Teoria Dos Conjuntos.doc

Faça ti de surdo, para ouvir as verdades (Marcelo Azevedo). ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO 11ᵃ CLASSE. TURMA: A05T. TRIMESTRE I. CURSO-DIURNO-TARDE. Disciplina: Matemática. Unidade Temática: Teoria de Conjuntos. Tema: Apresentação do professor aos alunos e breves considerações sobre a disciplina. - Notação de conjunto. - Conceito de conjunto e seus elementos. - Designação de conjuntos. - Relação de pertença. - Conjunto unitário, vazio e universal. - Cardinal de um conjunto. - Produto cartesiano. Objectivos:  Usar os símbolos para relacionar conjuntos entre si e seus elementos.  Usar os símbolos para identificar conjunto unitário, vazio, e Universal.  Representar um conjunto por extensão e por compreensão, através de diagramas de Venn, chavetas e/ou intervalos e na recta graduada.  Identificar conjuntos iguais.  Efectuar as operações sobre reunião entre conjuntos. Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro. Duração de cada aula: 90 minutos. Metodologia: Elaboração conjunta e método independente. Professor: João Matangue Arone. Xai-Xai, 01 de Março de 2018.

Bibliografia: FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.

TEORIA DOS CONJUNTOS.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11 a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 1

Faça ti de surdo, para ouvir as verdades (Marcelo Azevedo). Conceitos de conjuntos. Definição: A notação matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Eis alguns exemplos: a) Conjunto de vogais. b) Conjunto dos algarismos romanos. c) Conjunto dos planetas do sistema solar. d) Conjunto dos números ímpares positivos. e) Conjunto dos números primos positivos. f) Conjunto dos naipes das cartas de um baralho. g) Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias. Elemento de um conjunto: é cada membro ou objecto que entra na formação do conjunto. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos: a) a, e, i, o, u. b) , V, X, L, C, D, M. c) Mercúrio, Vénus, Terra, Marte, … d) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … e) Paus, ouro, copas, espada. f) Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro, Dezembro. Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. é importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C, D, … e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y, …. Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos: x  A. Para indicar que x não é elemento do conjunto A escrevemos: x  A. Representação de conjunto por extensão e por compreensão, através de diagramas de Venn, chavetas e/ou intervalos e na recta graduada. Podemos representar um conjunto por extensão, pela enumeração de seus elementos. Devendo para isso indicá-lo escrevendo seus elementos entre chavetas. Podemos representar um conjunto por compreensão, por meio de uma propriedade característica P de seus elementos x, escrevemos: A   x : xtemapropr iedadeP. e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P”.

Exemplos:

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11 a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 2

Faça ti de surdo, para ouvir as verdades (Marcelo Azevedo).

Representação do conjunto por extensão.

Representação do conjunto por compreensão.

1

 a, e, i, o, u

Conjunto das vogais

2

 I, V, X, L, C, D, M

Conjunto dos algarismos romanos

3

Conjunto dos nomes de meses de 31 dias.

 janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro 4

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

Conjunto dos números ímpares positivos.

5

 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

Conjunto dos números primos positivos.

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou 1

 x : x  x   .

2

 x : xeimparemultiplode 2   .

3

 x : x  0ex  0  .

.

Conjunto unitário: é aquele que possui um único elemento. Exemplos: 1

Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: 1.

2

Conjunto das soluções da equação 3 x  1  10 :  3.

3

Conjunto dos professores de Matemática da turma A05:  Arone.

Operações entre conjuntos. Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11 a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 3

Faça ti de surdo, para ouvir as verdades (Marcelo Azevedo). 1. Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações: ←

Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja

←

O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja

;

2. União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:

3. Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

4. Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11 a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 4

Faça ti de surdo, para ouvir as verdades (Marcelo Azevedo). 5. Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x;y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja

Cardinal de um conjunto é a quantidade de elementos que esse mesmo conjunto possui. O cardinal do conjunto A representa-se por (

). Símbolos das operações.

: A intersecção B a < b: a menor que b : a maior ou igual a b

: A união B : a menor ou igual a b

A - B: diferença de A com B a > b: a maior que b

:aeb

: a ou b

Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A. Sendo que,

Símbolos.

: pertence

: existe

: não pertence

: não existe

: está contido

: para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido

: conjunto vazio

: contém

N: conjunto dos números naturais

: não contém

Z : conjunto dos números inteiros

/ : tal que

Q: conjunto dos números racionais

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11 a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 5

Faça ti de surdo, para ouvir as verdades (Marcelo Azevedo).

: implica que

Q'= I: conjunto dos números irracionais

: se, e somente se

R: conjunto dos números reais

Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos: x  A. Para indicar que x não é elemento do A escrevemos: x  A. EXERCÍCIOS. 1. Dê os elementos dos seguintes conjuntos: A =  x : xeletradapalavra" matematica". B =  x : xecordabandeiramocambicana. C =  x : xenomedaprovinciaquecoemecacomletra" g". 2. Descreva através de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A =  0,2,4,6,8,.... B = 1,4,9,16,25,36,.... C =  Maputo, Gaza, Inhambane. 3. Dados os conjuntos A =  a, b, c, d  , B =  b, c, d , e e C =  c, e, f  , pede-se descrever A  B, A  C , B  C , A  B  C , A  C , A  B , B  C e A  B  C .

4. Dados os conjuntos A = 1,2,3,4 , B =  2,4. Complete os espaços em branco com um dos símbolos ,, , , ,  as seguintes alíneas. a) 3 ___ A

b) 1 ___ B

c) B ___ A

d) A ___ B

e) 4 ___ B

5. Sendo A = 1,2 , B =  2,3 , C = 1,3,4 e D = 1,2,3,4. Complete os espaços em branco com um dos símbolos , , ,  as seguintes alíneas. a) A ___ D

b) A ___ B

c) B ___ C

d) D ___ B

e) A ___ C

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11 a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 6

Faça ti de surdo, para ouvir as verdades (Marcelo Azevedo). 6. Complete usando os símbolos ,, , , ,  de modo a obter proposições verdadeiras.

a)

1;3 ___ 1;3

b) 1;2 ___1;2

c)

 ___   1; 

d) 7 ___  3;7

e)

5 ___  2;5

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11 a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 7