |an | = |an − l + l| ≤ |an − l| + |l| < 1 + |l| ⇒ |an | < 1 + |l|, (∀)n ≥ n1 Fie M = max(|a0 |, |a1 |, ..., |an1 −1 |, 1 + |l|) ⇒ (∀)n ∈ N, |an | ≤ M ⇒ (an )n≥0 este m˘arginit.

Observat¸ie: Teorema are reciproca fals˘a. Nu orice ¸sir m˘arginit este convergent. Exemplu: an = (−1)n , n ∈ N

5

Teorem˘ a: Dac˘a un ¸sir este convergent atunci ¸sirul obt¸inut prin ad˘agarea ori prin suprimarea unui num˘ar finit de termeni este un ¸sir convergent la aceea¸si limit˘a.

Demonstrat¸ie: an → l ⇒ ˆIn afara oric˘arei vecin˘at˘a¸ti V ∈ V(l) se afl˘a cel mult un num˘ar finit de termeni din ¸sir. Dac˘a acestui ¸sir ˆıi ad˘aug˘am ori ˆıi suprim˘am un num˘ar finit de termeni, ˆın afara oric˘arei vecin˘at˘a¸ti V ∈ V(l) se afl˘a cel mult un num˘ar finit de termeni din ¸sirul nou obt¸inut. De aceea, noul ¸sir are aceea¸si limit˘a.

Consecint¸˘ a: Pentru orice p ∈ N fixat, ¸sirurile (an )n≥0 ¸si (an+p )n≥0 au termenii a0 , a1 , a2 , ... ¸si ap , ap+1 , ap+2 , ..., iar unul se obt¸ine din cel˘alalt prin ad˘augarea ori prin suprimarea unui num˘ar de p termeni. Dac˘a un ¸sir este convergent ¸si cel˘alalt ¸sir este convergent la aceea¸si limit˘a.

6