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TEMA 2.- Análisis de circuitos en corriente alterna senoidal. CONTENIDO: 2.1. Introducción. 2.2. Onda senoidal, generación y valores asociados. 2.3. Representación compleja de una magnitud senoidal. Fasor. 2.4. El dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. 2.5. Respuesta senoidal de los elementos pasivos. 2.6. Impedancia y admitancia compleja. 2.7. Asociación de elementos pasivos con señal alterna senoidal. 2.8. Método de las corrientes de malla. 2.9. Principio de superposición. 2.10. Teoremas de Thevenin y Norton. 2.11. Potencia de un circuito eléctrico en régimen permanente senoidal. 2.12. Potencia compleja. 2.13. Factor de potencia. Corrección del factor de potencia. RELACIÓN DE PROBLEMAS
2.1. Introducción. En la realidad de cada día, nos encontramos con la utilización de la energía eléctrica. La distribución de esta energía se realiza utilizando tensiones alternas senoidales. De manera que cuando hablamos de corriente alterna, nos referimos normalmente a aquella que presenta una forma senoidal. Esto es así, porque presenta varias ventajas en cuanto a su distribución y transporte frente a la c.c., además es la forma en que los generadores de c.a. la dan. En Europa la frecuencia de la red es de 50 Hz, en la mayor parte de América de 60 Hz. Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la onda senoidal presenta las siguientes ventajas: -
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Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una senoide de la misma frecuencia. La suma de ondas senoidales de igual frecuencia, pero de distinta amplitud y fase, es una senoide de la misma frecuencia. Admite una representación con vectores giratorios, denominados fasores, que admiten una representación en el plano complejo.
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2.2. Onda senoidal, generación y valores asociados. La generación de una onda senoidal parte de la Ley de Faraday que dice que: “cuando una espira, de superficie S, está girando sobre su eje, a una velocidad angular uniforme w, dentro de un campo magnético uniforme B, se induce una fuerza electromotriz en los extremos de la espira”. ω
S θ
N
S
B A B
De esta forma se puede determinar que el flujo que atraviesa la espira, vendrá dado en cada momento por la posición de la espira con relación al vector que define la inducción del campo magnético. En cada instante el ángulo que forma el vector superficie de la espira y el vector inducción será: θ = wt. El flujo a través de la espira será: r r r Φ = ∫ B ⋅ ds = B ⋅ S = B ⋅ S ⋅ cos ωt S
La f.e.m. inducida debida a este flujo será: e=−
dΦ d ( B ⋅ S ⋅ cos ωt ) =− = B ⋅ S ⋅ ω ⋅ sen ωt dt dt
que se puede expresar y representar de forma general: e(t ) = Em ⋅ senωt
1 0.8 0.6 0.4 0.2
Siendo:
0 -0.2
Em= Valor máximo, amplitud o valor de pico w= frecuencia angular, en rad/s T= periodo, en s f= frecuencia, en Hz
Cumpliéndose las siguientes relaciones:
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-0.4 -0.6 -0.8 -1 0
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3
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T=1/f; ω=2πf; ω=2π/T Página 2 de 15
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Valores asociados Para caracterizar las señales alternas, y especialmente las senoidales usadas en electricidad existen dos valores fundamentales: Valor medio y valor eficaz. Para calcularlo se usan las siguientes expresiones: Valor medio: Vmed
1 = T
1 Valor eficaz: Vef = T
T
∫ f (t)dt 0
T
∫f
2
(t )dt
0
Si resolvemos estas expresiones para un ciclo de la onda senoidal, obtendremos: F(t)=V msenwt Vmed= 0, para ½ ciclo V med =V m/π/2 Vef =
Vm 2
El valor eficaz es de gran importancia, y será muy utilizado, porque el valor eficaz de una corriente periódica es el valor de una corriente continua que al circular por una resistencia produce en un tiempo T la misma cantidad de energía disipada.
