Teorie Analiza Matematica Clasa A 11-a (2)

OPERAT ¸ II CU S ¸ IRURI CONVERGENTE Se dau ¸sirurile convergente (an )n≥0 ¸si (bn )n≥0 .

Propriet˘ a¸ti: 1) S¸irul (an + bn )n≥0 este convergent ¸si lim (an + bn ) = lim an + lim bn . n→∞

n→∞

n→∞

2) S¸irul (an · bn )n≥0 este convergent ¸si lim (an · bn ) = lim an · lim bn . n→∞ n→∞  n→∞  an 3) Dac˘a bn 6= 0, (∀)n ∈ N ¸si lim bn 6= 0 atunci S¸irul este convergent ¸si n→∞ bn n≥0   lim an an n→∞ lim = . n→∞ bn lim bn n→∞
4) Dac˘a an > 0, (∀)n ∈ N ¸si lim an 6= 0 atunci S¸irul abnn n≥0 este convergent ¸si n→∞   lim bn lim (an )bn = lim an n→∞ . n→∞

n→∞

Demonstrat¸ie: Presupunem an → a, bn → b unde a, b ∈ R. Proprietatea 1): ε an → a ⇒ (∀)ε > 0, (∃)n0ε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ n0ε , |an − a| < 2 ε 00 00 bn → b ⇒ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |bn − b| < 2 Fie nε = max(n0ε , n00ε ). ε ε ε  |an − a| < ⇒ − < an − a <   2 2 2  ⇒ |an + bn − (a + b)| < ε, (∀)n ≥ nε ε ε  ε   |bn − b| < ⇒ − < bn − b < 2 2 2 sau ε ε |an + bn − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| < |an − a| + |bn − b| < + = ε, (∀)n ≥ nε 2 2 Deci (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |an + bn − (a + b)| < ε ⇒ ⇒ an + bn → a + b adic˘a lim (an + bn ) = lim an + lim bn . n→∞

n→∞

n→∞

Proprietatea 2): |an bn − ab| = |an bn − abn + abn − ab| = |(an − a)bn + a(bn − b)| ≤ |(an − a)bn |+ +|a(bn − b)| = |an − a| · |bn | + |a| · |bn − b| (bn ) → b ⇒ (bn ) este m˘arginit ⇒ (∃)M > 0 astfel ˆıncˆat(∀)n ∈ N, |bn | < M ε an → a ⇒ (∀)ε > 0, (∃)n0ε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ n0ε , |an − a| < 2M ε 00 00 bn → b ⇒ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |bn − b| < 2(|a| + 1) Fie nε = max(n0ε , n00ε ). ˆınlocuind relat¸iile (1),(2) ¸si (3) ˆın relat¸ia (∗) se obt¸ine: ε |a| ε ε ε ·M + · < + = ε, (∀)n ≥ nε |an bn − ab| < 2M |a| + 1 2 2 2 Deci (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |an bn − ab| < ε ⇒ ⇒ an bn → ab adic˘a lim (an · bn ) = lim an · lim bn . n→∞

n→∞

n→∞

Observat¸ie: Demonstrat¸iile pentru propriet˘a¸tile 3 ¸si 4 sunt mai dificile. 6

(∗) (1) (2) (3)

˘ INFINITA ˘ S ¸ IRURI CU LIMITA O mult¸ime V este V(∞) dac˘a (∃)ε > 0 astfel ˆıncˆat(ε, ∞) ⊂ V . O mult¸ime V este V(−∞) dac˘a (∃)ε > 0 astfel ˆıncˆat(−∞, −ε) ⊂ V .

DEFINIT ¸ IE: Fie l = ±∞. Spunem c˘a ¸sirul (an )n≥0 are limita l(±∞) dac˘a ˆın afara oric˘arei vecin˘at˘a¸ti V ∈ V(l) se afl˘a cel mult un num˘ar finit de termeni ai ¸sirului.

REFORMULARE: S¸irul an → l dac˘a (∀)V ∈ V(l), (∃)nV ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nV , an ∈ V . Deoarece vecin˘at˘a¸tile lui +∞ au structur˘a diferit˘a fat¸˘a de vecin˘at˘a¸tile lui −∞, definit¸ia cu ε a ¸sirurilor cu limita +∞ sau −∞ are forme diferite.

