Teoria

Teoría cálculo

1. CÁLCULO DE LA DEFORMACIÓN (Ejemplo 1: viga de forjado) Ecuación simplificada (sin considerar la influencia del esfuerzo cortante para estimar el valor de la flecha inicial para cargas uniformes: 5 q—l 4 384 E—I Ecuación simplificada (sin considerar la influencia del esfuerzo cortante) para estimar el valor de la flecha inicial para una carga puntual P actuando en el centro del vano: f =

P—l3 48—E—I q: valor de la carga permanente. P: valor de la carga puntual. l: longitud de la pieza. E: módulo de elasticidad, E0,m I: momento de inercia de la sección media. Para una sección rectangular: f =

b—h 3 12

I =

Limitaciones en cuanto a deformación establecidas en el CTE (SE 4.3.3). INTEGRIDAD DE LOS ELEMENTOS CONSTRUCTIVOS Para la combinación de acciones característica considerando sólo las deformaciones que se producen después de la puesta en obra del elemento, la flecha relativa es menor que: 1/500 en pisos con tabiques frágiles o pavimentos rígidos sin juntas 1/400 en pisos con tabiques ordinarios o pavimentos rígidos con juntas 1/300 en el resto de los casos


Flecha debida a la fluencia de la carga permanente: wG kdef kdef : clase de servicio y tipo de madera (SE-M Tabla 5.1)




Flecha debida a la carga variable dominante: wQ,1




Flecha debida a la fluencia de la parte casi permanente de la carga variable dominante: kdef ψ2·wQ,1 kdef : clase de servicio y tipo de madera (SE-M Tabla 5.1) ψ2: coeficiente simultaneidad valor de cargas casi permanentes SE-AE Tabla 4.2




Flecha debida a las restantes cargas variables en su valor de combinación: Σψ0·wQ,i Ψ0: coeficiente simultaneidad valor de cargas en combinación SE-AE Tabla 4.2




Flecha debida a la fluencia de la parte casi permanente de las cargas anteriores: Σ kdef ψ2·wQ,i kdef : clase de servicio y tipo de madera (SE-M Tabla 5.1) ψ2: coeficiente simultaneidad valor de cargas casi permanentes SE-AE Tabla 4.2)

109

Teoría cálculo

CONFORT DE LOS USUARIOS Para la combinación de acciones característica, considerando solamente las acciones de corta duración, la flecha relativa es menor que 1/350.


Flecha debida a la carga variable dominante: wQ,1




Flecha debida a las restantes cargas variables con su valor de combinación: Σψ0·wQ,i Ψ0: coeficiente simultaneidad valor de cargas en combinación SE-AE Tabla 4.2

APARIENCIA DE LA OBRA Para combinación de acciones casi permanente, la flecha relativa es menor que 1/300.


Flecha debida a la carga permanente: wG




Flecha debida a la fluencia de la carga permanente: wG kdef kdef : clase de servicio y tipo de madera (SE-M Tabla 5.1)




Flecha debida a la parte casi permanente de las cargas variables: Σψ2,i·wQ,i ψ2: coeficiente simultaneidad valor de cargas casi permanentes SE-AE Tabla 4.2




Flecha debida a la fluencia de la parte casi permanente de las cargas variables: Σkdef ψ2,i·wQ,i = 0,6 0,3·8,4= 1,51 mm kdef : clase de servicio y tipo de madera (SE-M Tabla 5.1) ψ2: coeficiente simultaneidad valor de cargas casi permanentes SE-AE Tabla 4.2)

110

Teoría cálculo

2. COMPROBACIÓN TRACCIÓN UNIFORME PARALELA A LA FIBRA (Ejemplo 2: pendolón cercha) Comprobación tracción simple CTE, SE-M pg 28: Tensión de cálculo a tracción pararalela a la fibra : Nd Area : valor del axil de tracción para la combinación más desfavorable.

σt,0, d = Nd

A : área neta de la sección. Se deduce decontando de la sección bruta taladros, muescas y rebajes excepto clavos con diámetro inferior a 6 mm. Con varios elementos de fijación se descuentan todos los agujeros dentro de una distancia igual a la mitad de la separación mínima entre herrajes. Resistencia de cálculo a tracción paralela a la fibra : ft,0, d = k mod

k h—ft , o , k γM

k mod : factor de modificación (SE - M pg 6) Kh : factor de altura. Se plicará en piezas de madera aserrada con canto menor de 150 mm ó 600 mm en el caso de madera laminada. Para madera aserrada : 0 ,2

 150  Kh =  ≤ 1,3   h  Para madera laminada : 0 ,1

 600  kh =  ≤ 1,1   h  ft,0, k : Valor característico de la resistencia a tracción paralela a la fibra (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - Mpg6).