2.3. Representación compleja de una magnitud senoidal. Fasor. Cualquier magnitud senoidal se puede representar mediante un vector giratorio. Este vector que la representa tiene por módulo el valor máximo de la magnitud senoidal, gira con una velocidad angular w, y su valor inicial depende del ángulo de desfase ϕ. Este vector giratorio se denomina fasor. Dado que en ingeniería eléctrica vamos a trabajar con fasores que tienen la misma frecuencia, y por consiguiente la misma velocidad angular, se suele utilizar una representación de éste vector giratorio, en un t=0. La representación que más se utiliza es la forma polar de este vector, usando coordenadas complejas. Usando la formulación de Euler: 2V ⋅ e j (ωt +ϕ ) = 2V ⋅ cos(ωt + ϕ ) + j 2V ⋅ sen (ωt + ϕ )
Como:
2V ⋅ e j (ωt +ϕ ) = 2V ⋅ e jϕ ⋅ e jωt se puede considerar que, como el término en t es un vector giratorio que depende de la frecuencia, solo nos hace falta considerar los otros términos,
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que se pueden representar utilizando la notación de Kennelly, usada normalmente para valores eficaces: V /ϕ En la figura se expresa la relación entre las notaciones polar y de Kennelly, que se relacionan: Ve
j(wt+ ϕ)
(Vsenϕ + V cosϕ )2
V= Vsen ϕ
V ϕ
ϕ = arctg
Vcos ϕ
Vsenϕ V cos ϕ
En forma polar:
Vcosϕ + jVsenϕ
Si utilizamos valores coseno, en el dominio de tiempo, su valor sería: Vcos(wt+ϕ)
Derivada e integral de una magnitud senoidal Si realizamos la derivada de la fórmula de Euler: d d 2V ⋅ e j (ωt +ϕ ) = dt dt
(
2V ⋅ cos(ωt + ϕ ) + j 2V ⋅ sen (ωt + ϕ )
)
2V ⋅ e jϕ ⋅ j ω ⋅ e jω t = − 2V ⋅ ω ⋅ sen (ωt + ϕ ) + j 2V ⋅ ω ⋅ cos(ωt + ϕ )
si en el segundo miembro de la igualdad sustituimos senos por cosenos: 2V ⋅ e jϕ ⋅ j ω ⋅ e jω t = 2V ⋅ ω ⋅ cos(ωt + ϕ −
π π ) − j 2V ⋅ ω ⋅ sen (ωt + ϕ − ) 2 2
donde se puede ver que el término exponencial es el mismo, pero multiplicado por el término jω. Por lo que sí un vector giratorio representado por f(t) se deriva respecto al tiempo: d f (t ) = j ω ⋅ f (t ) dt
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Si integramos a partir de la fórmula de Euler:
∫
2V ⋅ e j (ω t+ϕ ) = ∫ 2V ⋅ cos(ωt + ϕ ) + 2V ⋅ sen(ωt + ϕ )
2V ⋅ e jϕ ⋅
1 1 ⋅ e jωt = 2V ⋅ ⋅ cos(ωt + ϕ ) − j 2V ⋅ ω ⋅ sen (ωt + ϕ ) jω ω
Donde se puede ver que el término exponencial es el mismo, pero dividido por el término jω. Por lo que sí un vector giratorio representado por f(t) se integra respecto al tiempo: 1 ∫ f (t )dt = jω f (t) Deducciones que serán muy útiles para explicar el funcionamiento de los elementos pasivos de un circuito. 2.4. El dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Si utilizamos para representar las magnitudes eléctricas, las funciones trigonométricas, que dependen del tiempo, diremos que trabajamos en el dominio del tiempo. Si trabajamos con la representación fasorial, dado que la variable será la frecuencia, diremos que estamos en el dominio de frecuencia. 2.5. Respuesta senoidal de los elementos pasivos. Supongamos que conocemos en un circuito la tensión y la intensidad, dadas por las siguientes relaciones cosenoidales:
v (t ) = 2Vm cos(ωt + ϕ v ) i (t ) = 2 I m cos(ωt + ϕ i )
r V = Ve jϕv = V∠ϕ v r I = Ie jϕi = I ∠ϕ i
Con lo que para cada elemento pasivo tendremos: Resistencia: v(t)=Ri(t)
donde:
v (t ) = 2 RI m cos(ωt + ϕ i ) cumpliéndose que:
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V∠ϕ v = RI∠ ϕ i ϕv =ϕi
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Inductancia: v (t ) = L
di (t ) dt
donde: d ( 2 I m cos(ωt + ϕ i ) ; V∠ϕ v = jωLI∠ ϕ i dt v (t ) = − L 2 I mωsen(ωt + ϕ i ) = 2ωLI m cos(ωt + ϕ i + 90 0 ) ; v (t ) = L
que con la notación de Kennelly será: V∠ϕ v = ωLI ∠ϕ i + 90 ϕv =ϕi+900