DEFINIT ¸ IA 1: an → +∞ ⇔ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , an > ε

DEFINIT ¸ IA 2: an → −∞ ⇔ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , an < −ε

Observat¸ii: 1) Definit¸iile cu vecin˘at˘a¸ti ale ¸sirurilor cu limit˘a finit˘a, ale ¸sirurilor cu limita +∞ ¸si ale ¸sirurilor cu limita −∞ sunt identice. 2) Definit¸ia cu ε a ¸sirurilor cu limit˘a finit˘a sau +∞ sau −∞ difer˘a. Acestea ¸tin cont de structura vecin˘at˘a¸tilor unui punct finit sau a vecin˘at˘a¸tilor lui +∞ sau a vecin˘at˘a¸tilor lui −∞. 3) S¸irurile convergente au limit˘a finit˘a. 4) S¸irurile divergente sunt ˆın una din situat¸iile: - au limita +∞; - au limita −∞; - nu au limit˘a. ˆ 5) In definit¸ia ¸sirurilor convergente, ε > 0 trebuie s˘a fie ”oricˆat de mic”. 6) ˆIn definit¸ia ¸sirurilor cu limita ±∞, ε > 0 trebuie s˘a fie ”oricˆat de mare”.

7

CRITERII PENTRU S ¸ IRURI CU LIMITA ±∞ Criteriul 1: Dac˘a an → ∞ atunci

Demonstrat¸ie:

1 → 0. an

Fie ε > 0. 1 < ε ⇔ |an | > 1 ⇔ an < − 1 sau an > 1 an ε ε ε 1 Not˘am λ = > 0 ⇒ (∃)nλ = nε astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nλ , an < −λ sau an > λ ⇒ ε 1 ⇒ > 0. an

Criteriul 2: Dac˘a: a) xn ≥ an , (∀)n ∈ N b) an → +∞ atunci xn → +∞.

Demonstrat¸ie: an → +∞ ⇒ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , an > ε Dar xn > an ⇒ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , xn > ε ⇒ xn → +∞

Criteriul 3: Dac˘a: a) yn ≤ bn , (∀)n ∈ N b) bn → −∞ atunci yn → −∞.

Demonstrat¸ie: bn → −∞ ⇒ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , bn < −ε Dar yn < bn ⇒ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , yn < −ε ⇒ yn → −∞

Observat¸ii: Criteriile 2 ¸si 3 sunt criterii de comparat¸ie. Ele hot˘ar˘asc soarta unui ¸sir ˆın urma compar˘arii termenilor s˘ai cu termenii altui ¸sir.

Criteriu de convergent¸˘ a: Dac˘a ¸sirul (an ) este m˘arginit ¸si bn → 0 atunci an · bn → 0.

Demonstrat¸ie: an este m˘arginit ⇔ (∃)M > 0 astfel ˆıncˆat(∀)n ∈ N, |an | < M ε bn → 0 ⇒ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |bn | < M ε |an bn | = |an | · |bn | < M · = ε, (∀)n ≥ nε M Deci (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |an bn | < ε ⇒ an · bn → 0

8

Criteriul cle¸stelui: Dac˘a ¸sirurile (an ),(bn ) ¸si (xn ) ¸si l ∈ R au propriet˘a¸tile: a) an ≤ xn ≤ bn , (∀)n ∈ N b) lim an = lim bn = l ∈ R n→∞ n→∞ atunci xn → l.

Demonstrat¸ie: an → l ⇒ (∀)ε > 0, (∃)n0ε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ n0ε , |an − l| < ε ⇒ l − ε < an (1) bn → l ⇒ (∀)ε > 0, (∃)n00ε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ n00ε , |bn − l| < ε ⇒ bn < l + ε (2) Fie nε = max(n0ε , n00ε ). Din a), (1) ¸si (2) ⇒ l − ε < an ≤ xn ≤ bn < l + ε ⇒ |xn − l| < ε, (∀)n ≥ nε Deci (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |xn − l| < ε ⇒ lim xn = l n→∞

Observat¸ie: Criteriul cle¸stelui se folose¸ste ˆın probleme dup˘a urm˘atoarea schem˘a:

Criteriul major˘ arii: Dac˘a ¸sirurile (αn ) ¸si (xn ) ¸si l ∈ R au propriet˘a¸tile: a) |xn − l| ≤ αn , (∀)n ∈ N b) αn → 0 atunci xn → l.