σ t ,0 , d f t ,0 , d

≤ 1

111

Teoría cálculo

3. COMPROBACIÓN A COMPRESIÓN UNIFORME PERPENDICULAR A LA FIBRA (Ejemplo 3: apoyo vigas de pasarela) Comprobación a compresión uniforme perpendicular a la fibra según SE-M pg24. σ c ,90, d k c ,90 —f c ,90, d

≤ 1

Tensión de cálculo a compresión perpendicular a la fibra : Vd A Vd : valor de reacción vertical en el apoyo de la viga.

σc,90, d =

A : área neta de la sección. Se deduce decontando de la sección bruta taladros, muescas y rebajes excepto clavos con diámetro inferior a 6 mm. Con varios elementos de fijación se descuentan todos los agujeros dentro de una distancia igual a la mitad de la separación mínima entre herrajes. Resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra : fc,90, d = k mod

fc ,90, k γM

k mod : clase de servicio 3 y duración de la carga corta (SE - M pg 6) fc,90, k : Valor característico de la resistencia a compresión perpendicular a la fibra (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - Mpg6).

Kc,90: factor que tiene en cuenta la distribución de la carga, la posibilidad de hienda y la deformación máxima por compresión perpendicular. Para Kc,90 debe tomarse valor igual a 1 excepto para los casos concretos especificados en el CTE, SE-M pg24.

112

Teoría cálculo

4. COMPROBACIÓN FLEXIÓN SIMPLE (Ejemplo 1: viga de forjado) Comprobación a flexión simple según CTE (SE-M pg26). σ m, d ≤ 1 f m, d Tensión de cálculo a flexión : Md W Md : Momento de cálculo para la combinación más desfavorable σm, d =

W : Módulo resistente. Para una sección rectangular : b—h2 6 Resistencia de cálculo a flexión para forjados : W =

k sysK h—fm , k fm, d = K mod— γM k sys : factor de carga compartida(SE - M pg 4) k mod : factor de modificación (SE - M pg6) kh : factor de altura. Se plicará en piezas de madera aserrada con canto menor de 150 mm ó 600 mm en el casode madera laminada. Para madera aserrada : 0 ,2

 150  Kh =  ≤ 1,3   h  Para madera laminada : 0 ,1

 600  kh =  ≤ 1,1   h  fm, , k : Valor característico de la resistencia a flexión (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - M pg6).

113

Teoría cálculo

5. COMPROBACIÓN A FLEXIÓN ESVIADA (Ejemplo 4: correas de viga curva con copete). Comprobación a flexión esviada según CTE, SE-M pag26. σ m, y , d

+ k m—

f m, y , d k m—

σ m, y , d f m, y , d

+

σ m, z , d f m, z , d σ m, z , d f m, z , d

≤ 1 ≤ 1

Tensión de cálculo a flexión : σm, y, d =

My , d Wy

Md, y : Momento de cálculo respecto al eje y para la combinación más desfavorable Wy : Módulo resistente respecto al eje y. Para una sección rectangular : W =

b—h2 6

σm, z, d =

Mz, d Wy

Md, z : Momento de cálculo respecto al eje z para la combinación más desfavorable Wz : Módulo resistente respecto al eje z. Para una sección rectangular : h—b2 6 Resistencia de cálculo a flexión : : Wz =

k sysK h—fm , k fm, d = K mod— γM k sys : factor de carga compartida(SE - M pg4) k mod : factor de modificación (SE - M pg6) kh : factor de altura. Se plicará en piezas de madera aserrada con canto menor de 150 mm ó 600 mm en el casode madera laminada. Para madera aserrada : 0 ,2

 150  Kh =  ≤ 1,3   h  Para madera laminada : 0 ,1

 600  kh =  ≤ 1,1   h  fm, , k : Valor característico de la resistencia a flexión (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - M pg6).

km: factor que tiene en cuenta el efecto de redistribución de tensiones y la falta de homogeneidad del material en la sección transversal y adopta los valores siguientes: km: 0,7 para secciones rectangulares de madera maciza, madera laminada encolada y madera microlaminada. km: 1,0 para otras secciones y otros productos derivados de la madera.

114

Teoría cálculo

6. COMPROBACIÓN A CORTANTE (Ejemplo 1: viga de forjado) Comprobación a cortante según CTE (SE-M pg26). τd ≤ 1 fv, d τ d : tensión de cálculo de cortante. f v , d : resistencia de cálculo a esfuerzo cortante.