cumpliéndose que:
Se puede observar, comparando las notaciones de Kennelly, que el término j implica un término de derivada, que se corresponde con la rotación de 900 en sentido antihorario del vector giratorio. Al término ωL se le denomina Reactancia inductiva, representándose por X L. Capacidad: v (t ) = v (t ) =
1 i ( t ) dt C∫
donde:
1 ( 2 I m cos(ωt + ϕ i ) dt ; C∫
V∠ϕ v =
1 I∠ϕ i ; jCω
resolviendo la integral: v (t ) =
1 1 2 I m sen (ωt + ϕ i ) = 2 I m cos(ωt + ϕ i − 90 0 ) ; ωC ωC
que con la notación de Kennelly será: V∠ϕ v =
cumpliéndose que:
1 I∠ϕ i − 90 ωC
ϕv =ϕi-900
Se puede observar, comparando las notaciones de Kennelly, que el término 1/j implica un término de integral, que se corresponde con la rotación de 900 en sentido horario del vector giratorio. Al término 1/Cω se le denomina Reactancia capacitiva, representándose por XC.
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2.6. Impedancia y admitancia compleja . Según las relaciones del apartado anterior, expresando la tensión y la corriente en forma de fasores (vectores giratorios), se puede ver que según el elemento pasivo que tengamos, las relaciones entre tensión y corriente serán:
r r Resistencia: V = R ⋅ I r r Inductancia: V = j ωLI
r Capacidad: V =
v 1 1 r ⋅I = −j ⋅I jωC Cω
La ley de Ohm, generalizada para corriente alterna, se define como:
V=ZI
Donde el término Z hace referencia a la impedancia. Esta impedancia, relacionada con los elementos pasivos simples, tiene el siguiente valor según de que elemento se trate: Resistencia: Z = R Inductancia: Z = j ωL Capacidad: Z =
1 1 = −j jωC Cω
Se observa que la impedancia es un valor complejo, pudiéndose expresar como: Z=R+jX
Z=R+j(X L-Xc )
Dado que la impedancia Z es un número complejo se puede representar con la notación de Kennelly, pero teniendo presente que no representa un vector giratorio. De esta forma tendremos:
Z = R + jX = R + j ( X L − X C ) = R 2 + ( X L − X C ) 2 ∠arctg
Z ϕ
XL-XC=Zsenϕ
XL − XC R
Donde la figura representa el llamado triángulo de impedancias, que representa las dos formas de representar la impedancia, en forma compleja y con la notación de Kennelly.
R=Zcos ϕ
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2.7. Asociación de elementos pasivos con señal alterna senoidal. La asociación de impedancias se corresponde exactamente con la asociación de resistencias en el caso de corriente continua. De tal manera, se pueden asociar las impedancias en serie, paralelo, estrella y triángulo. Quedando: Asociación en serie:
Zeq=Z1+Z2+Z3+...
Asociación en paralelo:
1/Zeq=1/Z1 +1/Z2+1/Z3 +...
Transformación estrella triángulo:
2
Z1 =
Z B ⋅ ZC Z A + Z B + ZC
Z2 =
ZC ⋅ Z A Z A + Z B + ZC
ZC Z2 1
Z1 ZA Z3 ZB 3
ZA =
Z3 =
Z A ⋅ ZB Z A + ZB + ZC
Z1 ⋅ Z 2 + Z1 ⋅ Z 3 + Z 2 ⋅ Z 3 Z ⋅ Z + Z1 ⋅ Z 3 + Z 2 ⋅ Z 3 Z ⋅ Z + Z1 ⋅ Z3 + Z2 ⋅ Z3 ZB = 1 2 ZC = 1 2 Z1 Z2 Z3
2.8. Método de las corrientes de malla . La aplicación del método de las corrientes de mallas, en el caso de corriente alterna, tiene las mismas consideraciones que este método para c.c. La diferencia consiste en utilizar impedancias Z en lugar de resistencias y fuentes de tensión alterna en lugar de continua. Presenta más complejidad de cálculo, debido a que trabajaremos con números complejos en lugar de trabajar con números reales. Para la aplicación del método, plantearemos las ecuaciones de mallas que sean independientes (tantas como “ventanas” tenga el circuito), y a partir de ellas determinaremos las intensidades de cada malla. Para resolver el circuito tendremos n ecuaciones de malla con n incógnitas(las corrientes de malla). Del resultado de aplicar las corrientes de malla a cada rama determinaremos las corrientes de rama.