Demonstrat¸ie: b): an → 0 ⇒ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |an | < ε Fie n ≥ nε . a) 0 ≤ |xn − l| = αn ⇒ αn ≥ 0 ⇒ |αn | = αn < ε a): |xn − l| ≤ αn = |αn | < ε Deci (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N astfel ˆıncˆat(∀)n ≥ nε , |xn − l| < ε ⇒ lim xn = l n→∞

9

S ¸ IRURI TIP 1) S ¸ IRUL RAT ¸ IONAL Fie f, g ∈ R[x] dou˘a polinoame cu coeficient¸i reali, g 6= 0. f (n) , n ≥ n0 , unde n0 ∈ N fixat este mai mare decˆat toate r˘ad˘acinile g(n) reale (dac˘a exist˘a) ale polinomului g, se nume¸ste ¸sir rat¸ional. f (x) = a0 + a1 · x + ... + ap · xp , ap 6= 0, p ∈ N∗ fixat g(x) = b0 + b1 · x + ... + bq · xq , bq 6= 0, q ∈ N∗ fixat a1 a0 ap−1 + p−1 + ... + + ap p p a0 + a1 · n + ... + ap · n n np n n ⇒ xn = ⇒ xn = q · b0 b1 bq−1 b0 + b1 · n + ... + bq · nq n + bq + + ... + nq nq−1 n a0 a1 ap−1 + p−1 + ... + + ap n n p−q np ⇒ xn = n · b1 bq−1 b0 + q−1 + ... + + bq q n n n a p Dac˘a p = q ⇒ np−q = 1 ¸si xn → bp     a ap p Dac˘a p > q ⇒ p − q > 0 ⇒ np−q → ∞ ¸si xn → ∞ · ⇒ xn → ∞ · sgn bq q  b a p Dac˘a p < q ⇒ p − q < 0 ⇒ np−q → 0 ¸si xn → 0 · ⇒ xn → 0 bq  ap  ,p = q    bq (n) 0   ,p < q displaystyle limn→∞ xn = limn→∞ fg(n) =   a p   sgn · ∞ ,p > q bq S¸irul xn =

2) S ¸ IRUL PUTERE a) Dac˘a |q| < 1 atunci |q n | → 0 b) Dac˘a q > 1 atunci |q n | → ∞

Demonstrat¸ie a): 1 |q| < 1 ⇒ |q| = ,ρ > 0  1 + ρn 1 1 1 1 1 = = |q n | = |q|n = n = 0 1 2 2 n n < 1 1+ρ (1 + ρ) nρ Cn + Cn ρ + Cn ρ + ... + Cn ρ Cn ρ 1 Deci q n < → 0 ⇒ qn → 0 nρ

Demonstrat¸ie b): q > 1 ⇒ q = 1+ρ ,ρ > 0 1 q n = (1 + ρ)n = C0n + C1n ρ + C2n ρ2 + ... + Cnn ρn > C1n ρ = nρ Deci q n > nρ → ∞ ⇒ q n → ∞

10

3) Dac˘a |q| < 1 atunci n · qn → 0 Demonstrat¸ie: 1 ,ρ > 0 1+ρ n n n |nq n | = n|q|n = n = 0 1 2 2 n n < 2 2 = (1 + ρ) Cn + Cn ρ + Cn ρ + ... + Cn ρ Cn ρ 2 n = = n(n − 1) 2 (n − 1)ρ2 ρ 2 2 n |nq | < → 0 ⇒ n · qn → 0 2 (n − 1)q √ 4) Dac˘a a 6= 0 atunci n a → 1 |q| < 1 ⇒ |q| =

Demonstrat¸√ie:

I) a ≥ 1√⇒ n a ≥ 1 Not˘am n a = 1 + αn , αn ≥ 0 ⇒ a = (1 + αn )n ⇒ a ⇒ a = C0n + C1n αn + C2n αn2 + ... + Cnn αnn ≥ C2n αn2 = nαn ⇒ αn ≤ n √ a 0 ≤ αn ≤ ⇒ αn → 0 ⇒ 1 + αn → 1 ⇒ n a → 1 n 1 not II) a ∈ (0, 1) ⇒ = b > 1 a √ 1 I) √ n b>1⇒ b→1⇒ na= √ →1 n b √ 5) n n → 1, n ≥ 2

Demonstrat ¸√ ie: √

√ n

n = 1 + αn , αn > 0 ⇒ n = (1 + αn )n ⇒ n(n − 1) 2 ⇒ n = C0n + C1n αn + C2n αn2 + ... + Cnn αnn > C2n αn2 ⇒ n > · αn ⇒ 2 √ √ 2 2 ⇒ 0 < αn < √ ⇒ αn → 0 ⇒ n n = 1 + αn → 1 ⇒ 0 < αn2 < n−1 n−1 6) Fie p ∈ N∗ fixat, n ≥ 2, a1 , a2 , ..., ap > 0 ¸si b1 , b2 , ..., bp > 0. q xn = n b1 an1 + b2 an2 + ... + bp anp → max(a1 , a2 , ..., ap ) n≥2⇒

n

n≥

n

2>1⇒

an 7) ˆIn general, dac˘a a ∈ R fixat → 0 n!

11