Tensión de cálculo a cortante : V τ d = 1,5— d b—h Vd : esfuerzo cortante Resistencia de cálculo a esfuerzo cortante : f v, k fv, d = k mod — γM k mod : factor de modificaci ón (SE - M pg6) fv, k : Valor característico de la resistencia a cortante (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - M pg6).

115

Teoría cálculo

7. COMPROBACIÓN DE COMPRESIÓN INCLINADA RESPECTO A LA FIBRA (Ejemplo 4: apoyo viga curva con copete). Comprobación a compresión inclinada a la fibra según CTE (SE-M pg28) f c ,0 , d σ c, α, d ≤ f c ,0 , d sen 2 α + cos 2 α f c ,90 , d

σ c , α , d : tensión de cálculo a compresión con dirección α respecto a la fibra fc,0,d: resistencia de cálculo a compresión paralela a la fibra fc,90,d: resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra α: ángulo de inclinación de la fibra respecto a la dirección de la carga.

116

Teoría cálculo

8. COMPROBACIÓN FLEXOTRACCIÓN (Ejemplo 2: tirante de cercha) Comprobación flexocompresión con pandeo según CTE, SE-M pg 28: σ t ,0 , d ft ,0 , d σ t ,0 , d ft ,0 , d

+

σm , y , d fm , y , d

+ km

+ km

σm , y , d fm , y , d

+

σm , z , d fm, z , d σm , z , d fm, z , d

≤ 1 ≤ 1

Tensión de cálculo a tracción pararalela a la fibra : Nd Area : valor del axil de tracción para la combinación más desfavorable.

σt,0, d = Nd

A : área neta de la sección. Se deduce decontando de la sección bruta taladros, muescas y rebajes excepto clavos con diámetro inferior a 6 mm. Con varios elementos de fijación se descuentan todos los agujeros dentro de una distancia igual a la mitad de la separación mínima entre herrajes. Resistencia de cálculo a tracción paralela a la fibra : ft,0, d = kmod

kh·ft, o, k γM

k mod : factor de modificación (SE - M pg 6) Kh : factor de altura. Se plicará en piezas de madera aserrada con canto menor de 150 mm ó 600 mm en el caso de madera laminada. Para madera aserrada : 0 ,2

 150  Kh =  ≤ 1,3   h  Para madera laminada : 0 ,1

 600  kh =  ≤ 1,1   h  ft,0, k : Valor característico de la resistencia a tracción paralela a la fibra (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - Mpg6). Km : factor que tiene en cuenta la redistribución de tensiones y la falta de homogeneidad del material en la sección transversal y adopta los siguientes valores : Km : 0,7 para secciones rectangulares de madera maciza, madera laminada y madera microlaminada. Km : 1,0 para otras secciones y otros productos de la madera.

Tensión de cálculo a flexión respecto al eje y : σm, y, d =

Md Wy

Md : Momento de cálculo para la combinación más desfavorable Wy : Módulo resistente. Para una sección rectangular : Wy =

b—h2 6

117

Teoría cálculo

Resistencia de cálculo a flexión respecto al eje y : K —f fm, y, d = K mod— h m, k γM k mod : factor de modificación (SE - M pg6) kh : factor de altura. Se plicará en piezas de madera aserrada con canto menor de 150 mm ó 600 mm en el caso de madera laminada. Para madera aserrada : 0 ,2

 150  Kh =  ≤ 1,3   h  Para madera laminada : 0 ,1

 600  kh =  ≤ 1,1   h  fm, k : Valor característico de la resistencia a flexión (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - M pg6).

Las expresiones con subíndice z, hacen referencia a los momentos, resistencias y coeficientes de pandeo respecto al eje z.

118

Teoría cálculo

9. COMPROBACIÓN FLEXOCOMPRESIÓN CON PANDEO (Ejemplo 2: par de cercha) Comprobación flexocompresión con pandeo según CTE, SE-M pg 29: σc ,0 , d χ c , y —fc ,0, d σc ,0 , d χ c , z—fc ,0 , d

+

σ m, y , d fm, y , d

+ km

σm, y , d

+ km

fm, y , d

+

σm, z, d fm, z, d σm, z, d fm, z, d

≤ 1 ≤ 1

Tensión de cálculo a compresión pararalela a la fibra : Nd A : valor del axil de compresión para la combinación más desfavorable.