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2.9. Principio de superposición. El principio de superposición se enuncia: “La respuesta de un circuito lineal, que contenga varias fuentes de alimentación, es igual a la suma de las respuestas individuales de cada fuente, actuando por separado.” La utilización práctica de este principio, consiste en resolver tantos circuitos como fuentes de alimentación tenga. De manera que se resuelve el circuito cuando solo está presente la primera fuente, dejando las otras cortocircuitadas (sí son de tensión); o a circuito abierto si son de corriente. A continuación se resuelve dejando sólo la segunda fuente, y así sucesivamente con todas las fuentes que tenga el circuito. La determinación de la intensidad en una rama del circuito, será la suma de las corrientes debidas a cada análisis parcial en esa rama. 2.10. Teoremas de Thevenin y Norton. Los Teoremas de Thevenin y Norton se enuncian de la misma forma que para corriente continua, teniendo presente que en lugar de obtener una resistencia equivalente, ahora tendremos una impedancia equivalente. La fuente de tensión Thevenin, será ahora una fuente de tensión alterna. La fuente de corriente Norton, será ahora una fuente de corriente alterna. 2.11. Potencia de un circuito eléctrico en régimen permanente senoidal. La potencia se define como el producto de la tensión por la intensidad: p(t)=v(t) i(t) En el caso de que las magnitudes sean cosenoidales, tendremos: v (t ) = 2V ⋅ cos ωt
i (t ) = 2 I ⋅ cos(ωt − ϕ )
Usaremos las siguientes identidades trigonométricas: cos(a-b)=cosa.csob+sena.senb cos(a+b)=cosa.cosb-sena.senb cos(a-b)-cos(a+b)=2sena.senb Con lo que la potencia instantánea será: p (t ) = v( t ) i (t ) = 2VI cos ωt cos(ωt − ϕ ) = VI cos ϕ + VI cos( 2ωt − ϕ ) p (t ) = VI cos ϕ + VI cos 2ωt cos ϕ + VIsen 2ωtsenϕ
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En esta expresión vemos que la potencia presenta un término que varía respecto al tiempo, para poder cuantificar la potencia que realmente se toma de la red consideramos que la potencia que nos interesa será la potencia media de esta expresión, resultando:
1 P= T
P=
T
1T ∫0 (VI cos ϕ + VI cos( 2ωt − ϕ )dt = T ∫0 (VI cos ϕ + VI cos( 2ωt ) cos ϕ + VIsen2ωtsenϕ )dt
1T 1T 1T VI cos ϕ dt + VI cos ϕ cos 2 ω tdt + VIsenϕsen 2ωtdt T ∫0 T ∫0 T ∫0 T
1 [t ⋅ VI cos ϕ ]T0 + 1 VI cos ϕ 1 sen 2ωt + 1 T T 2ω 0 T P = VI cos ϕ P=
T
1 VIsenϕ ( − 2ω cos 2ωt ) 0
A este valor medio se le denomina Potencia activa, siendo la que realmente es consumida por el receptor. Analizando los términos de potencia instantánea podemos ver: p (t ) = VI cos ϕ (1 + cos 2ωt ) + VIsenϕ sen 2ωt
Donde al término VIsenϕ se le denomina potencia reactiva (Q). Quedando la expresión como: p (t ) = P(1 + cos 2ωt ) + Qsen 2ωt En esta forma de poner la potencia instantánea se observa que existe un primer término denominado potencia activa instantánea P(1+cos2ωt), cuyo valor medio es la potencia activa, cuya unidad es el watio. El segundo término Qsen2ωt, tiene un valor medio nulo y se denomina potencia reactiva instantánea, siendo su amplitud Q el valor de la potencia reactiva, cuya unidad es el voltamperio reactivo. Q = VIsen ϕ Este término de potencia reactiva tiene que ver con la aparición de bobinas y condensadores en las redes. Recordamos que las bobinas pueden almacenar energía en forma de campo magnético y los condensadores en forma de campo eléctrico. Las energías almacenadas en estos elementos, son devueltas a la red cuando cambia la polaridad de la tensión alterna, de manera que no es una potencia realmente consumida, sino fluctuante entre el sistema de generación y las bobinas y/o condensadores conectados. EL producto VI que es igual a la amplitud de la potencia fluctuante recibe el nombre de potencia aparente S. Existiendo entre las potencias citadas las siguientes relaciones:
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Potencia activa: Potencia reactiva:
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P = VI ⋅ cos ϕ = S ⋅ cos ϕ en Watios Q = VI ⋅ senϕ = S ⋅ senϕ en Voltamperios reactivos
Potencia aparente: S = VI = P 2 + Q 2 en Voltamperios Factor de potencia: cosϕ
Potencias en los elementos pasivos Veamos a continuación como se corresponden las potencias para cada uno de los elementos pasivos del circuito: Resistencia: La tensión y la intensidad a través de una resistencia tienen la forma de: v (t ) = 2V cos ωt
i (t ) = 2 I cos ωt
Siendo el ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad en una resistencia de ϕ=0. Con lo que la potencia instantánea será: p (t ) = v (t ) i( t ) = P (1 + cos 2ωt ) + Qsen 2ωt
Las potencias activa, reactiva y aparente serán: P=VIcosϕ=VI=RI2 Q=VIsenϕ=0 S=VI
Inductancia: La tensión y la intensidad a través de una bobina tienen la forma de: v (t ) = 2V cos ωt
i (t ) = 2 I cos(ωt − 90 º )
Siendo el ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad en una bobina de ϕ=90º. Las potencias activa, reactiva y aparente serán: P=VIcosϕ=0 Q=VIsenϕ=VI=LωI2 =X L I2 S=VI
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Condensador: La tensión y la intensidad a través de un condensador tienen la forma de: v (t ) = 2V cos ωt
i (t ) = 2 I cos(ωt + 90º )
Siendo el ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad en un condensador de ϕ=-90º. Las potencias activa, reactiva y aparente serán: P=VIcosϕ=0 Q=VIsenϕ=-VI=-1/ωC.I2=-X CI2 S=VI
2.12. Potencia compleja. En el trabajo normal con potencias, al igual que con corriente monofásica, trabajaremos con valores eficaces y en forma compleja. De manera que las expresiones de potencia se utilizaran normalmente o bien con la notación de Kennelly o bien en forma de coordenadas complejas. Usando la notación de Kennelly tendremos: V=V/0
I=I/-ϕ
En estas condiciones el valor de la potencia aparente será:
S=VI*
Siendo I* el vector conjugado de I (este vector conjugado se traduce en un cambio de signo en el ángulo de desfase de la intensidad). De manera que: S=V/0 I/ϕ =VI/ϕ = VIcosϕ + jVIsenϕ = P + jQ Si representamos los vectores de potencia tendremos el llamado triángulo de potencias:
S ϕ
Q=Ssen ϕ
Se puede observar que para un ángulo de desfase en donde la intensidad se retrasa respecto de la tensión (f.d.p. en retraso) la potencia compleja Q es positiva.
P=Scos ϕ
Cuando el ángulo de desfase da lugar a que la intensidad se adelante con respecto a la tensión (f.d.p. en adelanto) la potencia compleja Q es negativa.