σc,0, d = Nd

A : área neta de la sección. Se deduce decontando de la sección bruta taladros, muescas y rebajes excepto clavos con diámetro inferior a 6 mm. Con varios elementos de fijación se descuentan todos los agujeros dentro de una distancia igual a la mitad de la separación mínima entre herrajes. Resistencia de cálculo a compresión paralela a la fibra : fc,0, d = k mod

fc , o , k γM

k mod : factor de modificación (SE - M pg 6) fc,0, k : Valor característico de la resistencia a compresión paralela a la fibra (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - Mpg6). Coeficiente de pandeo respecto al eje y : 1

χc, y =

ky +

k 2y − λ2rel, y

k y = 0,5—(1 + βc —(λrel, y − 0,3) + λ2rel, y ) βc : Factor asociado a la rectitud de las piezas. βc = 0,2 para madera maciza. βc = 0,1 para madera laminada encolada y microlamin ada. λrel, y : Esbeltez relativa. fc ,0, k

λrel, y =

σc , crit , y

Tensión crítica de pandeo : σc , crit , y = π2

E0, k λ2y

E0, k : Valor característico del módulo de elasticidad paralelo a la fibra correspondiente al 5% percentil (SE - Mpg115). Esbeltez mecánica de una pieza comprimida para el pandeo en el plano xz, flectando respecto al eje y. λy =

Lk , y iy

L k , y = β y —L L : Longitud de la pieza comprimida. β y : Coeficiente que depende de las condiciones de restricción de los extremos de la pieza para el movimiento en el plano xz (SE - Mpg125).

119

Teoría cálculo

iy : Radio de giro de la sección respecto al eje y. iy =

Iy

A Iy : Momento de inercia respecto al eje y.

b·h 3 12 A = b·h Iy =

Coeficiente de pandeo respecto al eje z: Las expresiones con subíndice z, hacen referencia a los momentos, resistencias y coeficientes de pandeo respecto al eje z. Tensión de cálculo a flexión respecto al eje y : σm, y, d =

Md Wy

Md : Momento de cálculo para la combinación más desfavorable Wy : Módulo resistente. Para una sección rectangular : b—h2 6 Resistencia de cálculo a flexión respecto al eje y :

Wy =

K h—fm, k fm, y, d = K mod— γM k mod : factor de modificación (SE - M pg6) kh : factor de altura. Se plicará en piezas de madera aserrada con canto menor de 150 mm ó 600 mm en el caso de madera laminada. Para madera aserrada : 0 ,2

 150  Kh =  ≤ 1,3   h  Para madera laminada : 0 ,1

 600  kh =  ≤ 1,1   h  fm, , k : Valor característico de la resistencia a flexión (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - M pg6). Km : factor que tiene en cuenta la redistribución de tensiones y la falta de homogeneidad del material en la sección transversal y adopta los siguientes valores : Km : 0,7 para secciones rectangulares de madera maciza, madera laminada y madera microlaminada. Km : 1,0 para otras secciones y otros productos de la madera.

120

Teoría cálculo

10. COMPROBACIÓN A FLEXIÓN CON VUELCO LATERAL (Ejemplo 3: vigas pasarela) Comprobación a flexión con vuelco lateral según CTE, SE-M pg32: Comprobación de flexión respecto al eje fuerte y-y, con momento My,d. σ m, d k crit —fm, d

≤ 1

Tensión de cálculo a flexión : Md W Md : Momento de cálculo para la combinación más desfavorable σm, d =

W : Módulo resistente. Para una sección rectangular : b—h2 6 Resistencia de cálculo a flexión : W =

fm, d = K mod—

fm , k γM

k mod : factor de modificación (SE - M pg6) fm, , k : Valor característico de la resistencia a flexión (SE - M pg115). γ M : coeficiente parcial de seguridad para la propiedad del material (SE - M pg6).

Estimación de kcrit: λ rel, m =

f m, k σ m, crit

E 0 ,05 —b 2 σ m, crit = 0,78— L ef —h E0,05 ó Ek: módulo de elasticidad longitudinal característico. b: anchura de la sección h: altura de la sección Lef: longitud eficaz de vuelco lateral: L·βv (tabla 6.2; SE-M pg34)

Si λrel , m ≤

0,75 no es necesario realizar comprobación a vuelco lateral. En caso contrario: kcrit = 1 kcrit = 1,56 – 0,75· λrel , m kcrit = 1/ λ2 rel , m

para λrel , m ≤ 0,75 para 0,75 ≤ λrel , m ≤ 1,4 para 1,4 ≤ λrel , m

121

Teoría cálculo

Los valores del coeficiente de vuelco lateral, Kcrit para vigas de directriz recta y sección rectangular constante, pueden extraerse también de la tabla 6.3. (SE-M pg36) según la clase resistente de la madera y el valor del coeficiente Ce definido según la siguiente expresión:

Ce

=

l ef —h b2

(SE-M pg35)

lef: longitud eficaz de vuelco de la viga h: altura, canto de la sección b: anchura de la sección

122

Teoría cálculo

11. COMPROBACIONES SINGULARES EN ZONA DE VÉRTICE (Ejemplo 4: viga curva con copete) Comprobación singular en zona de vértice para vigas con partes curvas según CTE (SE-M pg39). 9.1. Comprobación de tensiones de flexión: σ m, d ≤ k r —fm, d σ m, d = k l —

6—M ap , d b—h 2ap 2

 hap  h  h   + k 3  ap  + k 4  ap  k l = k1 + k 2      r   r   r   

3

k 1 = 1 + 1,4—tgα ap + 5,4—tg 2 α ap k 2 = 0,35 − 8—tgα ap k 3 = 0,6 + 8,3—tgα ap − 7,8—tg 2 α ap k 4 = 6—tg 2 α ap

Map,d: momento flector de cálculo en la sección del vértice. b: anchura de sección hap: altura de sección en el vértice de la viga

α ap : ángulo definido en la figura

fm,d: resistencia de cálculo a flexión (SE-M pg117)

kr: coeficiente de curvatura qaue tienen en cuenta la pérdida de resistencia de la madera debido al curvado de las láminas en el proceso de fabricación. Toma los valores siguientes:

1

para

rin ≥ 240 t

para

rin < 240 t

kr =

0,76 + 0,001

rin t

rin: radio del intradós de la viga r = rin + 0,5·hap t: espesor de lámina

123

Teoría cálculo

9.2. Comprobación de tensiones de tracción perpendicular a la fibra. σ t ,90 , d ≤ k dis —k vol —f t ,90 , d

σ t ,90 , d = k p —

6—M ap , d b—h 2ap

p − 0,6— d b

pd: carga distribuida (de compresión) aplicada en la zona de vértice sobre el borde superior de la viga b: ancho de la viga Map,d: momento flector de cálculo en la sección de vértice hap: altura de la sección en el vértice de la viga  h ap k p = k 5 + k 6 —  r  k 5 = 0,2—tgα ap

 h  + k 7 — ap   r  

   

2

k 6 = 0,25 − 1,5—tgα ap + 2,6—tg 2 α ap k 7 = 2,1—tgα ap − 4—tg 2 α ap

rin: radio del intradós de la viga r = rin + 0,5·hap

kdis: coeficiente de distribución que adopta el valor de 1,4 para vigas con zona de vértice redondeada, 1,7 para vigas con zonas de vértice triangular. 0 ,2

 0,01  k vol :    V  V : volumen de la zona considerada en la comprobación, máximo 2/3 del volumen total de la viga

ft,90,d: resistencia de cálculo a tracción perpendicular a la fibra (SE-M pg117)

124

Teoría cálculo

12. COMPROBACIÓN A FUEGO (Ejemplo 1: vigas de forjado) Comprobación a fuego según CTE (SI E pg1) Para asegurar el correcto funcionamiento de la estructura ante el fuego, es necesario comprobar la resistencia de la estructura en cuanto a estado límite último, para una determinada duración del fuego (según tabla 3.1. SI6-2). El método propuesto en el CTE es el método de la sección reducida que se describe a continuación. La sección reducida se obtiene eliminando de la sección inicial la profundidad eficaz de carbonización, def, alcanzada durante el periodo de tiempo considerado, en las caras expuestas.

VALOR DE CÁLCULO DE LAS PROPIEDADES DEL MATERIAL X d = k mod, f —k f —

Xk γM

kmod, f : factor de modificación (SE M pg6). kf : coeficiente que permite transformar un valor característico en un valor medio. kf : 1,25 para madera maciza kf : 1,15 para madera laminada y derivados de la madera. γ M : coeficiente de seguridad del material, en este caso para situaciones extraordinarias (SE M pg6).

VALOR DE CÁLCULO DE LAS ACCIONES El valor de cálculo de las acciones para una situación extraordinaria en estructuras de madera se puede simplificar según la siguiente expresión (SE pg10):

∑G

k, j

j ≥1

+ ψ1,1—Qk ,1 +

∑ψ

2 , i—Qk , i

i >1

125

Teoría cálculo

Gk , j : cargas permanentes Qk : cargas variables

ψ 1,1 ψ 2, i : coeficientes de simultaneidad (SE pg11)

126