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Se puede considerar que, debido al principio de conservación de la potencia compleja, la potencia compleja suministrada por las fuentes que aparecen en el circuito, es igual a la suma de las potencias complejas absorbidas por las cargas o lo que es lo mismo:
∑P = ∑P f
c
∑Q
f
= ∑ Qc
S f = Pf2 + Q 2f
Medida de potencia en corriente alterna. Para medir la potencia en corriente alterna se usa el Watímetro que mide la potencia activa, en watios. Para medir la potencia reactiva se usa el Varímetro, en VAr. Para medir la potencia aparente se usa un voltímetro y un amperímetro, el producto de las medidas en cada aparato dará el valor de la potencia aparente S en VA. 2.13. Factor de potencia. Corrección del factor de potencia. El coseno del ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad se denomina factor de potencia. Este se puede expresar en función de las potencias complejas como: P cos ϕ = S En cualquier instalación siempre es conveniente que el factor de potencia (cosϕ) sea lo más parecido a la unidad. Esto es por varias razones de carácter económico: - Se necesita menor intensidad en la línea de alimentación - La potencia reactiva es menor - Menores pérdidas en la línea - Menores tensiones necesarias en la generación - Menor potencia aparente del generador - Mejor rendimiento Debido a la influencia del factor de potencia, las compañías eléctricas bonifican o incrementan sus tarifas eléctricas en función del factor de potencia de una instalación. Dado que el coste de electricidad de una instalación depende del factor de potencia conviene que esté en límites adecuados, con el objeto de reducir los costes al máximo. En la mayoría de las industrias las cargas que aparecen son de tipo inductivo que dan lugar a una potencia reactiva Q positiva. Para mejorar el factor de potencia se hace necesario utilizar elementos que modifiquen este valor de Q positiva manteniéndolo próximo al valor 0. Para ello se conectan baterías de condensadores en las instalaciones, que al introducir una potencia reactiva Q negativa compensan el efecto de la potencia reactiva positiva de la instalación.
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PROBLEMAS TEMA 2. CORRIENTE ALTERNA MONOFÁSICA 1.- Determinar el triángulo de potencias de un circuito al que se le aplica una tensión v=340sen(? t-60º) V si circula una corriente de i=13.3sen(? t-48’7º) A.
2.- La tensión aplicada a un circuito serie formado por dos impedancias de R=8Ω y XC=6Ω es V=50/-90º. Determinar el triángulo de potencias.
3.-Determinar el triangulo de potencias total para las siguientes cargas: a) 200VA con cosϕ=0’7 en retraso b) 350VA con cosϕ=0’5 en retraso c) 275VA con cosϕ=1 4.- Una carga de motores de inducción de 1500 W y factor de potencia 0’75 en retraso se combina con la de un grupo de motores síncronos de 500 VA y factor de potencia de 0’65 en adelanto. Calcular la potencia reactiva de los condensadores a instalar para que el factor de potencia total sea de 0’95 en retraso. ¿En que tanto por ciento disminuye la potencia aparente?
5.- El alumbrado de una sala de dibujo se compone de 50 lámparas fluorescentes de 40W/220V con un factor de potencia de 0’6. Dimensionar la batería de condensadores que será necesario conectar a la línea general que alimenta esta instalación para corregir el factor de potencia a 0’97. Averiguar el calibre de los fusibles generales teniendo en cuenta la intensidad después de corregido el factor de potencia. ¿Cuál será el calibre para la protección de la batería de condensadores?
6.- Una instalación es alimentada a 200 V y 50 Hz, y está compuesta por: a) Un motor de potencia útil 8 KW, cosϕ = 0’7 b) Un horno eléctrico de fusión de 2 KW c) Una impedancia de R= 5Ω d) Una impedancia de X L = 5Ω e) Un condensador de capacidad 1000/π µF f) Un motor de 5 KVA, cosϕ = 0’8 Determinar: a) La corriente absorbida y el factor de potencia de las cargas b) La capacidad del condensador que se debe instalar si se desea elevar el factor de potencia a la unidad, cuando la instalación trabaja a plena carga.
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7.- En el circuito de la figura se quiere conocer las intensidades de cada rama (con el sentido indicado), así como las potencias activa, reactiva y aparente en cada receptor y en cada generador.
V1 = 20/0º V=20 V V2 = 52/30º V=45 + j 26 V V3 = 54/0º V=54 V V4 = 4/60º V=2 + j 3’464 V
Z
Z2
Z
V3
Z3 V4
V2 Z
Z
Z1
Z4
Z1 = 2/60º Ω =1 + j1’732 Ω Z2 = 4/-30º Ω = 3’46 –j 2 Ω Z3=1/45ºΩ=0’707+j0’707Ω Z4 = 5/0º Ω = 5 Ω
V1
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